（应用数学专业论文）种群控制中的脉冲和时滞效应.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 微分方程数学模型在描述种群动力学行为中起到了非常重要的作用，它从数学的角 度解释种群间及种群与环境间的动力学行为，从而使人们对某些种群之间以及种群与环 境之间的相互作用进行有目的地控制时滞脉冲微分方程不但考虑到瞬间变化对事物状 态的影响，而且考虑到过去状态对事物变化的影响，所以能够更合理、更精确地反映种 群变化的规律本文针对种群控制和微生物病毒控制的几个问题，利用时滞泛函微分方 程和脉冲微分方程的相关理论和方法建立了动力学模型，并研究它的相关的动力学行为， 包括平衡点的稳定性、周期解的存在性、系统的持久性与灭绝同时借助计算机数值分 析了部分模型的动力学行为，并讨论其生物意义本文的主要内容概括如下： 第二章简要介绍了时滞微分方程和脉冲微分方程的基本知识 第三章讨论了三个具有功能性反应的时滞捕食模型第一节研究了一个定期释放天 敌来控制害虫的具i v l e v 功能性反应的时滞捕食模型在模型中，假设食饵分为幼年食 饵和成年食饵，捕食者种群只捕食成年食饵幼年食饵到成年食饵的转化期是一个常 数，用一个常数时滞表示捕食者对食饵的功能函数是i v l e v 型的得到了害虫灭绝周期 解全局吸引和系统持久生存的充分条件第二节研究了一个具有阶段结构和i v l e v 功能 反应的捕食模型的收获控制策略对食饵脉冲式的投放，而对捕食者连续地收获并假设 捕食者分为幼年和成年捕食者，幼年捕食者不会捕食食饵种群得到了捕食者灭绝周期 解的全局吸引的条件，并且利用比较方法分析了脉冲投放食饵和适度收获捕食者的行为， 可保证捕食者种群持续生存第三节研究了一个脉冲干扰食饵并且具有阶段结构和时滞 的g o m p o r t z 捕食模型捕食者种群分为幼年捕食者和成年捕食者，只有成年捕食者具 有捕获食饵的能力食饵种群的增长方式是g o m p o r t z 型的，捕食功能函数是h o l l i n gi i 型研究了当脉冲式的捕获食饵时对天敌生存的影响，得到了捕食者灭绝周期解全局吸 引的充分条件和系统持续生存的条件并且数值模拟了种群的动力学行为，分析了在害 虫的种群密度低于经济危害水平的前提下，需要害虫和天敌共存，以维护生态平衡 第四章基于当前 以虫治虫，以菌治虫”的可持续发展思想，讨论了害虫管理策略的 数学模型。第一节研究了一个s i 流行病模型。具体地研究了一个连续控制模型和一个脉 冲控制模型，目的是利用流行病来控制害虫的数量对于连续控制模型研究了系统的平 衡点的存在性和全局渐近稳定性；对于脉冲控制模型研究了易感害虫灭绝周期解的存在 条件和系统的持久性并且利用数值模拟验证了所得结果第二节研究一个利用投放病 毒来控制害虫数量的害虫一病毒模型害虫分为两类：易感害虫和染病害虫染病害虫 可以释放病毒细胞，从而感染更多的易感害虫，建立了在染病害虫中引入有限染病年龄 结构的害虫一病毒模型，利用合理的假设将偏微分模型转化成了相应的具有分布时滞的 常微分方程模型，利用分析的技巧和初始条件的非负性，研究系统的渐近行为和线性化 的稳定性，得到了易感害虫灭绝周期解全局吸引的充分条件 种群控制中的脉冲和时滞效应 第五章讨论一个具有阶段结构和周期时间依赖的种群模型由于自然界中很多因素 都是呈现周期变化的，因此在这一章讨论了周期变化环境下非自治种群模型的动力学 行为食饵种群分为两个阶段：幼年和成年捕食者种群是杂食的，并且按不同的捕食率 捕获幼年食饵和成年食饵同时对捕食者种群进行脉冲式的收获，脉冲时间和脉冲量也 是周期变化的得到了系统持久的充要条件，并且得到了因过度捕获使捕食者种群灭绝 的阂值 关键词：脉冲微分方程；阶段结构；时滞；周期解；全局渐近稳定性；持久性 i i 大连理工大学博士学位论文 i m p u l s i v ea n dd e l a y e de f f e c t so np o p u l a t i o nc o n t r o l a b s t r a c t m a t h e m a t i c a lm o d e l so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nd e s c r i b i n g p o p u l a t i o nd y n a m i cb e h a v i o r m a t h e m a t i c a l l y , t h e s em o d e l se x p l a i na l lk i n d so fp o p u l a - t i o nd y n a m i cb e h a v i o r ，w h i c ha l l o w sp e o p l et ou n d e r s t a n dp o p u l a t i o nd y n a m i c ss c i e n t i f i c a l l ys ot h a ts o m ei n t e r a c t i o n so fp o p u l a t i o nc a nb ei n t e n dt oc o n t r 0 1 d e l a y e di m p u l s i v e e q u a t i o n s ，w h i c hc o n s i d e rt h ee f f e c t so fb o t ht h ep r e s e n ts t a t ea n dt h ep a s s e ds t a t eo i l t h eb e h a v i o ro fd y n a m i c a ls y s t e m ，i sm o r es u i t a b l et od e s c r i b et h ep o p u l a t i o nd y n a m i c a l s y s t e m i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，p o p u l a t i o nd y n a m i cm o d e l sa r ee s t a b l i s h e dt oc o n s i d e rs e v - e r a p r o b l e m si np a t h o g e nc o n t r o l sa n dp o p u l a t i o nc o n t r o l sb ym e a n 8o ft h et h e o r ya n d m e t h o do fd e l a y e df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w ei n v e s t i g a t ed y n a m i cb e h a v i o ri n c l u d i n gt h es t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m ，t h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n ，t h ep e r m a n e n c ea n de x t i n c t i o no fs y s t e m t h em a i nr e s u l t so ft h i s d i s s e r t a t i o nm a yb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，s o m eb a s i ct h e o r i e sa r ep r o v i d e df o rd e l a y e de q u a t i o n sa n di m p u l s i v e e q u a t i o n s i nc h a p t e r3 ，t h r e ep r e d a t o r - p r e ym o d e l sw i t ht i m ed e l a ya n df u n c t i o n a lr e s p o n s ea x e i n v e s t i g a t e d i ns e c t i o n3 1 ai v l e vp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t ht i m ed e l a ya n di m p u l s i v e i n t e r r u p t i o ni nt h ep r e d a t o ri ss t u d i e d t h ep r e yp o p u l a t i o ni sd i v i d e di n t ot w oc l a s s e s ， t h ei m m a t u r ep r e ya n dm a t u r ep r e y t h et i m ef r o mi m m a t u r et om a t u r ei sac o n s t a n t ， a n di se x p r e s s e dw i t hat i m ed e l a y t h ef u n c t i o n a lr e s p o n s ei si v l e vt y p e ，a n dt h ep r e d a t o r o n l yc a p t u r et h em a t u r ep r e y w eg e tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eg l o b a la t t r a c t i v i t y o ft h ep e s t - e r a d i c a t i o np e r i o d i cs o l u t i o n ，a n dt h ec o n d i t i o nf o rt h ep e r m a n e n c eo ft h e s y s t e m i ns e c t i o n3 2 ，ap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t ht i m ed e l a ya n di m p u l s i v eh a r v e s t i n g s t r a t e g yi ss t u d i e d w ei m p u l s i v e l yr e l e a s et h ep r e ya tf i x e dt i m e ，a n d h a r v e s tt h ep r e d a t o r c o n t i n u o u s l y w eg e tt h ec o n d i t i o nf o rt h eg l o b a la t t r a c t i v i t yo ft h ep r e d a t o r - e r a d i c a t i o n p e r i o d i cs o l u t i o n ，a n dw ea l s oo b t a i nt h ec o n d i t i o nf o rp e r m a n e n c eo ft h es y s t e m o u r r e s u l tp r o v i d es o m et h e o r e t i c a lb a s ef o re x p l o i t a t i o no fb i o l o g i c a lr e s o u r c e s i ns e c t i o n 3 3 as t a g e - s t r u c t u r e dg o m p o r t zp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t ht i m ed e l a ya n di m p u l s i v e i n t e r r u p t i o ni nt h ep r e yi ss t u d i e d t h ep r e d a t o rp o p u l a t i o ni sd i v i d e di n t ot w oc l a s s e s ， t h ei m m a t u r ep r e d a t o ra n dt h em a t u r ep r e d a t o r o n l yt h em a t u r ep r e d a t o rh a st h e a b i l i t yo fc a p t u r et h ep r e y w ei m p u l s i v e l yc a p t u r et h ep r e y , a n dt h eg r o w t hr a t ef o r t h ep r e yi sg o m p o r t zt y p e ，w h i l et h ep r e d a t i o nr e s p o n s ei st y p eh o l l i n gi i o u rm a i n i i i 种群控制中的脉冲和时滞效应 p u r p o s ei st os t u d i e dt h ee f f e c to fi m p u l s i v ec a p t u r i n go fp r e yo nt h ep r e d a t o rp o p u l a t i o n t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eg l o b a la t t r a c t i v i t yo ft h ep r e d a t o r - e r a d i c a t i o np e r i o d i c s o l u t i o ni so b t a i n e d ，a n dw ea l s og e tt h ec o n d i t i o nf o rt h ep e r m a n e n c eo ft h es y s t e m s o m en u m e r i c a lr e s u l t sa r ed o n et os h o wt h ed y n a m i c mb e h a v i o r so ft h es y s t e m i nc h a p t e r4 ，p e s tm a n a g e m e n tm o d e l sa r es t u d i e d i ns e c t i o n4 1 ，t w os ie p i d e m i c m o d e l sa r ei n v e s t i g a t e d o n ec o n t i n u o u sc o n t r o ls y s t e ma n do n ei m p u l s i v ec o n t r o ls y s t e m a r eu s e dt oc o n t r o lt h en u m b e ro fp e s t ，b yu s i n ge n d e m i c t ot h ec o n t i n u o u ss y s t e m ，w e g e tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yc o n d i t i o nf o rt h ee q u i l i b r i u m s t ot h ei m p u l s i v es y s t e m ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fp e r i o d i c s o l u t i o na r eo b t a i n e d t h er e s u l t sa r ea l s ov e r i f i e db ys i m u l a t i o n s i ns e c t i o n4 2 ，a p e s t p a t h o g e nm o d e li sf o r m u l a t e d t h ep e s ti sd i v i d e di n t ot w oc l a s s e s t h es u s c e p t i b l e a n di n f e c t i v e i n f e c t e dp e s tc a nr e l e a s ep a t h o g e nc e l l st oi n f e c tt h es u s c e p t i b l e b ys o m e s u i t a b l ea s s u m p t i o n s ，t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e mi st r a n s f o r m e dt oo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e m t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h es u s c e p t i b l ep e s te r a d i c a t i o n p e r i o d i cs o l u t i o ni so b t a i n e da so u rm a i nr e s u l t i nc h a p t e r5 ，as t a g e - s t r u c t u r e da n dp e r i o d i ct i m ed e p e n d e n t p r e d a t o r - p r e ym o d e l i s s t u d i e d s i n c et h e r ea r em a n yf a c t o r si nt h en a t u r a lw o r l da r ep e r i o d i c ，i ti sn e c e s s a r yt o s t u d yt h ee f f e c to fp e r i o d i cv a r i a b l ee n v i r o n m e n to nt h eb e h a v i o r so fp o p u l a t i o nm o d e l i no u rm o d e l ，t h ep r e yp o p u l a t i o ni sd i v i d e di n t ot w oc l a s s e s ，t h ei m m a t u r ep r e ya n d m a t u r ep r e y t h ep r e d a t o ri so m n i v o r o u s ，a n di tc a nc a p t u r eb o t ho ft h ei m m a t u r ep r e y a n dt h em a t u r ep r e ya td i f f e r e n tp r e d a t i o nr a t e t h ep r e d a t o rp o p u l a t i o ni sa l s ob e i n g i m p u l s i v e l yh a r v e s t e d t h ec o n d i t i o nf o rt h ep e r m a n e n c eo ft h es y s t e mi so b t a i n e d w e g e tt h et h r e s h o l d ，a b o v ew h i c ht h ep r e d a t o rp o p u l a t i o nw i l ld i eo u td u et oe x c e s s i v e h a r v e s t i n g k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；s t a g e - s t r u c t u r e ；t i m ed e l a y ；p e r i o d i cs o l u - t i o n s ；g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；p e r m a n e n c e i v 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方 外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已 申请学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的 贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文 作者签名 日 大连理工人学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名：芝兰至乞z 生 导师签名：瑶，缩 大连理工大学博士学位论文 l绪论 脉冲微分方程的理论和方法在近三十多年来得到了完善和发展，已形成一个比较完 整的学术体系，被广泛地应用于种群动力学、传染病动力学、药物动力学、及生物控制 论等方面本章主要介绍所种群动力学的研究背景和意义、国内外研究概况等 1 1 研究背景和意义 种群动力学是生物数学中一个重要分支，它主要通过研究种群之间及种群与环境之 间的关系，来研究种群个体的数量和结构的变化规律生物数学作为一门新兴的交叉学 科近三十多年来得到迅速地发展数学科学的理论和方法已经被引进生物科学的各个领 域，利用动力学的建模思想，构建种群间及种群与环境间的数学模型，通过数学模型具有 解释功能、判据功能和预见功能，研究解释一些生态现象，从而达到对某些生态问题的 有效控制，这引起了数学家和生物学家的极大兴趣微分方程数学模型在描述种群动力 学行为中起到了很大的作用这些数学模型的研究常常涉及到常微分方程、时滞微分 方程和脉冲微分方程的相关内容微分方程动力系统的应用非常广泛，如经济开发、环 境保护、种群生态学，传染病和药物动力学以及微生物的培养等研究的课题包括正 平衡点的存在性和稳定性，极限环的存在性和稳定性，周期解和概周期解的存在性和稳 定性，种群的持续生存和灭绝，生物资源的开发和利用等连续动力系统的应用起步较 早，是多年来主要研究方向，以经典的种群动力学为基础形成了一套理论体系，特别 是连续动力系统有着丰富的研究结果，比如：竞争系统、合作系统、捕食系统、扩散 系统等 现实世界中存在这样一些问题，由常微分方程不能解决，如：幼年到成年的成长 期，微生物的培养期等研究发现这些问题常常与时间延迟，即时间滞后有关，于是数学 家们建立了事物变化不仅依赖当前的状态，而且还依赖过去的状态的一类方程，即时 滞微分方程，又称泛函微分方程考虑到种群密度变化对于增长率的影响效应都不是 瞬时发生的，而是有时间延迟的，与过去的生活状态有关时滞在生物活动中经常出 现，自从m a y1 1 1 发现时滞会破坏l o g i s t i c 模型正平衡态稳定性并引起周期振动以来， 时滞效应对生物种群的影响引起许多专家学者的极大兴趣如考虑时滞对自治系统中 的平衡点存在性和稳定性，非自治系统中的正周期解或概周期解存在惟一性的影响， 以及考虑时滞对系统的持续生存性的影响，如果时滞对系统的动力学行为产生影响， 称之为时滞是”有害的”，否则是”无害的”关于非自治时滞动力系统的研究的文 献已有不少，比如：文献p 叫研究了非自治时滞动力系统的持续生存性与渐近稳定性 自然界中有许多种群根据其大小、形状、行为特征，分为幼年和成年两个阶段( 有 的种群分为三个或三个以上阶段) 许多文献对阶段结构模型进行了分析研究p 一1 9 9 0 年，a i e l l o 和f r e e d m a n 研究了单种群阶段结构的模型的动力学性质通常的阶段结 1 种群控制中的脉冲和时滞效应 构模型考虑两种不同的捕食生理状态：一种是捕食者捕食食饵是为了增强体质：另一种 是捕食者捕食食饵是为了增强生育能力考虑阶段结构的时滞模型比原有模型更精细、 更贴近实际 在自然界中有许多现象呈现周期变化，如季节变化、昼夜更替、食物增减等，因 此生物种群的生存环境是随时间而改变的近年来，有许多学者对非自治周期系统进 行了广泛的研究，得到了系统正周期解的存在性和全局吸引性如文献u9 加1 分析了时 滞捕食系统正周期解的存在性和全局稳定性文献悍u 研究了中立型时滞单种群增长模 型周期解的存在性近几年来，利用重合度理论肛引研究时滞周期系统周期解的方法也 得到广泛应用，例如文献p ”“ 许多实际问题的发展过程往往具有这样的特性，即系统经历一个短时间的外部作 用，但这个短暂的干扰时间同整个发展过程相比可以忽略不计，所以从数学的角度来 描述这种发展过程要用到脉冲微分方程脉冲微分方程是在常微分方程的基础上发展 起来的，其突出的特点是能够充分考虑到瞬间变化对状态的影响，能够更合理、更精 确地反映事物的变化规律，所以许多学者对脉冲微分方程的理论及其应用作了广泛的 研究如专著p 5 删详细介绍了脉冲微分方程理论假设系统的发展是连续的，然而 在现实生活中人类对资源的管理和开发总是季节性的或离散的，而且是瞬时或短时间 完成的所以把人类的连续干扰修改为离散的脉冲干扰更加符合实际p h 引人们注意 到生物种群的进化和繁衍过程中存在着许多脉冲现象。很多种群的出生通常是季节性 的而且是短时间完成的即生育脉冲隅驯物种的迁徙也具有脉冲现象，如候鸟迁徙、 种子飘移在渔业资源的开发和管理中，鱼苗的放养和成鱼的收获是周期性地发生而 且是短时间完成的p 卅在农业生产中，害虫的综合管理策略通常是把化学控制和生物 控制有效地结合起来将害虫控制在经济危害水平( 导致经济危害的最低害虫数量) 以下 即1 化学控制一般是喷洒杀虫剂消灭害虫，往往能够快速控制害虫，其缺点是污染环 境，同时杀死大量天敌、危及人类健康生物控制是投放天敌控制害虫，天敌可以人工 培养生物控制可以弥补化学控制的缺点，这样人们可以把投放天敌和喷洒杀虫剂结 合起来去有效地控制害虫，使害虫的数目低于经济危害水平喷洒杀虫剂或投放天敌 是瞬时的、不连续的，从而引起害虫与天敌的数目瞬间发生变化一”另外，人们也 利用传染病来控制害虫，即投放染病害虫或病毒捧h 驯在微生物培养方面，已经有很多 学者进行过研究，如文献卜一1 等但他们考虑的模型都假设培养基的输入是连续的 实际上，培养基采用脉冲输入可能会更经济、更有效，如文献归7 删目前，关于具体时 滞脉冲种群模型的应用性的文献主要集中在讨论一维l o g i s t i c 型脉冲时滞种群模型的全 局吸引性、持续性和稳定性方面m 1 无论是关于时滞种群动力系统，还是关于脉冲种 群动力系统都做出了大量的好的工作，然而关于高维脉冲时滞种群动力系统的定性分 析所做的工作极少，有些地方甚至是空白因此在高维脉冲时滞种群动力系统的定性分 析方面，还有许多有意义的工作要做 2 一 大连理工大学博士学位论文 1 2 历史和发展现状 早在1 6 世纪，中国明朝的著名科学家徐光启( 1 5 6 2 1 6 3 3 ) 就曾用数学的方法估算 过人口的增长他说：”头三十年为一世”，即人口大致每3 0 年增加一倍这是把数学用 于种群生态的最早史例1 6 6 2 年，j g r a u n t 研究了伦敦人口的出生率和死亡率，通过计 算后认为：如果略去移民，伦敦的人口每6 4 年将增加一倍巾“更为著名的是英国神父 m a l t h u s 的工作，他在1 7 9 8 年出版的著作中提出了人口按几何级数增长的理论巾训1 8 3 8 年，p f v e r h u l s t 在他的同事a l j q u e t e l e t 所提出的增加阻抗概念的启发下，提出了著 名的l o g i s t i c 方程6 4 1 尽管数学生态学在1 6 世纪已经开始萌芽，但是工作比较零碎1 9 0 0 年，意大利著名 数学家v v o l t e r r a 在罗马大学的一次题为应用数学于生物和社会科学的尝试”的演 讲m 1 ，标志了生物数学发展的一个里程碑在这个时期内，k p e a r s o n 在遗传学方面应 用数学的研究成果t b r o w n l e e 在流行病方面应用数学的研究成果，相继出现一直到 1 9 2 6 年v o l t e r r a 发表了解释f i n m e 港鱼群变化规律的著名论文归卅，使数学生态学的发 展一度达到高潮不久，由于战争等因素，使刚刚兴起的数学生态学以及更广泛的生物 数学又沉寂下来直到2 0 世纪5 0 年代，由于电子计算机的出现，重新激励了生物数学 1 9 4 5 年，生态学家e m w r i g h t 最早把时滞引入种群生态学，他所讨论的方程是具有确 定时滞的l o g i s t i c 方程唧1 1 9 6 5 年，h o l l i n g 在实验的基础上，对不同类型的物种，提出了 三种不同的功能性反应函数一然而生物数学的蓬勃发展是近3 0 多年的事在上世 纪7 0 年代一些生物学家和数学家开始利用数学的方法研究害虫管理的策略。跏n 1 1 9 8 0 年，g o h 在其著作阳1 中提出了基本的害虫防治模型随后，文献p 卜瑙1 继续研究害虫管 理策略的数学模型1 9 8 9 年l a k s h m i k a n t h a m 等人著 t h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 删一书标志脉冲微分方程从常( 偏) 微分方程中分离出来。由于脉冲微分 方程的相关理论远比非脉冲情形内容丰富，自此脉冲微分方程的理论研究吸引了国内 外的众多学者，已有很大发展】文献7 2 1 研究了脉冲微分方程解的振动性文献 捧5 1 研究脉冲微分系统的稳定性文献阳8 7 1 给出脉冲微分系统周期解和极限环的存在 性和稳定性脉冲微分方程已经被广泛应用到各个科学领域 我国的生物数学研究起步较晚，1 9 8 0 年以前，生物数学的研究大多集中于生物统 计，2 0 世纪8 0 年代以来，生物数学的研究队伍日益扩大，研究成果也不断向纵深发展，特 别是在种群动力学领域，出现了众多系统且具影响的研究成果嗍 1 3 本文的主要工作 本文针对种群控制的几个问题利用脉冲微分方程的相关理论和方法建立并研究了 相应的动力学模型，本文的主要工作如下： 第三章讨论了三个具有功能性反应的时滞捕食模型第一节研究了一个定期释放天 3 种群控制中的脉冲和时滞效应 敌来控制害虫的具i v l e v 功能性反应的时滞捕食模型得到了害虫灭绝周期解全局吸引 和系统持久生存的充分条件。第二节研究了一个具有阶段结构和i v l e v 功能反应的捕食 模型的收获控制策略。对食饵脉冲式的投放，而对捕食者连续地收获，得到了捕食者灭绝 周期解的全局吸引的条件，并且利用比较方法分析了脉冲投放食饵和适度收获捕食者的 行为，可保证捕食者种群持续生存第三节研究了一个脉冲干扰食饵并且具有阶段结构 和时滞的g o m p o r t z 捕食模型食饵种群的增长方式是g o m p o r t z 型的，捕食功能函数 是h o l l i n gi i 型研究了当脉冲式的捕获食饵时对天敌生存的影响，得到了捕食者灭绝周 期解全局吸引的充分条件和系统持续生存的条件，并且数值模拟了种群的动力学行为 第四章讨论了害虫管理策略的数学模型第一节研究了一个s i 流行病模型具体地 研究了一个连续控制模型和一个脉冲控制模型对于连续控制模型研究了系统平衡点的 存在性和全局渐近稳定性；对于脉冲控制模型研究了易感害虫灭绝周期解的存在条件和 系统的持久性第二节建立了在染病害虫中引入有限染病年龄结构的害虫一病毒模型， 利用合理的假设将偏微分模型转化成了相应的具有分布时滞的常微分方程模型，研究系 统的渐近行为和线性化的稳定性，得到了易感害虫灭绝周期解全局吸引的充分条件 第五章讨论一个具有阶段结构和周期时间依赖的种群模型对捕食者种群进行脉冲 式的收获，脉冲时间和脉冲量也是周期变化的得到了系统持久的充要条件，并且得到了 因过度捕获使捕食者种群灭绝的阈值 一4 大连理工人学博士学位论文 2 预备知识 脉冲微分方程是在连续微分方程的基础上发展起来的，本章分别介绍时滞微分方程 和脉冲微分方程的一些基本概念和基本结论详细内容主要参阅0 8 9 瑚1 2 1 时滞微分方程 生态系统中，时滞常是一种不应忽略的因素具有时滞的种群模型所考虑的系统，不 仅取决于系统当前的状态，而且还依赖于系统过去的状态时滞微分方程更能真实地反 映着自然，当时间滞后不太长时，称为有限时滞，在数学上表示为 面d x = m ，观) 其中z 是定义在卜丁，硝，7 i 0 上的函数，定义【一1 - ，o 】上的函数z 为 x t ( 0 ) = z ( + 8 ) ，一丁口0 若时间滞后非常大的时，通常把时滞考虑为无限，这样就得到了无限时滞泛函微 分方程 窑：m ，兢) 面2 八。，兢j 其中z 是定义在( 一o 。，胡上的函数，定义( 一o o ，0 】上的函数既为 x t ( p ) = z ( 芒+ 口) ，一o o 目0 上述的两类方程已不再是经典的常微分方程，它不但含有自变量，而且含有带滞 量的变元自1 9 5 9 年以来，h h k p a c o b c k h 用泛函分析观点对这类方程作了创造性研 究，称其为泛函微分方程2 0 世纪7 0 年代，h a l ejk 俐等进一步使若干基本概念精确 化对于上面的两类时滞泛函微分方程可选择相应的初始函数空间，使解存在惟一有关 时滞泛函微分方程方面的理论已经比较成熟，详细请参见文献眇9 0 j 下面给出有关时滞泛函微分方程的一些定义、引理和符号 假设h ( t ) 是定义在冗上的有界函数定义h “= l i r a s u p 加 ( ) ，h = l i m i n f 扣 ( ) 考虑一般形式的泛函微分方程组 a f 亏亭= ，( ，z t ) ，z ( ) r n ( 2 1 ) 这里f ( t ，妒) c ( r s ，q ) 是含有有限时滞及无限时滞的连续泛函，且q 是舻上的紧 集 5 种群控制中的脉冲和时滞效应 定义2 1 如果存在一个紧集dc i n t r 华，使得对系统( 2 1 ) 的每一个解z ( ) 最终进入并 保持在该紧集d 内，则称系统( 2 1 ) 是永久持续生存的 定义2 2 假设z ( ) = ( z 1 ( ) ，z 2 ( ) ，x n ( t ) ) 是系统( 2 1 ) 的任意一个解，若对某个1 i 礼有 1 i mz i ( ) = 0 ， - - o o 则称种群戤是灭绝的 定义2 3 假设z ( ) = ( z 1 ( 亡) ，z 2 ( 芒) ，z n ( ) ) 是系统( 2 1 ) 的任意一个解，z ( t ) 被称为是冗 上的一个严格正解，如果对t r 及i = l ，2 ，死使得 o 0 ( i ) 若a b ，则l i m 扣z ( 亡) = 譬 设下是正常数，记c n = c n ( 【- 丁，o 】，p ) 是所有定义于 一下，0 】上的连续实函数 组成的b a n a z h 空间设，r n ，妒表示不等式在【一下，o 】上逐点成立记 c 2 = 妒c n ：妒0 ，妒( o ) o ) 下面给出时滞泛函微分方程的比较定理，考虑下面滞后型泛函微分方程 圣= f ( t ，x t ) ， ( 2 2 ) 这里f ( t ，妒) = ( r ( t ，妒) ，r ( ，妒) ) 关于妒连续可微，而且对常数u 0 和( t ，妒) rxq ，有f ( t + u ，妒) = f ( t ，妒) ，对于任何( t o ，妒) rxc n ，系统( 2 2 ) 满足初始条件 z o 一妒的解z ( 亡，t o ，妒) 存在且惟一 6 大连理1 = 大学博士学位论文 定理2 1 如果妒，矽四，妒妒且妒i ( o ) = 也( o ) ，有只( ，妒) r ( ，咖) ，得到如下结论： ( i ) 若妒，则在x ( t ，t o ，妒) 和x ( t ，t o ，) 的公共范围内有x ( t ，t o ，妒) x ( t ，t o ，咖) ( i i ) 设可( t ) 连续可微，如果多f ( t ，y t ) ，y 幻妒，则在x ( t ，t o ，妒) 和可( t ) 的t 0 的公 共范围内有x ( t ，t o ，妒) x ( t ，t o ，妒) ；如果多f ( t ，y t ) ，妒，则在x ( t ，t o ，妒) 和y ( t ) 的 t 0 的公共范围内有z ( t ，t o ，妒) x ( t ，t o ，妒) 2 2 脉冲微分方程 关于脉冲微分方程的基本概念和一些重要定理可参见文献扭一1 本节首先对脉冲 微分方程进行基本的描述，考虑下列系统所描述的一个演变过程： ( 1 ) 微分系统为 堂d t = ，( 亡，z ) ， ( 2 3 ) 其中，：风q _ r n ，qc 舻是一个开集，舻是礼一维欧几里得空间，皿是非负实 数域。 ( 2 ) 集合m ( ) ，n ( t ) cf t ，t 风， ( 3 ) 算子a ( t ) ：m ( t ) _ ( ) ，t r + 令x ( t ) = x ( t ，t o ，x 0 ) 是系统( 2 3 ) 经过初值( t o ，x 0 ) 的任意解。那么这个发展过程 变化如下：点r = ( t ，z ( t ) ) 从初始位置r = ( t o ，x 0 ) 开始沿着曲线 ( 亡，z ) ：t t o ，z = z ( ) ) 运动，直到时刻t l t o ，点b 遇到集合m ( 芒) 在时刻t = t 1 ，算子a ( t ) 把点 只，= ( t l ，z ( 亡1 ) ) 映射到点只于= ( t l ，z ：- ) n ( t 1 ) ，其中z j - = a ( t 1 ) x ( t 1 ) 。然后点r 从 点e ，= ( t l ，z ) 开始沿系统( 2 3 ) 的解曲线z ( t ) = z ( t ，t l ，z i - ) 继续运动，直到在下 一个时刻t 2 t 1 ，点r 再次遇到集合m ( t ) 然后，点r ：又被算子a ( t ) 映射到点 只 = ( t 2 ，z 手) n ( t 2 ) ，其中z 事= a ( t 2 ) x ( t 2 ) 同样，点只又从点珞= ( t 2 ，z 争) 开始 沿着系统( 2 3 ) 的解x ( t ) = x ( t ，t 2 ，z ) 继续运动。因此，只要系统( 2 3 ) 的解存在，那 么这种运动就会继续下去 这样由以上( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 所描述的一个演变过程可称为一个脉冲微分系统，点只所 描述的曲线称为积分曲线，定义积分曲线的函数称为脉冲微分系统的解 脉冲微分系统与连续微分系统的解有很大的差异，其解的形式有以下三种情形： ( a ) 连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 不相交或交于算子a ( t ) 的不动点 ( b ) 有限个第一类间断点的分段连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 只相交有限 次而且这有限个交点不是算子a ( t ) 的不动点 ( c ) 具有可数个第一类间断点的分段连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 相交可 数次而且这可数个交点不是算子a ( t ) 的不动点 一7 一 种群控制中的脉冲和时滞效应 点r 遇到集合m ( t ) 的时刻t 凫，k = 1 ，2 ，称为脉冲作用时刻，而且假定脉冲