（运筹学与控制论专业论文）supersimple+resolvable+group+divisible+designs+with+block+size+4+and+index+2.pdf

摘要 设k 是正整数的集合，一个入重可分组设计是一个满足以下条件的三元 组( z ，9 ，召) ：石是一个有限点集；9 中的元素( 称为组) 均是疋的子集，并且所有 组构成爿的一个划分；召是由刀的k 元子集( 称为区组) 构成的集合，k k ；对 于任意两个属于不同组的点恰好在入个区组中出现，而属于同一组的两个点不在 任何区组中出现。 如果一个可分组设计的区组集b 可以划分成一些平行类，其中每个平行类都 是点集彤的一个划分，则称它为可分解的可分组设计。若一个设计( v ，8 ) 的区组 集居中的任意两个不同的区组b 1 ，岛满足i b lnb 2 i 2 ，则称此设计为超单设计。 可分解的可分组设计是组合设计中的一类重要设计。超单设计是由g r o n a u 和m u l l i n 首先开始研究的，超单设计不仅是一个有趣的组合设计问题，而且它在 编码理论等学科中有广泛的应用。 超单可分解的可分组设计对其它超单设计的构造有很重要的作用。葛等人 已证明了超单的( 口，4 ，a ) r b i b d ，入= 2 ，3 的必要条件也是充分的，除了一个例 外( 可，a ) = ( 1 2 ，3 ) 。本文主要研究型一致、区组大小为4 、重复度为2 的超单可分解 可分组设计的存在性问题。我们证明了它们存在的必要条件也是充分的，除了可 能的例外( 夕，“) = ( 1 2 t ，2 7 ) ，其中t = 2 或t 三1 ( m o d2 ) 。 关键词：可分组设计；可分解设计：超单设计 a bs t r a c t l e tkb eas e to fp o s i t i v ei n t e g e r s ag r o u pd i v i s i b l ed e s i g n ( k ，入) 一g d di sa t r i p l e ( z ，9 ，召) w h i c h 疋i saf i n i t es e to fp o i n t s ，9i sap a r t i t i o no f 疋i n t os u b s e t s c a l l e dg r o u p s ，召i sac o l l e c t i o no fs u b s e t so f 刀( c a l l e db l o c k s ) w i t hs i z e sf r o mk ， s u c ht h a te v e r yp a i ro fp o i n t sf r o md i s t i n c tg r o u p so c c u x si ne x a c t l yab l o c k s ，a n d n op a i ro fp o i n t sb e l o n g i n gt oag r o u po c c u r si na n yb l o c k a ( k ，a ) - g d d ( 疋，9 ，召) i sr e s o l v a b l e ( d e n o t e db yr g d d ) i f 召c a n b ep a r t i - t i o n e di n t op a r a u e lc l a s s e s ，e a c hp a r a l l e lc l a s sb e i n gap a r t i t i o no ft h ep o i n ts e t 疋ad e s i g n ( v ，b ) i ss a i dt ob es u p e r - s i m p l ei fi b ln b 2 i 2f o ra n yt w ob l o c k s b 1 ，b 2 召a n db 1 b 2 r e s o l v a b l eg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n sa r ef u n d a m e n t a ld e s i g n sf o rt h ec o n s t r u c - t i o no fo t h e rd e s i g n s s u p e r - s i m p l ed e s i g n sw a sf i r s ti n v e s t i g a t e db yg r o n a ua n d m u l l i n t h ee x i s t e n c eo fs u p e r - s i m p l ed e s i g n si sa ni n t e r e s t i n ge x t r e m a lp r o b l e m b yi t s e l f , b u tt h e r ea r e a l s os o m eu s e f u la p p l i c a t i o n s s u p e r - s i m p l er e s o l v a b l eg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n sa r e c r u c i a lf o rt h ec o n s t r u c - t i o no fo t h e rt y p e so fs u p e r - s i m p l er e s o l v a b l ed e s i g n s g ee ta 1 h a v ep r o v e d t h a tt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fas u p e r - s i m p l e ( 口，4 ，入) - r b i b d f o r 入= 2 3a r ea l s os u f f i c i e n tw i t ho n ed e f i n i t ee x c e p t i o nf o r 口= 1 2a n d 入= 3 i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fas u p e r - s i m p l er e s o l v a b l e g r o u p d i v i s i b l ed e s i g nw i t hb l o c ks i z e4a n di n d e x2 w es h a l ls h o wt h a tt h en e c - e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fas u p e r - s i m p l e ( 4 ，2 ) 一r g d do ft y p eg ua r e a l s os u f f i c i e n tp o s s i b l ye x c e p tf o r ( g ，u ) = ( 1 2 t ，2 7 ) ，w h e r et = 2o rt 三1 ( r a o d2 ) k e yw o r d s ：g r o u pd i v i s i b l ed e s i g n ；r e s o l v a b l ed e s i g n ；s u p e r - s i m p l ed e s i g n c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n i nt c h a p t e r , w es h a hg i v es o m eb a s ed e f i n i t i o n so fd e s i g n sd i s c u s s e di n t h i st h e s i s w es h a ua l s op r e s e n ts o m ek n o w nr e s u l t sf o rt h e s ed e s i g n sa n do u r m a i nr e s u l t s f o rm o r ed e t a i l s ，t h er e a d e ri sr e f e r r e dt o 【1 ，1 7 ，2 5 1 1 1 b a s ed e f i n i t i o n s w es t a r tw i t ht h ed e f i n i t i o no fag r o u pd i v i s i b l ed e s i g n d e f i n i t i o n1 1l e tkb eas e to fp o s i t i v ei n t e g e r s ag r o u pd i v i s i b l ed e s i g n ( k ，入) 一 g d di sat r i p l e ( 石，9 ，b ) w h i c hs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： 1 zi saf i n i t es e to fp o i n t s ， 2 gi sap a r t i t i o no fxi n t os u b s e t sc a u e dg r o u p s 。 3 bi sac o l l e c t i o no fs u b s e t so f 彤( c a u e db l o c k s ) w i t hs i z e sf r o mk ，s u c ht h a t e v e r yp a i r o fp o i n t sf r o md i s t i n c tg r o u p so c c u r si ne x a c t l y 入b l o c k s ， 4 n op a i ro fp o i n t sb e l o n g i n gt oag r o u po c c u r si na n yb l o c k w h e nk = 【尼】，w ew r i t e ( k ，, k ) - g d da s ( 尼，入) 一g d d f u r t h e r , w ed e n o t e ( k ，1 ) 一g d da sk - g d da n d ( k ，1 ) - g d d a sk - g d d t h et y p eo ft h eg d d ( 疋，9 ，b ) i st h em u l t i s e to fs i z e si g lo ft h eg 9a n d w eu s u a l l yu s et h e “e x p o n e n t i a l n o t a t i o nf o ri t sd e s c r i p t i o n ：t y p e1 2 j 3 七d e n o t e sio c c u r r e n c e so fg r o u p so fs i z e1ijo c c u r r e n c e so fg r o u p so fs i z e2 ia n ds o o n a p a i r w i s eb a l a n c e dd e s i g n ( v ，k ，a ) 一p b di sa ( k ，, ) - g d do ft y p e1 vi n d e e d a b a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n ( t ，七，入) - b i b di sa ( k ，a ) 一g d do ft y p e1 at r a n s v e r - s a ld e s i g nt d ( k ，n ，入) i sa ( k ，入) 一g d do ft y p en 七w h e na = 1 ，w es i m p l yw r i t e t d ( k ，凡) f o rt d ( k ，n ，1 ) a ( k ，a ) - g d d i ss a i dt ob er e s o l v a b l e ，d e n o t e db y ( k ，a ) 一r g d d , i fi t sb l o c k s c a nb e p a r t i t i o n e di n t op a r a l l e lc l a s s e s ，e a c hp a r a l l e lc l a s sb e i n gap a r t i t i o no ft h e p o i n ts e t , t 5 w ea l s ou s e ( u ，k ，入) 一r b i b dt od e n o t ear e s o l v a b l e ( v ，k ，a ) - b i b d i t i sw e l lk n o w nt h a tat d ( k ，n ) i se q u i v a l e n tt ok 一2m u t u a l l yo r t h o g o n a ll a t i n 1 c h li n t r o d u c t i o n 2 s q u a r e so fo r d e r 礼a n dar e s o l v a b l et d ( k ，n ) ( d e n o t e db yr t d ( k ，n ) ) i se q u i v a l e n t t oat d ( k + 1 ，n ) d e f i n i t i o n1 2a d e s i g n ( v ，侈) i ss a i dt ob es u p e r - s i m p l ei fib 1nb 2i 2f o ra n y t w o b l o c k sb 1 ，b 2 唇a n db 1 b 2 r e s o l v a b l eg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n sa r ef u n d a m e n t a l d e s i g n sf o rt h ec o n s t r u c t i o no fo t h e rd e s i g n s t h ec o n c e p to fs u p e r - s i m p l ed e s i g n sw a si n t r o d u c e db y g r o n a ua n dm u l l i ni n 【2 6 t h ee x i s t e n c eo fs u p e r - s i m p l ed e s i g n si sa ni n t e r e s t - i n ge x t r e m a lp r o b l e mb yi t s e l f , b u tt h e r ea r ea l s os o m eu s e f u la p p l i c a t i o n s f o r e x a m p l e ，s u c hs u p e r - s i m p l ed e s i g n sa r eu s e di np e r f e c th a s hf a m i l i e s 【3 7 】a n d c o v e r i n g 【6 】，i nt h ec o n s t r u c t i o no fn e wd e s i g n s 【5 】a n di nt h ec o n s t r u c t i o no fs u - p e r i m p o s e dc o d e s b e l o w a r es o m ek n o w nr e s u l t so nr e s o l v a b l eg r o u pd i v i s i b l e d e s i g n sa n ds u p e r - s i m p l eg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n s f o rm o r ei n f o r m a t i o na b o u t s u p e r - s i m p l ed e s i g n s ，s e e 【1 4 ，1 5 ，2 5 ，2 l2 9 t h e o r e m1 1 ( 2 0 - 2 3 ，2 8 ，3 1 _ 3 6 】) t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o ra4 - r g d do ft y p e g u ，n a m e l y , 牡4 ，g u 三0 ( m o d4 ) a n dg ( u 一1 ) 三0 ( m o d3 ) ，a r ea l s os u f f i c i e n t e x c e p tf o r ( g ，乱) ( 2 ，4 ) ，( 2 ，1 0 ) ，( 3 ，4 ) ，( 6 ，4 ) ) a n dp o s s i b l ye x c e p t i n g ： 1 g 三2 ，1 0 ( m o d1 2 ) ：g = 2 ，札 3 4 ，4 6 ，5 2 ，7 0 ，8 2 ，9 4 ，1 0 0 ，1 1 8 ，1 3 0 ，1 4 2 ，1 7 8 ， 1 8 4 ，2 0 2 ，2 1 4 ，2 3 8 ，2 5 0 ，3 3 4 ，3 4 6 ；g = 1 0 ，乱( 4 ，3 4 ，5 2 ，9 4 ；g 【1 4 ，4 5 4 】u 4 7 8 ，5 0 2 ，5 1 4 ，5 2 6 ，6 1 4 ，6 2 6 ，6 8 6 a n du 1 0 ，7 0 ，8 2 ) ； 2 g 三6 ( m o d1 2 ) ：g = 6a n du 6 ，5 4 ，6 8 ) ；g = 1 8a n du 1 8 ，3 8 ，6 2 ) ； ：， 3 g 兰9 ( m o d1 2 ) ：g = 9a n du = 4 4 ； 4 g 兰0 ( m o d1 2 ) ：g = 1 2a n d 乱= 2 7 ；g = 3 6a n du 1 1 ，1 4 ，1 5 ，1 8 ，2 3 t h e o r e m1 2 ( 【4 ，7 - 1 3 ，2 6 ，3 0 1 ) t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x c i t e n c eo fa s u p e r s i m p l e ( 4 ，a ) - g d do ft y p eg uw i t h2 入6a r e a l s os u f f i c i e n te x c e p tf o r ( a ，g ，u ) ( ( 3 ，2 ，5 ) ，( 4 ，3 ，5 ) ) t h e o r e m1 3 ( 【2 ，3 】) n e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o ra s u p e r - s i m p l e ( 5 ，2 ) - g d do ft y p e h nt oe x i s ta r e ：( 1 ) n 5 ，( 2 ) 佗( n 一1 ) h 2 三0 ( m o d5 ) ，a n d ( 3 ) i fhi so d d ，t h e nn i so d d t h e s ec o n d i t i o n sa r ea l s os u f f i c i e n t , e x c e p tf o r ( h ，n ) = ( 1 ，5 ) ，( 1 ，1 5 ) ，( 2 ，5 ) a n dp o s s i b l yf o rh 1 3 ，1 7 ，1 9 ，n = 1 5 c h li n t r o d u c f i o n 3 1 2 m a i nr e s u l t s i ti se a s yt os e et h a tt h ef o l l o w i n ga r et h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s - t e n c eo fas u p e r - s i m p l e ( 七，a ) - r g d do ft y p e g t h e o r e m1 4t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fas u p e r - s i m p l e ( k ，入) r g d d o f t y p eg ua r e ： 1 入出k - 望2 i 。 2 u 七； 3 a g ( u 一1 ) 兰0 ( r o o dk 一1 ) a n d 4 g u 兰0 ( r o o d 忌) t h e r ea r es o m ek n o w nr e s u l t sf o rt h ee x i s t e n c eo fs u p e r - s i m p l er e s o l v a b l e d e s i g n s ，e s p e c i a l l yf o rs u p e r - s i m p l e ( u ，4 ，入) 一r b i b d s ，w h e r e 入= 2 ，3 w es u m m a r i z et h e s ek n o w nr e s u l t si nt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m1 5 ( 【3 8 】) t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fas u p e r - s i m p l e ( ”，4 ，2 ) 一r b i b d ，n a m e l y , u 兰4 ( r a o d1 2 ) a n dt ，1 6 ，a r ea l s os u f f i c i e n t t h e o r e m1 6 ( 【1 9 】) t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fa s u p e r - s i m p l e ( u ，4 ，3 ) 一r b i b d ，n a m e l y , u 三0 ( r o o d4 ) a n du 8 ，a r ea l s os u f f i c i e n tw i t ho n e d e f i n i t ee x c e p t i o nf o r 钉= 1 2 i nt h i st h e s i s , w ef o c u so nt h ee x i s t e n c eo fa s u p e r - s i m p l er e s o l v a b l eg r o u p d i v i s i b l ed e s i g nw i t hb l o c ks i z ef o u ra n di n d e xt w o i nc h a p t e r4 ，w es h a up r o v e t h ef o l l o w i n gm a i nr e s u l t s t h e o r e m1 7t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fas u p e r s i m p l e ( 4 ，2 ) 一 r g d do ft y p e9 1 a r ea l s os u f f i c i e n tp o s s i b l ye x c e p tf o r ( g ，让) = ( 1 2 t ，2 7 ) ，w h e r e t = 2o rt 兰1 ( r o o d2 ) c h a p t e r 2r e c u r s i v ec o n s t r u c t i o n s f o ro u rr e c u r s i v ec o n s t r u c t i o n s ，w es h a l lu s et h ef o l l o w i n gs t a n d a r dr e c u r - s i v ec o n s t r u c t i o n s ，t h ep r o o f so fw h i c hc a nb ef o u n di n 【1 7 1 c o n s t r u c t i o n2 1 ( i n f l a t i n g ) i ft h e r ee x i s t sa s u p e r - s i m p l e ( 礼，入1 ) 一r g d do ft y p e h ua n das u p e r - s i m p l e ( k ，a 2 ) r g d do ft y p eg n ，t h e nt h e r ee x i s t sas u p e r - s i m p l e 一 、一，- 一 ( k ，入a a 2 ) 一r g d do ft y p e ( g h ) u c o n s t r u c t i o n2 2 ( b r e a k i n g u pg r o u p s ) i f t h e r ee x i s t sas u p e r - s i m p l e ( k ，a ) 一r g d d o ft y p e ( g h ) ma n das u p e r - s i m p l e ( 忌，a ) 一r g d do ft y p eg ，t h e nt h e r ee x i s t sa s u p e r - s i m p l e ( k ，a ) - r g d do ft y p eg 概 f r a m e sh a v e b e e ni n s t r u m e n t a li nt h ec o n s t r u c t i o n so fd e s i g n sw i t hr e s o l v a b i l i t y t h ed e f i n i t i o no ff r a m ei sa sf o l l o w s i f ( z ，9 ，召) i sa ( k ，a ) - g d d ，t h e nw e s a yt h a tas e t 尸c 召o fb l o c k si sa _ z o f e l ，p a r a l l e lc l a s sw i t hh o l eg 9p r o v i d e dt h a t p i sap a r t i t i o no fx c a ( k ，入) g d di sc a l l e da ( k ，a ) - f r a m ei fi t sb l o c ks e tc a n b ep a r t i t i o n e di n t oh o l e yp a r a l l e lc l a s s e s t h ek n o w nr e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo f 4 一f r a m e so ft y p e9 1 a n ds u p e r - s i m p l e ( 4 ，2 ) - f l a m e sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s t h e o r e m2 1 ( 【1 6 _ 1 8 ，2 4 ，3 3 ) t h e r ee x i s t sa4 - f r a m eo ft y p eg ui fa n do n l yi fu 5 ， g 兰0 ( m o d3 ) a n dg ( u 一1 ) 三0 ( m o d4 ) ，e x c e p tp o s s i b l yw h e r e 1 g = 3 6a n du = 1 2 ； 2 g 三6 ( m o d1 2 ) a n d ( a ) g = 6 ，a n du 【7 ，2 3 ，2 7 ，3 5 ，3 9 ，4 7 】； ) g = 3 0 o rg 【n ：6 6 n 2 1 9 0 a n dt 正 7 ，2 3 ，2 7 ，3 9 ，4 7 ) ； ( c ) g 4 2 ，5 4 u n ：2 2 0 2 礼1 1 2 3 8 ) a n du 2 3 ，2 7 ) ； ( d ) g = 1 8a n du 1 5 ，2 3 ，2 7 l e m m a2 2 ( 3 8 1 ) t h e r ee x i s t sas u p e r - s i m p l e ( 4 ，2 ) 一f l a m eo ft y p e1 2 uf o ra n y 仳 5a n d u 隹 1 4 ，1 9 t h ep r o o fo ft h ef o l l o w i n gb a s i cc o n s t r u c t i o nc a na l s ob ef o u n di n 【1 7 1 4 c h 2r e c u r s i v ec o n s t r u c t i o n s5 c o n s t r u c t i o n2 3 ( w e i g h t i n g ) l e t ( z ，9 ，b ) b eag d dw i t hi n d e xu n i t y , a n dl e t u ：x z + u o ) b e aw e i g h t i n gf u n c t i o no nx ，w h e r ez + i st h es e to fp o s i t i v e i n t e g e r s s u p p o s et h a tf o re a c hb l o c kb 统t h e r e e x i s t sas u p e r s i m p l e ( 七，入) 一 f r a m eo ft y p e u ( z ) ：z b ) t h e nt h e r ee x i s t sas u p e r - s i m p l e ( k ，a ) - f r a m eo f t y p e 正喊u ( z ) ：g i 卧 t h en e x tt w or e c u r s i v ec o n s t r u c t i o n sa r es i m i l a rt oc o n s t r u c t i o n s2 1a n d2 2 ， w e j u s ts t a t et h e mw i t h o u tp r o o f c o n s t r u c t i o n2 4i ft h e r ee x i s t sa 佗一f l a m eo ft y p e ：1 a n das u p e r - s i m p l e ( k ，a ) - r g d do ft y p eg 付，t h e nt h e r ee x i s t sas u p e r - s i m p l e ( k ，入) 一f r a m eo ft y p e ( g h l ) ( g h t ) 饥 c o n s t r u c t i o n2 5i ft h e r ee x i s t sas u p e r - s i m p l e ( k ，a ) 一f r a m eo ft y p e ( g r l ) u 1 ( g r t ) 铆 a n das u p e r - s i m p l e ( k ，入) - f r a m eo ft y p eg n + 1 ，l i t ，t h e nt h e r ee x i s t sas u p e r - t s i m p l e ( 七，入) 一f r a m eo ft y p eg u ，w h e r eu = 1 + r i u i t = 1 t op r e s e n tt h en e x tc o n s t r h c t i o n , w en e e dt h en o t a t i o no fa ni n c o m p l e t er e s o l v a b l eg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n , d e n o t e db y ( k ，a ) - i r g d do ft y p e 夕( u , h ) d e f i n i t i o n2 1a n i n c o m p l e t er e s o l v a b l eg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n ( k ，入) 一i r g d do ft y p e 夕( u ， ) i saq u a d r u p l e ( 彤，9 ，7 ，召) w h i c hs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： 1 i 彤i = g u ，9 = g 1 ，g 2 ，g t ) i sap a r t i t i o no f 疋i n t ou s u b s e t so fc a r d i n a l - i t yg ，7 - = a l ，g 2 ，a h 冬9 ( t h eg ia r eg r o u p sa n dt h e 咒i sah o l e ) i sa c o l l e c t i o no fs u b s e t so fx t 2 a n yp a i ro fd i s t i n c tp o i n t so fx w h i c ho c c u r si nag r o u po rt h eh o l ed o e s n o to c c u ri na n yb l o c k o t h e r w i s e , i to c c u r si ne x a c t l y 入b l o c k so f 召， 3 t h ec o l l e c t i o no fb l o c k sbc a nb ew r i t t e na sad i s j o i n tu n i o n 层= puq w h e r epi sp a r t i t i o n e di n t op a r a l l e lc l a s s e so f 疋a n dqi sp a r t i t i o n e di n t o i n c o m p l e t ep a r a l l e lc l a s s e s ，w h i c hi sap a r t i t i o no f 彤冗 n o ww eg i v ear e c u r s i v ec o n s t r u c t i o nf o rs u p e r - s i m p l er g d d sb yu s i n g s u p e r - s i m p l ei r g d d s i t so b v i o u st h a tas u p e r - s i m p l e ( k ，a ) - i r g d do f 哆p e 夕( 1 ) i sas u p e r s i m p l e ( k ，a ) - r g d di n d e e dw h e nh = 1 c h 2r e c u r s i v ec o n s t r u c t i o n s 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 自e ! ! ! 自! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! e i ! ! ! e ! 。暑。m ,i = 皇暑 c o n s t r u c t i o n2 6 ( f i l l i n gi nh o l e s ) l e th i = g r i ，1 i t s u p p o s et h a tt h e r e e x i s t sa s u p e r - s i m p l e ( k ，a ) - f r a m eo ft y p eh l h 2 h t ，as u p e r - s i m p l e ( k ，入) i r g d d o ft y p eg ( r i + h , h ) f o re a c hi ，1 i t 一1 ，a n das u p e r - s i m p l e ( k ，a ) 一r g d do ft y p e t 旷撕，t h e nt h e r ee x i s t sas u p e r - s i m p l e ( k ，a ) 一r g d do ft y p e 夕u ，w h e r e 让= 九+ r i i = l p r o o f ：s u p p o s e ( z ，9 ，b ) i sas u p e r s i m p l e ( k ，入) - f r a m eo ft y p eh lh 2 h t t h e g r o u pg ic o r r e s p o n d st o 告h o l e yp a r a l l e lc l a s s e sh ，1s 歹冬监k - 1 l e ty = g 0 1 ，g 0 2 ，g o b ，i g 眦i = g ，i = 1 ，2 ，h f o re a c hg i 9 ， 1 i t 一1 ，c o n s t r u c to nt h ep o i n ts e tg iuy as u p e r - s i m p l e ( k ，a ) 一i r g d do f t y p eg ( r i + h , h ) w i t h 监k - 1p a r a l l e lc l a s s e s 卑，1 js 咎，a n d 查必k - 1i n c o m p l e t e p a r a l l e lc l a s s e sq 5 ，1 f 眢f o rg t 9 ，c o n s t r u c to nt h ep o i n ts e tg tu y as u p e r - s i m p l e ( k ，a ) 一r g d do ft y p eg 叶 w i t h x ( a , + g h - g ) p a r a l l e lc l a s s e s 群，1s js 一, 、( h t 七+ 一9 1 h - g ) t h u s ，研u 碍i sap a r a l l e lc l a s so nzu yf o ra n y1 js 等a n di = 1 ，2 ，t f u r t h e r , 巧十对u ( uq ：) i sa l s oap a r a l l e lc l a s so n 疋uy f o ra n y1 i = l f 查桦t h e n ，i ti s n o td i f f i c u l tt oc h e c kt h a ta l lt h e s ep a r a l l e lc l a s s e sa r et h e d e s i r e dp a r a l l e lc l a s s e so fas u p e r - s i m p l e ( k ，入) r g d do ft y p eg uo nt h ep o i n ts e t 疋uy ，w h e r eu = h + n 口 c h a p t e r 3c o n s t r u c t i o n sf o rs m a l l d e s i g n s i nt h i sc h a p t e r , w es h a l lc o n s t r u c ts o m es m a l ld e s i g n sw h i c hw i l lb eu s e d a si n p u td e s i g n sf o ro u rr e c u r s i v ec o n s t r u c t i o n s f o rm o s to fo u rd i r e c tc o n s t r u c t i o n s , w ea d o p tt h ef a m i l i a rd i f f e r e n c em e t h o d ，w h i c hi ss i m