（应用数学专业论文）一类时滞van+der+pol型方程拟周期解的存在性.pdf

摘要 本文阐述了o d e 求拟周期解的方法和p 。f d e 如何借用o d e 的方法求系统的拟周期 解，并且详细讨论了一类时滞v a nd e rp o l 型方程的拟周期解的存在性 关键词：v a nd e rp o l 方程；h o p f 分支；平均系统；中心流形；拟周期解 a b s t r a c t t h i sp a p e ri l l u s t r a t e dh o wt oo b t a i nt h eq u a s i p e r i o d i c a ls o l u t i o n so fo d ea n dh o w t oo b t a i nt h eq u a s i - p e r i o d i c a ls o l u t i o n so fr f d et h r o u 【g ht h eo d e m e t h o d ，a n df u r - t h e rd i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo ft h eq u a s i p e r i o d i c a ls o t u t i o n so ft i m e - d e l a yv a nd e rp o l e q u a t i o n k e yw o r d s ：v a nd e rp o le q u a t i o n ；h o p fb i f u r c a t i o n ；m e t h o do fa v e r a g i n g ；c e n t e r m a s a f f o l d ；q u a s i - p e r i o d i c a ls o l u t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意 学位论文作者签名日期 聊7 、2 多 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印，缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 日 学位论文 指导教师签名 日期 电话； 趔 竺望：垒哆 矿牛8 一，) 7 知) y v 邮编。筐! ! ： 引言 近些年，周期扰动的研究引起人们的广泛注意，见文献【2 ，4 ，1 3 ，1 4 】，其中周期扰动 非线性系统i j o p f 分支尤为引起人们的兴趣运用的方法主要有：中心流形定理、更替定 理、规范型和平均法文献【4 以常微分方程为背景利用平均法和对平均方程的研究讨， 论了周期扰动系统后，系统拟周期解的存在性，所考虑的系统为 口( t ) = 户( f ，k ) + 卢【五1 ( ) s i n ，t + i 2 ( k ) c o s u t l ) ， 文献【2 】将文献【4 】的方法推广到泛函微分方程中，运用c 空间分解法和积分平均法，并 且得到了一系列有意义的结果 本文在文献【2 ，4 】基础上，首先阐述了o d e 和r f d e 在周期扰动情况下求拟周期解 的方法，并详细讨论了时滞v a nd e rp o l 型系统 ( t ) - i - ( 3 a c k ) x 2 ( t ) 一) i ( t ) - t - x ( t r ) + b ( k ) x 3 0 r ) = 印( s i n w t + c 0 8 u t ) ( t ) 拟周期解的存在性 1 o d e 求拟周期解方法的阐述 1 1 拟周期解的定义 我们以个具体方程为例，给出拟周期解的定义 考虑方程 - i - 嵋z rc o sc # t = 0 ，( 1 1 ) 这里0 r l ，c o o 为( 1 1 ) 的固有频率，u 为( 1 1 ) 的周期解扰动频率 方程( 1 1 ) 等价于下面的三维自治系统 胯k ，( x , y , 8 ) e r l x r lx s l , n 。， 这里s 1 = 【0 ，2 7 r ) 方程( 1 2 ) 的流为 c t ( = o ，y o ，) = 0 ( t ) ，9 ( t ) ，w t + 6 0 ) 这里 ，x ：= c 。l 磅c o s ( 咖。+ 岛8 i n 峋t + a c o s u t a = 刀上7 ，研和q 为常数 w n 一 在晶= 0 建立一个截面 = ( ( 茹，剪，日) r 1x r l s 1 l e = 0 0 ，2 丌) ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 由( 1 4 ) 可得( l 1 ) 的p a i n c a r d 映射为：p ：e 一芑， ( ；) 一( 意磊蓑霉) ( ；) + ( 艺三搿) 一劫 假设篇= 无理数，那么对于平面上除了( z ，口) = ( 五，0 ) 外所有的点，每个点对应的轨 道将稠密的填满上的个圆，它对应着$ 一y 一日空间的个不变二环面这些点所对 应的解将在环面上无限次旋转，走过环面上的每一个点，这样的解叫做拟周期解 1 2 方法的阐述 我们考虑二维系统 口( t ) = f 0 ，k ) - i - 卢i a l ( ) s i n w t + a 2 ( ) c 0 8 卅( f ) ( 1 , 6 ) 2 其中口：0 1 ，抛) 7 k 是分支参数，和口是实的参数，并且0 1 ，五1 ( 女) 和五( 女) 是 2 2 的常数阵 假设卢= 0 时，系统( 1 6 ) 在女= b 时存在h o p f 分支，下面考虑系统( 1 6 ) 在经历 h o p f 分支时加上周期扰动所起的作用，即p 0 的情况 郴) _ 鼍) 脚囊j _ l 2 在= k o 时，a o ( k ) 有一对纯虚根 1 = i a o 和a 2 = - - i a o ，即a o a = ) q a ，口= c + i d ， 钾6 = a 2 b ，6 = e + i ，利用这些特征向量，考虑变换 口；2 ( c u z + d t 2 ) ( 1 7 ) 把( 1 6 ) 线性部分化成对角形式，得到 吐；山( ) t + e 卢 a 1 ( k ) s i n w 十以2 ( ) c o s w t u + 9 ，砷 ( 1 8 ) 这里吲札订刖砷= ( 蒜：蹦m 郴啪，圳并且 删= ( 糍蒜糍蕊) 纠囊 g = ( 9 1 ，鲰) 1 是非线任硼 对系统( 1 8 ) 进行尺度变换，令“= s j $ ，系统( 1 8 ) 化为 扛，f i x + e 芦b o ( k o ) z + 删圳枷：( 帅越弦帖5 ( b 岛2 批非( k o 曲) x 唧j z 钆k ) + e ( 篆麓引俐心钳“，动 扎。， 赳j = 0 小= 咖川，蜘，= ( - - 锄d r 02 ) ，掣一硒 对( 1 0 作时间变换r = w t ，并引进去谐参数r ，它由等式u = 蛳( 1 一聊) 定义为7 寻 求( 1 | 9 ) 的调和解，作如下变换，令 每】= o s i n ( j 下+ ，z 2 ；a c o s ( , 1 - + 钟 其中j = o o 巾，忽略d 忙2 ) 项，( 1 9 ) 化为 巨巢麓簟篡磁+ a 2 x ( 2 圳 1 琴= 击p 铲x 十e n ( 咖+ 嘶+ p x ) 】 ”一。 3 令- ，= ( 二次调和共振) ，对( 1 1 0 ) 进行积分平均得到 毳簋a 陋t + 。篙篙罩裟黑；) + a s s 扯 in 筹= e南 d 肛+ 所c 0 8 2 伸+ 目) ) 。叫 令磐= o 雾= 0 ，解得非平凡解。满足的方程为 一( 矗2 + s 2 ) + 2 a 2 f ( r a o + s 占o ) p + s a o v + ( 勘p ) 2 + ( 印叩+ 而2 一( b v ) 2 = 0 ( i 1 2 ) 所以 知= 地堕墅型型监零霉e 匦圣型( i 1 3 ) v “。十o 下面考虑这个非零解的稳定性令n = 0 0 + m ，庐= 粕+ 屹得到关于非平凡解的线性 变分方程为 墨d v 一5 、d 。p + f 1 7 s i n 2 + ! ：3 ，动v z + 3 a o 册c o s 2 + 口m ，(1“)2 i 学= a o s v z 一2 7s i n 2 ( o + 口) 吲 u 工纠 设( 1 1 4 ) 有形如泖( 芦，- 蛳) 的解，那么p 所满足的特征方程为 p 2 2 p ( 2 n 3 r + a o p ) 一4 n 3 卢，y 【r8 i n 2 ( 如+ 口) + s c o s 2 ( 妒o + 口) 】= 0 ( 1 1 5 ) 把( 1 1 1 ) 式中咖2 ( 加+ 和c o s 2 ( 砬o + 口) 代入( 1 1 5 ) ，解得 p = ( 如p + 2 。3 r ) 士而丽i 赢i 面i 丽再石再面( 1 1 6 ) 因此。如果非平凡解满足条件 碚r o ，因此所对应的平均变分方程在脚= 一! 皆产生h o p f ：黻， 由文献【4 】可知这时系统( 1 6 ) 存在一个拟周期解， 4 2 r f d e 如何借用o d e 的方法 本节我们考虑二维非线性r f d e 圣c 亡) = l ( k ) z t + 于( t ，研，k ) + e n a l ( k ) s i n w t + a 2 ( 七) 0 0 s 习茹( t ) ( 2 1 ) k 为分支参数，为实参数，0 e l ，l ：c 一舻连续线性算子，a 1 ，也为2 ) c2 常数阵，c = c ( l - r ，o l ，r 2 ) ，对任意i ；p g ，l 妒i | = s u pi _ p ( 8 ) i ，定义吼g 为 - - , s a s o 现( p ) = z o + 0 ) ，一r sf s0 z = ( 。l ，现) r 假设系统( 2 1 ) 在k = k o 时存在h o p f 分支。 令掣= k b ，系统( 2 1 ) 化为 圣( t ) = l ( e p ) z t + ，( f ，：t g t ，u ，芦)( 2 2 ) s = ，+ 卢【a 1 ( ) s i n a , t 十a 2 ( k ) o 卅。( t ) ，方程( 2 2 ) 的解算子定义为t ( t ) ：c c ， ( 妒) = t ( t ) 妒设a 为丁( t ) 的无穷小生成元，则a 可以表示为 删= 篙翟肿砌枷”篙 ( 2 s ， 于是( 2 2 ) 可写成 e ( t ) = a ( e ，p ) 。t + x o f ( t ，t t ，p ，所( 2 4 ) 其中 砀；x o ( s ) = ：二阶单位阵一：i ； 0 的条件，文【3 1 给出了分 析时滞工渤口昭方程h 。p f 分支公式，即c d o ) 的表达式，经过计算我们把公式筒化为 g ( 。) = 一互1 印霄蜀，( 。) + t 印霄，( o ) 哲( 。) 一互1 i 印，( 。) 十印已霄铲( 。) 一尹1 州- 蜀口( o ) 一；印羽以o ) ( 3 3 ) 其中印，n ，历，c 的定义见文 3 1 由文 3 1 我们知道 定理3 1 系统p 印在芦= o ，= 一时存在h o p j k ，k o 的定义见文御引理 令系统( 3 1 ) 中卢= o ，= 一钿+ p ，即考虑系统 窑( t ) + ( 3 0 ( 一+ p ) z 2 ( t ) 一( 一硒+ p ) ) 圣o ) + 七o r ) + 6 ( 一而+ p ) z 3 0 r ) = o ( 3 4 ) 由于，( o ) ：0 ，冗o ) = 缸( 一硒) ，( 0 ) = 1 ，( o ) = 0 ，9 ( 3 ( o ) = 6 6 ( 一硒) ，我们很容易算得 觑仍( o ) ：毛幽塑幽必等雾鬻黑嚣业趔螋螋( 3 5 ) 历= 2 r e c x ( 0 ) 一坐世螋镶高葬貉糕产业鲤型5 一1 再丽铲干丽而刁2 3 陋( 一o ) 一r b ( - ) 】( 3 7 ) 这里我们用到下面这样的事实： 等 墨业o - o r 旺 0 ，b ( k ) 0 ， 且满足等臀 l ，那么系统( s s j 在芦= o ，= - k o 所发生的舶玎分支是上临界的，且 h o d 分支的周期解是轨道渐进稳定的 下面考虑卢0 时系统( 3 1 ) 拟周期解的存在性，特别考虑周期扰动频率接近2 0 0 的 情形首先把( 3 1 ) 写成如下形式 ， ，z 。岛肛，娜= ( 。+ p ，；。- 。r ( ) + + 3 芦( s ) i 。n 2 w ( o ) t + 。，。，。，) 挚呐蒯，+ e # a 。掣侧町以吲讣删厕删固( ：) 【( 岳) 驴o ) = 哇钒忙，p ) 蠡+ f x 乎“，o ，圣孟( t ，+ 磊，毛以卢) 他= ( 二言) ，屯 = ( 毫2 ) 面= 矗( o ) = j 1 印e ，而= 古( o ) = 一；印。 伊 e = 印一j 1 岛印r ，f = 1 k o + r 靠) ，= ( e 2 + f 2 ) “肛) 是a ( ，p ) 在钆上的限制，对( 3 1 1 ) 进行时间变换，令w t = r 1 则 童( t ) = 乱( 丁) t | = ( 珏l ，t 坦) r ， 8 脚 渤 唧 o p 磊= 雪 + 疗) = p + u 口) 型蚌一， 一r s0 0 ( 3 1 2 ) 为了寻求( 3 1 1 ) 的拟周期解，进步引入一个去谐参数目，它由等式u = 帅( 1 一印) 所定 义，做如下变换； 鬻= c 呱c s ( 打j r ：盆 慨 it e 2 ( r ) = 口l + ) 其中j = 4 0 w o 下面讨论次调和共振情形下分支拟周期解的存在性式( 3 1 1 ) 在( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 的 变换下，并忽略o ( e ) 项，可得 鼍争= 击 e 砸o a l + e f l n a l ( s i n r + c 0 6 t ) s i n ( j r + f ) ( e c o s ( j r + f ) 一 f s i n ( j r + f ) ) 一e a ( k o ) n a o 畸s i n s ( j r + o ( e s i n ( s 1 - + f ) + f c o s ( j r + o + e b ( k o ) n a o a s ls i n 3 ( j r + ) ( f s i n ( j r + f ) 一e c o s ( j r + f ) ，( 3 1 4 ) 并= a 百 研印o l + e p 诗0 a l e n 卢a l ( s i n f + c o s t ) s i m ( j t + f ) ( f o ( j r + f ) + e s i n ( j r + f ) ) 一e a ( k o ) n a o a is i n 3 ( j t + f ) ( e c o s ( j t + ) 一f s i n ( j t + f ) + e b ( k o ) n a o a 3 1s i n 3 ( j r + f ) ( f c ( j r + f ) + e s i n ( j r + f ) ) 令j = ；，对( 3 1 4 ) 进行积分平均得到 f 名争= 啬n l 阻面+ n i , 0 ( c o s 2 ( t 一d ) 一s i n ( f 一口) ) d f ：2 n 4 ( 。( k o ) a o e - b ( k o ) f ) 】，( 3 1 5 ) 1 等= 南胁+ 卿一 n 3 ( c o s 2 ( 4 一口) + s i n ( f 一日) ) p ” 【+ o ；( 0 ( ) 口o f + 6 ( 硒) e ) 】 这里0 = a x c t a n 令簪= o ，等= 0 ，解得非平凡解叼满足的方程为 a 4 ( r 2 + s 2 ) + 2 一阻( r 矗o + s b o ) + r a o s 】+ ( p a o ) 2 + ( p 而+ 7 o 0 ) 2 一；卢2 = 0 ( 3 1 6 ) 其中r = 一3 n ( a ( k o ) e o e b ( k o ) f ) ，s = n ( a ( k o ) a o f 6 ) e ) 从( 3 1 6 ) 可以看出正根 的分布情况； 1 ) 当 肛( 忍a o + s b o ) + _ l c r o s ；彬， 奶螋掣 时，方程( 3 1 6 ) 有两个正实根，从( 3 1 6 ) 中可求得 知：业坠墅竺坚氅筹竽坐坚业些监( 3 肿) 知2 历霉零一 融r 9 2 ) 当卢面) 2 + ( 肿o + t a o ) 2 o ，m 7 。) = 一如笔( 要6 。+ 面) 因此0 0 所对应平均方程在眦= 一警产生h 。p f 分支，这样系统( 3 1 ) 存在拟周期解 参考文献 【l 】陈予恕非线性振动系统的分岔和混沌理论哦司高等教育出版社，1 9 9 3 【2 】岳锡亭，潘家齐具有限时滞v a nd e rp o l 方程的周期扰动h o p f 分支吲数学年刊，1 9 9 2 ， 1 3 5 - 1 4 2 【3 】潘家齐，岳锡亭具有限时滞l i e n a r d 方程h o p f 公式用数学年刊，1 9 9 2 【4 】n a m a c h c h i v a y a ，n s r ia n da r i a r a t n a m ，s t p e r i d i c a l l yp e r t u r e dh o p fb i f u r c a t i o z l 叨s i a m ja p p lm a t h ，1 9 8 7 ，4 7 ( 1 ) ，1 5 - 3 9 【5 】唐风军，周左益以滞量为参数的二阶时滞微分方程的h o p f 分支公式【j 】复旦学报， 1 9 9 7 ，3 6 ( 2 ) 6 】c h o w s n a n dm a l l e d - p a r e t j i n t e g r a la v e r a g i n ga n db i f u c a t i o n m ，jd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 7 7 ( 2 6 ) ，1 1 2 - 1 5 9 用b h a s s a r d n k a z a f i o n f f a n d y - h w 趿t h e o r y o f a p p l i c a t i o n so f h o p f b i f u r c a t i o n m l o n d o n m a t h ，s o c l e c t n o t r ss e r i e s ，4 1c a m b r i d g e ，u n i vp r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 8 1 【8 】h a l e ，j k t h e r o yo fn m c f i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 7 7 【9 】s w i g g i n s i n t r o d u c t i o nt oa p p l i e dn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s r e m sa n dc h a o s 嗍s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 0 1 0 】h a l e j k o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i