2014届全国各地高考押题数学（文科）精选试题分类汇编9：圆锥曲线.doc

2014届全国各地高考押题数学（文科）精选试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 （2014新课标高考压轴卷（一）文科数学）已知椭圆方程,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为（）abc2d3【答案】c【解析】由题意知双曲线的焦点在轴上.椭圆的一个焦点为,椭圆实轴上的一个顶点为,所以设双曲线方程为,则,所以双曲线的离心率为,选c （2014届四川省高考压轴卷数学文试题）已知双曲线的方程为,则离心率的范围是（）abcd【答案】b （2014届广东省高考压轴卷数学文试题）已知直线,其中成等比数列,且直线经过抛物线的焦点,则（）ab0c1d4【答案】a成等比数列,直线经过抛物线的焦点,由联立解得或(舍去),. （2014届福建省高考压轴卷数学文试题）角的终边经过点a,且点a在抛物线的准线上,则（）abcd【答案】b （2014届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一）若双曲线(m0)的焦距为8,则它的离心率为（）ab2cd【答案】a （2014届新课标高考压轴卷（二）文科数学）已知双曲线的方程为,过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点p,且y轴平分线段,则双曲线的离心率为（）abcd【答案】a （2014届北京市高考压轴卷文科数学）已知抛物线的焦点f与双曲的右焦点重合,抛物线的准 线与x轴的交点为k,点a在抛物线上且,则a点的横坐标为（）ab3cd4 第二部分 (非选择题 共110分)【答案】b【解析】抛物线的焦点为,准线为.双曲线的右焦点为,所以,即,即.过f做准线的垂线,垂足为m,则,即,设,则代入,解得.选b （2014届江西省高考压轴卷数学文试题）已知有相同两焦点f1、f2的椭圆+ y2=1和双曲线- y2=1,p是它们的一个交点,则f1pf2的面积是（）a2b3c1d4【答案】c （2014届湖北省高考压轴卷 数学（文）试题）已知双曲线右支上的一点到左焦点与到右焦点的距离之差为8,且到两渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为 【答案】 【解析】:因为双曲线右支上的一点到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为8,所以,又因为点到两条渐近线的距离之积为,双曲线的两渐近线方程分别为和,所以根据距离公式得,所以,即,又因为,所以,离心率.故选. （2014届安徽省高考压轴卷数学文试题）设是双曲线是上下焦点,若在双曲线的上支上,存在点满足,且到直线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率是（）abcd【答案】b【解析】 过作与点,因为 所以即解得即,选b （2014新课标高考压轴卷（一）文科数学）若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线的离心率是（）abc或d【答案】c 【解析】因为是2和8的等比中项,所以,所以,当时,圆锥曲线为椭圆,离心率为,当时,圆锥曲线为双曲线,离心率为,所以综上选c （2014届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）过抛物线y2 =2px(p0)的焦点f且倾斜角为60o的直l与抛物线在第一、四象限分别交于（）ab两点,则（）a5b4c3d2【答案】c （2014届海南省高考压轴卷文科数学）设m(x0,y0)为抛物线c:x2=8y上一点,f为抛物线c的焦点,以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交,则y0的取值范围是（）a(0,2)b0,2c(2,+)d2,+)【答案】答案:c 考点:抛物线的简单性质. 分析:由条件|fm|4,由抛物线的定义|fm|可由y0表达,由此可求y0的取值范围 解答:解:由条件|fm|4,由抛物线的定义|fm|=y0+24,所以y02 (13)x24y23=1 (14)16(15)mb0), 因为离心率为,所以=,解得=,即a2=2b2. 又abf2的周长为|ab|+|af2|+|bf2|=|af1|+|bf1|+|bf2|+|af2|=(|af1|+|af2|)+(|bf1|+|bf2|)=2a+2a=4a,所以4a=16,a=4,所以b=2,所以椭圆方程为+=1. （2014届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）已知双曲线c:与抛物线y2=8x有公共的焦点f,它们在第一象限内的交点为m.若双曲线c的离心率为2,则|mf|=_.【答案】 5 （2014届海南省高考压轴卷文科数学）已知双曲线x2a2y2b2=1（a0，b0）和椭圆x216+y29=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_【答案】考点:圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质. 分析:先利用双曲线x2a2y2b2=1（a0，b0）和椭圆有相同的焦点求出c=7,再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求出a=2,即可求双曲线的方程. 解答:解:由题得,双曲线x2a2y2b2=1（a0，b0）的焦点坐标为(7,0),(7,0),c=7: 且双曲线的离心率为274=72=caa=2.b2=c2a2=3, 双曲线的方程为x24y23=1. 故答案为:x24y23=1. （2014届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）已知双曲线的一个焦点与抛线线的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为_.【答案】【解析】抛线线的焦点. （2014届辽宁省高考压轴卷数学文试题）已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线的焦点相同.则双曲线的方程为_ .【答案】 【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程,属于容易题. 由渐近线方程可知 因为抛物线的焦点为(4,0),所以c=4 又 联立,解得,所以双曲线的方程为 （2014届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二）设椭圆 (.为常数且),和轴正方向交于点,和轴正方向交于点,为第一象限内椭圆上的点,则四边形面积在最大值为_.【答案】 （2014届新课标高考压轴卷（二）文科数学）过点m(2,0)的直线m与椭圆两点,线段的中点为p,设直线m的斜率为,直线op的斜率为k2,则k1k2的值为_【答案】 -1/2 （2014届福建省高考压轴卷数学文试题）焦点在轴上,渐近线方程为的双曲线的离心率为_.【答案】 三、解答题（2014届福建省高考压轴卷数学文试题）已知抛物线的焦点为f2,点f1与f2关于坐标原点对称,直线m垂直于轴(垂足为t),与抛物线交于不同的两点p.q,且.()求点t的横坐标;()若椭圆c以f1,f2为焦点,且f1,f2及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为1. 求椭圆c的标准方程; 过点f2作直线l与椭圆c交于a,b两点,设,若的取值范围.【答案】解:()由题意得,设, 则,. 由, 得即, 又在抛物线上,则, 联立.易得 ()()设椭圆的半焦距为,由题意得, 设椭圆的标准方程为, 由,解得 从而 故椭圆的标准方程为 ()方法一: 容易验证直线的斜率不为0,设直线的方程为 将直线的方程代入中得: 设,则由根与系数的关系, 可得: 因为,所以,且. 将式平方除以式,得: 由 所以 因为,所以, 又,所以, 故 , 令,因为 所以,即, 所以. 而,所以. 所以 方法二: 【d】1)当直线的斜率不存在时,即时, 又,所以 【d】2)当直线的斜率存在时,即时,设直线的方程为 由得 设,显然,则由根与系数的关系, 可得:, 因为,所以,且. 将式平方除以式得: 由得即 故,解得 因为,所以, 又, 故 令,因为 所以,即, 所以. 所以 综上所述: （2014届天津市高考压轴卷文科数学）设分别是椭圆:的左、右焦点,过倾斜角为的直线与该椭圆相交于p,两点,且.()求该椭圆的离心率;()设点满足,求该椭圆的方程.【答案】解:()直线斜率为1,设直线的方程为,其中 设,则两点坐标满足方程组 化简得, 则, 因为,所以 得,故, 所以椭圆的离心率 ()设的中点为,由(1)知 由得 即,得,从而.故椭圆的方程为 （2014届新课标高考压轴卷（二）文科数学）已知椭圆c:的离心率为,以原点o为圆心,椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线相切()求椭圆c的标准方程()若直线l:与椭圆c相交于a、b两点,且求证:的面积为定值在椭圆上是否存在一点p,使为平行四边形,若存在,求出的取值范围,若不存在说明理由.请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.【答案】()解:由题意得 椭圆的方程为. ()设,则a,b的坐标满足 消去y化简得 , ,得 =. ,即 即 = . o到直线的距离 = = 为定值. ()若存在平行四边形oapb使p在椭圆上,则 设,则 由于p在椭圆上,所以 从而化简得 化简得 (1) 由知 (2) 解(1)(2)知无解 不存在p在椭圆上的平行四边形. （2014届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二）已知曲线上任意一点到直线的距离与它到点的距离之比是.(i)求曲线的方程;(ii)设为曲线与轴负半轴的交点,问:是否存在方向向量为的直线,与曲线相交于两点,使,且与夹角为?若存在,求出值,并写出直线的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:()设为曲线上任意一点,依题意 化简:,为椭圆,其方程为 ()设直线, 由 消去得: 设,中点, 则, (1) 依题意:,与夹角为,为等边三角形, ,即,(2) 由(2)代入(1):, 又为等边三角形,到距离, 即, 解得:即,经检验方程有解, 所以直线的方程为: （2014届重庆省高考压轴卷数学文试题）已知点,是抛物线上相异两点,且满足.()若的中垂线经过点,求直线的方程;()若的中垂线交轴于点,求的面积的最大值及此时直线的方程.【答案】解:(i)当垂直于轴时,显然不符合题意, 所以可设直线的方程为,代入方程得: 得: 直线的方程为 中点的横坐标为1,中点的坐标为 的中垂线方程为 的中垂线经过点,故,得 直线的方程为 ()由(i)可知的中垂线方程为,点的坐标为 因为直线的方程为 到直线的距离 由 得, , 设,则, ,由,得 在上递增,在上递减,当时,有最大值 得:时,直线方程 （2014届江西省高考压轴卷数学文试题）如图,在矩形中,分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设,.()求直线与的交点的轨迹的方程;()过圆上一点作圆的切线与轨迹交于两点,若,试求出的值.【答案】解:(i)设,由已知得, 则直线的方程为,直线的方程为, 消去即得的轨迹的方程为 (ii)方法一:由已知得,又,则, 设直线代入得, 设, 则 由得, 即, 则, 又到直线的距离为,故. 经检验当直线的斜率不存在时也满足 方法二:设,则,且可得直线的方程为 代入得, 由得,即, 则,故 （2014届山东省高考压轴卷文科数学）已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,一个顶点为,且其右焦点到直线的距离为3.()求椭圆方程;()设直线过定点,与椭圆交于两个不同的点,且满足.求直线的方程.【答案】【解析】(1)设椭圆方程为, 则 令右焦点, 则由条件得,得 那么,椭圆方程为 (2)若直线斜率不存在时,直线即为轴,此时为椭圆的上下顶点, ,不满足条件; 故可设直线:,与椭圆联立, 消去得: 由,得 由韦达定理得 而 设的中点,则 由,则有. 可求得 检验 所以直线方程为或 （2014新课标高考压轴卷（一）文科数学）给定抛物线,是抛物线的焦点,过点的直线与相交于、两点,为坐标原点.()设的斜率为1,求以为直径的圆的方程;()设,求直线的方程.【答案】()解:又直线的斜率为1,直线的方程为:,代入,得:,由根与系数的关系得:,易得中点即圆心的坐标为,又, 所求的圆的方程为:. ()而,直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为: ,代入,得:,由根与系数的关系得: ,或, 直线的方程为: （2014届广东省高考压轴卷数学文试题）在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为4的圆位于轴右侧,且与轴相切.(1)求圆的方程;(2)若椭圆的离心率为,且左右焦点为.试探究在圆上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).【答案】解:(1)依题意,设圆的方程为 圆与轴相切, 圆的方程为 (2)椭圆的离心率为 解得 , 恰为圆心 (i)过作轴的垂线,交圆,则,符合题意; (ii)过可作圆的两条切线,分别与圆相切于点, 连接,则,符合题意 综上,圆上存在4个点,使得为直角三角形 （2014届浙江省高考压轴卷数学文试题）设抛物线c:的焦点为f,经过点f的直线与抛物线交于a、b两点.(1) 若直线ab的斜率为2,当焦点为时,求的面积;(2) 若m是抛物线c准线上的点,求证:直线的斜率成等差数列.【答案】【解析】设抛物线c:的焦点为f,经过点f的直线与抛物线交于a、b两点. (1)若,求线段中点m的轨迹方程; (2) 若直线ab的方向向量为,当焦点为时,求的面积; (3) 若m是抛物线c准线上的点,求证:直线的斜率成等差数列. 解:(1) ,直线, 由得, , (2)显然直线的斜率都存在,分别设为. 点的坐标为. 设直线ab:,代入抛物线得, 所以, 又, 因而, 因而 而,故. （2014届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形的周长为. (i)求椭圆的方程;(ii)设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于两点,试问:在轴上是否存在定点,使成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】【解析】(i)由题意知:,且, 解得, 椭圆的方程为. (ii)易求得右焦点,假设在轴上存在点(为常数),使. 当直线的斜率不存在时,则,此时, ,解得或. 当直线的斜率存在时,设, 联立方程组,消去整理得, 设,则 当即时,为定值: 由可知,在轴上存在定点,使成立. （2014届辽宁省高考压轴卷数学文试题）已知抛物线上的点到焦点的距离为,()求的值;()如图,已知动线段(在右边)在直线上,且,现过 作的切线,取左边的切点,过作的切线,取右边的切点为,当,求点的横坐标的值.xyabmn辽宁省高考压轴卷 数学(文)试【答案】解答:()抛物线即,准线方程为: xyabmn , 点到焦点的距离为, 抛物线的方程为 ()设, 切线的方程为:,即, 同理可得切线的方程为: 由于动线段(在右边)在直线上,且, 故可设, 将代入切线的方程得,即, 同理可得, ,当时,得 , , 得或(舍去) （2014届海南省高考压轴卷文科数学）在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆c：x23+y2=1.如图所示,斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆c于a,b两点,线段ab的中点为e,射线oe交椭圆c于点g,交直线x=3于点d(3,m).()求m2+k2的最小值;()若|og|2=|od|oe|,求证:直线l过定点;2014海南省高考压轴卷数学【答案】解:()设y=kx+t(k0), 由题意,t0,由方程组&y=kx+t&x23+y2=1,得(3k2+1)x2+6ktx+3t23=0, 由题意0, 所以3k2+1t2,设a(x1,y1),b(x2,y2), x1+x2=6kt3k2+1,所以y1+y2=2t3k2+1, 线段ab的中点为e,xe=3kt3k2+1,ye=t3k2+1, 此时koe=yexe=13k. 所以oe所在直线方程为y=13kx, 又由题设知d(3,m). 令x=3,得m=1k,即mk=1, 所以m2+k22mk=2, ()(i)证明:由()知od所在直线方程为y=13kx, 将其代入椭圆c的方程,并由k0,解得g(3k3k2+1,13k2+1), 又e(3kt3k2+1,t3k2+1),d(3,1k), 由距离公式和t0,得 |og|2=(3k3k2+1)2+(13k2+1)2=9k2+13k2+1, |od|=9+1k2=9k2+1k, |oe|=（3kt3k2+1）2+（t3k2+1）2=t9k2+13k2+1. 由|og|2=|od|oe|, 得t=k, 因此直线l的方程为y=k(x+1),所以直线l恒过定点(1,0) （2014届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一）已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.()求椭圆的方程;()已知动直线与椭圆相交于.两点,若线段中点的横坐标为,求斜率的值.【答案】解:()因为满足 , , 解得,则椭圆方程为 ()将代入中得 , 因为中点的横坐标为,所以,解得 （2014届北京市高考压轴卷文科数学）已知椭圆c:的离心率为,其中左焦点. ()求出椭圆c的方程;() 若直线与曲线c交于不同的a、b两点,且线段ab的中点m在圆上,求m的值.【答案】解:(1)由题意得, 解得: 所以椭圆c的方程为: (2)设点a,b的坐标分别为,线段ab的中点为m, 由,消去y得 点 m在圆上, （2014届安徽省高考压轴卷数学文试题）( )已知椭圆的焦点坐标是,过点垂直与长轴的直线交椭圆与两点,且.(1)求椭圆的方程(2)过的直线与椭圆交与不同的两点,则的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.【答案】【解析】(1)设椭圆的方程是, 由交点的坐标得:,- 由,可得- 解得- 故椭圆的方程是- (2)设,不妨设 设的内切圆半径是,则的周长是, , 因此最大,就最大- 由题知,直线的斜率不为0,可设直线的方程为, 由得,- 解得 则- 令则 则- 令 当时,在上单调递增, 有, 即当时,所以, 此时所求内切圆面积的最大值是 故直线,内切圆的面积最大值是- （2014届上海市高考压轴卷数学（文）试题）本题共3小题,第()小题4分,第()小题6分,第()小题6分. 已知椭圆的左,右两个顶点分别为、,曲线是以、两点为顶点,焦距为的双曲线.设点在第一象限且在曲线上,直线与椭圆相交于另一点.()求曲线的方程;()设、两点的横坐标分别为、,求证为一定值;()设与(其中为坐标原点)的