（应用数学专业论文）konnoasaikakuhata方程的协变延拓结构.pdf

首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 摘要 由w a h l q u i j 3 t 和e s t l 如r o o k 提出的延拓结构理论是处理可积的非线性演化方 程的强有力工具。但由于它的延拓结构方程是非协变的，于是g u o 等人利用 非线性联络理论对非线性演化方程建立了一套协变延拓结构理论。该理论 的优点是指出了协变延拓结构的几何理论。 本文就是基于协变延拓结构理论，构造了k o n n o a s a i k a k u h a t a 方程 的s l ( 2 ，r ) r ( j d ) 的延拓结构，通过取两维和一维的延拓空间，我们分别得到 了k o n n o 等人所给的反散射方程以及r i c c a t i 方程，另外我们还给出了可积方 程的贝克隆变换。 关键词：可积方程，协变延拓结构，贝克隆变换 k o n n o a s a i k a k u h a t a 方程的协变延拓结构 a b s t r a c t t h ep r o l o n g a t i o ns t r u c t u r et h e o r yp r o p o s e db yw a h l q u i s ta n de s t a b r o o ki sa p o w e r f u lt o o lf o rt h ea n a l y s i so fn o n l i n e a ri n t e g r a b l ee q u a t i o n s i n c et h ep r o l o n g a t i o n s t r u c t u r ee q u a t i o ng i v e nb yw - ea r en o tm a n i f e s t l yc o v a r i a n t ，g u oe ta 1 p r o p o s e da c o v a r i a n tp r o l o n g a t i o ns t r u c t u r et h e o r yf o rt h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o nb ym e a r l s o fn o n l i n e a rc o n n e c t i o nt h e o r y t h em e r i to ft h i sp r o l o n g a t i o ns t r u c t u r e st h e o r yi s 七h a ，t i tg i v e st h ep r o l o n g a t i o ns t r u c t u r e sg e o m e t r yt h e o r y b a s e du p o nt h ec o v a r i a n tp r o l o n g a t i o ns t r u c t u r e st h e o r y , w ec o n s t r u c tt h es l ( 2 ，r ) r ( p ) p r o l o n g a t i o ns t r u c t u r ef o rk o n n o - a s a i - k a k u h a t ae q u a t i o ni nt h i sp a p e r b yt a l c - i n gt w oa n d o n ed i m e n s i o n a lp r o l o n g a t i o ns p a c e ，w eo b t a i nt h ei n v e r s es c a t t e r i n ge q u a ， t i o n sg i v e nb yk o n n oe ta 1 a n dt h ec o r r e s p o n d i n gr i c c a t ie q u a t i o n t h eb 盆c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n sa r ea l s ob ep r e s e n t e d k e y w o r d ：i n t e g r a b l ee q u a t i o n ，p r o l o n g a t i o ns t r u c t u r e ，b 配k l u n dt r a n s f o r m a t i o n 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结 果由本人承担 学位论文作者签名：谢涛 日期：年月日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被 查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的 标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：涂谔 日期：年月 日 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 己i 吉 丁- 口 延拓结构理论是研究( 1 + 1 ) 可积非线性微分方程的重要方法，该理论最 早由w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 在1 9 7 5 年提出，并将其应用于分析k d v 方程和非 线性薛定谔方程【1 ，2 。随后许多学者便尝试从微分几何和群论的角度来研 究非线性演化方程。其中h e r m a n n 【3 提出了具体的c a x t a n - e h r e s m n n 联络用 来讨论k d v 方程的s 1 ( 2 ，r ) 延拓结构。c r a r n p i n 等 4 忖旨出了a k n s 方程并 j s l ( 2 r ) 向量丛的联络的关系。随后，许多人又分别讨论了引力作用下的浅水波方 程，h i r o t a 方程外延拓结构，非线。| 生s c h r s d i n g e r 方程组，高阶k d v 方程的l i e 代 数，自对偶y a n g - m i l l s 方程的延拓结构以及特殊类型的非线性薛定谔方程的 外延拓结构。( 见引文( 5 】- 【1 1 】) ) 。 由于w a h l q u i s t $ 1 e s t a b r o o k 的延拓结构理论中延拓结构方程不保持协变 性，于是在8 0 年代初期g u o 等人 1 2 】在l u 1 3 ，1 4 提出的有关纤维丛上的非线性 联络理论的基础上，建立了一套协变延拓结构理论。该理论被国外同行评 价为”中国学派”( c h i n e s es c h 0 0 1 ) 的工作 1 5 】) 。对于协变延拓结构理论，它主要 是利用伴丛上的联络论，从几何量的协变性要求出发，给出了延拓结构的 基本方程。在一定条件下，只要求出基本方程的一组解，即可确定相应的延 拓结构。该理论的显著特点是其不仅保持延拓结构方程的协变性，具有清晰 的几何意义，而且便于给出反散射方程以及贝克隆变换。反应一扩散方程在 物理，生物，化学等许多领域都有重要应用，一直是人们重点研究的对象。 最近d u a n 等人 1 6 禾1 j 用该理论仔细研究了非齐次反应扩散型方程，并给出了 相应的反散射方程和贝克隆变换。 对于a k n s 系统 1 7 】，人们己对其进行了大量的研究，并给出了许多可积 方程，如k d v 方程，m k d v 方程，非线性薛定谔方程，以及正弦一戈登方程等等。 最近k o n n o 等人【1 8 】研究了一类新的反散射系统，并构造了一个新的可积方 程，即k o n n o - a s a i - k a k u h a t a ( k a k ) 方程。本论文的主要目的是利用协变延拓 结构理论对k a k 方程进行分析和研究，并给出它的贝克隆变换。 k o n n o a s a j k a k u h a t a 方程的协变延拓结构 第一章协变的延拓结构理论 1 1w - e 延拓结构理论 1 9 7 5 年w 也l q u i s 诉口e s t a b r o o k 首先提出了用c a r t a n ：外微分形式的方法来研 究非线性演化方程的理论【l ，2 】， i 口w - e 延拓结构理论，这个理论对研究1 + 1 维 的非线性方程非常有用，我们接下来就以k d v 方程为例，简单的介绍延拓结 构方法 k d v 方程为是一可积方程，其形式为： t k + t 霉茁霉+ 1 2 u u z = 0 ，( 1 ) 为讨论其延拓结构，我们首先令 z ：2p ，p ：。2t 正正正， 为新的独立变量。这样原来的方程( 1 ) 可化为如下一阶偏微分方程 地+ p 茁+ 1 2 u z = 0 ( 2 ) 我们可取下列一组微分2 一形式： q 1 = d uad t z d xad t q 2 = d zad t p d xad t ， ( 3 ) 口3 = 一砒ad x + d pad t + 1 2 u z d xad t ， 使得，= 口口) ，a = l ，2 ，3 是一个闭理想，当口口限制到流形s = u ( z ，t ) ，z ( x ，亡) ，p ( x ，亡) ) 为零时，可回到方程( 2 ) 。 现在我们引进k 个1 形式u 七 u 知= d y 七+ f 南( z ，亡，t ，z ，p ，可) 如+ g 南0 ，亡，t ，z ，p ，y ) d t ， 并要求其与q n 构成一个新的闭理想，即要求u 七满足条件 幽七= 霉：1 ( 芹ao e i + 前aw i ) ， ( 4 ) ( 5 ) 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 3 将( 3 ) 和( 4 ) 代入( 5 ) ，我们可得如下关系： t = o ，磷= o ，或+ g 名= o ， ( 6 ) 名g 乞+ p g 乞一1 2 u z g 名+ g i f 。k 矿一f i g t = 0 。 由以上方程组的可积条件，容易求出f 七和g 七的表达式为： f 后= 2 x + 2 u 砑+ 3 u 2 x t ， g 知= 一2 0 , + 6 u 2 ) 舛+ 3 ( z 2 8 u 3 2 u p ) x 2 ( 7 ) + 8 磷+ 8 u 砖+ 4 u 2 x t + 4 z z 手， 其中磷仅仅依赖于延拓变量，将( 7 ) 代入( 6 ) ，我们可以解出砖有如下对 易子关系 x 1 ，x 3 】 ，x a 】_ x t ，x 4 】= 【x 2 ，x 6 】_ 0 ， 【x l ，恐】- 一， x 1 ，* 】= x 5 ， x 2 ，x 7 】_ x 8 ， 【x 1 ，恐】+ 阢，x 4 】_ 0 ， x 3 ，x 4 】“噩，甄】+ x 7 = 0 通过这些方程我们可以得n x , 的其他的关系，【托，x 5 】_ x ，x o ， x 6 ，* 】- 甄，另外托除了与拖之外的所有的生成元都对易。值得注意的是咒，恐，* 可 以构成一个有限维李代数。 我们可以强迫以上开放的李代数封闭为一个有限维李代数。现在我们 定义新的生成元x s $ 口x 9 ，使得 阢，x 4 】= 一弱，阢，x 5 】_ x 9 ， 然后令墨= ；，是常数，并要求开始的八个生成元是线性独立的。 我们可以得到= 0 ，( m 7 ，8 ) ，岛= 一c 8 = a ，这里入是一个常数。这样我们 最终可以如下的封闭的八维的李代数： x ，托】= 一，阢，】_ 一等，阢，* 】_ 一入托， - ， x 1 ，恐】_ x 9 ，阢，为】= x 8 ， 恐，x o = t x 9 ， 4k o n n o a s a i k a k u h a t a 方程的协变延拓结构 i x - ，】_ 一等， ，托】- 一拖， 拖，玛】= 一恐一入拖， 【x 1 ，x r 】_ x 5 ，【五，恐】_ 一入玛，【，曷】= 甄， 恐，x 4 _ 一局， 五，x 8 】_ 玛，弱= a ( 曷一恐) ， 生成元拖可以与其它的生成元对易。若基底向量取为b k 三羔( 后= 1 ，8 ) ，其 中矿是延拓变量空间中的坐标集，则生成元的一组非退化的表示是 x 1 = x 2 = = = x ，= x 8 ：= + e 2 y 3 b 2 + y s b 3 + y r b 5 + ( 谵一a ) 6 8 】， + 2 b s ， + l b s + 2 y s b 8 ， 利用( 7 ) ，可写出8 个p f a f f 形式的明显的表达式， w k = 咖七+ f 忍d z + g d t ， w 1 = 咖1 + d z 一4 d r ， w 2 = 匆2 + e 2 蜘如一4 e 2 始( u + ) 出， w 3 = 魄，3 + 矿d x + 【2 z 一4 y s ( u + ) d t ， w 4 = d y 4 + 4 a d t ， w 5 = + y r d x + ( z 一6 骗) 班， 龇= d y 8 + d x + ( z 2 8 u 3 2 u p ) d r ， w 7 = d y 7 + u d x 一0 + 6 u 2 ) d r ， w 8 = 妒+ ( 2 u + 醒一a ) 如一4 ( u + a ) ( 2 u + 醒一入) 一；p 一名钠】也 ( 8 ) ( 9 ) 下面我们就利用( 9 ) 来给出k d v 方程的贝克隆变换。设k d v 方程有其他解u ， 1 7 ， h 陆 l 一2 1 2 1 3 崩 ” 一 菇 + 魄 蜘 三队 + 嘲 缸 一 十 b 鳍觚 卜 + 幻 池 珧 乎 小 + 幻 以 缈 邛p l 一2 1 2 一 一 | i i l 托 恐 ，_【 l 矿 ，12 土产 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 巨a n = = d u a 麓d t - 嚣z xa 麓d r , m 我们由p f a f f 形式u 7 得到 ( 1 1 ) 可写成： = 一u y 2 + 入， u2 3 仃正2 一， 一u ：= u z y 2 + 入= + 弛一2 ， 积分并把积分常数并入位势中，有 ， y2u u 。， 我们就得到了在时间上的分量： 5 ( 1 0 ) 以一= u + = 入一( u u 7 ) 2 ， ( 1 2 ) 再令入= 忌2 ，又得到 “+ 蚍= 4 ( ( u 7 ) 2 u 2 + t 4 - u 24 - 2 ( w u 7 ) ( z z 7 ) ) ， ( 1 3 ) 这样我们就得到k d v 方程的贝克隆变换式( 1 2 ) 和( 1 3 ) 。另外利用( 9 ) ，我们 还可给出相应的反散射方程 6 k o n n o a s a i k a k u h a t a 方程的协变延拓结构 1 2协变的延拓结构理论 由于w a h l q u i s t 和e s t 只b r o o k 的延拓结构理论中延拓结构方程不保持协变 性，g u o 等人 1 2 】在l u 1 3 ，1 4 提出的有关纤维丛上的非线性联络理论的基础 上，建立了一套协变延拓结构理论。下面我们就简单的介绍一下该理论。 对于给定的( 1 + 1 ) 维的非线性发展方程，我们很容易给出一组等价的一阶 偏微分方程，其中( z ，t ，u z ) ，f - 1 ，2 ，仡接下来我们定义一组2 一形式o t i ，使它构 成一个闭理想当这个2 一形式限制在解流行等于零，我们就得到了原方程。 现在考虑一个主丛尸( ，g ) 和p 的伴随丛e ( n ，g ，p ) ，其中n 为底空间，g 为 结构群它的代数是延拓代数，而y 是标准纤维。 然后在丛e 上定义一个截面口：n e ，其协变微分为： = d y + r ：( x ，y ) d x p ，( 1 4 ) 这罩 r ：( x ，y ) = r p al a ， a i ( y ) ， ( 1 5 ) 其中r 三( x ) 是主丛p 上的联络系数，而入：( ) 是延拓代数生成元的系数。下面 我们引进由线性联络1 一形式u t 的诱导联络： 盎、口 l 净l l d z p = 入：( 秒) 杀+ q a b 上p bl z 肌cl y 心i ( 可) 如p ， ( 1 6 ) 用群g 作用在纤维y 上便诱导出y 上的坐标变换，在该坐标变换下，诱导 联络l ：是线性的。通过利用诱导联络l ：“就能定义如下的协变外微分： d + u = d w + 蟛八= - 兰。一f p p ) 、口id 一一z p d x p + 石1 j i 知aw 七， ( 1 7 ) 1 d + 髟= 蟛+ l a 骘= 百a n 舡ip d x pa 如p ， ( 1 8 ) 这里的和蟛知分别是主丛p 上的曲率系数和纤维空间中的挠率系数。 它们可表达成如下形式： = 雾一筹+ b f e - p y l ! b 王，a z p 。v p p 琢= 芍雾叫筹， 略p ：警一警州i 脚l ，i 嘞1 ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 7 如果我们把底空间n 上的闭理想i 延拓成为丛e 上的闭理想，= ，) ， 就可以可以得到：d + c ，7 。利用( 1 7 ) 以及闭理想条件，我们可得到下列用 于决定延拓结构的协变得基本方程： 擘入群 ? k0 ， ( 2 2 ) ；尴詹八= 前a 、。 这里的以和前分别是底空间n 上的。一形式和1 一形式。 最后要指出的是：对于给定的非线性系统，在求出上述基本方程的一组 解以后，我们可以完全决定它的的延拓结构。以上我们协变的延拓结构理 论做了简单的介绍，现在我们就拿m k d v 方程作例子，利用以上的协变的延 拓结构方法对其进行分析研究 m k d v 方程为 t 正t + u 茁茁茁+ 6 u 2 t 正$ = 0 我们把它写成一组一阶偏微分方程的形式 ( 2 3 ) z = 仳$ ，p = z z ，地+ m + 6 u 2 z = 0 ( 2 4 ) 在五维空间g ( x ，亡，u ，z ，p ) 中，我们可以定义一组2 一形式为 a l = c l uad t z d xad t ， 口2 = d zad t p d xad t ， ( 2 5 ) a 3 = 一d uad z + 咖ad t + 6 u 2 z d xad t 这样，= ，zi - - 1 ，2 ，3 ) 是一个闭理想。当这2 一形式限制在解流形上时等 于零，我们可以重新得到原方程。根据根据前面介绍的协变理论，我们假定 延拓结构存在，伴丛e ( n ，y ，g ，p ) 上的截面上的一阶协变微分形式为 u = d y i + r ：( z ，秒) 如牡， ( 2 6 ) 这里z u 为( 。，t ，u ，z ，p ) 。 8 k o n n o a s a i k a k u h a t a 方程的协变延拓结构 r i = 一五1 ，f i = o ，r i = 一若， r 扣丢( p + 2 u 2 ) ，r l 黾r 2 = 扣+ 2 饥3 + 以 r i = 一考入i 一若入；， r 净丢( p + 2 乒) a i + 名a ：+ 丢( p 十2 u 3 + 舢) a 未 x - = 2 咖( 2 一j 瓦0 ，= 厂彳( y 2 + 1 ) 品， 恐= 2 p 佩品 纨：一( 丢咖一2 厂乳一万i 俩2 ) ， 纨= 一伽( 屈一u 2 一百p ) 一仃( 2 j d + 2 + 4 u 3 ) y 一伽( 筹+ u 2 + 几) 可2 x ，= 2 厅i ：y 2 丽07 x 酽o j , ， 篓三岩黎y 1 恐= j d 仃( y 2 羔+ 羔) 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 让u 限制在u 上等于零，我们得n 2x2 的逆散射方程： 匕= 一 k = 一 程。 铜问卜 一仃( 孚川 。 厂 西z 仃( p + 2 护+ 筹忻+ + 伽2 ) 9 问川扛- 鲁v 乡, p z 伽咖勺卜 l 这里y = ( y 1 ，y 2 ) t ，通过变量变换，这些方程可以表达成通常的a k n s 方 ，一 1 0k o n n o a s a i k a k u h a t a 方程的协变延拓结构 第二章k o n n o a s a i k o 后钆九砒o ( k a k ) 方程的 协变延拓结构 2 1 零曲率方程 对于方程 2u 妒 ( 2 7 ) l 融=y 妒， 其中元素中包含谱参数a 以及z ，亡为自变量的m 为向量函数u ( x ，t ) 及其各阶导 数为使方程( 2 7 ) 有解，要求妒满足垆霉t _ ，由此，得 仉一k + 【以v 】= o ，其中【配v 】= u v y u 这个方程在微分几何中称为零曲率方程。适当选择阢u ，可以导出许多孤 子方程。很多学者，比如美国的阿布洛维茨，考普等考虑下述形式的一阶方 程组( 简称z s a k n s ) 取 矿= ( 入聂) ，y = a 二二) ， c 2 8 ， 这里a 、b 、c 是含有谱参数入及函数g ，r 及其各阶导数的函数这时，零曲 率方程可写成 t 兰毫溉 ， 为了具体起见，取a 、b 、c 为入的三次多项式【1 9 】， a = z o a j ，b = 3 b ，c = 3 勺 代入( 2 9 ) ，比较a 的各次幂得，可以得到 以及 a = 趣入3 + 胡入2 + ( 警卯+ 口o ) a - - 4 a 。( q 吃一r ) + 譬旷+ 韶， b = i a o q x 2 + ( a - - - f f q z + 记o q ) a + 差口0 ( 一岱茁2 9 。r ) 一譬+ i n 2 9 ， 3 。 肚i a 。r a 2 + 篷2 州 + 翘。+ 2 矿) + 参棚2 r ， 以上是g ，r 联立的非线性偏微分方程，适当选取g ，r ，可以将上述方程约化 为一个方程，比如将a 、b 、c 按a 的正幂次展开，适当取值之后我们可以得到 非线性s c 打d 威n 夕e 7 方程 q t + 6 9 2 如十黝= 0 ， ( 3 2 ) 伯格方程 t l t = 2 u 一互， 以及k d v 方程( 1 ) ，m k d v g t f $ = 早( 2 3 ) 。 ( 3 3 ) 我们也可以按按入的负幂次展开，适当取值之后可以得到正弦一戈登方程 和双曲正弦戈登方程 t 霉t = s mu ， t = s h u ( 3 4 ) ( 3 5 ) 韶n 心罐 + n 仍 化 + 施 力 一 矿勺 一 幻 蕾 一 一霉 0 ：文k1虿遥n 旷 6 r “ 盼 一 l 一 娥 一 一 i l i i 吼 n k o n n o a s a i k a k u h a t a 方程的协变延拓结构 2 2k a k 方程u 一 前面我们介绍了a k n s 系统，接f 来研冗的一个新的反散射方程【1 8 】，在 这里我们把u 取成 u = ( 誊冀u ) ， v 取成 y = ( c a - b a ) ， c 3 7 ， 通过计算相容性条件，我们有 a 2 u t a z + a q c a r b= 0 ， a 吼一b z + 2 a 2 u b 一2 a q a = 0 ， ( 3 8 ) 入n q 一2 a 2 u c 一2 a r a = 0 ， 取a ，b ，c 为 a = 入4 a 4 ， b = 入3 8 3 + a b l ，( 3 9 ) c = 入3 侥+ a c l ， 其中a 是一个常数， b 3 = 兰a 4 ，b 1 = 瓦1 。石q ) 。a ，t 正z uu ( 4 0 ) 岛= 三a 4 ，c - = 一_ 1 石r 2 u ) 嚣a 4 uu 解方程可以得到一个新的方程 f 地一丢( 詈) z a = o ， g t 一互l 【石ll 石q ) z 】z a 4 = o ， ( 4 1 ) 【n + 互l 【_ 【l 石r ) 小a 4 = o ， 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 2 3k a k 方程的协变延拓结构 1 3 以上我们介绍- j k a k 方程，下面我们就用协变延拓结构的方法来对该 方程进行具体的讨论研究 令u z ：阢吼= q ，= r 为新的独立变量，我们可以定义在八维空间= z 1 ，z 2 ，孤x 4 , z 5 ，z 6 ，z 7 ，z 8 ) = z ，t ，t ，g ，r ，阢q ，r ) 中的一组二形式： 口1 = d uad t u d xad t ， 口2 = 由ad t q d xad t ， 0 1 3 = d rad t r d xa d t ， q 4 = 如八砒一( 丢望a 4 一警a 4 ) 如八出， a 5 = 如八由+ ( 3 2 ( q u - u 4 q u ) u a 4 一丢学a 4 ) 如八出， 拈如八出+ ( 互3t ( r u - r u ) u 小丢等等如仙 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 可以验证，= ，z = 1 ，6 ) 是一个闭理想。当这二形式限制在解流形 上时等于零，我们可以重新得到方程( 4 1 ) 。 现在我们对此引用协变延拓结构理论，先写出下列一形式： u = 匆+ r 三( x ，y ) d x p = d y + r 小i ，、口i 如p ， ( 4 8 ) 其中r ：是联络系数，是生成元的系数。且满足 ，7 = 口1 ，& 2 ，口3 ，口4 ，q 5 ，a 6 ，u ) 是一个扩展的闭理想。其中的为延拓变量，而整数i 取决于延拓代数的表 示空间的维数。用协变延拓结构理论基本方程，我们把口i 带入基本方程( 2 2 ) ， 我们可以得到 1 4k o n n o a s a i k a k u h a t a 方程的协变延拓结构 f z 2 + r 3 砖鼍笋小警伽一碱3 ( q uu q u ) u a 4 】 + h 。 罢垡半a 4 】一f 2 3 u 一局4 q 一局s r = 0 - ，、 。 一等a 也扎警小玛7 _ 0 一瓮警a 4 一马8 = o ，只6 = f 1 7 = 乃8 = o ，凡= o ，( p ，= 3 ，4 ，8 ) 解方程( 4 9 ) ，我们可以得到： r = 2 p v r p u ，f i = 、- p q ，r = r ， r ；= 2 矿似，r ；= 矿伽( 三) a + 尝( 三) 善a ， r ；= p 2 ( 三) a 4 - 瓦1 ( 三) 霉钆 其它的联络系数都等于零，其中延拓代数为s f ( 2 ，r ) x 冗( p ) ，其生成元为： = 入黝瓦0 ，口= 1 ，2 ，3 ( 5 。) 现在让我们取两维的线性空间作为延拓空间，对于这种情况，延拓代 数s f ( 2 ，r ) xr ( p ) 的生成元如下给出： x ，= 譬0 2 刍一可1 杀) ，x 2 - - - - 伽2 导，捣= 一倒1 刍， c 5 1 ， 对于方程( 4 1 ) ，我们要瓤t i c ，= 0 ，我们可以得到k o n n o 等人给出的反散 ( y y 2 1 、= = mf ，秒y 2 1 ) ，( ：) 。= ( ：) ， c 5 2 ， m = 皤罨心p r u 节p q u ) ， ， 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 和 1 5 = ( 警罨) ( 譬a 翁。a 舡第a ) ( 5 4 ) 墨= 俩品，恐= 伽2 品，恐= 一p 南 ( 5 5 ) 从而就可以得到尉c 积i 方程 纨= 一p q y 2 2 p 2 u y + r p ， y t = 一2 p 4 a 4 秒一 p 3 墨a 4 + 毛( 笺掣) 柚秒2 + p ar u a 4 一毛( 瓮竽) a 4 ) 为给出贝克隆变换，我们首先对( 5 6 ) 作变换( ，p ) 一( 一y ，一p ) 得到 一纨= 一p q 7 y 2 + 2 p 2 u 7 y r p ， 将( 5 8 ) 和( 5 7 ) 两式相加可以得到 0 = 一p ( q 一矿) y 2 2 p 2 ( u 一) 可+ p 对方程( 5 9 ) 求解，可得 j 9 ( t 正一u 7 ) 士v p 2 ( u u t ) 2 + ( q 9 7 ) 7 一r 7 ) - p ( u 一“7 ) 干 b y 。_ = 百j 万一。 f 刁厂 其中b ：p 2 ( u 一) 2 + ( q g ，) ( 7 一r i ) ( 5 6 ) 力 砷 仁 1 6k o n n o a s a i k a k u h a t a 方程的协变延拓结构 将( 6 0 ) 对x 求导可得 2 纨= 盘逊名岩严( g _ 口，) 霉 + - - 2 p ( q - - q t l ) g v w - b 千2 p 2 ( u - u ) ( q _ q t ) 2 v - g ( u 卅干警( 6 1 ) = 士万y 2 ( 化土2 刀訾干警， 比较( 5 6 ) 和( 6 1 ) ，可以很容易得到贝克隆变换在空间方向上的分量： ( u u 7 ) 霉= 干j d ( u + 仳7 ) 、仁；孓石= i 刁f 了弋孑二i 万万一二i 可， 同样对( 5 7 ) 作变换( 秒，力一( 一y ，一力可得 ( 6 2 ) 一纨1 叫3 q 7a 4 + 南( 参) $ a ) y 2 + 2 p a a 4 芗一 ，孑r i 也一南( ；) 以) ，( 6 3 ) 将( 5 7 ) 和( 6 3 ) 两式相减，可以得到 2 纨= 一p 3 u q + ( 岳) 】a 产驰兰) 霉+ ( 籼锄2 4 p 4 a 4 秒+ 矿【三+ ( 孑r i ) 】a 4 一鲁 三三+ ：刍( ；) 】， ( 6 4 ) 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 比较( 6 3 ) 和( 6 4 ) ，可以得到贝克隆变换在时间方向上的分量： ( u u ，) t = 干2 矿厂面j 万耳百= 两同a ， ( 口一口7 ) t = 千矿( 三+ ( r r ，) t = q 乱 千啦( 孙专( 别 ：f p 3 士鲁 匠 ( 三) 。+ 专( 划 1 7 ( 6 5 ) i 、u + r u 1 8k o n n o a s a i k a k u h a t a 方程的协变延拓结构 参考文献 1 】h d w a h l q u i s ta n df b e s t a b r o o k ，j m a t h p h y s 1 6 ( 1 9 7 5 ) 1 2 】f b e s t a b r o o ka n dh d w a h l q u i s t ，j m a t h p h y s 1 7 ( 1 9 7 6 ) 1 2 9 3 【3 】3r h e r m a n n ，p h y s r e v l e t t 3 6 ( 1 9 7 6 ) 8 3 5 4 】m c r a m p i n ，f a e p i r a n ia n dd c r o b i n s o n ，l e t t m a t h p y h s 2 ( 1 9 7 7 ) 1 2 5 5 】h c m o r r i s ，j m a t h p h y s 1 7 ( 1 9 7 6 ) 1 8 7 0 ，j p h y s a 1 2 ( 1 9 7 9 ) 2 6 1 【6 】j p c o r o n e s ，j m a t h p h y s 1 7 ( 1 9 7 6 ) 7