（计算数学专业论文）边界耦合热方程组不同时淬火现象的数值模拟.pdf

大连理i t 大学硕士学位论文 摘要 带有初边值问题的抛物型方程或方程组的淬火理论方面的研究已经取得很多成果， 但对其淬火现象的数值模拟还做的为数不多，特别是在方程组淬火现象的数值模拟方 面 本文模仿单个方程淬火现象的数值模拟的思想，对边界耦合热方程组的不同时淬火 现象进行数值模拟通过估计淬火时刻淬火元作为空间变量x 的函数在工= 1 附近的近似 函数，对求解区域建立相应的非均匀网格再利用抛物型方程的差分形式以及对边值问 题处理方面的知识，在已经得到的不均分网格节点上建立差分方程组，并利用t h o m a s 算法和n e w t o n 法求解最后对应用估计得出的非均匀网格的模型与应用均分网格、以 及选取的另一种不均分网格的模型的计算结果做出对比 关键词：边界耦合热方程组；不同时淬火现象；空间离散化；非均匀网格；数值模拟 大连理工大学硕士学位论文 n u m e r i c a ls i m u l a t i o no nn o n - s i m u l t a n e o u sq u e n c h i n g f o rh e a te q u a t i o n sc o u p l e do nt h eb o u n d a r y a b s t r a c t t h e o r ya b o u tq u e n c h i n gf o rp a r a b o l i ce q u a t i o no re q u a t i o n sw i t hn i t i a lb o u n d a r y v a l u e p r o b l e mh a sb e e nr e s e a r c h e dw i d e l y ，b u tn u m e r i c a ls i m u l a t i o no nq u e n c h i n gh a sb e e n d o n e n o tt o om u c h , e s p e c i a l l yo nq u e n c h i n gf o re q u a t i o n s i nt h i sp a p e r , w ed ot h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no nn o n s i m u l t a n e o u sq u e n c h i n gf o rh e a t e q u a t i o n sc o u p l e do nt h eb o u n d a r y ，i m i t a t i n gt h ew a yo fs i m u l a t i o no nq u e n c h i n gf o ro n e e q u a t i o n a tt h em o m e n to fq u e n c h i n g ，t h r o u g he s t i m a t i n ga p p r o x i m a t ef u n c t i o no f q u e n c h i n gc o m p o n e n tw r t x ，i nt h en e i g h b o r h o o do f x = 1 ，w e e s t a b l i s ht h en o n - u n i f o r m g r i dt od i s c r e t es o l u t i o ns p a c e t h e n ，t h ed i f f e r e n c ea l g o r i t h ma n dk n o w l e d g ea b o u tb o u n d a r y t r e a t m e n ti su s e dt oe s t a b l i s hn o n l i n e a re q u a t i o n s a n dw eg i v ei t ss o l u t i o nm e t h o db ym e a n o ft h o m a sa l g o r i t h ma n dn e w t o na l g o r i t h m f i n a l l y ，c o m p a r i s o n so fr e s u l t sb e t w e e nm o d e l o fu s i n gn o n - u n i f o r mg r i dt h a ti so b t a i n e da c c o r d i n g l yt oe s t i m a t i o na n dm o d e lo fu s i n g u n i f o i t n e dg d do ra n o t h e rn o n - u n i f o r mg r i dh a v eb e e nm a d eo u t k e yw o r d s ：h e a te q u a t i o n sc o u p l e do nt h eb o u n d a r y ；n o n s i m u l t a n e o u sq u e n c h i n g p h e n o m e n o n ；s p a t i a ld i s c r e t i z a t i o n ；n o n u n i f o r mg r i d ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。一 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 作者签名 大连理工大学硕十学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者签名： 导师签名： e l 期： 日期： 年j 丛日 年j 月尊日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 淬火现象的研究始于1 9 7 5 年k a w a r a d a 【1 】对奇异反应扩散方程丝a t = 害+ i 的研 究他证明，无论方程的解甜在何处达到值“：1 ，不仅奇异项爆破，孚也要发生爆破这 优 种解本身保持有界而其某种导数( 尤其是_ o u ) 爆破的现象，后来被很多人称为淬火现 象继 1 之后，淬火现象吸引了很多人的注意和研究，涉及的问题，模型各种各样， 淬火的定义也拓展了，但是定义的核心意思仍然是：随着时间的增加，方程( 组) 产生 奇异的值下面，我们介绍一下单个方程和方程组的有关淬火的一些经典文章 1 1单个方程的淬火理论 单个方程的文章比较多，f i l a 和l e v i n e 在1 9 9 3 年的文章【2 里研究了带边界条件的热 方程问题 锄a 2 甜 百一万西苏 和垆o ， 伽( 0 ，1 ) ( o ，丁) ， i n ( o ，丁) ， 擎( 1 ，) = - u - a ( 1 ，f ) ，m ( o ，丁) ， o t u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，埘o ，1 】 的淬火现象他们通过构造辅助函数，运用最大值原理，证明了但t 接近r 时， u ( 1 ，f ) ( 丁一f ) 而万，且罢( 1 ，f ) 爆破 优 f e r r e i r a ，p a b l o ，q u i r o s 和r o s s i 在2 0 0 4 年的文章 3 】研究了带非线性边界流的非线 性扩散问题 罢：a ( 材州宝- ) i o x , m ( 0 ，1 ) ( o ，丁) ，0西、x 7 、7 ” 材”一o 优u ( o ，f = m m - i ( ，加( 。，丁) ， 扩1 罢( 三，) ：0 ， a t 、一 u ( x ，0 ) = ( x ) 0 ， m ( o ，r ) ， i n o ，l 】 大连理1 = 大学硕士学位论文 其中m 0 显然这是一个快速扩散方程他们主要研究了解的淬火速率，他们 发现有两种可能，一种是自然速率，即 1 l i m ( t f ) ”1 u ( o ，f ) = c o ； ， 另一种是超快速率，即 上 l i m ( t - t ) ”- 1u ( o ，f ) = 0 i 进而他们研究了这两种情形与参数m 和三的关系，得到结论： ( 1 ) 若m 一1 ，则淬火速率总是自然速率； 1 ( 2 ) 设一1 m 1 ，则“，总是同时淬火； ( 2 ) 若0 p ，q l ，则同时淬火与不同时淬火都有可能发生 f e r r e i r a ，p a b l o ，q u i r o s 和r o s s i 在2 0 0 6 年的文章 6 】里研究了在边界耦合热方程组 o u伊材 西苏2 o u 、 0 ，) ：0 ， a x 娑( 1 ，f ) = - v - p ( 1 ，f ) ， 吸 u ( x ，o ) = i i o ( x ) ， 害：万0 2 v ， i n ( o ，1 ) ( o ，丁) ， 西苏2 一7 “、v 17 娑( o ，) ：o ，m ( o ，砷， 娑( 1 ，f ) = - - u - q ( 1 ，f ) ，i n ( o ，r ) ， v ( x ，o ) = v o ( x ) ，加 o ，1 1 大连理工大学硕士学位论文 他们在假定初值据有点调性材j ，“o ，“：，“ 0 的条件下，他们证明了类似的结论： ( 1 ) 若p ，g 1 ，则z ，总是同时淬火； ( 2 ) 若0 p ，g l 画，q l ； u ( 1 ，f ) ( 丁- t ) 4 ，v ( 1 ，f ) ( 丁- t ) 4 ，p = g = l ； 甜c ，i - n c 丁一，暑j ，v c ，。c 丁一，i i n ( t - t ) i - ij ，= p g 而不同时淬火时，假若v 淬火，则 v ( 1 ，f ) ( r - t ) p 1 ， 其中o f = ，夕= = 他们还得到结论：当o p g l ，或o p l 9 时，对初值 p q lp q 一1 “：( x ) 0 是满足相容性的光滑函数，得到以下结论： ( 1 ) 若p ，口 l ，则甜，v 总是同时淬火； ( 2 ) 若0 p q l 或者0 p 1 q ，则不同时淬火 1 3 淬火理论的数值模拟 下面介绍有关单个方程的淬火现象数值模拟的文章 9 】，设具有如下初值与边界条 件的热方程， 大连理工大学硕士学位论文 川罢：西o z u ， 伽( o ，1 ) ( o ，丁) ， 一面2 丽 7 ”( o ，1 ) ( o ，1 ) ， - 害- ( 1 , t ) = o ， i n ( o ，丁) ， o ，u 、0 ，f ) = - u - a ( o ，f ) ，m ( o ，丁) ， u ( x ，o ) = u o ( x ) ， i n o ，1 】 通过估计淬火时刻u ( 1 + 历x 】1 1 + 所，来建立非均匀网格使得空间离散化，并通过差分法 建立非线性方程组，求解后数值试验证明，对于任意的，方程在满足初始条件的要求 时，都会发生淬火现象 但对于方程组的淬火现象的数值模拟方面的研究不多，本篇文章就是在理论的保证 下，对耦合热方程组的不同时淬火现象做数值模拟 1 4 本文主要工作 本文首先介绍了目前对于单个方程和方程组的一些淬火理论的研究概况，并介绍了 单个方程的数值模拟，为下边的边界耦合热方程组的淬火的模拟做了一下铺垫然后接 介绍了一下本文需要的预备知识，并且在淬火理论的保证下，模仿单个方程淬火现象数 值模拟的思想，先建立使得空间离散化的非均匀网格，并建立混合非线性差分方程组， 对此方程组提出一种有效地求解方法最后，对估计得出的非均匀网格与均分网格、以 及选取的另一种不均分网格计算的结果做出对比 大连理丁大学硕士学位论文 2 预备知识 2 1 抛物型方程的差分格式 最简单的抛物型方程是一维的线性方程： 孚一昙( 口( x , t ) 娑) + d ( x , t ) ”= f ( x , t ) ，( x ，f ) q ( 2 1 ) o to xo x 在q 内，函数a 恒正，d 0 通常考虑下列两种问题定解问题： ( 1 ) 初值问题( 或称c a u c h y ( 柯西) 问题) q 为带状区域 ( x ，t ) l - o o x o o ，0 r r ) ，求 u ( x ，t ) 满足方程( 2 1 ) 和初始条件 u ( x ，o ) = 伊o ) ，- - 0 0 x 0 0 ( 2 2 ) ( 2 ) 初边值问题( 或称混合问题) q 为区域 ( x ，f ) i o x ，0 0 ， 若q ( f ) = 届( f ) 兰0 ，则成为第一类边界条件 u ( o ，f ) = 口( f ) ，u f f ，f ) = f l ( t ) ，0 t t( 2 6 ) 假定6 ( o ) = 缈( o ) ，( 0 ) = 缈( ，) 设和缈充分光滑，则上述问题有唯一充分光滑的解 2 1 1 常系数热传导方程的差分格式 为构造简单的差分格式，现将方程( 2 1 ) 简化为经典的模型问题在( 2 1 ) 中设口为正 的常数，d 兰0 。则得到常系数的一维热传导方程， t兰娶一鲁：flu a ，( 刈t ) q ( 2 7 ) 兰一了2 ，i x i s 2i 厶，i 西苏2 、 、 大连理工大学硕士学位论文 在研究分子扩散过程( 如液体的渗流，半导体材料中的杂质的扩散，材料镀层的结 合出的交融等等) 时也会遇到类似的方程，因此方程( 2 7 ) 也称为扩散方程当f = 0 时， 对初始条件( 2 2 ) ，此问题有解析解 哪) = 亡南e x p 卜譬】孵膨 用差分法求解上述问题的方法时，先对区域进行离散设是给定的正整数，取空 间步长h = 去，再取定一时间步长f ，满足f t 作两族平行直线 x = = j h ，j = o ，1 ，2 ，n ， f = = k r ，k = 0 ，1 ，2 ，m = 【二- 】 这两族直线将区域q 分割成小矩形网格，它们的交点( x j ，) 称为节点，简记为( ，七) ， 在x = o ，x = ，和r = 0 上的节点称为边界节点，其余的称为内节点( 简记为内点) 我们 的目的是求出方程定解问题的真解在( ，七) 处的解”( x ，t k ) 的近似值 ；，即定义在节点上 的网函数材： 下面对方程用差分法进行离散用适当的差商代替方程中的偏微商，就得到以下几 种最简单的差分格式 1 古典显格式 ；e - 节a ( j ，七) 上，用甜( x j , f i ) 在，方向用向前差商代替掣，用甜( x j , t k ) 在x 方向二 讲 阶中心差商代替掣，记得古典格式 锑，矿三华一口毕= ； ( 2 8 ) j = 1 ，2 ，n - 1 ；k = 0 ，1 ，2 ，m 一1 式中 j = f ( x j ，t 3 此格式用到的节点如图2 1 所示 大连理工大学硕士学位论文 、 。 “蚰 图2 1 古典显格式用到的节点 f i g 2 1 n o d e su s e do fc l a s s i c a le x p l i c i ts c h e m e 记，：等，称为网比，差分方程( 2 8 ) 又可以写以下便于计算的格式 ”；州= 朋二。+ ( 1 2 r ) u ；+ 删二。+ - ( 2 9 ) 第k + l 层由第k 层的值明显表示出来，无需解方法组，如此的差分格式称为显格式 由t a y l o r 展开，易知截断误差为 嘭( “) = 霹“( _ ，气) 一旺甜】：= 一订西1 一互1i ( 0 优2 u r ，+ 。( f 2 ) ( 2 1 0 ) = d ( f + h 2 )( 2 1 0 ) 其中( 争：是窘在矩形- 1 x _ 小 f + p 中的某点的值当“具有对x 的四阶连 续导数时，式( 2 1 0 ) 总成立但式( 2 1 0 ) 的导出需假定与t 无关，这在后面几种格式的 截断误差导出中也同样，以后不再一一指出为以后讨论方便，把古典显格式写成矩阵 形式记 u = ”? ，材：k ，“：一。】r ，f = i f , 力，一， 7 ， c = o1 lol l0l 1o 其中【，和f 是一l 维向量，c 是一1 阶矩阵 为了简化起见，设边界条件为齐次的，即a ( ，) = f l ( t ) 毫0 ，贝j j ( 2 9 ) 可以写成 u 川= 【( 1 - 2 r ) i + r c u + r f ( 2 1 1 ) 大连理工大学硕士学位论文 在节点( ，七+ 1 ) 上，用甜( _ ，气+ 1 ) 在f 方向用向前差商代替掣，用z f ( _ ，如+ 1 ) 在x 方向二阶中心差商代替掣，可得古典隐格式 酗j + 1 暮华一口笪k + l 铲, - * k + i k + l = “， ( 2 1 2 ) j = 1 ，2 ，n - 1 ；k = 0 ，1 ，2 ，m - 1 官所用引的节占如图，所示 夕，k + 1 ) 图2 2 古典隐格式用到的节点 f i g 2 2n o d e su s e do fc l a s s i c a l i m p l i c i ts c h e m e 同样利用网比的记号，此格式可以写成 嘭k 卅+ l + ( 1 + 2 r ) 甜；“一r 巧k 一+ 。l = 矿+ 彬+ 1 ( 2 1 3 ) 现在第k + l 层不能由第k 层的值明显表示出来，而要通过解一个三对角的代数方程组得 到，如此的差分格式称为隐格式引进古典显格式中同样的记号，差分方程( 2 1 3 ) 可写 成矩阵形式( 假设边界齐次) 【( 1 2 r ) i r c u “1 = u + r f 州( 2 1 4 ) 这里的系数矩阵是严格对角占优的，因此方程有唯一解，一般可用追赶法求解他的截 断误差为 蟛( “) = 群“( x j ，f 。) 一m 一玎西1 + 互1 1 ( 、0 西2 ：, 舀，1 ，k + d ( r 2 ) ( 2 1 5 ) = o ( r + h z )( 2 1 5 ) 其中( 豢) ：是可0 2 u 在矩形_ 一。 x _ + ” 0 是满足相容性条件的光滑函数 定义3 1 ( 3 1 ) 的正解( “，1 ，) 关于时间，的局部存在性可由经典理论得到记r 为解的 最大存在时间，我们注意到，该问题的边界条件在x = 1 处表示某种吸收关系，在x = 0 处 表示绝热因而直观上，其解在x = 1 处最终达到0 ( u ，v 至少有一处是如此) 如果这种 情况发生，即l i m i n f m ! n u ( x ，f ) ，v ( x ，f ) ) = 0 ，则相应的边界条件将爆破，古典解将不存，0j 1 在，我们称这种现象为淬火 命题3 1i 殳u o ( x ) ，v o ( x ) 0 ，n ( 3 1 ) 的解将在有限的时间内发生淬火 命题3 2 ( x ) ，v o ( x ) 0 ，则x = 1 是( 1 ) 的唯一淬火点 定理3 1 设( 1 ) 的解( z ，v ) 在丁时刻发生淬火， ( i ) 如果0 p ，q 1 ，且对于任意正的n o ( x ) 和( x ) 满足h 1 和h 3 条件，那么发生不 同时淬火现象； ( i i ) 如果0 p 1 q ，且对于任意正的 o ( x ) 和( 工) 满足h 2 和h 3 条件，那么发生 不同时淬火现象； 上 ( i i i ) 如果发生不同时淬火现象，理论保证1 l ，发生淬火，则v o ，t ) ( 丁一f ) 尸+ 1 ，其中 h i ：0 p q 1 ，v # p ( x ) c i - 9 ( x ) ，和0 c ( 1 一p ) ( 1 一g ) ，x 【o ，l 】 h 2 ：0 p 1 q ，v o i - p ( x ) c u 0 1 - q ( x ) 和0 c ，x o ，l 】 h 3 ：! 笋( 1 ) 甜：( 工) c 0 _ - p r - i k ( x ) 和，庠 0 参见文献 4 】，下文用此初始条件，并取k = 2 3 2 基于非均匀网格的差分格式 3 2 1 根据估计构造非均匀网格 在x = 1 处淬火时，方程组的解的梯度变得非常大，因而为了使数值模拟更加精细， 在x = l 附近应该采用比较细的网格，而在其他地方网格可以稍大一些我们可以估计 出在淬火时刻在x = l 附近，淬火元作为空间变量x 的函数的大致形状( 理论保证v 淬 火) ，由于k ( 1 ，t ) = 一材叫( 1 ，t ) ，可进行如下估计： u ( x ，f ) 圭( - v ，) 9 ，z l - ( 3 2 ) 对( 3 2 ) 式两侧求导后得 g “一9 1 k 圭1 ，n ，x 一1 一 将, ，圭一，x 寸1 一，以及( 3 2 ) 式带入( 3 3 ) 式可有 里兰 一g ( 一匕) 9 圭v p ，x 争1 一 同理可有： 丛 一p ( 虬) p 圭甜9 ，x 1 一 但是求解上面的常微分方程有一定的难度，假设有下面的形式存在， 数法求解，设 ，c o ( 1 一x ) 卢，”一c o ( 1 一x ) ，当x 专1 一 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 并利用待定系 代入( 3 4 ) 式整理可有 v c o ( 1 叫声，耕c o = ( _ 川q f l l q ) ，= 嚣 ( 3 6 ) 同理有 甜c o ( 1 叫，其中q = 万- p f f p ) ，= 高 ( 3 7 ) 在理论的保证下，我们可知v 在x = 1 处淬火，此时v = 0 ，由于o u 、1 ，f ) = 一v p ( 1 ，f ) ， n - i 推断出，“是一个关于x 的递减函数，且当x 专1 一时，甜，寸- - - o o 从而在上面假设等 大连理工大学硕士学位论文 价形式存在的条件下，只有0 l 才满足上述条件，当0 p q l 时，无论q 取什么 值都不符合条件，所以我们在上面的等价条件存在的情况下只讨论0 p q 1 这种情 况然而，如果能找到微分方程( 3 4 ) 和( 3 5 ) 的其他形式的解来估计淬火时刻x = 1 附近 的”和，也可以构造相应的非均匀网格 由以上的近似分析，我们利用估计出的非均匀离散网格来划分【o ，1 】，令 l - - q 善= ( 1 一x ) 1 - 朋，则v 与善是正好成比例，可以利用善来使空间离散化，令 毒= q - 1 5 ) ，7 = 1 ，2 ，a ，t , o 。高 ( 3 8 ) 则有 l - m x j = 1 一( h o ( i - 1 5 ) ) l - q ，f = 2 ，肘一l ，上k = 而，x m = 2 一一l ( 3 9 ) 而且x = 1 在最后两个点的中间，且对于不均匀网格的网格各分点间距为 囊+ l = 葺+ l 一薯，f = 1 ，m 一1 ( 3 1 0 ) 3 2 2 差分格式 在不均匀网格空间离散化过程中，对于二次偏微分可以采用二阶差分格式，参见文 献 9 ， 似全2 【盟吲譬磐錾粤蛔：”。( 薯) + o ( h i + 1 - 吩) ( 3 1 1 ) 红吩+ 。( 如+ 鸟+ 。) 。、”“ 、 以v 皇2 垒2 盘l j 竺譬! 差b 毒穹警】：1 ，。( ) + o ( h i + 1 - - 曩) ( 3 1 2 ) 。 曩曩+ ，( 红+ 曩+ ) 。 、”“ 、 为了加强解的稳定性我们利用隐格式和显格式的综合形式2 1 1 ，在网格的内点出方 程表示如下， 坐生：昙4 矿+ - + 矿】 ( 3 1 3 ) v a k + l 一：昙1 o + - + 矿】 ( 3 1 4 ) ， 。 、 在边界x = o 处，因为西 o x 2 ，一五= 恐而且孚( o ，f ) = o ，- ( o , t ) = 0 ，所以我们可 以利用丝，兰分别来代替譬( o ，) 和晕( o ，f ) ，推出 ，ztt,o霄o u ，一= 0 ( 3 1 5 ) 大连理工大学硕士学位论文 式， 其中 吃一v l2 0 u 1 6 ) 在x ：1 处，i 一理可有 生手纽：一旷p ( 1 ，f ) ( 3 1 7 ) 毕= 叫一9 ( 1 ，f ) ( 3 1 8 ) l m 进一步利用毕= 甜( 1 ，f ) ，毕= v ( 1 ，f ) ，代换有 华= 一( 华) 一， ( 3 1 9 ) z 毕= 一( 华) 一- 4 ( 3 2 0 ) ， z 从而可得到2 m 一2 个线件方程和2 个非线件方稗组成的非线性方程组，写成如下形 a = lo o 三+ ! o o f ( + 缟) 吃( 红+ 魄) ! ! i ! o o 呜( 魄+ 啊)彳( 呜+ )死( 吃+ ) 0 0 111l 一- 一 q ( q + ) f ( 一。+ ) ( 一。+ ) oll ( 3 2 1 ) 彳( u ，v “1 ) = 0 ， f , ( u k , v k + 1 ) 2 丽1 吒+ ( 一而b ) 扣而1 吒户2 ，3 ，埘- 1 ， 厶( u k ，v k + 1 ) _ _ ( 华广， u = ( ”一k + l ，甜3 k + 1 硌1 ) 7 1 ， x x 肌呐 ，g = | | “ “ u 矿么么 ，?l 一)一吃 4上”o ； 一红 大连理工大学硕十学位论文 蜀( 矿，u “1 ) = o ， 吕( v k , u k + 1 ) 2 志吒+ c 吾一杀寺) 咖丽“m 州 踟( v k ，u k + i 卜( 华) - g ， v = ( v k + l 屹k + l ，落+ 1 蝣1 ) r 3 2 3 算法描述 提取差分法得到的混合非线性方程组( 3 2 1 ) 式中的2 m 2 个线性方程组，记为 ，( x ) = j ，( 3 2 2 ) 其中 x = ( 甜? + 1 ，“：k + l ，夥m k + _ l ，讨+ 1 ，v 耋+ 1 ，y 嚣二) ， 岛= z ( 扩，v “1 ) ，i = 1 ，2 ，m 一1 ， s m _ l + f = g ，( y ，u “1 ) ，i = 1 ，2 ，m 一1 设线性方程组( 3 2 2 ) 式的系数矩阵设为c ，则 湖 方程组( 3 2 2 ) 可展开写成如下形式 l0 圳b 卜 n 2 3 ， ll 、7 其中矩阵b 的形式即为上节给出的矩阵么的前m 1 行的矩阵块，下面简记矩阵b 的形 式为 b = 岛c 10 6 2c 2 0 0 a 3 吃c 30 ； 0 一lk i 一l 那么方程组( 3 2 3 ) 可展开写成如下形式 大连理工大学硕士学位论文 o o o o o o ： 0 o o 0 h ，一l6 0 一lc m 1 00 0 00 0岛q 00 000 g 26 2c 20 0 000 0 巳6 3c 3 0 0 ；。 。 000 0 一l 一1 卅 “：“ 甜：+ 1 瑶+ 1 ： ( 3 2 4 ) 下边对( 3 2 4 ) 进行变形，在第一个方程的左右两边乘以一鱼加到第二个方程上，同 口2 样的，在第m 个方程的左右两边乘以一生加到第m + 1 个方程上，然后分别用三来乘 仉翻 以第一个方程和第m 个方程的左右两端，变换得到形式如下 1鱼0 岛 0 b i b 2 - - a 2 c 2 岛 0 ： 0 d oo oo oo ： oo 乞0 6 3c 3 0 o0 00 00 一i一1 - l00 01 c 1 6 l o o o o 0 0 oo 鱼毕乞o o 6 00 口36 3 巳0 0 00 一1一1 一l 材 迸+ 1 扰! + 1 ： 在对第二个方程与第m + 1 个方程进行这样的操作，依次下去便得到 一1 9 一 s 2 m 一2 一 一 + ，墨邑； 一 0 一 o q o 乞魄 q 如吩 a呸o； 锟；锟 t p ， q 一 呸一 呸一 - r 一 一一|岛 墨一4一l反黾；一岛一 旦4一一反黾；堕岛一岛 缸一 垒 锟；锟 t ， 大连理工大学硕士学位论文 o o o o 1 i s l 0l o0 0 o 0 0 o o o 船2 0 0 1 x $ 3 0 0 0 1 x s m l c 玑= s ：- - a i c u t _ ! ， a j x , s j 1 + q c e = s m - i + , - - o ，e v s - 1 ， q i s i - i + 岛 鹕一南， c u l c “ c u 3 c “m 一1 q c v 2 c v 3 n - l 当f = 1 时，c u 。= 鲁，c v j = 等，淞l = 一 qqq 通过上面的变换可有， 甜j + 1 = c u i + 鹕甜篇，0 ”= c v , + 鹕噶1 ，= 1 ，2 ，m - 1 ( 3 2 9 ) 其中c 甜，吖和淞，扛1 ，2 ，m 一1 ，在( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) 已给出，此算法为t h o m a s 算 法可以看出甜? + 1 可以由甜y 表出，甜：k + 1 可以由“，k + 1 表出，依此类推，只要求出硌1 既可 以求出u “1 同理有，只要求出v 箩1 既可以求出y “1 这里给出t h o m a s 算法中乘除法的运 算量为8 m ，加减法的运算量为5 m ，所以总共运算量为1 3 m 从上面讨论可知，只要求出靠1 和蝣1 就可以解出u “1 和v h l 下面求解啦! 和蟛1 ，把 k + 一l 。= c u m 一。+ 硝锯1 ，k + 一l ，= c v m l + 碍啦! ，代入混合非线性方程组( 3 2 1 ) 式中的2 个非线 性方程中得到 x s m j ) u m x s m 1 ) + 锄( 监 + ( 盟 一l + 1 ) v m l + 1 ) u m c u m l2 0 ( 3 3 0 ) 一c k l = 0 卅 d “ ；锟；锟 0 o 0 o o 碍 o 砚。 船0 o o ； o o 一嘞 o o o o o o o o o o o o o 、，、，、i， 6 7 8 2 2 2 3 3 3 ，l，ll 嘞一2珊一2 “一 “ 大连理工大学硕士学位论文 利用牛顿迭代法求解，其每步牛顿迭代法的运算量为刀3 刀= 2 而且一般迭代四到六步 j 即可收敛，所以这部分运算量可忽略不计 通过上面的叙述可有，在第一时问步长内，乘除法运算量为8 m ，加减法的运算量 为5 m ，所以总共运算量为1 3 m 而在以后的每个时间步长内，船。，f = l ，2 ，m 一1 ，是 已经求解出来，并且随时问步长不变的量，所以不用重复运算，即减少了运算量在以 后的每个时间步长内，除法运算量为7 m ，加减法的运算量为5 m ，所以总共运算量为 1 2 m 但要注意牛顿法具有局部收敛性，当时间步长过大以致用上一时间步的求解值作为 当前时间步的迭代初值，不在收敛域的范围内时，要适当减小f ，而且随着时间的增长， ，可能达到负值，这种情况是不允许的，在这样情况发生的情况下f 要减半并重新计 算，可以设置一个精度( 1 0 - 1 2 ) ，当结果小于这个精度就停止计算 大连理工大学硕士学位论文 4 数值实验 4 1 数值实验结果 用m a t l a b 编程，并获得淬火图像以及数值结果如下：( m = 1 0 0 2 ，p = l 2 ，q = 4 5 ，初 始t = 0 0 1 ，精度限制为1 0 - 1 2 ) 图4 1 边界耦合方程组的淬火图像 f i g 4 1 t h ep r o f i l eo fn o n - s i n a u l t a n e o u sq u e n c h i n gf o rh e a te q u a t i o n sc o u p l e do nt h eb o u n d a r y 图4 2 淬火时刻的u 、v 图像 f i g 4 2 t h ep r o f i l eo fua n dva tt h em o m e n to fq u e n c h i n g 图4 3 淬火时刻：1 的计算值；一v 的估计值 f i g 4 3 t h ep r o f i l ea tt h em o m e n to fq u e n c h i n g ：- - c o m p u t e d ；l o c a la n a l y t i c a ls o l u t i o no fv 一2 2 大连理工大学硕十学位论文 表4 1利用估计出的非均匀网格时方程组淬火时刻u 的结果 t a b 4 1 s o l u t i o no fua tt h em o m e n to fq u e n c h i n gw h e nu s i n gn o n u n i f o r mg r i dl a y e r s 表4 2 利用估计出的非均匀网格时方程组淬火时刻v 的结果 t a b 4 2s o l u t i o no fva tt h em o m e n to fq u e n c h i n gw h e nu s i n gn o n u n i f o r mg r i dl a y e r s 从表格中的数值结果可知”州旧 ，淬火时刻”0 是非淬火元；而 一 虬枷；r ，在淬火时刻v 约等于0 ，是淬火元从的在以及图表中都可以看出， 淬火时刻方程组发生不同时淬火现象，此时v 淬火 变换p 与g 的取值时，得到的淬火时刻图像如下通过随意取p 与q 的值，在经过 m a t l a b 程序运行后绘图，我们可以发现当0 p g 1 时，边界耦合热方程组( 3 0 ) 都 会发生不同时淬火现象，其中1 ，淬火，而“不淬火 图4 4p = o 1 ，q = o 9 时，方程组淬火时刻的u 、v 图像 f i g 4 4t h ep r o f i l eo fua n dva tt h em o m e n to fq u e n c h i n gw h e np = 0 1 q = 0 9 大连理工大学硕十学位论文 u 的图像v 的图像 xx 图4 5p = 0 5 ，q = 0 6 时，方程组淬火时刻的u 、v 图像 f i g 4 5 t h ep r o f i l eo fua n dva tt h em o m e mo fq u e n c h i n gw h e np = 町5 ，q = o 6 4 2 对比与讨论 上文结果是利用估计出的非均匀网格，进行空间离散化，若应用通常办法一利用 均分网格则计算，则结果如下( m = 1 0 0 2 ，p = l 2 ，q = 4 5 ，初始闻0 1 ，精度限制为1 0 - 1 2 ) ： 表4 4 均分网格情况下方程组淬火时刻u 的结果 t a b 4 4s o l u t i o no fua tt h em o m e n to fq u e n c h i n gw h e nu s i n gu n i f o r m e dg dl a y e r s 表4 5 均分网格情况下方程组淬火时刻v 的结果 t a b 4 5s o l u t i o no fva tt h em o m e n to fq u e n c h i n gw h e nu s i n gu n i f o r m e dg r i dl a y e r s 一2 4 大连理工大学硕十学位论文 表4 6 均分网格情况下时间t 的划分情况 t a b 4 6 l a y e r so f tw h e nu s i n gu n i f o r m e dg r i dl a y e r s 下面取另一种不根据淬火函数估计的非均分网格的方法来计算，空间离散化后离散 的每步步长分别堕、冬j l ，且堕+ 冬+ + j l ：1 ，利用这种空间离散芳法计 231 0 0 2231 0 0 2 算结果如下( m = 1 0 0 2 ，p = l 2 ，q = 4 5 ，初始t = o 0 1 ，精度限制为1 0 1 2 ) ： 表4 7 选取的另一种不均分网格情况下方程组淬火时刻u 的结果 t a b 4 7s o l u t i o no f ua tt h em o m e n to fq u e n c h i n gw h e nu s i n ga n o t h e ru n i n f o r m e dg r i dl a y e r s 表4 8 选取的另一种不均分网格情况下方程组淬火时刻v 的结果 t a b 4 8s o l u t i o no f va tt h em o m e n to fq u e n c h i n gw h e nu s i n ga n o t h e ru n i n f o r m e dg d dl a y e r s 比较以上三种方法，三种方法在计算方程组解循环数接近，且由于v ( r ，1 ) 位于 v ( t ，) 和v ( t ，一，) 之间( 其中t 是淬火时刻) ，所以通过均匀网格或者是没有根据淬 火函数估计的非均分网格法，这两种方法都不容易看出v ( t ，1 ) 为0 但通过根据淬火函 数估计的非均匀网格可以看出v ( t ，1 ) 趋近于零，所以这种方法能更好的描述边界耦合方 程组的不同时淬火现象 大连理工大学硕士学位论文 结论 本文对边界耦合热方程组的不同时淬火现象进行数值模拟，从数值结果来看，它给 与淬火理论有利的实践证明在本文数值试验中，对于提到的这种特殊形式的非线性方 程组，给出一种有效的求解方法并且在与选取其它网格方法的对比中，可以看出，本 文中的通过估计得到的非均匀网格这种方法能获得更好的数值计算结果 通过研究淬火时刻在x = l 附近z ，v 函数的其它近似形式，可以拓宽这种方法的应用 范围，这需要进一步研究，具有更深层次研究的意义 大连理工大学硕士学位论文 参考文献 1 k a w a r a d ah o ns o l u t i o n so fi n i t i