（电子科学与技术专业论文）基于小波分析的图像特征提取方法研究.pdf

里堕型芏垫查盔堂塑塞尘堕竺堡堡兰 a b s t r a c t t h ew a v e l e tt r a n s f o r mt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n sh a v eb e e nd e v e l o p e df u r i o u s l yi nt h el a s t d e c a d e s ，e s p e c i a l l yi nt h ef i e l do fi m a g ep r o c e s s i n g t h e s er e s e a r c h e si n d i c a t et h a tt h ew a v e l e t t r a n s f o r mc o e f f i c i e n t so fi m a g ei nd i f f e r e n ts u b - b a n di n c l u d ea b u n d a n c em e s s a g e so fi m a g e a n d d i f f e r e n ts u b - b a n dr e p r e s e n t sd i f f e r e n tm e s s a g e s t h i st h e s i si se m p h a s i so nh o wt ou s et h i s c h a r a c t e r i s t i ct oe x t r a c tf e a t u r eo fi m a g e t h i st h e s i si n t r o d u c e st h et h e o r yo fw a v e l e tt r a n s f o r m ，f i r s t l y t h e nu s i n gw a v e l e tt r a n s f o r m i nt h ei m a g ep r o c e s s i n g ，t h et h e s i sr e s e a r c h e st h ef e a t u r ee x t r a c t i o na n dr o t a t i o n - s c a l ei n v a r i a n t o fi m a g e ，a n dd r a w so u tt h e i ra r i t h m e t i c a sf a ra st h ef e a t u r ee x t r a c i i o n ，an e wm e t h o dt oe x t r a c t t h ef e a t u r e sb a s e do nt h ew a v e l e tm u l t i - s c a l et r a n s f o r mi sp u tf o r y a r d t h i sm e t h o du s e st h e e n e r g yc o n c e n t r i c i t yo ft h ei m a g e sw a v e l e tc o e f f i c i e n t st os e l e c tt h ep a r t sh a v i n gc o n c e n t r a t e d e n e r g y , a n du s e st h e s ep a r t st oc o n s t r u c tt h ef e a t u r ev e c t o r s t h i sk i n do ff e a t u r ev e c t o r si n c l u d e s t h em o s te d g e ，t e x t u r e ，l u m i n a n c ea n ds o m eo fs t r u c t u r ef e a t u r e s ，i tc a nb eu s e di nm a n yk i n d so f i m a g e sf e a t u r ee x t r a c t i o nw i t h o u ta n yk i n do f l i m i t a n di tc a ns o l v et h ep r o b l e mt h a tt h es i n g l e f e ：a t u r ee x t r a c t i o nm u s td e a lw i t ht h ef e a t u r e si l l e g i b i l i t y i nt h ee x p e r i m e n t ，n o r m a lw h i t en o i s e s h a v i n gd i f f e r e n tr a n g ea r ea d d e di n t ot h ei m a g e s ，a n dt h er e s u l ta p p o v e dt h a tt h ef e a t u r ev e c t o r s a r er o b u s tt on o i s e a i lo ft h e s ef a c t si n d i c a t e 血a tt h i sm e t h o di sf e a s i b l ea n dc a nb eu s e di nt h e i m a g em a t c h i n ga n di m a g es e a r c h i n g ，e t c t h er o t a t i o n s c a l ei n v a r i a n ti sad i 币c u l ta n dh o td i s c u s s e de u e s t i o ni nt h ew a v e l e tt h a t e f f e c tw a v e l e t si m p r o v i n g t h em e t h o du s i n gi nt h i st h e s i st r a n s l a t e st h ef i g u r ei n t ol o g 。p o l a r ，t o g e tp a r t l yr o t a t i o na n ds c a l ei n v a r i a ma tac o s to fr o ws h i f t f i r s t l y , u s i n gt h ea d a p t i v er o w s h i f t i n v a r i a n tw a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r m ，t h et h e s i sa b s t r a c t saf i g u r e sr o t a t i o n s c a l ei n v a r i a n tf e a t u r e a n dt h i sa r i t h m e t i co ft h et h e s i sc a nr e s o l v et h ew a v e l e tp a c k e t3 a n s f o r ms e n s i t i v i t yt ot h e r o t a t i o n s c a l ei n v a r i a n ti naw a y , a n dt h e nw a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r mc a nb eu s e di nt h em o r e e x p a n s i v ef i e l d k e y w o r d s ：i m a g ep r o c e s s i n g f e a t u r ee x t r a c t i o nr o t a t i o n - s c a l ei n v a r i a n t w a v e l e t t r a n s f o 肿w a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r i l l 国防科学技术大学研究生院学位论文 图目录 第2 章 图2 i 短时傅立叶变换示意图 图2 2h a r r 小波波形图 图2 3 墨西哥草帽小波波形图 图2 4m o r l e t 小波的波形图 图2 5 计算小波变换系数示意图 图2 6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图2 7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 图2 8 维函数的滤波器组 图2 9r ( r ) 的正交分解图 图2 1 0r ( 月) 的塔式分解图 图2 11m r a 与小波函数关系示意图 图2 1 2 正方块正交小波基的空间划分 图2 1 3 小波包分解空间 图2 1 4 图像小波包分解两层框图 图3 1 尺度函数 图3 2 小波函数 图3 3 矩形及其一层小波分解图一 图3 4c a r 的正面及侧面图 图3 5 是小波三层分解时第二层的水平分量的网线图 图3 6 三层分解的低频分量 图3 7 图3 5 的二维高斯拟合结果 图3 8 小波三层分解子带主成分特征提取方框图 图3 9 该算法用于车辆跟踪时的流程图 图3 1 0 网线图 图3 1 lc a r 的原圈噪声图和平移图 图3 1 2 图3 11 的处理结果 图3 ，1 3 原图和噪声图拟合对应点分布图 图3 1 4 左图方差0 0 0 5 倍高斯噪声；中图方差0 0 1 倍高斯噪声 0 0 2 倍高斯噪声 图3 1 5 图3 1 4 所示三种幅度高斯噪声图的拟合点一 图4 1n n 图像的对数极坐标变换 图4 2 实验原图：l e n a 及沁 图4 3 原图旋转1 5 度、缩放o 5 倍以后的图像 图4 4 极坐标变换和对数极坐标变换的处理结果 图4 5 自适应行移不变小波包分解单层分解示意图 图4 6 最优方案的快速选择( 自底向顶) 图4 7 自顶向底快速搜索法的流程图一 4 6 6 7 9 9 9 1 2 1 7 一1 7 1 8 2 1 一2 3 2 4 2 8 2 8 3 2 3 2 3 4 一3 5 3 6 3 6 3 7 3 8 3 9 4 l 4 2 右图方差 4 2 一4 3 4 7 4 8 ，4 8 4 8 4 9 5 0 5 l 第 i i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 表目录 表3 1 几个小波的正则性和消失矩 表3 2c a r 的三层小波分解所得各子带系数的统计特性 表3 3 原图和噪声图平移图拟合对应点的对比表 表3 4 三种幅度高斯噪声图拟合对应点的对比表 表4 1i e n a 和i c 旋转缩放后所得向量与原图所得向量的相似度 3 0 3 3 4 1 4 3 5 3 一一 第1 v 负 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题目：基i 尘遂佥堑数圈篮链燕塑煎左这噩窥 学位论文作者签名：量盔丝 日期：多叼孕年，f 月彦日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留，使用学位论文的规定本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题目：基王尘这金堑的图堡挂焦墨墼数友婆鲤巍 学位论文作者签名：兰盘查 作者指导教师张耋之难 日期：们悻f ，月陟日 日期：盛_ 口妒年f f 月h 日 国防科学技术大学研究生院学位论文 第1 章绪论 小波变换最早是由法国地球物理学家m o r l e t 于8 0 年代初在分析地球物理信号时作为 一种信号分析的数学工具提出来的。经过二十几年的发展，小波变换在理论和方法上都取 得了突破性的进展，现在已经广泛应用于信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与 合成等诸多领域，在分形和混沌理论里也有很多应用。 从数学的观点看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理。而信号归根结底是时间 的函数。信号处理的目标是准确的分析，有效的编码，快速的传递，之后是仔细的重构。 为得到最适合于给定信号的研究方法。通常把信号分为稳定自j 与非稳定的。如果个信号 的性质随时间是稳定不变的，则称这个信号是稳定的。研究稳定信号的理想工具是傅立叶 ( f o u r i e r ) 变换。特别适用于非稳定信号的技术就是小波分析。与f o u r i e r 变换相比，小波变 换是时间和频率的局部变换，是一种线性时频分析；与短时f o u r i e rf s t f t ) 变换相比，小波 变换在时频平面的不同位置具有不同的分辨率，是一神多分辨分析方法。它既适用于大多 数具体的非稳定信号的分析，也适用于具有分形结构的信号。小波分析的目的是“既要看 到森林( 信号的概貌) ，又要看到树木( 信号的细节) ”。因此，它被称为数学显微镜。 小波变换是一种新的变换分析方法，它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些 方面的特征，因此小波变换在许多领域都得到了成功的应用。由于小波变换在它的产生、 发展、完善和应用的整个过程中都广泛受惠于计算机科学、信号和图像处理科学、应用数 学和纯粹数学、物理科学和地球科学等众多科学研究领域和工程技术应用领域的专家、学 者和工程师的共同努力，所以，现在它已经成为科学研究和工程技术应用中涉及面及其广 泛的一个热门话题。特别是由于小波变换的特有性质，将小波变换用于图像信息处理，获 得了极大的成功( 和d c t 等变换方法相比小波变换在图像处理中有特有的优势，这 点在2 8 节中有简单说明) ，表明特别用小波可以实现高效的图像信息的压缩表明图像的 小波系数中含有丰富的图像信息，且这些信息较集中于主要的小波系数上，因此，完全有 可能找到一种方法，从图像的各个子带的变换系数中提取不同信息特征。这就是本论文的 理论基础和要研究的内容。 1 1 本课题的研究意义 在人类所接触到的各种信息载体中，图像携带信息量最丰富，最大，也最复杂。因此 如何有效地从图像中提取所需信息，避免无用信息的于扰，是盈像处理要处理的第一个关 键问题，只有解决好这个问题彳能更好的进行下一步工作。常用的特征提取方法往往只注 意图像特征的某些方面( 比如：边缘、能量、灰度、结构等) 。虽然这些方法在一些领域 第1 贞 国防科：学技术人学研究生院学伊论文 的应用证明它们是切实可行的，但并不是所有图像的某种特征总是那么突出的，如果图像 中包含的此种特征并不明显，或者说不易提取，算法将对这幅图像失去作用。同时，这幅 图像中可能包含另一种特征信息确是非常明显的，与其费力的提取不明显的特征不如转而 提取另一种明显的特征。由此可见，如果能提出一种特征提取方法，综合考虑图像的各种 传统意义上的特征信息( 边缘、能量、灰度、结构等) ，一方面将能更全面的反映图像的 特征，另一方面可能降低算法的复杂度，为图像处理的后续工作带来很多的便利。 小波变换对旋转和伸缩变化比较敏感，在特征提取研究的过程中，所提取的特征受这 方面的影响也比较大，这种敏感性在某些情况下会对后续工作带来不利影响。如何避免此 类影响，固内外的学者已经提出很多行之有效的方法，但针对几种综合信息的方法并不多 见。如果能针对以上所说的综合信息提出基于小波分析的旋转伸缩不变性理论，将使小波 理论在工程中得到更广泛的应用。 1 2 本文的研究成果 本文的研究成果主要包括两个方面： 1 提出了基于小波多尺度变换的图像综合信息特征提取充法。 2 对基于小波分析理论的旋转伸缩不变性理论进行了探诃，提出基y - d , 波包变换的对 数极坐标下的旋转伸缩不变性特征提取方法。 1 3 本文的内容安排 论文分六章对本课题涉及到的理论和方法进行介绍。第1 掌为概述部分，对小波分析 理论作简要说明，同时介绍本课题的研究意义和研究成果。为j 论文的系统性，第2 章简 要介绍小波分析理论。第3 章介绍基于小波分析的综合特征提取方法。第4 章介绍基于小 波包变换的对数极坐标下的旋转伸缩不变性特征提取方法。第5 章是结束语和下一步的工 作。最后收录了本文研究过程中的主要参考文献。 第2 负 国防科学技术人学研究生院学位论文 第2 章小波变换理论基础 2 1 从傅立叶( f o u r i e r ) 变换n d , 波变换 自1 8 0 7 年，法国数学家f o u r i e r 提出的傅立叶分析使数学、物理发生了根本性的变化， 它为广泛的工程科学领域提供了重要而有效的数学工具，把它真正应用到图像信号处理是 1 8 2 2 年傅立叶发表“热传导解析理论”之后。其变换如下： f o u r i e r 变换【1 6 1 为：f ( c o ) = 广f ( t ) e 一，“d t ( 2 1 ) f o u r i e r 逆变换为：厂( ，) = 圭rf ( c o ) e d c o ( 2 2 ) z 月一 且f o u r i e r 变换是互逆的，即：f ( t ) 营f ( o j ) 傅立叶变换用在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数，把周期函数展 成傅立叶级数，把非周期函数展成傅立叶积分，利用傅立叶变换对函数作频谱分析，反映 了整个信号的时间频谱特性，较好地揭示了乎稳信号的特征。从数学角度来看，傅立叶变 换是通过一个被称为基函数的函数的整数膨胀而生成任意一个周期平方可积函数。通过傅 立叶变换，在时域中连续变化的信号可转化为频域中的信号，因此傅立叶变换反映的是整 个信号在全部时问下的整体频域特征，却不能反映信号的局部特征。但是，在实际应用中， 常常有些非平稳信号，如音乐信号、语音信号等它们的频域特性都随着时间的变化而改变， 这时傅立叶变换明显表现出了其中的不足。为此，dg a b o r 于1 0 4 6 年提出了著名的g a b o r 变换，之后又进一步发展为短时傅立叶变换( s h o r tt i m ef o u r i e r r a n s f o r m ，简记为s t f t ， 又称窗口傅立叶变换，也称快速傅立叶变换) 窗口傅立叶变换( ( s t f t ) 克服了傅立叶变换不 能同时进行时间一频域的局部分析，在非平稳信号的分析中起至u 了很好的作用。其主要特 点是：用一窗口函数g 伊- 刀对信号厂作乘积运算，实现在f 附近平稳和开窗，然后再进行 傅立叶变换。其变换如下： g f ( c o ，f ) = g r ( ，r ) = f f ( t ) g ( t f ) = i f ( t ) g ( t f 0 一“础印，r e r ( 2 3 ) 其中： 1 一! 盟： g ( t f ) = ( f r ) = 丰p 4 。 d 0 ，r r( 2 ，4 ) z q 疗口 短时傅立叶变换的基本思想刚是：把信号划分成许多小的时i 日j 间隔，用傅立叶变换分 析每个时间间隔，以便确定该时问恻隔存在的频率。图2 1 ( a ，b ) 表示了短时傅立叶变换对 信号分析示意图。 第3m 国防科学技术人学研究生院学位论文 了j m e血 t l m e ( a ) 时域加窗示意图 ( b ) 时妊平面划分示意图 图2 1 短时傅立叶变换示意图 小波变换较好地解决了傅立叶变换存在的问题。由于傅立叶变换所定义的窗函数的大 小和形状均与时间和频率无关而保持不变，在实际应用中也存在其局限性。主要有两方面： 一是因为高频信号一般待续时间短，而低频信号持续时间长，因此需高频信号采用小时窗， 对低频信号采用大时窗。二是在进行数值计算时，为了便于计算，将对基函数进行离散化， 但g a b o r 基无论怎样离散都不能组成一组正交基。因此会给计算带来不便。 为了克服这些缺陷，使窗口具有自适应特性和平稳功能，1 9 8 4 年，法国地球物理学家 j m o r l e t 在分析地震数据时提出将地震波按通过一个确定函数的伸缩和平移来展开。之后， 他与a g r o s s m a n 共同研究，发展了连续小波的变换的几何体系，将任意一个信号可分解 成对空间和尺度的贡献。1 9 8 5 年，y m e y e r , a g r o s s m a n 与i d a u b e c h i e s 共同寻找了连续 小波空间的一个离散子集，得到了一组离散的小波基( 称为小波框架) 。1 9 8 6 年y m e y e r 发 现了构成r ( r ) 空间的规范正交基，从而证明了小波正交系的存在。1 9 8 7 年，m a l l a t 将计 算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，并提 出了相应的分解和重构快速算法m a l l a t 算法，从而统一了以前所有具体正交小波基的 构造。 从此，小波变换越来越引进人们的重视，其应用领域来越：越广泛，如：信号处理、 图像处理、模式识别、语音识别等，并取得了可喜成果。 2 2 连续小波变换 小波变换的本质是通过对一个基本小波进行伸缩和平移来表示一个能量有限的信号， 其基本小波小波是具有波动性、衰减性( 振荡迅速减到零) 和时间平均为零特性的实值函数。 小波变换具有良好的时频局部性能，是分析有突变性质的非平稳信号的理想工具，有效克 服了傅立叶变换的局限性。 2 2 1 基本小波及小波基函数 定义2 1 f 1 3 1 设妒( x ) 是一个给定的实值函数，若其频谱甲( 珊) ( 即矿( z ) 的傅立叶变换 第4 负 。耳。掣ide 国防科学技术人学研究生院学协论文 v ( 珊) ) 满足以下允许条件： 勺= 呼甜 0 ，且d ，b 均为实数。变量口反映了小波基函数的僻：缩尺度( 宽度) ，而b 则指明了 它沿x 轴的平移位簧。通常情况下，基本小波y ( x ) 以原点为中心，因此。( x ) 是基本小波 y ( x ) 以x = b 为中心进行伸缩和平移得到。基本小波y ( x ) 被伸缩为_ 【f ( x a ) ( 日 1 时变宽， 而口 l 时变窄) 可构成一组基函数。在大尺度d 上，膨胀的基醋数搜索大的特征，而对于较 小的a 则搜索细节特征。 现在列举了几个常用的连续小波基函数 2 】【3 1 2 3 o 1 ) h a r r 小波。由数学家a h a a r 于1 9 1 0 年提出的一种f 交函数系，由下式给出： 矿( ，) = 第5m 乃 一2 ， ( 一 一 鸵 里堕型兰垫查叁兰竺窒生堕兰堡丝塞 图2 2h a r r 小波波形图 可以说h a a r 系是所有已知小波中最简单的，如图2 ，2 所示。对于 的平移，h a a r 小 波是正交的。对于一维h a a r 小波可以看成是完成了差分运算，即给出与观测结果的平均 值不相等的部分的差。h a a r 小波不是连续可微函数。 2 ) m e x i c o 草帽小波 m e x i c o 草帽小波是高斯函数的二阶导数，即 y ( r ) = 击疗嘎( 1 - f 2 ) e 。么 ( 2 8 ) 系数的选取主要是保证( ，) 的归一化，即忪1 | 2 = 1 。这个小波使用的是高斯平滑函数的二阶 导数，由于波形与墨西哥草帽( m e x i c a nh a t ) 抛面轮廓线相似i 呵得名，如图2 3 所示。在 视觉信息加工研究和边缘检测方面获得了较多的应用，因而也称作m a r r 小波。 图2 3 墨西哥草帽小波波形图 由高斯函数的m 阶导数可以给出一族小波 旷c t 矿嘉f 等) ( 2 9 ) 公式( 2 9 ) 中常数是为了保证| j 2 = 1 。虽然m e x i c a n 草帽子波相当于公式( 2 9 ) 中= 2 第6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 的情形，它的月为形式是各项同性的，因而不能检测信号的不同方向。 用g a u s s 函数的差( d i f f e r e n c eo fg a u s s i a n s ，d o g ) 形成的d o g 子波是m e x i c o 草帽 子波的良好近似， 一 1一 ( f ) = p2 一p 8 z ( 2 1 0 ) 3 ) m o r l e t 实小波 ( f ) = 石一1 7 4c o s ( 5 咿2 2 f 2 l1 1 4 ) m o r l e t 复小波 m o r l e t 小波是最常用郅的复值小波，其定义式如下： ( f ) = ( 确) o 5 2 “1 。p 一2 协 ( 2 1 2 ) ( a ) 实部 公式( 2 1 2 ) 傅立叶变换为 二( 二盘 ( 厂) = p 矗 。6 ，弋肛 f j 一3 v 弋 v 未 ( b ) 虚部 图2 4m o r l e t 小波的波形图 ( 2 1 3 ) 通常情况下，( - 0 0 5 。= 5 的情况用的最多。厶为带宽，z ，勾中心频率。 5 ) 复高斯小波 复高斯小波由复高斯函数的”阶导数构成，定义公式如( 2 1 4 ) ， 妒( ，) ：e 宰( e - l j e x ：) ， ( 2 1 4 ) “ 常数e 为了保持小波函数的能量归一化特性。 6 ) 复香农小波 第7 负 国防科学技术人学研究生院学侥论文 ( 归5 s i n c ( 觋) “e x p ( 2 j 万z ，) ( 2 15 ) 厶为带宽，z 、为中心频率。研为正整数。 2 2 2 连续小波基函数的选择 复值与实值小波。复值小波作分析不仅可以得到幅度信息，也可以得到相位信息，所 以复值小波适合于分析计算信号的j 下当特性。而实值小波最好用来做峰值或者不连续性的 检测。连续小波的有效支撑区域。连续小波基函数都在有效支撑区域之外快速衰减。有效 支撑区域越长，频率分辨率越好：有效支撑区域越短，时问分辨率越好。 小波形状选择。如果进行时频分析，要选择光滑的连续小波，因为时域越光滑的基函 数，在频域的局部化特性越好。如果进行信号检测，尽量选择与信号波形相近似的小波。 2 2 。3 一维连续小波变换c w t ( 也称为积分小波变换) 定义2 3 一维函数，( 石) f ( r ) 对于小波函数y ( x ) 的一维连续小波变换为： 一( 口，6 ) = ( 厂，虬) = 厂( x 耽。( x ) a x ( 2 1 6 ) 其逆变换i c w t 为： f ( x ) = 去fe 巧( 咖弦如警 ( 2 ”) 其中虬。( 盖) 是通过平移和伸缩基本小波( x ) 来生成的小波基函数c ，为允许条件，即 勺= 丝篙斗国 0 ) 。即当信号时域内作某一倍数的伸缩时，其小波变换在口，b 两 轴上也作相同倍数的伸缩，且形状不变。 ( 4 ) 自相似性：连续小波变换中存在信息表述的相似性。它主要表现在以下两个方面： 一是由连续小波变换恢复信号的重构方式不是唯一的。即信号的小波变换与小波重构( 逆变 换) 不存在一一对应关系，而f o u r i e r 变换与f o u r i e r 逆变换是一一对应的。二是小波变换的 核函数即小波函数( 工) 有许多可能的选择( 如：它们可以是非f 交小波、f 交小波、双正 交小波、甚至允许是彼此线性相关的) 。 第1 0 负 国防科学技术大学研究生院学位论文 2 3 小波变换与滤波器族解释 事实上，小波变换与信号( 或图像) 函数经过一簇带通线性( 卷积) 滤波器的输出是等价 的。 定义2 5 定义尺度口上的一般小波基函数为： 虬( ，) ： 吵仁)( 2 2 2 ) a a 这是用a 做尺度因子，并且是用口。”将模规范了的基本0 、波。显然，( 工) 只对基本小 波( x ) 进行伸缩。 定理2 2 对于定义2 5 所定义的小波基函数忻( x ) ，若记其翻转共扼为： 孑。( 工) = y ( 一三)( 2 2 3 ) 则有( 口，6 ) = 厂+ 。即小波变换与图像信号经过一组带通滤波器的输出是等价的。 证明 因为y ( x ) r ( r ) 为实函数，所以有 孑。( 6 一x ) = 以( x 一6 ) = y ( 型) = p 。( x ) q a d 即： w f ( a , 6 ) = 厂( x ) o ) d x = f e f ( x ) ( 6 一石) d x = 厂( 工) + 瓦( 工) ( 6 ) = f + 。 f 2 2 4 ) 由式( 2 2 3 ) 可知：对于给定的口，孵( 口，6 ) 是函数，( x ) 与伸缩尺度为a 的对称复共扼小 波孑。( x ) 的卷积；即，( x ) 经过一个冲激响应为孑。( x ) 的线性滤波器( 带通滤波器) 其输出 就是盯( 口，6 ) ：每个不同的a 定义了一个不同的带通滤波器，而所有的滤波器的输出合在一 起就组成了小波变换。其变换如图2 8 所示： 第1 1 贝 国防科学技术人学研究生院学位论文 ，( r ) 图2 8 维函数的滤波器组 足理2 3 母个瘟趿器的獭出分量冉次、德坡并遮当伸珂酉鲁组合在一起司重构- ，( x ) 。 证明：因为一维连续小波变换的逆变换为： ，( x ) 2i 1 却h 口1 。w ，( 日，6 ) 一( x ) 踟出 古r 吉 ，( x ) + 孑小) ( 6 ) 孑小一z ) 如出 古f 亭e 厂+ 孑。 ( 。耽( a x ) 肋出 吉f ，+ 孑。+ 虬 c x ) 出 所以所有滤波器的输出分量厂孑。经( x ) ，再次滤波( 卷积) 并加权后相加，就可重构 厂( 工) 。 在二维情况下类似于一维情况，每一滤波器都对应一个二维冲激响应，每个不同的a 都 定义了一个不同的带通滤波器虬( z ，y ) 。输入是图像上的带逯滤波器，滤波后的图像的叠 屡绢成了小波蛮换。 2 4 离散小波变换 连续小波与连续小波变换对于小波思想的建立是有效的，适用于理论分析，但在实际 应用中，尤其是在用计算机实现时，考虑到计算的有效性，必须对连续小波及其变换进行 离散。 2 4 1 正交小波与小波系数 定义2 6 函数( x ) 若满足：函数集( 簇 y m ( z ) ( 是由少i x ) 定义的) 是一个规范j 下交 第1 2 负 里堕型兰垫查查竺竺塑竺堕鲎竺丝苎 一 基( 即正交归一的) 。对每个f ( x ) r ( r ) ，均可表示成级数展开式： ( x ) = c 2 , k y 卅( x ) 则函数y ( x ) 称为是一个j 下交小波。 其中 女= 。 c m = ( 厂( x ) ，。( x ) ) = 厂( x ) p ： ) d x 是d 、波系数，i i , k o ) = 2 l 【f ( 2 j x - ) ， y k z 决定 伸缩而k 确定平移幅度。 2 4 2 二进小波 对于一个基本小波( x ) ，如果我们进行二进伸缩( 膨胀) 即进行2 的伸缩和进行二迸平 移即k 2 平移，则得到小波基函数：( 2 。x - k ) ，其中，k z ，而z = 一2 , - - 1 ，0 ，1 ，2 。 注：y ( 2 i x - k ) = ( 苎专学) ，即在( 2 6 ) 公式中取a = 2 ，6 = 2 。七 定义2 7 1 2 3 i 立果存在两个正常数a 和b0 彳b c o 使得： a i t ( 27 甜) l 如 ( 2 2 5 ) j = - - 砷 成立，则称函数y ( x ) 口( r ) 称为二进小波，其中w ( c o ) 为( x ) 的频谱，( 2 2 5 ) 称为函数 y ( 工) r ( 月) 的稳定性。 2 , 4 3 紧支二进小波 定义2 8 如果把厂( z ) 和二进小波妒m ( x ) = 2 肌y ( 2 。工一) 限制为在【o ，1 】区间外为零的函 数，且 妒肚( x ) 是正交归一的基函数簇，则t ( x ) 称为紧曼。二进小波。且可表示为 吵( x ) = 2 z y ( 2 ，x 一女) ，即，k 可由单一参数月表示。其中， ，k ，月的关系为 盯= 2 ，+ ，= o 1 1 1 2 。一1 ，且对任意”，是满足2 ”的最大整数。 相应的逆变换为： ，( x ) = o ( x ) ，变换系数由以下公式给出： c n = ( ，( x ) ， ( x ) ) = 2 肌，( x ) y ( 2 一皿 ( 2 2 6 ) 例如：h a r r 小波表达式为： 第1 3 贞 国防科学技术大学研究生院学位论文 ( z ) = 10 t 0 ，使得对于任意q 有： c - ( 莩f 口，f 2 ) “s8 莩口，e ，4 岛( 莩i q f 2 ) 定义2 1 2 设 j 芦是r ( 月) 的一串闭子空间序列，如果满足以下五条，则称 巧 脚为 第1 5 页 里堕型堂垫查查堂竺圣尘堕竺堡丝苎 l 2 ( r ) 的一个多分辨率分析( m r a ) 。 一致单调性：c i _ 2c t ic 匕“ckc ： 渐进完全比：n = 0 ；u 一= l 2 ( r ) ： ，e zj e z 二进制伸缩相关性：“( x ) u ( 2 x ) l “( 2 。z ) ez 1 ，； 平移不变性：“( x ) e u ( x 一”) e 一； 正交( 鼬e s z ) 基存在性：存在g ( x ) 使得 g ( x n ) 。是的r i e s z 基，即 = s p a n g ( x 一行) ，有：( g 。( x ) ，g 。( _ 】f ) ) = ( g 。( x - - m ) ，g ( x - n ) ) = 。 定理2 4 设 。为r ( 尺) 的一个m r a ，则存在函数妒( x ) r o ，使 妒。一七) 。构成 的规范f 交基。 定理2 5 设 。为l 2 ( r ) 的一个m r a ， 妒“一h ) 。为空间气的规范f 交基，则对任 意z ，竹。( x ) = 2 m 妒( 2 7 工一珂) 。：为空间代的个规范f 交基。 即： _ = s p a n 2 妒( 2 x n ) k 。 ( 2 2 9 ) 证明 ( 2 “妒( 2 7 x - n ) ，2 m p ( 2 j x 一”) ) = 2 ( 伊( 2 7 x 一”) ，伊( 2 s x - n ) ) = 2 7 f gq p ( 2 x - n ) 伊( 2 j x - m ) d x = 伊( 2 7 工一珂) ；i 歹：。磊( 27 r ) = ( 妒( “一肝) ，o ( u - n ) ) 又 伊。一片) 。为空间的规范正交基，且根据m r a 的性质可知：仍，。构成空间的 规范正交基。 定义2 1 3 ( 小波空间) 尺度空问一的补空间彬是在+ ，上的正交补。即： o = 一+ t彬上一c + r ( r ) 的正交分解如图2 9 所示 ( 2 3 0 ) 第1 6 蜘 垦鉴型堂垫查叁兰婴壅尘堕主笙堡苎 珥以诵 图2 9r ( 尺) 的正交分解图 l 2 ( r ) 的塔式分解如图2 1 0 所示( 取充分大) 。其中矿。上t ，上，又因为矽。cv o 所以有破上。且 l 2 ( r ) v = 一1o 一2o 一3o o e v , ， 其中，。 ，只要，级子空间不包含在，纷子空间之内，则他们的 小波基是正交的。即： ( ( f ) 叫( r ) ) = ( 叫+ ( ，) 叫( ，) ) = o ( 2 4 7 ) ( 4 ) 由t - n ! g - - ) 2 度空间二划分的完备性，如图2 1 3 中k = io 。，k ：= k 。o 嵫；因 此在滤波器组每一个点前后输入输出之问有如上所示的关系。 以上四条是正交小波包的基本性质，它与正交小波的性质是一致的，因此我们在对图 国防科学技术人学研究生院学位论文 像作小波包变换时，可以按照图2 ，1 3 所示的空间分解图示进行分解： 列 图2 1 4 图像小波包分解两层框图 图2 1 4 表示的是按照正交小波包对一幅图像进行分解两层的情况，其中图中的岛，托 表示的是低通、高通滤波器。在实际运算中用小波包对幅图像进行分解时，主要是选取 两个滤波器，矗的系数。在计算时要先进行行变换，再进行刈变换。 2 8 小波分析在图像处理中的优越性 如前所述小波分析理论的突出优点就是具有良好的时频局亩3 性能，从而能够从时域和 频域的角度精确描述图像的特征。今年来小波分析已经在图像处理的各个领域，取得了很 多的成果，并显示了其广阔的发展前景。图像去噪、边缘提取、模式识别、计算机图形和 图像融合等领域都有很多基于小波分析的新理论的产生。 小波变换用于图像处理的优势 基于小波变换的图像处理比传统的基于块变换( 如d c t 等) 的图像处理具有以下几方面 的优点： ( 1 ) 小波变换提供了对图像的多分辨率表示，具有天然的分场结构，适合分层讨论。 ( 2 ) 小波变换比d c t 变换更符合人眼的视觉特征，在图像处理时，选取符合视觉特点 的小波系数引入的失真在感觉上要好于在数据量下的d c t 编码引入的失真。 第2 4 负 国防科学技术人学研究生院学何论文 ( 3 ) t j 、波变换在时频分辨之间取得了良好的折衷：高频子带在时域具有良好的局部性， 而低频子带在频域具有良好的局部性。而d c t 在所有频率处都有相同的时频分辨率。因 此，时域局部性的高频信号在小波变换域的表示比在d c t 域中的表示更加紧凑：而对于 在整个图像频谱占主要地位的低频信号可在小波变换域被不断分割成更精细的频率通道。 这些低频成分占了图像能量的大部分而却点数据总量的一小部分。 这些优点使得小波分析在图像处理的各个领域得到了广泛的应用和重视。 当然，小波变换理论真正产生只有十多年的时间，正在蓬勃发展，但是小波变换理论 仍然还很不成熟，尤其是三维及其以上的小波理论。在图像处理方面，现在主要有两个方 面的工作：一是选择适合具体图像的小波基，因为任何实j 下交的小波对应的滤波器组均能 实现图像的分解与合成，然而并不是任何分解均能满足要求。同一幅图像用不同的小波基 进行分解所得到图像处理效果是不同的；二是如何很好地利用，l 、波变换后小波系数的分布 特点。 小结 本章从傅里叶变换的定义以及傅罩叶变换在作信号处理时的局限性出发，给出了由此 引申发展起来的g a b o r 变换和小波变换的定义。通过g a b o r 基和小波基的时频分辨率的对 比，说明了小波基具有多分辨率分析的特点。然后从连续小波鲍定义开始，讨论了连续小 波变换、离散小波变换、小波变换的一维多分辨率分析、二维多分辨率分析以及他们的 m a l l a t 算法，然后还讨论了正交小波包分析的分解方法以及其与小波分析的不同之处。最 后简单说明了小波分析理论在图像处理中的优越性。 第2 5 负 国防科学技术人学研究生院学味论文 第3 章基于小波多尺度分解子带主成份的特征提取 特征提取是图像模式识别和特征匹配的一个重要环节，在模式识别或特征匹配等实际 问题的处理中，特征提取方法往往直接影响着最终结果。因此，目标的特征提取是长期以 来行内专家研究的热点问题。 目前常被提取的特征主要基于：图像的边缘信息噱狄度信息、结构信息f 6 】、彩色信息 等。针对各种特征的提取算法在实际应用中也取得了较好的效果。但是以上几种方法都存 在一些弊端：基于边缘信息的方法当边缘信息不明显或者噪声对边缘影响较大时，其效果 就会明显下降；基于灰度信息的方法对光照条件的变化特别敏感，这种性质决定了它只能 用于光照条件变化不大的环境中：基于结构信息的方法主要影响来源于图像采集过程中的 畸变、噪声污染等，而这些影响在现实中是无法完全消除的；基于彩色信息的方法主要也 是受光照条件的影响，当不同的光线照射物体时，物体的颜色也会随之发生变化，亮度也 会很大程度上影响物体的颜色。本章将在上一章所讨论的各种常用特征的基础上，利用从 小波多尺度分解在不同尺度变换域系数代表了目标不同