（基础数学专业论文）求解微分差分方程李对称性的几何方法.pdf

摘要 李变换群方法是研究微分方程的对称性并求出解析解的有效工具。h a r r i s o n 和e s t a b r o o k 给出了一个几何方法用来得到微分方程的对称性，该方法主要是利 用外微分形式以及李导数来进行研究。如何求解微分一差分方程的对称性是近 年来一直倍受关注的问题，在本论文中，我们将借助于离散的外微分把h a r r i s o n 和e s t a b r o o k 的几何方法推广应用于对2 + 1 维t o d a 方程和非齐次t o d a 方程等 微分一差分方程的李对称性分析。 关键词：李对称性，2 4 - 1 维t o d a 方程，非齐次t o d a 方程 a b s t r a c t l i eg r o u pt h e o r yi sa ne f f e c t i v ea n du s e f u lt o o lf o ro b t a i n i n ge x a c ta n a l y t i c s o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h a r r i s o na n de s t a b r o o kp r e s e n tag e o m e t r i c a p p r o a c ht oo b t a i nt h es y m m e t r i e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h em a i ni d e ao ft h e i r a p p r o a c hi sb a s e do ne x t e r i o rd i f f e r e n t i a lf o r m sa n dl i ed e r i v a t i v e s f o rt h es t u d y o fs y m m e t r i e so fd i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，i th a sb e e np a i dm o r ea t t e n t i o ni n r e c e n ty e a r s i nt h i sp a p e r ，w ep r e s e n tan e wa p p r o a c hf o rf i n d i n gt h el i es y m m e t r i e s o fd i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，s u c ha s ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a la n di n h o m o g e n e o u s t o d ae q u a t i o n s ，i nt h el a n g u a g eo fd i s c r e t ee x t e r i o rd i f f e r e n t i a lf o r m s i tc a nb e r e g a r d e da st h ee x t e n s i o no fh a r r i s o na n de s t a b r o o k a p p r o a c h k e y w o r d s ：l i es y m m e t r i e s ， m o g e n e o u st o d ae q u a t i o n ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lt o d ae q u a t i o n ， i n h o - l l 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名夕鲞 日期：2 0 0 8 年5 月1 7 日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保 密的学位论文在解密后适用本规定 学位做作者签名僖 日期：2 0 0 8 年5 月1 7 日 第一章引言 李变换群方法是研究微分方程的对称性并求出解析解的有效工具 1 。其基本 思想是要先确定保持所要研究微分方程形式不变的变换群，即方程的对称，然后 利用对称可将方程降维降阶，这样在很多情况下我们可以获得方程的精确解。对 于如何确定方程的对称，主要是通过先设定方程对称的向量场的形式，注意在设 定的向量场中含有几个待定函数，然后根据对称的定义，即使原方程的形式保持 不变的变换群，可以得到有关待定函数的超定方程组，求解方程组即可得到原方 程的对称。在1 9 9 1 年l e v i 和w i n t e r n i t z 在文献【2 】中把李变换群方法推广应用到微 分差分方程和差分方程，并且得到这些方程的一些非平凡连续对称性。随后关于 微分一差分方程和差分方程的对称性一直是人们研究的热点 3 - 7 1 。 我们知道对于微分方程对称性的研究方法中，h a r r i s o n 和e s t a b r o o k 的几何方 法【8 ，9 是十分重要的研究方法。该方法主要是利用外微分的形式以及李导数来进 行研究。具体作法是把要研究的微分方程通过添加适当变量的方法将其化为与原 方程等价的一阶微分方程，然后可引入相应的一组外微分形式并使其构成闭理 想，。接下来对这些外微分形式分别求李导数并要求它们仍然包含在闭理想，中， 这样最终可以给出所研究微分方程的李对称性。h a r r i s o n 和e s t a b r o o k 利用该方 法对一维热方程，真空m a x w e l l 方程，k d v 方程，一维可压缩流体动力学方程以 及e i n s t e i n - m a x w e l l 柱面波方程等许多方程进行了讨论和研究。一个很自然的问题 是：h a r r i s o n 和e s t a b r o o k 的几何方法是否可以应用到讨论离散方程呢? 遗憾的是 该问题至今一直尚未解决。究其原因可能是多方面的，但其中一个重要原因是如 何定义离散的外微分运算。 自c o n n e s 在文献【1 0 】中提出非对易微分几何后，关于非对易微分运算得到了 人们的普遍关注f 1 1 1 3 1 0 最近，g u o 等人在文献【1 4 】中提出了离散a b e l i a n 群的函数 空间上的非对易外微分运算。随后w u 等人【1 5 】利用这种非对易外微分运算研究了 关于正规格点的差分离散几何，并且讨论了在正规格点上的离散联络及曲率。本 论文将主要利用g u o 和w u 等人的非对易外微分运算，把h a r r i s o n 和e s t a b r o o k 的几 何方法推广应用于微分差分方程的李对称性分析。 本文的第二章中，我们将简单介绍g u o 等人的非对易外微分运算方法，h a r r i s o i l 和e s t a b r o o k 的几何方法，以及l e v i 和w i n t e m i t z 关于求解微分_ 差分方程的连 续对称群的方法。在第三章中，我们将把h a r r i s o n 和e s t a b r o o k 的几何方法推广应 用于对2 + 1 维t o d a 方程和非齐次t o d a 方程等微分差分方程的李对称性分析。 第二章基础知识介绍 2 1 正规格点上的差分和外微分形式 为下一章讨论问题方便，在本小节中我们将主要介绍一些基础知识，主要包 括正规格点上的差分，外微分形式以及李导数，相关文献可参考【1 4 ，1 5 】。 我们令是一个正规格点空间，一4 是上的复值函数上的代数上的右平 移和左平移算子耳，巨1 定义如下 我们可以得到如下关系： q z = z + 口，e ：1 z = z 一口， q s ( z ) = ，( z - f 口) ，4 ( ，( z ) 9 ( z ) ) = 耳f ( x ) 瓯夕( z ) ，g 4 ，( 2 ) 其中“代表函数空间4 上的乘法。 我们可定义切空间：t n = ：= s p a n a p i x ，p = 1 ，n ) ，其中p 表示在p 方向 上的差分，其定义如下： p ，( z ) ：= ( q i d ) 厂= f i x + 口) 一厂( z ) ( 3 ) 对于切空间刚：，我们可引入其对偶空间t 儿，该空间为1 形式空间，其基 底矿定义在关于格点z 和。+ 豇的连接线c l i n k ) 上。切空间乃忆和余切空间丁虬上 的基底满足 矿( p ) = 蟛( 4 ) 在上的切丛和余切丛分别定义为： t ( ：= u 则：， ( 5 ) 工 厂 和 t a f ：= ut 儿 ( 6 ) z 厂 这样我们就可以定义在切丛t ( 人厂) 上的向量，并且构造出余切丛t + 上的的微分 代数q + = 0q n 。外微分算子d ：q 七一q 七十1 定义如下： n e z 幽 = a 厂x aax p a ax p q 七+ 1 ，( 7 ) 其中 。 u=，x p la ax p 。q 七 ( 8 ) 2 很容易证明 ( a )( d ) ( ) = v ( ，) ，u t ( a f ) ，f q o ， ( b )d ( uou 7 ) = 山ou 7 + ( 一1 ) 蛳uo 凼7 ， u ，u 7 q + ， ( c ) 铲= 0 ，( 9 ) 当且仅当 ( 1 )矿a = - x pa 矿， ( 2 ) d ( x p ) = 0 ( 3 ) x p f = ( e ) x p ( 1 0 ) 以上我们定义了在正规格点上的离散外微分运算，我们还可引入缩并算 子i x ： i x w = x 刖= ，( 1 1 ) 其中 x = x p p n 忆( 1 2 ) 这样李导数可定义为： l x = d i x + i x d ( 1 3 ) 注意我们可将以上在正规格点上的离散外微分运算推广到半离散的情况，此 时我们可加入下列运算性质 ( 4 ) d x p ad x p = 一d x pad x p ， ( 5 )d ( 如p ) = 0 ( 6 ) x p ad x p = 一如pa 矿， ( 7 )如p f = f d x p ( 1 4 ) 2 2h a r r i s o n 的几何方法 h a r r i s o n 在参考文献 8 ，9 】中给出了求解微分方程的李不变群的几何方法。该 方法的主要特点是利用外微分的形式以及李导数来进行研究。下面我们以l + l 维 热方程为例简单的介绍该方法。 1 + 1 维的热方程的形式为 以正= 仇( 1 5 ) 3 首先我们令y = 讥和u = 饥为新的独立变量，则热方程可改写成y x = u 。我们可引 入下列外微分1 一形式和2 一形式： a = d e u d t y d x d a = 一d 仳d t 一咖d z ， p = u d x ad t d yad t ( 1 6 ) 很容易证明这些外微分1 - 形式和2 一形式构成一个闭理想，。然后我们引入如下向量 场v ： v = v 侥+ 俨色+ y 讪郇+ y u 巩+ y 可岛，( 1 7 ) 并对外微分1 一形式q 和2 一g o u d a ，p 分别关于向量场v 求李导数，并要求其仍然包含 在闭理想，中。 首先我们考虑外微分1 形式o t 关于向量场v 的李导数的情况。 c v a = v z d c t + d ( v j a ) ( 1 8 ) 由于c v a 为外微分1 形式，所以我们可设 v a = a a ( 1 9 ) 由( 1 9 ) ，我们可以得到如下一组方程 v z = 一日， v 。= 一凡，v u = 尻+ u f , ， v v = 兄+ 可，= f + u 凡+ 可日，( 2 0 ) 其中f = y 妒一u v 2 一y y 王。 对于外微分2 形式的情形，由于v d a = ( d , k ) a + 入如已经在闭理想中，所以 下面我们只需求c 矿p 。我们可设 c y 卢= 卢+ u 口一e d a ， ( 2 1 ) 其中，( 为0 - 形式，u 为1 一形式其具体形式可设为u = a d t + b d z + c d u + d 妇+ e 却。从( 2 1 ) ，我们可以得到如下方程： 嘭= 0 ，仳嘭= c y ，仳w = b ，c = 0 ，d = 一吃， t l 嘭+ 嘭= 一( + d 可， 一u w + 嘟= a ， u 吁一曙一v t t = 一( 一d u ， 让略一w = e c u ， y u + u ( k 。+ 蟛) 一曙= 仳+ a y b u 4 ( 2 2 ) 解( 2 0 ) 和( 2 2 ) ，可以得到向量场v 的分量 v = 2 k s t 2 + 2 k 4 t + k l 。 v z = 2 k 6 t x + k a x 一2 k s t + 忌2 ， v 让= ( 一( 2 ) 一1 k 6 x 2 + k s x 一5 t + k z 一2 k 4 ) 让+ 2 ( k 5 一k b ) y 一矽+ g t ， v v = ( 一( 2 ) 一1 k 6 x 2 + k s x 一3 k s t + 七3 一k 4 ) y + ( 玩一) 矽+ g x ， v , p = ( 一( 2 ) 一1 z 2 + k s x 一忌6 t + 乜) 妒+ g ( 2 3 ) 其中9 = 9 ( x ，t ) 满足如z = 吼，i = 1 ，6 是常数。这样我们就得到了热方 程( 1 5 ) 的对称向量场。 2 3 离散方程的李对称性 在前言中我们提到李变换群方法是研究微分方程的对称性并求出解析解的有 效工具。该方法在求解方程的对称性过程中，主要是通过先设定方程对称的向量 场的形式，其中在设定的向量场中含有几个待定函数，然后根据对称的定义，即 使原方程的形式保持不变的变换群，可以得到有关待定函数的超定方程组，求解 方程组即可得到原方程的对称。在1 9 9 1 年，l e v i 和w i n t e r n i t z 把李变换群方法推 广应用到微分差分方程和差分方程 2 】。下面我们以t o d a 方程为例，简单介绍该方 法。 t o d a 方程形式如下 t h 。t t = e - - 1 - - 一e 一+ 1 ，( 2 4 ) 先定义一个局部点变换：a ( n ，t 3 = q 。( 竹，缸( 他，) ，t ) ，f = 八。( n ，u ( n ，t ) ，t ) 的单参数 群，保持方程( 2 4 ) 不变。该变换的一个无穷小变换可以写为面( n ，西= u ( n ，t ) + e ( 佗，u ( n ，t ) ，t ) ，= t + e ( n ，u ( x ，t ) ，t ) 其中e 是无穷小群参数，当心( n ，t ) 是方程( 2 4 ) 的解时要求面( 扎，刁也是方程( 2 4 ) 的解。 该方程对称李代数的向量场为 忙渤，让( 州) 瓦0 + 咖，仳( 叫”) 去 保持方程形式不变的条件是： 尹l r ( 2 ) o ( t 正n ，“一e 一1 一+ e 一+ 1 ) i u n t t e t ，i 一1 一u 竹+ c t ，i u n + 1 = o = 0 ， 这里( 2 ) 0 表示的是二阶延拓， 扩，。= 矗晏+ 七羹。九旦o u k + k = 妻n - 。纯亳+ 七妻。群去， ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 其中 七= 妒( 惫，u ( z ，t ) ，t ) ， 以= d t c k 一( d t 靠) 让， 警= d t 2 一( d t 颤) u 南，t t 由( 2 6 ) 可得到超定方程： 一厶，伽( n ，t ) 3 + 【西n ，讹一2 靠，u t ( 缸n ，t ) 2 + 2 以，t u 一n ，“一3 n ，缸( e 以一一e u n - + 1 ) 】u n ，t + ( 砂n ，一2 靠，t 】( e u n 以一u n e , u n - 2 h “) 一 九一1 一( 多n e u n _ 一鸽“ + 【砂n c n + 1 e u n 一+ 1 = 0 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 3 0 ) 比较( u n ，t ) 七的系数( k = o ，1 ，2 ，3 ) 得到一系列的方程组，求解这个方程组我们得 到： 靠= a t + 口( n ) ，加= b + 2 a n + c t 其中a ，b ，c 是常数，q ( n ) 是任意的函数。与之相对应的四维李代数的生成元是： d = t 岛+ 2 砸k ，t = q ( n ) o t ， w = t 钆，u = 钆 它们之间的对易关系为 【d ，刀= 一正旧，w 1 = 彬陬w 】- q ( n ) 6 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 第三章求解微分差分方程李对称性的几何方法 在上一章中我们介绍了如何运用h a r r i s o n 和e s t a b r o o k 的几何方法来求解微分 方程的李对称性。该方法主要是利用外微分的形式以及李导数来进行研究。下 面我们将把他们的几何方法推广应用于对2 + 1 维t o d a 方程和非齐次t o d a 方程等微 分一差分方程的李对称性分析。 3 12 + 1 维t o d a 方程的李对称性 2 + 1 维的t o d a 方程是可积的微分差分方程，其形式如下： t h 耐2e - - 1 - - 一e 一+ 1 ， ( 3 4 ) 其中是t 和x 的函数，? a n 埘三躲。 我们知道h a r r i s o n 和e 8 t a b r o o k 的几何方法的具体作法是把要研究的微分方程 通过添加适当变量的方法将其化为与原方程等价的一阶微分方程，然后可引入 相应的一组外微分形式并使其构成闭理想。接下来对这些外微分形式分别求李 导数并要求它们仍然包含在闭理想中，这样最终可以给出所研究微分方程的李 对称性。因此为了把该方法推广应用到( 2 + 1 ) 维t o d a 方程( 3 4 ) ，我们先把t o d a 方 程( 3 4 ) 转化为一阶的微分方程。现引进两个新的变量y n = ，t 和z n = 声这样 把t o d a 方程( 3 4 ) 写为如下形式： 和 。= e 一一1 一e + 1 一，( 3 5 ) ，t = e 一- 1 一e + 1 - ( 3 6 ) 这样我们就可以定义十维空间= t ，x ，佗，u n 一1 ，u n + l ，y n ，y n 一1 ，z n 1 ) 上的1 一形 式，2 一形式和3 - 形式 c 阮n x ( 钍n + l 一缸n ) 一d t y 一d x z ， d u n 一1 一x ( 一u n - 1 ) 一d t y 一1 一d x z 一1 ， x ad ( u t i + 1 一札n ) + d ta 晚h 一如ad z ， x ad ( u n 一1 ) + d tad y 一1 一d zad z 一1 ， x ad tad 一xad tad x e 一1 一e + 1 _ 】， ) ( ad xad 钿一xad xad r e 一。1 一e + 1 _ 】 ( 3 7 ) 7 i i = = l l = i i 1 2 1 2 1 2 啦观m 勉风尾 d d 可以很容易证明它们构成闭理想，。若以上形式限制到解流形u = ，z ，n ，u n ( z ，t ) ， u n - i ( x ，t ) ，u n + 1 ( z ，) ，骱( 。，) ，一1 ( z ，t ) ，( z ，z ) ，一l ( x ，) ) 上时为零，则可回到方 程( 3 4 ) 。 在十维空i s n = t ，z ，佗，仳n ，一1 ，i t n + l ，鼽，y n l z n ，z n 1 ) 中，我们引入如下矢 量场 v = v 2 岛+ v n a n + v z 以+ v a “。+ y - 1 a u 。一。+ y + 1 a k + l + y + y 鼽- 1 a k 一。+ v z n - - 1 a k 一。+ v 卸包。 ( 3 8 ) 下面我们将对( 3 7 ) 中的1 形式，2 一形式和冬形式分别关于向量场v 求李导数，并要求 其仍然包含在闭理想，中。 首先我们来求q 1 的李导数，由于要求q 。的李导数必须在闭理想中，因此其表 达式可写为 v o e l = d o l l j v + d ( o q j y ) = a l a l + 入2 乜2 ，( 3 9 ) 其中a 1 和a 2 是任意的o 形式。把方程( 3 7 ，3 8 ) 代入方程( 3 9 ) 后可以得到 n a + y 一y l h + 1 + a u 。( + 1 一) + a u 。一1 ( 一u n 一1 ) = 0 ， a t v y - + a u 。y n + a u 。一1 h 一1 = 0 ， a 王一y + a u 。2 h + a u 。一1 z n 一1 = 0 ， a u 。+ 1 = a v 。一1 = a ：。一l = a 枷+ v 。= a 钿+ v 。= 0 ， ( 4 0 ) 其中 a = 0 1 1 j v = y 一y n ( t 正n + 1 一t h ) 一y 2 一y 霉( 4 1 ) 下面我们考虑q 2 的李导数的情况。 与o l l 的情形类似，o z 2 的李导数可以写成如下形式： c y q 2 = a 3 口1 + 入4 a 2 ，( 4 2 ) 其中入3 和a 4 是任意的0 - 形式。将( 3 7 ，3 8 ) 代入( 4 2 ) 可以得到如下方程： n b + y ”n 一1 一y + b ( “n + 1 一) + b 一1 ( u n 一一1 ) = 0 ， b t y 一1 + b 可n + b 一1 y n 一1 = 0 ， 上k y 却_ 1 + 上k 名h + b t t l 一1 z n 一1 = 0 ， b u 。+ ，= b 鼽= 岛。= 上k 一。+ v 。= 玩。+ v = 0 ，( 4 3 ) 其中 b = o r 2 j v = y 一1 一y n ( u t l t h 一1 ) 一y 2 y n 一1 一y z z n 一1 ( 4 4 ) r 对方程( 3 9 ) 和( 4 2 ) 求外微分，我们得到 和 c v d o q = d a l aq 1 + a a d c r l + d a 2aa 2 + a 2 d q 2 ， ( 4 5 ) v d o r 2 = d a saq 1 + a a d a l + d a 4a 口2 + a 4 d c 2 ， ( 4 6 ) 以上两个方程表明l v d c e l $ l c v d a l 已经包含在闭理想中，所以我们要考虑的就只 剩下 和 f - v 3 1 = d p l j v + d ( 3 1 j v ) i ， y 色= d z 2 j v + d ( 仍j y ) ， 由于历和仍是3 - 形式，所以( 4 7 ) 和( 4 8 ) 可以表示为如下形式 和 ( 4 7 ) ( 4 8 ) c v ，l = q 1a0 1 + q 2a 啦+ d a la ( 1 + d a 2a 已+ 卢1 f l + 仍已， ( 4 9 ) c y 侥= q 1a 铂+ 口2a1 4 + d a , a 岛+ d q 2a 白+ 历6 + 侥4 ， ( 5 0 ) 其中仉，6 和已，t = 1 ，4 ，分别是任意的2 一形式，1 形式和o 形式。把方程( 3 7 ， 3 8 ) 代入方程( 4 9 ) 和( 5 0 ) ，可以得到如下方程： y 一一y 一w + 嘴一v l 一磊一, v l 一。= 0 ， y 一y + 1 一曙+ k 嚣+ 磊磁+ z n 一1 比一。= 0 ， k p + v 器+ 磊一1 v - y 。= 0 ， 嘭+ 吃+ 磊一1 吆一1 = 0 ， 叼+ 磁+ 磊一1 坛一。= 0 ， v 蝌n 。= 嗽一。= 豫= 噱一。= v ；2 。= 0 ， v l + 。= 吃一。= 吆= 眨一，= 眨= 0 ， 坛+ 。= v 鼽y 一，= 吆= 眨，。= 吆= 0 ， 嵫= v 鲰y n + ，= v y 。= 嘿。= 0 ， ( 5 1 ) 9 和 y u ”一y u “一w + v 象一y n v 乞一y n 一1 v 乞一。= 0 ， y u ”一y “”+ 1 一w + k 挈+ y n v t + y n 一1 v 乙一。= 0 ， 驴+ 嘧+ 一1 吃。= 0 ， 曙+ 蜘磁+ y n 一1 v 。2 。一。= 0 ， + 噱+ y n 一1 v - ：一。= 0 ， v l + 。= 吧一。= v 脚2 = 嘿一，= 吧= 0 ， v 。_ t 州= v ；t o 一。= 吆= v 址tl = v ；t 。= 0 ， 圪= v 蜘x 。= 吆= v y 。= v ；y 。= 0 ， 嘧= 唿。= 喙。= 唿，= 0 求解方程( 4 0 ) ，( 4 3 ) ，( 5 1 ) 和( 5 2 ) ，最终可以得到矢量场( 3 8 ) 的分量： ( 5 2 ) v n = 0 ，v 。= a f ( t ) ，v = b g ( z ) ， v u n = c k ( t ) + d h ( x ) 一n ( a f 7 ( t ) + 5 9 ( 。) ) ， y + 1 = c k ( t ) + d h ( x ) 一+ 1 ) ( a f 7 ( ) + b 9 7 ( z ) ) ， v u n 以= c k ( t ) + d h ( x ) 一( n 一1 ) ( a i ( t ) + b a ( z ) ) ， y 鼽= c k 7 ( t ) 一n 口，( t ) 一a f 7 ( t ) 3 h ， y 。1 = c k 7 ( t ) 一一1 ) a ( t ) 一a y 7 ( ) h 一1 ， v 钆= d h 7 ( z ) 一b r i g ( z ) 一b 9 7 ( z ) z n ， v 。n t = d h 7 ( z ) 一6 ( n 一1 ) g ( z ) 一b 9 7 ( z ) z n 一1 ，( 5 3 ) 其中a ，b ，c 和d 为任意的常数，f ( t ) ，k ( t ) ，g ( x ) 和h ( x ) 是任意的函数。从( 5 3 ) 我们 可以得到对称李代数的基底为： t ( i ) = ，( t ) 侥一n y 7 ( t ) 6 k 一( n + 1 ) y 7 ( t ) k + 。一( n _ 1 ) i ( ) 芒k 一。 - h i ( t ) 一，( t ) 一( n 一1 ) 1 ( t ) 一。一，7 ( t ) 一i x ( g ) = 夕( z ) a 0 一n 9 7 ( z ) 一( n + 1 ) 9 7 ( z ) 乱。+ 。一( n 一1 ) 夕7 ( z ) a h 一。 一n g ( z ) 以。一g l ( z ) 2 h 晓。一( n 一1 ) 夕( z ) a ! 一。一g l ( z ) 2 一1a _ 钿一， t r ( k ) = 七( ) a 。+ 尼( t ) a 。+ 。+ 忌( 亡) k 一。+ 七7 ( t ) + 七( t ) 一。， w ( h ) = ( z ) a + ( z ) a 。h + ，+ ( z ) 巩。一。+ ( z ) 况。+ 7 ( z ) p h 一。( 5 4 ) 通过直接计算，可以求得非零的交换关系如下： 1 0 【t ( f 1 ) ，丁( ，2 ) 】= t ( f l l ；一f i f 2 ) ， 【t ( ，) ，u ( 七) - u ( f k ，) ( 9 1 ) ，x ( 9 2 ) 】= x ( g l g ：一g 1 9 2 ) ， x ( 9 ) ，形( 危) 】= c w u ( ( 9 1 h ) ， l ；影；：重吕：夕 ，：c ( 5 5 ) 以上对易关系与l e v i 等人【7 】利) 羽t - - - 章第三节的方法所得结果完全一致。 3 2 非齐次t o d a 方程的李对称性 非齐次的t o d a 方程如下 1 6 ： t 正n “一去t 正n ，t + g + d e 一1 ) 一u + e e u 加) 一u + 1 ) = 0 ， 其中c = i 1 一詈，d = ( n 1 ) 2 + 1 ，e = 一 n 2 + 1 】。 我们令y n = u 叫，则方程( 5 6 ) 转化为： h t 一去h + c + d e 札m 一1 ) 一t ( n + e e 札( n ) 一u m + 1 ) = 0 ( 5 6 ) ( 5 7 ) 这样我们就可以定义7 维空间= o ，佗，u n l ，t n + 1 ，y n ，鼽一1 ) 上的1 形式和2 一形 式： 0 1 1 = 出h x ( u n + 1 一“n ) 一d t y ， o r 2 = d 一1 一x ( 一u n 一1 ) 一d t y 一1 ， d 0 1 = x ad ( + 1 一) + d tad y ( n ) ， d 0 2 = x ad ( u n 一一1 ) + d tad y ( 竹一1 ) ， p = x + x 砒 一互1 铷+ c + d e 一一+ e e n 一 i + 】， ( 5 8 ) 可以证明它们构成一个闭理想，。若以上形式限制到解流形上时为零，则可回到方 程( 5 6 ) 。现在我们引入如下矢量场： v = v 。侥+ v n a t i + v u “k + y 一1 钆一。+ 矿+ 1 瓯。+ 。 + y 骱+ y 一1 一，( 5 9 ) 与上一节的情况类似，我们求口1 ，劬和p 的李导数，并且要求其也包含在闭 理想j 中。这样我们可以得到如下方程： 其中 a n m + v u ”一v t ”+ 1 + 帆。( u n + 1 一u n ) + a k 一1 ( 乱n u n 一1 ) = 0 ， 舰一y 珈4 - 帆。y n + 眠y n 一1 = 0 ， 眠州= + = 一。= 0 ， ( 6 0 ) n n + v 缸“一一v u ”+ 帆。u n + 1 一u n ) + 0 一。( u n 一一1 ) = 0 ， m y 鼽一1 + 帆。蜘+ 帆。1 一1 = 0 ， 帆。+ 。= = 一。+ = 0 ， ( 6 1 ) y _ 1 一y + 订一v 璺= 0 ， n y 一v u n + l + 以一v ! ! ! n = 0 ， n 皑”+ ( 一砉鼽+ a ) ( 嵋一k 罂) 一吉y 铷+ k 器+ y n l k 恐。= o ， y y n n = 一。= 坛+ 。= 嗽。= 0 ， 嵫。= 吆+ 。= 喙= 吃一。= 0 ，( 6 2 ) m = l i j v = y 一y n ( + 1 一) 一y ， ( 6 3 ) n = c e 2 j v = v 一1 一v n ( 一u n 一1 ) 一y 一1 ( 6 4 ) 求解方程( 6 0 一6 2 ) ，可以得到如下结果： v n = 0 ，y 。= 2 a + b e ， y t t l = 一6 ( 礼一去) e q + 2 c e + d ， y + - = 一6 ( n + 妻) e 一；+ 2 c e + d ， y 一= 一6 ( n 一昙) e 一；+ 2 c e ；+ d ， y = 互b ( 礼一妒；+ c e 言三e 一 y 肌- = 耋( n 一互3 ) e 一+ c e + m ， ( 6 5 ) 其中a ，b ，c $ f j d 是任意常数。相应的对称李代数的基底为 d = 2 0 r ， t = e 一a 一( n 一互1 ) e 一乱。一+ 互1 ) e 一瓯。十。一( 扎一 + 互1 ( 礼一互1 ) e 一岛。+ 铷+ 百1 ( n 一兰) e 一一。+ w = 2 e + 2 e + 。+ 2 e 巩。一。+ e + e i ” u = + 钆+ 。+ 钆 通过直接计算，可以求得它们之间的对易关系为 d ，刀= 一z 【d ，w 】= 彬 【zw 】= 矿 该对易关系与l e v i 和w i n t e r n i t z 在参考文献【7 】中求得的结果一致。 ( 6 6 ) ( 6 7 ) o 以 气 n 1 幻 ；芰 毛 3 2 l 一2 参考文献 【1 】p j o l v e r ，a p p l i c a t i o n so fl i eg r o u p st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n e w y o r k ： s p r i n g e r ( 1 9 9 3 ) f 2 1d l e v ia n dp w i n t e r n i t z ，p h y s l e t t a1 5 2 ( 1 9 9 1 ) 3 3 5 f 3 1 d l e v ia n dp w i n t e m i t z ，j m a t h p a y s 3 4 ( 1 9 9 3 ) 3 7 1 3 【4 】p j o l v e r ，a p p l i c a t i o n so fl i eg r o u p s t od i f f e r e