（控制理论与控制工程专业论文）奇异线性系统结构分解、控制和应用.pdf

摘要 线性系统的标准规范形分解常常被用于系统控制和设计中，奇异系统的 结构分解技术也是这样一种方法它通过对状态、输入和输出变量进行等价 变换，将系统动态方程的系数矩阵分解为具有不同结构特点的特殊形式，以 显式地表现系统的结构性质 奇异线性系统是一类比正常线性系统更具广泛性和复杂性的系统本文 通过改进和发展奇异系统的结构分解技术，以及讨论奇异系统的一系列特性， 重点研究了奇异系统的不变子空间和输出反馈干扰解耦问题以及消除状态响 应中脉冲项的反馈控制问题 本文的主要工作包括以下几个方面： 1 总结和分析线性系统特殊坐标基分解的核心思想和分解过程，以及线性 系统弱不可观子空间、强可控子空间、强可观子空间等几何不变子空间 的意义重点展示了这种分解技术对线性系统的性质和几何子空间的显 式表征 2 以特殊坐标基分解为基础对奇异系统结构分解的原有方法进行改进和 调整，发展和完善了这一分解技术：采用新的算法，简化了分解过程，并 且使分解结果变得更加简单；在输入变量和输出变量中各增加一个分向 量，把原来的分解中未考虑到的特殊情况也包含进来，使分解结果更加 明确；进一步对其中的状态分向量进行分解，使分解结果能够显式表征 出奇异系统不变子空间和系统可逆性 3 提出和证明结构分解下奇异系统相关特性的判断方法，这些性质包括可 控性、r - 可控性、脉冲可控性、可观性、r - 可观性、可镇定性、可检测性、 正常化、正则秩、不变零点及可逆性等并且利用这些性质研究了如何 借助于状态反馈和输出馈入来消除系统响应中脉冲项的反馈控制问题 4 研究奇异系统输出零( a ，e ，i m ( b ) ) 不变子空间，提出并证明这种子空间 在结构分解下的显式表现形式，从而提供了获取该子空间的直观方法 5 利用结构分解技术研究左可逆奇异正则系统的输出反馈干扰解耦问题， 给出这一问题存在解的充要条件，同时提供获得输出反馈增益矩阵的方 法 最后在总结全文的基础上提出有待进一步探索和研究的问题 关键词：奇异系统结构分解；几何子空间；干扰解耦 a b s t r a c t t h es t r u c t u r a lc a n o n i c a lf o r mr e p r e s e n t a t i o np l a y sa u s e f u lr o l ei nt h ea n a l 一 y s i sa n dc o n t r o lo fl i n e a rs y s t e m s s od o e st h ed e c o m p o s i t i o na p p r o a c hf o r8 i n g u l a rl i n e a rs y s t e m s i ti sat e c h n i q u ed e a l i n gw i t has y s t e mb yt r a n s f o r m i n gi t s s t a t e ，i n p u ta n do u t p u tv a r i a b l e ss u c ht h a tt h es y s t e mu n d e rt h en e wc o o r d i n a t e i sd e c o m p o s e di n t of o r m sw i t hs p e c i a ls t r u c t u r a lp r o p e r t i e s s i n g u l a rs y s t e m sa r eg o v e r n e db yt h es o - c a l l e ds i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a ， t i o n s ，t h e r e f o r et h es y s t e m sh a v em a n ys p e c i a lf e a t u r e st h a ta r en o tf o u n di n p r o p e rl i n e a rs y s t e m s i nt h i st h e s i s ，t h es t r u c t u r a lp r o p e r t i e s ，f e e d b a c kc o n t r o l p r o b l e m ，g e o m e t r i cs u b s p a c e sa n dd i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gb yo u t p u tf e e d b a c k f o rs i n g u l a rs y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e db a s e do nt h es t r u c t u r a ld e c o m p o s i t i o na p - p r o a c hf o rs i n g u l a rs y s t e m s t h em a j o rc o n t r i b u t i o n so f t h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： 1 t h ek e yi d e ao fs p e c i a lc o o r d i n a t eb a s i sd e c o m p o s i t i o nf o rp r o p e r s y s t e m s i s a n a l y z e d s o m eg e o m e t r i ci n v a r i a n ts u b s p a c e so fp r o p e rs y s t e m sa r e d i s c u s s e dt os h o wt h a tt h et r a n s f o r m e ds y s t e mi s c a p a b l eo fe x p l i c i t l y d i s p l a y i n gs u c hi n v a r i a n ts u b s p a c e s 2 n e wa l g o r i t h ma n df u r t h e rd e c o m p o s i t i o na r ep r e s e n t e df o rt h es t r u c t u r a l d e c o m p o s i t i o no fs i n g u l a rs y s t e m sb a s e do nt h es c bd e c o m p o s i t i o na n d t h eo r i g i n a lm e t h o d u n d e rt h en e w d e c o m p o s i t i o np r o p o s e d ，s o m es u b - s y s t e mo ft h et r a n s f o r m e ds y s t e mi ss i m p l i f i e da n dt h es u p r e m a lo u 亡p u t - n u l l i n g ( a ，e ，i m ( b ) ) 一i n v a r i a n ts u b s p a c eo fs i n g u l a rs y s t e m sc a nb ec l e a r l y e x p r e s s e di na ne x p l i c i tf o r m 3 t h ep r o p e r t i e so fs i n g u l a rs y s t e m s ，i n c l u d i n gc o n t r o l l a b i l i t y , o b s e r v a b i l i t y , s t a b i l i z a b i l i t y , d e t e c t a b i l i t y , n o r m a lr a n k ，i n v a r i a n tz e r o sa n di n v e r t i b i h t y , a r ed i s c u s s e da n dr e l a t e df e e d b a c kc o n t r o l sa r es t u d i e dt oe l i m i n a t et h e i m p u l s et e r mi nt h es t a t er e s p o n s eo fs i n g u l a rs y s t e m s 4 t h es u p r e m a lo u t p u t n u l l i n g ( a ，e ，i m ( b ) ) 一i n v a r i a n ts u b s p a c eo fs i n g u l a r s y s t e m si ss t u d i e dt og i v ei t sc l e a re x p r e s s i o nu n d e rt h es t r u c t u r a ld e c o 卜 p o s i t i o no fs i n g u l a rs y s t e m s 5 t h ed i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gb yo u t p u tf e e d b a c kf o rr e g u l a rs i n g u l a rs y s - 1 1 1 t e m sw i t hl e f ti n v e r t i b i l i t yi sd i s c u s s e d t h en e c e s s i t ya n ds u f f i c i e n tc o n - d i t i o nf o rt h es o l v a b i l i t yo ft h ea b o v ed i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e mi s p r o p o s e da n dam e t h o dt og e ts u c ha l lf e e d b a c kg a i nb ys o l v i n gl i n e a r e q u a t i o ng r o u p si sp r e s e n t e d k e y w o r d s ： s t r u c t u r a ld e c o m p o s i t i o no fs i n g u l a rs y s t e m ；g e o m e t r i cs u b - s p a c e ；d i s t u r b a n c ed e c o u p l i n g 1 v 基本符号 r 实数域 ，具有适当阶数的单位矩阵 琏佗礼维实向量全体厶礼n 阶单位矩阵 r 似m 礼仇实矩阵全体j j o r d a n 标准形 c 复数域 0 数值0 或零向量或零矩阵 c n礼维复向量全体 a t矩阵a 的转置 c n x m 佗x 仇复矩阵全体a 一1矩阵a 的逆 c 一 左半开复平面d i m ( ) 向量的维数或矩阵的阶数 。直和 k e r ( a ) 矩阵a 的核空间 三 恒等于 i m ( a 1 矩阵a 的像空间 不恒等于r a n k ( a ) 矩阵月的秩 属于 r a n k 玎( a ) 矩阵a 的正则秩 g不属于d e t ( a )方阵a 的行列式 c 包含于d e g d e t ( a ( s ) ) 方阵a ( s ) 的行列式的次数 匹 不包含于 a ( a )方阵a 的特征值 u 并 疋向量空间或子空间 n 交 连续的正常或奇异系统 兮 推导出恳( s )的系统矩阵 r m ( s ) 礼m 阶8 多项式矩阵全体 y ，s ，丁，冗，满足某种定义下的不变子空间 磷p 维复向量分段连续h 阶可导函数集 b - 1 1 夕)子空间的逆像，即b _ 1 y ) = z x l b x y ) 其中b 是nxm 阶矩阵 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成果。本人在 论文写作中参考其他个人或集体己经发表的研究成果，均在文中以适当方式 明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究 成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的资助， 在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课题 或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特别声明。) 声明人( 掣：和硝乏 沙叮年7 月日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办法等规 定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交学位论文( 包括 纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书馆及其数据库被查阅、借 阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数 据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它 方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文，于 年月 日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打”或填上相应内容。保密学位论文应是已经厦 门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密委员会审定的学位 论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的；默认为公开学位论文，均适用上 述授权。) 声明人( 签名) ：铂勿i 相芝 硼c j 年7 月j 日 第一章绪论 系统控制理论和实践被认为是2 d 世纪对人类生产活动和社会生活产生重 大影响的科学领域之一，而线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和 成熟的分支，在航空航天、电力能源、石油化工和通讯网络等领域都得到广泛 的应用对于线性系统的研究，有状态空间法、多变量频域法、几何理论、代 数理论等多个不同的学派其中代数方法的特点是将系统各组变量间的关系 看作某些代数结构之间的映射关系，采用抽象代数工具表征和研究线性系统； 几何方法的特点是将线性系统的研究转化为状态空间中相应的几何问题，采 用几何语言来加以描述、分析；频域方法则采用频率域的系统描述和频率域 的计算方法，或者通过把多输入多输出系统化为单输入单输出系统进行处理， 或者通过多项式矩阵方法来研究传递函数矩阵，这种方法具有物理直观性强 等特点；状态空间法在线性系统理论中形成最早，影响也最广，它采用“状态 空间描述”来反映状态变量和输入、输出变量之间的关系，应用线性代数和矩 阵理论来分析系统经过多年的研究和发展，线性系统理论已经形成一套完 整的理论体系 定常系统，又称时不变系统，指的是结构参数不随时间变化的系统对于 时间连续的线性定常系统，采用以下动态方程表达式作为系统的数学模型： 雾三c a x z + - k b 。u 钆 c 1 1 ， 其中z 渺是状态变量，u r m 是输入变量，y 舻是输出变量，a 、j e i 、c 、d 分别是具有合适阶数的定常矩阵r 指的是实数域 随着现代控制理论研究的日趋深入，二十世纪七十年代英国学者r o s e n b i - o c k 上j 在研究电网络系统时建立了一种不同于( 1 1 ) 的新系统，即奇异线性系统，简 称奇异系统为了更明确地区分奇异线性系统和非奇异线性系统( 1 1 ) ，本文 后面部分把非奇异线性系统简称为正常系统 1 1 奇异系统概述 1 1 1奇异系统及其发展现状 奇异系统，又称为广义系统 2 l ，英文名称则有s i n g u l a rs y s t e m 3 ，d e s c r i p t o r s y s t e m 4 ，引，i m p l i c i ts y s t e m 【6 l ，g e n e r a l l z e d1 i n e a rs y s t e m 【7 】，s e m i s t a t es p a c e 4奇异线性系统结构分解、控制和应用 + u ( t ) + 缸( t ) - 图1 1 例1 1 的电路图 ( b ) s y s t e m 冽等多种表法除了出现在电路系统之中，其他经典的奇异系统还包 括核反应堆 9 l 、著名的动态投入产出模型【l0 l 、纽曼模型 1 1 】、非因果系统【l2 | 、 受限机器人 1 3 等 奇异系统是一种比正常系统更具广泛形式的动力系统，对于连续的定常 系统，其一般描述形式如下： ： e 瘟= a z + b 乱 ( 1 2 ) 【y = c x + d u 、 其中x r 佗是状态变量，u 贰m 是输入变量，y 殿是输出变量，e 、a 、b 、c 、d 分别是具有合适阶数的定常矩阵容易看出式( 1 1 ) 和式( 1 2 ) 的不同之处在 于后者比前者多了一个系数矩阵e ，这里的e 可以是非奇异方阵、奇异方阵， 甚至于是非方矩阵当矩阵e 为非奇异方阵时，奇异系统可通过对状态方程 左乘e 一1 而成为形如( 1 1 ) 的正常系统，因此，正常系统可以视作为奇异系统 的一种特殊情况，而奇异系统则是正常系统的推广下面通过一个简单的例 子 1 4 】来了解奇异系统 例1 1 考虑图1 1 ( a ) 表示的电路图及( b ) 表示的等价形式，令状态变量 x = ( i ev c ) t ，则系统可描述为 。0 汁= z + 卧 容易看出本例中圣前的系数矩阵为奇异方阵，这是一个奇异系统 表面上看正常系统和奇异系统的表达式差别不大，实际上它们之间存在 着许多本质的区别对于时间连续的时不变( 或定常) 系统，它们之间的主要差 别表现在以下几个方面【1 5 】： 1 对于齐次初值问题，正常系统存在惟一解，而奇异系统可能不存在解、 存在惟一解或存在无穷多解； 第一章绪论5 2 奇异系统的极点，除了含有限极点之外，还存在无限极点； 3 奇异系统的状态响应中通常不仅含有正常系统所具有的指数解f 对应于 有限极点) ，还含有正常系统不出现的脉冲解和静态解( 对应于无限极点) 以及输入的导数项，从而使奇异系统中出现了正常系统所不具有的脉冲 项 4 正常系统自由度等于系统维数，而奇异系统的自由度仅为r a n k ( e ) ； 5 正常系统具有( 严格或非严格) 真有理传递函数矩阵，而奇异系统的传递 函数常常包含多项式部分 6 正常系统动态特性只有一个层次，而奇异系统一般具有两个层次，一层 为对象的动态特性( 由微分或差分方程描述) ，另一层为静态特性( 由代数 方程描述) ，正常系统没有静态特征 奇异系统作为正常系统的推广，目前对其理论的研究思路一般是参照正 常系统的理论进行推广和移植，通常也都采用前述正常系统的四个方法当 然，由于奇异系统出现的以上新特点，反映了奇异系统比正常系统更加丰富 的内涵，对其理论的研究也比正常系统更加复杂和困难 由于奇异系统对给定的允许初始状态可能不存在解、存在惟一解或存在 无穷多解，而为了保证系统存在惟一解，就要求系统满足正则性所谓正则 性，是指系数矩阵e 和a 满足i s e a i 0 ，即要求s c 中至少存在一个s 使得 s e a l 0 成立这里c 表示复数域正则性是使奇异系统对任意给 定初始状态和输入变量时都存在惟一解的充分必要条件【1 6 j 本文研究的所有 奇异系统均假设为满足正则性 对于正则奇异系统，r o s e n b r o c k 1 j 提出通过受限等价变换( r e s t r i c t e d e q u i v a l e n tt r a n s f o r m a t i o n ) 将奇异系统( 1 。2 ) 分解为两个结构相对简单的子系 统进行分析研究的方法即，存在非奇异矩阵p r 礼几和q 册礼将正则 奇异系统的系数矩阵e 、4 、b 、c 变换为 p e q 5 乞1 品 ，p 4 q2 吉三： 和 p b = i ：，l ，c q = c 1 c 2 其中矩阵为幂零矩阵，即存在某个正整数，n 满足一1 0 和t ：0 ， 而亡就称为矩阵的幂零指数这样系统( 1 2 ) 被等价地分解为如下两个子 6 系统： 奇异线性系统结构分解、控制和应用 e 1 ： 2 ： 圣l = a l x l - t - b l u y l = c 1 x l - 4 - d u n ：i ：2 = x 2 - 4 - b 2 u y 2 = c 2 x 2 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中。1 r m ，z 2 酞n 2 ，并且有n = n 1 + 仡2 和y = y 1 + y 2 根据这两个子系 统的运动特点，称子系统( 1 3 ) 为慢子系统，称( 1 4 ) 为快子系统这一等价变 换形式也成为目前研究奇异系统最常用的方法后来又由l e w i s l 川j 把这种 方法推广到离散系统 在线性系统理论中，人们常常通过研究系统的结构信息，如可控指数可 观指数、有限无限零点、m o r s e 的结构不变性等等，来分析系统的特性，这种 方法有时候效果非常好，并且它不局限于正常系统，已被推广到奇异系统的 研究当中 和正常系统一样，可控性和可观性也是奇异系统两个非常重要的概念，但 是奇异系统的可控性与可观性比起正常系统更加复杂r o s e n b r o c k i _ 1 j 首先提 出无穷处可控性的概念之后y i p 和s i n c o v e c 圳采用可达性定义了奇异系统 的c 一可控性、r - 可控性及可观性，其中，可观性为r - 可控性的对偶v e r g h e s e 等俐提出脉冲模式下可控性和可观性，并利用他自己提出的“强等价性”给 出了一种判别这种可控性和可观性的方法c o b b 1 苎j 将以上几种概念统一起 来，定义了允许不一致初始状态的可观性，并且使用新的时域概念来描述脉 冲可控性和脉冲可观性，这里的定义不仅考虑了动态系统而且考虑到可控 性可观性的代数对偶性后来，d a i 等【1 b j 将这些定理推广到离散奇异系统， 并且较为系统地介绍了奇异系统有关可控性和可观性的基本理论与此同 时，c o b b l i s l 、l e 证8 1 1 4 1 对如何判别奇异系统的可控性和可观性进行研究，提 出了相关定理此外，时变奇异系统的可控性和可观性f f l 9 ，2 0 j 等) 以及非方系 统的可控性和可观性f 【2 1 ，2 2 等) 也受到人们的关注 对于奇异系统的设计问题，杨成梧和谭华林l 趵j 提出了最小实现问 题；d a i 2 4 j 、f a h m y 【2 5 1 等y y $ , j 进行了观测器设计；f l e t c h e r 等、o z c a l d i r a n 等 分别研究了e n 4 9 l u n 2 6 ，27 】及特征结构配置【2 8 ，2 9 】问题；d a i 设计动态补偿 器刚j ：b e n d e r 等i l j 研究了线性二次型最优调节器问题；近年来，奇异系统的 研究更是向不确定系统【3 2 3 3 、时滞系统【3 4 3 5 1 、大系统【3 6 】以及非线性【3 7 】等 方向发展同时奇异系统的研究也开始借助于其他领域的一些有用方法，如 神经网络【3 8 等 f一1l、，_， 第一章绪论 7 1 1 2奇异系统的几何子空间 自二十世纪八十年代中期起，奇异系统的几何子空间引起人们广泛的兴 趣对于d = o 情形下的系统( 1 2 ) ，o z c m d i r a n 洲j 定义了( 4 ，e ，b ) 不变子空 间；m a l a b r e t 4 u ，j 定义了( c ，a ，e ) 不变子空间，并提出新的对偶概念，使其与 ( a ，e ，b ) 不变子空间产生对偶关系对于d 0 的情形，l e w i s l 虬，4 z j 定义了输出 零( a ，e ，b ) 不变子空间，并对其中的一些重要的概念作了严格证明；g e e r t s t 铂j 基 于自建的“代数分布框架”将线性系统中的一些子空间，如弱不可观子空间、强 可控子空间等【4 4 j 概念推广到奇异系统对于离散系统，l e w i s l 4 5 j 定义了可达 子空间；b e a u c h a m p 等1 4 0 j 定义了四种输出零子空间，并建立了这些子空间之 间的对偶关系；这些子空间也被应用到奇异系统属性的分析【4 7 ，4 8 ，4 9 ，7 ，5 0 】以 及控制问题当中如讨论闭环系统正则性【儿j 、状态补偿器的建立p | 、观测器 设计 5 引、特征值配置【5 4 1 及其他控制问题 5 5 ，5 6 ，5 7 ，5 8 ，5 0 1 等等 以上对奇异系统几何子空间的研究虽然已取得一些成果，但由于奇异系 统相对于正常系统更加复杂和困难，不可避免地，某些理论或概念还存在一 些问题，我们将在第五章进一步探讨这方面内容 1 1 3 干扰解耦问题 对于现实中的大部分系统，干扰的存在常常是不可避免的解决干扰问 题的一种方法是把系统中的干扰项视为系统的一个输入，然后寻求合适的反 馈控制，使得从干扰输入到被控输出的闭环传递函数在所有频率上都是零， 这就是线性系统干扰解耦问题具体地说，考虑以下系统 f 圣= a x + b + e d y = c x ( 1 5 ) 【名= 日z 其中z r n 是状态变量，u r m 是输入变量，y 则是测量输出，z 黜被 控输出，w 郧是干扰，a 、b 、e 、c 、日分别是具有合适阶数的定常矩阵 当系统，e ，日) 满足 g ( 8 ) = h ( s i 一4 ) - 1 e = 0 ( 1 6 ) 对所有8 c 成立，则系统( 1 5 ) 的所有输出都不受干扰项d 的影响但是，绝 大多部情况下，式( 1 6 ) 是不成立的，因此，人们开始研究反馈控制下的干扰 解耦即，通过状态反馈= k x 或输出反馈u = f 可使得反馈控制下的闭环 系统满足式( 1 6 ) 这样，干扰解耦问题归结为：寻找合适的反馈增益k 或f ， 8 奇异线性系统结构分解、控制和应用 使闭环系统满足 c ( 8 ) = h ( s i a b k ) 一1 e = 0 或 g ( s ) = h ( s i a b f c ) 一e = 0 程、传递函数、多项式矩阵和有理式矩阵等多种方法得到解决，如【4 4 ，5 9 】等 e 麦蓁至三+ b u + g 叫 c 1 7 ， 最早研究奇异系统干扰解耦问题的是f l e t c h e r 等【叫j 和b a n a s z u k 等【b 上| ，他 们利用几何理论分别研究了连续定常系统和离散定常系统的解耦问题；a i l o nl o ，j 和 c h u 等i o 刮分别利用线性系统理论和正交变换系统矩阵的方法研究状态反馈 下奇异系统干扰解耦问题的求解；w a n g 等l b 4 j 进一步发展了c h u 提出的方 法；h e i j 利用结构分解技术提出了一种构造状态反馈增益矩阵k 以实现状 态反馈干扰解耦的简单方法；对于输出反馈下的干扰解耦问题，c h u 6 6 j 利用 正交变换系统矩阵的方法进行研究，给出解存在的充要条件；而l i u 等i 引j 研 境了时变系统的干扰解耦问题 本文第六章将利用结构分解技术研究左可逆奇异正则系统的输出反馈干 扰解耦问题 1 2 结构分解技术 通过标准形分解来分析和研究奇异系统是一种常用的方法，比如可控标 准型分解和可观标准型分解常常被用到状态反馈控制和状态观测器设计，又 如系统矩阵的k r o n e c k e r 标准形和s m i t h 标准形常常用来分析有限无限零点 第一章绪论9 等本文研究的结构分解技术也是这样的方法它首先由美国人s a n n u t i 和 s a b e r i d 6 j 于1 9 8 7 年提出，针对严格正则线性系统，即系统( 1 1 ) 中d = 0 的情 况这种方法通过对系统的状态、输入和输出变量进行等价变换，将系统动态 方程的系数矩阵分解为具有不同结构特点的特殊形式由于这个变换就相当 于对变量所在的空间进行坐标基变换，因此这种方法被称为特殊坐标基( s c b ， s p e c i a lc o o r d i n a t eb a s i s ) 分解c h e n t b h j 随后将这种方法发展到非严格正则系 统，即系统( 1 1 ) 中d 0 的情况，并对这种分解下系统的可控可观性、有限 零点、无限零点、可逆性等性质作了严格的证明这种方法被应用于解决线性 系统的许多控制问题，如系统因子分解 7 1 7 2 、系统解耦问题【6 8 t7 0 、模型降 阶 7 引、阻塞零点和强镇定性【7 4 】1 、嵌套结构不变性【7 引、零点配置【7 6 1 、回路传 递函数恢复【7 7 - 7 8 、干扰解耦【7 9 ，8 0 ，8 l 】等，证实这种分解技术是解决线性系统 控制问题的一种有用工具 2 0 0 2 到2 0 0 3 年，h e 等【8 2 ，8 3 】和c h e n 等【8 4 ，8 5 】将这种技术进一步推广到 奇异系统，提出了奇异系统的结构分解技术的初步方案，本文的结构分解即 在此基础上，对这一技术进行改进和发展j 1 3 本文的组织结构 本文研究时间连续的奇异线性系统的结构分解技术和奇异系统的一些基 本属性，并将这一技术应用到反馈控制和干扰解耦问题，使闭环系统达到预 期的设计本文的另一个重点是奇异系统的几何子空间，利用结构分解来显 式地揭示它的表示形式全文分为七章： 第一章绪论，主要阐述论文的研究背景，重点介绍奇异系统及结构分解 技术的发展现状此外还包括全文的组织结构 第二章线性系统的结构分解，介绍线性系统s c b 分解的核心内涵及其性 质并重点叙述线性系统弱不可观子空间、强可控子空间、强可观子空间等子 空间及其在s c b 分解下的显式表征 第三章奇异系统的结构分解，通过定理和算法对奇异系统的结构分解和 完整过程进行详细的叙述，最后用具体的实例来说明分解过程 第四章奇异系统的特性，研究结构分解下奇异系统的一些特性，包括可 控性、可观性、可镇定性、可检测性、可逆性等等，最后讨论利用状态反馈和 输出馈入控制来进行正常化和消除脉冲项的控制问题 第五章奇异系统的几何子空间，介绍奇异系统几何理论的发展情况，并 重点叙述输出零( a ，e ，i m ( b ) ) 不变子空间在结构分解下的显式表征 1 0 奇异线性系统结构分解、控制和应用 第六章左可逆奇异正则系统的静态输出反馈干扰解耦问题，利用第三章 的结构分解技术，给出静态输出反馈下左可逆奇异正则系统的干扰解耦问题 存在解的充要条件以及获得反馈增益的方法 第七章总结和展望，总结了本文所做的研究工作，并提出今后的研究方 向 附件a 包含本文针对第三、四、五章的研究过程中开发的m a t l a b 程序代 码 第二章线性系统的结构分解 从第一章关于结构分解技术的发展过程已知，线性系统的s c b 分解是本 文奇异系统结构分解的一个重要基础但由于【8 4 ，8 5 】第5 章对这个分解过程 的阐述是通过分步算法来实现的，读者往往很难在短时间内掌握这项技术的 核心思想本章使用另一种更容易理解的方式来介绍这一分解方法，从另一 个角度揭示出这种技术的关键所在 其中，2 1 节介绍严格正则系统的结构分解，2 2 节介绍非严格正则系统 的结构分解，2 3 节介绍分解后线性系统的一些特性，最后2 4 节介绍有关几 何子空间的性质之所以要把2 4 节从前一节中分出来，是因为对奇异系统几 何子空间的研究是本文的一个重点 2 1严格正则系统的结构分解 考虑由以下动态方程表示的严格正则线性系统： 耋三c a x z + b 乱 c 2 1 ， 这里z r 礼，u p 和y 础分别为状态、输入和输出变量，a 、b 、c 分别 是具有合适阶数的定常矩阵不失一般性，假设系数矩阵b 为列满秩，而c 为行满秩，则可对式( 2 1 ) 进行如下s c b 分解 定理2 1 ( s a t h e o r e m5 3 。1 ) 对于由式( 2 1 ) 表示的严格正则系统，存在非奇 异状态变换矩阵f 。黔舰、非奇异输入变换矩阵f 。r m m 以及非奇异输出 变换矩阵f 。孵p ，使得对系统各变量做如下变换： z = f 。矛，y = f d 雪，u = f 面 ( 2 2 ) 后系统描述为 雪三三茎+ b 祝 c 2 3 ， 其中 a = a 0 b c m b d m d n l 伍b c b a 砧 厶而g b a m 曲 0 0 a c c b d m d c l l l b d c d l c d q a 础 ( 2 4 ) 1 2 奇异线性系统结构分解、控制和应用 b ：= 00 0 吼 oo o j 孟= ( 蓁! ) ，二= ( 纰y b ) ，面= u d 札c ( 2 5 ) ( 2 6 ) x 。r 佗4 ，x b 跫，z c 已n c ，x d r 竹d ，y d 熏| m d ，y b p 6 ，u d 跫m d ，u c 跫m c 这里，分向量z d 、呦、抛的结构为： z d = ( 兰) ，u d = ( 兰) ，抛= ( 兰) t 蚓 ，t 木1 0 ，i c 0 ； ，i c 001 车木卓 10 01 lj 0 ： 0 1 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 即x d ，i r 吼，且q l q 2 q m d ，a d ，i 是a d d 对角线上的矩阵块，术表示无 关紧要的元素；分向量、y b 的结构分别为： x b2 这罩对于i = 1 ，2 ，p 6 ，、，协， 2 li 蚍 j j 棚2l ； x b ，珊蜘，p b 书笼l ； k k 木1 0 木0 ； 木00 1 木0 0 c b ，t = 1o o ，b d t = 0 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 0 0 包o 0 0 0 吼 第二章线性系统的结构分解 1 3 z c = ( 兰) ，锃。= ( 兰。) q - fz c ， ，1 、 i 2l l2k j 4 c 。，n a d t = o1 o ；0 i o o0 1 木木木 ，b d t = o ： o 1 ，q ，产0 ( 2 1 4 ) 即x 。，t 融i ，且r 1 7 2 r m 。，a 。，t 是a c c 对角线上的矩阵块 分解后的系统表示为以下动态方程： 圣口= a o o z 口+ l o d 童d + l 口6 蜘 对每个分向量z “，i = 1 ，2 ， 宕6 ，t 1 = x b ， ，2 + l b ，t ，l y b + l b d ， ，1 暑亿，蜘，1 = x b ，t ，1 x b ，i ，2黝，i ，3 + l b ，t ，2 y b + l b d ，t 2 y d 圣6 编= l b ， ，如y b + l b d ，镰y d 对每个分向量z c 南i = 1 ，2 ， ，n c ， 圣c ， ，1 = z c ，i ，2 + 厶面， ，l y b + l 甜，i ，1 掣矗 圣c ，t ，n 一1 = z c ，t ，n + l 西，t ，n 一1 蜘+ l c d ，t ，一l y d 圣c ， ，n = a c ，t ，n x a + a c ，t ，c x c + 厶c 6 ，i ，n 蜘+ l 喊t ，n 可d + 乱c ，i 对每个分向量x d 而i = 1 ，2 ，m d ， 圣d ， ，1 2 x d ，t ，2 + l d ，t ，1 抛，y d ，1 2 x d ，t ，1 圣d ，t ，2 = x d ，t ，3 + l d ，i ，2 y d 圣d ，l ，吼 = a d ， ，d z 8 + a d ， ，c z c + a d ，t ，b x b + a d ，i ，d x d + 乱d ，t ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 。2 7 ) 1 4奇异线性系统结构分解、控制和应用 x = x 。+ x bj 广x c 七x d 花部份 花部份 疋部份 虢部份 图2 1 线性系统的结构分解图示 d ，i 其中，a ，三曲，a 枷，d 是具有适当阶数的定常矩阵 _ 用花，咒，花，彪分别表示系统( 2 1 ) 结构分解后获得的四个子系统，则可 由图2 1 描述各子系统的结构图中右三角符号表示求积分，粗实心箭头表示 z 口和z c 的线性组合，细实心箭头表示y 6 和讹的线性组合 首先，以子系统锄为例，讨论获取x 如，( i = 1 ，2 ，m d ) 的方法以及如何 理解图2 1 中各变量的关系，以此来说明这种分解方法的主要特点 对于输出变量y 的第i 介分量，根据式( 2 1 ) ，有： y i = g z ( 2 2 8 ) 其中g 为系数矩阵c 的第i 个行向量对耽求导，则 执= g 圣= c i a x + g b u ，若g b = 0 ，则对犰求导： 虢= g a 圣= g a 2 z + g a b 芦a a b = 0 则继续对虢求导：( 2 2 9 ) y ( q d = c i a q i 一1 圣= g a 吼x + g a 口t b u ， c i a q t 一1 b 0 ，则停止求导， 螃批批 第二章线性系统的结构分解1 5 这样q i 为g 对应的可观性指数那么，令状态变换矩阵历和输入变换矩阵 w 分别为 z 1 = 则由式( 2 2 9 ) ) 有 使得 从而 g g a w ；z 1 b = 孟= z 1 x 云= w 牡 杰= z i ：= z 1 a x + z 1 b u g a g a 2 z + c t b c t a b = c i a x = 2 纸2 1 2 c i a q 一1 x = 2 4 加t = q a 吼z + 百d t ( 2 3 0 ) 然而，并不是任何情况下式( 2 2 9 ) 变换过程各步骤中都满足c t a j b = 0 ，j = 1 ，2 ，q i 一1 ，对于系统第k 个方程( 这里k 是c a y b 在w 中的行号) ，有时 会出现这样的情况：c t a j b 0 ，但g b 与变换矩阵w 中前k 一1 个行向量 线性相关，此时，可通过变换： 岔= 汤孟，色= 易面 使得 z 2 ，k w b = 0 这里易，k 表示z 2 的第k 个行向量，从而得到定理2 1 中的式( 2 2 4 ) - - - ( 2 2 7 ) ；竽 1 吼 吼 ， ， ， 也 n d d d i z i z i z i，、一l-一， 1 6 奇异线性系统结构分解、控制和应用 对于咒对应的子空间，也可使用类似方法进行变换，主要差别是对鼽的 求导进行到g b = g a b = = g a 2 t 1 b = 0 ，而g t 与变换矩阵z 的其 他行向量线性相关时停止求导其中如为q 对应的可观性指数 按照以上的方法，对输出分量可1 到逐一进行变换，即可将输出变量分 为两个分向量，分别落在子空间咒和子空间彪 对于咒子空间，由于计算z d 时u d 已经确定下来，因而只需对u 变量中 除了u d 以外的分向量，即u 。进行运算，运算时可将动态方程( 2 1 ) 中对应于 x 。的部分转换为其对偶系统，再使用以上方法，即可确定出该子系统的可控 性指数，并得到所要的结构 最终可将系数矩阵a 、b 、c 转换为式( 2 4 ) ( 2 5 ) 的形式其中令 a d d = 4 箍+ b d a 锄+ l 谢q a = a 乏+ 及尥。 a 6 b = a 彘+ l 的g 则a 孙a a 蒜为块对角矩阵，并且a 箍的对角块及对应的输入子矩阵和输 出子矩阵具有以下结构： a 乏的对角块和对应输入子矩阵具有( 2 3 1 ) 的结构，但其对应的输出子矩阵 e = 0 1a 彘的对角块和对应输出子矩阵具有( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 的结构，但其对 应的输入子矩阵b 6 = 0 容易看出： r 础( h t 如。 ) = d i m ( a “) r 础( h t 觇z ) = d i m ( a 如) r 诎( 芝 ) = 妇c a 。，r 诎( 竺 ) = c 缸t ， 这里d i m ( ) 指某个矩阵的阶数从而，( a d d ，b d ，q ) 是可控且可观的，( a ，b 。) 是可控的，( a 6 b ，c b ) 是可观的 1 2 3 3 2 2 0 1 = ，0 b 1，j 1j o o o o 0 l p。l rl = = ，4 1 a g 第二章线性系统的结构分解 1 7 2 2非严格正则系统的结构分解 考虑以下非严格正则系统： 三三a x + 一b u 仁3 3 ， 由于任何矩