（基础数学专业论文）orliczlorentz空间中的端点.pdf

o r l i e z l o r e n t z 空间中的端点 中文摘要 摘要 自从a 。k a m i f i s k a1 9 9 0 年提出了o r l i c z l o r e n t z 空间的概念以来，涌现出大量关于 赋l u x e m b u r g 范数的o r l i c z l o r e n t z 空间的研究成果但1 9 9 9 年吴从少斤和任丽伟对 o r l i c z l o r e n t z 空间赋以o r l i c z 范数以后，关于这种范数的o r l i c z l o r e n t z 空间的研究 成果却很少，并且缺乏系统性本文的主要工作：1 探讨o r l i c z l o r e n t z 空间中的 一些还未被验证的范数定理，收敛定理以及子空间定理 2 给出赋l u x e m b u r g 范数 的o r l i c z l o r e n t z 序列空间的端点的刻划3 给出赋o r l i c z 范数的o r l i c z - l o r e n t z 函 数空间的端点的刻划我们证明了；在伽( t ) 0 的条件下，z s ( a o ，伽) 是端点当且 仅当对任意的k ( 。) ，要么k l z ( t ) l = 9 ( t ) s ，要么七i z ( t ) l = o c x a ，其中口s 7 且 m ( a ( a ) n 三( 伽) ) = 0 。 全文共分为三个章节，分别有所侧重地进行了某一方面的研究 第一章是奠定基础的一章，主要是结合已有的o r l i c z 空间中的基本理论来讨论 o r l i c z l o r e n t z 序列空间上的一些相对应的基础定理。 第二章继续考虑序列空间的情况，在参考了有关函数空间里关于l u x e m b u r g 范数 的端点理论已知结果的情况下，给出并证明了序列空间中关于l u x e m b u r g 范数的端点 的刻划 在最后一章，我们转向函数空间，该章也是最有难度的一章，我们重点研究了赋 o r l i e z 范数的o r l i c z l o r e n t z 空间中端点的等价刻划 关键词：端点；o r l i c z - l o r e n t z 空间；l u x e m b u r g 范数；o r l i e z 范数；严格凸空间 作者：王晶晶 指导老师：严亚强教授 o r l i c z l o r e n t z 空间中的端点 a b s t r a c t a b s t r a c t s i n c ea k a m i f i s k ag a v et h en o t i o no fo r l i c z - l o r e n t zs p a c ei n1 9 9 0 ，m a n yc o n c l u - s i o n sa b o u tt h eo r l i c z - l o r e n t zs p a c ew i t ht h el u x e m b u r gn o r mh a v eb e e no b t a i n e d w ua n dr e n sg i v i n gt h eo r l i c zn o r mo f0 r l i c z - l o r e n t z8 p a c ei n1 9 9 9 ，t h er e s u l t s a b o u tt h eo r l i c z - l o r e n t zs p a c ew i t ht h i sn o r mw a ss p o r a d i c ，a n d1 a c ko fs y s t e m t h e m a i nw o r ko ft h i sp a p e ri s ：1 d i s c u s s e dn o r mt h e o r e m s ，c o n v e r g e r l c et h e o r i e sa n d s u b s p a c e e st h e o r e m si no r l i c z - l o r e n t zs e q u e n c es p a c e w h i c hh a dn o tb e e nc h e c k e d 2 g a v et h et h ec h a r a c t e r i z a t i o no fe x t r e m ep o i n t si no r l i c z - l o r e n t zs e q u e n c es p a c e w i t ht h el u x e m b u r gn o r m 3 g a v et h et h ec h a r a c t e r i z a t i o no fe x t r e m ep o i n t si nf u n c - t i o ns p a c ew i t ht h eo r h c zn o r m w 色v e r i f i e dt h a t ：i fw ( t ) 0 ，t h e nz s ( 人妒0 ，) i s a ne x t r e m ep o i n ti fa n do n l yi ff o re v e r yk k ( z ) ，e i t h e rk l x c t ) i = g ( t ) s ，o r kj x ( t ) i = a x a ，w i t h 口s 7a n dm ( a ( a ) n l ( 们) ) = 0 t h i sp a p e rh a st h r e ec h a p t e r s ，e a c ho ft h e mi n v e s t i g a t e dd i f f e r e n ta s p e c tr e s p e c - t i v e l y t h ef i r s tc h a p t e r1 a i daf u n d a t i o nf o rt h i sp a p e r i tm a i n l yd i s c u s s e dt h ec o r r e s p o n d i n gf u n d a m e n t a lt h e o r i e si no r l i c z - l o r e n t zs e q u e n c es p a c ew h i c hc o m b i n e dw i t ht h e e x i s t i n gf u n d a m e n t a lt h e o r i e so f o r l i c zs p a c e i ta l s ol a i daf u n d a t i o nf o rt h ei n v e s t i g a - t i o no fe x t r e m ep o i n t si nt h es e c o n da n dt h r i dc h a p t e r s t h es e c o n dc h a p t e ri c e p to nt oc o n s i d e rt h es e q u e n c es p a c e r e f e r e n c e dt ot h e t h e o r yo fe x t r e m ep o i n t si nf u n c t i o ns p a c ew i t ht h el u x e m b u r gn o r m ，o b t a i n e dt h e c h a r a c t e r i z a t i o no fe x t r e m ep o i n t si ns e q u e n c es p a c ew i t ht h el u x e m b u r gn o r m i nt h el a s tc h a p t e r 。w et u r n e dt ot h ef u n c t i o ns p a c e i ti sm s ot h em o s td i 伍c u l t c h a p t e r w 宅m a i n l ys t u d i e dt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fe x t r e m ep o i n t si no r l i c z - l o r e n t z s p a c ew i t ht h eo r l i c zn o r m k e y w o r d s ： e x t r e m ep o i n t s ；o r l i c z l o r e n t zs p a c e s ；l u x e m b u r gn o r m ；o r l i c zn o r m ； r o t u n ds p a c e i i w r i t t e nb yw a n gj i n g j i n g s u p e r v i s e db yp r o f y a ny a q i a n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承 担本声明的法律责任 研究生签名；王函韪日期： 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致，除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：立姐日期：2 史弘 导师签名：芒至l 垂日期： 导师签名。手盟日期： o r l i c z - l o r e n t z 空间中的端点 引言 一背景 芦i 鼍 jl昂 在a k a m i f i s k a1 9 9 0 年的论文( 见 1 1 ) 中，赋l u x e m b u r g 范数的o r l i c z - l o r e n t z 空 间的端点被刻划了出来，此后在其论文( 见【2 】) 中又给出并证明了在7so o 的情况 下该空间一致凸的等价性条件1 9 9 5 年，a k a m i f i s k a 又与p l i n 以及h s u n 一起， 在论文( 见【3 】) 中刻划出一致赋范结构的等价条件紧接着在h h u d z i k ，a k a m i f i s k a 和 m m a s t y l o1 9 9 6 年合著的论文 4 】中，得出了- y o o 的情况下o r l i c z - l o r e n t z 空间的一 致非方性的等价条件以及一系列关于该空间性质的结论1 9 9 7 年，吴从少斤和任丽伟 ( 见 5 】) 又给出了o r l i c z - l o r e n t z 空间局部一致凸的等价刻划2 0 0 7 年在a k a m i f i s k a 与 c l e n n a r d ，m m a s t y l o 以及s m i k u s k a 合著的论文【6 】中，对o r l i c z - l o r e n t z 空间的弱一 致k a d e c k l e e 性质，弱4 一致k a d e c - k l e e 性质作了研究以上研究都是在赋l u x e m b u r g 范数的o r l i c z l o r e n t z 空间里进行的 在1 9 9 9 年，吴从夕斤和任丽伟( 见【7 】) 在o r l i c z l o r e n t z 空间上定义了o r l i c z 范数 ，一r l d = s u p ，+ ( t ) 矿( t ) w ( t ) d t 户廿( 岔) s 1j o 并给出了在这个范数下严格凸性的刻划重要的是【7 】给出了研究赋o r l i c z 范数的空 间几何性质的框架，然而后继的工作很少本文试图就端点的刻划展开研究 与函数空间相比，o r l i c z l o r e n t z 序列空间的研究相对较少，姚正安等人在 8 】中给 出了o r l i c z l o r e n t z 序列空间的构造，得出并证明了该空间自反当且仅当2 n v 2 的 重要结论，并且讨论了序列空间的子空间的某些问题在2 0 0 8 年p f o r a l e w s k i ，h h u d z i k 和l s z y m a s z k i e w i c z 的论文【9 】中，对o r l i c z l o r e n t z 序列空间的几何性质和拓扑性质 都做了研究，使得该空间的理论得到补充和完善但由于序列空间属于有原子无穷测 度空间的问题，很多在无原子有限测度空间中显然的命题需要系统地重新验证本文 试图做好这一工作 】 o r l i c z - l o r e n t z 空问中的端点 引言 二基本概念和命题 本文用r 、瓢，分别表示实数集，非负实数集和自然数集 一个函数妒：耳_ r + 称为o r l i c z 函数，若它满足：( 1 ) 妒为凸的，连续的； ( 2 ) 妒( o ) = 0 ，妒( u ) o ( u o ) ；( 3 ) 掣_ 一o 。) ，掣一o ( u _ o ) 函数妒的y o u n g 对偶砂为函数：妒( t ，) = s u p l u v | - 妒( t ) ) 定义p ( t | ) 为妒的右导 u o 数在本文中我们假定妒和妒均为o r l i c z 函数，则p ( t ) ：r + 一r + 是非降的，右连续 的，且满足； 妒( t ) = 劈p ( t ) d t ，并且有p ( 缸) ：0 o o ( u ：0 。o ) 众所周之，对任意的 u ，钉之0 都有删妒( u ) + 妒( 口) 成立，并且该式等号成立当且仅当t ，= p ( u ) o r l i c z 函数妒( u ) 满足以下性质：( 见f 1 0 】) ( a ) 对0 1 ，( 存在4 020 ，k 1 ，对任意的u o ，) 有o ( 2 u ) 却( 牡) ，称妒满足较小变量 的2 条件，若存在k 1 和u o 0 ，使当缸u o 时，有l ，o ( 2 u ) 忌妒( u ) 若妒2 ，则 称妒v 2 关于2 条件，我们有以下几个有用的性质：( 见【1 0 】) ( a ) 若妒2 ，妒a 2 ，贝0 妒a 2nv 2 ( b ) 妒a 2 营存在z 1 ，x o 0 ，k 1 ，对任意的z x o ，都有妒( 如) k 妒( z ) 下面我们给出o r l i c z l o r e n t z 空间的一些基本概念 令l o 为所有关于l e b e s g u e 测度m 可测的函数，： 0 ，y ) _ 冗组成的函数族一个 函数w ( t ) ： o ，y ) _ 风，其中，yso 。，被称作权函数，如果它是是非增并且局部可积 的 对于任意的，l o 定义其分布函数为： 办( 口) = m t 【o ，y ) ：i ，( t ) i 盯 2 o r l i c z l o r e n t z 空间中的端点 引言 其中口0 并且它的逆函数 ，+ ( t ) = i n f p 0 ：d ，( 口) t ) 其中t 【0 ，y ) ，被称作，的非增等可测重排从而显然有妒( ，( t ) ) = 妒( ，( t ) ) 定义妒的模p 妒：l o 一【0 ，。o 】如下； ( ，) ：厂1 妒( ，) 叫：厂妒( ，) t i j ：厂妒( ，( t ) ) 叫( t ) d i n ( ) j oj o j o 则它是正交次可加凸的，亦即，邝( 门= 0 当且仅当f = 0 ，邱( ，) = p 妒( 一，) ，若s u p p f n s u p p g = 0 ，则有p i p ( a f + z g ) q 加( ，) + 卢印( 夕) ，其中口+ 卢= 1 ，d ，p 0 并且加( ，十9 ) s ( ，) + ( 9 ) 。 o r l i c z - l o r e n t z 空间a 妒， 定义为可测函数f l o 组成的集合，满足加( a ，) 0 成立赋上l u x e m b u r g 范数： fj f = i n f 0 ：p 妒( i e ) 1 ) 仍记为a i p 一，则a i i p ， 为一b a n a c h 空间 a 垆上的o r l i c z 范数定义为： 1 1 1 1 0 = s u p ，+ ( 古) 矿( o ) 叫( ) 砒 p c ( g ) 1 0 赋o r l i c z 范数的a 妒，u 记为a 品一相对应的o r l i c z - l o r e n t z 序列空间记为入i p ，u 和a ；一 一个函数口：t o ，7 ) 一 o ，7 ) 被称作保测变换，若对于任意可测集ecf o ，谚，0 - - 1 ( e ) 是可测的，并且有m e = m p 一1 ( e ) ) s 为妒的所有严格凸点组成的集合，i e s _ o ) u uer + ：vo 妯 1 ，取矿的截断函数为： 2 ：( t ) = ( ( 1 ) ，。+ ( 2 ) ，z + ( 儿) ，o ，0 ，) 从而p v ( p ( i x 竹1 ) ) 1 ， 由o r l i c z 函数的性质( a ) 可得； 善妒c 酉鳊m 泌墨糕“， 从而由| l o 的定义，得： 俐i 。忙旷 = 熙，z 荆旷( i ) u ( i ) ( 掣) 1 ：； 静西糯) 。删孓糍畿泰而u ( t ) = 婴c q x * 流掣 = 坐茏p c 龋x n 产 ， = = ? 一j 工 憎l i 这与恻i 。s1 矛盾 5 o r l i c z l o r e n t z 空间中的端点 第一章o r l i c z - l o r e n t z 序列空问的基本理论 ( 2 ) 由( 1 ) 可知：p 妒c p ( i x l ) ) 1 于是： ( z ) = 妒( 矿( i ) ) u ( i ) i = l 妒( 矿( i ) ) u ( i ) + 妒o ( 矿( i ) ) ) u ( ) i - - - - 1i - - - 1 = 矿( 咖( 矿( i ) ) u ( i ) t = 1 晨是，矿( 咖伽( d ( | ，) 1 葛 = l i x l l o 定理1 2 若存在k 0 ，使得p 妒( p ( k i x l ) ) = 1 ，则有； 。= 矿( t ) p ( 矿( t ) ) u ( 1 ) = 去 1 + 加( 知z ) 】 证明：先证i i x l l 。= 霪1 ( t ) p ( 七矿( ) p ( t ) 由l i x l l 。的定义可知：i 。墨1 矿( i ) p ( 七矿( i ) p ( t ) 显然成立 1 1 2 1 1 。= s u p 矿( t ) 矿( t ) u ( t ) ，鲫( 可) 1 ) = 丢s u p 肘( t ) 旷( 1 ) u ( ) ，肿( ! ，) 1 ) = - s u lp 妻陋( 训踟+ 她邯) ) 】) ，鲫( 箩) 51 ) 云( 妇) + 1 1 = 去 妒( 妇俐u ( t ) + 矽p ( h + ( t ) ) ) u ( t ) 】 。i - - - - 1i = l = 乏1 如( 1 涫f ( i ) ) ( i ) = 矿( i ) p ( k x + ( t ) ) u ( t ) 忙n 所以i 。= 墨1 矿( i ) p ( k x + ( t ) ) u ( 习成立 对于第二个等号，由上面的证明过程可知墨1 矿( i ) p ( 七矿( t ) ) u ( t ) = 女【1 + ( 七z ) 】成 6 o r l i c z l o r e n t z 空间中的端点第一章o r l i c z - l o r e n t z 序列空间的基本理论 立 综上，我们有： i l x l l 。= 墨1 矿( i ) p ( k x + ( i ) ) u ( 1 ) = ( 1 + ( 妇) 】 与【l o 中的定理1 3 0 ，定理1 3 1 的证明相类似我们有下面相应的定理1 3 ，1 4 ： 定理1 3 对任意的z 入i p ，u ，有 。= 蕊老( 1 + 加( 忌z ) ) 定理1 4 对任意的z 入妒，u ，当且仅当k k ( z ) = 【k + ，k ”】时，有 。= k ( 1 + ( 尼。) ) = 麟丢( 1 + ( z ) ) ， 这里k + = i n f k 0 ：p 妒( p ( k t x l ) ) 1 ) ，k + + = s u p k 0 ：p 妒( y c k l x l ) ) s1 ) 定理1 5 设z 入妒，u ，秒a 妒，u ，贝u 有 ( 1 ) i | z i j 1 = 争1 9 妒( 。) l | z i i ； ( 2 ) 蚓i 1 兮p v ( z ) 忙 o o ( 3 ) 。+ ( t ) 秒+ ( i ) u 0 ) l i z i j 。| l s ，j j ，i n ； t = 1 ( 4 ) i i 。i | | i z 8 0 2 i f z | | 证明： ( 1 ) ，( 2 ) 的证明与f 10 】中相应的定理证明类似，故我们只证( 3 ) ( 4 ) ( 3 ) 因为( 簖) 1 ，所以三o o 矿( i ) 旷( t p ( t ) = l 星矿( ) 帮u ( t ) n ( 4 ) 对于a 纠，有如下事实成立sj 。1 兮p 妒c o ( i x l ) ) 1 ( 见 3 】) 令y ( i ) = p ( 群) ，则可( t ) 单调递减，从而y + = y 又因为l l 蒜i i 。1 ，所以脚( 矽) = 脚( p ( 群) ) 1 于是 纵赤) =纵厮) 2砉妒c 篇m d 薹妒( 器m 妻i = 1 州器舳 薹群p c 襻m d 丽1 暑o c , 州洲蝴) 丽1 。= 1 7 一 = = 一 o r l i c z l o r e n t z 空间中的端点第一章o r l i c z l o r e n t z 序列空间的基本理论 所以蚓l 恻i o 令舢( 可) 1 ，则有： 唧。p 砉群x o 以咖 s u 营妒( 篇川( i ) 黼) ( 蒜) + 鲫( 可 1 + 1 = 2 即蚓l 。2 1 1 x 1 1 综上：恻i 恻i 。2 i 例 所以我们说在o r l i c z l o r e n t z 序列空间中o r l i c z 范数和l u x e m b u r g 范数是等价的 第二节收敛定理 本节我们讨论模与范数在收敛性方面的一些结果 定理1 6 若妒簪a 2 ，则存在z 竹a 妒，。，使得i l z n i | = 1 ，但是加 竹) 妒( 叼) 成立对任意的竹，令 e = 石1 ，取 ) 的一列单调递减的子列，仍记为劬又因为罄1 u ( t ) = 。o ，所以可以取 到一列( 吻) ，满足k 0 = 1 ，且有下列一系列的不等式成立： 参妒( n ，) k lu ( t ) 鲁， 詈妒( q 2 ) u ( ) 妒( ) u ( t ) 2 j2 j + 1 ：r 垒 故l l 。n = 1 定理1 7 模收敛与范数收敛等价当且仅当妒2 证明： 先证。兮”若妒隹2 ，由定理1 6 可知，存在。n a 妒满足；( 茁住) _ 0 ，_ d 。) 且p 妒( 2 x 馆) _ o o ，从而2 0 z n 0 1 所以模收敛推不出范数收敛，矛盾所以 妒a 2 再证。”若加( 茁n ) _ 0 ，而蚓i _ 0 ，则存在实数o 0 以及z 住的子列，仍 记为( z n ) ，使( z n ) _ 0 ，而捌l 芝口故l i 鲁l i 1 ，这导致( 弩) 1 因为妒a 2 ， 所以存在呦和k l ，使得当t n 时，z ：( 1 ) u o 于 是，当n n 时，有 以鲁) = 塞妒( 掣m k 础n ) 砒 矛盾 定理1 8 设妒a 2 且$ n ，z a 妒，“j ，则 9 o r l i c z l o r e n t z 空间中的端点 第一章o r l i c z - l o r e n t z 序列空间的基本理论 ( 1 ) p v , ( x ) = o o 净忙l i = o o ； ( 2 ) l i = 1 l = 1 号加 ) = 1 ； ( 3 ) 任意e 0 ，存在6 0 ，当i i = l l 时，有踟( z ) 瓦 ( 4 ) 任意( 0 ，1 ) ，存在6 0 ，当( z ) 1 一时，有i i = l l 1 6 ； ( 5 ) 任意( 0 ，1 ) ，存在6 0 ，当( z ) 1 + 时，有i i = 1 i 1 + 6 证明；( 1 ) 假设存在l n ，使得i i = i is 厶即i i 量i i 1 ，则( 兰) s1 从而妒( 掣p ( 1 ) ( 兰) 1 ，故对一切i 有矿( t ) 矿( 1 ) l 妒一1 ( 南) 不妨设l 1 ，因为妒2 ， 所以存在u o o ，k 1 ，当让u o 时，有妒( 眈) k 妒( 让) 若u o 0 和茁n a i p ，u ，使得加( z 竹) 1 一，且1 1 = n 0 1 令o n = 南一1 ，则口n 1 ，且当竹_ 0 0 时，有口n 一0 令l = s u p n p 妒( 2 x n ) ) o o ， ( 对任意的n ，妒( z 三( 1 ) ) u ( 1 ) 加( z n ) 1 ，当 妒一1 ( 焉) 时， 妒( 2 u ) k 妒( t | ) 从而( 2 z n ) 0 ，存在6 0 ，当加( z ) 厶( 夕) s6 时，有 l + y ) 一加( z ) l e 第三节子空间 在讨论过模与范数的性质及收敛定理以后，我们接下来讨论一下子空间的问题 定理1 。1 0 设妒不满足2 条件，则存在支集互不相交的序列 ) a 妒舭满足踟( 鼽) 刍，l i 鼽| i = 1 ，且0 0 = 1 证明因为妒不满足2 条件，所以存在嗽0 ，满足妒( u 奄) u ( 1 ) 南，u k + l 2 k + 2 妒( u 知) 令鼽= 三u ( i ) ，下面可以证明存在【n 七) ，满足弼1 忑 妒( 心知) 5 靠；s 弼1 = r 。因为妒( u 1 如( 1 ) ，因此可以取到竹1 n 是满足 n 1 是满足去 ( 2 妒( 乱j c ) s n 。一- k + 2 百1 刚, ) s 睢- ) o o ( 1 + ：丢去) ( 1 2 2 去去 k = k x 。 o1 ：r z 二2 k = k x m n k 所以i = 1 令z m = (u 知e t ) z ，则i i z 。l | 恻i 因此存在m 1 n ， k = l $ = n k - - i + l ，nr l l 满足i | z m ，0 ，且令z 1 = ；，再令z 1 = z z 1 = z m =( u 腑) ，则 一 k = m l + 1i = n k - 1 十1 p 妒( z 1 ) p 妒( z ) 1 对于任意的a ( o ，1 ) ，( 冬) 曼(登妒( 警) u ( t ) ) = o o ，所以i l z l i i = 1 取 m 2 m 2 n ，令z 2 =(。f ku 娩) ，其中l l z 2 i i l 一 继续下去可得扛k ) ，满 k - - - - - m 1 + 1i = n k - 1 + 1 足1 一毒l l x k l l 1 令可1 = 曼z 2 k 一1 ，则l l 可1 l l i i z i i 1 ，又l l y l l l l l x 2 k 一1 1 1 1 ，所以l u 1 1 1 = 1 同理取 ( z i ：) = ( x 2 k ) 罂l ，可假设抛= 三舟一l ，l l u 2 1 i = 1 ，且 ( 眈) p 妒p i t 扎2 ) s 妒( 钍奄) 。 s 嘉 o 。， k = 2 2 互 继续下去可以取得具有不交支集的序列 ) ，曼：z ，i i 跏l i ：1 ，( ) 击，且 1 2 o r l i c z l o r e n t z 空间中的端点第一章o r l i c z - l o r e n t z 序列空间的基本理论 0 0 0 | i = 1 1 2 ：1 i = 1 n = l 定理1 1 1 若妒不满足2 条件，则a 妒一中有一子空间等距同构于严 证明若妒不满足2 条件，则对任意t 【o ，o 】，存在口 1 ，k 1 ，满足妒( 口t ) g v ( t ) ， 且存在u k 0 ，满足9 d ( u k ) w ( k ) 2 以- 1 及妒( ( 1 + ) u 七) 2 k 妒( 缸七) n 下证对某个递增的整数序列 n 七) f _ - o ，其中n o = 0 ，满足：2 一詹一1 妒( u 知) u ( i ) i - 再 一i + 1 2 ，( 七) 设佗1 是使得j m 1 ，满足z 2 =茁( 歹) 勺，且1 l z 2 1 1 1 一；因此可以构造 ，= m l + 1 o o 具有不交支集的序列 z 七) 入i p 舢使得1 一壶1 1 2 ：1 l 1 定义y i = 2 ：2 k 一1 ，则 七= l i l y l l l 忙i i 1 ，且i l 可1 i l i | z 2 七一l i i 1 ，所以i l 1 l l = 1 同理可取( z ；= ) = 2 知) 膣l ，定 义y 2 = 主z 缸一1 ，则i i 抛i l = 1 ，且y 1 与y 2 有不交的支集由此得到具有不交支 i c = 1 ，n 集的序列 弧) s ( 入妒，u ) ，且弧= z 定义一个正的线性算子p ：f o o 一久妒，u ，对于 4 - - - - 1 喜= f ( 七) z o o ，满足p ( 善) = f ( 七) 弧= s u p f ( k ) y k ，且p 是一个同构 1 3 o r l i c z l o r e n t z 空间中的端点 第二章赋l 一范数的o r l i c z - l o r e n t z 序列空间的端点 第二章赋l u x e m b u r g 范数的o r l i c z l o r e n t z 序列空间的端点 本节我们将利用上一节中的结果来研究o r l i c z l o r e n t z 序列空间关于l u x e m b u r g 范数的端点的等价性条件我们先来给出本节需要用到的一些基本定义以及两个相关 引理 一个b a n a c h 空间( x ，”l i ) 中的单位球面上的元素z 被称作x 的端点，如果满足 z = ( y + z ) 2 且l l y l i = i i z l i = 1 ，即可推出z = y = z 与a k a m i f i s k a 【1 1 】中的引理3 2 的结果相类似，我们得到下面引理： 引理2 1 令z ，秒a i p 一，设1 2 ( t ) l 0 并且i z ( t ) i l ! ，( 1 ) i 对一切i 都成立若对任意的p 0 都有心( p ) 0 ，使得对任 意的i b ，有矿( i ) 矿( i ) 证明：不失一般性可设m a 0 令h = z + 击l a 。由假设可得： 扩( i ) 矿( i ) 在一个正测 度集上成立 下证对某个口 0 ，有鳓( p ) ( 口) 若。( i ) = 0 在c 如上成立，其中m c 0 则对任意的口 口一元1 ) m l a n ：i x ( i ) l 味 从而有觚( 口) 触( 口) 若z 在a 上几乎处处为正，假设对所有的口 0 ，都有 仇( 【ie 厶：i x ( o l 护一去) 【i a n ：) i 口) ) = o 则有 m i 如：口一元1 m i 厶：i z ( i ) i p ) ，我们有脚( p ) 比( 口) 再由重排序列的定义，我们有t