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摘要 内容摘要：无网格伽辽金法是一种新兴且热门的数值计算方法，近年来，无网格伽辽金法 的快速发展引起了数学界的广泛重视。它采用移动最小二乘法拟合场函数，在计算时只需 要求解域内和边界的结点信息，不需要任何单元信息，克服了有限元对网格的依赖性，无 网格伽辽金法以它独特的优势成为有限元等数值分析方法的有益补充和发展。本文对这种 方法进行了总结，并将这种方法应用于非均质多孔介质地下水流问题中，得到了比较满意 的结果。 全文共分四章：第一章主要概述了无网格伽辽金法的研究历史和现状，及地下水数值 模拟的研究目的和意义。第二章给出了移动最d - - 乘法的基本原理及求解偏微分方程的加 权残量法，并介绍了这种方法的一种形式无网格伽辽金法，讨论了权函数、基函数、 结点影响域半径的种类和选取方法，详细介绍了积分方案的实施及本质边界条件的引入。 第三章详细推导了无网格伽辽金法应用于稳定流和非稳定流的控制方程，编制了无网格伽 辽金法计算程序，讨论了权函数、基函数、节点影响域半径对计算精度的影响。用无网格 伽辽金法对非均质地下水流问题进行了研究。并把已有的实验结果和有限元结果进行了比 较。算例表明，该法解决实际问题是有效的。第四章对无网格伽辽金法在非均质多孔介质 地下水流问题中的应用作了总结与展望。 关键词：无网格伽辽金法，移动最小二乘，背景网格，地下水流 a b s t r a c t c o n t e n t ：e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ( e f g m ) i san e wm e t h o da n dah o ts t u d yi nn u m e r i c a l a n a l y s i s ，r e c e n t l y , e f g md e v e l o p e dq u i c k l y , a n dh a v eb e e np a i dm u c ha t t e n t i o ni nm a t h e m a t i c s f i e l d s m o r ei m p o r t a n t ，m o v i n gl e a s ts q u a r e sm e t h o df i to ft h em a r k e tf u n c t i o ni su s e di nt h i s m e t h o d t h e r e f o r et h ec a l c u l a t i o no n l yn e e d st os o l v et h eb o r d e rr e g i o na n dt h ed e p a r t m e n to f n o d e i n f o r m a t i o n ，w i t h o u tt h en e e do fa n yu n i ti n f o r m a t i o n ，c o m p a r e dw i t ht h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ， t h ee l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o dh a su n i q u ea d v a n t a g e s ，i n d e p e n d e n to fm e s h e s ，a n dh a sb e c o m e t h ef m i t ee l e m e n tn u m e r i c a la n a l y s i so fi m p o r t a n tc o m p l e m e n ta n dd e v e l o p m e n t t h i sm e t h o di s s u m m a r i z e di nt h i sp a p e r ，a n dw ea p p l i e dt h i sm e t h o dt ot h eg r o u n d w a t e rf l o wi nh e t e r o g e n e o u s p o r o u sm e d i a t h e r e s u l t so ft h et e s t sa r ea c c e p t a b l e t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，f i r s t l y , w es u m m a r i z et h er e s e a r c h h i s t o r yo ft h ee f g ma n dc u r r e n ts t a t eo ft h ee f g m s e c o n d l y ，t h eg o a la n ds i g n i f i c a n c eo ft h e n u m e r i c a ls i m u l a t i o no fg r o u n d w a t e rs y s t e ma r ew r i t t e n i nc h a p t e rt w o ，w ed e s c r i b et h ep r i n c i p l e o ft h em o v i n gl e a s ts q u a r e sa n dr e v i e wa ni m p o r t a n ta n db a s i cm e t h o do fn u m e r i c a l l ys o l v i n g p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n - w e i g h t e dr e s i d u a lm e t h o d s t h e ne l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o di s m a d e t h e nt h et y p e sa n dt h es e l e c t i o nm e t h o do ft h ew e i g h t i n gf u n c t i o n ，t h eb a s i cf u n c t i o n ，a n d r a d i u so fi n f l u e n t i a ld o m a i na r ed i s c u s s e d i nt h ee n d ，a c c u r a c ya n de f f e c t i v e n e s so ft h r e ee f g m i n t e g r a t i o ns c h e m e sa r ee v a l u a t e d ，b a s e d o nt h er e s u l t s ，g a u s s i a ni n t e g r a t i o nm e t h o d 谢t 1 1 b a c k g r o u n dc e l l si sc h o s e t h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o ni si l l u s t r a t e di nd e t a i l s i nc h a p t e r t h r e e ，w ed e r i v ep r o c e s so fe f g mc o n t r o l l i n ge q u a t i o n t h e ne l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d p r o c e d u r ei sm a d e ，a n di n f l u e n c ef a c t o r so ft h ew e i g h t i n gf u n c t i o n ，t h eb a s i cf u n c t i o n ，r a d i u so f i n f l u e n t i a ld o m a i na n do t h e rf a c t o r so ft h ea c c u r a c yo fs o l u t i o na r ed i s c u s s e d t h e nw ea p p l i e dt h i s m e t h o dt ot h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no fg r o u n d w a t e rf l o wi nh e t e r o g e n e o u sp o r o u sm e d i a ，b yu s i n g a p r a c t i c a le x a m p l e t oc o m p a r et h er e s u l t so fe f g m 谢t l lt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h ec a l c u l a t e d e x a m p l es h o w se f g mh a sh i 曲p r e c i s i o nt os o l v et h eg r o u n d w a t e rf l o wp r o b l e m i nt h el a s t c h a p t e r , i tr e c o u n ts u m m a r ya n df o r e c a s to f e f g m k e y w o r d s ：e l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，m o v i n gl e a s ts q u a r e sm e t h o d ，b a c k g r o u n dc e l l s ，t h e g r o u n d w a t e rf l o w 无网格伽辽金法在非均质多孔介质水流问题中的应用 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特 别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其 他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示 谢意。 学位论文作者签名：鱼：! ! 整! 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：茎! ! 垂，指导教师签名：2 虱茎奎：塾 签名日期： 叶年占具) 日 无网格伽辽金法在非均质多孔介质水流问题中的应用 第1 章 引言 近些年来，偏微分方程组的数值解法一直是数学界的一个重要研究内容，有限差分 法、有限元法、边界元法都是其研究的有效方法，特别是有限元法影响最为深远，已成 为数值分析和计算中不可缺少的工具。然而传统的数值分析方法，共同的特点都是有网 格单元，每次计算时都要对求解域划分网格。对于计算规模大和网格划分要求很细的问 题，网格的生成需要占用大量的时间，求解所需的数据量也比较大，尤其对于复杂的三 维问题，这种局限性更加突出，同时网格生成算法的优劣也影响着生成的网格质量。不 同于有限元法，无网格伽辽金法的近似函数建立在一系列离散点上，只需要借助于背景 网格，克服了有限元法对网格的依赖性，在处理网格畸变、网格移动等问题时显示出明 显的优势。无网格伽辽金法的前、后处理过程也比有限元法更为简单，在很大程度上减 少了人工工作量，可以说无网格伽辽金法是有限元法的一个有益的补充。因此，无网格 伽辽金法的研究在近十年来引起了人们的高度重视，本文把无网格伽辽金法应用到非均 质多孔介质地下水流问题中，解决了有限元前处理中网格划分的难点问题，具有一定的 学术意义和应用前景。 1 1 无网格伽辽金方法的研究历史和现状 无网格方法最早产生于2 0 世纪7 0 年代。1 9 7 7 年澳大利亚m o n a s h 大学的g i n g o l d 、 m o n a g h a n $ 1 l u c y 提出了光滑粒流体动力学法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，即 s p h ) ，用以模拟天体物理现象一星球旋转及尘云( d u s tc l o u d s ) “卫一，该方法是纯拉格 朗日法，不需要网格，s w e g l e 、d y k a 等人提出了s p h 方法不稳定的起因及稳定化方案， j o h n s o n 和b e i s s e l 等人在1 9 9 6 年提出了一些改善应变计算的方法乜1 ，随后l i u 等人也提 出了对核函数的修正方案h 1 。 1 9 9 2 年n a y r o l e s 等人最早将移动最小二乘法用于g a l e r k i n 方法，并称之为漫射元法 ( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，即d e m ) ，分析了p o i s s o n 方程和弹性问题喵引。1 9 9 4 年 b e l y t s c h k o 等人在形函数，高阶高斯积分域和引入拉氏乘子施加本质边界条件等方面对 漫射元法进行了改进，提出无网格伽辽金法( e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，即e f g m ) 口1 。e f g m 方法计算稳定、精度高、收敛性好，是较为成熟的一种无网格方法，已经被 广泛的应用于工程力学的许多领域，掀起了无网格法的研究热潮。b e l y t s c h k o 等人又给 出了e f g m 的误差估计，对e f g m 中的数值积分方案及近似函数的计算方法进行了深入 研究。 1 9 9 5 年美国t e x a s 大学的著名学者o d e n 和他的学生d u a r t e ，在最小二乘原理的基 础上建立单位分解函数，由此构造权函数和试函数，进行场变量的近似，然后通过 无网格伽辽金法在非均质多孔介质水流问题中的应用 g a l e r k i n 变分原理建立离散模型，提出了h p c l o u d s 无网格数值方法。 1 9 9 6 年西班牙学者o n a t e 和i d e l s o h n 等随1 采用了m l s 构造形函数，提出了有限点法 ( f i n i t ep o i n tm e t h o d ，即f p m ) 。该方法摒弃了背景网格，采用配点格式进行离散，与广 义有限差分法相结合，是完全的无网格法。著名的力学家a t l u r i 等西1 将边界元法的思想 引入到无网格方法的研究当中，提出了局部边界积分法( l o c a lb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o nf l pl b i e ) 和局部p e t r o v g a l e r k i n 法( m e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o d 即 m l p g ) 。基于移动最小二乘法原理来建立对场函数的近似，而且在积分时不需要背景 网格，m l p g 法是真正的无网格方法。 无网格g a l e r k i n 法与有限元法的耦合，无网格g a l e r k i n 法与边界元法的耦合，s p h 法与有限元法的耦合，无网格g a l e r k i n 法与非协调元方法的耦合等都是随着研究的深入 不断出现的算法。在众多的无网格方法中，无网格g a l e r k i n 法以其成熟的理论基础、稳 定的数值、高精度、快收敛得到广泛的关注。 1 。2 地下水数值模拟的研究目的和意义 无网格法发展二十余年以来，其研究成果很多，但主要集中在应用无网格法解决一 些比较简单的线弹性问题，真正在地下水模拟中的应用很少。本文对无网格伽辽金法的 基本原理及数值解析方法进行探讨，并将无网格伽辽金法引入到非均质多孔介质地下水 模拟中来，进行地下水模拟的无网格伽辽金法分析。 资源与环境是人类生存和持续发展的物质条件，保护资源与环境是保证经济持续发 展、促进社会繁荣进步的一项战略任务。水资源是基础资源，是生态环境的重要组成部 分；同时又是战略性经济资源，是综合国力的有机组成部分。2 1 世纪我国已进入现代 化建设第三步战略目标的实施阶段，经济和社会将进一步发展，这是水资源供需问题的 重要时代背景。水资源能否合理的开发利用，即满足城市生活、工农业各行业用水需求， 又保护好生态环境不再继续恶化，将成为我国面临的时代挑战。随着工农业生产的发展 和人民生活水平的提高，地下水资源的供需矛盾日渐突出。因此，对地下水资源的评价 与管理提出了更高的要求，要从定量角度对地下水资源进行预测和评价，建立合理开发 利用方案。但水文地质条件的复杂性限制了用解析法解决问题的广泛性。于是，随着计 算机的广泛应用，数值计算方法在地下水资源分析评价中得到逐步推广，具有明显的通 用性和广泛的适用性。尤其近十几年来，国内外开发了许多功能多样的地下水数值模拟 软件，m o d f l o w 、m o d p a t h 、m t 3 d 、p e s t 等软件以其模块化、可视化、交互性、 求解方法多样化等特点得到广泛的使用，地下水系统数值模拟已构成现代水文地质学科 的形成和发展的重要推动力之一，成为人们揭示水文地质规律和资源评价与管理中必不 可少的工具。 在地下水数值模拟中常用到的方法有：有限差分法( f d m ) 、有限元法( f e m ) 、边界 2 无网格伽辽金法在非均质多孔介质水流问题申的应用 元法( b e m ) 和有限分析法( f a m ) 。将无网格伽辽金法( e f g m ) 应用于地下水数值模拟 中是非常有意义的尝试，因为这种方法的易用性和精度都较有限元法有了较大提高，可 以更有效的解决问题，并且大大降低了成本。 1 3 本文的主要工作和创新性 本文的主要工作及创新性主要有以下几个方面： 1 系统总结了无网格伽辽金法的数学基础：移动最小二乘法的基本原理、加权残 量法、权函数的类型选取和构造方法、积分方案及位移边界条件的施加。 2 对非均质多孔介质中地下水流问题进行了无网格伽辽金法分析，分别对稳定和 不稳定水流问题进行了研究。详细推导了无网格伽辽金法在非均质多孔介质中稳定流和 非稳定流的控制方程，利用m a t l a b 语言编制了算法的实现程序并画出图形。重点讨论 了无网格伽辽金法应用于稳定水流问题时的影响因素，即权函数、基函数、以及影响域 半径对计算精度的影响。通过具体的实例探索了无网格伽辽金法用于解决非均质地下水 流问题的可行性及有效性。 3 无网格伽辽金法在非均质多孔介质水流问题中的应用 第2 章无网格伽辽金法的基本原理 无网格伽辽金法与有限元法有很多相似的地方，又有它独特的优点。它保留了有限 元法的一些特点，克服了有限元法的某些不足，避免了网格的划分和重划，以及数据准 备工作量大的问题，具有前后处理简单、计算稳定、精度高的特点。本文首先对移动最 t b - - 乘原理所涉及的数学理论作了介绍，并对无网格伽辽金法的数学基础加权残量 法作了分析，然后分析了无网格伽辽金法的积分方案，最后引入l a g r a n g e 乘子法、罚 函数法和与有限元耦合的方法等三类无网格法中常用本质边界条件施加方法。 2 1 移动最小二乘法 2 1 1 移动最小二乘法原理 移动最t b - 乘法( m l s ) 于8 0 年代初由l a n c a s t e r 和s a l k a u s k a s 较为系统地提出n 训。 它是用加权最小二乘法来近似场函数的一种方法，可用于曲线或曲面的拟合。该方法能 通过几个互不相关节点上的值拟合出一个函数，该函数的光滑性好、导数连续。无网格 伽辽金法就是应用移动最小二乘法产生的光滑函数来近似函数的，本文从基本的数学理 论出发，对该方法做系统的介绍。 在求解区域q 内，设函数u ( x ) 在区域q 。内的局部近似函数“ ( x ) 可表示为 i t h ( x ，i ) = 易( 孓) 口，( x ) = p7 ( x - - ) a ( x ) ( 2 1 1 ) i = l 其中q 内有个节点x 。( i = l ，2 ，n ) ，x q 为计算点，它可以取节点以外的点， q 。为x 的邻域。p 。( 孓) 是基函数，m 是基函数的项数，p ( i ) = 【局( 孓) ，p 2 ( i ) 见( 孓) 】1 是基向量，m 是基函数的个数。 为了计算的方便，基函数可以取为以下几种形式： 一维单项式基函数： p ( x - ) = 【l ，x 】r线性基向量 p ( x - ) = 【1 ，x ，x 2 r二次基向量 二维空间单项式基函数：p ( x - ) = 【1 ，五y r线性基向量 p ( 孓) = 【1 ，x ，j ，x 2 , x y ，y 2 】r二次基向量 p ( 孓) = 【1 ，工，y ，x 2x y ，y 2x 3z 2 y ，砂2 ，y 3 r三次基向量 式( 1 ) 中a ( x ) = 【口l ( x ) ，口：( x ) ，口册( x ) 】7 是相应的待定系数q ( x ) 组成的向量，与有限元 法中求单元插值函数的系数不同。后者在各个单元是常向量，而前者是计算点的函数， 同时与计算点邻域内的节点有关，这在后面的过程中可以清楚地看出，这也是“移动 4 无网格伽辽金法在非均质多孔介质水流问题中的应用 的由来。在每个节点x 。处定义一个紧支权函数q ( x ) = c o ( x - - x 。) ，它的支撑域为q ，也 是节点x 。的影响域。设计算点x 的邻域q 。包括个节点，近似函数矿伍x - ) 在这些节点 x = i 处的误差的加权平方和为： j ( x ) = 艺q ( x ) 矿( x , x i ) 一材( x 。) 。，”1 厂 1 2 ( 2 1 2 ) ，rm 、7 = q ( x ) l 尼( x 。) q ( x ) 一甜，l 式( 2 1 2 ) 中国是带有影响域的权函数，是积分点x 影响域内的节点个数。 令d ( x ) 关于系数q ( i = l ，2 ，朋) 取最小值 器= 2 粪叫缸绀小m = 。j = 1 , 2 , - - , m 邮， 由此得： q ( x ) 易( x 。h ( x ) 乃( x 。) = 竹( x ，p j ( x 。) 即： a ( x ) a ( x ) = b ( x ) u ( 2 1 4 ) 其中： a ( x ) = c o l ( x ) p ( x 。) p7 ( x ) b ( x ) = 【q ( x ) p ( x 1 ) ，c ( x ) p ( x 2 ) ，c ( x ) p ( x n ) 】 r1 u 5 【u n ，u 29 o - ，u nj 1 土i ( 2 1 4 ) 式可得待定系数向量为： a ( x ) = a 1 ( x ) b ( x ) u ( 2 1 5 ) 把( 2 1 5 ) 代入式( 2 1 1 ) ，近似函数甜6 ( x ，_ ) 可表示为： 材6 ( x ，i ) = p7 1 ( 孓) a 一1 ( x ) b ( x ) u = n ( x ，x - ) u( 2 1 6 ) 其中形函数n ( x ，x - ) 为： n ( x ，习= p 7 ( _ ) a - 1 ( x ) b ( x ) 这里待求函数材( x ) 在计算点x 的邻域q 。内的局部最佳近似是近似函数“6 ( x ，- ) 。待 求函数扰( x ) 在求解域q 内的全局近似函数, ( x ) 是由所有这些局部近似函数“6 ( x x - ) 在 点x = 孓的值的结合所构成的。如图2 1 所示给出了一维问题局部近似和全局近似之间 的关系。因此由( 2 1 6 ) 式得全局近似函数为： 无网格伽辽金法在非均质多孔介质水流问题中的应用 材( x ) 材6 ( x ) = m ( x ) = n ( x ) u i = l 其中n ( x ) n ( x ) = n ( x ，习i i 。= p t ( x ) a d ( x ) b ( x ) 为m l s 近似的形函数。 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) xx 图2 - 1 局部近似函数矿( x ，x - - ) 和全局近似函数甜“( x ) 当k = 0 时，即为常数基情况，m l s 形函数n ( x ) 为s h e p a r d 函数： ，( x ) = 孚盟 ( 2 1 9 ) ( o ( x - - x i ) 1 = 1 m l s 在无网格伽辽金法中被用来求解整个求解域上场变量的近似函数，这是无网 格伽辽金法与有限元法的一个根本区别。如图2 2 所示：有限元法中整个求解域被离散 为一系列单元，形函数在单元内通过插值的方式建立；而在无网格伽辽金法中，求解域 被离散为一系列的节点，节点间不存在网格的限制，形函数在节点影响域内由移动最小 二乘近似构造。 a 有限元离散 b 无网格离散 图2 - 2 无网格法和有限元离散的差别 2 1 2 权函数的选取 在实施m l s 方法时，必须首先选择权函数q ( x ) = ( _ o ( x - - x 。) 。权函数在移动最d 、- - 乘法中起着至关重要的作用，将直接影响无网格法的计算精度和计算的复杂性。本小节 将对权函数的选取原则、权函数的类型作详细的介绍。 1 权函数的选取原则 6 无网格伽辽金法在非均质多孔介质水流问题中的应用 权函数的选取应遵循以f 几个原则： ( 1 ) 权函数必须非负。 ( 2 ) x 的点的权函数在自身取最大值，离x 点越近，权值越大，越远权值越小， 且在某个影响半径之外为0 ，即具有紧支性。 ( 3 ) 权函数应在整个域内连续，以保证移动最d x - - 乘法近似函数光滑。 2 权函数的类型 权函数的类型有多种多样，例如高斯函数、指数函数、锥型函数、样条函数等。权 函数的选取没有理论上的具体依据，只要满足权函数的选取原则即可。权函数的类型n 1 1 如下所示： ，_ 等矧 亿。， 【0 r l 国( 厂) ： p 1 7 7 口r ，：( 2 1 1 1 ) 10， 1 国c ，= 1 6 ，2 苫厂3 3 ，4 ：三：c 2 2 ， 缈c r ，= 1 - 1 0 r 3 + 三5 ，4 6 ，5 二至： c 2 t t 3 ， f 2 3 - 4 r 2 + 4 r 3 ，_ 1 2 c o ( r ) = 4 3 4 r + 4 r 2 - 4 r 3 1 31 2 1 国c ，= 1 3 r ：+ 2 ，3 ：至： c 2 - - 5 ， f 1 - 2 r 2r - ， n ，( x ) u ， d n f n ；b 【乏n ，( x ) u ， d r = 0 j = l 2 ，n ( 2 2 1 1 ) 对上式进行分部积分得： l c ( n ；) d 【善n ，( x ) u t d n f e ( n j 妒【二n ，( x ) u ， d r = 0 j 2 1 ，2 ，n ( 2 2 。1 2 ) g a l e r k i n 法是加权残量法中最有效的一种形式，其原因是：得到求解方程的系数 矩阵是对称的。很多情况下，用g a l e r k i n 法得到的公式和用能量法得到的公式相同， 因此具有特定的物理意义。许多无网格法都基于伽辽金法来建立求解方程，如无网格伽 辽金法( e f g m ) 、重构核点法( r k p m ) 、h p 云团法、单位分解法( p u m ) 等。其中，以移 动最, j , - - 乘近似为基础的就是无网格伽辽金法，该法利用g a l e r k i n 法得到等效积分方 程，并用相应的边界处理方案对本质边界条件进行处理，从而得到微分方程的g a l e r k i n 弱形式。 2 2 2 无网格伽辽金法积分方案 在用有限元法进行积分时，首先将域q 离散成一系列的单元，然后将对域q 的积 分转化为对各单元积分之和。因为有限元的被积函数是多项式，可以用高斯积分精确计 算，但是在用无网格伽辽金法进行积分时，域q 用节点离散的，不存在网格，而且近似 函数一般不是多项式，所以难以用高斯积分来精确计算。无网格伽辽金法中积分方案通 常有三种方式：点积分、有限元网格积分、背景网格积分。 1 点积分即积分通过节点来实现，对函数f ( x ，y ) 的积分公式，直接作如下离散化 处理，即： 玉 l f ( x ，y ) d n 。= f ( x t ) c o t 式中，是积分点数，而是第1 个积分点的坐标，国，为相应的权系数。这种积分方案是 最快的，但是它不稳定。b e i s s e l n 6 1 等在能量泛函中增加稳定项，得到相应控制方程，缺 点是计算过程复杂，而且还要选择稳定系数。庞作会n 刀等通过将积分子域划分得足够小 实现点积分。j s c h e nn 砌提出的应变平滑的稳定化方法可消除奇异模式下的积分不稳 定性，使积分效果得到改善，尽管稳定性得到改善，但节点积分的精度仍然较低。 ， 有限元阿格 图2 - 9 有限元背景网格积分 1 1 无网格伽辽金法在非均质多孔介质水流问题中的应用 2 有限元网格积分方案把求解域q 离散成一系列的有限单元充当背景网格，如上 图2 - 9 所示，域q 的积分转化成对各单元的积分之和。这样得到的积分网格完全在求解 域内部，避免了积分点与求解域关系的判断。但是，有限元网格的构建对节点位置约束 性较强，前处理复杂，该方法对于那些与有限元耦合的无网格方法有重要意义。可以根 据需要，划分有限元近似区域和无网格近似区域。背景网格在有限元区域作为网格划分， 在无网格区域进行积分计算。 3 背景网格积分即单元积分，采用规则分割、独立于结构的矩形背景网格形成积 分单元，背景网格中的每一个单元称为c e l l 结构，这种背景网格仅仅用来积分。这种积 分方案似乎很粗糙，因为某些积分网格内部存在不连续界面或区域的边界，这些边界与 背景网格的边界不一致。但实际计算表明，积分网格内部包含的不连续性对结果的影响 是很小的。本文采用背景网格积分运算，用规则的网格覆盖域q ，将域q 划分为，个 积分子域，每个积分子域内采用高斯积分。设每个积分子域有刀。个高斯点，则任一函 数f ( x ，j ，) 在q 内的积分为： l 厂( 毛y ) d q = 荤( e 咖e 厂( 五y ) 出) ( 2 2 1 3 ) 在每个积分子域上，作如下的积分变换 l b x a xb x + a x lx = 一t + 一 22 (2214)b i 】，：y - a y f + b y + a y 、 l 22 其中，t 【- 1 ，1 】，( x ，y ) a x ，缸】u 缈，b y 】。 有变式( 2 2 1 4 ) ，式( 2 2 1 3 ) 可化为： l 厂( x ，j ，) d q = 季e 砂e 厂( x ，y ) 出 = 芝，咖f l f ( t x , t y ) d t x = 吆厂( 吆，哌) = ( 咯，坛) ( 2 2 1 5 ) 其中= 丝吾竺鱼，二型以称为积分域【甜，k 】u 【缈，b y 内的高斯积分权重。这里 如为( - 1 ，1 ) 上的第后个积分点气的积分权。积分背景网格和高斯点等分布如图2 1 0 所示， 1 2 无网格伽辽金法在非均质多孔介质水流问题中的应用 同 背景喇辂 ll q 图2 - 1 0 积分背景网格和高斯点分布图 计算区域q 为图中实线所包围的区域。图中各空心圆为节点，其分布可以随机分布， 也可以人为指定，为了实现积分，需要布置一个背景积分网格，如图中虚线所示。积分 网格与计算域及节点相互独立，但必须完全覆盖计算区域q 。积分子域采用如图2 - 1 0 所示的虚线所形成的矩形网格，在每个矩形网格上形成高斯积分点，计算时只考虑位于 域内的高斯点，域外的则不予考虑。 第2 、3 种积分方案最大的缺点是没有彻底地抛弃网格。但是，背景网格的存在仅 仅是为了完成区域和边界积分，并不影响无网格伽辽金法的本质。 2 2 3 位移边界条件施加 无网格g a l e r k i n 法的积分格式与有限元法基本上是一样的，只是由于m l s 近似函数 不通过节点值，无网格g a l e r k i n 法中的位移边界条件需要特殊处理。文献中处理位移边 界条件主要有下列几种方法：l a g r a n g e 乘子法例、罚函数法乜、修正的变分原理乜纠、与 有限元法耦合法1 等方法。 l a g r a n g e 乘子法是引入本质边界条件比较精确的方法，但其最大的缺点是引入了新 的未知量，使得离散的系数矩阵不再是正定对称的。对于小规模二维问题的运算，这种 方法很适用，而对于规模较大的问题，其方程求解的工作量相当大。 采用罚函数法可以不增加未知量，并且使离散生成的系数矩阵保持正定、带状的特点， 该方法更直观、简洁，易于程序实现，但其罚参数不易确定。修正的变分原理是将 l a g r a n g e 乘子用相应的物理量代替，这样就可以避免新的未知量产生的不良影响，其方 程求解的工作量比l a g r a n g e 乘子法减少许多，但在许多情况下，虽然l a g r a n g e 乘子具 有明确的物理意义，其值却不易确定。与有限元法耦合法是指在边界附近划分单元，内 部用无网格法，边界附近用有限元法，从而可以精确地处理边界条件，但这种方法显然 违背了无网格法的精神，本文不采用该法，主要用罚函数法施加位移边界条件。 1 3 无网格伽辽金法在非均质多孔介质水流问题中的应用 第3 章无网格伽辽金法在非均质多孔介质水流问题中的应用 自然界中地下水含水系统大多是非均质的，应用有限元法求解非均质多孔介质的地 下水流问题，需要网格的初始划分和重构，对时间相关问题更要按时段反复重分网格， 大大增加了计算工作量，因此，人们一直致力于寻求某些方法，使之既能彻底或部分的 消除网格，又可以保持较好的精度。无网格伽辽金法就可以很好地实现这一目标。该法 只需要背景网格，网格的划分仅仅只是用于数值积分计算，问题域由一系列任意分布的 节点来代替，不需要用单元或网格来进行变量插值，因此在处理非均质的地下水流问题 时比传统的有限元法更加灵活有效，此外还有精度高、前后处理方便等优点。本文首先 推导了无网格伽辽金法在稳定和非稳定地下水流中的控制方程，然后对参数连续变化、 参数突变、参数渐变3 种非均质条件下的二维地下水流数学模型分别应用无网格伽辽金 法和传统有限元法求解，将两种方法的计算结果与解析解或采用精细剖分的有限元法的 数值解进行比较。其中重点介绍了参数连续变化情况下，权函数、基函数、求解域半径 对无网格伽辽金法求解稳定地下水流问题计算精度的影响。 3 1 二维稳定流问题的无网格g a l e r k i n 法 3 1 1 虚功原理 考虑如下地下水稳定渗流问题，微分方程如下： 一v挲(kv二h三)=厂(x，y)q ( 3 1 1 ) j i = 似y ) 为渗透系数，日为地f 水水头，f ( x ，y ) 为源汇项，q 为研冤区域，f l 为q 上 的第一类边界，f 2 为q 上的