数理金融复习题含答案.pdf

注 此答案仅供参考 若有错漏敬请见谅 1 1 什么是一阶随机占优 一阶随机占优的充要条件是什么 答 如果所有具有连续递增效用函数的投资者对资产 A 的偏好胜过对资产 B 的偏好 我们 称资产 A 一阶随机占优于资产 B 记为 BA FSD 设 xFA xFB分别是资产 A 的收益率 A R和 B R的分布函数 其定义域为 a b 则BA FSD 的充要条件是 xFA xFB 2 什么是二阶随机占优 二阶随机占优的充要条件是什么 答 如果对所有具有连续递增效用函数的风险厌恶的投资者偏好资产 A 胜过偏好资产 B 则称风险资产 A 二阶随机占优于资产 B 记为 BA SSD BA SSD 的充要条件是0 xS 其中 x AB a S xF tF t dt bax 3 什么是凸度 说明凸度与债券价格之间的关系 答 凸度是价格波动率的测度 称 Vdr Vd1 2 2 为凸度通常记为 a T 可表示为 T t t t a r Ctt rV T 1 2 1 1 1 1 其中 V 债券价格 T 债券期限 r 市场利率 t C t 年时的年息 凸度反映了债券价格随收益率变化的幅度的大小 当债券价格不变时 凸度越大 2 2 dr Vd 越 大 债券价格的变化幅度越大 4 什么是买入期权与卖出期权平价 以欧式股票期权为例给出平价 公式 答 买入期权 卖出期权和标的资产三者之间存在着一种价格依赖关系 他们之间的这种价 格依赖关系 就称为买入期权 卖出期权平价 平价公式 rtrt EePSCEeSPC 0 其中 S 为股票市价 C 为买入期权价格 P 为卖出期权市价 E 为施权价 t 为距施权日 时间 r 为利率 注 此答案仅供参考 若有错漏敬请见谅 2 5 什么是最小方差投资组合 并写出最小方差投资组合的数学模型 答 如果一个投资组合对确定的期望收益有最小方差 那么称该投资组合为最小方差投资组 合 最优模型 E R 1 min T 2 1 2 2 1 REw wl ts ww w T T w 其中 期望收益方差 协方差矩阵 收益率方差投资组合列向量 2 w w 6 影响债券定价的因素主要有哪些 答 影响债券定价的因素有 债券的面值 P 债券的票面利息 c 债券的有效期 T 是否可 提前赎回 是否可转换 流通性 违约可能性 影响债券定价的外部因素有 基准利率 即无风险利率 市场利率 通货膨胀率 7 什么是偏好关系 偏好关系的三条重要性质 字典序是什么 答 满足反身性 可比较性 传递性的一个二元关系称为偏好关系 偏好关系的三条重要性 质为序保持性 中值性 有界性 2 P 字典序是一个偏好关系 满足在 定义 或者如果中 若 B 0 0 22112121 212222112 yx yxyyxx xxByx yxyxyxB 8 投资者有几种类型 他们的效用函数各有什么特点 答 风险爱好型 其效用函数为凸函数 风险厌恶型 其效用函数为凹函数 风险中型 其 效用函数为线性函数 9 买入期权 期权的施权价 期权的施权日 期权的标的资产的定 义 答 买入期权 一种给与其持有者在给定时间 或在此时间之前的任一时刻按规定价格买入 一定数量某种资产的权利的法律合同 期权的施权价 施权合同中规定的购入或售出某种资产的价格 注 此答案仅供参考 若有错漏敬请见谅 3 期权的施权日 期权合同规定的期权的最后有效期 期权的标的资产 期权合同规定的双方买入或售出的资产 10 设市场利率为12 求每年付息 90 元 面值为 1000 元 每年付 息两次 期限为 20 年的债券价格 每年付息一次又如何计算 解 每年派息 m 次的债券定价公式 1 11 mT tmT t c P m V rr mm 代入数据得 202 1 202 2 12 0 2 12 0 2 90 30 774 1 1000 1 t t V 11 企业 1 在时期 1t 将发行 100 股股票 该种股票在时期 2t 的价 值为随机变量 1 2 V 企业的资金都是通过发行这种股票而筹集的 以 至于股票持有者有资格获得完全的收益流 最后给出的有关数据是 1 1 1000 2 2 1 800 2 P V P 1 0 045 M Cov XX var 0 3 M X 0 10r 0 20 M E X 试用资本资产基本定价方程求出该股票的合理价值 注 此答案仅供参考 若有错漏敬请见谅 4 12 基于单因子模型 无风险证券的回报率为4 一个具有单位因子 敏感度的投资组合期望回报率为7 考虑具有下述特征的三种证券 的一个投资组合 证券 因子敏感度 比例 A 1 5 0 10 B 3 0 0 20 C 2 0 0 70 根据套利定价理论 该组合的均衡期望回报率是多少 解 由题意 10 30 2 4 13 30 3 4 5 8 35 1 4 3 4 7 cfc BfB AfA fw brRE brRE brRE rRE 证券组合回报率为 45 10 107 0 132 0 5 81 0 CCBBAA RERERERE 13 市场上发行甲 乙 丙三种股票 它们在 0 时刻的发行价分别为 每股 10 元 11 元 12 元 在 1 时刻可以上市交易 预测上市交易开 盘价及开盘价发生的概率如下 12 元 股 13 元 股 14 元 股 15 元 股 16 元 股 17 元 股 甲 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 乙 0 05 0 15 0 3 0 3 0 15 0 05 丙 0 0 0 15 0 35 0 35 0 15 各股票之间的相关系数为 0 8 0 75 0 85 甲甲乙乙乙乙丙丙丙丙甲甲 银行在 0 时刻 股票 概率 股价 注 此答案仅供参考 若有错漏敬请见谅 5 发行债券 价格为 10 元 1 时刻赎回价为 12 5 元 求 1 各股票的期望收益率 2 各股票收益率的方差 3 若某投资者对甲乙丙三种股票及债券的投资组合为 1 1 1 1 6 6 6 2 求 的期望收益率和方差 解 1 2 29 12 5 3 8 31 11 5 3 35 10 5 3 5 3 5 3 5 3 0 6 1 0 c b a a cba i ii r r A rE r rErErE pAArE期望收益 2 3 14 若某投资者的效用函数为 0 bx V xeb 1 判断该投资者的风险类型 2 计算阿罗 伯瑞特 Arrow Pratt 绝对风险厌恶函数 解 1 恶型 所以该投资者为风险厌 0 0 2 bxbx ebxVbexV 2 b be eb xV xV xA bx bx 2 15 给定市场组合的期望回报率为10 无风险证券的回报率为6 证券A的贝塔值为0 85 证券B的贝塔值为1 20 1 画出证券市场线 2 求出证券市场线的方程式 3 求证券A和证券B的均衡期望回报率 A r 和 B r 注 此答案仅供参考 若有错漏敬请见谅 6 解 1 2 04 006 0 06 0 1 0 06 0 rE rE 3 108 0 04 0 06 0 094 0 04 0 06 0 BB AA rE rE 16 已知两种股票 A B 的期望回报率向量为 12 0 1 0 2 TT rr r 协 方差矩阵