（管理科学与工程专业论文）基于模拟退火算法的贷款组合优化研究.pdf

摘要 现代商业银行所经营的业务可以分成资金组织业务 信贷业务和其他中间业 务三大类 其风险主要集中在信贷方而 国内外商业银行在信贷风险控制方面不 断推陈出新 在保证流动性 安全性以及监管要求的前提下 提高银行的盈利能 力 同时 经济全球化 金融一体化和银行业电子化 迅速扩大了银行客户规模 也使得成千上万的银行开始面对面地竞争 银行业顾客基础的变化改变了银行贷 款组合结构 使数量大 信用高的贷款比例进一步下降 小企业 信用低风险大 的贷款比例进一步增大 我国商业银行通过控制单笔贷款的风险等级实现控制总 体贷款组合风险等级目标的方式亦需要在趋于白热化的竞争中开始变革 以适应 不断变化的外部环境 论文首先从商业银行信贷风险管理的现状入手 阐明了采用贷款组合减少信 贷风险的必要性 对基于单位风险收益最大化原则的银行贷款组合优化决策模型 进行了深入的理论分析 提出了建模的原则和假设 并给出了基于风险效益综合 评价的贷款风险组合优化模型 然后从计算方法上 将该贷款组合优化问题归结 为一类有上下限的非连续 多峰的特殊背包问题 当问题规模较小时 可用线性 规划 整数规划 动态规划等经典算法求解 当规模增大时 求解的规模呈指数 增长 需要采用近似算法均衡最终解质量和求解时间 本文应用带记忆功能的模 拟退火算法 结合理论分析和经验法则 通过大量试验确定了一组有效的冷却进 度表参数 成功地解决了这个复杂而特殊的背包问题 关键词 贷款组合背包问题模拟退火算法冷却进度表 a b s t r a c t t h eb u s i n e s so fm o d e r nc o m m e r c i a lb a n k si n c l u d e sc a p i t a lo r g a n i z a t i o n c r e d i t b u s i n e s sa n do t h e ri n t e r m e d i a t eb u s i n e s s a n dm a j o rr i s k sf o c u so nc r e d i tl o a n st h e d o m e s t i ca n di n t e r n a t i o n a lc o m m e r c i a lb a n k s p u tf o r t hn e w i d e a st oc o n t r o lc r e d i tr i s k a n da l s o w i t he c o n o m i c g t o b a l i z a t i o n d e v e l o p m e n t o fs c i e n c ea n d t e c h n i q u e c u s t o m e rs c a l eo fb a n ke n l a r g e sr a p i d l y w h i c hm a k e st h o u s a n d so fb a n k sc o m p e t ef a c e t of a c ec o m m e r c i a lb a n k sc o n f r o n ti n c a n d e s c e n tc o m p e t i t i o nc o m m e r c i a lb a n k so f o u rc o u n t r yc o n t r o ll o a n sr i s kb ym a n a g i n gt h er i s kg r a d eo f s i n g l el o a n w h i c hn e e d a d j u s t e di no r d e r t om e e tw i t ht h ef i e r c ec o m p e t i t i o n f i r s t l y t h i s t h e s i ss t a r t sw i t hc r e d i t r i s k m a n a g e m e n to fc o m m e r c i a lb a n k s d e s c r i b e st h en e c e s s a r yo f a p p l y i n gl o a n s p o r t f o l i ot or e d u c el o a nr i s k a n db u i l d su pa d e c i s i o n m a k i n g m o d e lo f l o a n s p o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n b a s e do n p r i n c i p l e o f m a x i m u me a r n i n ga n dm i n i m u mr i s k t h e n a n a l y z e df r o mc a l c u l a t i o nm e t h o d s t h i s m o d e li sa t y p e o fk n a p s a c kp r o b l e mw i t hr e s t r i c t i o n sb e t w e e nl o w e r l i m i ta n d u p p e r l i m i t w h i c hi sad i s c o n t i n u o u s a n dm u l t i m a x i m u m c o m p l i c a t e dp r o b l e m w h e n p r o b l e m s c a l ei s s m a l l w e c a n a d o p tm a n yc l a s s i c a la l g o r i t h m s s u c ha sl i n e a r p r o g r a m m i n gi n t e g e rp r o g r a m m i n g b r a n c ha n db o u n dm e t h o dt os o l v et h i sp r o b l e m b u t w h i l es c a l ei n c r e a s e s s o l v i n gp r o c e s sb e c o m e t o ol o n g s ow en e e da p p r o x i m a t e a l g o r i t h m t oa c h i e v et h eb a l a n c eb e t w e e nt h e q u a l i t yo f r e s u l ta n d t i m e b ym a k i n g u s e o fs i m u l a t e da n n e a l i n g a l g o r i t h mw i t hm e m o r y a n dd e t e r m i n i n ga s e to fe f f e c t i v e c o o l i n g s c h e d u l e t h et h e s i s s o l v e st h i s c o m p l e x a n d s p e c i a lk n a p s a c kp r o b l e m s u c c e s s f u l l y k e y w o r d s l o a n s p o r t f o l i o s i m u l a t e d a n n e a l i n ga l g o r i t h m k n a p s a c k p r o b l e m c o o l i n gs c h e d u l e 1 1 选题背景 第一章绪论 据英国 银行家 杂志披露 我国大陆地区有1 4 家银行入选世界10 0 0 家大银行 之列 4 家国有商业银行按资产或资本排名均可进入前5 0 家行列 但从资本利润率上 看 这1 4 家银行的平均资本利润率只有4 6 4 远远低于英国银行业2 6 4 3 美国银 行业2 0 4 1 新加坡银行业1 5 5 7 的平均资本利润率 1 与平均资本利润率较低相对 应的是规模最大的4 家银行接近3 0 的不良贷款率 我们不否认历史和制度原因在一定 程度上造成这一现象 但是在成立了资产管理公司 剥离了巨额坏帐之后 国有商业 银行不良贷款率的降低幅度仍不显著 事实表明 商业银行在风险管理的理念 技术 和手段等方面与国际同行业存在很大的差距 信贷业务是商业银行的基础业务和中 心环节 其资产状况和风险状况直接关系商业银行的生存和发展 1 加强商业银行 信贷风险管理 突破其中的技术难题 缩小其与国际同行业的差距 己成为商业银行 管理的当务之急 同时 银行业又是一个信息汇集的行业 在传统的信贷风险管理中 由于搜 集和分析数据信息困难 人们大多凭经验和直觉来进行信贷风险的分析和控制 定性内容很多 定量化的手段不足 迄今为止 商业银行的信贷风险分析 模型 很多 算法各异 效果差别很大 还没有形成一种有效的评价标准 近年来 各 银行业务系统不断升级 实现了数据大集中 为贷款风险决策和定量分析提供了 条件 本文以此为出发点 构建了基于风险效益综合评价的商业银行贷款组合优 化模型 并采用模拟退火算法对商业银行贷款组合优化模型进行求解 以期得到 合理的评价结果作为风险决策的依据 1 2 国内外研究现状 1 2 1 商业银行贷款风险控制的研究现状 银行的各种信用风险评价方法和模型之间有着或多或少的联系 但总体上呈 现出从定性到定量 从简单到复杂 从微观层次的个别资产信贷风险评价到宏观 层次的资产组合信贷风险评价的趋势 根据信贷风险评价模型的理论基础 复杂 性和应用时间不同 可分为传统的信贷风险控制模型和基于金融理论与金融市场 资料的新模型o 传统方法主要包括专家方法 评级分级方法和信用评分方法 其中专家方法 是以5 c 法为代表的一类主要依赖于主观分析和定性分析方法衡量企业贷款的信用 风险并得出贷款决策的方法 由于其主观性太强 在一致性 因素权重的权衡上 仍面临重大问题 只能作为一种辅助性信用分析工具 评级分级模型在美国货币 监理署最早开发的5 级分类的基础上扩展而来 我国也自1 9 9 8 年开始推广实行贷 款5 级分类 信用评分方法秉承相同的思路 将借款人的特征指标数量化 建立 计量经济模型 主要包括多元线性概率模型 l e g i t 模型 p r o b i t 模型 线性判 别分析模型等 a 1 t m a n 在1 9 6 8 年建立5 变量z s c o l e 模型 并于1 9 7 7 年改进开 发而成目前常用的z e t a 判别分析模型便是一类典型的线性判别分析模型 作为 信用评分模型的拓展 近年来出现的非线性判别分析模型和神经网络分析系统 克服了变量线性关系的假设 但在模型的随机性 预测的质量方面也遭到了专家 学者们的置疑 但这并不影响启发式算法 如模拟退火算法 神经网络算法 遗 传算法等 在信用评分系统中的应用 基于金融工程的信用风险控制新模型则包括通过对有风险企业债券与无风险 债券之间利差的分析推估借款人信用风险的期限结构模型 t e r ms t r u c t u r e m o d e l 通过分析某一信用级别债券或贷款的历史违约情况来测度和推断同一级 别金融工具的信用风险程度的死亡率模型 m o r t a l i t yr a t em o d e l 通过计算单 位贷款的收益率并与基准比较来决定是否发放贷款以及贷款定价的r a r o c 模型 r i s k a d j u s t e dr e t u r n o i l c a p i t a lm o d e l 5 随着银行监管部门越来越多地重视贷款组合集中风险 银行机构信用风险管 理也从单项贷款管理转向单项贷款和贷款组合管理兼顾 因而贷款组合集中信用 风险评价模型的开发和使用也越来越受到重视 贷款组合选择的基本思想是在风 险水平一定的情况下 选择一组合适的贷款对象 使得贷款组合的收益最大 或 者在一定收益情况下使得风险最小 当今西方发达国家商业银行流行的资产组合 管理模型主要有k m v 类模型 c r e d i t m e t r i c s 模型 c r e d i t r i s k 模型 c r e d i t p o r t f o l i o v i e w 模型等 都从不同程度上体现了现代组合理论 m o d e r n p o r t f o l i ot h e o r y m p t 的思想 1 其中 k m v 组合管理者 p o r t f o l i om a n a g e r 是k m v 公司推出的信用组合风险评价模型 主要估计贷款预期收益 贷款风险和 不同借款人出现违约风险的相关性三个主要参数 较好地运用了现代组合理论解 决贷款组合问题 其余模型没有明确考虑贷款组合的收益方面 只部分体现了现 代组合理论思想 在风险来源方面 k m v 模型和c r e d i t m e t r i c s 模型中风险主要来 自企业资产的价值及其波动 c r e d i t r i s k 模型的风险主要源于违约率的预期水平 2 及其波动 c r e d i t p o r t f o l i o v i e w 中则主要来自子宏观经济指标变动 1 由于大 多数贷款具有非上市的特点 要成功运用这些模型 则必须克服一些参数 如收益 风险 贷款间的相关性等 不可观测的困难 在我国的实际信贷营运中 银行往往通过控制单笔贷款的风险等级来实现控 制总体贷款组合风险等级的目标 目前我国商业银行针埘单笔贷款的风险评估模 型主要有 c a r t 模型 c l a s s i f i c a t i 0 1 3a n dr e g r e s s i o i lt r e e s z s c o je 破产 预测模型 c h e s s e n 模型等 3 尽管银行贷款组合在概念和结构上与债券组合类似 但在贷款组合决策过程 中还很少使用资产组合的数量方法和模型 这些方法和理论作为一种成熟的技术 确实存在着 所以银行业可借鉴和使用证券组合中的数量配置模型 1 将一笔贷 款同时投放于若干不同的借款人需要适当的模型来进行决策分析 常用的组合投 资模型有均值一方差模型 对数效益模型 几何期望收益模型等 其中 均值 一方差模型因为简单可行而使用广泛 对该模型的求解在贷款对象规模较小时简 单易行 但随着问题规模的增大 其计算量随之呈指数型增长 因此 需要一 种兼顾解的质量以及求解时间的较好算法来计算 1 2 2 模拟退火算法的研究现状 求解全局优化闯题的方法可分为三类 枚举法 搜索法 启发式算法 枚举法通过枚举出可行解集合内的所有可行解 以求出精确最优解 当解空 间比较大时 该方法的求解效率比较低 甚至无法在有限时间内完成 基于确定性的搜索策略 在可行解集合的一个子集内进行搜索 在目标函数 满足特定的限制条件下求得全局最优解或近似最优解的方法称为搜索法 该方法 不能保证得到问题的最优解 一般适用于求解满足特定要求的一些特殊问题 但 如果在搜索过程中适当采用一些启发式规则 则可以在解的质量和求解时间上达 到较好的平衡 启发式算法由一组指示搜索方向的 建议性质的规则集指导算法 通常按照 这个规则集 计算机可在解空间中寻找到一个较好解 却并不能保证每次都能找 到较好的解 更不能保证找到最优解 从实际应用上讲 所谓启发式算法就是那 些从大量的实验数据看 算法的实际计算性能较好 但理论上证明这些算法的最 坏解题性能并不好 或者理论上并不能证明其具有优良的解题性能的算法 正由 于启发式算法缺乏严格的理论推导和数学证明 决定了它的设计具有很强的随意 性及创造性 对于某些难于用理论方法解决的问题 启发式算法可以起到独到的 3 作用 目前 常用的启发式算法主要有模拟退火算法 遗传算法等 本文着重研 究模拟退火算法及其在贷款组合优化模型求解中的应用 1 9 8 2 年 k i r k p a t r i c k 将退火思想引入组合优化领域 提出一种求解大规模 组合优化问题的随机性全局搜索方法一一模拟退火算法 它以优化问题的求解与 物理系统退火过程的类似性为基础 通过在优化过程中期l 入m e t r o p 0 1 i s 准则 得 到对m e t r o p o l i s 算法进行迭代的算法 在合理的控制参数配合下实现模拟退火 可以达到求解全局优化问题的目的 模拟退火算法具有描述简单 使用灵活 运用广泛 运行效率高和较少受初 始条件限制等优点 其搜索策略不仅引入了适当的随机因素 还引入了物理系统 退火过程的自然机理 这有利于避免搜索过程因陷入局部最优解而无法自拔的弊 端 提高求得全局最优解的可靠性 适合于求组合优化问题的近似解 另一方面 由于模拟退火算法的直接性和简单化 算法也存在一些不足 使 算法的应用及性能受到一定的局限 控制参数表选取不合理 会导致很长的运行 时间或直接影响解的质量 单纯的停止准则无法保证算法最终解为最优 可以通 过在模拟退火算法基础上增加一些环节的方式改进算法功能 如谢云 尤矢勇对 加温一退火法进行了研究 提出在退火前先加温 用于生成控制参数的初值 并调 整初始解 从而使得初始解较易于退火 刘勇 康立山提出了并行退火演化算 法 李秀喜 钱宇研究并提出了进化一模拟退火算法 用遗传算法指导模拟退火 算法的搜索过程 通过变异和选择不断改善解的群体 使之具有自适应的特征 何军建立了解优化问题的退火回火算法 也可视其为模拟退火形式的多次寻优法 在退火过程中反复增大控制参数值 是模拟退火算法的序贯实现 目前 模拟退火算法在各种工程领域已经取得了成功的应用 在组合优化领 域 则主要侧重于货担郎问题 背包问题 最大截问题和图着色问题等基本问题 的理论探讨 采用改进的模拟退火算法 将模型设计和算法优化相结合 并应用 于实际组合优化的研究成果尚不多见 1 3 论文的组织结构 第一章 绪论 阐述论文选题的背景 国内外在相关领域的研究现状以及论 文的组织结构 第二章 信贷风险分析概述 简要地介绍了影响银行信贷风险的因素 进而 从三方面深入分析 提出了银行必须进行贷款组合管理的观点 最后简述了常用 的投资组合模型 4 第三章 基于风险效益综合评价的贷款组合优化模型 从银行的角度出发 在分析商业银行贷款组合的目标 贷款优化决策原则的基础上 给出了综合评价 风险效益的商业银行信贷风险组合优化模型 在对该模型进行深入分析的基础上 将其抽象化为一个特殊的背包问题 并寻求有效的算法解决该问题 第四章 基本的模拟退火算法 本章论述了模拟退火算法的基本理沦 着重 分析了影响算法进程的关键因素一一冷却进度表 确定了冷却进度表参数的选取 原则 并总结了模拟退火算法的优势和局限性 第五章 基于模拟退火算法的贷款组合优化计算 采用改进的模拟退火算法 对第三章提出的贷款组合优化模型进行计算 并设计计算机高级语言 c 语言 程序实现求解过程 在综合理论分析和经验法则的基础上 通过大量试验确定了 适合于贷款组合优化闯题的冷却进度表参数 成功地解决了大规模贷款组合优化 问题 最后 通过试验比较分析了改进的模拟退火算法与传统算法及基本模拟退 火算法 在本文的最后 总结了论文的主要成果和创新点 提出了有待继续研究的问 题 5 第二章信贷风险分析概述 2 1 信贷风险分析的意义 2 1 1 信贷风险的栖 念 银行信用风险指商业银行在经营活动巾 债务人由于各种原因不能完全履约 而导致贷款 债券等资产丧失偿付能力所引起的风险 3 依据资产种类的不同 商业银行的信用风险可以划分为信贷风险 投资风险等 其中信贷风险是商业银 行的传统风险 其风险也最大 从理论上分析 信贷风险是指银行在业务经营过程中 由于各种事先无法预 料的不确定因素的影响 使银行信贷资金的实际收益与预期收益发生背离 从而 使银行有蒙受损失的可能性 从实际情况分析 信贷风险即由于不确定因素影响 信贷者不能按约偿还贷款 使银行信贷资金不能按期收回 影响正常周转 导致 资金出现呆滞 呆帐和坏帐损失的可能性 2 1 2 信贷风险的因素分析 影响信贷风险的因素是多方面的 从自然灾害到国内外经济政治形势的变化 以及借款人的道德品质等都会影响银行贷款的偿还 西方商业银行对信贷风险的 定义为 r u e 2 1 式中 r 表示信贷风险 表示内部因素 e 表示外部因素 即信贷风险是外 部因素和内部因素的函数 内 外是针对银行而言 外部因素包括宏观经济政策 社会政治变动 自然灾害等在内的银行无法避免的因素 内部因素取决于银行对 待风险的态度 这类因素体现在银行的贷款政策 银行信用分析和贷款监管的质 量上 并直接决定银行信贷资产质量的优劣和信贷风险的大小 1 在运用定量方法对信贷风险进行预测时 认为信贷风险主要由信贷资产结构 的变化而引起 用函数关系式表示为 信贷风险 厂 信贷资产结构 2 2 在该式中 体现了信贷资产结构变化造成信贷风险的思想n 2 1 3 分析信贷风除的意义 信贷业务是银行的核心业务 我国的商业银行特别是国有商业银行中信贷资 6 产占总资产的7 0 以上 其收益是银行的主要收入 从另一方面讲 贷款也是银行 风险最大的资产之一 在所有形式的银行信用中 贷款有最高的借款人违约率 现代商业银行是以货币为经营媒体 以市场参与者为服务对象 以经济利益 最大化为经营目标 自担风险 自主经营 自负盈亏的特殊服务行业 在我国 由于受国家分业经营的限制和传统经营模式的影响 信贷资产在商业银行的总资 产里依然占绝对比重 商业银行资产风险集中表现在信贷资产风险上 所以 减少不良贷款 降低经营风险 仍然是我国商业银行生存和发展的主题 1 9 9 8 年 国家剥离了国有商业银行的巨额不良贷款 但由于不良贷款的新增流量的发生等 原因 困扰商业银行的不良贷款问题仍没有得到很好解决 商业银行加强贷款 风险管理 包括风险识别 风险评价 风险决策和风险处理 根据某种标准控制 总体贷款组合风险亦成为人们关注的焦点 2 2 贷款组合优化决策的必要性 在国际上 银行监管部门开始越来越多地重视贷款组合集中风险 银行机构 的信用风险管理也从重视单项贷款的管理转向单项贷款和贷款组合兼顾 1 从发 展趋势上分析 商业银行的贷款组合优化决策随着经济发展 科技进步和银行业 务拓展在银行风险管理领域将发挥越来越重要的作用 以下从银行面临的外部环 境 银行客户的变化趋势以及贷款组合决策的理论基础三方面分析银行实行贷款 组合的必要性 首先 银行面临的竞争压力不断加大是改进贷款决策方式的原动力 银行业的电子化使之迅速扩大了客户规模 拓展了市场的地理范畴 跨越了 国家的界限 向全球扩张 这使得成千上万的银行开始面对面的竞争 提高了银 行成本 加大了银行破产与被清理和被兼并的风险 1 然而一家银行与另一家银 行的存款和贷款业务非常相似 业务的精确度 质量 速度在各家银行间却有很 大不同 银行要在竞争中立于不败之地必然要在业务的精确度 质量 速度方面 努力提升 新的竞争环境对银行的管理提出了新的要求 银行必须重新评价其 存 贷款政策 评估银行的收益与风险 其次 银行客户基础的变化趋势促进银行贷款决策方式的变革 国际上 美国于2 0 多年前开始放松政府对银行业和金融市场的管制 并逐渐 蔓延到全世界 金融市场不断复杂化 2 0 世纪9 0 年代之后世界通货膨胀普遍趋于 缓和 利率下降 使债券获利水平远高于银行存款 这三方面的因素导致了银行 客户的自然减少 一方面许多存款客户将资金转移到证券市场 导致大量资金向 7 证券市场集中 另一方面 许多大公司一一曾经是银行最大 最好的贷款顾客 近年来为降低成本 通过公开市场或非银行机构 如证券交易商 金融公司等 筹资 开始离弃银行系统 这种银行业顾客基础的变化 降低了银行用于贷款 的资金数额 减少了银行靠贷款获取的收益 而且改变了银行贷款组合结构 即 数量大 信用高的贷款比例进一步下降 小企业 信用低风险大的贷款比例进一 步增大 所以银行不得不改进评价贷款的方式以适应这种变化 面对众多小企业 的贷款申请 银行应当为减少贷款风险而进行贷款组合 第三 现代投资组合理论为银行进行贷款组合决策提供了理论基础 1 9 5 2 年 美国经济学家m a r k o w i t z 的论文 p o r t f o l i os e l e c t i o n 第一次 用均值一方差模型定量地分析了投资组合中风险与收益之间的内在关系 为衡量 证券的收益和风险提出了基本方法 使人们可以系统地描述和解决投资组合的最 优化问题 m a r k o w i t z 提出 理性的投资者总是寻找这样的投资组合 在给定期望 收益水平的条件下使风险达到最小或在给定风险水平的条件下使期望收益最大 其模型建立在投资组合风险 通过标准差测量 与投资组合收益 通过预期收益 测量 最佳权衡的基础之上o 该论文为现代投资组合理论奠定了理论基础 之 后 夏普对该模型进行了简化 提出了单指数模型 使之得到了更为广泛的应用 经过半个多世纪 投资组合理论沿着实用化 资本资产定价和套利定价等方向 得到不断的发展 其理论体系也不断得到丰富和完善 现代投资组合理论多年来广泛应用于证券 投资和商业银行的风险管理领域 以此为基础的软件已经趋于成熟且在西方证券行业及中介行业内普及 银行的贷 款组合 从总体上来讲 应该获得与其风险相称的收益 现代投资组合理论运用 数量化的方法 通过构建数学模型 为权衡银行贷款组合的预期收益最大化和风 险最小化提供了一种有效途径 2 3 常用的投资组合模型 为了分散风险并且取得适当的投资利益 投资者往往采用组合投资的方式 即把一笔资金同时投资于不同的证券 这必然需要恰当的决策模型 本小节扼要 地介绍了几个基本的投资组合选择模型 2 3 1 h a r k o w i t z 均值一方差模型 现代投资理论由m a r k o w i t z 首开先河 1 9 5 2 年m a r k o w i t z 的论文 p o r t f o l i o s e l e c t i o n 开创性地建立了投资组合分析的模型 均值一方差模型 8 m a r k o w i t z 均值一方差模型基于以下三个假设前提 1 投资者以期望收益率衡量未来收益率的总体水平 以收益率的方差 或标 准差 衡量收益率的风险 即收益的刁i 确定性 投资者在决策过程中只根据收益 率的均值与方差来选择投资组合 2 投资者是不知足的和回避风险的 追求期望效用最大化 即投资者总期望 收益率越大越好 而方差越小越好 3 所有投资者处于同一单期投资期 m a r k o w i t z 均值方差模型 就是在以上三个假设下导出的一个数理模型 投资 者在给定相同方差水平的组合中选择期望收益率最高的组合 在给定相同期望收 益率水平的组合中选择方差最小的组合 以给定相同期望收益率水平的组合中选 择方差最小的组合为目标 且不许买空的情况下 其模型可以表述为 o om a 盯2 w w j 吒 h 4 l s t r w e y w l 智 w l 0 i l 2 2 3 式中 表示第f 种证券的收益率 e 则表示第f 种证券的期望收益率 r 表示投资组合的总期望收益率 w 表示投资者投资在第i 种证券上的比率 盯2 表示投资组合收益率的方差 q 表示 和 的协方差 其值为 q 2 趣以一e 瓴 q e 以 2 4 在上述模型中 风险用方差来度量 如果改用绝对偏差度量风险 就构成了 均值一绝对方差模型 如果改用半方差度量风险 则构成了均值一半方差模型 2 3 2 对数效用模型 如果投资者选用效用函数而不是收益率来衡量投资收益 且效用函数又为对 数函数 则对数效益模型表示为 o b j m i i l c x s t tl n r r t l r 0 1 1 式中 x x x z 7 表示投资组合 xl n r 为投资组合z 的效用 r 为给定的期望收益水平 c 表示投资效益的半协方差矩阵 2 3 3 几何期望收益模型 如果投资者决策时 选择具有最大几何期望收益的证券组合 何期望收益模型为 m a x 兀 1 彤砷 1 2 5 则可以建立几 2 6 式中 置 吒 o 表示肼种证券的第 种可能收益率向量 是r 发生的概率 f 1 2 棚 2 3 4 安全一首要模型 安全一首要模型主要有三种形式 1 要求投资组合的收益足低于给定的生存水平r 的概率达到最小 m i np 墨 r 2 7 2 投资组合在其收益足低于给定的生存水平月的概率不超过指定的小概率口 时 要求它的生存水平达到最大 l a x月 s t p r r 口 2 8 3 投资组合在其收益足低于给定的生存水平r 的概率不超过指定的小概率口 时 要求投资组合的期望收益达到最大 舱x 恐 矗t p 耳 r 口 2 9 这四类常用投资组合模型 采用不同的指标分析投资组合的风险和收益 以 达到一定的目标 其中 m a r k o w i t z 均值一方差模型因为简单可行在理论和实践中 得到了广泛的应用 对该模型的求解在贷款对象规模较小时是简单易行的 但随 0 着问题规模的增大 其计算量随之呈指数型增长 1 9 6 3 年夏普提出了单指数模型 该模型为解决m a r k o w i t z 均值方差模型应用于大规模组合决策的计算量问题提供 了行之有效的途径 单指数模型假定证券之间存在关联性 认为证券之间存在关 联性是一种因素变动对不同证券所产生影响的间接反映 并采用一种线性结构来 描述该因素对每种证券收益率的影响 多指数模型由单指数模型推广而来 认为 除综合市场因素外还有一些超市场的关联关系影响汪券收益率 指数模型为分 析投资组合的风险一收益率特征提供了一种特殊的视角 运用指数模型 我们可 以把风险和收益率的来源分解为单个的 可辨识的部分 第三章基于风险效益综合评价的贷款组合优化模型 3 1 贷款组合决策的目标 著名经济学家m a r k o w i t z 运用概率论和二次规划方法分析了投资组合问题 他 用均值表示收益 用方差表示风险 将投资组合问题变为了均值一方差的优化问题 奠定了应用数理方法确定最佳组合投资的基本理论 由于高的收益率往往伴随着 高的风险 任何投资者所追求的或者在一定风险承受范围内追求尽可能高的收益 或者在保证在一定收益率下追求风险最小 使收益 风险二者达到 某种平衡 商 业银行的贷款就是一种投资 贷款组合就是一种组合投资 我们可以应用均值一方 差模型来建立商业银行贷款组合优化决策模型 商业银行的经营宗旨是利润最大化 风险最小化 遵循 效益性 安全性 流动性 的原则 在信贷过程中 商业银行必须根据这一原则作出贷款决策 贷款组合优化决策 是在综合考虑贷款收益和风险的前提下 从众多的贷款对象 中选择一组合适的贷款对象的过程 其基本思想是在风险水平一定的情况下 选 择使得贷款组合收益最大 或者在一定收益情况下使得风险最小 以达到商业银 行的经营目标 3 2 贷款组合优化模型的建模原则 商业银行坚持资金运营 安全性 流动性和效益性 相统一的原则 所以在 建模过程中考虑以下贷款组合优化决策的四个原则 1 综合效益性原则 通过计算组合贷款的平均收益与组合风险之比来判断组 合方案的优劣 选取综合效益最大的方案 由于要求商业银行贷款绝对安全是不 可能的 组合优化的目的也不是一味地追求收益极大化或风险极小化 而是在降 低风险和增加收益之间寻找一种平衡 使得银行在承担一定风险的情况下取得最 大收益 该原则反映了银行经营中安全性和效益性的要求 2 资源充分利用原则 单纯只依据综合效益性原则建立模型 可能会导致仅 小部分项目被选中的情况 造成分配后剩余资源过多 不利于银行盈利性的要求 为了不浪费银行中长期贷款的可用头寸 一方面采用o l 整数规划 该规划是可 使资源得到充分利用的建模方法 另一方面 给银行中长期贷款总额加上下界限 使银行中长期贷款头寸既得到充分利用 同时又不超过可用头寸 此原则反映了 12 银行经营中效益性的要求 同时 在组合的方法上 不按单笔贷款的效益大小来 排序 因为这样即不能保证综合效益最大 也不能使剩余资源最小o 3 可比性和一致性原则 因为银行贷款项目的贷款额度和年限各不相同 为 保证决策的科学合理 应选择恰当的方案评价方法和具有可比性的评价指标 同 时 评价标准应与其他各企业或机构一致 以方便在实际中数据的获取 且使得 目标函数具有可比性 4 单项贷款限制性原则 银行为避免向一个借款人发放的贷款数量过大 规 定了单项贷款限制额度 例如 广东某商业银行规定 银行向一个借款人发放的 贷款数量 如果是无抵押贷款 不能超过银行资产的1 5 9 0 如果是完全抵押贷款 则不能超过银行资产的2 5 该原则反映了银行经营中安全性的要求 3 3 综合评价风险效益的贷款组合优化模型的构建 3 3 1 贷款组合模型的假设 鉴于贷款组合的特殊性 在建模中 选取银行的中长期信用贷款为研究对象 并提出以下假设 以便模型的实现和求解 l i 银行从企业的角度衡量贷款项目的收益和风险 采用总净现值法评价贷款 项目 2 银行以期望总净现值衡量未来收益的总体水平 以总净现值的标准差衡量 收益的风险 即收益的不确定性 投资者在决策过程中只根据总净现值的均值与 方差来选择投资组合 3 银行投资者是回避风险的 追求期望效用最大化 4 银行针对企业申请的贷款 作出的决策只有贷与不贷两种 5 参与组合的各项贷款申请满足银行信贷政策的条件 例如满足原则4 6 采用长期的观点 假设企业持续经营 即企业投资周而复始进行 7 假设投资资金在投资期的第一年年初一次性投入 预计的现金流入在年末 可以实现 并把原始投资视为按预定贴现率借入的 3 3 2 贷款组合优化决策的0 1 规划模型 3 3 2 10 1 规划 求最优整数解的问题称为整数规划 是运筹学的一个重要分支 随着求解方 法的发展以及计算机处理能力的迅速提高 已成为现代科学管理 最优设计 系 13 统控制的重要手段之一 主要用于解决有限资源的整数组合优化问题 0 一l 规划是一类特殊的整数规划 其变量取值0 或1 根据其目标函数或约束 条件是否包含非线性函数可分为非线性o 1 规划和线性 一l 规划 组合优化问 题的o 1 规划模型主要由三个要素构成一一确定变量 建立目标函数和约束条件 33 2 2 贷款组合的0 1 规划 组合优化问题是在给定约束的条件下 求目标函数最优值 最小值或最大值 的问题 商业银行的贷款组合问题是组合优化问题中的一类 银行将贷款投放于 若干借款人时 需对每一个贷款申请人作出决策 一贷或不贷 因此o 1 规划完 全适应于求解该类问题 3 3 3 贷款组合优化模型 3 3 3 1 变量说明 首先为贷款组合优化的求解过程选定基本变量 n 为申请贷款企业的个数 x 表示决策变量 为0 1 变量 其值为1 表示给第i 个企业贷款 0 表拒绝第f 个企业要求 l 表示第f 个企业新建项目所申请的贷款额 7 胛矿表示第f 个企业新建项目在经济状态好 中 差3 种情况 设各情况出 现的概率都为1 3 下的总净现值数列 则办俨k 表示第i 个企业的平均总净现值 c d 矿 办俨k 置 办 p 巧 为第f 个项目总净现值数列与第 个项目总净现值 数列的协方差 即二者的组合风险 盯为贷款组合的标准差 用来衡量贷款组合的总风险 3 3 3 2 建立目标函数 一 投资方案的基本评价方法 从众多贷款对象中选取一组适合以上原则的贷款对象的决策 需要一个适当 的评价投资方案的方法 在对申请贷款的企业进行评价和选择时 银行需要对所 有申请企业的投资方案进行审查和评价 投资方案的评价方法通常有净现值法 现值指数法 内含报酬率法 投资回收期法 会计收益率法等五种 1 净现值法 是在净现值为正数的方案中选取净现值 n e tp r e s e n tv a l u e 最大者 净现值 n p v 指某方案未来现金流入的现值与未来现金流出的现值之间的 差额 大多数投资方案在开始时是资本支出 接着是一连串的现金收入 投资的 14 净现值简单地说就是该方案投资收入的现值减去投资支出现值后的余额 其计算 公式是 净母值 肝矿 2 善百毛丁 3 1 式中 1 7 一一投资期 k 投资方案中包括风险的最低要求报酬率 亦即资金成本率 c 投资期内每年的收入 投资支出 喜百 可为年现值系数 其值可由公式芝吾掣去 计算a 用净现值法进行投资方案的选择是可取的 它具有如下优点 有资金的时间价值概念 并且反映了投资方案可以赚到的具体金额 净现值法考虑了风险 因为资金成本率是随着风险的大小而调整 风险大 k 值就高 所以使用资金成本率计算的投资方案的经济效果就包含了投资风险 再投资的效率是现实的 净现值法关于再投资利率的假定是企业可以收回 资金成本率 这个假定实际上是可以做到的 因为这个资金成本是金融市场上对 这种风险程度的投资所能支付的利率 所以也是企业应该得到的利率 但对期限不同的方案进行比较时 使用净现值法缺乏比较基础 2 现值指数法 使用未来现金流入的现值与未来现金流出的现值的比率 即 现值指数 作为评价方案的指标 选取现值指数高者 该方法考虑了单位投资的 收益 但不能表现总收益为多少 3 内含报酬率法 把未来的现金收入用贴现方法折算成投资成本的现值 在 超过极限利率的方案中选择报酬率最高者 该方法考虑了资金的时间价值 但极 限报酬率不易制定 且当投资方案的现金流量是交错型时 难于选择内含报酬率 同时该方法包含的每期回收款项可再投资的假设是不现实的 4 投资回收期法 以投资项目产生的现金收入偿还其投入资金总额所需的年 数为依据 选择回收期短的方案 该方法是最简单的计算方法 且从投资风险的 角度考虑 认为回收期越短风险越小 强调回收期 但忽略了资金的时间价值以 及回收期后的收益 目前该方法主要作为辅助方法使用 用于测定方案的流动性 5 会计收益率法 以年平均净收益与原始投资额的比值 会计收益率 为指 标 选取会计收益率高的方案 但这是一种非贴现的方法 没有考虑时间价值 多年来 世界银行组织和各国的商业银行都广泛采用净现值法和内含报酬率 法评价贷款项目 二 总净现值法 由于银行各项贷款年限和额度不尽相同 应该从长期的观点来计算其总净现 值 t o t a ln e tp r e s e n tv a l u e 本文选取总净现值法 1 作为方案选择的评价方法 该方法具有净现值法的优点一一有资金的时n 1 ij 价值概念月 考虑了风险 同时还避 免了其缺陷 总净现值法基于以下三个假设前提 1 企业持续经营假设 即企业的投资期完成后可以进行第二次完全相同的投 资 第二次投资完成后又可进行第三次投资 如此周而复始 2 假设预计的现金流入在年末可以实现 并把原始投资视为按预定贴现率借 入的 3 假设投资资金在投资期的第一年年初一次性投入 其公式为汹3 蝴一阶厶扔卜志 志 志 堕 塑 3 2 1 k 一l 式中 f 第一次投资的净现值 k 资金成本率 即贴现率 z 投资次数 刀 投资期 三 目标函数 根据以上选取的变量和方案评价方法 一个申请贷款的企业的胁p 矿组成一个 3 刀阶矩阵 矿 办俨 t 刀归一 一 为第j 个项目总净现值数列与第 个项目总 净现值数列的协方差 即二者的组合风险 当x 0 时 第f 个贷款企业项目未被 选中 其与第 个贷款企业项目的协方差为0 则贷款组合的总风险为 0 c d 矿 力妒巧 薯 聊一 一 vl ij q 广 1 k i x x f o v t n p e 卿巧 l 3 3 贷款组合的总效益表示为 肿矿 册k z i l 3 4 根据贷款组合的基本思想 为达到贷款组合综合效益最大 决策模型的目标 函数选为 m a x w 7 p 矿 盯 3 5 四 确定约束条件 一方面商业银行用于贷款的资金有限 同时为了确保银行正常运作 往往有 中长期贷款的最低配给颧 这就对决策变量的取值提出了种种限制 设三为银行 实际贷款总额 口为银行中长期贷款的可用头寸 6 为银行中长期贷款组合的最 低配给额 则 贷出资金总额为 l 厶t 3 6 l 资金约束上界为 l x l a l l 资金约束下界为 厶 l b 3 7 3 8 五 贷款组合优化决策模型 综上所述 贷款组合优化问题可用一个目标函数为二次函数而约束条件为线 性的0 一l 规划模型准确描述 得到综合考虑贷款风险和收益的贷款组合优化决策 模型如下 o b j m a x w t n p v c r s t ts l a 厶t l b i m 一式中 册矿 卿f t 目 盯 i x c o v 刀v p v t j v p v l 广 l i m j li 1 0 不选硷 业 置 i 0 1 2 n 1 1 选择i 企业 3 9 17 从综合考虑收益和风险的角度出发 用 一l 规划构建了这个贷款组合优化决 策模型 考虑用贷款的总净现值作为指标 指标具有可比性和时间性 贷款组合 的总效益作为目标函数 且在实际中易于采集数据 3 4 贷款组合优化模型的分析 从计算方法上讲 贷款组合优化问题可以归结为一类特殊的背包问题 3 4 1n p 问题 n o n d e t e r m i n i s t i cp o l y n o m i a lp r o b l e m n p 完备问题 n p c o m p l e t ep r o b l e m 及算法 按照计算复杂性原理研究问题求解的难易性 可把问题分p 类 n p 类和n p 完备类 p 类问题是指具有多项式时间算法的问题 n p 类问题是指可在多项式时 间里检验的问题 而n p 完备问题则是指n p 类中最难的问题 具有以下两个性质 一是任何n p 完备问题都不能用任何己知多项式算法求解 二是只要有一个n p 完 备类问题存在多项式时间算法 则整个n p 完备类问题都存在多项式时间算法 由于计算科学家们至今尚未找到求解n p 完备问题的多项式时间算法 求解n p 完备问题的算法在最坏情况下需要指数量级的时间 因而除规模小的实例外 是 不实用的 因此n p 完备问题的求解需要找出兼顾解的质量和求解时间的较好算法 目前 这类算法主要有 1 概率算法 假设问题实例有某种概率分布 可得到一种平均性能良好的概 率算法 该类算法在多项式时间内几乎总是产生最优解 但在最坏的情况下 仍 然需要指数阶时间 2 局部搜索算法 又称邻域算法 是一种以最古老的最优化方法 试错法 为基础的算法 也是一种解决组合最优化难题最有效的方法 在求解问题的全局 最优解存在不可克服的困难时 采用该算法可求得给定邻域内的最优解 局部搜 索算法是一种通用的近似算法 其基本法则是在邻近解中迭代 使目标函数逐步 优化 直至不能再优化为止 局部搜索算法具有通用 灵活的