（管理科学与工程专业论文）分段线性系统分析与综合.pdf

中文摘要 本文主要研究了分段线性系统( p i e c e 丽s el i n e a rs y s t e m s ) 的输出反馈镇 定、三k 控制、保性能控制问题，并把分段线性系统理论应用于一类非线性系统 的保性能控制设计中，取得了一些新的结论主要创新如下： 一、给出了具有q 稳定裕度约束的不确定分段线性系统的输出反馈控制器 设计方法对闭环增广系统构造了增广的分段二次l y a p u n o v 函数，将极大化 q 性能的控制器设计问题转化成一个受双线性矩阵不等式组( b i l i n e a rm a t r i ) 【 i n e q u a l i t i e s ，b m i s ) 约束的非凸优化问题，动态输出反馈控制器便可以通过求解 该b m i s 问题得到 二、给出了求解b m i s 问题的一种新的基于遗传算法和内点法的混合算法 给出的新算法避免了传统算法的容易陷入局部极小、对大规模系统不再有效的缺 点用遗传算法对b m i s 的双线性项中的一些变量进行随机搜索，使问题转化成 一个受一组线性矩阵不等式( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，l m i s ) 约束的半正定规 划( s e m i d e l i n i t ep r o g r 锄m i n g ，s d p ) 问题，从而可利用基于内点法的相关软件 进行求解所设计算法对b m i s 问题具有更强的全局最优的搜索能力，且实现方 便 三、给出了不确定分段线性系统的输出反馈比控制器设计方法通过对 闭环增广系统设计的分段二次l y a p u n o v 函数，将不确定分段线性系统的动态输 出反馈王k 控制器设计问题转化成一组b m i s 的可行性问题，而最优f k 控制 器可以通过求解一个受b m i s 约束的非凸优化问题得到 四、分别给出了不确定分段线性系统的状态反馈和输出反馈保性能控制器设 计方法利用分段二次l y a p u n o v 函数及h a m i l t o n j a u e o b i b e l l m a n ( h j b ) 不等 式方法，得到了分段二次型性能函数的下界和上界其中性能函数下界可通过求 解s d p 问题得到，而性能函数最优上界可通过求解b m i s 问题得到，从而得到 了最优的保性能控制器 五、给出了基于分段线性系统理论的非线性系统保性能控制设计方法对非 线性系统，将其进行分段线性化处理，然后用分段线性系统保性能控制设计的方 法研究了非线性系统的最优状态反馈保性能控制的问题，从而可以通过求解一个 b m i s 问题得到最优保性能控制器 关键词：分段线性系统，稳定性，输出反馈，保性能控制，风。控制，不确定性， 双线性矩阵不等式，遗传算法 a bs t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h eo u t p u tf b e d b a c ks 乞a b i l i z a t i o n ，日o 。c o n t r o l ，g u 缸a n t e e dc o s tc o n t r o lo fp i e c e 丽s e1 i n e a rs y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e dd e e p l y i na d d i t i o n ， t h eg u a r a r l t e e dc o s tc o n t r o l l e rd e s i g i lf o rac l a s so fn o n l i n e a rs y s t e 脚i ss t u d i e d w i t ht h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fp i e c e 而s el i n e a ts y s t e m s t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa r ea sf 6 1 1 0 w s f i r s t l y ，t h e 印p r o a c ht ot h eo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o lf o ru n c e r t a i np i e e e w l i n e a rs ”t e m s 而t hq s t a b i h t yc o n s t r a i n ti sp r e s e n t e d t bm a k eu s eo fp i e c 争 谢s eq u a d r a t i cl y 印u n o vf u n c t i o n st e c h n i q u ef o rt h ep e r f b 咖a n c ea n a l y s i so f c l o s e d l o o pa u g m e n t e ds y s t e l s ，t h ea u g m e l l t e dp i e c e w i s e - c o n t i n u o u sq u a d r a t i c l y a p u n o vf u n c t i o 璐a r er e c o n s t r u c t e d i ti ss h o w nt h a tt h eo u t p u tf e e d b a c kc o n - t r o u e rd e s i g np r o c e d l l r eo fu n c e r t 出np i e c e w i s e1 i n e 盯s y s t e m sw i t hq s t a b i l i t y c o n s t r a i n tc a nb ec a s ta s8 0 1 v i n ga8 e to fb i l i n e a rm a t r i ) 【i n e q u a l i t i e s ( b m i s ) s e c o n ( u y ，an e wm 蕊da l g o r i t h mt h a tc o m b i n e sg e n e t i ca l g o r i t h m ( g a ) a n di i l t e r i o r - 】? o i n tm e t h o di sd e s i g i l e df o rs o l v i n gt h eb m i sp r o b l e mw h i c hi s a nn ph a r dp r o b l e m s p e c i f i c a u y ，s o m eo ft h ev a d a b l e si nb m i sa r es e t t o b es e a r c h e db yg a ，t h e nt h ec o r r e s p o n d i n gn o n - c 0 i l v 眈p r o b k mr e d u 。e st ot h e s e m i d e f i n i t ep r o g r a m i n j n g ( s d p ) i n v o l 访n gl m i s ，w h i c hi sc o l l 、，e ) 【a n dc a nb e s o l v e dn u m e r i c a l l y 祈t ha 、试l a b l es o f t w a r eb a s e do ni n t 嘶o r p o i n tm e t h o d t h e p r o p o s e da l g o r i t h mc a nb ee a s yt oc a r 珂o u t ，a n do v e r c o m e st h es h o r t c o m i n 窜o f t h ee 函s t e n t2 l l g o r i t h i 璐w h i c l la r eh a r dt oc o i e r g et ot h e9 1 0 b 甜o p t i i i m mo ra r e n o tc o m p u t a 庀i o n 出l yt r a c t a b l ef o r1 村g es c a l ep r o b l e l s t h i r d l y t h ed e s i g i lo fr o b u s t 日矗o u t p u tf e e d b a c l 【c o n t r o l l e rf o ru n c e r t 越n p i e c 喇s eh n e 盯s y s t e l s 诘p r e s e n t e d b yc 0 1 1 s t r u c t i n gp i 删s ec o n t i 肌o u s ：l y a 广 p u n o vf u n e t i o n sf o rt h ec l o s e d l o o pa u g m e n t e ds y s t e 脚，t h e 鼠。o u t p u tf b e d b a c k c o n t r o u e rd e s i g ni sc a s ta st h ef e a s i b i l i t yp r o b l e mo fas e to fb m i s ，a n dt h eo p t i - m a l l 巩oc o n t r o l l e rc a nb eo b t a i n e db ys o l v i n gan o n c o n v e x0 p t i m i z a t i o np r o b l e m u n d e rt h ec o l l s t r a i n t so fb m i s f b u r t h l y ，t h eg u 盯锄t e e dc o s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i l lp i e c 明凼el i n e a rs y s t e 脚 讥as t a t ef b e d b a c ka n do u t p u tf e e d b a c ka r ei i l v e s t i g a t e dr e s p e c t i v e l yb a s e do nt h e p i e c e 而s eq u a d r a t i cl y a p u n o vf i m c t i o l l st 枷q u e a n dh 锄i l t o n j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) i i l e q u a l i t ym e t h o d i th a sb e e ns h 0 _ w nt h a tb o t ht h es t a t ef e e d b a 威o p t i m 甜c o n t r o l l e ra n do u t p u tf b e d b 剐出o p t i m a lc o n t r o l l e r ，w h i c hm i n i m i z et h eu p p e r b o u n d so nc o s tf u n c t i o n ，c a nb eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l yb ys o l v i n gan o n c o n v e x o p t i m l z a t i o np r o b l 锄u n d e rt h eb m i sc o n s t r a i n t s t h ec o n t r 0 1 l e ro b t a i n e dc a n b ej u d g e db yal o w e r b o u n do nc o s tf u n c t i o nw h i c hc a nb eo b t a i n e db ys d p f i n a l l y ，t h eo p t i m a ls t a t ef e e d b a u c kg u a r 础e e dc o s tc o n t r o l l e rd e s i g i lf o rt h e n o n l i n e 甜s y s t e h l si sp r e s e n t e d t h en o n l i l l e a rs ”t e m sa r ed e s c r i b e da sac l a s so f u n e e r t a i np i e e 嘶s e1 i n e a rs y s t e i n s ，t h e nw i t ht h er e s u l t so fg u a r a 玎t e e dc o s tc o n - t r o l l e rd e s i g nf o rp i e c e w i s eu n e 盯s y s t 鲫n s ，t h eo p t i m 出g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r f o rt h en o n l i n e a rs y s t e i i l sc a nb eo b t a i l l e db ys o l v i n gan o n c o i l v e xo p t i 面z a t i o n p r o b l 哪u n d e rt h eb m i sc o 璐t r a j n t s k e y w o r d s ：p i e c e w i s e1 i n e a rs y s t e m s ，s t a b i l i t y o u t p u tf e e d b a u c k ，g u a r a n t e e dc o s t c o n t r o l ，日矗c o n t r o l ，u n c e r t a i n t y ，b i l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，g 印e t i ca l g o r i t h m u l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：协亟田龟签字日期细饵2 月节日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定 特授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 乏砾透鹚 签字啉跏铲堋节日 导师签名： 签字日期：渺锌朋节日 第一章绪论 1 1 分段线性系统的研究背景 自从美国数学家维纳于二十世纪四十年代创立控制理论以来，在空间技术、 计算技术及数学的推动下，控制科学得到了飞速的发展，并广泛应用到生产系 统、航天航空、生物医学、经济管理与决策等领域，出现了相应的工程控制理论、 生物控制理论、经济控制理论控制理论是多个学科相互交叉、相互融合的一门 综合性学科，并为许多学科提供了科学的思想方法论，为许多产业领域实现自动 化奠定了理论基础，在2 0 世纪的人类科技进步中起到了举足轻重的作用 概括地说，控制理论发展经过了三个时期：第一阶段是四十年代末到五十年 代的经典控制论时期，着重解决单输入单输出系统的控制问题；它的主要数学工 具足常微分方程、拉普拉斯变换、传递函数和复变函数；主要方法是频域法和根 轨迹法；重点是控制系统的快速性、稳定性第二阶段是六十年代的现代控制理 论时期，着重解决多输入多输出系统的控制问题；主要数学工具是一阶微分方程 组、矩阵论等；主要方法是状态空间法、变分法、极大值原理、动态规划理论等；重 点是最优控制、随机控制和自适应控制；核心控制装置是电子计算机第三阶段 是七十年代的大系统理论时期，着重解决生物系统、社会系统这样一些多层次、 高维数的大系统的综合自动化问题；方法是时域法为主；重点是大系统多级递阶 控制和分散控制；核心装置是网络化的电子计算机 六十年代以来，现代控制理论各方面有了很大的发展，而且形成几个重要的 分支，如线性系统理论、最优控制理论、系统辩识理论和自适应控制理论等等对 控制系统要进行定量分析，就必须用建立系统的数学模型经典控制论中常用一 个高阶微分方程来描述系统的运动规律，只能描述系统的输入与输出的关系，却 不能描述系统内部的结构及其状态变量而现代控制论中采用的是状态空间法， 不但能描述系统输入与输出的关系，而且还能完全描述内部的结构及其状态变量 的关系基于状态空间法可对多输入多输出复杂系统建模，并进一步通过状态方 程结构分析，研究系统的可控性、可观性及其稳定性，分析系统的可实现问题； 用变分法、最大值原理、动态规划原理等求解系统的最优控制问题；其中常见的 最优控制包括时间最短、能耗最少等等，相应的有状态调节器、输出调节器、跟 踪器等综合设计问题 不管是经典控制理论、现代控制理论还是大系统理论，其研究对象都以线性 系统为主近几十年来，作为现代控制理论主要成果的线性系统理论得到了充分 的发展并已趋于完备而现实世界中的系统大都为非线性系统，随着科学技术的 第一章绪论 发展及工程应用的实际需要，对某些系统的控制精度要求越来越高，线性系统作 为一种非线性系统的近似已经难以达到所要求的控制精度，这样就促使控制理论 向非线性系统发展事实上，近三十年来对非线性控制系统的研究已取得一些明 显的进展主要的分析方法有：相平面法、l y a p u n o v 法、描述函数法、微分几何 法和微分代数法等等，但是这些方法都有一定的局限性，都不能成为分析非线性 系统的通用方法例如，用相平面法虽然能够获得系统的全部特征，如稳定性、 过渡过程等，但大于三阶的系统无法应用l y 印u n o v 法则仅限于分析系统的绝 对稳定性问题，而且要求非线性元件的特性满足一定条件微分几何法对非线性 系统的结构分析、分解以及与结构有关的控制设计带来极大方便，但这种方法也 有它的缺点，体现在它的复杂性以及空间测度被破坏等总体说来，非线性控制 系统理论目前仍处于发展阶段，很多问题都还有待研究解决，领域十分宽广 在对般的非线性系统进行性能分析及控制综合设计时，将系统状态空间划 分成若干个单元，在每个单元用线性系统来逼近非线性系统，由此用分段线性的 方式来获取全局非线性系统的性能分析及控制综合的方法已经得到广泛认可和 采用分段线性系统( p i e c e w i s el i n e a rs y s t e n l j s ，p l s ) 就是将系统状态空间分成 若干个凸多面体单元，不同的单元由不同的线性系统或仿射系统来描述，并且系 统状态在各单元的交界处保持连续性的这样一类特殊的非线性动态系统分段线 性系统可以以任意精度逼近一个一般的非线性系统，随着系统的分区增加，它逼 近一般的非线性系统的精度就越高对于分段线性系统，在每个单元的动态完全 由一个线性系统来描述，因此能利用线性系统中各种成熟的结论对一般的非线性 系统进行分析和设计此外，分段线性系统本质上属于非线性系统，能展现复杂 的非线性动态，比如极限环、混沌等，对分段线性系统的研究有助于对一般的非 线性复杂动态的研究 另一方面，对于现实世界中的各种实际系统，由于工作状况变动、外部干扰 以及在系统建模过程中总会存在的一定的观测误差或者是某种程度的近似的缘 故，实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确 定性，因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在如何设计一个控制 器，使具有不确定性的对象满足控制品质，也就是鲁棒控制，在过去的2 0 年中 一直是国际自控界的研究热点一般鲁棒控制系统的设计是以一些最差的情况为 基础，因此给系统的分析与综合都带来了一定的保守性如果我们对系统能获取 更多的不确定动态信息，比如知道不确定动态的上下界，就可以将原不确定系统 描述成分段线性微分包含系统的形式进行研究，并且利用线性系统中各种成熟的 结论进行分析与设计 除了在非线性系统及不确定系统的分析与设计中的应用外，分段线性系统本 2 第一章 绪论 身也是一类十分广泛的系统对于一个实际的工程系统来说，由于系统中的物理 限制，系统的状态往往在状态空间的不同区域之间进行切换的现象经常发生，这 就足一类最基本的分段线性系统；并且在控制工程中所涉及到的最常见的非线性 系统如饱和系统、继电器系统，都是分段线性的；在电子电路中，许多基本的电 子元件如二极管和晶体管的描述模型也是分段线性的；在许多先进的控制器中， 如增益调节飞行控制器中，基本的模型也是基于分段线性系统建立的 与此同时，随着计算机技术的长足进步，各种高性能的计算机得到广泛应 用，控制工程领域也采用了各种先进的设计软件，许多控制器的设计都是在各种 复杂的c a d 软件上实现的数值计算方法在系统分析与设计中得到越来越多的 采用由于许多控制问题可归结为线性矩阵不等式( l i n e a u rm a t 血i n e q u a l i t 斌， l m i s ) 的研究，而l m i s 的求解可以用内点法进行，2 0 世纪9 0 年代中期出现了 关于l m i s 的控制软件工具，如m a t l a b 提供的l m i 工具箱，可以很方便的进行 数值求解对分段线性系统的稳定性分析和控制综合的许多结论都可以被表达成 或被转化成l m i s 的形式，求解方便 总之，分段线性系统不仅是分析一般非线性系统和不确定系统的有力工具， 而且本身也代表了一大类实际的工程系统随着计算技术的发展，近二十年来分 段线性系统的分析与综合得到了控制理论界的广泛关注和研究，并在工程科学中 得到了广泛的应用，是控制界的研究热点，其研究具有深刻的理论意义和广泛的 实用前景 1 2 分段线性系统的研究现状 分段线性系统的研究可以追溯到a n d r o n o v 关于非线性系统中的振动现象的 分析上 3 】k a l m a n 于1 9 5 4 年首次对分段线性系统进行定性分析 6 3 】随后的几 十年，随着工程技术发展的需要，分段线性系统成为了控制理论中的研究热点 由于对含有二极管和其他一些分段线性元件的大规模电路的建模及其分析的需 要，对分段线性系统的模型描述有了较多的研究【6 ，1 8 ，6 1 ，1 0 6 】对于一个动态系 统，系统的解的概念是最基本的，文献【3 5 ，1 0 5 】对动态系统的解的定义做了相应 的研究对于分段线性系统，其向量场可能在单元的交界处可能不具备连续性， 因此可应用右端不连续的微分方程理论【3 5 】来研究系统解的性质此外，对于 分段线性系统，有可能存在某个时间段，在该时间段内系统轨迹在单元的交界处 运动，即文献【1 0 5 所研究的滑动模运动( s l i d i n gm o d e s ) 文献【5 4 】在f i l i p p o v 解( 参见文献【3 5 】) 的意义下对分段线性系统解的存在性和唯一性等问题进行了 深入研究，即系统的适定性 3 第一章绪论 随着切换控制器的使用，对一般的分段线性系统的动态性能的分析也日益受 到重视p e t t i 基于向量场方法对分段线性系统的动态性能进行了分析【8 6 】，揭 示出此类系统可能存在的丰富的动态特性，如滑动模运动、周期解( 极限环) 和不 稳定性此外，随着电子电路理论及非线性科学的发展，在由分段线性系统来描 述的某些简单电路比如饱和电路中发现了复杂的非线性动态【1 9 ，2 0 ，6 8 ，1 1 0 】，如 周期解、混沌运动等此后，对分段线性系统中的复杂非线性动态现象的研究得 到了关注文献【1 0 2 】研究了一类分段线性系统中吸引区域( 稳定区域) 的判别问 题文献【9 4 ，9 5 ，1 0 4 】研究了分段线性型电路中系统的稳定和失稳问题，研究结 论显示，通过所谓的o p f ( o c c a u s i o n a lp r o p o r t i o n a lf e e d b a c l 【) 方法可以将系统的 周期解和混沌进行相互切换文献【7 】计算了一类分段线性系统的弗罗奎特指数 ( f l o q u e te x p o n e n t ) ，并在此基础上研究了系统中的混沌控制文献【7 9 】研究了 一类分段线性系统中周期轨道的存在性问题文献 9 2 】基于离散时间l y a p u n o v 函数方法对一类分段线性系统中周期轨道的局部稳定性进行了研究文献【1 1 1 】 研究了一类继电器系统中周期轨道的全局稳定性但文献【9 2 ，1 1 1 】的方法仅限 于对维数小于3 的系统文献【4 8 】基于脉冲映射( i m p a c tm 印) 方法研究了分段 线性系统中周期轨道的稳定区域问题，对系统的维数没有限制文献【4 2 ，4 3 ，4 4 】 用庞加莱映射( p o i n c a 两m 印，【4 9 】) 方法对分段线性系统解的动态特性作了较深 入的分析结论表明，当庞加莱映射在系统包含奇怪吸引子( 混沌吸引子) 的那 些单元上是连续映射时，能对系统嵌入奇怪吸引子中的短周期轨道进行辨识文 献【7 0 ，1 1 9 ，1 2 4 】研究了在一类简单的切换系统中，即切换器取分段线性形式时 系统中混沌的产生文献【4 ，7 1 ，7 2 】对分段线性系统中多卷轴型混沌的产生进行 了研究此外，近年来文献【2 3 】和【5 5 】结合图论和对各分区中线性系统动态特 性的局部分析发展了一种新的分析方法，以对分段线性系统的全局动态特性进行 分析然而，以上这些研究其重点都是对系统的动态特性进行分析，对系统的综 合设计研究较少对分段线性系统的性能分析与综合设计，j o h a n s s o n 【5 7 】利用 系统分区信息构造分段二次l y a p u n o v 函数进行了研究 除了对系统的解及其动态特性进行分析外，对系统的其它结构性质分析也有 了相应的研究成果类似于线性系统的能控性、能观性等结构性质的分析，文献 【9 ，6 7 ，1 0 8 ，1 1 3 】研究了分段线性系统的能控性、能观性等问题 对系统运动的稳定性研究工作是由l y 印u n o v 开创的【7 3 】，他的研究主要是 基于系统的能量考虑的，即如果系统的能量随着时间逐渐减小，则系统趋于稳 定此后，关于系统的绝对稳定性研究也出现了相应的理论性成果【8 7 】对系 统的稳定性分析，都可以归结为l y a p u n o v 函数的构造问题对于线性系统， l y a p u n o v 函数的构造较为简单，比如可构造二次型l y 印u n o v 函数，通过求解 4 第一章绪论 相应的l y a p u n 0 v 矩阵方程即可判断线性系统的稳定性但要对一般的控制系统 构造一个适当的l y a p u n o v 函数具有很大的困难八十年代以来，凸规划的数值 解法得到越来越多的研究和应用，p y a t n i t s l ( i i 和s k o r o d i n s h i 【8 8 】在分析系统 的绝对稳定性问题时以线性矩阵不等式组( l m i s ，【1 1 】) 的形式对问题进行表述， 并在当问题有解时给出了一种数值解，但对凸规划( l m i s 问题) 所给出的解法 非常复杂n e s t e r o v 和n e m i r o v s k i 【8 1 】将k a r m a r k a r 在求解线性规划时所设 计的内点法【6 4 】应用到一般的凸规划中，此后便出现了一些优秀的关于凸规划 的专著【1 1 ，9 7 】和一些优秀的计算软件 4 1 ，1 1 5 】，如m a t l a b 的l m i 工具箱从 此l m i s 方法在各种控制理论中获得广泛应用比如在系统的稳定性分析中，将 l y 印u n o v 矩阵方程的求解转化成l y a p u n 0 v 矩阵不等式的求解更为便利 对分段线性系统的稳定性分析，由于其特殊性，可以利用线性系统稳定性的 相关结论，将分段线性系统看成一个线性微分包含系统，对系统构造一个全局的 二次型l y a p u n o v 函数便可进行稳定性分析【5 6 】但全局二次型l y a p u n o v 函数 不能处理具有仿射项的系统，并且，对某些稳定的分段线性系统，不存在一个全 局二次型的l y 印u i l o v 函数此外，这种分析方法没有利用到系统的分区信息， 必然造成所得结论的保守性为了对分段线性系统进行有效分析，九十年代中期 出现了一些非标准形式的l y a p u n o v 函数【4 7 ，5 0 ，5 6 ，5 7 ，7 7 ，8 3 ，8 4 ，8 5 ，9 9 】其 中文献【7 7 ，8 4 ，8 5 】所构造的l y 印u n o v 函数允许在单元的交界处不连续，但在 系统每次穿越单元的边界后都必须判断其能量是否减小，因此对大规模系统而 言，其应用将受到限制如文献【5 0 】设计了一种分段线性的l y a p u n o v 函数，但 当系统的动态特性较为复杂时，该l y a p u i l o v 函数的构造需要非常大的信息量从 而限制了其应用；而文献【5 0 ，5 6 ，5 7 】利用分段线性系统的分区信息构造了分段 二次l y a p u n o v 函数，对系统进行性能分析时体现了更大的灵活性对分段二次 l y a p u n o v 函数的构造可以简单表示为：首先利用系统的分区信息构造连续矩阵 和多面体单元界矩阵，基于连续矩阵可以构造连续的分段二次型标量函数，由多 面体单元界矩阵并利用孓p r o c e d u r e 【1 1 8 】可以判断所构造的分段二次型标量函 数的正定性，及关于时间导数的负定性，从而使得该能量函数成为系统的分段二 次l y a p u n o v 函数基于分段二次l y 印u n o v 函数方法，分段线性系统的稳定性结 论可以表达成一组l m i s 的可行性问题( l m l 8f e a s i b i l i t yp r o b l e m ，【1 1 】) ，l m i s 可 行性问题是凸问题，可以通过m a t l a b 的l m i 工具箱进行有效求解 4 1 】在文献 【5 7 】的结论中，当把连续矩阵取为单位阵时，所构造的分段二次l y a p u n o v 函数便 退化到一般的全局二次型l y 印衄o v 函数的形式，可见分段二次l y a p u n o v 函数 是比全局二次型l y a p m l o v 函数更为广泛的一类函数并且，分段二次l y 印u n o v 函数能有效利用系统的分区信息以上这些特点使得对分段线性系统的性能分析 5 第一章绪论 更灵活也更有效此外，分段二次l y a p u n 0 v 函数在模糊系统的性能分析中也发 挥了重要作用如文献【1 3 ，3 0 ，3 1 ，3 2 】基于分段二次l y a p u n o v 函数方法对t - s 模糊系统( 参见文献【1 0 3 】) 进行了性能分析与控制器设计；文献【6 6 】基于分段 二次l y a p u n o v 函数方法对m 锄d a n i 类型的模糊系统进行了稳定性分析事实 上，可以将上述文献的所研究的模糊系统看成是一个分段线性微分包含系统，然 后用分段线性系统的相关结论和分段二次l y 印u n o v 函数方法进行研究 对于个控制系统，在对其性能进行分析的基础上，我们往往需要设计一种控 制信号来改善系统的性能，这就是关于系统的控制综合问题文献【5 1 ，5 7 ，5 8 ，8 9 1 基于分段二次l y 印u n o v 函数方法，研究了分段线性系统的反馈镇定问题其研 究结论都以l m i s 的形式给出，而其中满足某种性能要求的控制器设计可以表 述为一个受l m i s 约束的半正定规划( s e m i d e f i n i t ep r o g r 锄m i l l g ，s d p ，【1 0 9 】) ， s d p 问题是凸优化问题，可以利用基于内点法的m a t l a b 相关软件进行求解然 而，这些方法仅仅考虑了状态反馈的情形，对输出反馈控制设计没有研究在许 多的现实系统中，我们往往难以获取系统状态的全部信息，这就出现了状态观测 器、系统的输出反馈设计等问题文献【1 ，2 7 ，3 4 ，9 0 ，9 1 】研究了分段线性系统的 状态估计及基于状态观测器的控制设计等问题，其中文献【1 研究了基于全局二 次型l y a p u n o v 函数的龙伯格( l u e n b e r g e r ) 观测器设计方法；文献【2 7 】基于分 段二次l y a p u n o v 函数研究了系统的观测器设计问题；文献【9 0 ，9 1 】讨论了一类 具有多个平衡点的分段线性系统的输出反馈控制问题，并将控制器的设计条件表 达为一组双线性矩阵不等式组( b i l i n e 缸m a t r b ( i n e q u a l i t 油，b m i s ，【4 6 】) 的可行 性问题，而满足某种性能要求的控制器的求取是一个受b m i s 约束的非凸优化问 题b m i s 问题是n p 难问题，文献 4 6 】提出了一种依次固定双线性项中的一 些变量优化另一些变量的简单的迭代方法，即v - k 迭代算法；文献【5 2 】将问题 的变量进行局部线性化并忽略高阶项以形成l m i 问题，从而进行求解，迭代该 过程至收敛到某个固定值，但由于b m i s 问题的非凸本质，以上方法难以获得全 局最优解文献 3 9 】提出了分支定界法，该方法本质上是一种隐枚举法，不能有 效处理大规模优化问题由于已有的求解b m i s 问题的这些算法存在的缺陷，限 制了b m i s 方法在系统控制综合中的使用 由于外部扰动或建模误差，系统中总存在不确定性文献【7 5 】基于鲁棒仿真 算法研究了一类离散时间不确定分段线性系统的稳定性问题但没有考虑控制器 设计的问题最近，文献【1 5 ，2 4 】研究了一类不确定分段线性系统的状态反馈设 计问题，并考虑了系统的如控制问题其中的不确定性分布在所有的系统矩 阵中，并对每个系统矩阵，都分别存在一个不确定性的上界结论显示，其稳定 性和控制器设计条件都可以表达成一组l m i s 的可行性问题然而，在文献【2 4 】 6 第一章绪论 中，那些l m i s 的可行性敏感地依赖于某些参数变量的选取此外，以上结论都 要求每个子系统是能够被镇定的文献【1 5 】研究了一类不包含仿射项的不确定分 段线性系统的上k 控制器设计问题，注意到在这种情况下不能应用孓p r o c e d u r e 引理，将会对所得结论带来很大的保守性此外，输出反馈日控制问题在文 献 1 5 ，2 4 】中都没有得到研究到目前为止，很少有文献研究不确定分段线性系 统的输出反馈控制综合问题，尤其是输出反馈比控制问题 对于分段线性系统的控制综合，上k 性能指标反映了系统的鲁棒性此外， 对于一个控制系统，除了需要镇定到平衡点外，往往还需要考虑控制成本比如 使控制信号的能量最小，控制系统的误差信号最小，由此引出了最优控制或保性 能控制的性能要求其中，一般将一个控制系统的性能函数考虑成状态变量和控 制变量的二次型函数的积分在最优控制方面，b e l l m a n 8 】指出系统的最优控 制是h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 方程的解对于线性系统，k a j m a n 【6 2 】 指出二次调节问题的最优控制是一线性状态反馈控制器而对分段线性系统，线 性系统最优控制的相关结论已经不再适用，即用线性系统最优控制得到的控制律 甚至都不能使系统镇定事实上，对于包含分段线性系统在内的一般的非线性控 制系统，h j b 方程的求解是非常困难的，尽管有很多数值方法提出【2 ，5 3 ，1 1 2 】， 但其求解仍将不可避免地遇到维数灾的问题在实际的工程系统中，当最优控制 很难得到的情况下，我们往往只要求性能函数不超过某一个上界就可以了，由此 引出了保性能控制设计方法当要求优化性能函数上界达到最小时，便为最优保 性能控制问题对于保性能控制，可视为基于h - j b 不等式方法对系统进行控制 设计，使闭环系统的性能函数不超过某一个上界即可，而不要求得到最优控制， 从而避开了h j b 方程的求解保性能控制与最优控制是紧密联系在一起的 事实上，若我们能够求取性能函数的上下界时，并且如果求得的上下界相差足够 小时，则可认为相应的控制器既是最优保性能控制，又是性能函数的最优控制 文献【8 9 】利用h - j b 不等式得到了状态反馈情况下分段线性系统的分段二次型 性能函数的上下界，其中性能上界的优化是一组以反馈增益为寻优参数的b m i s 问题，而性能下界的设计是一组l m i s 形式的凸优化问题，从而避开了h j b 方 程的求解到目前为止，很少有文献研究输出反馈及具有不确定性的分段线性系 统的保性能控制问题 分段线性系统可视为一类简单的混合动态系统( h y b r i dd y n 锄i c a ls y s t e i n s ) 混合动态系统是一类同时具有连续时间动态、又具有离散事件动态的复杂的动态 系统，在控制理论及工程应用领域都受到了日益重视，近年来已成为控制理论的 一个研究热点【1 0 7 】文献【1 0 】的研究结果表明一些特殊的混合动态系统和切换 系统能够被表达成分段线性系统的形式事实上，分段线性系统在不同单元的交 7 第一章 绪论 界处都会进行连续时间动态的切换，而这个切换规律足由系统的状态变量来决定 的，即当系统状态达到某个切换面时就自动进行系统动态方程的切换因此，由 系统的状态变量和切换面便可构成一个离散事件动态的描述由此可见分段线性 系统是一类混合动态系统，只是其离散事件动态特性完全由系统连续时间动态的 状态变量决定文献【7 6 ，1 2 0 】基于分段线性系统理论的方法对混合动态系统进 行了稳定性分析 此外，分段线性系统可以以任意精度逼近一个非线性系统【8 9 】，因此将各类非 线性系统进行相应的分段线性处理便可基于分段线性系统理论的相关结论来研究 非线性系统的分析与综合问题利用分段线性系统理论的相关结论对原非线性系 统进行稳定性及鲁棒性能的分析，这方面的研究成果可以参阅文献【4 5 ，6 0 ，1 2 1 】 此外，文献【1 0 l 】基于分段线性系统理论的方法研究了一类非线性系统的输出调 节问题文献【8 0 】基于分段线性系统理论的方法研究了一类非线性系统的辨识 问题而文献 6 9 ，9 6 ，1 2 3 】则用分段线性系统理论的方法研究了一类神经元网络 的稳定性问题但基于分段线性系统方法的、对非线性系统的召啬控制器设计及 保性能控制设计等，尚未有相关成果报道 以上介绍的主要是关于连续时间分段线性系统研究的相关结论对于离散时 间分段线性系统的研究，也出现了很多重要的成果，具体可参阅文献 2 1 ，2 2 ，2 5 ， 2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 3 ，7 5 ，1 0 0 ，1 1 7 】其中文献【2 l 】基于全局二次型l y 印u n o v 函数 方法研究了镇定离散时间分段线性系统的状态反馈控制器设计问题，控制器的求 取被表达成一组b m i s 的可行性问题文献【1 0 0 】研究了一类不确定离散时间分 段线性系统的状态反馈镇定问题文献【2 2 ，2 9 ，3 3 】基于分段二次l y 印u n o v 函 数方法研究了离散时间分段线性系统的稳定性、三k 性能和王k 控制问题文 献 2 7 】研究了离散时间分段线性系统的观测器设计问题，所研究结论可被表达 成一组l m i s 的可行性问题文献【2 8 】研究了离散时间分段线性系统的鲁棒滤 波器设计问题文献【2 5 】研究了离散时间分段线性系统的异步状态估计，其中 估计器的状态初值与系统状态初值可能不在同一个单元，结论显示该状态估计器 可以通过一组l m i s 问题的求解得到文献【1 17 研究了离散时间分段线性系统 的上k 估计器设计问题文献 2 6 】研究了离散时间分段线性系统的输出调节问 题，类似于线性系统输出调节的内模原理 1 6 】，分段线性系统的输出调节器的求 取也可表达成一组调节矩阵方程的可解性问题以及一组l m i s 的可行性问题此 外，对于一个实际的工程系统，系统中存在的时间延迟是不可避免的，而时间延 迟会降低系统性能并容易造成不稳定性【3 8 ，7 4 】比如分段线性系统中的时间延 迟会造成混沌的产生【1 2 】文献【1 4 】研究了一类具有时间延迟的离散时间分段线 性系统的巩鲁棒滤波问题 8 第一章绪论 1 3 本文的工作和主要创新 本文利用分段二次l y 印u n o v 函数方法，第二章研究了分段线性系统的稳定 性基于第二章的稳定性结论，第三章研究了不确定分段线性系统的状态反馈和 输出反馈镇定问题，并且也考虑了闭环系统的q 稳定裕度问题结论表明，具 有q 稳定裕度约束的控制器的设计问题被表达成一个受b m i s 约束的非凸优化 问题由所得结论容易导出确定性分段线性系统的相关设计方法b m i s 问题是 n p 难问题，对此结合遗传算法和内点法设计了一种新的混合算法进行求解，所 设计算法全局搜索能力强，实现方便第四章将线性系统的有界实引理推广到不 确定分段线性系统的情形，研究了不确定分段线性系统的状态反馈和输出反馈 月0 控制问题结论表明，系统的