高考试题中的阿基米德三角形.pdf

2 0 0 8 年 第4 7 卷第9 期数学通报 3 9 高考试题中的阿基米德三角形 邵明志陈克勤 山东省滕州市第一中学2 7 7 5 0 0 题1 2 0 0 5 年江西卷 理2 2 题 如图 设抛物线C y z 2 的焦点为F 动点P 在直线z z j 一2 0 上运动 过P 作抛物线e 的两条切线P A P B 且与抛物线C 分别相切于 A B 两点 办爿 广 1 求 A P B 的重心G 的轨迹方程 2 证明么P F A 一 P F B 题2 2 0 0 6 年全国卷 理2 1 题 已知抛物线z 2 4 y 的焦点为F A B 是抛 物线上的两动点 且夼一A F 盲 z o 过A B 两 点分别作抛物线的切线 设其交点为M I 证明F 研 盈为定值 设 A B M 的面积为5 写出S 厂 A 的 表达式 并求S 的最小值 题3 2 0 0 7 年江苏卷 理1 9 题 如图 在平面直角坐标系z 0 中 过Y 轴正 方向上一点C o c 任作一直线 与抛物线Y X 2 相交于A B 两点 一条垂直于z 轴的直线 分别 与线段A B 和直线l y 一c 交于点P Q 锣B J i Q 1 若蔬 碡一2 求c 的值 2 若P 为线段A B 的中点 求证 Q A 为此 抛物线的切线 3 试问 2 的逆命题是否成立 说明理由 题4 2 0 0 8 年山东卷 理2 2 题 如图 设抛物线方程z 2 2 p x P 0 M 为 直线Y 一2 p 上任意一点 过M 引抛物线的切 线 切点分别为A B k7 1 j x 一劲M I 求证 A M B 三点的横坐标成等差 数列 f f 已知当M 点的坐标为 2 一2 p 时 f A B l 4 1 0 求此时抛物线的方程 是否存在点M 使得点C 关于直线A B 的对称点D 在抛物线z2 2 p y p 0 上 其中 点C 满足葡 萌 碡 0 为坐标原点 若存 在 求出所有适合题意的点M 的坐标 若不存在 请说明理由 题5 2 0 0 8 年江西卷 理2 1 题 设点P z o y o 在直线X m y m 0 m 1 上 过点P 作双曲线z2 一Y 2 1 的两条切 1 线P A P B 切点为A B 定点M 寺 o 1 过点A 作直线z Y 0 的垂线 垂足为 N 试求A A M N 的重心G 所在的曲线方程 万方数据 4 0 数学通报 2 0 0 8 年 第4 7 卷第9 期 N 少工 衫 A C A B 在图1 4 中画出 A B C 的所有 友好矩形 指 出其中周长最小的矩形并加以证明 解 1 如果一个三角形和一个平行四边形 满足条件 三角形的一边与平行四边形的一边重 合 三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对 边上 则称这样的平行四边形为三角形的 友好平 行四边形 2 此时共有2 个友好矩形 如图1 3 中的矩形 B C A D A B E F 易知 矩形B C A D A B E F 的面积都等于 A A B C 面积的2 倍 所以A A B C 的 友好矩形 的 面积相等 3 此时共有3 个友好矩形 如图1 4 中的矩形 B C D E C A F G 及A B H K 其中矩形A B H K 的周长 最小 证明 易知 这三个矩形的面积相等 令其为 S 设矩形B C D E C A F G 及A B H K 的周长分别为 Z l Z 2 厶 k A B C 的边长B C 口 C A b A B C 则 9 C9 C C z l 一型 2 a f 2 一竽 2 b 如一竺 2 f 所以l l z 2 竽忆 一 学怕 剐 竽 而秒 S 口 6 所以厶一1 2 O 即Z l Z 2 同理可得 Z 2 厶 所以l 最小 即矩形A B H K 的周长最小 评析此题以图形的特殊位置关系为契机 创 设了一个全新的概念 等对角线四边形 试题平 和清新 一题多问 层层平缓递进 为不同程度的学 生展示自己的数学才华创设了平台 第 1 小题是 新定义的直接应用 第 2 小题是新定义的简单应 用 前两小题为第 3 小题的解决作了铺垫 第 3 小题的解决 要抓住 变 中的 不变量 矩形面积 相等 然后 把三个矩形的周长用其面积及其与三 角形公共边的边长分别表示出来 再作差比较太 小 就可使问题获得解决 以四边形为背景的新定义型中考试题 宛如中 考试题大花园里一朵鲜艳的奇葩 耀眼夺目 令人 叹为观止 通过对此类试题的探究 既可领略了其 多姿多彩的风貌 又可初步把握了此类试题的特 点 更有利于站在系统的高度上组织教学 也有利 于引导学生发掘题目中丰富的内涵 从而使教学工 作取得事半功倍的成效 上接第4 2 页 以上各结论的证明即是将Q A B 三点的坐标