（应用数学专业论文）关于声波逆散射问题的factorization方法.pdf

摘要 本论文讨论的内容为：平面声波u i _ e 船爿在均匀介质中遇到不可穿透阻碍 物d 在其外部产生散射波矿，整个场u = + 满足 f n + 舻t = oz 舻面 ，r 凸c 批i ，n + t = = z a d 【规r ( 筹一 矿) = o r = i z l 一。 a 为参数，可以是实数或复数为了能够重构散射体d ，我们可以建立起远场模与 散射体之间的联系，这种联系可以通过所谓的远场算子f 来确定那么分析该远 场算予f 的一些性质就显得非常重要，比如f 的因子分解f = 一4 ”g p ( ”，小) 9 和s ( ，a ) 满足的一些条件等利用算子f ，我们得到了点z 属于区域d 的几个 充分必要条件，从而可据此确定散射体d 的大小所得结果也可以说是a k i r 8 c h 的有关结论的推广 关键词t 因子分解，远场算子，散射理论，t i k h o n 0 、r 正则化 慧耋怒。 a b s t r a c t i nt h i 8p 印e r ，w ec o i l 8 i d e rt h ei n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m sf o rp l a n ew 撕i n c i d 衄c e u = e h + 4i nah o m o g e n e o l l 8m e d i u mt od e t e r m i n et h e8 h 印e0 ft h es c 毗t e r i n go b 8 t a d ed h d mf 8 r6 e l dm e 船1 1 r 眦e n tu o ft h es c a t t 即e dn e l d su 5 ”= + t 。s a t i 蚯e 8 i u + 2 u = o 舞+ a t = h 【鲰r ( 警一 u 。) = o z 舻面 o a d r = l z i _ o 。 ai st h ep 踟砌e t e r s ，c o m p 蛔【_ v 妇dn l l n l b e r so rr e a ln 1 n b e r 8 i n0 r d e rt or e c o 璐t r l l “t h e 8 h a p eo f8 c 8 t t e r e rd ，w e 髓t a b l i s ht h er e l a t i o nb e t 憎nt h e8 c a t t e r e ra 皿dt h ef a rf i d i d 瑚土t e r n t h er e h 廿o c a nb e 丘x e db y8 0c 出k d 陆矗e l d0 p e r a t o r f t h e r e f o r e i t 8v e r y i m p o r t 蛆t t o8 n 8 1 y z es o ep r o p e r t i e so ff ，s u c ha 8t h ef a c t o r i z a t i 0 o f t h ef 8 r 丘e l d0 p e r a t o rfi t h e f o r mf = 一4 丌g p ( ，小) pa l l dt h ec o n d i t i o n ss ( ，a ) 8 a t i 8 l l 、抽t h eo p 口a t o rf ， w ed e r i v e t h a t = b e l o n 鄂t o d i f 觚d 鹋i f ( f 妒，妒) n 1 8 t8 a t i 8 母s 0 瑚i ec o n d i t i o i l s t h 璐t h e s h a p eo f 也e8 c a t t e r e rdc a nb ed e f i n e da c c o r d i n 9 1 矿a c t u a y t h er 鹪u l t 8c a i lb es a i dt ob e af l l r t h e rd e v e l 叩m e i l to fa k i r s c 血ss 岫p l i n gm e t h o d 8i na8 e n k e yw o r d s ：f a 吐0 r i z a t i o n ；f a r6 e l do p e r 8 t o r ；8 c a t t e r i n gt h e o r y ；t i k h o n o vr e g u l a r i z 扣 t i o n 1 1 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 傣物 日觏：吒辱6b 1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者签名：际榴 日期：髫辜月1 日 撕糨多! 卜 日期：卅磊孑月乙，日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回童途塞握窑卮溢唇；旦主生；旦二生；旦三生蕉壶! 作者签名：簪枷 日期：以车6 爿日 褂始芗卜 导师签名：z ，可一 日期瑶年石月m 1 引言 声波逆散射问题是近代典型的反问题之一，它在雷达，医学等领域的广泛应 用日益受到人们的重视在本文中，散射波分别满足三种不同边界条件( d i r i c h l e t 边界条件，n e u m a n n 边界条件和r 0 b i n 边界条件) ，通过大量散射波的信息，我 们分别进行散射体重构的研究 设d 为俨类连通的有界区域，a d 是d 的边界，n 是a d 的外法线方向 正散射问题就是：发射入射平面波= n 一，l d i = l ，找到散射波u 。g 2 ( r 3 d ) n e ( r 3 d ) ，使得u 。满足h e h h o l t z 方程 + 七2 t l 。= 0 ，z 萨d 以及s o m m e r f e l d 辐射条件 舰r ( 筹以奶- 0 i 吲$ 卜o 。 ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) 式在童= 南所有方向上一致成立 整个场u = u t + u a 还需要满足下面的d i r i c l l i e t 边界条件( n e u m 一边界条件 或者r 0 b i n 边界条件) t 1 ) d i r i c h l e t 条件 牡= o ， z a d ( 3 ) 2 ) n e u m a n n 条件 娑：o ，z a d( 4 ) 3 ) r d b i n 条件 象+ u _ 0 1 z 如 其中七= 詈是波数，w o 是波动频率，c o 是光速 ( 5 ) 上述三类问题也可以分别看成是下面三类一般问题的特别情形，即给定， e ( a d ) ，9 a ( a d ) ， e ( a d ) ，寻找t 伊( r 3 d ) n g ( 舻d ) ，使其满足 ( a ) 外d i r i c h l e t 边界值问题： ( b ) 外n e u m a n n 边界值问题 ( c ) 外阻抗边界值问题 o r 3 面 z a d 0 ，r = - + 。 z 舻西 z a d r = b i 一。 硝面 z a d 0 ，r = h _ o o ( 6 ) ( 8 ) a c ( a d ) ，m a o ( 参看 1 】) 我们有如下的引理 引理1 1 ：外d i r i c h l e t 边界值问题( 6 ) ，外n e u m a n n 边界值问题( 7 ) 和外阻抗边 界值问题( 8 ) 都有解且解唯一 正问题是给定入射波以及给定相应边界条件的情况下，求散射波及其远场 形式，这是一个适定的问题( 参看 2 】) ，已经有大量的理论和实验数据逆散射 问题则是由散射波的远场形式来求散射体的边界或者相应参数，一般是不适定 的，通常要用正则化方法作数值逼近( 参看 1 0 】) 本论文就是考虑逆散射问题 的一个重要的方面：如何确定散射体的形状 2 ， 扎 础 胤，雠 卜，r 龇忙：虽! ，l_fi，、l-il 蒜 蠹 对于外d i r i c h l e t 边界值问题和外n e u m a n n 边界值问题，要确定散射体的形 状，通常采用的是线性抽样方法，此方法不必求解正问题，而且也不需要先知道 散射体的边界条件的类型，从而避免了迭代算法如b o r n 近似，l a n d w e b e r 选代 和n e w t o n 迭代对初始条件要有好的估计等效率不高的缺点，成功的解决了声 波，电磁波等散射物在各种边界条件下的边界重构问题( 参看【3 】， 4 】) 为了说明 经典的抽样方法，我们引入远场算子f ，h e l m h o l t z 方程的基本解西以及u 。的 含义如下： f ：2 ( 铲) + l 2 ( s 2 ) ( f 9 ) ( 童) ：= 上，u 。o ( 圣，自) 9 ( 旬d s ( 自) ， 圣r 撕) ：= 去篙，嘞 “。为相应问题( 6 ) 或( 7 ) 解的远场模 经典的抽样方法有两种 一种是由d c o l t 0 和a k i r 8 c h 在研究声波逆散射问题时提出的( 参看( 【5 】) ， 当z 在d 内时，使用h ”g i o t z 波函数h g ( z ，x ) = 岛9 ( z ，由e 妇。d s ( d ) 为入射波，相应 的散射波与位于散射体内的点z 的点源( 基本解) 产生的散射波相等，即 f 9 ) = l u 0 0 ，d ) 9 ( d ) d s ( d ) = 垂。( ，z )( 9 ) 其中鸯定义在单位球s 2 上，d 为平面波的入射方向，。为散射体d 内的点， 垂。( 童，z ) 为点源波的远场模式，f 为远场算子，方程( 9 ) 是第一类积分方程，求 解它是不适定的，采用t i k h o n o v 正则化方法，当z a d 时，可以得到( 。) i o 。，1 l h g ( z ) 1 l o 。，这些导致| l g ( z ) l l 和l l h 9 ( z ) 1 j 波动剧烈的点的集合就可以确定 d 的边界( 参看 5 】) 此种方法要求z 是d 内的点，但是如果z 不是d 内的点，那么当z a d 时，m z ) l i 如何的变化，我们是不知道的 1 9 9 8 年，a ，k i r s c l l 将该方法改进为求解方程 ( f f ) 9 ，z ) = 垂o 。( ，z )( 1 0 ) 3 其中p 是f 的共轭算子利用p i c 8 r d 定理和f 的奇异值分解，得到的结论是； 只有。在d 的内部时，才能够有方程( 1 0 ) 的形式，接着采用f 的奇异值系统 和t i k h o n o v 正则化的方法，估测物体的边界( 参看【6 1 ) 在第二种抽样方法中，f 是定义于单位球s 。上的，可以证明f 是正规的， 但是如果f 是作用在单位球铲的开子集，我们将得不到f 的正规性和谱数 据所以本论文考虑在单位球s ：上的开子集r ，采用新的抽样方法即求妒，使 得妒满足( 西。( 2 ，z ) ，币) = 1 和讯， ( f 母，妒) 口f r ) o ，那么这时2 d ，来进行散射 体边界的重构 我们会得到如下的二个主要结论t 对于问题( 6 ) ，我们有 定理1 2t 假定2 不是一在d 中的d i r i c h l e t 特征值，那么对忱帮，饥= 西。( 量，。) ，我们得到 。d 车= w 7 ( 垂：) = 打l ，引( f 妒，1 i c | ) 工，( r ) i ：妒f ( r ) ，( 垂：，妒) 驴( r ) = 1 ) o 对于问题( 7 ) ，我们有 定理1 3 ：假定2 不是一在d 中的n e 啪呦特征值，那么对比印，峨= 垂。( 量，z ) ，我们得到 ：d 车= 7 ( 圣；) = 打l ， l ( f 币，妒) 口( r ) i ：妒l 2 ( r ) ，( 西；，中) l 2 ( r ) = 1 o 对于外阻抗边界值问题( 8 ) ，因为复值常数 的存在，使得定义在单位球s 2 上的远场算子f 不是正规的，那么就不可以得到f 的奇异值( 参看【9 】) 我们可 以利用混合互易关系，建立远场算子和近场算子的关系，由该关系，从而将散 射体特征化( 参看 8 ) 而本论文中我们考虑f 在阻抗边界条件下定义在单位球 铲上的开子集r 来进行边界的重构 我们有如下的结论 定理1 4 ：假定2 不是一在d 中的r 0 b i n 特征值，那么对比兄3 ，吼= 西o 。( 童，。) ，我们得到 z d 铺w ( 中；) = t 礼， i ( f 妒，t f ，) 胪( r ) i ：妒l 2 ( r ) ，( 圣：，妒) 上。( r ) = 1 ) o 4 项士荦伍论文 m a s t e r st h e s i s 事实上，对于能够穿透的阻碍物，进行散射体边界的重构，采用本论文的 f _ a c t o r i z a t i o n 新的线性抽样方法也是可行的( 参看【3 】) 本文后面的内容作如下的安排：在紧接着的第二节是一些预备知识，为我 们主要结果的证明作准备三个主要的结论的证明我们放在第三节 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 2 预备知识 对于前一节提到的三个问题( 6 ) ，( 7 ) 和( 8 ) ，有如下的引理 引理2 1 ：设d 是印中有界区域，d d 是d 的边界，且a d g 2 ，n 是a d 的 外法线方向若t ( 。) g 2 ( 帮面) ne ( r 。d ) ，则有如下的g r e e n 8 公式 u ( 班z 。哿一是吣剐) 蛐) ，z 趴面 ( 1 1 ) 其中舞( 。) = 撬n ( z ) 9 r 副u 扛一胁( z ) ) ，z 帮面存在 在引言中引理1 1 的同样假设之下，我们还有 e 址1 u ( 茁) 2 哥“* ( 奎) + d ( 赤) ，h _ o 。 ( 1 2 ) 这里( 童) 是u ( z ) 的远场信息，称为“( z ) 的远场模式，它是定义在单位球面 上，而且 u 出) = 击厶似们筹一知e 砘蛐) d s ，金妒 ( 1 3 ) 其中童= 音s 2 假设函数咖( z ) c ( d d ) ，则函数u ( z ) = 厶d 圣( z ，3 ，) 庐( 口) d s ( 口) ，z 舻a d 称为 单层位势，其中西( z ，g ) 就是在引言中引入的h e l r r 血0 l t z 的基本解关于单层位势 我们有下面的引理 引理2 2 ：单层位势在舻中是一致h 6 l d e r 连续并且有l 。，伊瓯i 。肋， 其中o o( 2 6 ) 其中w 7 ( 曲) = 伽， i ( 妒，f 妒) i ：妒配，( 妒，咖) = 1 ) 证明t 我们先证明必要条件) 由( 2 4 ) ，( 2 5 ) 式知， i ( 妒，p 砂) i = i ( b + 妒，a b 4 妒) i c - i i a b + 妒1 1 2 ，妒如( 2 7 ) 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 取= b 小妒o ，伽x f ，妒，秭= 1 得到 ( 1 】f ，黝) i 赢怕训2 | 2 赫们m 1 2 2 淼旧嘶删) 1 2 2 赫 ( 2 8 ) 其中在( 2 8 ) 式倒数第二个等式中用到曰 。伽= 毋，而( 讥矿) = 1 所以必要性条件成立 再证充分性( ) 采用的是反证法 如果忙r ( b 小) ，我们可以找到这样的币，有( 妒，钟= 1 ，但是( 钟一o 首先定义闭子空间y ：= 妒恐：( 妒，) = o 我们将会证 f ( y ) 在闭集r ( a ) 中是稠密的 让p 雄，妒，a b 妒) = o 对所有的妒y 都成立，即( b 俞慨妒) = o 那么 且妒y 1 = s 舯n ) 从假设之中我们知道忙r ( b a ) ，所以b a 1 p = o ，由于b 是单射，则小妒= o 那么妒( 小) = r ( a ) 1 ，这就证明a 伊( y ) 在闭集r ( a ) 中是稠密的那么 必然j 佤) y 使得 a b 厩一一意菲a b + 曲，n o 。 ( 2 9 ) 取饥= 识+ 赤，所以在( 2 9 ) 式中( ，咖) = 1 ，a b + 帆一。 由( 2 7 ) 式，得l 渺，f 币) l o ，n o 。即( 曲) 一o 这是与充分性是相矛盾的 故此引理成立 为了应用引理3 1 证明我们的定理1 2 ，其中的f 必须有如下的因子分解， 即如下引理 1 0 引理3 2 ：证明 f = 一4 g s g 4( 3 0 ) 其中算子g ： ( a d ) 一l 。( r ) ，g ，= u 。hg 是1 1 对应的( 参看 6 】) ，表 示问题( 6 ) 在边界值上取得值，“。l 2 ( r ) 是相应解的远场模式，口：l 2 ( r ) 一 日一 ( a d ) 表示g 的伴随算子和p ：h i ( a d ) 一圩( a d ) 表示s 的伴随算子，这 里s 就是预备知识里提到的s 证明t 我们引入辅助算子 h ：l 2 ( r ) 一日j ( a d ) ，( h g ) ( z ) ：= 矗9 ( 口) e 她口幽( 口) ， z 0 d 它的伴随算子 日+ ：日一 ( a d ) 一2 ( r ) ，( 日妒) ( 圣) ：= 厶d 妒( 私) e 一船v d s 0 ) ， r 我们知道去日妒是单层边界积分算子s 的远程模式，再由g 的定义知， 去h + 妒= g 却 则 日= 4 7 r f g + 我们通过观察知道的是以( 日9 ) ( 。) 为入射波的外d i r i d l l e t 问题的远场模式， 那么一矗9 ( 口) e 她口d s ( 口) = 一( h 9 ) ( z ) ，。a d ，再由g 的定义知， f g = 一g h g 把( 3 1 ) 式h 的值带入( 3 2 ) 式，就得到 f = 一4 丌g s + g + ( 3 1 ) ( 3 2 ) 完成此引理的证明 同样，为了应用引理3 1 证明定理1 2 ，在f 的因子分解式中，s 必须满足 ( 2 5 ) 式这样的强制性条件，我们有下面的结果 引理3 3 ：存在睨c l o 使得 c 1 慨( 删s l p ) c 2 懈( 这里s 就是引理里提到的s 证明z 先证 s 妒) i 如i l 酬备j ( ( 3 3 ) ( 3 4 ) 我们先来看单层位势a m a t z 算子和h e l m h o l t z 方程在d 内的解 对于妒( a d ) ，单层位势m 8 a t z 算子为 掌i p ( z ) ：= 厶西( 删) 毋( g ) d s ( g ) ，z 萨 ( 3 5 ) 那么如在舻是连续的，满足s o m m e r f e l d 辐射条件的，并且它是h 出n h o l t z 方 程在印a d 中的解，进一步，我们有 未刚一一未别+ 邓z 姐 ( s e ) 我们再来看有限维特征解空间s ：= t 工i g 2 ( d ) n g l ( 西) ：似+ 七2 叫= o ，z d 叫= o ，z a d ) 那么 ! 。娑出： 。宴如：o “丽出2 ”丽出刮 其中 ，u 是h e l m h o l t z 方程在d 内的解 那么对于边界值，k ：= ，j ( a d ) ： = o ，e ) ，那么内 d i r i c h l e t 是可解的( 参看【2 】) 对于妒g ( 。d ) ，我们令 v = 憎+ 。 1 2 ( 3 7 ) 其中选择w 岛使得 u ，i 。：= u 日1 ( d ) ：厂厶u ”d z = o ，”s ) 选取妒的一组基”。，u 。，”，这样的”是唯一存在的 那么u 。在舻是连续的 = 厶 等| - _ 缸一鬻啦 j 厂厶【i v 1 2 一纠”】如+ j 厂厶n v u 汗一碉u 坪】出一上。u ，鲁a s ( 3 8 ) 其中d r ：= z 帝西：陋i 0 假定女2 不是一在d 中的d 洒c h l e t 特征值，那么 垂：r ( g ) = 畸- 1 p 矿( 西：) o 因此我们完成第一部分的证明 我们来证明第二部分 引理3 4 ：证明 垂o o z ) = 吼r ( g ) = = 争= d 证明t 先证明充分性( ：) 当z d 时，取 巾) ：= 篙_ 。 ，：；”1 8 d 那么，日 ( a d ) ，”的远程模式为 t ，o o = e 一妇。= r ：( 主) ， 岔s 2 即g ，= 。= r ：，所以如r ( g ) 再证必要性。( 净) 假如z 圣d ，存在，日 ( a d ) ，使得g ，= k 让 成为边界值为，的外d i r i c h l e t 问题的解，”。= g ，是”的远程模式既然如是 篙：4 7 r 垂( 州) i 习2 劬咖p 2 j 1 5 腰士学位论文 m a s t b r st h e s l s 远程模式由r e l l i c h 8 引理知道，口( z ) = 4 7 r 西( ：) 对于包含z 和d 的球以外的 。都是成立的 如果z 重d ，那么这是与”在r 3 d 解析和圣( z ，z ) 在z = 。处奇异相矛盾的 如果。o d ，我们得到新西( z ，g ) = ，( 。) ，z a d ，$ 。，也就是表示 ，( 。) + 壬( z ，。) ，( 。) 日l ( a d ) ( 4 4 ) 而v 西( 茹，z ) = o ( 由2 ) ， 。一z ，那么，( 。) 日1 ( d ) 或，( z ) 芒日1 ( 舻d ) ，这和( 4 4 ) 式 也是矛盾的故结论成立 此第二部分的结论对外牛曼值条件和外阻抗条件值都是实用的 3 2 定理1 3 的证明 其证明步骤和3 1 节是相似的，具体的证明过程有点差别，对于强制性条件 的证明的方法和3 1 节有些不同 我们先来证明 m 。r ( g ) = w 7 ( 西：) o ， 引理3 5 ：x - ，尥是自反的b a n 础空间，捌，弼分别是x 。，尥的对偶空间， 线性有界算子a ：捌一五，口：墨一恐，和p ：弼一恐满足f = 日小b 。，b 是1 1 对应的，a 满足 i ( c p ， 妒) 2l c 0 妒| i 蚤i ，v 妒x i 这种强制性条件，c o 那么对v 庐恐 则 r ( b ) = = 争w ，( ) o 其中 ( 4 5 ) 仰7 ( 妒) ；i n ， i ( 妒，f 妒) i ：1 ：f r 弼，( 1 ；f i ，咖) = 1 ) 证明：( 参看 9 】) 为了应用引理3 5 证明我们的定理1 3 ，其中的f 必须有如下的因子分解， 即如下引理 1 6 引理3 6 ：只g 和| 满足如下的关系： f = 一4 7 r g + g + ( 4 6 ) 其中算子g ：_ h 一 ( a d ) 一l 2 ( r ) ，g g = u 。l r ，g 是1 一l 对应的g 表示问题( 7 ) 在 边界值上取得值，u 。铲( r ) 是相应解的远场模式，g ：l 2 ( r ) 一日j ( a d ) 表示 g 的伴随算子和胪：h ( a d ) 一日一 ( a d ) 是的伴随算子 证明：我们取辅助算子h ：l 2 ( r ) 一日一 ( a d ) g ( z ) = 未上9 ( 口) e 酗蕾幽( 口) = 诸上( n ( z ) - 口) g ( 口) e m 口d s ( 9 ) ，z a d 它的伴随算子h ：h ( a d ) 一l 2 ( r ) h + 妒( 金) = 一i 女j 拓( n ( y ) 岔) 妒( ”) e 一。d s ( ) = j bl p ( ”) 5 ；苏8 一。2 d s ( p ) ，岔r 我们知道击日妒是双层位势 雌) = j f 础) 南吣蛐) ，z 叭西 的远程模式，舞( z ) = v l p ，( 参看【4 】) 所以去h + 妒= g 妒，于是= 4 丌胪口 若入射波是h g ( z ) ，而u g ( z ) = 粕矗u 。( z ，9 ) g ( 口) 西 那么u 9 ( z ) 1 8 d = 一5 南，r9 ( 口) e “。d s ( 9 ) 而由g 的定义，进一步得到 f = 一g h 因此有 f = 一4 7 r g + g + 为了应用引理3 5 证明定理1 3 ，在f 的因子分解式中，4 必须满足强制性条 件，我们需要下面的结论作基础 1 7 引理3 7 ：x 是一个自反的b 毗l 空间，a ，：一x 是线性有界的算子， 满足 0 ) ( 妒，a 妒) e ( 一o 。，o 】，v 妒x ，妒o ， ( t ) ( 忆 o 妒) 是实值，并且妒，a o 妒) 白n v 妒x ( 嘲a 一是紧的 那么，j q o ，使得， 证明：采用的反证法 ( 妒，a 妒) i c 1 i i 妒2 ，妒x 如果不存在这样的c 1 ，那么必然在x 中存在这样的序列 ) ，使得0 妒。0 = 1 并且( ，以) 一o 由于有界性，所以存在弱的收敛序列，即一仍竹一o 。由 i i i ) 知道 一山是紧的， 那么( 凡一a ) 一( 勘一a ) 仍 进一步则 ( ，( a o a ) ( 妒一妒。) ) + o ，礼，o o ， 我们有 妒一妒。，a o ( 妒一) ) = ( 妒， o ( 妒一妒。) ) 一l p 。，( a o a ) ( 妒一妒。) ) + ( 妒。，a ) 一( 妒。，a 妒) ，( 4 7 ) 其中a o ( 妒一妒。) 一o ，( a o 一 ) ( 妒一) 一o ，( ，a l p 。) 一o ，礼一o 。， 所以等式( 4 3 ) 的右边是趋向于一( 妒，a 妒) 从( i i ) 知道( 4 3 ) 等式的左边是实值的并且是非负的，所以( 妒， 妒) o ，再由 ( i ) 知道，妒；o 则 c 0 i i 妒。0 2 ( o ，a o 协。) ( ，( a o a ) 妒。) i + i ( 1 p 。， 妒。) l o ，n + 。o 得到i l 妒。0 一。 这和我们的假定0 f l = l 是矛盾的，故结论是正确的 】8 具体应用上面的引理3 7 ，用来代替里面。的a ，得到f 面的结论 引理3 8 ：女2 不是一在d 内的n e u m a i l n 特征值，且满足引理1 1 ， 那么双层位势的法向导数算子在引理3 7 的意义下是满足强制性条件 的 证明：分别在d 和d r = 缸r 3 d ：川 o 和c o 使得， 一( i 妒，妒) c | | u ( z ) i i ； ( a d ) 2c | | 妒i i 一( 。d ) 印| | 妒| | ；i ( a 。) 由此得到当= i 时，一l 是强制性的一( 一川) 是紧的( 参看 6 ) ；由( 参 看 7 | ) 知引理3 7 的( i ) 也是满足的 那么，我们得出是满足引理3 7 中的强制性条件的 1 9 在引理3 5 中，令f 为远场算子，b 换为g 算子，a = 一4 由引理3 6 知，f = g ( 一4 霄 ) g + 。由引理3 8 知，满足强制性条件，所以引理3 5 的条件 是满足的假定。不是一在d 中的d i r i c h l 就特征值，所以 西：兄( g ) = = 争矿( 垂：) 0 后一部分的证明和引理3 1 内似 3 3 定理1 4 的证明 其证明步骤和3 2 节是相似的，对于f 满足因子分解的证明要复杂一些 首先，采用的主要引理和3 2 节中引理3 5 是一样的这里就不在具体的书 写出来在此基础上要求f 满足因子分解，有如下结论 引理3 9 ：f ig ，a 有下面的关系； f = 一g a ? 口 其中a = ( a + + a j ) 陋( a + + 天) + 卅 证明：我们引入辅助h 钉g l o t z 算子日：l 2 ( r ) 一日l ( a d ) 日g ( 。) = f 口( 目) e 舭5 d s ( 旬， z a d 它的伴随算子为：日一 ( a d ) 一l 2 ( r ) ，伊l p ( 圣) = j a d p ( ) e 砘5 ，幽( ) ，r 把e “6 作为入射波，( ，a ) 是它的远场模式，那么乃可以看作是h g 为 入射源的远场模式，由 埘，目) = 一g ( 未+ 彬b d = _ g ( a 一十咖慨。 我们可以得到f = 一g ( a 一+ a j ) h ”是单层位势 “( 。) = z 。妒( ) 垂( 舢) d s ( ) 的远场模式，而且u 是阻抗值为( a + + j ) 跏的外阻抗问题的解，故 g ( a + + a ，) s = 日 2 0 壤士学住论文 m a s t e r st h e s i s 所以日= p ( “+ a ) + 口带入f = 一g ( a 一+ a j ) 日，我们会得到 f = 一g ( a 一+ a ，) s + ( a + + a ，) + g +( 5 0 ) 而 ( a 一+ a j ) s + = 旧( a 一+ a ) 刀+ = 阿( a + + a ，) 】+ + ， 由前面的引理2 3 知道a 一是自伴随的，因此 f = 一g 【( j + ( a + + 天d + s 4 ) ( a + + d + 】g + = 一g a g ( 5 1 ) 其中4 ：= ( a + + a ，) 胆( a + + j ，) + ， 引理3 1 0 ：算子a 满足引理3 7 那样的强制性条件的结论 证明；取t = ，那么m = 凡+ & 一凡+ 是强制性的，这满足了引理3 7 的第二 个条件( n 而且a 一胍也是紧的，因为a 士一凡士，s 一& ，妒一 舭一砂，妒一“s 邓都是紧 的，这就满足了定理3 7 的第三个条件( j i l ) 下面我们就证明满足引理3 7 第一个条件( i ) 证明 j m ( 币，a 1 f j ) o ， 后一部分的证明和引理3 1 内似 完成本论文的证明 参考文献 f 1 】d c o l t o nr k r 豁s ，i n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d 8i ns c a t t e 咖gt h e 0 珥w i 虹i n t e r s c i e n c e p u b l l c a t i o n ，n e wy o r k ，1 9 8 3 2 】d g o l o t na n dr k r 韶8 ，i n v e r s ea c o u 8 t i c 舭l de l e c t r o m a g e t i cs c a t t e r i n gt h e o m 2 n d e d a p p l m a t h 8 c i 9 3 ，s p r i n g e 卜v 矗l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 8 【3 a k i r 8 d l ，n e wd l a r a c t e r i z a t b n so f 幽u t i o 衄l ni n v e r 8 c a t t e r i n gt h e o r y a p p l i c d b l ea n a l y s i b7 6 ，3 1 9 - 3 5 0 ( 2 0 0 0 ) 【4 】a k i r 8 出f 抵0 f i z a t i o no ft h ef a r 丘d do p e r a t o rf o rt h ei n h o m o g e n e o l l 8m e d i u mc 8 s e 蛐d na p p l i c a t