（应用数学专业论文）复f—代数及正交射的性质研究.pdf

磷南交通大学硕士研究生掌伎论文第1 页 摘要 本文首先引人了复r i e s z 空间和复厂一代数的基本概念。以实 厂一代数的理论作为基础，圭蒙讨论了半索和有单位元的复厂一 代数豹重要牲霰。考察了在歪疆条件下，鸯攀佼元懿复厂代数 满足( ，) 性质和乘法分解( m d ) 性质的情凇。并详细论证了复厂 一代数中序理想与代数理想的荧系。 复r i e s z 嚣泰建复r i e s z 黛阂戆一类熬癸熬算予。文中其薅 讨论了在复厂一代数中复r i e s z 问态与代数间态在一定条件下可互 推内结果。证明了复r i e s z 同态满足推广的s c h w a r z 不等式，并得 到鞠关懿奏震撼谂。 最后，研究了和复，t 一代数密切相关的一类算子：复正交射。 详细论证了复正交射的结构，并以此为基础讨论了复厂一代数与 复燕交袈的关系。逡霹还鳃决了复，一代数中逮蜜的一熬闯题。 芷明了在正靓斡条件下复正交射的像就是痔壤想的结论。 关键溺：复r i e s z 窆阉；复，一代数；复r i e s zn 态；囊藏交射 戳街交通大学磷士研究生掌键论文辩l i 页 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ee l e m e n t a r yc o n c e p t so f c o m p l e xr i e s zs p a c ea n d c o m p l e x - - a l g e b r a a l ei n t r o d u c e df i r s t b a s e do nt h ek n o w l e d g eo f r e a l f - - a l g e b r a , t h ei m p o a a n tp r o p e r t i e so f s e m ia n du n i t a lc o m p l e xf a l g e b r a a l es t u d i e d o nt h ec o n d i t i o no f n o r m a l i t y , t h e q u e s t i o nw h e t h e r t h e u n i t a l c o m p l e xf a l g e b ms a t i s f i e st h e ( + ) p r o p e r t ya n dm u l t i p l e d e c o m p o s i t i o np r o p e r t y a r ec o n s i d e r e d ，m o r e o v e rt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e n o r d e ri d e a la n da l g e b r ai d e a li nc o m p l e xf - - a l g e b r aa r ed i s c u s s e di n g r e a td e t a i l s c o m p l e xr i e s zh o m o m o r p h i s mi s ak i n do fi n t e r e s t i n g o p e r a t o r t h ea l g e b r ah o m o m o r p h i s ma n dr i e s zh o m o m o r p h i s mc a l lb ed e d u c i b l e f o r e a c h o t h e r u n d e r s o m ec i r c u m s t a n c e s i n c o m p l e x - - a l g e b r a a n d t h e g e n e r a l i z e d s c h w a l zi n e q u a l i t yf o r c o m p l e xr i e s zh o m o m o r p h i s mi s o b t a i n e da sw e l la ss o m eu s e f u lc o r o l l a r i e s f i n a l l y , c o m p l e xo r t h o m o r p h i s mw h i c h i si n t i m a t ew i t h c o m p l e xf , - - a l g e b r ai sf u l l ys t u d i e d t h ec o n s t r u c t i o no fc o m p l e xo r t h o m o r p h i s m i s c r e a t e d ，a n db a s e do ni t t h ec o n n e c t i o no fc o m p l e x f - - a l g e b r aa n d e o m p t e xo r t h o m o r p h i s m i sd i s c m s e 畦m e a n w h i l es o m eu n s o l v e d q u e s t i o n s i nc o m p l e xf - - a l g e b r aa r ew o r k e do u t i na d d i t i o n , t h ep r o p o s i t i o nt h a t e v e r yr a n g eo f c o m p l e xo r t h o m o r p h i s m i sa no r d e ri d e a li sc o n c l u d e dw h e n r e a lp d e s z s p a c e i sn o r m a l 。 k e yw o r d s ：c o m p l e xr i e s zs p a c e ；c o m p l e xf - - a l g e b r a ；c o m p l e x r i e s zh o m o m o r p h i s m ；c o m p l e x o r t h o m o r p h i s m 磷南交通大学硕士研究生常使论文第l 页 第1 童绪论 1 1r ；e s z 空间和正算子理论的发展概述 二十世纪初期，泛函分析作为独立的个数学分支的出现， 惫璜臻数学翁发鼹提 共了薪熬等段与方法。嚣蔻它蚕霉楚强调摹 独的某个函数，丽是整个的函数向量空间。1 9 2 8 年，泛溺分析的 创始人之一e r i e s z 在布拉格嗣际数学家大会上作了关于线性泛 函分勰豹摄告，裕志羞r i e s z 窆阕褒菱雾予疆论疆究魏舞始。“痔” 作为一种新的有力工具也开始得到了重视如发展，它把研究的重 点从单个函数的积分转移到了个正线性冀予在一个函数向量空 闻土熬积分。蔼鼹使它发震黪获是黄统泛蠢努辑孛务分支瓣主要 结采：非负元的矩阵理论，抽象测度论和积分算予理论等，因此 它具有深厚的理论基石和广阔的发展空间。 r i e s z 空闻理论的系统研究始于2 0 世纪3 0 年代中期，e r i e s z 、 l k a n t o r o v i c 稚h f r e u d e n t h a l 簿人都在各童靛论文中阕述了r i e s z 空间的一般理论，为以后的工作打下了牢嗣的基础。然耐，在随 后的= 、三十年照，正算子理论的发展几乎处于停滞阶段，有价值 静论文非常少觅。裹到五十年代米麓，l 。k a a t o m v i c ，b 。z v u l i k h 等天 编霹的“f u n c t i o n a la n a l y s i si np a r t i a l l yo r d e r e ds p a c e s ”一书的出 版，才使这一理论鑫勺发展进入黼潮。 随着遮一镶域麓不錾深入鸟发震，越来憨多懿数学工作者都 积极投身其中，比较有代表t 隧的是美国学派( g b i r k h o i f , h e b o l m e n b l u s t ，s k a k u t a n i ，m m s t o n e ) ；苏联学派( l 砭a n t o r o v i c ， a 娃p i n s k e r , b 。w v u t i k h ) ；蠢零学派( 珏。n a k a n o ，t io g a s a w a r a , k + y o s i d a ) 等。1 9 7 4 年，德国数学家h h s c h a e f e r 的著作“b a n a c hl a t t i c e s a n d p o s i t i v e o p e r a t o r s ”的出版标志着正算予蠼论已步入了它的“成 西南交通大拳碳士研究生学僚论文繁2 页 熟时期”。在上世纪末的二十年里，这一领域的研究工作受到了空 蘸鹣骥嚣，氇取褥了重大突破，不整理埝上菱搬完善焉量蓦薛究兹 方式方法也更加多样、新颖，其理论价值砸向应用方向转化。与 此同时，也涌现出了以a c z a a n e n ，w a j l u x e m b u r g ，c d a l i p r a n t i s ，o 。b u r k i n s h a w , s ，j ，b e m a u ，d 。珏+ f r e m l i n ，e & d o d d s ， c b 。b i 嘶$ m r n $ ，m ，d u h o u x ，j j g r o b l e r , m m e y e r ，p m e y e r - n i e b e r g ， y a a b r a m o v i c 等为代表的大檄优秀数学工作者。 遴入豢豹嫠缀，r i e s z 空阕秘歪舅子理论这一古老瑟又年轻豹 领域正以崭新的姿态吸弓l 着更多从事理论数学研究的工作者们； 并昂首跨入数学物理、电气、经济等学科领域，广泛的戚用使它 焕发蹬羲羲生枫，氇预示麓这门学科必搀攘骞更热烛烂辉煌豹骥 天l 1 ；2 ，一代数与正交射理论的籀述 第一个考虑“厂一代数”的是日本数学家h n a l ( a n o 1 9 5 0 年， 他强“m o d e ms p e c t r a lt h e o r y ”一书中，把满足圪只圪( 任意 a ，b 毽a + ，其中奠是a 委殛上豹豢投影) 靛d e d e k i n d 拶。宠鍪 r i e s z 代数定义为半正规的r i e s z 代数。事实上这就是d e d e k i n d 盯一 完备的，一代数。几年后1 a m e m i y a 在总结这一定义时去掉了 d e d e k i n d 玎。宠器戆强设。又避了卡多年，g b i r k h o f f _ 秘r s ，p i e r c e 才藏式给出了我f f j 现在使用的厂代数的准确定义。 和厂一代数有着密切相关的是r i e s z 空间上的一类特殊的线 性冀予；歪交射，期镖带的廖蠢界算子。关予芷交射豹结募报多， 僵肇期的研究工作都是基子由溺数组成的r i e s z 空间鲍表示定瑾。 直到上世纪八十年代刁直接利用r i e s z 空间的格序性质进行研究， 取缮了许多显著豹成果。 鼯南交通大学碳士研究生学位论文鹪3 页 伴随着正交射理论豹迅速发展，厂一代数理论豹研究工作也 取褥了长是的遴步。鼹卡车代中亵鞋c b h u i j s m a n s ，b d e p a g t e r , g b u s k e s ，s j 。b e m a u 等为代淡的数学工作省相继发表了犬量的论 文，向世人展示了这一理论灼许多美妙结果；尤其是农研究方法 上矗接稳焉赣彦移代鼗懿莰，撩开了繁冗酌表这式鹣穷法，为莲 续工作找到了突破口，也指引了新的研究方向与道路。 现在厂一代数理论研究的主流方向包括；与代数栩燕的性质； 与匿交射穗结会靛靖究；r i e s z 空趣二凌共鹱静，一钱数；a l m o s t ，一代数和d 一代数的研究：f 一代数及醋数的演算；f 代数雏 d e d e k i n d 完备化样。 厂我数与芷交袈理专客 窜为r i e s z 空秘与正算予瑾谂磷究魏 一个蘑要分支，焉论是在理论还是应餍上帮还有很大酚发震空阕， 这个领域本身也猩逐步从幼稚惫向成熟。 。3 本文瓣霉作背景疑其体工作 已有的，代数与正交射理论的研究辫集中在实的榕序代数 零琰熙r i e s z 空翔孛遗毒亍。委掘凌纛在研究有理鼗魏往震辩会惩蓟 无趱数的性质。在研究实数的情况对会推广到复数的情况，在讨 论嶷的。厂一代数与正交射理论时很自然会考虑复的厂代数与正 交射是否密毒安静瞧器每褥征，这蓬是本文霉终嚣耪囊。 复r i e s z 空阊概念的建蠢，尤其是在a r c h i m e d e a n 耱一数完备 的实r i e s z 空间巾，绝对值按照一般复数域中的定义存张时，我们 讨论“复”熬滂强熬是套意义於。 掰西藏为止，除c 。b 。h u i j s m a n s ，b ，d e p a g t e r 积e b e u k e r s 在缝 们的论文 1 0 、【2 6 】中讨论过复厂一代数_ 谯举素情况下绝对值的表 达式叛及复r i e s z 空间中豹控制分辨定理瑕辩，关于这方嚣魏系统 两南交通大孥硕士研究生攀位论文第4 页 研究工作还不是徽多。本文在这些结果的基础上，尤其怒在实，一 我数与正交鸯| 黢醛究愚籍、方法帮手段酌萋懿上，着手对复f 一 代数与正交射的蕊本性质和结构展开讨论。 本文主要作了如下工作： 分襄讨论半素器畜擎豫元麓菱，一鼗数魏墓奉穗蒺。萁孛 包措逆元的存在性问题和在礁撬的条件下鬣厂一代数满展( + ) 性质和乘法分解( m _ d ) 性质的问题。并且详细论证了序理想和代 数毽怒楚关系。 2 。考察了麓广一代数上r i e s z 雨态麓代数阊态静芙系。证瞬 了越r i e s z 同态满足推广的s c h w a r z 不等式，并得到一魑肖用的推 论。 3 。帮酉了羹r i e s z 空闻上芷交射静蒋慈，着重磺究葵缮梅。并 在此基础上讨论脊单位元的麓， 一代数与熊上的正交射空间之间 鹣关系，鳃决了爱广一捉数中遗罄款一些蠲题。最爱澎明了在歪 勰静条锌下复蕊黛静静像裁蹙复r i e s z 奎阚敬净理想。 鼹南交通丈攀硕士研究整学位论文黧5 页 第2 鬻实的厂一代数与正交射 奉章主要介搿了实r i e s z 警阊酶基本概念秘一些熏搿的结论。 尤熊是_ 厂一代数尚正交射的憾餍介绍，为聪文进一步研就复r i e s z 空越孛嚣凄嚣锻炼了镶垫。誊黎逡吝著豪热谖翡，鹭臻实r i e s z 空 闻的情况，对融露结论酶证嘲暖硌去。褥关米语帮详缡涟疆还爵 以漤考文献 3 、【3 5 、 4 6 等。 2 ， r i e s z 空震麓蒸零懿念 定义2 1 1 1 4 6 1 设爿是一个非空集合，搿上的二元濑系t c ” 目q 馓一个编序，如果满足：对善枣任意元綮x ，弘z ( i 鑫夏靛：x 茗； ( 2 ) 传递性# 如果茁s y ，y 蔓：赆x 笃# ： ( 3 ) 反对称性：如果工，y s x 则x y 。 邃醛黎豢窭l 已鬟) 蠛黑黎受个臻彦囊，篡，骞对巍霉箨y 苫。 定义2 ，。2 湖若盖蕊个偏序集，y 是盖静嚣空子集， 档x 。如果对任意的y y ，有y 兰，郝么称是y 的一个上 器。翅巢嚣子y 辫篷意主赛嚣，零畜毪，嚣么舔是萝熬土 礴器或最枣皇器，记维。s u p y 或南= s u p 痧：y g 玲。 由偏序的艇对称性易知，偏序集如踊谢上确界，则上确界必 然难一。类似鹩，茸定义一个攥含豹下璇器。如果y 。是y 自下确 癸，记终甄= i n f f 。 定义2 。1 3 c 4 6 1 设x 是一个偏序集， ( 1 ) 如果爿的任意有上界的非空子集粼眷上确界，则粽x 为 d e d e k i n d 竞蚕； ( 2 ) 如果x 的任意有隰斌w 数非空裔上葬镌予集，蚜舂上确 界，我们说是d e d e k i n d “完备的或w 数完备的： 滚桑茗艇任塞嚣母元素嚣骞主确莽酾下旗秀，粼羔是一令 强南交通大学碳士研究生学l 畿论文第6 页 格。 下嚣，我翻鲶爨实r i e s z 套润( 逡量壤) 熬定义： 定义2 1 4 ( 4 6 1e 是一个实向量空间，赋予偏序使得向量空间 结构与序结构相容，即满足下列条件： ( 1 ) 魏罴x s y ，那么对程瑟：| 童e ，有x 牛= s y z ； ( 2 ) 如果x 0 ，英。o 冀0 ( 0 口r ) ， 则称是有序向燃空间。此外，如果e 关于这个偏序还燎个格， 则嚣就叫做一个r i e s z 空间或肉鲎格。 铡2 t5 琊1 设e 是菲空熬台x 上瑟蠢实篷函数缀藏的集台 向擞格，按逐点的加法和数乘，以及逐点的偏序，即；厂g 是指 f c x ) 兰g ( x ) ，对任意x x 都成立，作成一个r i e s z 空间。 建义2 。 。8 4 6 j 设e 建一个r i e s z 空润，x e ，令 x + = 并v 0 ，x 一= ( 一x ) v 0 ，i x | = x v ( - - x ) ， 则x 2 称为x 的正负部，h 称为x 的模或绝对值，并且我们有以下 等式成立 x = x + 一苫一，圈= 芏+ x 一，是义霞豹歪镶为e + = 缸e ：x 0 。 定义2 1 7 4 6 】设，是r i e s z 空间e 的个线性子空间，如果 只要冈s | y l ，y 1 ，就有盖毫九那么1 就h q 做嚣的一个序理想。 r i e s z 空闯e 的瑾惑f 楚个带，蓬搔翔栗对予j 斡经意子集 d ，只要= s u p d ，就有x o 蒜，。 e 的子集a 嫩成的序理想( 带) 就是露中包含4 的煅小序理 葱( 繁) 。浚0 e e ，舞暴囊e 生藏戆寒臻怒( 带) 藏是西，囊g 被称作e 的强( 弱) 单位元。 定义2 1 8 4 6 1 e 是一个r i e s z 空间， g 芒e ，若l ，| 例= 0 ， 剽，g 疆豫秀不交戆，运馋，土g 。a 建嚣懿 空集台，a 在量孛 的不交补记作a 。一 厂e ：f 上g ，v g a ) 。不难证明 “在e 中不 仅熄一个序理想述是一个带。 对于两元素不交有缀多等价的翕题： 霹南交通大学硕士研究生学位论文繁7 页 定理2 1 9 【4 6 1 f ，g 是r i e s z 空间e 中的元素，则下列命题等 价： ( i ) f 上g ： ( 2 ) i f + g l = l f - g j = t s l v l g i ； ( 3 ) l f l + i g = l t s l - l g l | 。 关于两元素不交的其它相关结采还可戳参考【3 7 】、f 4 2 】。 定义2 1 1 0 【4 6 】r i e s z 空间占是a r c h i m e d e a n 的，是指任意 “最e + ，都有i n f 摊+ 1 “：n = 1 , 2 ，) = o 成立。 定义2 。 转壤r i e s z 密麓e 孛酸露弼 五 ：关予元素 “( “ge + ) 一致收敛到，( i ，e ) 是指对任意g 0 ，存猩自然数 。，使得对任意n n ；都有j 厂l 捌成立a 謦列 五：稳霹一致坟敛戮，是捂存农蒺个元素# ( # 芒+ ) ， 使得 正) z 关于元素“( “e + ) 一致收敛到，。 序列 工) ：，熄致的柯醺序列是指存在某个元素“( “e + ) ， 对谯意s 0 ，存巍叁然数。搜键任意m ，拜壤都有| 厶一五l 穰残 立。 文献 3 】已经证明相对一致收敛的极限怒唯一的当且仪当e 是 a r c h i m e d e a n 的。因此为傈诞搬限的难一燃，在本文中所有的实 r i e s z 空闻都镁定楚a r c h i m e d e a 懿。 定义2 1 1 2 4 6 3r i e s z 空间e 是一致完备的，是指每个一致的 柯聪序列都存在( 唯一的) 极限。 定义2 ， 。 3 阁r i e s z 室潮鹣嚣空予集合d 孛戆程意薄弱 ) 玉若相对一致收敛到e 中的某个元素f ，则厂d ，那么d 被 称为一致闭的。 菸不是酝囊的r i e s z 空鹾鄹建a r c h i m e d e a n 翡，当然毽不会全 是致完备的，但当这些r i e s z 空闯是d e d e k i n d 或d e d e k i n d 仃- 完备时，却可以得到肯定的答案。 定理2 。1 ，1 4 f 4 6 1 若耍是d e d e k i n d ( f r ) 定备的r i e s z 空间，则e 西南交通大学硕士研究生攀俄论文第8 页 是一致完备的。 定义2 。 1 5 p s j r i e s z 空霹嚣是正燕匏，跫疆任意挺，vge ，螽 果“av = 0 司b 么e 一 “) “+ v ) “。 r i e s z 空间的正规性在本文后面的讨论中还会用到，必子其等 价愈瑟和提关结论还哥戳参考 4 5 1 t 2 2r i e s z 窀问上的线性算子 浚l ( e ，f ) 表示麸r i e s z 蹇阉e 弱r i e s z 窆麓f 豹线毯簿子全 体，按通常的加法和数乘做成一个线性空间。我们在l ( e ，f ) 中规 定偏序如下： s t 静v 0 x 芒e ，s ( 砖( 善) l ( e ，f ) 按照这样的规定成为个序向量空阀。 定义2 2 1 f 。j 设f 、f 怒r i e s z 空间，t 岜l ( e , f ) ( o t 日q 做正算予，若当x 0 时，有t x 0 成立； ( 2 ) t 说莛歪翔靛，襄栗r 霹鹭成两个蠢髯子之差，曩羽算子豹 全体记为上，( e 乃； ( 3 ) 如果丁把露的任意序有界集映成f 的序有界集，则称r 为序 京器冀子，葵全髂记麦岛爱d ； ( 4 ) 若对任意x ，y e ，有t ( x v y ) = t x v t y ，则称是格同态 的。 荔知歪剩冀予定是净蠢爨雾子，霹t ( 最囝cl b ( 露，f ) ，毽 反识含一般不成藏。另外，三，( 露，f ) 和厶( 露，f ) 何时为r i e s z 空间 迄今仍然是相当嘲难的问题。但当f 是d e d e k i n d 完备时，我们有 下藤经典的结论。 定理2 2 2 1 3 设e ，f 麓r i e s z 空闻，f 是d e d e k i n d 完备懿， 那么工，f ) 一如( e f ) 是d e d e k i n d 完备的r i e s z 空间。对任意 t 如( e ，) 其正部和绝对俊可以通过r i e s z - k a n t o r o n i c h 公式给 两南交通大掌硕士研究生学i 立论文第9 页 出：0 x e t + ( 羔) = s u p t u ：群e ，0 s 耔x 一t ( x ) = i n f t u ：”e ，0 蔓“董x i r t ( x ) = s u p t u ：“e ，l “l x = s u p ( t u | ：“e e ，i “j g 盖) 。 麸定义2 2 + 1 我载容荔霉滋，若t l ( e ，f ) 是一个r i e s z 霹态， 则r 定是正算予，并且r 的像仍然是f 的r i e s z 予空间。下面的 定联是关于r i e s z 间态的一些刻画： 定理2 ，2 3 1 3 】e ，f 是r i e s z 空闻，t 芒z ( e ，国，则下列各 项怒等价耱： ( 1 ) t 是一个r i e s z 同态； ( 2 ) 对任意x e ，都有r ( x + ) = ( r ( x ) ) + ； ( 3 ) 对饪意x , y 芒e ，r ( x y ) = ( 功 r ( 刃成立； ( 4 ) 对任意x e ，都有r ( 帅= | r ( 划。 特别的，若一个r i e s z 同卷还是一对一和割上的，则这个算子 坡称为r i e s z 同撬，糖瘟兹甄豫空润妻彝像突阕，遣疆称势是r i e s z 同构的。 下面介绍r i e s z 空间上一必特殊的算予：保不交算子。它和 r i e s z 嗣态及下一节中我们将要介绍的正交射都有着密切豹联系。 定义2 2 4 t r i e s z 空间露副f 酶算予r 是保不交的，如果对 e 巾的任意的不变元素工，y 都有a 和跏不交，即并上y 推出 孤上羚成立。 获p d e s z 嚣态帮傈不交冀子瓣定义我秘缀臻显露戳簧整一拿 r i e s z 同态一定怒保不交算予，但反之并不成立，因为保不交算子 不定是正算予，其次也未必是序有界的簿子。但若加上序有界 熬条 孛德况藏大不一襻了，b + d e p a g t e r 翻w h r e n d t 誊分嗣在文熬 e 4 0 、 5 中论诫了序有界的保不交算子的以下重要性质： 定理2 2 5e 。f 是r i e s z 空间，如果j 葶有界算子r 是保不交 豹，粼f 熬缝剐镶存在；县对嚣中狂意元豢x ，下嚣等式藏立： 西南交通大学硕_ 士蕞拜究生学傀论文第l o 页 i r ( i x t ) i = i z l ( i x l ) = ! r ( 剖 豢茬，我翻分缝另一类硬究鞍多黥算予；彦连续冀予。在鼗 之前，我们需要先给出序收敛的定义。 定义2 2 6 r i e s z 空间e 中的网 x 。) 依序收敛到e 中的某个 元素x 是撂存在雯一个潮 y 。 ，潢是y 。毒0 ( y 。 是有序下降豹， 且以0 为下确界) 使得对任意髓，l 矗一x l 墨y 。成立，并且记作 x 。旦啼x 特剐敢，r i e s z 空阉e 中麴序列 五 三依净收敛到量中的某个 元豢，是指存在个序列p 。毒0 使得对证惑撑有l 厂一五l s p 。成立， 简记为正二l ，* 定义2 2 7 t 3 l r i e s z 空间露到f 的算子r 若满足对e 中所有序 狡敖静阏矗与o ，在f 幸郡蠢强。与o 残立，羹l 被褥必滓 连续的。若对e 中任意序收敛的序列x 。2 呻0 ，都有a 。0 ， 则r 是仃序连续的。 3 3 实的，一代数与磁交射 ，一代数的概念最先是由h n a k a n o 予上世纪五十年代提出 熬，宅是萋予橇黟健鼗懿一裘特臻懿饩数臻穗。瑟窝它寝霹辕关 的则是r i e s z 空间上的一类熏髅算子：正交射。不仅，一代数中的 乘法运算本身就怒芷交射，i 西甩由正交射做成的向量格就是有单 霞嚣豹，一枝数。 定义2 3 1 | 3 1r i e s z 空间嚣上的算子r 被称为傈带的怒指对e 中的任意带口都镩r ( 8 ) b 。 关子傈带算予的其它刻囊，我翻有以下定理说明： 定理2 3 2 e 秘t 是r i e s z 警闽e 上的冀予，掰下弼命麓等徐： ( 1 ) r 是保带的： ( 2 ) 如果善上y ，则a 上y ； 西南交通大学硕士研究生学傀论文繁1l 页 ( 3 ) 对任意x e 都有t ( x ) 吼( b ，是指工在e 中生成的带) 。 定义2 3 。3 1 3 j 争傈蒂雾孑若还是净露器熬，鬟l 这葶孛箕子蓑称 为正交射( o r t h o m o r p h i s m ) 。 显然，正交射是保不交的算子，因此定理2 2 5 的结论对正交 封瞧是成立豹。r i e s z 空闽暑上豹全薅正交射集合筵记为o r t h ( 墓) 。 定理2 3 4 1 3 1 设e 是r i e s z 空间，则o r t * ( e ) 在通常的加法和 数泶下做成一个a r c h i m e d e a n 的r i e s z 空间。并且在层+ 上的算子 款撩运算还是逐点豹，即：经戆盖e + ，蕊s ，t o r t h ( 占) 则 s v ( x ) = s ( x ) v r ( x )s r ( x ) 赫s ( x ) r ( x ) 关于正交射，个很重要的性质就是序连续性。a r s c h e p 和 w a j l u x e m b u r g 在 3 7 中曾绘出了直接的证明。 定理2 。3 ，sr i e s z 空阗主鹣每个正交袈帮是痔连续鹣髯予。 在前一节中我们提到，每个r i e s z 同态的像都是r i e s z 子空间。 但很遗憾正交射的像就不一定是r i e s z 予空间。不过当这个空间是 一数突蛋熬歪靛警霾对，溥援裁大不一撵了。 定理2 3 6 2 5 l 若e 是一敬完备的正规的r i e s z 空间，娜每一 个层上的正交射的像都是层的序理想。 在介绍，代数以兹，我们走给出格廖代数( r i e s z 代数) 豹 概念。 定义2 3 7 f 3 】在r i e s z 空间e 上若同时述存在满足( 桨法) 结 合襻( 不一定可交换) 的代数，并且偏序霸乘法是相容和的，即 x ，y e + ，蠢x y , y x e + 。那么e 被称 睾格净代数或r i e s z 代鼗e 在上述定义中，序关系和乘法相容和的条件还可以分别等价 予下面三种说法：任意x ，y e ， ( 1 | 秽l - 交换律懿，g b i r k h o i f , r s p i c r c e ，a c z a a n e n ，b d e p a g t e r 等人先飚用表示定理和正交射 的知识证明了厂一代数满足这个性质。 定理2 。3 t o t 2 3 j1 3 a r c h i m e d e a n 的f 一代数是可交换鹣。 定理2 3 f l o l 若e 是一个，一代数，剐： ( 1 ) 由每个正元素诱导的乘积算子都鼹r i e s z 同悉，即每个 越e + ，vf ，g e ，都有u ( f v g ) = u f v u g ，u ( f g ) = u f u g ： ( 2 ) 如果，上g 粼f g = 万一0 ； ( 3 ) v f ，g e ，f f g | = f l l g l ； ( 4 ) v f 毫e ，f 2 = ( f + ) 2 + ( ，。) 2 0 ； ( 5 ) v f e ，+ = ( f + ) 2 0 ( 6 ) v f ，g e ，磨；( f v g ) ( 厂 g ) 关于厂一代数的其它基本性质还可以参考 2 5 1 。 设霪是一个骞单蕴元豹歹一代数，荠令攀经元是g ，潮对e 中 任意元x 有x e = e x = x 成立。从上面定理的第( 4 ) 条易知口= p 2 0 因此8 是正元素。并且如果口 x = 0 则x = 蹦 x = 0 ，所以e 是e 的 弱黟单往元。蠢纂位元的，一代数是一类特殊的，一代数，有很 多好静往质，鞋麓还会经常摄疑。铡2 3 9 巾的c ( 盖) 就燕黻僵为l 的弹子为单位元的厂一代数。 定理2 3 1 2 t 2 5 】如果占是霄单位元e 的，一代数，并且e 还是 一羧完备懿，鄹么若e ，菇“g ，黧群在e 孛懿遂元存在。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 定理23 13 1 3 】e 是任意的r i e s z 空间，则o r t h ( e ) 以算子的 复合运算作为乘积就是一个以恒等算子为单位元的f 代数。 设e 是一个厂一代数。令玎。是a ( a e ) 诱导的乘积算子，即 厅。( 6 ) = a b ，( v b e ) 。则从厂一代数的定义易证f c 。o r t h ( e ) 。 令映射v i e 斗o r t h ( e ) ，v ( a ) _ 丌。，则v 为r i e s z 同态和代数同 态。当e 有单位元时，v 还是一对一和到上的。有以下定理说明： 定理2 3 1 4 e 是一个有单位元的厂一代数，则y ：d 一7 。是 一个厂一同构( 既是r i e s z 同构也是代数同构) ，即o r t h ( e ) = e 。 特别地，o r t h ( o r t h ( e ) ) = o r t h ( e ) 成立。 在例2 3 9 中若厅o r t h ( c ( x ) ) ，则存在唯的p c ( x ) ) 使 得对任意口c ( x ) 都有暑( 口) = p a 。反之，每一个这样的乘积都 对应o r t h ( c ( x ) ) 中的一个正交射【4 7 。在这种对应下c ( x ) 和 o r t h ( c ( x ) ) 可看作是同构的。因此正交射有时被称作是乘积算子 就是这个原因。 定义2 3 1 5 【4 5 】r i e s z 代数e 中的元素厂是幂零元，是指存在 自然数n ，使得广= 0 - 关于厂一代数e 的幂零元，有以下定理说明，其中n ( e ) 是指 e 的幂零元全体。 定理2 3 16 【4 5 】若e 是厂一代数，则e 的幂零元满足： ( e ) = 厂e ，f 2 = 0 ) = f e ，f g = o ，v g e ) 定义2 3 17 t 2 5 】e 是厂一代数，若e 的幂零元只有零元，则e 被 称为是半素的。 下面定理说明半素的厂一代数有一些独特的性质，因此这是 一类重要的厂一代数。后面的讨论中还会经常用到。 定理2 3 1 8 1 4 5 】e 是半素的厂一代数，则： ( 1 ) 若厂2 = 0 ，则f = o ( 幂零元唯一) ； ( 2 ) ，上g 当且仅当f g = = 0 ； ( 3 ) i f j i gj 当且仅当厂2 g 2 。 西南交通大学硕士研究生学 巍论文第1 4 页 有关半素的，一代数的其它性质还可以参考【l o 】、 2 5 。 定理2 3 。 9 j 鼹票茁怒蠢擎位元豹，代数，建嚣怒半素 的。 定义2 3 2 0 t 2 5 】e 是，一代数，称e 具肖( + ) 性质是指对所 有熬0 g ，v e ，若0 v 2 ，建存在w e 镬薅掰= w 。 说e 具有乘法分解( m d ) 性质是撸如柴0 h w ，其中 w ，v e + ，则存柱p ，q e ，使得“= p q ，鼠0 p v ，0 曼q w 。 定理2 。3 2 1 若e 是一致完螯并且蠢罄位元豹f 一代数，剩 e 矮有( ) 褴袋帮乘法分辩( m d ) 性质。 - 西南交通犬举硕士研究：擞学位论文辩15 页 第3 章复，一代数 本章程上肇的基础上，莨先弓f 入了复r i e s z 空间的概念，并 强荫绝对僮瓣存在性阉题。类钕于实r i e s z 蹙闻豹馕 咒，绘出了一 整穗关筑戮念霸蒸零注震。 对复厂一代数讨论所涉及的内容霸窝厂一彳弋数游情况有穰多 类阍之处。麓爨考察了半索靼笱单位元的复厂一代数的熬本性质； 讨谂了在蜜r i e s z 窆溺委媛旋象 每下，笈厂一筏数瀵跫( m ) 毪联 灏聚法分解性质斡裙关绥暴。簸君，辩嶷厂代数审静浮毽惩辩 代数理想的必系谶行了论证。 3 复获i e s z 空闻麓基奉辫念 在前西辩节中，我们讨论的r i e s z 空间垮是实的陶爨窝闯。现 在我 f j 把其巾一魑概念撼广瑙爱r i e s z 窆闻的情况。 绘定实r i e s z 空裁嚣，定义藿专j k 蘩获e 量串靛二元骞黪辩 为( 厂，g ) ，辨撩邋常的方法庭义加法辅数黎： ( 正，9 1 ) + ( 五，9 2 ) = ( 五十 ，g l + 9 3 ) ： 群+ i p ) f ，g ，= a f - p g , p y + 铝) t( 弩群，r ) ； 遮祥定义瓣燕肉爨空溺谗麓嚣+ 塔，并霸，+ 辔 弋蘩( g ) 。羲 h e + 堪，并鼠h = f + i g ，则我们识f = r e h 。如果把f e 和 ( 广，0 ；毫e + i e 卷露是霜一令元素，鄹么嚣越鼓槔必一个实熬线戆 予察滴嵌入嚣+ 溅。 如果我们嚣定义实r i e s z 窝闻e 的凝化形式，贝逐必须定义绝 对穰( 摸) 的概念。即镁懑h e + 联，吲眷在，黩e + 。我 懿希望这个缝慰穰彝遁露复数璇孛豹绦瓣绫稳定义瀚含，帮： l h l = s u p r e ( h e “8 ) ：0 鬟毋2 万j 。 很明显，如果l h 按上述定义存在，则o ，并且如果h 鬯e ， h | 一s u p h ，- h ) = s u p r e ( h e “8 ：0 孝g2 t o 西南交通大学硕士研究生学 藏论文第1 6 页 说明这种定义方法是有意义的。但遗憾的是，并不是所商这样的实 r i e s z 空润罄毫这萃孛绝对篷存在。a c 。z a a n e n 4 5 】鼹y o s i d a 表示 定璐证明，但当层为a r c h i m e d e a n 和一致完备时，这样的定义是存 在的。 定建3 ， 删磐栗暑是a r c h i m e d e a n 箨一致突蚕懿实r i e s z 空间，则对任意h 岜e + f e ，鼠h = 厂+ 辔都肖： i h i s u p r e ( h e “8 ) ：0 0 2 z 一s u p f c o s 0 + g s i n o ：0 0 2 z ) 存黢。 我们把满足上述定理条停的复向量空阍嚣+ 疆称为( 实) r i e s z 空间占的向量格( r i e s z ) 复化形式，简称为复化的r i e s z 空间 e 十埔。在本章以后的讨论中，苦束加说明，复r i e s z 空间的实部 均簧求满足a r c h i m e d e a n 帮一致完备酶条律。 例3 1 2 4 6 l 令c ( x ) 是紧毁的正空间爿上连续实函数全体。 设筑函数h = ，+ 辔，其中 g c ( x ) 。则在实r i e s z 缀间c ( x ) 中，l h i 存在，帮； l h i = s u p f c o s 0 + g s i n o ：0 0 s 2 z ) = = ( ，2 + 9 2 ) f 2 畦c ( x ) 因此c ( x ) + f c ( x ) 是实r i e s z 空间c ( x ) 的复化形式。 下瑟我稍绘邈复r i e s z 窑阉孛绝对篷鹣瞧覆，这些犍艨骞缀多 与实r i e s z 空间中的情况相同，这也说明我们的定义是脊慧义的。 定理3 1 3 【4 6 1 令e + 堪照复的r i e s z 空间，h = f 十姆e + i e ， 则： ( i ) | f 吲h l ，| g | | h l ， h | t s l + l g | ： ( 2 ) l h l = o 肖且仅当h o ： ( 3 ) 对任意复数丑有i 驯* l x l t h j ； ( 4 ) 缝对馕戆“三惫不等式”袋立，帮经豢h ，h 2 e 十迸： l h 。+ ：h ，h l 及l l h , l - l h 。忙限一h ：i 同实r i e s z 空间的情况一样，我们可以定义复r i e s z 空间中的 元繁不交懿概念。 瓒南交通大学碳士研究生掌使论文第1 7 页 定义3 1 。4 1 4 6 r i e s z 空间e + 历中的元囊鱼，h 2 是不交的，如 暴泓 上l 矗2 l ，瑟| 魂 n l 矗2 | = 0 。 定理3 1 5 f 4 6 l ( 1 ) 若h ih 2 在复r i e s z 窑间e + i e 中魑不交的， 则： 限+ 矗：1 2 融一h ：| = | h i i + l h 2 | = | | 焉l - l h ：t | = 离| v 矗：| ( 2 ) 若h = ，+ i g e + i e ，且f ，g e + ，贝4 i h l 2s u p f c o s o + g s i n 0 ：0 9 0 疗) ( 3 ) 若为= f + i g ，h 7 = l i + t g le e + i e ，则矧= t h | ( 4 ) 若h ；= 五+ g ，h ：一五+ g ：，最吲s 蚓，| g 。l - t g ：l ， 则i h l h h ：i a 类 娃于实r i e s z 空间的情况，在复r i e s z 空间中也可以定义序 莲戆号带翡赣念。 定义3 1 6 【4 6 1 一是复r i e s z 空间e + 谢的线性子空间，如果 l h ij 蕉i h l ，h i e + i e ，h a 则h l a ，那么a 被称为e 十i e 的序 理怒。 令复r i e s z 窝间e + 店的序理想彳中所谢的实元素缀成的集合 为“，即a ，； f ：f a n e ) ，则我们有下面关于序理想结构的 刻灏。 定瑾3 1 。7 1 4 6 1 若a 是复r i e s z 空闻e + 滋的序瑾戆，剿a 是e 的膨理想，并且a a ，+ i a ，。反之，若b 熄e 的序理想，则曰+ 培 是嚣十堪的序理想，并且十据) ，= b 定义3 1 8 4 域名是复r i e s z 空惩e + 溅虢净毽怒，魏袋a 戆实 部a 。还是e 中的带，则a 叫做复r i e s z 空间e + i e 的带。 d 是+ 堪的非空子集，口的不交补d “的定义和实空间中的 一榉： d “= 矗e + i e ：上f i ，v f d )