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球面上二次h a m i l t o n 系统的分支及相图 摘要 随着人类认识、改造和利用自然的能力的不断提高，以及实际应用的需 要，人们【1 ) i 临大量非线性问题的处理。h a m i l t o n 系统是非线性科学研究中的一 个重要领域，它的产生与发展具有深刻的实际背景。h a m i l t o n 系统广泛存在于 物理科学、生命科学及工程科学等众多领域，特别足经典力学、天体力学、航 空航天科学以及生物工程的很多模型都以h a m i l t o n 系统的形式出现。经典意 义下的h a m i l t o n 系统都是在偶数维相空间上定义的，其相空间具有很好的辛流 形结构性质，在这种框架下发展的h a m i l t o n 系统理论已成为动力系统理论的重 要组成部分。为了使h a m i l t o n 系统的观点和方法能应用于实际问题研究中广泛 存在的奇数维系统，人们对经典的h a m i l t o n 系统进行了扩展，从而提出了广 义h a m i l t o n 系统的概念。 广义h a m i l t o n 系统作为经典h a m i l t o n 系统的推广，可以作为描述包括奇 数维系统在内的更加广泛的非线性动力学问题的模型，在机械工程，光学， 分子动力学等等中都有很多的应用；其中有很大的一类是具有球面口l 。层结构 的广义h a m i l t o n 系统。在许多实际问题研究的模型中，这种具有球面叶层结构 m , j h a m i l t o n 系统模型，其h a m i l t o n 函数常常以，_ 次函数的形式 苦多。对它的 研究可以归结为研究下面五类h a m i l t o n 函数对应的广义h a m i l t o n 系统： 摘要 2 h ：丢u 2 + a 珏+ c w ， 3 日= 丢u 2 + + c 叫， ( 1 1 ) 4 日= 互1 2 + 兰2 入t ，2 七a + b 口， 5 日= 芝1 珏2 + 互1 a 口2 + a u + b u + c 伽 迄今为止，对前四种情况，栩应的广义h a m i l t o n 系统在球面叶层上的平衡点分 叉及其全局毒h 图已被完全研究清楚但对h a m i l t o n 函数中含四个参数的第五种 情况，其对应的广义h a m i l t o n 系统在球面叶层上的分又及相图还未见到相关研 究 基于上述，本文利用微分方程定性理论与动力系统分叉理论( 特别是 h a m i l t o n 系统相图分析技巧) 研究了第五类h a m i l t o n 函数对应的具有球面叶层 的广义h a m i l t o n 系统，仔细分析了平衡点分又及稳定性性质，获得了完整的全 局相图分类。 关键词：广义日口m i z 幻几系统，球面，相图，分支 一i i b i f u r c a t i o n sa n dp h a s ep o r t r a i t so ft h eq u a d r a t i c h a m i l t o n i a ns y s t e mo ns p h e r e a b s t r a c t w i t ht h ep e r s i s t e n ti m p r o v e m e n to ft h ea b i l i t yo fh u m a nb e i n go ft h er e c o g n i z i n g ，r e c o n s t r u c t i n ga n du t i l i z i n gt h en a t u r e ，a sw e l la st h en e e d so fp r a c t i c a la p p l y , p e o p l e h a v et of a c et od e a lw i t hh u g en o n l i n e a rp r o b l e m s h a m i l t o n i a ns y s t e mi sa ni m p o r - t a n tf i e l do fn o nli n e a rs c i e n c es t u d y , w h o s ec r e a t i o na n dd e v e l o p m e n th a v eap r o f o u n d p r a c t i c a lb a c k g r o u n d a sak i n do f g e n e r a l i z a t i o no f c l a s s i c a lh a m i l t o n i a ns y s t e m ，g e n e r a l i z e dh a m i l t o n s y s t e mc a nb eu s e dt os t u d ym a n yn o n l i n e a rd y n a m i c a lm o d e l sw i t ha n yd i m e n s i o n i n c l u d i n go d dd i m e n s i o n ，w h i c hc o m ef r o md i v e r ss c i e n c ef i e l d s ，s u c ha sm e c h a n i c a l e n g i n e e r i n g ，o p t i c s ，a n dm o l e c u l a rd y n a m i c s ，e ta 1 f r o mt h ee x i s t i n gr e s u l t so f p r a c t i c a lm o d e l s ，w en o t et h a tg e n e r a l i z e dh a m i l t o n s y s t e mw i t hs p h e r ef o l i a t i o ns t r u c t u r ea n dq u a d r a t i ch a m i l t o n i a nf u n c t i o no f t e na p p e a r s a sd y n a m i c a lm o d e l s o fm a n yr e a lp r o b l e m s i th a sb e e us h o w nt h a ts u c hs y s t e m sc a r b er e d u c e dt h ef o l l o w i n gf i v ec 3 s c s 2 日= 互1 u 2 + a 钍+ c 叫， 3 日= 三u 2 + l a y + c 叫， ( 1 1 ) 4 h = 1 2 u 2 + l a y + a “+ b t ， 5 日= 互1 u 2 + 主舻+ a u + b u + 阢 a b s t r a c t p r e v i o u sr e s e a r c h e sh a dd e v o t e dt ot h ef i r s tf o u rc a s e sa n do b t a i n e dt h ec o m p l e t er e - s u i t so nt h ec o r r e s p o n d i n gh a m i l t o n i a ns y s t e m s u pt ot h ep r e s e n t ，h o w e v e r , t oh a m i l t o nf u n c t i o nw i t hf o u r - p a r a m e t e r s ，t h eb i f u r c a t i o np r o p e r t i e sa n dp h a s ep o r t r a i t so ft h e c o r r e s p o n d i n gs y s t e m sa r ey e tt ob es t u d i e d b a s e do nt h ef a c t sm e n t i o n e da b o v e ，b ym a k i n gu s eo ft h eq u a l i t a t i v et h e o r i e so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h eb i f u r c a t i o nt h e o r yo fd y n a m i c ss y s t e m ( e s p e c i a l l yh a m i l t o n i a ns y s t e mp h a s ed i a g r a ma n a l y z et e c h n i q u e ) ，t h i sp a p e rs t u d yt h ef o u r - p a r a m e t e r h a m i l t o n i a ns y s t e m ( t h e 矗r hc a s e ) a n da n a l y z et h eb i f u r c a t i o na n ds t a b i l i t yo f e q u i l i b r i ai nd e t a i l o b t a i nt h ec l a s s i f i c a t i o no fp h a s ep o r t r a i t so ns p h e r e k e yw o r d s ： g e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a ns y s t e m ，s p h e r e ，p h a s ep o r t r a i t ，b i f u r c a t i o n 一一 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他 机构已经发表或撰写过的研究成果。其他例志对本研究的启发和所做的贡献均 已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名： j d l p 膨7 多 学位论文使用授权声明 嗍：彤f 矽， 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影 印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以爿j 不同方 式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后 遵守此协议。 研究生签名西夕殇剥醛轹气 胁砰豆弓 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条 例。我的学位论文中凡引川他人已经发表或末发表的成果、数 据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年 份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文 中末注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：溽殇 一引听 4 5 一、绪论 随着人类认识、改造和利用自然的能力的不断提高，以及实际应用的 需要，人们面临大量非线性问题的处理。h a m i l t o n 系统是非线性科学研 究中的一个重要领域，它的产生与发展具有深刻的实际背景f 4 】【5 】。经典 的h a m i l t o n 系统都是在偶数维相空间上定义的，这种结构虽然具有很好的性 质，已有丰富的研究成果和大量的实际应片j ，但也限制了其应用范围。为 了使h a m i l t o n 系统的观点和方法能应用于实际研究中广泛存在的奇数维系 统( 一个最经典的例子是自由刚体定点转动的e u l e r 方程，其相空间是三维 的，由三个角动量轴构成) ，人们对经典的h a m i l t o n 系统进行了扩展，从而 提出了广义h a m i l t o n 系统的概念【6 】。广义h a m i l t o n 系统是通过广义p o i s s o n 括 号来定义的，而广义p o i s s o n 括号是去掉非退化条件限制的p o i s s o n 括号。因 此，用广义h a m i l t o n 系统可以研究奇数阶的非线性系统。广义h a m i l t o n 系统 的p o i s s o n 流形( 具有广义p o i s s o n 括号结构的流形) 表示法是一种十分方便、有 用的表示法。所以，h a m i l t o n 系统已由经典的( 偶数维) 形式推广为广义形式 ( 任意维) 。 广义h a m i l t o n 系统作为经典h a m i l t o n 系统的推广，可以作为描述包括奇 数维系统在内的更加广泛的非线性动力学问题的模型，在机械工程，光学，分 子动力学等等中都有很多的应用；其中有很大( i 勺一类是具有球面叶层结构的广 义h a m i l t o n 系统f l 】 ( 2 】i s 在许多实际问题研究的模型中，这种具有球面叶层结构 f l , ) h a m i l t o n 系统模型，其h a m i l t o n 函数常常以二次函数的形式居多。1 9 9 5 年 文献【7 】的作者己证明，对它的研究可以归结为研究下面五类h a m i l t o n 函数对 应的广义h a m i l t o n 系统的研究： 2 日= 主u 2 + 4 乱+ c w ， 3 日一互1 让2 + 扣2 + c 叫， ( 1 1 ) 4 日= 互1 ，u 2 + l a v 2 + a u + b u ， 5 日= 三u 2 + 扣2 + a u + b 口+ 一、绪论 迄今为止，对前四种情况，相应的广义h a m i l t o n 系统在球面叶层上的平衡点分 又及其全局相图已被完全研究清楚【8 】，【9 】 1 0 1 但对h a m i l t o n 函数中含四个参数的 第五种情况，正如2 0 0 8 年的文献【3 】指出的，其对应的广义h a m i l t o n 系统在球面 叶层上的分又及相图还未见到相关研究 基于上述，本文利用微分方程定性理论与动力系统分叉理论( 特别是 h a m i l t o n 系统相图分析技巧) 研究了第五类h a m i l t o n , _ 数对应的具有球面叶层 的广义h a m i l t o n 系统，仔细分析了平衡点分叉及稳定性性质，获得了完整的全 局相图分类。 本论文的主要内容及结构如下：第一章为绪论。第一章介绍两个与本文 相关的实际物理模型和分子动力学模型。第三章作为预备知识简要介绍广 义h a m i l t o n 系统的相关定义和基本性质。第四章作为本文的主要内容，详细 研究具有球面叶层结构的一般= 次广义h a m i l t o n 系统的平衡点分叉及相图分 类，具体分为以下几个内容： ( 一) 、具有球面叶层结构的二次h a m i l t o n 系统 ( 二) 、平衡点分又及稳定性分析 其中考虑到分叉方程的复杂性，先对a = 1 进行了讨论，并得出一些比较完 整的结论。紧接着对一般的情况进行讨论，并得出平衡点的个数、对参数的划 分，从而得出分又方程根的个数和参数的关系。 ( 三) 、球面叶层上的全局相图。 最后为第五章：小结。 一2 一 几个实际模型与研究背景 ( 一) 、一类分子动力学模型 a p p y s h c h e v , 1 】和b i z h i l i n s k i 2 在各自文章中都研究了一类非常典型的 分子动力学模型，其中所研究的问题是构成分子的原子间振动及其的旋转问 题，此类分子内原子问的动力学问题可以有如下微分方程来描述： 8 h 纨2 瓦， o h 挑2 一瓦 ( 2 1 ) ( 2 2 ) j ：，筹， ( 2 3 ) 【，j 其中q l ，q a n 一6 = g 是内部坐标，p l ，p a n 一6 = g 是共轭冲量j 是分子固定框 架下的角动量，h ( j , p ，q ) 是h a m i l t o n 函数。为了便于研究这类既有原子自j 振动 又有旋转的分子旋转问题，文中引入有效旋转能的方法。通过这种方法能够使 得构成分子的原子间的相对位簧“固化”，从而得到控制分子旋转的方程： j = ，万o h ， ( 2 4 ) 其中忽= h ( j ) = ( 0 ) + ( 2 ) ( ，) + ( 4 ( j ) + 是只跟固定框架下的角动 量j = ( 五，占，以) 有关的日。竹说z t 帆函数，而分子构型的相关信息已包含 在h a m i l t o n 函数的系数中。在文献【9 】中进一步把此日口m m m 函数化简为： h = h ( j ) = 鼠，= a 七+ b 名+ c z + c 口所嚣蟛刀+ 其中a ，b ，c 是参数，c n 所= c 0 q 所+ 1 所尸+ c 孙7 了4 + 是与角动量的模有 3 二、几个实际模型与研究背景 关的参数，而总角动量是一个运动参数，即幅值是由初值确定的常数： j 2 = 霹+ 露+ 笼= c o n s t ( 2 5 ) 因此根据广义h a m i l t o n 系统的理论易知，此类分子动力学方程( 2 4 ) 是一 个三维广义h a n z i l t o n 系统，可以约化为球面上h a m i l t o n 系统；例如： 对于一个具有不共面4 原子构型的分子模型，若四个原子的质量m i ，i = 1 ，4 满足如下关系： m 12m 2 = m 一6 ， m 3 = m + 6 ( 1 + d ) ， m 4 = m + 6 ( 1 一d ) 文献【9 】导出了如下同时涉及原子不对称和离心偏移效应的日0 7 7 沈2 t d n 函数： ( 2 6 a ) ( 2 6 b ) ( 2 6 c ) i - i 。f i = l + l c o s q 【。：一z ) + 扼彩。如一2 - s i n c e 。：+ 五3 如4 + 互3 j ：4 + ，。2 如- 2 + 互5 j 。2 j ：2 + j - 2 ：j 茁2 一互1 ) ， 其中 3 。= 3 。t3 ，j q = 3 q j , j ；= 3 ：j q = n r c t 帆( 了2 m 瓦e j 2 ) ， 是离心偏移参数。 当离心偏移参数= 0 时，相应的系统足一个球面上的_ 次h a m i l t o n 系统。 ( 二) 、含有单个转子的无外力矩作用陀螺姿态动力学模型 2 0 0 8 午a e l i p e & vl a n c h a r e s 3 研究了一类含有单个转子的无外力矩作用 陀螺姿态动力学问题其中无外力矩作用自由转矩陀螺运动模型是一个三维广 义h a m i l t o n 系统，其相轨线分布在球面n i 层上；其h a m i l t o n 函数如下： 冗= 主( n 。9 ；+ 眈9 。2 + 口。夕；) 一( n t 9 - q - a 2 9 2 ，2 + n s 9 。，3 ) 一4 二、几个实际模型与研究背景 根据经典力学的相关知识可知：这无外力矩作用陀螺，在如下的p o i s s o n 括号定 义如下： 夕1 ；夕2 ) = - 9 s ， 9 2 ；g a = - g l ， g s ；g l = 一9 2 ， 其姿态动力学模型方程可表示为： 卜 、9 22 l l9 3 = a 3 。o 2 a l 。a 3 a 2 a l g ：g s 十a 2 2 仍一口3 ，3 眈， j g i g s + n 3 ，3 9 l a j l g s ， ( 2 7 ) g i 9 2 + a l 1 卯一眈厶9 1 通过研究此系统我们可以容易证明系统的角动量场g 的模是个不变量，即 g l l 2 = 9 ；+ g ；+ 露= c o n s t a n t ； 至此根据广义h a m i l t o n 系统的理论我们可以看到这类有单个转子的无外力矩作 用陀螺模型同样也是一个三维广义h a m i l t o n 系统，并且同样也是球面上二次 的h a m i l t o n 系统。 一5 一 h h 何 仇 啦 卯 三、广义h a m i l t o n 系统的预备知识 ( 一) 、典贝j j h a m i l t o n 方程与p o i s s o n 括号 根据经典力学【9 】 5 】的基本知识，对于几个自由度的保守力学系统，在n 个广 义坐标q l ，口n 和n 个广义共轭动量p l ，构成f i , j 2 n 维相空间r 2 叫a ，若给 定该系统的日o m m d 7 t 函数h ( q ，p ) ，那么系统的运动可通过以下典则日n m 讹觎方 程( c a n o n i c a lh a m i l t o ne q u a t i o n i ： 要：芸，要：一关，t _ 1 2 ，n ( 3 1 ) 一= 一一= 一一z = - z 忆 i ll 出 却i 出弛。 “v “7 ( 口，p ) 也称为典则坐标，如果记z = ( q l ，吼；p l ，) ，则方程还可以改 写为如下形式： 其中，为反对称矩阵： 塞= j v h ( 2 ) j ：i q i 、 o0 ( 3 2 ) 其中j 是单位矩阵，v h 是梯度向量。此外，方程还可以利片j 典则的p 研s s o 扎括 号来表示。 设f ( g ，p ) ，c ( q ，p ) 为相空间r 2 ”上的任意两个连续可微函数，若定义f ( q ，p ) 和 c ( q ，p ) 的p d 话s 帆括号为： ( 3 3 ) 丝饥 f 一阢伪一见 一 g 一仇夙一以f 啦 6鲨弛6 。：i l i 、l ， g 只 三、广义h a m i l t o n 系统的预备知识 $ u h a m i l t o n 典则方程可以改写为： f 囊叫哪， ( 3 4 ) i 警砘 日) ，2 ，礼 v 1 我们不难得出p o i s s o n 括号的五条重要性质： ( i ) 双线形： a f + b g ，k ，= 口【只耳) + b v ，k ) ，其中口，6 为常数； ( i i ) 反对称性： e g = - v ，f ) ： ( i i i ) 求导法则( l e i b n i t z 法则) ： f g ，k ) = f g ，k ) + g f ) ； ( v ) j a c o b i 恒等式 【f ， g ，k ) + g ， k ，f ) + k ，【f g ) ) = o ； ( v ) 非退化性：若名不是f 的临界点，耳o v f ( z ) 0 ，则存在光滑函数g 使 得 f g ) ( z ) 0 ，换言之，若f 使得 e g ) = o 对一切光滑函数g 都成 立，则f 是常数函数。 上述经典的h a m i l t o n 系统都是在偶数维相空间上定义的，这种结构虽然具有很 好的性质，便于对其进行研究，但也限制了其应用范围。为了使h a m i l t o n 系 统的观点和疗法能应片j 于实际研究中广泛存在的奇数维系统( 一个最经典的例 子是自由刚体定点转动的e u l e r 方程，其相空间是三维的，由三个角动量轴构 成) ，人们对经典f f , j h a m i l t o n 系统进行了扩展，去掉p o i s s o n 括号非退化条件 限制，引入了广义h a m i l t o n 系统的定义及其相关理论，它可以用于研究包括 奇数维系统在内的更广泛的非线性模型。为了本文的引用方便下面我们介绍广 义h a m i l t o n 系统的基本概念和相关结果。 一7 一 三、广义h a m i l t o n 系统的预备知识 ( 二) 、广义h a m i l t o n 系统及其相关结果 广义h a m i l t o n 系统【6 】足通过广义p o i s s o n 括号来定义的。而广义p o i s s o n 括 号就是去掉非退化条件限制的p o i s s o n 括号，其精确的定义如下： 定义3 2 1 光滑流形m 上的广义p d 妇s 帆括号是定义在光滑函数空间c 。o ( ) 上 的一个运算 ， ，该运算使每两个只g c ( m ) 确定c ”( m ) 中的第三个函 数eg ，并满足如下四条性质： ( i ) 双线形：_ ( f f + b g ，k ) = o ( f ) + 6 g ，k ) ，其中口，6 为常数； ( i i ) 反对称性：【f ，g ) = - a ，f ) ； ( i i i ) 求导法则( l e i l m i t z ：法则) ： f g ，k t = f _ 【g ，k ) + g f ，k ) ； ( i v ) j a c o b 恒等式 f g ，k ，) + g ， k ，f ) ) + k ， f ，v i i = o ； 具有广义p d t s s 饥括号结构的流形m ，称为p o i s s o n 流形，记为( m 【，) ) 。 在不致于引起混淆的情况下，简记为m 。在此定义中我们发现，这里并没有限 定l ，的维数，且，可以赴任意有限维或者无穷维流形。特别可以是奇数维流形。 此外我们还可以看到广义p o i s s o n , 括号以通常由辛流形结构导出的p o i s s o n 括 号为其特例，凶为只要对广义p o i s s o n 括号增加非退化条件就得到辛流形上 的p o i s s o n 括号。凶此也可以说，辛流形是p o i s s o n 流形的特殊情况。换言之， 若p o i s s o n 流形的广义p o i s s o n 括号是非退化的，这样的p 斫s s 觎流形就是辛流 形。 定义3 2 2 若在流形 j r 的局部坐标x 下，p o i s s o n 括号 ，) 的结构阵矩j ( x ) 是一个m z 阶反对称矩阵，其元素由如( z ) = 耽，巧) 定义，称为结构元素。 一8 一 三、j “义h a m i l t o n 系统的预备知识 是： 根据广义p 扰s s 帆括号的定义，易得矩阵j ( z ) 是结构矩阵的充分与必要条件 i 1 ) 如( z ) = 一乃t ( z ) t2 ，枷z ，掣均掣蝴，掣1 一o 。5 定义3 2 3 设( m ， ，) ) 是一个p 刮s s 流形，在局部坐标x 下，对给定的光 滑函数h ( 日也可以是时间t 的函数) ，其对应的广义h a m i l t o n 系统定义为： 警嘞耻薹蜘，挚小k 一，m 或写为向量形式： 宕= j ( x ) v h ( z ) 其中函数日称为该系统的日口m i 此觎函数。 与经典的h a m i l t o n 系统理论相对应，为了研究广义h a m i l t o n 系统的动力 学性质，首先必须对其相空间一p 扰s s 饥流形的几何结构进行仔细研究。在局 部坐标下，这种几何结构性质与p o i s s o n 括号在局部坐标下的结构矩阵j ( z ) 密 切相关。这个矩阵最重要的不变量就是它的秧，如果秩处处取最大值，这种 情况是大部分h a m i l t o n 力学专著中所涉及的标准情况，即在( 偶数维) 光滑 流形上的辛结构。在一般情况下，j ( x ) 的秩不一定处处取得最大值。此时广 义p o i s s o n 括号的一个重要性质就是存在c a s i m i r 函数。 定义3 2 4 设函数c ( x ) c ( m ) 不恒等于常数，且满足关系式 af ) ( z ) 三 0v f ( x ) c ( m ) 。则函数c 0 ) 称为( 广义) p o i s s o n 括号的一个c a s i m i r i 函 数。一 显然，对于辛流形上的括号不存在c a s i m i r 函数，凶为此时p o i s s o n 括号满足非 退化条件。 命题3 2 1 设西：r 知_ r 是一个多元光滑函数， q ( z ) ) 是p 扰s s 肌流形 的凫个c a s i m i r数，则复合函数圣( 研如) ，瓯( z ) ) 也是c a s 锄衙函数。 9 三、广义h a m i l t o n 系统的预备知识 推论3 2 1 若西是如上定义的多元函数，则函数h c ( m ) 与函数宙= 日+ 垂( q ( z ) ，g ( 。) ) 所确定的m 上的广义h a m i l t o n 向量场完全相同。 利用p o i s s o n 流形m 一般具有c a s i m i r 函数的特性可知，p o i s s o n 流形具有 辛叶层结构。即m 自然地由一些( 可能是不同维数的) 辛子流形所构成，使 得m 上的任何一个( 广义) h a m i l t o n 系统都以这些辛子流形为其不变流形，而 且限制在每个辛叶上的子系统( 也叫约化系统) 都是维数较低的( 通常意义下 的) 偶数维h a m i l t o n 系统。p o i s s o n 流形的这种结构性质可以总结为以下的定 理： 定理3 2 1 设m 是p o i s s o n 流形，则m 上全体h a m i l t o n 向量场组成的向 量场簇日是可积的，即通过每点z m ，都存在日的一个积分子流形，对 每个y n ，满足条件t l = 日i 。，每个这样的积分子流形都是m 的辛子 流形，而且它们确定了 ，的一个辛叶层构造。此外，若f i ：m r 是任 一个h a m i l t o n 函数，并且z ( t ) = e x p ( t 知) x o 是对应于日n u + 时召1 0 ，此时平衡点g = ( 让。，口。，w 。) 为稳定平衡点，并且是个 中心。 ( 2 ) 尖点。 ( 3 ) 个鞍点。 = u + 时召1 = 0 ，此时平衡点g = ( u 。，v 。，w 。) 为稳定平衡点，并且是个 钐+ 时召1 判别在不同参数条件下的平衡点个数和类 型。 当入= l 时，此时关于口的多项式函数变为： f ( v ) = a 2 v 2 0 + b ) 2 + v ：b 2 + ( v 2 一l 2 ) b 2 ( 口+ b ) 2 一1 6 一 四、具