（计算数学专业论文）finite+volume+element++for+the+onedimensional+and+twodimensional+model+of+malariamalaria+mosquito+with+diffusion.pdf

a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed os o m er e s e a r c ho ft h eo n e - d i m e n s i o n a la n dt w o - d i m e n s i o n a lr o s s - m a c d o r a l dm o d e lo fm a l a r i a - m a l a r i am o s q u i t ow i t h d i f f u s i o nw i t ht h ef i n i t ev o l u m ed e m e n tm e t h o d a n dg i v et h ee r r o r e s t i m a t e si nl 2a n dh 1 ，f i n a l l yg i v ean u m e r i c a le x p e r i m e n to ft h i s m o d e l 。r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s r o s s - m a c d o r a l dm o d e l ，f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d ， e r r o re s t i m a t ei nl 2 ，e r r o re s t i m a t ei nh t ，n u m e r i c a le x p e r i m e n t 摘要 本文针对一维和二维的带有迁移的疟疾病与疟蚊数学模型进行分析， 运用有限体积元离散的思想，以l a g r a n g i a n 型二次元函数空间为试探 空间。分段常值函数空间为检验函数空间，对该模型进行离散，误差分析 ，给出了l 2 和日1 估计。最后分别给出一个数值算例，验证了分析的结 果 关键词。r o s s m a c d o r a l d 模型；有限体积元方法；l 2 误差估计； 日1 误差估计；数值试验 学位论文独创性声明 本人郑重声明t 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均巳在论文中作了声明并表示了谢 意 1 一一 作者签名。尬 f 盟 日 期：垫! 盘；r ! 尘 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质 版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进人学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容编人有关数据库进行检索；有权将学位 论文的标题和摘要； 编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 ) 、： 作者签名。3 渔塑璺 日 期；超。叫 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h e 触m a e d o r a l dm a t h e m a t i c sm o d e lo fm a l a t i n - m a l a r i am o s q u i t oj sm a d eu po ft w o p a r t i a ld i f f e r e n e i a le q u n t i o n s ，a n di ti sd e t e r m i n e db yt h ei n i t i a lv a l u e s 【1 1 ： 撕= 伽( 1 一一代霉n ，t j 挑= m i ( 1 一廿) 一舢，霉n ，t j u = v = o ，害，t j 缸和，o ) = t 1 0 ( ，口 ，o ) = 蜘p ) ，零n ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 、7 l ，h nc 舻缸ab o n d e dd o m a i nr u t h 锄o o t hb o u n d a r y , 缸bt h er a t i oo ft h e n l a l a r i ai n f e e t 俄tp e o p l et ot h et o t 8 1a 鲫n t 雷d e n o t 瑚t h er a t j oo ft h e m d a r i am o s q u i t o s t 08 1 1t h em o s q u i t o s ，a1 1 1 u 1 8t h eb i t er a t eo ft h em q l i i t o s ，卢f i g u r e st h em e i d e m e eo f t h e m a l a r i a 船b e i n g b i t lbt h em o s q u i t o ，ps h o w st h em o n 8 l i 锣o ft h em a l 8 r i am o s q u i t 0 8 ， a n d1t l 印r mt h er e c u i 删i o 饱t eo f t h ep a 七i 协w h oa i n l k e db yt h em a l 嘁a n d 口，卢，_ i i ，ya r ea u p o s i t i o 埔t 8 n t 8 ，0 s u ( 习l ，0 删仁) s 1 b u ti n 缸c t t h et w og r o u p sb o t hh a v ed i f f u s i o n , t h i 8p 印口w md i s c u s st h er 佣酗 m a c d 帆l dm o d e lw h i 出m e l u d d i f f t m i o n mi t ： t i i 一缸= 鼬( 1 一u ) 一 。霉n ，t j 他一a v = 伽( 1 一 ) 一删，霉0 ，t j = = 0 ，z 加，t j 0 ，0 ) = t o ( 功，口( ，0 ) = 伽( z ) ，n ( 1 1 5 ) ( 1 a 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) t h ea r t i c l ef 2 】h 鹅o n l ys t u d i e dt h ep r o p e r t yo ft h e8 0 l u t i 咄i t h e n s t 衄ts i t u a t i o n a n d h a s n o n m e r i e a l w o r k ，a c t u a l l y , t h e p r e c i s e s o l u t i o n so f e q u a t i ( 1 1 5 ) - ( 1 1 8 ) w h i c h a e a s i l yt ob e k l 山t e dp l a ya ni m p o n 舶m tr o l ej nt h ef o r e e 幽t p r 嗍t i o na n dc l l r eo f n a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y 2 d i s e a s e s ，t h e r e f o r e ，t h i sp a p e ru s e st h et e c h n o l o g yo ff i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o dt og i v e a na n a l y s i so ft h i sm o d e l f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d 3 - 4 w h i c hc a nb et e r m e da 8t h eg e n e r a l i z e dd i f i e r e n c e m e t h o d i sv i e w e da 8an o q a p p r o a c ho fn u m e r i c a ld i s c z e t i z a t i o nf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h j 8m e t h o dc o e f l e 8o u to fc o n v e r s a t i o nl a wo fi n t e g r a lo ft h ep a r t i a le q u a t i o n s b yc h o o s i n gt h et r i a lf u n c t i o ns p a c e s8 8l i n e a rf i n i t ee l e m e n ts p a c e st oe n d u c et h ec o m o p u t a t i o n a ls c h e m e s 【5 8 】s i n c ei t sc o n s t r u c t i o ni ss i m i l a rt o8 0 m ef l n i t ed i f f e r e n c em e t h o d a n dt h e i rc o n v e r g e n c ec a nb ea n a l y z e di nt h ef r a m e w o r ko ff i n i t ee l e m e r i tm e t h o d ，f i n i t e v o l u m ee l e m e n tm e t h o de n j o y sn o to n l yt h es i m p l i c i t yo fd i f f e r e n c em e t h o db u ta l s ot h e a c c u r a c yo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d m e a n w h i l e ，f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o dm a i n t a i n s t h em a g sc o n s e r v a t i o nl a w ，c o n s e q u e n t l yi th a sb e e nw i d e l yu s e di nm a n yp r a c t i c a lc o m o p u t a t i o n sa n de x t e n s i v e l ys t u d i e di nt h e o r y , s u c h 嬲t h ea p p l i c a t i o ni nc o m p u t a t i o n a l f l u i dd y n a m i c s 【9 1 f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o di sr e g a r d e d t h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c e m e t h o dw h i c hi sp r o p o s e db yp r o f e s s o rr o n g h u au i o - 1 4 ，n a m e l y , c h o o s i n gt h et r i a la n d t e s tf u n c t i o ns p a c e sa sl i n e a ro rd o u b l el i n e a rf i n i t ee l e m e n ta n dt h ep i e e e w i a sc o n s t a n t f u n t i o ns p a c e sr e s p e c t i v e l y c o m p a r e dt of i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h et r i a lf u n c t i o ns p a c e s o fg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o da r en o tc h a n g e d b u tr st e s tf u n c t i o ns p a c e sa 坤, ：h o s e d 舾p i e e e w i s ec o n s t a n tf u n t i o ns p a c e s b yw h i c hw ec o u l dr e d u c et h ec o m p u t i n gw o r ke f f e c - t i v e l y , a n dm a i n t a i nt h ep r e c i s i o na tt h e8 锄et i m e t h e r ea r em a n yr e s u l t sa b o u tf i n i t e v o l u m ee l e m e n tm e t h o df o re l l i p t i cp r o b l e m sa n dp a r a b o l i cp r o b l e m s 1 5 - 1 7 c h a p t e r2 f i n i t e 场l u m ee l e m e n tm e t h o d f o rt h e0 n e d i m e n s i o n a lm o d e lo f m a l a r i a - m a l a r i am o s q u i t ow i t h d i 肌s i o n 2 1i n t r o d u c t i o n t h e p u r p o s e o f t h i s 曲a p t a r i s t o s t u d y t h e o n e - d i m e m i o n a l m o d e l f r o m t h e v i e w o f b i o l o g y a n dm a t h e m a t i c s a n dg i v et h ee r r o re s t i m a t e si nl 2a n dh 1a tt h eb a s eo ft h eq u a d r a t i c e l e m e n ts p a c eo fl a g r a n g i a nt y p e t h en u m e i c a ls o l u t i o nw h i c hi sg i v e ni nt h ee n dh a s p r o v e dt h a tt h es h e m e su s e di nt h i sp a p e ri se f f e c t i v ea n df e a s i b l e 撇c h a p t e r i sa r r a n g e d 船f o l l o w s ：s e c t i o n2 d os o m ep r e p a r a t i o n ；t h ee r r o re s t i m a t e si n 工2a n dh 1a r eg i v e ni n s e c t i o n3a n d4r e s p e c t i v e l y ；s e c t i o n5 an u m e i c a le x p e r i m e n tj 8g i v e r 2 2s o m ep r e p a r a t i o n f i r s t l y , w eh a v et oi n d u c ts o m es y m b o l s ：l | i i oa n d | 1 l8 t h ei l o r m $ o fs p a c el 2 ( n ) a n dh 1 ( n ) r e s p e c t i v e l y i nt h i sa r t i c l ew e j u s t c o n s i d e 室t h ec a s eo f n = k ，6 】，a n ds u p p o s e t h a tt h ea c c u r a t es o l u t i o n so fe q u a t i o n s ( 1 1 5 ) 一( 1 1 8 ) ua n dt ，s a t i s f y ： 8 0 ，。t 1 3n h 3 巩l 2 ( h 3 ) ，8 he 妒( p ) w h e r eb = “ t h e nd i s c r e t i z et h et i m ei n t e r v a l 【0 明w i t hn o d e s 3 0 = t o t l - - t n = t a n dt h et i m es t e pi sa t d i s c r e t i z et h ei n t e r v a l 【n ，6 】i n t oag r i d w i t hn o d e s 口= 2 1 。 一1 吩一 x n = b ， d e n o t et h el e n g t ho ft h ee l e m e n tlb y 乜2 一她一1 ，a n dw r i t eh = m “垃w e 8 b s u l n et h a tt h e # r ds a t i s f i e st h eq u a s i - u n i f o r mc o n d i t i o nh i p h ( i = 1 ，2 ，n ) f o r s o m ep o s i t i v ec o n s t a n tp t h et r a i lf u n c t i o ns p a c em hi st a k e na st h eq u a d r a t i ce l e m e n t s p a c eo fl a g r a n g i t y p ew i t hr e s p e c tt ot h w h e r e a f t e rw ep l a c ead u a l 酬w i t hl l o t e 8 口= 如 z 岔 一i 一 = 6 w h e r e z t 一 = 粕一 k 佧= 1 , 3 ，n = 1 , 2 ，川t h e t e s t f u n c t i o n s p a c e n h c o r r e s p o n d i n g t o 冗i 8t a k e na st h ep i e c e w i s ec o n s t a n tf u n c t i o ns p a c e d e f i n et w oi n t e r p o l a t i o np r o j e c t o r s i i a ：日1 ( n ) - + m h ； n ：慨- 够n ：蛳2 暑嘶奶( 。) + j e = l 吩一奶一( 。) j 一 w h e r e 吩2 蛳( 叼) ，咖，吩一8 t h e b a s e so fa j ir e s p e c t i v e l y , d e f i n eo ，f o l l o w s n ( “，”) = 【( 吩一 ) 一以( 吩+ ) 】吩+ 【嵋( 勺一i ) 一u h ( x j 一 ) 】吩一 ( 2 2 1 ) ，爿jj = f o rt m h ，d e f i n et h ed i s c r e t en 锄： i 嘶| 1 j i = j 壹= l 丢i f ( 吩一一吩一) 2 + ( 吩一一 ) 2 】 i 嘶i o = ( 碍一l + t 盘l + 碍) ) 5 j = ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) l e m m a2 2 1v t i e 靠，t h e r ee 痈s t sp o s i t i v ec o n s t a n t sc la n dc 2i n d e p e n d e n to 屯s u c h 饥耐 c l i l i t h i i o - 1 i i i o c 2 l i 缸 i i o h c l l t l l ， s i t i i l sc 2 i t 帆l l j i ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) c h a p t e r2 5 l e m m a2 2 2t h e r ee x z t s 口p o s i t i v ec o n s t a n t 口s u c ht h a t t a ( u h ，靠乜 ) 口iu hi i ，v u h e m h f o rt h ep r o o fo f t h ea b o v et w ol e m m a s ，w ec a l lr e f e rt oi a s ，【1 9 】 ( 2 2 6 ) l e m m a2 2 3s u p p o s et h a t 川- h i l l o 一( 蛳，n i 蛳) ，t h e nw i t h i nm h ，t h en o f l n $ i i i 川。 妇e q u i v a l e n tt o 1 1 0 ，n a m e l y , t h e r ee x i s t p o s i t i v ec o n s t a n t s 。l ，o ji n d e p e n d e n td ，m hs u c h 曲面 c l0u h ie 0 l l iu h i h 0 比0u h i i o( 2 2 7 ) a n dt h i sp r o o fc a l lb ef o u n di n 2 0 1 2 3e r r o re s t i m a t eo f l 2 t h ep r o b l e mo fe q u a t i o n s ( 1 1 5 ) 一( 1 1 8 ) i st of i n d 缸，v h 1 c a ) s u c ht h a tf o rt ，： ( t t ，仰) + 口( ，埘) = ( i s c a 一札) 一 川，咖j v i ( 饥，伽) + n 0 ，切) = ( a m ( 1 一 ) 一，州，切) ，v t p j v k ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) t h ed i s c r e t es c h e m e so f ( 2 3 1 ) a n d ( 2 3 2 ) a l et of i n d 扩蚪1 m h ，y 什+ 1 m hs u c h t h a t ： ( u n 矿+ l _ u n ，啕+ 。( 扩1 ，蛳) = 缈n ( 1 一扩) 一7 矿。蛳) ， c 2 3 3 ) ，t 砂口( y 计1 ，) = 扣扩( 1 一俨) 一p 扩，蛳) ( 2 3 4 n o t et h a t 【，o = i i h u o y 0 ；i i h v 0 p = 俨一i i h u n ，町n = u n i i h u n ，俨= p i i h v n ，矿= t j ，l i i h v n f r o mt h ei n t e r p o l a t et h e o r y , w ek n o wt h a t 8 口i i o + 7 i i x m h 3 i u l 3 8p i i o + j l i ip0 l m h 3 l 口1 3 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) f r o mt h ef i n i t ee l e m e n t st h e o r yo fe l l i p t i ce q u a t i o nw ea l s oc a ng e tt h a tf o ro2 叼，p i i 。m h j( 2 3 7 ) n a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i w 6 i nt e r m so f ( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) a n d ( 2 , 3 4 ) w ec a r tg e tt h ee r r o re q u a t i o n s f o l l o w s ( - p - + 五1 7 - - ，蛳) + n ( ， ) = ( 葛一与川+ - 川+ 口( 矿- i - 1 , w h ) + ( p 矿( 1 一扩) 一7 扩一口俨+ 1 ( 1 一t 1 ) + 7 矿+ 1 ，) ，w h ( 2 3 8 ) ( 笃筹川+ n ( 川 = ( 1 f + l - - 广p n 一丝a ! t + 矿- ，蛳川矿1 ，t o h ) + ( 口扩( 1 一妒) 一p 妒n t 一1 ( 1 一矿+ 1 ) + p 1 ，嘶) ，u j h ( 2 3 9 ) i ne q ( 2 3 8 ) ，l e t 蛳= ；f 1 ，t h e g h t - h a n dt e r m sa 弛f l ，尼，f si nt u r n ，a n dm a k e e s t i m a t er e s p e c t i v e l ya sf o l l o w s ： ( 芸芋，：p 冲1 ) = 击【妒“，巩r 件1 ) 一，n ：p 件1 ) 】 2 击【i 件1 i i l 3 一；( 1 1 1 p 1 1 1 0 2 - i - i i i e 叶1 i i l 0 2 ) l = 忐( 1 i i 计1 i i l 3 一川p i l l a ) t h e n , f r o ml e m m a2 2 3wc a r lg e tt h a t ( 与，z z ) 盖( i | t 3 一i i - , t i ii i pi f o b ( 譬，z 1 ) 函( o 13 一p 口( p + 1 ，i i ；p + 1 ) 2m np + 1h lf l h ( 笙去一竺去+ “r - ，现p + 1 ) i = i ( 瓦1 上f t + z 啦出+ 去c “o _ k ) 蛳比璐p + 1 ) l 肘壶f ”仇+ ( f t 1 i f “。 se o f ，l + 1 惦+ 尬( 击 6 i i 铆嵫，t n 。) + t 地嵫h + i 舻) ) o ( 矿，w h ) 秀f ( 喾b - ( 喾划吩+ 主i ( 喾b r ( 喾w 一 = 宝【( 垒簪b 一 ( 吩一i 一哟一- ) + ( 2 簪) ，- ( 嘶一- 一一 ) 】 ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) c h a p t e r2 7 国( 警l 扩+ 【( 掣k 扩) i 3 量= 1 【( 一) 2 + ( 一) 2 】弘 w 黑l ( 吩一 一q 1 ) 2 + ( 嘶- l 一吩一；) 2 】 5 矗i 姚m 店。蛳 ( 喾b 一 确( y 2 - 。l 拳1 2 如) l ( 掣) j 一 ；( f g _ ，f 器1 2 如) s o io ( ”时1 ，w h ) i m h 2 i i w h i h t h e r e f o r ew ec a ng e tt h a t i 尼l = l 口( 矿汁1 ，取p + 1 ) i m 胪i ln ；p + 1h l sm , h s + ei l p h1 1 i ( 2 3 1 3 ) i nt h ef o l l o w i n gf u r t h e ra n a l y s i s 。w en e e d8i n d u c t i o nh y p o t h e s i sa 8f o l l o w s ： h 铲0 2 5 ，付= 0 ，1 ，一1 ，( 2 3 1 4 ) w h e r es = 矾v 。矗= 札仉矿i sap o s i t i v ec o n s t a n tr e l a t e dt o 矗 i 毋i = i ( 口呵，“( 1 一，n ) 一，y 【，“一p t ，件1 ( 1 一t ，+ 1 ) + 1 1 1 ，：p + 1 ) l = f 够( 1 一“时1 ) ( y ”一l r i d 1 ) 一( 卢俨一，y ) ( 沪一t t n + 1 ) ，i 醢f 冲1 ) i ：i ( 1 一俨+ 1 ) ( 俨一矿一广1 仇d t ) 一够俨一们( p 一矿一f k ”t t d t ) ，：1 ) i j k，k s 舰( 8 p0 3 + n 俨0 3 + ，一+ t ) + e0 专件10 3 ( 2 3 1 5 ) f r o m ( 2 3 1 0 ) t o ( 2 ，3 1 5 ) 。s u p p o s et h a tei ss m a l le n o u g h ，m u l t i p l y2 a t i nb o t hs i d e s o ft h ee q u a t i o na n dn l a k e8 1 1 1 nf r o m0t o 一1 t h u s ： 一l一l i i 惦+ a t i 1i i ；s 肘+ ( t ) 2 + a t ( 懈i | 3 + 00 - i | 3 ) 】 ( 2 3 1 6 ) n - - - - - - - - - - - - - - - - - - = 0n - - - 0 s i m i l a r l y , f o re q u a t i o n ( 2 3 9 ) w ea l s oh a v et h es a l n ee s t i m a t e 柚f o l l o w s ： 一l一l i 屠+ a t 0 - + 1 i l l m h 4 + ( t ) 2 + a t ( 0 p i 曙+ 0 铲1 1 0 2 ) l ( 2 3 1 7 ) n = 0n = 0 p l u s ( 2 3 1 6 ) a n d ( 2 3 1 7 ) ，t o g e t h e xw i t hl e m m ag r o n w a u ，w eh a v e ： r l 8 i 曙+ 00 j r 胳+ t ( 0 f 件1 幅+ 9 口竹1 咛) s f ( ，i i + ( a 0 2 ) ( 2 3 1 8 ) ，1 “8 u y ，啪h 砒t 0 v a n d a t et h ei n d u c t i o nh y p o t h e s i s ：l e tr 1 ，a t ：。( ；) ，w h e n n = u w e l l & v e i i u o j i 1 1u oj j + 0 珊j j s t + m h 2 一s2 “ ，h ? 阳鼍2 3 l 如t 钆u6 e 池s o t u t i o n s t op r o b l e mp _ 印口_ 矽，n ，妒( 1s n s ) k 慨：? 紫哪怕p r o b l e mf 2 3 s ) a n d ，4 ) ，i l a a r t i t i o np a r a m e t e r s8 越确r 芝1 a t2 “ i ) ，a n o rs u 历c i e n t l ys m a l la ta n d t h e ，d f l d t f ，j 的e r ，口r 朗蹦m o t ei d 池 。 i i 一峨( 胪 + i v j r 一口i i 备( 胪) + a t ( o ( 泸一u n ) j 曙+ ( 矿一矿) ) sm ( h 4 + ( a t ) 2 ) ( 2 3 1 9 ) 2 4e r r o re s t i m a t eo fh 1 s i m i l a rt ol 2 ，t h ee r r o re q u a t i o n so f 日1a 托船f o l l 甜1 一印 ( l 五产，) + 口g 1 ，) = ( 笃u n + 矿x _ u n + 州+ 。俨iw h ) + ( p 伊( 1 一扩) 一彬“一廓6 + 1 ( 1 一蚪1 ) + 计1 ，w h ) ，蛳帆( 2 4 1 ) ( 笃m 州俨+ i i t h ) = ( p n + 1 l 广- - 一v n 4 l - 1 广_ v n + t 矿1 ，t “) + 口俨i t i j h ) + ( a u n ( 1 一y ) 一p 妒一口t ，件1 ( 1 一t ，叶1 ) b 2 , t i n + l , t ) ，埘 r ( 2 4 2 ) t h j st i m e ，w el e t = 蟹芸竖，w e 呲g e tt h e 鳓re b t o f t h e 胁h a n d ( 戋芋，牮) = | f 甓昭( 2 4 3 ) 口扩1 ，婴芸竖) m i l l p + 1 | l ：扣p 十一1 1 2 + i i 刚 ) 】 = 壶a t ( 1 1 c + 1o ! 一j j p ) ( 2 4 4 ) 蕊川 荒一 c h a p t e r2 9 t h er i g h t ，h a n dt e r m so f ( 2 4 1 ) a r eg 1 ，g 2 ，岛i nt u r n ，a n dw ed oe s t i m a t er e s p e c t i v e l y a sf o l l o w s ： g 。i 尬( 击o 铆l i 勃 + 。舻) + 钏锄1 1 2 。厶+ ，p ) ) + 刨竺! ；i 培( 2 4 5 ) g 2 i m 胪o 去芋骶s m 圳笋帖删+ c | i 甓笋幅( 2 舢) ia si _ m , ( i ipi 1 0 2 + i io ni 1 0 2 + j + 力+ f4 p + 五1f - - 一0 3 ( z 4 n f r o m ( 2 4 3 ) t 0 ( 2 4 7 ) ，s u p p o s et h a te 缸s m a l le n o u g h ，m u l t i p l y2 a ti nb o t hs i d e so f t h ee q u a t i o na n dm a k e u r nf r o m0t on 一1 ，t h u s ： n-1寻+1。nii i i + a ti ii l l 寻 n - - o 一l m 【炉+ ( t ) 2 + t ( 8 p i l 3 + i f0 n 3 ) j ( 2 4 8 ) s i m i l a r l y , f o re q u a t i o n ( 2 3 9 ) w ea l s oh a v et h es a m ee s t i m a t ea sf o l l o w s ： 咛+ t 纠- 11 0 2 + 1 - 广0 n 2 s 删+ ( n t 塾洲l 俨1 1 2 0 ) ( 2 4 9 ) a d d ( 2 4 8 ) t o ( 2 4 9 ) ，t o g e t h e rw i t hl e m m ag m n w a l l , mh a v e ： + 8 口1j 1 3 ) sm ( h s + ( a t ) 2 )( 2 4 1 0 ) t h e o r e m2 4 1 l e t u ，b et h es o l u t i o n st op r o b l e mp j 印p j 砂，u ”，i m ( 1s ns n ) b et l i es o l u t i o n st op r o b l e m 2 3 s ) a n d ( 2 3 毒) t | p a r t i t i o np a m m e t e r as a t i s f yt 1 。 a t = o ) ，纳m 加。明洒m 咖8 m a l la ta n dh , t h e ，o j 鼬叼e y y o re s t i m a t eh o l d s i i 矿一t 0 孙( j | r ) + l i y 一t ，i i 孙( 日- ，+ a t ( j jd t ( 扩一矿) 1 1 2 + i id t ( v “一矿) 1 1 2 ) n - - - o m ( h 2 + ( a t ) 2 ) ( 2 4 1 1 ) 2 0 + p m 脚 厶 + 2 1 口 + 2 1 亭 n a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y 2 5n u m e r i c a le x p e r i m e n t l e t su s et h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o dt oa p p r o x i m a t et h ef o l l o w i n gn o n l i n e a re q u a - t i o n s ： t t 一缸= 互1 口( 1 一) 一；u , ze ( o ，孙) ( o ，l 】 ( 2 5 1 ) 钝一 = 虿1 t ( 1 一 ) 一i 1 口，岔( 0 ，2 ) ( 0 ，1 j ( 2 5 2 ) s u b t r a c t ( 2 5 1 ) t o ( 2 5 2 ) ，t h u s m 一 ) 一( t 一 ) = 一i ( t 一口) ，( o ，2 7 r ) ( o ，i i s e tu o v = w ，t h e nw eh a v e t 巩一a w = 一i ”，$ ( 0 ，2 霄) ( o ，1 l t o ，0 ) = s i n 去霉，喾( 0 ，2 1 r ) ( o ，l 】 t h et r u es o l u t i o ni s 硼= e - t s i n x ，t a k et h es t e pl e n g t hhz 警a n dt2 鬲1 t h e n s e tn = 2 0 ，t n = 4 ，t h ef i g u r e 寥li sa b o u tt h ec u 嗍o ft h et r u ea n da p p r o x i m a t es o l u t e ， w h e 目r et h er e a ll i n e 臼d e n o t e st h ec u r v eo ft r u es o l u t e ，t h ed a s h e dqd e n o t e st h ec u r v e o fa p p r o p r i a t es o l u t e f i g u r 啦i st h ec u mo fe r r o rb e t w e e nt h et r u ea n da p p r o p r i a t e s o l u t e 。 f i g u r e2 ht h ec i l r v o ft h et r u ea n da p p r c 口d l n a t es o l u t e c h a p t e r2 1 1 f i g u r e2 2 ：t h ec _ d r v eo fe t r o rb e t w e e nt h et r u ea n da p p r o x i m a t es o l u t e c h a p t e r3 f i n i t e 场l u m ee l e m e n tm e t h o d m a l a r i a - m a l a r i am o s q u i t ow i t h d i f r u s i o n 3 1i n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e r ，t h et w o - d i m e n s i o n a lm o d e li sd i s c r e t i z o db yq u a d r a t i cf i n i t ev o l u m ee l e m - n e tm e t h o di ns p a c