（基础数学专业论文）积空间中的子流形.pdf

j j i i i i l i i jiiii l l l l j ii ijjl i j iji j l l1 1 0 y 17 5 3 2 9 3 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 研究生签名：响i 啕贯日期：沙1 o 1 一砂 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理。 研究生签名：1 蚓 导师繇西母咻趔上驾 摘要 本文的主要目的是研究，m 2 ( c ) r 中的s i m o n 型方程和m n p 中极小图的一 个体积估计 m d r c i ob a t i s t a 结合常平均曲率曲面2 叩m 2 ( c ) r 中的一对特殊算子 做出了在m 2 ( c ) r 中的s i m o n 型方程我们将这个结果推广到f m 2 ( c ) r 中，其中 m 2 ( 一1 ) = h 2 ，m 2 ( 1 ) = s e ，那么我们可获得s i m o n 型方程本文在文章后面部分估计了 在m n r m 中支撑面积有界的极小图在测地球内的体积用类似【1 4 】中的方法来估计 m n r m 中测地球内支持面积有界的极小图的体积 关键词：s i m o n 方程；常平均曲率；等距浸入；面积有界映射；截断函数；极小图 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s s es i m o n s t y p ee q u a t i o ni nf m 2 ( c ) ra n de s t i m a t e st h e v o l u m eo fm i n i m a lg r a p h si nm n r m m d r c i ob a t i s t ah a ss t u d i e dt h es i m o n s t y p ee q u a t i o n w h i c hi 8s a t i s t i e db yap a i ro fs p e c i a lo p e r a t o r sa s s o i c a t e dt ot h ei m m e r s i o ne 2 和m 2c ) r w i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u a r e w ew i l lg e n e r a l i z et h e s e r e s u l t st oi m 2 ( c ) r ，w h e r em 2 ( 一1 ) 2 h 2 ，m 2 ( 1 ) = s 2 ，t h e nw eo b t a i nt h es i m o n s t y p ee q u a t i o nt h r o u g h c a l c u l a t i o n f i n a l l v w ew i l le s t i m a t e st h ev o l u m eo fa r e a - b o u n d e dm i n i m a lg r a p h s i nm 住r mu s i n g t h em e t h o do f 1 4 k e y - w o r d s ：s i m o n s t y p ee q u a t i o n ；c o n s t a n tm e a nc u r v a t u a r e ；i s o m e t r i ci m m e r s i o n ；a r e a - b o u n d e dm a p ；c u t o f ff u n c t i o n ；m i n i m a lg r a p h 3 面 寺 五 v d a i m 2 ( c ) xr r ( x ) = d i s t m ( x ，p ) q ( 冗) a ( s ，r ) o n ( r ) c ( r ) 记号 黎曼流形 砑上的l e v i c i v i t a 联络 面上的曲率张量 上的l e v i c i v i t a 联络 上的法联络 的形状算子 截面曲率为c 的w a r p e d 积空间 m n 中从z 到p 点的内蕴距离 z f l ；r ( x ) 埘 z 1 2 ；s r ( x ) 埘 a ( n ) 的边界 g f qb n + m ( r ) 目录 第一章引言 第二章f m 2 ( c ) xr 中的s i o m o n 型方程 第三章面积有界映射 参考文献 附录一致谢 5 1 5 6 0 2 1 2 2 第一章引言 1 1 ，m 2 ( c ) r 中的s i o m o n 型方程及主要结论 本文的主要目的是研究i m 2 ( c ) r 中的子流形 1 9 9 4 年h a l e n c a r 和m d oc a r m o 把无迹的第二基本型= a 一日j 应用到一个浸入 超曲面m n 卟铲+ 1 中( 见 1 ) m d r c i ob a t i s t a 在 3 】研究了s 2 r 和2 r 中的s i m o n s 型方程m o n t i e l 在 1 6 】中开始讨论w a r p e d 积空间中的几何问题，给出了m o n t i e l 第一 结果和第二结果 2 0 0 7 年l u i s j a l i a s 和m a r c o sd a j c z e r 在 2 】2 中研究一类w a r p e d 积空间形式f m n r 中的常平均曲率超曲面，当超曲面是紧致的时侯，浸入2 和，m 2 ( c ) r 必然是一片平凡 的全脐叶亡r hm n 0 ) f e r n a n d od o b a r r o b i i l e n t o n a l 在 9 】中计算了共形的w a r p e d 积 空间中的曲率，早在2 0 0 5 年他们就计算出了多积的w a r p e d 积空间中的曲率( 见【1 0 】) ，非 常著名的两个引理( 见引理2 1 和引理2 2 ) 1 8 】很清楚的给出了m 上的切向量场及酞方向 上的切向量在外围流形上的联络，以及计算出了，m 2 ( c ) r 中的曲率张量r ，b y c h e n 和 s w w e i 在此基础上得到了许多关于i m 2 ( c ) r 中的一般流形的基本结果( 见 6 】) ，f r a n k i d i l l e n ，m a r i a ni o a nm u n t e a n u ，j o e r iv a nd e rv e k e n 和l u cv r a n c k e n 在研究r ；r ( 1 3 i ) 常 角度曲面时也用到这两个重要的结果受到文献【3 的启发，在本文中，我们将这两个结 果运用到f m 2c ) r 时，也可以得到相应的s i m o n 方程 f r a n k id i l l e n 等人在 1 3 1 2 1 1 】中分别给出了不同积空间中的g a u s s 方程和c o d a z z i 方程，运用引理2 1 和引理2 2 就可以得到i m 2 ( c ) r 中的g a u s s 方程，这个结果我们最 早在【2 】2 中见到；逵垂遁维鸯善商壅莛盛 定理2 2 对任意的x ，fz t e ，有 r ( x ，y ) z = 9 ( a r z ) a x 一9 ( a x ，z ) a y + 生乒 9 ( z ，y ) x 一9 ( x ，z ) y + 夕僻，妄) 9 ( z ，- ) y 一9 妄) 9 ( 互妄) x + 9 ( 五z ) 9 妄) 岳一夕( z ，y ) 9 ( x ，甍) 爰】+ 等b ( x ，z ) 9 ( 瓦0 ) 瓦0 9 ( z ，】，) 9 ( 五裘) 岳+ 9 僻，妄) 夕( 互爰) y 一夕妄) 9 ( 互岳) 别 1 2东南大学硕士学位论文 第一章引言 待别地当c = 0 ，届 jm ( c ) = r 盯 = 一i a l 2 + 二争( 4 c o s 2 口一s i n 2 秒) 一f ， ( 4 s i n 2 0 - - 1 - c o s 2 口) + 了a l 日s i n 2 口 + 等日c 幽 一2 f r 2 日 s ；n 2 p + 2 f r 2 日 一了2 日 一2 f r h c o s 2o + 2 日 当c = 0 j = e 。时 = 一i a i 。 - 2 + 2 h + 2 h 定理2 5 设2q - * lm 2 ( c ) r 是具有常平均曲率h 的浸入曲面，为迹为0 的第 二基本形式，则有： 吉l12=iv12一i咖14+【2日2+三；(4cos2口一sinl r 2 2 口) ， 一知洫2 0 - 1 - c o s 2 0 川1 2 + 2 ( 等一和日 0 y ( g ( r ) ) 史学y ( q ( r ，( 1 + 回r ) ) + y ( q ( r ) ) 特别地y ( g ( r ) ) ( n ( 1 + c ) 一1 示+ 1 ) 舻 第二章y m 2 ( c ) r 中的s i o m o n 型方程 设面是一个黎曼流形，亏为其l e v i c i v i t a 联络记t 面为面上的切丛和r ( e ) 为 向量丛e 的光滑截面面上的曲率张量五为 r ( x ，y ) z = v x v y z v v v x z v x y zx ，z f ( t m ) 如果具有常截面盐率c ，则五可以表示为 k ( x ，v ) z = c ( x 一 y ) 设。：叩面是一个浸入，g 是由歹诱导的上的度量当不会导致混淆时我们省去。 不写设n 为上的单位法向量场，a 为形状算子g a u s s 和w e i n g a r t e n 公式分别为 4 】 1 4 】： 影x y = v x y + h ( x ，】，) 亏x n = 一a x + d x n v 和d 分别为上的l e v i - c i v i t a 联络和法联络，我们有歹( ( x ，】厂) ，n ) = g ( x ，a y ) 爱可分解为 瓦0 = t + e o s o n 其中0 【o ，丌) 是爱和法向n 的夹角，t 是叠在的切平面中的投影，我们由c o s 0 = 歹( 岳，) 且n 是单位的，知i t i = s i n 0 设b 和f 是两个分别赋予黎曼度量g b 和g f 的黎曼流形，设，是b 上的一个光滑 正函数，记b f 为积流形bx ff = ( b f , g b + f 2 9 f ) 就是一个w a r p e d 积流形 设，：j r 一酞是一个开区间i 上的一个正函数，考虑w a r p e d 积j ，m 2 下面是两个非常著名的引理( 见引理2 1 和引理2 2 ) 1 8 】 引理2 1 设x ，y ( m ) ，则： ( 1 1 ) v 岳爰2 o ； ( 1 2 ) v _ d a 。x = 民爱= 孚x ； ( 1 3 ) = - y ( x ，y ) 孚； ( 1 4 ) v x y 是v f r 在面中的一个提升 引理2 2 设x ，z c ( m ) ，则： ( 2 1 ) 五( 爱，x ) 番= t x ； 5 6 东南大学硕士学位论文 ( z 2 ) k ( x ，番) y = 歹( x ，y ) 了i f 蕊0 ， ( 2 3 ) 五僻，y ，蕊o = o ； ( 2 4 ) 蠢( x ，y ) z = d - v z ) x - y ( x ，z ) y 】 设2o om 3 是一个浸入曲面可记为m 3 上的l e v i - c i v i t a 联络，设 e 1 ，e 2 ，是p 2 处的一个测地坐标架，妒是2 上的一个张量，则有： 如果z ，y ，z 昂，我们定义： v 2 妒) = 銎1 ( v 。；v q ) ) 妒 忍，y z = r ( x ，y ) z ( p ) = ( v x v y z v y v x z v 【x ，y 】z ) ) 对于任何局部向量场都可以延伸到给定的向量场z ，y 一 第二基本形式和w e i n g a r t e n 算子分别定义为q ( x ，y ) = ( 可k y ) 上，a v = 一( 瓦) t ，我 们运用w e i n g a r t e n 算子来定义算子 2 = ( 一 一 i - - 1 + 一2 ) ( 2 0 1 ) 2 = + 卜 i = 1 其中 e 1 ，e 2 ) 为耳的一组正交基 有了上述定义我们有下面的一个结论 4 ： 定理2 1 设2 叩m 3 是具有常平均曲率日的浸入曲面对任何x ，y 耳我们有 = 一i a l 2 + + + 2 日 + 2 日 。( 2 0 2 ) 回顾m 2 ( c ) r 中关于2 的g a u s s 方程为： r ( ex ) z = a y 一 a x + c ( y 一 x 一 t 一 y + t + x ) 这里的x ，kz 耳，n 是2 上任一法向量场，t 是平行场爱的切分向 下面计算f m 2 ( c ) xr 中关于2 的g a u s s 方程 r ( x ) z = a y - a x + r ( x ) z 第二章f m 2 ( c ) r 中的墅竺竺型查堡 设x = x m + 爰，y = 场+ 番，z = 细+ 叠结合引理2 2 得： 7 k ( g , x ) z ：r ( x m + 五争岳，+ 0z u + 互争袅) = x m ， + - - x m ， o q i z m + k ( i m r ( x my m ) z mr ( x m t g - 瓦) z u ( x m ，y m ) = ， + ， + ，y m ) 蕊0 + k ( x u ， 兰) 瓦0 + 五( 瓦0 ，) 细+ 五( 妄，) 瓦0 + 五( 晏， 妄) 细蝴 x ，争妄“争甍) 互争妄 = k ( x m ，y m ) z m + k ( x m ，晏) 细+ k ( x m ，y m ) 瓦0 + k ( x m ，瓦0 ) 瓦0 十 五( 岳，) 砀+ 0 互争五( 袅川妄+ x ，争 y 争五( 晏，象) 细+ x ，争 k 争 0 互矿0 f f - - - f y m ：下c - f r 2 ( x 一 妄) 一 ( y 一 未) 】 + x - 了f 瓦0 一等一 x ，瓦0 ) 一 了f u 瓦0 + 芋( y 一 瓦0 ) ：下c - - f t 2 【 x 一 y + y 一 x + 瓦0 一 爰 + 等【 瓦0 一 瓦0 + 】，一 卅 由此我们得到： 8东南大学硕士学位论文 定理2 2 对任意的x ，kz t ，有 r ( x ，y ) z = 9 ( a k z ) a x g ( a x ，z ) a y + c - 厂f , 2 b ( z ，y ) x 一9 ( x ，z ) y + 9 ( x ，妄) 9 ( z ，妄) 】，一9 ( k 甍) 9 ( z ，妄) x + 9 ( x ，z ) 9 ( 晏) 瓦0 9 ( 互y ) 夕( x ，瓦0 ) 瓦0 】+ x ，z 岫( y , 仉o 蕊0 9 ( 互y ) 9 ( 五妄) 未+ 9 ( x ，妄) 9 ( 互晏) y 一9 ( 妄) 9 ( 互晏) 矧 下面我们来推导关于的s i m o n 方程，设f m 2 ( c ) r ，这里m 2 ( 一1 ) = 2 ，m 2 ( 1 ) = s 2 由于f m 2 ( c ) r 是局部对称的，因此彭= 0 定理2 3 设j 为恒等变换，则有 酗) = 丁c - f , 2 ( 4 c o s 2 0 - - s i n 2 0 ) 4 一等( 4 s i 扪一1 一翔) a + t 4 f 幽扪j + 笃竽日c o s 2 0 1 1j 2 证明：令e i = e ；+ 甍，z = z 4 + 甍，y = 旷+ 番，= + + 击 - e 洲e t = 瓦( e ；+ 甍，矿+ 妄) ( e ；+ 瓦0 ) = 瓦( 味i e ；+ 面( e 轫4 ) 爰+ 瓦( 吒爰) e i + + 夏( e ；，瓦0 ) 瓦, 9 + 面( 晏，箩4 ) 莳+ 2 瓦( 妄，旷) 晏+ 再( 岳，妄) e ：十 2 瓦( 袅，裳) 黑 = 字 e 抽k e 弭+ e 芋未一 孚e i 。- 了f 瓦0 + 2 等旷 = 罕 e i - - 矿0 一 争( e i - - 岳) 一 妄) ，+ 了f 瓦0 一 f 尹, - ( e i - 妄) 一 了f 瓦0 + 2 f - 孚f ( y - 妄) = 字阳，龟 乞一 y 一 e 抓t 2 可 一 晏+ 去 等d 色 - 2y + 妄一 争 ，一，2 = 一 一 + 一 2 一 h - ) 车l i 一手 2 + ，d - - ) 因此 2 ：三弓乒 一2 一 + 一 + 2 一 等 一 + 一2 ) = 竿甜口 一争2 口 吃 掣 瓦 za 一 2 汹 汹 1 0东南大学硕士学位论文 所以 2 = 字，奶e ；一 d 讲+ 萨e 了f 瓦0 一 了f h e t * 一 了f 瓦0 + p 等z 4 j = 罕阳一 爰舻 争( e i - 委) 一 一 岳) ) + 岳一 l l 冬 亿 ，。毒 ， 一 晏) 了f 瓦0 + 一 等c z 一 妄， = 字阳，秒 e “妒 旷 妄 试 第二章 f m 2 ( c ) xr 中的s i o m o n 型方程 一础= r ( n + + 妄，z + + 未) ( 旷+ 羞) ：面( + ，z ，) 秒+ + r ( n + ，妄) 箩+ + r ( n 4 ，瓦0 ) 瓦0 + 面( 晏，z + ) 旷+ - - 拟瓦0 ，z , j 瓦0 ：竺i 【 + 一 z + ) + 了f 瓦0 一 等+ 一 了f 瓦0 + 争 = 竺 一 一 妄 所以得到： + ， 一 = 学t 一等 十了f r e a 一况 y z t 玑 tz t t 玑 玑 a一况a一况 a 一况 秒 2 引 玑 y 孔 t 味 一 产 秒 d q x 修 = 可 j z 一 t 一 t r t 庀一 k、厂，“ 1 2东南大学硕士学位论文 结合( 2 0 3 ) ，( 2 0 4 ) ，( 2 0 6 ) 得到： = 2 字c o s 20 - 2 - 等fs i n 2 口 + - ，彪f 一2 4 s i n 20 + ( 1 + c o s 20 ) 一2 字 2 日 - 2 日 一 一 + + 一2 每 l n 令z = y = t ， + 4 日 - 2 = 2 字( 2 c o s 2 0 + 2 - - s i n 2 0 ) 一了f i t ( 2 s i n 20 - 1 - c 幽) + 2 等 2 日 - 2 日 2 + ) + 2 字 2 日 - 2 日 正秽+ 觚叫+ 2 字 + 4 字日 2 = 丁c - f , 2 ( 4 c o s 2 0 - s i n 2 0 ) 一等( 4 s i n 2 0 - 1 - c o s 2 口) + - ：h s i n 4 0 + 字日c o s 2 溉砌 ( 2 o 7 ) 同样可类似得到： = 丁c - f r 2 ( 4 c o s 2 0 - s i n 20 ) 一了f m ( 4 s i n 20 1 一c o s 20 ) ( 2 0 8 ) 一c - 厂f r 2 ( 2 c o s 2 0 + 2 - - s i n 2 0 ) 一芋( 2 s i n 2 0 - 1 - c o 翔) 一字 2 日 一 ) + 2 等 = 丁c - f , 2 ( 4 c o s 2 0 - s i n 20 ) 一了f i t ( 4 s i n 20 - 1 - c o s 2p ) t l a y 霸 f ， ( 4 s i n 2 # - 1 - c o s 2o ) + 了4 f 日s i n 2 p + 等日c 幽 一2 可f t 2 日 s 恤2 口 +2箬一了2fh t yth + 2 暑 一下 一号：日c 。s 29 + 2 日 当c = 0 , f = e 。时 = 一i a l 2 一2 + 2 h + 2 h 引理2 3 设2 ，m 2 ( c ) r 是具有常平均曲率日的浸入曲面，a 为w e i n g a r t e n 变 换，则有： ( a ) = 0 ( 6 ) = 一i a l 4 + c - ，。i 2 ( 4 c o s 2 0 - s i i l 2 p ) i a l 2 一厂，t , ( 4 s i n 20 - - 1 - - c o s 2 删2 + 了4 f 日2 ( 2 s i n 2 0 - c o s 2 口) + 竽职2 c o s 2 0 - - s i n 2 0 ) 删等一争 + 2 h t r ( a 3 ) 1 4 东南大学硕士学位论文 特别地，当c = 0 时 = 一i a l 4 一箬( 4 c o s 2 - 8 i n 2 p ) i a l 2 一竿( 4 8 i n 2 - 1 - c o s 2 ) i a l 2 + t 4 f 日2 ( 2 s1 ：120 0 ) i a 4 f i n 20 一c o $ 2 口) 一等( 4 8 i n 2+ t 日2 ( 2 s 一 口) 十等日2 ( 2 c o s 2 0 - s i n 20 c 箬一争 证明：考虑耳的一组正交基 e 1 ，e 2 ) ，结合定理2 3 得到： = 2 ：一i a l 2 + 譬 ( 4 c o s 2 0 一s i n 2 p ) 一等( 4 s i n 2 0 1 一c o s 2 口) + h s i n 2 9 j r 字2 0 + 2 c - 厂f 璧 日 8 i n 2 字日 触d 一了2 f 日 一h c o s 20 + 2 日 整理上式即得定理( b ) 的结果 同样我们利用定理2 3 也可以得到： ：2 ：一i a l 2 + 譬 ( 4 c o s 20 一s i n 2 口) 一每( 4 s i n 20 1 一c o s 2 口) + 竽确扪 + 华日讷 郸一 2 字日 s ，n 。口一2 字日 一 了2 f 日 一了2 f 日c o s 2 0 + 2 日 引理2 4 ( 3 ) 设2 ，m 2 ( c ) xr 是具有常平均曲率日的浸入曲面，咖为迹为0 的第二 基本形式，则有； ( a ) 例2 = a 1 2 2 h 2 ； ( b ) v = v a ； ( c ) t r ( a 3 ) = 3 h 1 1 2 + 2 h 3 第二章 f m 2 ( c ) r 中的s i o m o n 型方程 引理2 5 设2 卟，m 2 ( c ) r 是具有常平均曲率日的浸入曲面，为迹为0 的第 二基本形式，则有： = 一坩+ 2 日2t c - ，。, 2 ( 4 c o s 2o - - s i n 2 1 9 ) 一等( 4 s i n 2 一如蚋2 + 2 ( 丁f t 2 _ c 一等) 日 m i n m ，n ) ，那么九= 0 对v p m 则有 e i = 0 4 + 九+ t 乃m ，i = 1 ，2 ，n 1 6 第三章面积有界映射 e a = 锗警m ，a = n “n + 2 ，n + m 易算出筹= 九，其中由让诱导的度量为 g 的体积元为 = = 奶( 1 + a i ) ， f = m i n m ，几) 弘熹， 其中( ) 为( 纫) 的逆矩阵 对v = ( 咖卅1 ，妒+ m ) 础( q ) 有 善扩o 溉u 口0 # d x = 善矗( 9 i _ 丽o u 口如= 。， 其中q = n + 1 ，n + 2 ，n + m 引理3 1 ( 1 4 ) 设m 是一个n 维完备的黎曼流形且r i c m 0 设霹( 2 ) 是m 中半径 为2 ，中心在z 点处的测地球，o b 2 ( 1 ) 为相应的测地球面设s n _ 1 ( 2 ) 是r n 中半径为l 的 球面那么丙v o 霭t ( o 石b ；丽( o ) 递减，并且l i m b o 丙v o 丽t ( o 唧b 2 q 两) ) = 1 及v o z ( o b 2 ( o ) y 。2 ( 妒一1 ( z ) ) 推论：设m 是一个n 维完备的黎曼流形且r i c m 0 ，则对v r 2 r 1 0 有 y d 、。n ( 尼) ) 一v o l ( b 2 ( n 1 ) ) ( 砑一冗 ) ( 3 0 3 ) 其中为r n 中单位球体的体积 证明：我们对引理3 1 中的不等式v o z ( o b 2 ( 2 ) ) v o l ( s n - - 1 ( 2 ) ) 从r 1 到冗2 上积分即 可 引理3 2 对任意的6 0 ，y ( g ( 冗) ) y ( q ( 冗，( 1 + 6 ) r ) ) + y ( q ( r ) ) 定理3 1 设u ：f tcm n 珥p 的一个面积有界映射，设m n 是个n 维完备的黎曼 流形，且r i c m20 则a ( a ) 的体积必然满足：对v 5 0 y ( g ( r ) ) 史学y ( q ( r ，( 1 + 回r ) ) + y ( q ( r ) ) ( 3 0 4 ) 特别地y ( g ( r ) ) ( n ( 1 + c ) 。一1 而+ 1 ) 舻 证明：对r 0 ，定义函数 1 7 1 8东南大学硕士学位论文 t 正曼( z ) = 对v 6 0 ，设妒是一个定义在m n 上的非负截断函数 所以得到 0 ：l j n o + o r = ， j n ( 1 + 6 ) r 卅p l ，j ，口 l j n 0 + 6 ) r r ( x ) ( 1 + 6 ) r 矿箐警如 扩篆考乱触+ 上。问r 篆萨篆筹妒如 妒篙篝灿 f ， j n o + n m i i 户筹考唰如 。m a 。x 。 1 瓦l m 三。a s x l l - 志 i u r i l + 碍川吣 丧) 而r - 而7 - s 嬲m 蜓a x 。 1 - g 九- q m 唰1 椰) ) 其中第二个不等号用到筹= 南不失一般性，假定禹i + a l = m a x 1 ( 南) ， i 九( z ) ( 圳c 得到 ( 1 - i - a ) ( 1 - t - a - 1 ) 增) + a f ( 磕强+ +a o 壤+ 磕一，) i l i 2 幻和 入z + a z c l l c + a z c 置l c 2 + + 入。 , 。1 一- - 1l 一1 = ( 1 + c ) 。一1 丸 丸 y 再1 可2 + 州 九( 1 + 碍) ( 1 + 礓1 ) ( 1 + 碍) ( 1 + c ) 。一1 九 ( 1 + 碍) ( 1 + c ) 。一1 ， 兄 兄 r p 叮 a 牡 a u u，、i r 雌坦 咖 咖 咖删 r r j 占 + + 厂厶厂厶 一 一 h 汹 ， + = 第三章面积有界映射 特别地 又 t ，r 磊矿篙筹掣竽唧m 删卜 t 脚伽唯l v u l 址厶舯仙呕珊矿篙筹烛 ( 1 + e 百) t - l , d 一 - m y ( q ( r ，( 1 + 6 ) r ) ) i v u l 2 + 1 = 1 + z i + a 所以 y ( g ( r ) ) u d x ，g ( 1 + , d r n i t “i s 戌 s z , l v u l 24 - - 1 史学y ( q ( r ，( 1 + d r ) ) + y ( q ( r ) ) 结合引理3 1 的推论，我们得到 y ( g ( 固) 里学( ( 1 + 矿舻一舻) + 舻 令6 0 ，得 y ( g ( r ) ) ( n ( 1 + c ) 。一1 示+ 1 ) 舻 证毕 东南大学硕士学位论文 参考文献 【1 】h a l e n c a ra n dm d oc a r m o ，h y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r ei ns p h e r e s j 】，p r o c o ft h e a m s ，1 2 0 ( 1 9 9 4 ) ，1 2 2 3 1 2 2 9 【2 】l j a l i a sa n dm d a j c z e r ，c o n s t a n tm e a nc u r v a t u r eh y p e r s u r f a c e si nw a r e p e dp r o d u c ts p a c e s j ，p r o - e e e d i n go ft h ee d i n b u r g hm a t h s o c ，5 0 ( 2 0 0 7 ) ，5 1 1 5 2 6 3 】m b a t i s t a ， s i m o n s t y p ee q u a t i o ni ns 2 xra n dh 2 ra n da p p l i c a t i o n s 【j 】，a r x i v ： 0 9 0 4 2 5 0 8 v l m a t h d c 4 p b d r a r d ，s i m o n s e q u a t i o nr e v i s i t e d 【j 】，a n a i s a c a r d b r a s i l c i 芭n c i a s ，6 6 ( 1 9 9 4 ) ，3 9 7 4 0 3 【5 】z g b a i ，y b s h e n ，n x s h u i ，a n dx y g u o ，a ni n t r o d u c t i o nt or i e m a n ng e o m e t r y m ，2 ( 2 0 0 4 ) ，h i g h e r e d u c a t i o np r e s s ，2 0 0 4 【6 】b y c h e na n ds w w e i ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo is u b m a n i f o l d so fw a r p e dp r o d u c tm a n i f o l d si ， s i n - 1 ( 后) j 】，j g e o m ，9 1 ( 2 0 0 8 ) ，2 1 4 2 【7 y x d o n g ，b e r s t e i nt h e o r e mf o rs p a c e l i k eg r a p h s w i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ea n dc o n t r o l l e d g r o w t h j ，j o u r n a lo fg e o m e t r ya n dp h i s i c s ，5 8 ( 2 0 0 8 ) ，3 2 4 - 3 3 3 【8 y x d o n g ，q c j ia n dw z h a n g ，f i n i t e n e s so fh i g h e rc o d i m e n s i o n a ld i s j o i n tm i n i m a lg r a p h s j ，( t o a p p e a r ) 【9 】f d o b a r r oa n db i i l e n to n a l ，c u r v a t u r ei ns p e c i a lb a s ec o n f o r m a lw a r p e dp r o d u c t s j ，a c t aa p p l m a t h ( 2 0 0 s ) ，1 0 4 1 4 6 【1 0 】f d o b a r r oa n db f i l e n tu n a l ，c u r v a t u r ed ，m u l t i p l yw a r p e dp r o d u c t s j ，j o u r n a lo fg e o m e t r ya n d p h y s i s ，5 5 ( 2 0 0 5 ) ，7 5 1 0 6 【11 】f d i u e n ，j f a s t e n a k e l s ，j v v e k e n ，a n dl v r a n c k e n ，c o n s t a n ta n g l es u r f a c e si ns 2 r 【j 】，m o n a t s h m a t h ，1 5 2 ( 2 0 0 7 ) ，8 9 9 6 1 2 】f d i u e na n dm i m u n t e a n u ，c o n s t a n ta n g l