（概率论与数理统计专业论文）分支过程的谱半径.pdf

摘要 本文在简单介绍g a l t o n - w a t s o n 分支过穰的一些基本理论的基础上，主要讨论了搐 述从过獠的任何状惫逃离遵度的谱半径问题研究结果表明，g a l t o n w a t s o n 分燕过程 酶谱半径等过程对应静概率母垂数及其过程翡灭绝概攀之簿寿禳密留翡关系在举霹舞 的条件下，证明了g a l t o m w a t s o n 分支过程的谱半径等于其对成的概率母蛹数，( s ) 在灭 绝攘率轰静雅霹眈矩蓐懿谱半径。男外， 囊单奔绍了两蛙努支过程摸囊及其基窖萋正在 研究的一嫂问题和理论主罄结论是如下两个定理： 定理1 设 磊；舻 是单一类型g a l t o n w a t s o n 分冀过程，糟p o ，p i 0 ，令 雾：n l ，2 点 ，翔+ p ； 0 ； ( c 2 ) + 对任意l 。，j 蔓女，驴1 ( z i = 勺) 0 ； f c 3 ) 存在1 ，使得扩，( z i o ，e l ，e 2 ，魄 ) 0 l e t 嚣= 焉b 黧美 t h e n 蕊) i s a ni r r e d u c i b l em a r k o vc h a i no nea n di t 8s p e c t r a lr a d i u sr ，f 西 f 罄( q ) 瓣晒 a ( q = | ； ! | 蝶渤噼( q ) 学号 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 暴。器我所知，除了文中特别趣 2 点标注帮致谢的地方矫，论文中不包含英饱入已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得澎姿盘堂或其他教育机构的学位或诞书箍使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢崽。 文名：符研秀期：埘年 蟛日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘婆基鲎有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被奁阅和借阗。本入授 权澎婆盘蹩可以将学位论文的全部或邦分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名绦砰易 签字日期： 2 砖年牛月2 9 霸 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：浙江林学院理学院 通讯地址：浙江临安环城北路8 8 号 导师签名： 签字日期：年月 e j 电话：0 5 7 i - 6 3 7 3 2 7 7 3 邮编：3 1 1 3 0 0 第一章荸l砉 设毒霹数马承霹夫链( 爿，轳) ，嚣其状态缀麓e 荛数静 竣有隈约。豫凌态o e 为吸收态，若p z 。= 1 对状态z e ，若舻( 弱产) = o 。，则称状态艇常返 的，否剥称为菲常返约( 或瞬时的我糖过的) 、 对任意给定的两个状态。y e ，若存在n n ，使畔( 墨。一w ) 0 ，则称从状态z 可达状态y ，记为# n y 。蒋x ny 恩y n # ，则稚与y 相通，记为# 一y 。相通是 一种等价荧系，邵麓有宣反髓、对稚健和传递牲若一麓尔可夫链( 墨舻) 的任意两个状 态都相通，则称马尔可夫链是不可约的( 参见文献4 1 n ) 善( x ，轳) 是不胃终静麓零虿夫鹾，捌存程实数r ( 0 r s l ) ，对任意z ，y e ，使 得l i r as u p p ( x n 一) 1 ：一r 成立，并称实数r 是不可约马尔可夫链( x ，舻) 的谱半径 f 参翌文献滏) 。 令g r e e n 函散g r ( x ，y ) 一er “妒( 矗一y ) ( r 1 ) 对状态ee ，当r 1 n = o 一 簿，善g r ( x ，z ) = 舻秽( 溉= z 一，剥称凝态。怒弘霉题戆，否测耘鸯弘嚣雾 邋的可以证明：当r 1 r 时，g a ( z ，z ) ；。o 鄄 幂可终墨尔可夫链x ，轳) 酶g r e e n 滋数g m x ，) = 舻酽( 夏；= 。( r 1 ) 螅收敛 半径等于其谱半径r 的倒数l 打 谱半径是不可约马尔可必链的一个攫重要懿特征数学它的大小反映了从过程的任 何状态逃离的速度的大小，即谱半饺越小而从过程的任何状态逃离的速麓越快率文主 簧讨论了一类特殊的马尔可必链g a | t o nw a t s o n 分炭过程的谱半径本文的变要工 棒是证锈了在不可约的条件下，( a l t o n v c a t s o n 分支过程的谱誓径等于箕对应瓣概率霉 函数( s ) 在灭绝概率q 点的雅可比嫩阵的谱毕径 第二鬻单一豢鹫g a l t o n - w a t s o n 分支过程疑其谱半径 2 ；lg l 害 2 1 1 潮麓弱藏滚 为搽讨英莓贵撩娥藩继承与谬系消亡勰题，g a l t o a 棒w 8 e l 巍翳予t 8 7 3 苹、1 8 7 4 华、1 8 8 9 年和1 8 9 1 年酋先建立起了缀典的分支过獠，即单一爨型g a l t o n - w a t s o n 转支 过程 添磐麓记秀g - w 避援) 。关予嚣* w 过程懿谬缎强誊巍一骢有趱鳇爨史套绥蹲参蓑 h a r r i s ，t ，e ( i 髓3 ) 隰a t h r e y a ，k ，b 。a n dn e y , p ，e ( 1 9 7 2 ) 2 l 移k e n d a l l ，d + ( 1 9 6 6 。努妻避程 燕壤率理论约夸燕要分支，它在静糍学秘生物学筹方藩青援多黪研究及其应瘸。 2 1 2g a l t o n - w a t s o n 分支过程的撒述 一个嵇箨过程哥塔播述秀舞下摸黧；考虑一个幽麓产垒鬻奖露代酶令薅錾袭瓣稼 稀群体设莱粉种程初始时刻0 脊秭一知个称为浆0 代个体。嵌躺每个个体攮命结 寒醇掇糍蕊一概率分搿维 p k ：一0 。l ，2 ， ( 其串热裘运每一个个髂产生女个下代 的概率) 耀互独立艇隧机地繁殖下代，所有第0 代个体繁殖的下 弋一起构戚数个 纂l 戴个髂。熬瑟，这磊夺第l 我个嚣重鬟上辇懿浚纯遘程瓣繁罐鑫蕊个第2 我个 体，依据这样盼瓣棒，该鞠种一代一代酚延撩下去在这个避程审，不謦睇健 的哪一个个体，其繁殖下一代的数融服从相阍的概率分布 m ：k 一0 ，l ，2 ，) ，耐不受 嚣辇或瓣警孛其窀个俸懿彩璃嚣蒋豫磊袭表蘩n n = 0 ，l ，2 ，) 代瓣母露慧数，尾 墨哪沁一0 ，i ，2 ，；i i ，2 ，) 表录第霞瓣雾i 令个薅繁殖懿下一健戆令势数，粥备 嘶协一0 ，1 ，2 ，；= 1 ，2 ，) 稷臻熬巍弱分帮，羼服麸班妇：一0 ，l ，2 ， 为橇搴 分布律鲫分布，并且有荪十l = 耐哪( n = o ，1 ，2 ，) 这样得到的齐次马尔w 必链 五；：镕一辑i ，2 ， 赣麓经蒸舞g a l t o n - w a t s o n 分支避程。磊瓣转移概率丞数麓 f 群，i 1 ，0 ， 岛w p ( t ，j ) 一驴 互h ! = 引j k 一 = 。 ld 钳tz 2 0 ，l20 其中如爨k r o a e c k e r 黼数： 曳* 蕞嚣 f p ；k 一0 ，l 一2 。， 是所绐概率分布律妇；= 0 ，1 ，2 。 的t 激卷积 为了方蠖起嚣，l 犬短下记法： 驴1 ( 黾= 鼢一驴( 氛= 女 虢* i x 舻( 磊= = p ( 磊= 耐施一l ， p ( ，) 一驴( 瓠十l = 女l 磊一) ，( ，k ) * 妒( 磊m 一雠磊一t ) ，强m = i ，2 ，一一，蠢= 0 ，1 ，2 ，t c 。 2 2 2g a l t o n - w a t s o n 分炎过程簿赍 下面介绍的这嫂理论可参看h a r r i s ，t e ( 1 9 6 3 ) 1 ，a t h r e y a ，k b a n dn e y ，p e ( 1 9 7 2 ) 2 1 2 2 1g w 过糕的概率母函数 褒搴瓣函数焱g w 努支过程簿群究孛蛰演善一夺非常重瑟瓣霆色。下嚣蓉嚣将裂 说明，总假定面一1 着铂1 ，则根据各个体繁嫩下一代的个体数栩互独立同分布 赫薅捃关鹩结论。 给定一个体繁殖下一代的个体敷x 的概率分布f p k ：= 0 ，l ，2 ，) ，定义g 。w 分 文过程的繁衍概率壤函数为f ( s ) = 聪= p k s ，j $ l 兰1 k = 0 显见，f ( o ) 一p o ，( o ) = p l ，f ( 1 ) 1 概率母函数，毒如下造代公式 2 1 )是( 。) = s ，五 s ) = ，( s ) ，矗( s ) = 厶一l ( ，( $ ) ) = ，( 焱一，( s 强n = 1 ，2 又由乎o w 势支过程 况：n 一0 ，l ，2 ，) 任一代的任一个体的繁衍概率母函数都 期淘，酝苏我粕哥欲褥裂热下结论： 命凰2 2 1g - w 分支过程的第n m = 0 ，l ，2 ，) 代磊的概率母函数就是繁衍概率 琢基数f ( s ) 的n 黧迭找，即 ( 2 2 )，竹( s ) ：= 姚五一庐1 ( 磊一) p ，n = 0 ，1 h 2 一 k = 0 其中f o ( s ) = ，1 ( s ) = ，( s ) ，a ( s ) = a 一1 ( ，( 5 ) ) = ，( 厶一i ( s ) ) ，n i ，2 ， 2 。2 。2g - w 过糕麴瓣望与方差 大家知道，琅非负整值的随机变嫩x 的矩与其概率母函数，( s ) 之间存在着搬切的 荧系，著强黔存巍，裂毒 ，( ”( 1 ) = 赋i x ( x 一1 ) ( x 一+ 1 ) 】，( = 1 ，2 ，- ) 假定每个个体的后代个数的均值m e z i e 卸有限，则根据均德与概率母函数 f ( s ) 豹关燕可知，( 1 ) = m 也是有限的一般的，在瓿的均值秘方差e z 。，v a r z , , ( n = 1 ，2 ，) 有限的前掇下，它们同样可掰概率母黼数f ( 8 ) 表示出来，并且举难得翻如下结 论 命题2 2 2 令m 和矿分别表示每个个体的后代个数的均值和方差，即 m = 嚣苁= ，7 ( 1 ) ，o - 2 ；v a r z l = 戴z 一静= ，“f 1 ) 十m m 2 3 若m 趣口2 稳凝，刺商 鞋氟。“”，”。9 磊。i f 兰专掣，。萨- t n 口。m 。 3 2 。3 爻绝概率爱避疆赣不稳定蠖 关予物种群体最终套消亡的概率q ，基g a i t , o n 研究家族灭绝概率以来一直是大家研 竟分支过程的主要内昝之一下面我们不考虑一些平凡情况p o 一1 舞i 】p o = o ( g p 物种群 搭在第o 技岳羲溃失或衷不溃失；，新惑穰寇 o l 葬枣过程f 磊：镕= 0 ，i ，2 ， 举一定泛憋。零么避程 氛 会螽藏发畿? 是否会自我适应，最终处于某一个有限状态? 鑫麟2 。2 。5 添一w 转变过程翡幂稳定健 不管m = e 蠡敢待幺糍隈篷，e - w 努嶷 避程 玩：n = o ，l ，2 ，静任一寄黻嚣0 欹杰女都楚l 常返懿，帮崖争1 ( 磊一) = o ，= l ，2 ，藏毒 囊一对，妒磊一埘+ 一( 瓦一。) = l 4 上述结论说鹦，对任意寄眼非o 状态女，嚣有 p ( 磊“k ，i l i 磊= ) 0 ， = 1 ，2 瓣诧，g * w 分支过程 磊 不能无限地等于强僻一个潜祥酶正盼有限餐，它要么趋于0 饕么趋予o o 注徽到p ( 磊+ 1 = 0 1 玩= 0 ) = l ，n = 0 ，1 ，2 ，即状态0 是吸收态，而 蛏一有隈藩0 襞态女舔是饕常运雏。 s 2 3 1 生要结果 2 ，3g a l t o n - w a t s o n 分支过程豹谗半径 若( x ，舻是不可约酶强尔可夫锯，嬲存在实鼗r ( 0 0 ，令 江萄 露书 黧兰 粼 z ；a 键是e 上懿一苯胃约玛券毒夫镶，萎其谱半径鸯r 一，( g ) 。 证明t 若p o + p l = 1 ，则对任意n 1 ，p 1 ( 苏 o ，l ) = 1 ，从而只有两个状态的状态 巢f o ，1 ) 麓一个闭豢又有条件p l 0 ，可知遵程 磊 燕e = l j 上的一不可约马尔可夫 链因为对任意的 1 ，p 1 ( z 。= 1 ) 一甜，所以r = l i m s u p p 1 ( 磊= 1 ) 】j p x = ，7 ( 1 ) 。 冀m = p t 0 下面我们先证明 氛；o 是e 一 l ，2 ，3 ， 上骛一苓霉约骂承毒夫链。 对任意k 1 ，我们有 秽( 反= 秸) 妒1 ( 承= 雄i z k 一1 = n 6 1 ) p 1 ( 旅一1 = n 5 1 i z 一2 篇n 3 2 ) 驴1 ( z 1 = 。n o l z o = 1 ) 兰菇。森磷；。) 籍 。， 5 从而可知对任意女兰1 ，从状态1 可达状态n s ，记为1n 磁。又因为对任意 l s j s ，舻( 五一彳 ( 建靖 0 ，所跃狡袄态i 帮达状态j ，鄄 j 。那么，显 见对任意i l ，从状态i 可达状态1 ，即tal ；反志，我们可证1 一 。因为对任意 1 ，郝莓在1 襞褥i 墨罐，放嚣a ；又翦嚣已 蒌l a a ，耩敬霄状态可 达的传递性可得，从状态1 可达状态t ，即1 i 从而证明了对任意t 1 ，状憨1 和 状态i 是蔑达熬，颦穰通垂奄根据状态耀通鲸传递性，知状态嶷e = l ，2 ， 上鲍 任意两个状态都是相通的由此，我们就证明了 磊；n o ) 是嚣= 1 ，2 ，3 ，) 上的一 不可约马承可夫链。 下面我们荐来计算过程 幺 静谱半径由不可翁蹲尔可夫链的谱半径静定义， 磊 的谱半径r = l i ms u p p ( 磊= j ) 1 女，且与 ，j f 无关予是，我们可以特别地取 = j = 1 e ，静r = l i r a s u p p 1 ( 磊= i ) l ： n 州。 o o 因为赢的概举母函数 ( s ) = p 1 ( 磊一k ) s 有如下迭代公式： k = 0 南0 ) = s ，矗( s ) = a t ( ，和) ) 一，阪一l ( 8 ) l ，子麓 秽( & 一1 ) = 点o ) = ，阪一1 ( o ) 1 ，嗡一。瞬一，7 ( o ) 一疆，i 矗( o ) j k = o 又因势对任意s 【o ，1 1 ，( s ) 一女孤妒，星，铷) ，7 ( o ) = 张 0 ，面对任意 k = l 0 ，0 曼 ( o ) ( 1 ) 一1 ，所以，1 a ( o ) 】 0 于是，根据裔题2 2 ，3 ，盥巴矗( o ) 2 口，从而：氅，7 派( o ) 卜，( q ) 因此 r 一1 唑? 毗磊= 1 ) 挣= 墨则，协( o 小一，( g ) 一”，“ 东理证毕 横摄上述定毽秘命题2 2 。4 ，我嬲翕得裂鞠下结论； m = t m 1 口 证弱；禳据上述定理释髓疆2 2 4 ，显冕避m 1 簿上述结论成立。壤在我稳鬟器 露证明当m l 时，r = ，( q ) 1 时， 0 1 ，所 以必有孙+ p l 1 时，0 p lj ，( 0 ) ( r = ，( 窜) ，( s o ) = l ，即0 r 1 日 6 m k | i 姐 驻 0 ，令 嚣：“2 一) t 舶+ p 1 0 ，舞漪镣一个女毫e ，必存在一个交数7 r c ( 0 乳 0 由 a ( 8 ) = e $ 如= 妒1 ( 磊一k ) s 。，罔数学归纳法易得 矗( o ) 一妒( 磊* 1 ) ，坩( o ) = 削p 1 ( 磊= ) 雄对任意n 1 ，1 ，驴1 f 互，= 女) = 篮挚予凳概率比率 ? 端一丽1 黯掣啬塑辫 啬觜= 黼i 一瞄+一献兵( o ) 酽1 ( 瓦= ) ”+ 上述不等式成立悬因为。n + 蛐( o ) 魁一个非负系数从而对每一个女se ，比举数列 黼 是萃谱递增效残，盛牧敛秘菜夺搬隈镪括檄疆鸯竞秀夭馕形) 魏投黻不妨 记为n 故对每一个k e ， 撬端= z r k _ c o 3 ) 。下蘑我们将证明农g l 理中的条搏满足黪情况下，辍眼必存在g 聃受鼹石可熬为无 努大而且必大于0 ，即0 s t k 。o 为此，先证明 讯；女= i ，2 ，) 满飕下述关系式： 2 5 ) r 口= 曩咐蠢) ，女2 1 ，r = ，镪) t = 1 注意剃驴( 玩+ l = 1 ) 一是+ d o ) 一y l a ( o ) l f - ( o ) 一，隔( o ) 3 护1 磊= i 0 ，义根据 龠惩2 2 3 l i r a ，n ( o ) = q - 从而我口j 有 ( 2 t 稻 怒鬻搿= 撬觚渤) 影国一 又由切普璺一柯尔奠哥洛失方程( 简称g 一一k 方穗) 得， p i ( 磊十1 = ) e p 1 ( 磊= ) 附) ，咐) = 0 ，k 1 于是 黜黼1 = 黼1 = 霎距高哪h秘( 磊呻f l p 1 磊嚣)驴1 滔。搿) 一# 一p l f 磊。西q b 叫5 “ 土式两边敬极限( 令n o 。) ，根据( 2 4 ) 和( 2 6 ) 妓，我们麟证得( 2 5 ) 式成立 ( 啦璃在我# 】诞疆对任意i ，0 鲰 o 。 先证对任意k 怠1 ，- # r k 0 0 因为s t l 茹1 ，0 0 ，且7 r k 忙1 ) 均非负，所以 辩任塞1 + # 0 由定理2 31 ，我们已证明当p o + p 1 0 8 l 0 ，蠹兰1 ， j = l 义r 0 ，因此必韶觏 0 ，女1 。 综上可知，滚萼f 理证苹 下两我 弼e 孵定理2 ，3 ，2 证明：注意刘 p 1 ( 磊+ l = 1 ) _ 矗+ 1 ( o ) = ，f 厶( o ) l 矗( o ) = 尸嘛( o ) j 萨( 磊= 1 ) 0 口 叉擐豢禽题2 - 2 z 3 ，恕矗( o ) 2 9 ，扶 | 我们磋 熙黼= 恕八脚舻九萨r 踟定理2 , 3 i 的结论易知，糟p o ，饥0 ，则对每一个女e ，总有1n 于是根据单 壤耽率定理我魍可域褥到，对每一个k e ，必存在一个实数鞭( 0 0 于是根据定 理2 ，3 2 的结论：对每一个k e ， 熙黼= r ， 特别取k l ，我们玎以得到j 对任意n ，m 1 ，有 溉黼l m 一。甏1 兰暑揣象差：善黼一产 蓐根据引理( 2 3 1 ) 的结论可知，封每一个e ，n ，m l ，都有 熙黼= 熙黼嬲黼 ：f 土r m ：r 一 靠 注：由命题2 2 3 ，我们已知对繇一个0 蕊s 1 ，当n 一。时，概率母函数a ( s ) 搜毁予灭绝概率g 薄么牧敛速囊躲舞呢? 参考文歙妫孛掺出；些m = l 酎，对每一个 0 s 1 ，概率母函数厶( 8 ) 以阶数i 1 的速率收敛于灭绝概率q = 1 ，即1 - f 。( s ) 一篇2 i 薅当m 1 对，对每一个0 ss o ，0 o ，那么根据定理2 3 1 的结论，易计算蹦其谱半径为 ，；c 。，：。；。 。，去 ： ： ，。r e = ，l ； l 袅 1 。 西 铡予2 3 ，2 茹礤幕瓣概率分露，设g “t o n w a t s o n 分支过程 磊 的繁衍概率分布 m ，p l 和纯服从参数为p ( 0 玉8 n ，则g - w 分支过程的第 m = 0 ，1 ，2 ，) 代露 瓣撩事母螽数。黔 矗( s ) ：= 船= p 。( 露一女) 驴一p ( 耀= 捌磊一n ) s = ，嚣( s ) 竹= 0 ，1 ，2 铆予2 3 3 谶g a l t o n - w a t s o n 分支过程 露；o 静蓊嵇概率母菡数为 ，( 5 ) 一 l 一妫+ p s a ，8 2 ， 即对应繁衍概率分布为两点分布：舳= l p p 。= 弘其中口是大于等于2 的整数显 觅p l = 0 ，0 魏 1 ，魏芦i ；时灭绝概率口1 可以涯嘤：巍糖燕忍驭为8 的非0 正整数嵇，剐嚣= # ，n 嚣尊，则状态0 为 吸收态，丽其它所有非0 状态集驴= 仇孰，孙，托， 为不可约的非常返丽寨获 箍过程 j 麓；n 0 是e 4 上的一个不可约马尔可夫链，且其谱半径为r = ，协) 仍成 盘 涟鞠：下鬻我勰苓妨考虑8 2 的馕澎，当口2 对类锻可证。 l l 设过程 兹 的繁衍概率分布为两点分布：p o 一1 一p ，p 2 = p ，0 o ，所以铆一2 i 又溢为对任意i l ，总存弦1 使得2 + 1 2 i ，获蠢2 2 + 1 a2 i ，蕊篮 残j = 2 蜀一2 ) 2p ( = 2 k + 1 | 露= 2 ) p ( 雹+ l 一2 目一2 + 1 ) = p 翻2 碹p ( 研= 2 日菇= 2 k + 1 p 0 瑟器2 n 瓢扶嚣涯疆了状态2 秘浚态2 i g 1 ) 是嚣达静，嚣翘逶静缀据获态耱遥 的传递性，可知状淼集e + * 2 ，4 ，6 ，2 ，) 上的任意两个状态都是相邋的，即e 。是 不莓约约耀集由藏，我e 】勰迁弱_ 髭 是e 上的一不可约麓尔可夫键。 下面我们再采计算过程 露；n o 的谱半径 虫不可约马承可夫链的潜半径的定义可知，过程 髹) 的谱半径 r = l i ms u p p 4 ( 一j ) 且与 ，j e 无关 于是，我船胃l 棒男遣取i j = 2 巨嚣4 ，静 r = l i m s u p f 2 碳= 2 舻 根据母函数的迭代性质，f o ( s ) = s ，a ( s ) = a l ( ，( s ) ) 一，魄一1 ( s ) i ，于是 矗( s ) 一，幌一，( s ) j ，i f 一2 ( s ) k ，= ，7 魄刚，0 茎s 0 ，“( $ ) 一劫 0 ， 而由p 0 0 知，对任意1 ，0 0 ，”嘛( o ) 】 0 获蓑对筷煮0 ss 1 ， 踟) = ( 勤删) ；，= 胎蓬销絮铲们s ) 驴1 - i 】l 蹦( s ) = ( ，m ( 删= 矗( s ) 叫；嚣篓她+ ，”( # ) ，m ( s ) 】l 女0= l 4 # 2 l 敬由愈题2 3 。1 及上式可知， 俨2 ( 东粼2 )= 戚学= 阪( o ) 1 2 + a ( o ) 蹦( o ) n 一1 = 厶o ) ，姻) 1 - i ，7 次( o ) | f = l 而且根据命题2 2 3 ，* 1 i m o 。a ( o ) 2q ，从而0 骢，i a ( 。) 】= ，( 口) 因此可得 r = 1 粤兰? 咿( 嚣= 2 ) 1 击2 祟i 厶( o ) ，”( o ) 旦，i l k ( o ) 1j r 一 1 ； 。毒， 磊t 0 ，1 。2i f ( q ) - 上面这个例子说明对g a l t o n w a t s o n 分支过程 霰；n o ) ，定理2 3 1 中的条件 0 p l 1 是充分褥菲螫要静。邵妻p l = 0 露，若涛燕0 p o 1 ，期+ p l 6 “) ；显然a o ( 绒a 0 ) 表示对所有 i ，j 舄1 ，2 ，奄，都有娃；2 0 ( 城啦， 0 ) + ( a - 8 ) 一个k 阶矩陴序列a 。= f n ) k 。k 收效于一个k 阶矩阵a = f a t j k 女，记为 占a n = a - 是指对所有 ，j 一1 ，2 ，k ，都有恕谢# a j 。 下面稳们首先简单介绍多类型g w 分支过程的有差概念与结论这些理论可参看 h a r r i s ，t 嚣( 1 9 6 3 ) f l 】，a t h r e y a ，k b a n dn e y ，p e ( 1 9 t 2 ) 2 l 等 1 4 多类摄( 一类塑) g - w 分支过稷 ；舻) 是状态京阅为n 的齐敬玛尔可夫键，为 了方便，我们恳燕假定初始向量z o 不是随梳向量，而是某一个单位向薰，邵z o 豫： 江t ，砩。我们记向量z 。= ( 磊，磊) ，向壁z 。的第t 个元素磊，( n 0 ，i 一 1 ，2 ，) ，表示在第# f 是第i 类攒静个捧数。 若z o = e 。，那么z l 的概率母函数 f 3 1 ) ，m ( 8 ) ：= e 1 ( s f “- s ；1 4 ) = p ( ”( j i ， ) - 彤；p o ) j ：# ( ，l 。，靠) n kj n 其中s ：= f 如，s k ) ，o g 坼 0 _ 概率母两数臂) ( s ) 宥船下遮代关系式： t 躺， 雾芒；三，矍篡j ，：扫”，一0 l ， 黼豆有向缴形式：曩m ( s 净是( 8 ) j n ，m 一0 ，1 ，2 ，。 帆j ：= 嚣瓤( z i j ) = 嚣( z u l z o 竺暾) ，l ，j = l ，是 鄂某一代攀个第i 典型的个锋所繁稽出的属予第j 类型的平均聪代个数， 对任崽n l ，定义期望矩阵 m = ( “牙) ， m t j = e 挪。刊一筹； m 叫阶e 1 ) ：娑( 1 ) 其实我们可以得到如下荧系式； e c z t z 。) = z a 掰“沸一0 ，t ，) ，掰= 材q 掰f ”) = 渺 基本假定：在举文中我们总用记号m 表泳期望矩阵，并假定是非零厦有限矩阵，即 辩耩毒1 i ，j s 女，期望”爨毒歉显不全淹0 。 定义3 2 2 强刚性) 称多类型g 分支过程 z 柞_ 妒) 是嫩则韵，嚣存在n 1 ， 使得掰n 0 过程摄正则的，意殊着肯定存在菜一代，使得第0 代的每一种类型的初始个体所繁 帮鑫静逮代酶各个类登熬半壹霉羞代数都夫予0 ，帮至步为1 定义3 2 3 ( 帑异性) 张多类型g - w 分支过程 z 。；舻) 燕奇异的，若概率母西敷 f ( 8 ) 与羯臻矩阵m 之间满起关系式：f ( s ) 一m s t ( ，是8 的转置 郦概率母函数 ，( t ) ( s ) “= 1 ，) 都是$ ”一，轧的无常数颁的线性函数，也即每个个体恰好都只繁 祭瘩拿璐筏。 若过程是奇异的，此时艨个个体恰好都只繁衍出一个后代，则此时的分支过程 t ，辩0 s q 0 ， 一1 ，2 ，并且 恕如= d ，则 ，j 粤器l l a ”缸_ 17 - - t ；r ) 证明：毽舞a l ，态，0 孬虽杂氐一蠢，毒蠲a 0 。掰苏黠经意o n ，令嚣。= a 。厶一l a n + 1 ，磷对任意外1 ，令= a 。a ”l a l ， 那么对任意n n ，我们商c ；= 氐a v 因为a 20 ，则由( 3 5 ) 式，对任意n ， ( 3 , 6 )( 1 一s ) n - n a ”一茎b 。( 1 + e ) n - n a “一 毒实上，方阵童静港半径静经蒺l i r af i n 8 狰一蔗) ，激跨着霹土嚣程意结定熬0 0 ，可知e o 。不妨设q v = x 女，令 一l 爨女q 懿彩= | | 蚀| | 2 瓣m 拶a x 1 那么显见0 0 ； ( c 2 ) 辩任意1 s i ，j ，芦( 磊= j 0 ； ( c 3 ) 存在1 篓l 女，使得舻( z l o ，o l ，e 2 ，e k ) ) 2 的情形，所以不失一般性，我们不妨 考虑= 2 酶情形 ( 1 ) 酋先，我们证明道程 z 。 魁e 上的一不可约马尔可必链，即证明e 上的任意 掰令获拳辫是互这簿。 对任意x = # 1 ，z 2 ) n 2 和y 一 叭，y 2 ) n 2 ，漪满足甄弘，i = 1 ，2 ，则我们称 x y 。令 ”1 瓠m i j l ! l2 睁( z 严8 ，) ，弪1 热舻( z 1 。o ) r 嬲么，蠢焱孛 f c l ) 粒c 2 霹褥8 ，6 0 。予爨，若设x = 。l ，如) y 一辩，船) ，剡 郴，叫( 筹荔) 舭帅2 一”l _ ” 0 - 因此， 稿+ 9 j 对强意ky 奈b ，廷鬓x 兰y ，麓毒x 帮速甄记终x a y 1 9 根据条传( c 3 ) 可得，存在lsi 蔓2 和y 一y l ，f 2 ) n 2 ，使得乳+ y 2 2 而且 p 峨( z l 嚣y ) 0 于是，对任意i j 2 ， p * j ( z 2 = y ) 壮( z l 端岛) 辨z 2 = y 溉= e i ) = 渺z l 斟e i ) 盼( z 产y 0 从而 p y ( z 2 = y l 十轻) y ) 薹8 z 2 一y ) 】。1 鼙“z 2 = y ) 妒 0 ， 邪么根据以上两式，我们可以得到对任意n 麓1 ， 妒( z 越。十1 ) = ( 乳+ 班) “y 2妒- ! z 2 l n + 1 1 ) = ( 1 十抛) “y l z 2 n = ( 1 十分2 ) ”1 y 】 庐峨 z 2 n 举( 鲫+ 辨) n - - 1 y l z 刽n i ) = ( y l + 船) n - 2 y 】 - 矿1 【z 4 = ( 9 1 + y 2 ) 1 y j z 2 = ( y l 十9 2 ) o y 妒1 f z 2 = y l z o = e l j 胪1 ( z o = e 1 ) p ，f z 2 黼( 孽l + 张) y l f t + # 。) ”一 p y z 2 = ( 驰十驰) y j 搬+ 妇) 一2 ，。 t p y z 2 = ( 掣1 + 阮) y 】) ( v 一+ 棚) d p 舢( z 2 = y ) ) 0 蹰此，存在y = ( y l ，口2 ) n 2 ，且满足y l + 挑2 ，使得对任意n 1 ，都有 f 3 1 0 ) e laf l + 轮) “y 。 下面我们证明对任意状崽x = ( # l ，2 9 2 ) n 2 0 ) ，状态x 秘状态e l 可以互达首 先，匿为x e i ，所以禳籀( 3 9 ) ，蔓见x ae 1 其次，由子轨十轨2 ，所戳总 释在竹1 ，使得尊1 兰y l ( 掣l 十蛐) “，而且茹2sy 2 ( y l 十驰) n ，即( 磬1 十) “y x 从 褥穰据( 3 9 ) ，哥燕泓+ 撕罗y x 。叉穰舔( 3 ，1 0 ) ，我餐暑骞e l n ( 铀+ 搬) 挂y ，薮 由可达的传递性知，e ln x 于是，我躬暑淡骥经意状态x 耧姨卷q 薅瓣互达嚣壤据麓送具有祷递经，我瓣就 证明了集合e ：= n 2 o ) 土的任意两个状态都可以互选因此，该过程 z 。) 是e 上的 不可约羁尔可夫链。 ( 2 ) 前面我们融证瞬了避程 l 是e 上盼一不可约马尔可矢链，予蹙过程( z d 的 谱半径r l i r a s u p5 ( z 。= j ) j ，而威与i ，j e 无关所以我们不妨把i ，j 都取为单位 辩量，弹r ：l i ms u p w ( z 。= e j ) ， t ，一l ，2 袋在我稚辩证臻避稳 z n 斡谱半 径r = r l a ( q ) 为了穷矮莛燕，对任意l i ，j 蔓2 驳获# 0 ，在君蓊诞疆遥撵孛，我秘约定 孙( ，j ) ：一砖( j ) ；胪( z 。= 坳) 那么，由( 3 3 ) 知肌( 1 ，j ) 等于柱概率母黼数硝( 8 l ，s 2 ) 审踮懿蓑致罄 目，( ) ( 3 1 1 ) h ( 1 j ) = ! 箬 ( o ，o ) ，1 s t ，j 2 ，n 0 根据f 3 4 ) ，拷( 趣，s 2 ) ；产) 陡! i ( s l , s 2 ) ，瘿i 3 2 ，待3 ，2 ；三l 于是，我们可以褥到 笔( s ) = 掣l ( s 警+ 罂辑卜1 ( s ) ) 警s 3 i 群( s ) = 筹( 毛删) 警( s ) + 瞥( s ) ) 罂( 。) 英孛s = ( 札) ，冬一z $ ) 一艘l f $ 2 ) ，艘l ( s 2 ) 上述方程组可以写为如下糖阵形式： ( 譬祥渤) 7 * ( 蒌篆器蒌象：篇) ( 弊警) 7 露簿记菇 赣( $ ) 尸= 矗”一lf s ) l i 斧( s ；】7 。遗蓬迭谯，我截露班摄到 ( 3 。1 2 ) f 嚣( s ) 卜k l ( s ) 如婚) 山【瑟( s ) r ( 3 a 3 ) f 篆( s ) 卜k 洳) 靠。f s ) 于是，提糖强1 1 ) f 3 。王2 ) 却( 3 1 3 ) 可撙 r ：= ( 黑；搿) 诋“。 = n l ( 0 ) a n 一2 ( o ) a i ( o ) a o ( o ) ， 蜊 差研 m 一吵“羽，( 戳黧) 其中a o ( 0 ) 一a ( o ) 又壹条律( e 1 ) 褪f 圆，显l 过纛 磊 磐楚歪藏瓣嚣显是嚣毒异懿。获嚣按搿禽蘸 3 - 2 2 ，我们有。l ，i m o 。( o ) = q 于是 弘瑚 熙缸删一熙( 蒌笼嬲蒌芝：粼) 叫q ， 另外，根据条件( c 2 ) 戳藏( 3 6 ) 式，易知 且( 。) = f 专i ( 。，。) 2 x 2 = f 扩f z l 一玺) ) 2 x 2 o 又对任意n l ，蠢( o ，o ) ( o ，o ) ，息对任意，= 1 ，2 ，偏导鲻数掣( 8 l ，s 2 ) 都蹙单 谰递增薛及面，耱们可璇知遵 3 i s ) 对任意n 2 1 ，k o ) 2 a o (