（应用数学专业论文）基于合意空间的模糊向量空间与合意集的范畴.pdf

基于舍意空j 可的模糊向量空闻与合意集的范畴 基于合意空间的模糊向量空间与合意集的范畴 研究生：李金洋 指导教师：袁学海 学科专业：应用数学 摘要 h i s a k i c h is u z u k i 给出了台意空间( c o n s e n s u ss p a c e ) 和合意集( c o n s e n s u ss e t ) 的概念，文章基本嗣绕上述概念展开讨论本文的主要内容分为两部分第一部分讨论的 是基于合意空间的模糊向量空间首先，介绍预备知识然后，利用含意空间( c o n s e n s u s s p a c e ) 理论给出了向量空间的c 一模糊子空间的定义，证明了 一模糊子空间是c 一模糊 子空间，且c 一模糊子空间是乙一模糊子空间最后证明了每一个c 一模糊子空间都与一 类特殊的c 一模糊子空间同构，从而为模糊子空间提供了一种新的理论基础 第二部分研究的是合意集的范畴首先，介绍了范畴理论中的一些概念作为预备知识 然后，以合意集为对象，以满足一定条件的映射为态射，建立了范畴c ( q ) ，证明了其具 有最终元、等化子、有限积、指数、s c ，从而范畴c ( o ) 为一个t o d o s ，适当改变条件， 建立范畴c s ( n ) ，发现其具有以下几条性质：范畴c s ( n ) 有最终元、等化子、有限积、 中间物质从而进一步充实拓展了台意集的理论 关键词 模糊子空间；合意空间；c 模糊子空间；同构：合意集；范畴；t o p o s ：中间物质； w e a kt o p o s 引言 k a t s a r a s 和l i u “1 提出了模糊线性空间概念由于这些定义主要建立在卜范上，所 以这些只是直观地扩大了向量空间理论，没有什么理论依据最近，h i s a k i c h is u z u k i 给出了合意空间( c o n s e n s u ss o a c e ) 和合意集( c o n s e n s u ss e t ) 的概念，并利用这一 理论研究了模糊集的运算本文将这一理论与模糊向量子空间联系起来，先利用这一理论 给出c 一模糊子空间的定义，然厉证明了 一模糊子空间是c 一模糊子空间，且c 一模糊子 基于舍惠空间的模糊向量空阐与合意集的范畴 空间是乙一模糊子空间最后证明了每一个c 一模糊子空间都与一类特殊的c 一模糊子空 间同构，从而为模糊子空间提供了一种新的理论基础 接着，本文试图从范畴的角度去研究合意集，以合意集为对象，以满足一定条件的映 射为态射，首先建立了范畴c ( 9 0 ，其具有最终元、等化子、有限积、指数、s c ，证明其 为t o p o s 改变条件，然后建立范畴c s ( a ) ，证明了范畴c s ( n ) 的几条性质 第一章基于合意空间的模糊向量空间 1 1 预备知识 定义1 1 1 ”1 映射t “o ，1 o ，1 一 o ，1 称为卜范，如果对每个五，f ，叩【o , 1 】 ( 1 ) f ( ，0 ) = o ，t ( x ，1 ) = a ； ( 2 ) r ( 五，) = r ( 卢，五) ； ( 3 ) 若五掌，x 叮，则，( 2 ，x ) r ( 亭，r ) ； ( 4 ) t ( 2 ，r ( x ，f ) ) = t ( t ( x ，) ，) 例如 ( 工，y ) = m i n x ，y ) ，( x ，y ) = m a x x 十y 一1 , 0 ，l ( x ，y ) = x y 都是f _ 范，分别称为 一范tl 一范，乙一范 定义1 1 2 称函数：s 斗【o ，l 】为非空集s 的模糊子集 定义1 1 3 “1 域f 上向量空间v 的模糊子集“称为矿的模糊子空间，若 v a ，b f ，协，y y 以下条件成立：p ( a x + b y ) ( x ) a 4 力 定义1 1 4 “1 设是向量空间v 的一个模糊子空间，我们定义 h 。= 一( ( 口，1 ) ，e 8 ：一( 【口，1 】) ，其中口【o , 1 】 定理1 1 1 ”1 设是向量空间v 的模糊子集，万【0 l 】为其值域的上界，则下列命 题等价： 2 基于合意空闻的模糊向量空问与合意集的范畴 ( 1 ) 1 是v 的模糊子空间； ( 2 ) 日。是v 的子空间，v 口 0 ，卅 ( 3 ) e 8 是v 的子空间，v 口e i m 刖 定义1 1 5 设v 是域，上的向量空闻，模糊子集芦：v 【仗1 】称为矿的t 一模糊 子空间，当且仅当 ( 1 ) 4 x + y ) r ( p ( x ) ，( y ) ) ，v x ，y v ； ( 2 ) ( 触) 却( 工) ，吼f ，协v 均成立 定义1 1 6 ”“设( q ，易，- ，p ) 为概率空间，l 为集台令。尹”( l q ，易，。) 2 e l c _ l q 且拈) 囊r ，墩三) ，这里( z ) 2 彩q i ( x ，m ) ，则称 ( 厶( 三q ，。矿) ，p ) 为由( n ，j r ，p ) 导出的合意空间，称e 矿( 三q ，矿) 为合 意集 设e 。尹( 三q ，。矿) 为一个合意集，则e 可确定三上的一个模糊子集a ，且 a ( x ) = z f ( x ) = p ( e ( 力) ，v x l 1 2c 一模糊子空间 定义1 2 1 设矿是域f 上的向量空间，e 为( v ，。歹( 矿n ，互矿) ，p ) 上一合意集， 若峙幻q 耳劫= x e v i ( x ，印) e ) 为v 的子空间，则称爿( 功= 以目( 砷) 为v 的一个 c 一模糊子空间其中( x ) 。 q i ( 工，) e ) 定理1 2 1 设4 是v 的八一模糊子空间，则一也是v 的c 一模糊子空间 证明设q = 【0 , 1 】，矿是 o ，1 上b o r e l 域，p = _ i ，l 是l e b e s g u e 测度由a 是v 的一个八一模糊子空间，占 o ，1 为v 的上确界，则对每一个2 | o 们，有 a = x v i a ( x ) 五 为v 的子空间 3 基于合意空阍的模糊向量空问与夸意桌的范畴 令h = ( 工，五) i x v ，五e 【o ，艿】，工a j ) ，则日量v x q 且 h ( 工) = a 【o ，司| 工a ) = 0 ，爿( x ) 】，、k 矿 h ( a ) = z v i ( x ，丑) h ) = x i x e a ) = a 则h 寥7 ( y q ) 且h ( x ) = m ( 日( 力) = 珊( 【0 ，爿( 工) = ( 工) 故爿为v 的一个c 一模糊子空问。 定理1 2 2 若彳是y 的c 一模糊子空间，则a 也是y 的l 一模糊子空间 证明设( y ，尹。( 矿x q ，。勇r ) ，p ) 是合意空间e 汐1 y n ，国”) ，a 是y 的一 个c 一模糊子空间 由于 脚1 0 + y ，) e 2 l ( 工，珊) e ) n 脚i ( y ，国) e ) ， 则a ( x + y ) = p ( e ( x + y ) ) = p ( ( n ) l ( 工+ y ，) ) e ) ) p ( | ( z ，国) e ) ) n p ( i ( y ，0 j ) e ) ) = 尸( 国i ( x ，出) e ) ) + p ( 白i ( y ，国) e ) ) 一p ( 缈l ( x ，国) e ) ) u p ( l ( y ，) e ) = 4 ( x ) + 一( j ，) 一1 则a ( x + y ) 2 l ( 一( x ) ，( ，) ) x , j v 2 f ，x v ，有a ( a x ) = p ( e ( 五占) ) = p ( i ( 五而脚) e ) ) 又因为 缈l ( 触，出) e ) l ( x ，) e ) 所以一( 乇砷尸( 国i ( x ，口) 占) ) = 彳( 工) 所以4 为v 的l 一模糊子空间 例1 2 1 设矿是域f 上一向量空间，( q ，拐r ，p ) 为一个概率空间， ( 。q 矿f l , ，d 为一合意空间，t a w ) = ，i f ：q + v 的映射 今在n ( y ) 中定义：( ，+ g ) ( ) = 厂( ) + g 洄) 4 基于夸意空间的模糊向量空阃与合意集的范畴 ( ) ) = 矽( 珊) 则( q ( 矿) ，+ ，) 构成域f 上一向量空间 设是y 的一子空间，设矿满足： ，= q i f ( 0 ) ) w ) - 矿，v ，q ( 矿) 令e = ( 厂，) l f ( c o ) w ， 则e ( f ) = q l ( f ，0 3 , ) e ) = 国q i ，( ) 仨w ) 。j 矿 e ( c o ) = f i ( f ，0 9 ) e ) = f l f ( c o ) w ) 则e ( o ) 为n ( 矿) 的子空间 因此e 多- ( q ( y ) q ) ，于是f ( ，) = p ( e ( ，) ) 为q ( y ) 的一个c 一模糊子空 间 侧1 2 2 设( q ，国r ，p ) 为一概率空间，v 为一个向量空间，n ( z ) 为例1 2 1 中 的向量空间 设a 为q ( y ) 中的一个子空间，令w = ( ，( 珊) ，0 9 ) i 珊q ，f 一 ，则 r v ( e ) ) = ，( 珊) i 厂a 为y 的一个子空间 设。矿满足形( x ) = 和q i x r v ( o j ) 莎，则脚( 砷。p ( 矿( x ) ) 为矿的一 个c 一模糊子空间 定义1 2 2 设k ，吒是域f 上的向量空间，4 ，a 2 分别是k ，吒的c 一模糊子空间， 则a l ，a 2 同构存在一个同构矿：k 斗圪，使得4 l3 彳2 。声 定理1 2 2 设( q ，矿，p ) 为一概率空间，v 为一向量空间，h 为台意集 h 矿( y n ) 确定的c 一模糊子空间，则卢同构于一类例1 2 1 意义下的c 一模糊子 空间 证明设圪：v ，v c o aq ，令汐= 兀，。沙= n h ( 国) 叁三兰蔓壁兰塑! 幽重皇塑兰全兰叁竺苎! 由于每一个h ( c o ) 为v o 的子空间，故纱为矽的子空间对v x v ，令 六：q 一矽 错砖 这里f ( ： o ( o o d ： l x 珊= 吐， 令f ( 汐) = 正l x v 则( 正+ 厶) ( 国) 2 六( 国) + 工( 国) = 片+ = ，= 正+ ，( 国) ( 矾) ( ) = a f ：= 层= 厶( 国) 所以六+ 乃= 厶，矾= 厶，因此f ( 矽) 为一个向量空间， 令映射妒i v f ( 移) 0 ( x + y ) = 正+ ，= 六十= ( x ) + 矽( j ，) ， 庐( 触) = 太= , z l = a ( x ) 且当六= 兀时，我们有工( 国) = ( ) ，v o ：q ， 碱l ：= ：，v r o q 于是x = f ( ) i 一，0 , 1 ( ) = j ，因此妒为双射，所以v 与f ( 夕) 同构 令e = ( 正，曲) i f ：妒 ， 则e ( 正) = ( o j i f ：拐夕 2 r o l x h ( r o ) ) = 日( ) 矿 e ( o j ) z 六i ( 正，国) e = 正i f 澎 = 正i x h ( r o ) ) 为f ( 矽) 的子空间，故有c 一模糊于空间e ，且 u s ( 正) = j d ( e ( ：) ) = p ( 日( 工) ) = h ( x ) ， 则卢h ( 曲= i t f ( ( 砌，v x v ，因此c 一模糊子空间- q c 一模期子空间 6 基于合意空间的模糊向量空问与含意集的范畴 口e 商鞠 2 1 预备知识 第二章合意集的范畴 定义2 1 1 在范畴c 中，一个对象x 叫做最终元，如果对任一对象b ，h o m 。( b ，x ) 为单点集，即从占到工有且仅有一个态射 厶 定义2 1 2 设c 为范畴4b 为两个态射，若e ：e _ a 为一个态射，且： 7 ( 1 ) fo p = g 。p ： ( 2 ) 若e ：e - - 9 a 也满足，o e7 = g op ，则存在唯一的态射石：e 斗e ，使得 e = g 。虿 厶 则称( e ，”为一一b 的一个e q u a l i z e l 记作( e ，e ) e q u ( 厂，g ) 定义2 1 3 设c 为范畴，一，b o b ( c ) ，若存在一个对象c 及态射 n ：c j 爿，口：c 寸b ，满足：对任意的态射：d 呻a ，g ：d - - - ) b ，存在唯一 的态射h ：d - - - - k c 使得n 月o h = f ，f i 口。h = g ，则称 c ，n ，兀8 ) 为a 与b 的有限 积 定义2 1 4 若对任意d ，b o b ( c ) ，都存在一个对象6 4 及态射f v ：6 。a _ b ，并 且使得对任一对象c 及任一态射f ：c a 斗b 都存在唯一态射f ：c j 6 4 ，使得 e y 。 = f ，则称c 有指数 定义2 1 5 称c 为c a r t e s i a nc l o s e dc a t e g o r y ，若 ( 1 ) c 有t e r m i n a l o b j e c t ； ( 2 ) c 有f i n i t ep r o d u c t s ； ( 3 ) c 有e q u a l i z e r s ( 4 ) c 有e x p o n e n t i a l s ， 7 基于舍意空间的模糊向量空闻与舍意案的范畴 对任一单态射，：a a ，都存在唯一一个态射z r 使图1 为一个拉回方 l 1 匕 zj 图2 ( 3 ) 对任何单态射，：a 斗a ，存在唯一一个态射z r ：a 斗a ，使 i z fs q ； i i 图3 为一个拉回方 一手专4 8 口 上一酊 基于夸意空间的模糊向量空间与合意集的范畴 定义2 1 8 ”称范畴c 为一个弱t o p o s ，如果 ( 1 ) c 是c a r t e s i a nc l o s e d 范畴； ( 2 ) c 有一个中间物质 2 2 范畴c ( q ) 定义2 2 t 设( n ，国) 为一个可测空间，x 为一个集合，e 工q 若 e ( x ) = l ( 工，) e ) 厶矿，仇x ，则称e 为q 上的一个合意集，记作( x ，e ) 定义2 2 2 设( n ，易，- ) 为一个可测空间，以q 上的合意集为对象t 从( 一t ，e t ) 到 ( 一2 ，e 2 ) 的态射为映射，：工l 寸x 2 ，且满足：e l ( 工) = e 2 ( ，( x ) ) ，比l ，则形 成一个范畴，记作c ( n ) 定理2 2 1c ( q ) 为一个t o p o s 证明( 1 ) t e r m i n a lo b j e c t ：( 二矿，j ) 其中t ，2 ( ，出) l a 2 - ，则 e ，( 一) 2 爿 设( x ，e ) 为任意对象，f ：( x ，e ) 一( - _ ：2 1 - ，e ，) 的态射，则，：x1 。善的映射， 且满足e ( x ) = ，( ，( x ) ) t v x x 下证，这样的，唯一： 若g ：( 工，e ) 一( 国，) 的态射，则g ：x 一。矿的映射，且满足 e ( x ) 2 e ，( g ( x ) ) ，x 又已知e ( 工) = e a r ( f ( x ) ) ，则有e ，( ，( 工) ) 2 e ，( g ( ) 即f ( x ) = g ( x ) ，、口 x ，则f = g 、 ( 2 ) e q u a l i z e r s ：设( 1 e 1 ) ( 一2 ，e 2 ) x q 基于舍意空问的模糊向量空间与合意集的范畴 令x = 工 厂( 工) = g ( x ) ，x x 1 ) ，e ( z ) = e l ( x ) ，、口0 x ，得至0 对象( x ，e ) 令e ：x x 。的映射，且e ( x ) = e 1 0 ( x ) ) ，则e 为( x ，e ) 到( ，巨) 的态射，且 ( i ) fo e = g 。e 成立； 由f oe ( x ) = ，( 功= g ( x ) = go p ( 工) ，c x ，得证 ( i i ) 若存在e ：( x ，e ) 斗( x 1 ，e 1 ) 的态射，即e7 ：j 寸x l 的映射，且满足 趴：) = e ( e ，( z ) ) ，v = x ，使得，。e = g 。e 。 则存在唯一的态射彳：( z ：e ，) 一( 工，e ) ，使得b 7 = e 。万如图4 由v z e x ，有，。柏= go e ，( 2 ) 即f ( e ( = ) ) = g ( e ( z ) ) ，女0 p ( ：) x 令虿：x 7 + x 。下证万为一态射，即e ( ：) = e ( 丁( ：) ) z t - e r z 、 由e ( z ) = e l ( e ( z ) ) = e 1 ( e 。可( = ) ) = e ( 虿( = ) ) ，得证 亭为唯一的： 若彳7 ：( x7 ，e ，) ，( x ，e ) 的态射，g e 7 = p 。虿7 ，l i j e 。虿= p 。万7 ， 贝p 。万( z ) = e o 万，( = ) ，、叮量x 7 ，贝u p ( f ( 2 ) ) = p ( 万( = ”，v z x7 ， 则虿( ：) = 石，( 力，、瞻， 则虿= 虿7 ( x ，e ) 虿i v ( x ，e ) 则 ( x ，e ) ，p ze q u ( f ，g ) ( 3 ) f i n i t ep r o d u c t s ：设j = ( j ，e i ) ，f = ( r ，e 2 ) 是任意的两个对象 1 0 基于合意空间的模糊向量空同与合意巢的范畴 令z = z x ，y = ( 工，y ) i e l ( 工) = e 2 ( y ) ，x x ，y e y ) e = ( x ，y ，国) l ( x ，) e t _ e 1 ) e 3 = e n ( z 臼) ，则局( 五y ) = 巨0 ) = 马( j ，) ，得到对象( z ，e 3 ) 令丑：z _ x ，县：z 呻y ，易知只，b 为两态射 ( x , y ) h j( j ，y y 设( 爿d ，e d ) 为任意对象，设， g 为如图5 所示的态射，刚 f ：x d _ x 的映射且满足e d ( x ) = 目( ，( 工) ) ，v x x d ， g ：x d _ y 的映射，且满足e d ( 工) = e 2 ( g ( x ) ) ，v x x d 则存在唯一一个态射 ：( x d ，e d ) 一( z ，e 3 ) ，使得图5 可换，即置。h 2 f ， 最o h 2 9 令 ：x d z 的映射，下证 为态射，即证e o ( x ) = e 3 ( 矗0 ) ) 成立 由e d ( x ) = e 1 ( 厂( x ) ) = e 3 ( ，( 工) ，g ( x ) ) = e 3 ( ( x ) ) ，得证 显然h 使图5 可换这样的h 为唯一的：若有h ，使图5 可换，则有 置。h = 舅。 ，最。h = 只。h 7 ，则有 = h f x 则 ( z ，e ，) ，e ，) 为牙与f 的积 图5 ( x ，e ) 暨如， 。垃：， 基于合意空间的模糊向量空间与舍意集的范畴 ( 4 ) e x p o n e n t i m s ：设j 。= ( j 。，e 。) ，互= ( x ，e 6 ) 为任意两个对象 在五上建立一个等价关系：x ，z 2 铮e 。( ) = e 。( z ：) 令肖；= u s l 厂： z 】_ x 。的映射，且e ( 功= 岛u ( x ) ) ) i e j o ；= ( f ，) 1f ：【x 】啼x 6 ，( x ，w ) e ( 厂0 ) ，w ) 乜) 设丘= ( x 。，e 。) 为任意一个对象，f 为如图6 一个态射 令嚣”：u 刮( 工，o j ) 巨 = u t ( x ) 卜e x 。) 莎。 垭k e ；”： ( 巨( x ) w ) 1 x 一。w e e ( j ) ，则e ；”( 彳) ：4 ，”，” 令x ：= x ：u x ：e ：= e ：u e ：。得酗对象t x ：，醚、 j ；，x 。= ( ，x ) 陋：( 厂) = e 。o ) ，x ；，工x 。) = ( ， w ) l ( ，w ) g ) e = e 7 n ( ( x z ，x 。) d ) ，则e ( f ，x ) = 三；( ，) = e a ( x ) + e v ：耳，x 。一x b ，下证e v 为态射，即e ( f ，力= e b ( e v ( f ，x ”成立 ( ，j ) h ，( t ) 由e ( f ，x ) = 疋( x ) = e b ( ，( 功) = e a ( e v ( f , z ) ) ，得证 令芦：工f 斗j ；的映射 1 2 图6 基于合意空闻的模糊向量空阃与舍意集的范畴 这里，x 。，瓦= ( t ，工。) g ( x p = e 。( 工。) ，x 。ex 。，x 。l 豆= ( ，z 。，出) i ( 工。，卯) e c ) ，匪。，。= 豆n ( ( x 。，五) n ) ， 则k ，。( t ，) = 疋( t ) = e 口( 屯) 下证：( d f 为一个态射，即t ( 一) = 群( r x d ) i x 4 x 。工。，存在x 。x 。，使( t ，x a ) x 。，x 。 令f ：x 。，嚣，这里f ( x 。) ( l ) = f ( x 。，工。) 卜+ j 。) 由巨( z ) = e c 。( x o ，矗) = g ( f ( g ，毛) ) = 毛( f ( t ) ( l ) ) = e b ( e v ( f f ( x o ) ，屯) ) = e ( k ( x 。) ，) = 霹( f ( t ) ) 得证 i i 对x 。x c ，不存在工。x 。，使( x c , x 。) x 。，x 。 令f ( x 。) = c o l 国e c ( x 。) ) ，则 e ；( f f ( x 。) ) = ；( b 。( x 。) ) = 昱；( 。 ( o ，e o ) 的态射，这里e 。2 0 ) x q ， 则厂：x 0 的映射，且满足e ( x ) e o ( ，o ) ) = n ，f x 显见，这样的f 为唯 一的 所以( o ，e o ) 为c s ( a ) 的t e r m i n a lo b j e c t 定理2 3 2 ( s ( q ) 有e q u a l i e r s 厶 证明 设( x l ，e 1 ) 一( x 2 , e 2 ) ， 令x = x i f ( x ) = g ( x ) ，x x 1 ) ，e ( x ) = e l ( 工) ，v x x ，得到对象( z ，e ) 令e ：x 斗x l 的映射，且满足e ( x ) 三e 1 0 ( 工) ) ，v x x 则e 为( x ，e ) 到 ( x l ，e 1 ) 的态射，且 ( i ) f o e = g 。p 成立： 由，。e ( x ) = f ( x ) = g ( x ) = g 。g ( x ) ，v x x ，得证 ( i i ) 若存在e 7 ：( ：e ，) 一( x i ，e 1 ) 的态射，即p ：x 。x 1 的映射，且满足 e7 ( ：) e 。( p7 ( z ) ) ，v z x7 ，使，。p = g 。e ，则存在唯一态射 歹：( x7 ，e ，) 一( ，e ) ，使得p 7 = e 。虿如图9 由f 。e ( ：) = g 。e ( = ) ，v z x ，即( p ，( z ) ) = g ( p ，( z ) ) ，、如x 7 ， 基于各意空间的模糊闻量空间与合意桌的范畴 0p ( z ) x 令石：x ，- ( ：- ) ，下证孑为一态射，即e 7 ( = ) e ( 亭( = ) ) 成立 由e ( 2 ) e 。( p ( z ) ) = e 1 qo 虱z ) ) = e l ( 石q ) ) = ( 互0 ) ) 得证 下证万的唯一性： 若j 芗，e = p 。虿，则有eo 歹( z ) = po 歹( = ) ，v ：x ，即 e ( e ( 三) ) = p ( 歹( = ) ) ，v z x ，即虿( z ) = 万( 。) ，v z x ，则可= 石 ( ，e ) e i 中 ( x ，e ) 则 ( z ，) ，e ) ze q u ( f ，g ) j j e i ) _ ( x 2 , e 2 ) 图9 定理2 3 3c s ( n ) 有f i n i t ep r o d u c t s 证明设( x 。，e 。) ，( 咒，e b ) 为任意的两对象 令x 。= x a x 6 = ( 工。，工6 ) i x 。e x 。，x 6 x 6 ) e = ( x 。，脚) l ( x 。，国) 疋，且( ，) 既 ，9 4 n x 寸象( x 。，e 。) 1 8 基于合意空间的模糊向量空间与合意集的范畴 令只：五一。，b ：x 。一x 6 ，易知只，巴为两态射 ( ，h h b( 矗，唧) h 唧 设( j d ，e a ) 为任意对象，f ，g 为如图1 0 所示的态射 f ：x d x 。的映射，且满足e a ( x ) c _ e 。( 厂( x ) ) ，v x x d g ：x d x 6 的映射，且满足e a ( 工) 至e b ( g ( x ) ) ，v x x a 则存在唯一一个态射h ：( x d ，e a ) 一( z 。，丘) ，使得图l o 可换，即e 。h 2 f ， 最。h = g 令h ：x d x 。的映射，下证h 为态射，即证以0 ) 。e 。( ( 石) ) 成立 卜( ，( j ) g ( x ) ) 由上知，e 。( z ) _ c e 。( 厂( 工) ) f q e b ( g ( x ) ) 2e ( 厂( 工) ，g ( x ) ) 。匠( ( x ) ) ，得证显 然h 使图1 0 可换这样的h 为唯一的： 若有h ，使图l o 可换，则有只。h = e lo ，bo h = 只。h ，则有h = h f x e ) ( x 6 ，e b ) 图l o 则 ( z 。，e 。) 只，b 为( 。，e ) ，( j 一，e b ) 的积 1 9 化蔓lb山 基5 - f f 毒空问的模糊向量空阐与舍意桌的范畴 定理2 3 4c s ( t a ) 有中间物质 证月令人= ( 彦，如) ，a = ( 彦，e n ) ，这里晶= 莎q 偏序集 令m ：a 寸，则研为单态射 h a 对v 对象只= ( x ，e ) h o m ( ( x ，e ) ，( 国r ，e 。) ) = f l f ：x 一，汐为一个映射 令f g 营f ( x ) 三g ( x ) ，v x x ，则h o m ( ( x ，e ) ，( 。纩，e n ) ) 为一个 设肘。为x 到x 的恒等映射，则掰也为( x ，e ) 到( x ，e ) 的恒等 令仃：x _ 4 的态射，使 。上l 为一个拉回方，其中g 为( x ，e ) 到( 。j 芗j j o ) 的态射 则e ( x ) e ，( g ( x ”= g ( 工) ，v x x ，且g ( z ) = 脚。g ( x ) = 盯。m ( z ) = a ( x ) ，则e ( x ) 盯( x ) ，即e 盯显然 基于合意空间的模糊向量空间与舍意集的范畴 为一拉回方 且 设厂：( x ，e ) 寸( x ，e ) 为单态射，且z ，：( x ，e ) 斗( 。扩，e n ) ，使z ，se 为一个拉回方，则 ( ( x ，e ) 立d ( j7 ，e ) ，o ， 为一拉回方则e z r 。f 显然z ，。f0 ) = 卯i ( 工，c o ) z ，。厂 矿，f j ( x ，z 。厂) 为一对象 2 1 d 乃 ，纩旧l 尸 一 一 如 玩 。，。，。，。山 基于舍意空间的模糊向量空问与舍意集的范畴 由于e z ，则乃。f ( x7 ) 互e ( f ( x ) ) v x x ，n f 是( 爿，乃。) 到( x ，e ) 的态射又g ( x ) = m ( g ( x ) ) = z ，( ，0 ) ) 故g ：心，石。) 。( t 筑量) 的态射 则存在唯一态射万：( 工，z ，。) 斗( x ，e7 ) ，使图王l 可换 r 图儿 即f ( h ( x ) ) = f ( x ) ，n f 为单态射则e ( x7 ) = x ，则矿= l d 。 由z ，。f ( x ) 7 ( 矛( 工) ) = e ( x ) ，则z ，。厂se ，则e = z ，。f 这样的z ，为唯一的 。综上m ：a 专4 为中间物质 结论 ( 一) 定义了向量空间的c 一模糊子空间，证明了 一模糊子空间是c 一模糊子空问 基于舍意空间绮模糊向量空问与台意集的范畴 且c 一模糊子空间是一模糊子空间最后证明了每一个c 一模糊子空间都与一类特殊的 c 一模糊子空间同构，从而为模糊子空间提供了一种新的理论基础 ( 二) 研究了合意集的范畴，从而进一步充实拓展了合意集的理论 af u z z yv e c t o rs p a c eo f fc o n s e n s u ss p a c e a n dc a t e g o r yo fc o n s e n s u ss e t a b s t r a c t t h ed i f i n i t i o n so fc o n s e n s u ss p a c ea n dc o n s e n s u ss e ta r eg i v e nb yh i s a k i c h i s u z u k i t h ed i s c u s s i o n ss u r r o u n d i n gt h ea b o v e - m e n t i o n e dd i f i n i t i o n sa r eg i y e ni n t h i sp a p e r t h e r ea r et w om a i nc o n t e n t si nt h i sp a p e r t h ef i r s tp a r ti sa b o u ta f u z z yv e t o rs p a c eo nc o n s e n s u ss p a c e f i r s t l y ，t h ep r e l i m i n a r i e sa r eg i v e n s e c o n d y ，c o n c e p to fc f u z z ys u b s p a c ei sg i v e ni nt h ep a p e r ，i ti sp r o v e dt h a t a f u z z ys u b s p a c ei sac f u z z ys u b s p a c ea n dac f u z z ys u b s p a c ei saf u z z y s u b s p a c eb a s e do nf 一 1 0 r e e a c hc f u z z ys u b s p a c eisis o m o r p h ict oas p e c i a l c f u z z ys u b s p a c e t h e s ed i s c u s s i o n sh a v eb u i i tu pah e wt h e o r e t i c a lf o u n d a t i o n o ff u z z ys u b s p a c e t h es e c o n dp a r ti sa b o u tc a t e g o r yo fc o n s e n s u ss e t f i r s t l y ，t h ep r e l i m i n a r i e s a r eg i v e n s e c o n d l y a c c o r d i n gt oo b j e c t sa n dm o r p h i s m ss a t i s f y i n gt h es p e c i f i c c o n d i t i o n c a t e g o r yc ( o ) i sb u i i t w ep r o v et h a ti t i sat o p o s t h e nw eb u i l d c a t e g o r yc s ( d ) a n do b t a i ns o m eq u a l i t i e sa b o u ti t k e y w o r d f u z z ys u b s p a c e ：c o n s e n s u ss p a c e ：c - f u z z ys u b s p a c e ：i s o m o r p h i s m ：c o n s e n s u s s e t ；c a t e g o r y ；t o p o s ：m i d l l eo b j e c t ；w e a kt o p o s ， 基于舍意空问的模糊向量空问与合意集的范畴 参考文献 1 k a t s a r sak ，l i ub ，f u z z yv e c t o rs p a c e sa n df u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s f j m a t h a n a la p p l ，1 9 7 7 5 8 ：1 3 5 1 4 6 2 d u b o i sdp r a d eh f u z z ys e t sa n ds y s t e m t h e o r ya n da p p li c a t i o n s 蝴n e wy o r k a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 0 ， 3 l a z a d e h f u z z ys e t s j i n f o r ma n d 4 p t u b c z o n o k f u z z yv e c t o rs p a c e s j 5 k s a b d u k h a l i k o v t h ed u a l o ff u z z y ( 1 9 9 6 ) ，3 7 5 3 8 1 c o n t r o l l1 9 6 5 8 ：3 3 8 3 5 3 f u z z ys e ta n ds y s x e m ，3 8 ( 1 9 9 0 ) ，3 2 9 3 4 3 s u b s p a c e s j f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ，8 2 6 m t a b u o s m a n 0 nt - f u z z ys u b f i e l da n dt - f u z z yv e c t o rs u b s o a c e s j ，f u z z ys e t s a n ds y s t e m s ，3 3 ( 1 9 8 9 ) ，i i 卜1 1 7 7 h i s a k i c h is u z u k i f u z z ys e t sa n dm e m b e r s h i pf u n c t i o n se j f u z z ys e t sa n d s y s t e m s ，1 9 9 3 ，5 8 ：1 2 3 1 3 2 8 h i s a k i c h is u z u k i f u z z ys e t si n d u c e db yc o n s e n s u sa n ds e t o p e r a t i o n s j f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ，1 9 9