（电工理论与新技术专业论文）基于时域有限差分方法的三导体横电磁波传输室的研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , t h e b a s i c p r i n c i p l e o ff d t d ( f i n i t ed i f f e r e n c e t i m e d o m a l n ) m e t h o di ss u m m a r i z e d a n ds o m ei m p o r t a n tp r o b l e m sr e l a t e d t of d t d m e t h o da r ed i s c u s s e di nd e t a i ls u c ha st h ep a r t i t i o no fg r i d ，t h ec o n d i t i o n so f n u m e r i c a lv a l u es t a b i l i t y , t h es e t t i n go fe x c i t a t i o ns o u r c e ，a sw e l la st h ec h o i c ea n d s e t t i n go f a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s i no r d e rt or e s e a r c h i n gt r i p l et e mc e l l 。w h i c hi so n ek i n d o fn e wt e s t e q u i p m e n tf o re m c ，t h i sp a p e rf i r s t l ya n a l y z e st h eb a s i ce l e c t r i c a lp r o p e a i e so f t r a d i t i o n a lt e mc e l l f i r s to fa 1 1 t h es t a t i cs t a t ef i e l dd i s t r i b u t i n go ft e mc e l l s c e n t r a lt r a n s m i s s i o na r e ai sc a l c u l a t e d ，a n dt h ef i e l dv a r i a t i o n a lr u l e sa l o n gw i t ht h e c r o s ss e c t i o n ss i z e i l f l l e rc o n d u c t o r sw i d t ha n do f f s e td i s t a n c ea r ea n a l y z e db y u s i n gf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s e c o n d l y , t h i sp a p e r c a l c u l a t e st h et h r e e - d i m e n s i o n f i c l dd i s t r i b u t i o no ft e mc e l l sc e n t r a lt r a n s m i s s i o na r e ab yu s i n gf d t dm e t h o d ， a n dk n o w st h eu s a b l ec o n d i t i o no fs t a t i cs t a t ea n a l y z ea f t e rc o m p a r ew i t h t h r e e ，d i m e n s i o nc a l c u l a t i o n f i n a l l y , t h r e ek i n d so ft e mc e l l sc h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c ea r ec a l c u l a t e d ，a n dt h ep r o g r a m sv a l i d i t yi sp r o v e dt h r o u g hc o m p a r et h e c o m p u t er e s u l t a n dw e l l k n o w nv a l u e ，w h i c hm a k eg o o dp r e p a r a t i o nf o rt h e s t u d y i n go f t t e mc e l l t t e mc e l lh a st h es a m ep y r a m i d a lc o n f i g u r a t i o nc o m p a r ew i t ht r a d i t i o n a l g t e mc e l l ；h o w e v e ri th a st w op i e c e so fi n n e rc o n d u c t o r sw h i c ha r ep l a c e d o r t h o g o n a l w ej u s tn e e dt oc h a n g et h e1 0 a ds t a t u so fc o r eb o a r di no r d e rt oo b t a i n e l e c t r o m a g n e t i c f i e l dw h i c hh a st w od i f f e r e n tp o l a r i z e dd i r e c t i o n s t h i s c h a r a c t e r i s t i ci n a k e so u rt e s tc o n v e n i e n t f i r s t ，t h es t a t i cs t a t ef i e l dd i s t r i b u t i n go f t r e mc e l l sc r o s ss e c t i o nu n d e rd i f f e r e n tl o a d i n ge o n d i t i o r l $ a r ec a l c u l a t e d s e c o n d ， t h i sp a p e ru s e sf d t dt os i m u l a t et h ep r o p a g a t i o no f e l e c t r o m a g n e t i cw a v ei nt t e m c e l l st h r e e d i m e n s i o ns p a c e ，p r e s e n t st h ed i s t r i b u t i o ni nc r o s ss e c t i o n s ，a n d i l l u r a i n a t e sh o wt oc h o o s ec a l c u l a t i v ep a r a m e t e r s ，b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n ds e t e x c i t i n gs o u r c e o t h e r w i s e ，t h i sp a p e ra n a l y z e st h ee f f e c t st of i e l dd i s t r i b u t i o na n d c h a r a c t e r i s t i ci m p e d a n c ei nt h ec a s eo fe u t tc a l c u l a t e st h eu p p e r , l o w e ra n de x t e r i o r 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i l 页 e l e c t r i cf i e l di n t e n s i t yo fd i f f e r e n te u t a tl a s t ，t h ep o l a r i z a t i o no fi n d i v i d u a lm o d e s i nt h et t e mc e l li sa n a l y z e di nf u l lc o n s i d e r a t i o n k e y w o r d s ：f d t dm e t h o d ；t r i p l e t e mc e l l ：f i e l dd i s t r i b u t i o n 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 i 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密口，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名 日期： 指导老师签名： 日期： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 电磁兼容概述 1 1 1 电磁兼容的基本概念及其重要意义 随着电子和电气设备的种类及数量的增加以及电能消耗量的加大，空间各 种电磁辐射越来越强。据统计全世界空问电磁能量平均每年增长7 1 4 。在 有限的空间和有限的频率资源条件下，使用的密集程度越来越大，电磁干扰的 严重性就越来越突出1 1 - 4 1 。 在国家标准g b t 4 3 6 5 1 9 9 5 中，对电磁兼容严格的定义是：设备或系统在 其电磁环境中能正常工作且不对该环境中任何事物构成不能承受的电磁骚扰的 能力。即要求在同一电磁环境中的上述各种设备都能正常工作又互不干扰，达 到“兼容”状态垆l 。 电子系统和电子设备的电磁兼容性要求己成为设计研制时必须予以考虑的 重要技术指标。目前，e m c 己引起人们的高度重视，在电子、通讯、印制电路 板、机电、车辆、航空、航天、舰船、电子对抗等领域得到了广泛的应用1 1 - 7 1 。 1 2 横电磁波传输室系列的历史与分类 l t 2 1 横电磁波传输室的历史 1 2 1 1 平行板线 根据传输线的原理所制造的平行板线如图1 1 所示，图中两板呈锥形过渡 到同轴插座，有良好的匹配性能，平行板线的一端接功率信号源，另一端接匹 配负载，这样在两平行板上基本是t e m 的行波状态。平行板的工作频率随着 两板距离的增大逐渐降低，平行板线可以在很宽的范围内建立平面波场，电磁 能量的利用率高。美国国防部于1 9 6 7 年颁发的m i l - s t d 4 6 2 标准的r s 0 4 报 告中，最早规定了用平行板横电磁波传输室作为1 4 k h z 3 0 m h z 的辐射敏感度 测量设备。并且平行板线还可做为场模拟器进行瞬态场实验。但是当平行板距 离d 与传输信号的四分之一波长相比拟时，平行板在敞开的侧面将产生强烈的 辐射，影响周围其它测量设备的工作，甚至危害实验人员的健康，另外受上限 工作频率的限制，平行板线只适合小型设备的e m c 测试，从8 0 年代起，人们 己经采用横电磁波传输室( t e mc e l l ) 来进行电场敏感度实验。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 图1 - 1 平行板结构示意图 1 2 1 2 横电磁波传输室( t e mc e l l ) 1 9 7 1 年，美国空军航天航空学校( i a s k a g a s l 8 1 为无线电医学研究而研制了 横电磁波传输室，其结构如图1 2 所示。它实际上是一种同轴线的变形，即将 同轴线的外导体扩展为矩形箱体，内导体变为扁平芯板，它包括主段、过渡段 和同轴插座，主段横截面呈正方形或矩形，两端逐渐减小形成锥形过渡端，与 标准同轴插座相接。当其终端接以宽带匹配负载，始端馈以高频电磁能量时， 传输室内就建立起均匀的电磁波。为了扩大测试空间，1 9 7 8 年c r a w f o r d 又提 出了内导体板偏置的非对称横电磁波传输室1 1 0 1 ，如图1 3 所示。 一一 图l - 2 对称横电磁波传输室的二维图 图1 3 非对称横电磁波传输室的三维图 c r a w f o r d 在1 9 7 4 年给出了横电磁波传输室内电场分布的实验结果 1 9 1 ，y a s u h i r ot a n a k a 等采用了边界元法对横电磁波传输室中锥形过渡段和主段 中特性阻抗和电场分布进行了分析 1 1 1 ，1 9 9 3 年蔡小丁取高次幂逼近，给出了新 的特性阻抗公式和电场分布1 1 2 1 。d a ss i s i r k i ”l 研究了非对称的横电磁波传输室 中内导体板的位置和尺寸对传输室特性阻抗和场分布的影响，d t a m i c o t “】研究 了介质球放入传输室后的场分布，并与自由空间的场分布进行了比较。 横电磁波传输室在所有频率上除了传输t e m 模以外，还有一系列的t e 。 模、t m 。模高阶模式。对横电磁波传输室应用的主要限制是高阶模式和谐振 模式的出现会破坏传输室内场的均匀性。1 9 8 6 年r f w i l s o n 和m t m a t ”专门 研究了横电磁波传输室内9 个商阶模的截止频率。w e i l 和g r u n e r 【l 卅等指出对于 z 0 = 5 0 q 横电磁波传输室，如果a b 1 9 4 ， 第一高阶模则可能是t e 。模。h i l l t ”1 在实验数据的基础上讨论了横电磁波传输 室内高阶模的谐振频率。j c t i p p e t t ”1 等开创了用自动网络分析仪( a n a ) 测量来 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 判断横电磁波传输室谐振频率的方法，黄志询”卅等对大型室和小型室进行了大 量的测试，并导出了上限可用频率的经验公式。高阶模的频率与横电磁波传输 室的尺寸有关，尺寸越大，横电磁波传输室的上限工作频率越低。对于b 3m 的大型室，它的可用工作频率在1 0 0 m h z 上下12 0 】，为了解决多模谐振频率带来 的“频率上不去”的问题，美国国家标准局( n a s ) 率先在传输室内粘贴吸波材料， 上限工作频率可提高近一倍 2 1 - 2 2 l ，但是由于横电磁波传输室本身结构特点，使 得大型横电磁波传输室工作频率难以达到4 0 卟i h z 以上，这样大大地限制了横 电磁波传输室的应用范围。 1 2 1 3 吉赫横电磁波传输室( g t e mc e l l ) 在横电磁波传输室中，当用简谐信号源激励输入时，在横截面不断扩大的 角锥处会产生高阶模，高阶模能量通过主段后，遇到第二个横截面不断缩小的 角锥状结构，就会产生反射，反射波到另一端后，又产生同样的过程，即产生 谐振，因此横电磁波传输室的工作频率只能到达几百兆赫。1 9 8 7 年，d k o n i g s t e i n 和d h a n s e n 提出了吉赫横电磁传输室( g i g a h e r t z t e mc e l l ) p ”。其 结构如图l - 4 所示，它去掉了横电磁波传输室中的主段和一侧过渡段，避免了 来回反射谐振，吉赫横电磁传输室没有横电磁波传输室中许多拐弯和表面棱， 而是渐变结构，另外采用了分布电阻改善了1 g h z 以下的匹配，在终端采用分 布的尖劈式吸波材料来代替横电磁波传输室中5 0 q 同轴插座，用以保证1 g h z 以上的匹配，因此吉赫横电磁传输室的上限工作频率可达几个g h z 。 1 9 9 1 年，r o b e r t o 等采用t r d 结合“l o c a lm o d e s ”耦合的方法对吉赫横电磁 传输室的场分布进行了分析1 2 6 1 ，y l i u 等采用球面波和独立模式传播理论对吉 图1 - 4g t e m 传输室的三维图 赫横电磁传输室中球面波的特性进行了分析嘲。吉赫横电磁传输室的基本结构 是矩形角锥偏心同轴传输线，1 9 9 4 年黄卡玛用坐标变换的方法计算了吉赫横电 磁传输室内的场分布1 2 8 - 2 9 】。杜正伟求解了对称和偏心的矩形角锥同轴传输线的 特性阻抗的准确表达式1 3 0 - 3 1 1 。k i ms o o h y u n g 等用吉赫横电磁波传输室测试的 辐射敏感度测试值与开阔场地( o p e na r e at e s ts i t c ) 测试值进行了比较p ”，并进 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 行了统计分析。1 9 8 9 年b e l t i n gl e e 公司即推出了3 个型号的商品，美国 e l e c t r o m e c h a n i c s 公司近年也通过获得专利权生产了几种型号的吉赫横电磁传 输室。我国在东南大学的协助下，电子工业部标准化技术研究所在1 9 9 3 年建成 了一个大型的横电磁波传输室1 3 ”。 1 2 1 4 三导体横电磁波传输室( t t e mc e l l ) 吉赫横电磁传输室虽然与横电磁波传输室相比，提高了上限工作频率，但 是在这两种传输室内，电场的极化方向仍然不能改变，因而能提供一个可改变 电场极化方向的横电磁波传输室对生物电予学和微波化学实验显得尤为重要。 1 9 9 3 年，f b l e f e r i n k 首次在瑞士的z u r i c h 举行的电磁兼容国际会议上提出了 三导体系统横电磁波传输室1 3 8 1 ( t r i p l e t e mc e l t ) ，如图1 5 所示，三导体系统横 电磁波传输室的外导体与吉赫横电磁传输室形状一样，也是呈矩形喇叭形状， 不同的是传输室内放嚣有两块相互垂直的导体板，而吉赫横电磁传输室内只有 一块导体板。三导体系统横电磁波传输室内，可以通过改变对内导体板馈源的 激励方式，从而可以改变室内的电场极化方向。x d c a i l 州”等用有限元法分 析了三导体横电磁波传输室内场分布、特性阻抗，高阶模的截止频率等特性， 提供了三导体横电磁波传输室的优化设计方法。 图1 - 5t r i p i e - t e m 传输室的三维图 1 2 2 横电磁波传输室的分类 基于不同的分类方法，小室可分为以下类型： ( 1 ) 根据小室有无完整的外导体，小室可分为开域型和闭域型。最早使用的 平行板横电磁波室就是开域型小室，由于它固有的缺点限制了它不能广泛地使 用。因而，后来出现的小室几乎都是闭域型。这样，由于外导体的屏蔽作用， 隔绝了小室内电磁场与环境电平的相互影响，因而更广泛地应用于各种发射与 敏感度实验。 ( 2 ) 小室还可分为单端口型和双端口型，这是根据小室的馈电端口，或者说 是终端负载的类型来分的。早期的t e mc e l l 两端的锥形过渡段都是通过同轴 端口分别与激励源、集总式宽带匹配电阻连接的，因而是双端口型；而( i t e m 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 c e l l 是分布式匹配电阻加吸波材料，负载端没有同轴端口，只有一个锥形结构， 顶端为馈电端口，所以是单端口型。 ( 3 ) 根据芯板的数量，还可分为双导体型和多导体型。传统的小室都是一个 外导体和一个内导体的双导体型小室：具有两个或两个以上内导体的小室称为 多导体型小室。对于多导体型小室，有意识地改变激励的幅值和相位，可获得 不同极化方向的电磁场。 针对以上三种典型的分类方法，本人的研究课题“p l e - t e mc e l l 属于闭 域、单端口的多导体小室。 1 3 本文的选题依据及国内外研究现状 自电磁兼容测试的重要设备，横电磁波传输室系列问世以来，由于具有造 价低、占用空间小、产生的电磁场对外无泄漏、场的频带宽、易于控制以及能 较好地模拟电磁波在自由空间中的传播等优点，使得他们在电子设备的辐射测 试和敏感度测试以及生物电子学领域得到了广泛的应用。 三导体横电磁波传输室( t r i p l e t e mc e l l ) 是t e mc e l l 系列中的新成员， 它区别于传统的t e mc e l l 和g t e mc e l l 的显著特点是其内部具有两块相互垂 直放置的内导体，只需改变芯板的加载情况既能分别获得两个不同极化方向的 电磁场，为测试带来了极大的方便，也可以测量那些不允许翻转、倒置的设备。 同时t r i p l e t e mc e l l 兼具有传统t e mc e l l 和g t e mc e l l 的优点，电场和磁场之 间不但存在着固定的比例，而且与馈入传输室的射频功率或端电压之l 日j 也有固 定的比例关系，很容易计算并实现控制。t r i p l e - t e mc e l l 作为一种性价比优良 的测试设备，对于工程实际具有重要的意义，有广阔的应用i ；i 景。 然而自t t e mc e l l 的概念提出以来，对r r e mc e l l 的理论研究很少，国外 仅有加拿大渥太华大学蔡小丁博士等 3 9 - 4 1 1 做了一些初步的分析。国内对r r e m 室的研究尚处于起步阶段，有关的研究成果还较少，只有东南大学电磁兼容实 图l - 6 用于g t e m c e l l 的e u t 翻转机构 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 验室对其进行了一些研究【7 2 】1 8 s l ，并初步做出了实物，因此有必要对其进行进 一步的理论分析，为 i t e mc e l l 的工程设计以及标准化提供理论依据，这也是 本研究的选题依据。 需要指出的是，除了t r i p l e - t e m c e l l 以外，国内外还出现或提出过许多类 似的设备结构，它们有些是利用附加装置驱使受试设备产生三个正交方向的翻 转，如图1 - 6 所示。 而有些是利用结构本身实现电磁场极化方式转换，避免了转动e u t 的麻 烦，更加方便了某些不适合翻转的e u t 。1 9 9 8 年h a n s e n 等推出了一种新的 小室，称为e u r o t e m 。其横截面仍为矩形，但激励方式与g t e mc e l l 完全 不同， 。“。1 。1 。1 水平饺化电场 图i 7e u r o t e m 室的极化转换( 横截面) 其电力线分布如图1 7 所示。其特点为1 4 2 1 ： ( 1 ) 可以在较小的体积下容纳更大的e u t ，e u t 体积大致相同的条件下， e u r o t e m 的长度只有g t e m 室的一半； ( 2 ) 可以由较小的功率获得较高的场强。 自面图 肜v 卅 一 塑 图1 8 带圆弧形内导体的圆型小室( c i r c l et e m 1 1 ) 2 0 0 0 年，国内有人提出了另一种小室c i r c l e t e m c e l l t 4 3 1 ，如下图1 8 所示。由于采用了可绕中心轴转动的圆弧形内导体，因而只用一块内导体，就 垂直极化电场 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 可产生不同方向的极化电场。参考文献中对它的场分布进行了理论分析，但由 于其结构的复杂性，还没有加工出实物，因此其可行性还有待于进一步的验证， 目前尚处于理论模型阶段。 1 4 本文的主要内容和章节安排 本文所做的研究内容和论文结构安排如下： 第一章：绪论。提出了本论文的研究背景，首先回顾了t e m 系列传输室 的发展历史，讨论了国内外t e m 系列传输室研究现状和发展动态，比较了各 种传输室的优缺点。最后介绍了本文的主要内容和章节安排。 第二章：介绍了时域有限差分方法的基本原理，对算法中的几个重要问题： 时域有限差分法的基本方程，数值稳定性，数值色散，激励源技术，吸收边界 条件进行了详细的讨论。 第三章：介绍了t e m 传输室的基本原理，然后对t e mc e l l 的基本电气特 性包括场分布和特性阻抗进行分析和研究。首先采用有限差分法计算了t e m c e l l 主段横截面的准静态分布，分析了场均匀性随横截面的尺寸，芯板的宽度 以及芯板偏心距离变化的规律。随后采用时域有限差分法计算了t e mc e l l 主 段的三维场分布，并将横截面上的三维场分布与准静态场分布进行了比较，了 解了准静态计算的使用条件。最后，计算了三种不同结构的t e m 小室的特性 阻抗，并将计算值与理论值进行了比较，验证了算法程序的正确性。为计算 t t e mc e l l 打下了基础。 第四章：针对具体的t t e m 小室模型，首先用有限差分法计算了其横截面 在不同加载情况下的二维准静态分布。随后用时域有限差分法计算了空载 t t e mc e l l 主体段的三维场分布，详细介绍了计算参数的选取，边界条件以及 激励源的设置，给出了水平芯板接信号和水平芯板、垂直芯板均接信号的计算 结果。此外。还分毒厅了放入e u t 后对t i e mc e l l 内的场分布和特性阻抗的影 响，计算了不同尺寸e u t 上、下部场强以及表面场强。最后，对r 陋mc e l l 中电磁波各种模式的极化特性进行了详细的分析。以上分析能够为丁r e mc e l l 的工程设计提供理论依据。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 第2 章时域有限差分法的基本原理 2 1 时域有限差分法的基本方程 m a x w e l l 方程是描述宏观电磁现象的一组基本方程，f d t d 从其微分形式， 即旋度方程出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分 运算，这样达到了在定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样离散。 2 1 1m a x w e l l 方程和 g e e 氏网格 着空间是一个无源区域，其介质的参数不随时间变化且各向同性，则 m a x w e l l 旋度方程可写成 日：f 塑+ e r e( 2 1 a ) a e ：一塑一凹 ( 2 1 b ) 研 式中，e 是电场强度( v m ) ，h 是磁场强度( a m ) ，占是介质介电常数( f m ) ，盯 是介质电导率( s m ) ，是介质磁导率( 1 - i m ) ，p 是介质磁阻率( q m ) 。 在直角坐标系中，式( 2 1 ) 可写成如下的标量形式 墼c 3 h y 占堕埘。( 2 - 2 a ) 磅 现劭 塾一旦：s 堕+ 晒。( 2 - 2 b ) 出由谢 7 0 h y 一堡：占堕+ e r e( 2 c ) 礅西讲, 2 等一鲁= 叫孕o t 一烈 池z d ， 卯 c 2 警一警= 一警一码 c 2 ， 出舐研 7 拿一孕=一孕一pn,ox o y o t ( ： 这六个偏微分方程是f d t d 算法的基础。 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 1 9 6 6 年，k s y e e t “i 建立了如图2 1 所示的空间网格，即著名的y e e 氏 网格，并引入了如下的差分方法对上述六个偏微分方程进行了差分离散。 i ，p l 。k + 1 ) o ，j ，k + 1 ) 二二，土一： ( 1 + 1 j + l ，k ) 7 e z l 日 i 乍 i y ( i + l ，j ，k + 1 ) ( j + l ，上k ) 图2 一ly c e 氏网格及其电磁场分量分布 令f ( x ，y ，z ，t ) 代表e 或h 在直角坐标系中任一分量，在时间和空间中的离 散表示为 f ( x ，儿z ，t ) = f ( i a x ，j a y ，尬，n a t ) = f ”( f ，j ，七) ( 2 - 3 ) 式中，缸、缈、比分别是长方体网格沿x 、y 、z 方向的空间步长，a t 是时 间步长，i 、j 、k 分别是沿x 、y 、z 方向的网格编号，n 是时间步数。对f ( x ，y , z ，t ) 关于时间和空问的阶偏导数取中心差分近似，具有二阶精度，即 翌掣：竺生芝塑堋埘】。2 擎掣：竺! 尘= 竺塑堋缈) 2 】( 2 - 4 b ) a y z x y 掣攀：竺竺毒塑1 蜊耐】( 2 - 4 c ) 掣：_f”+2(i,j,k)-f-i2(i,j,k)+01(，)2】(2-4d) 西& 。 在f d t d 离散中，电磁场各分量的空间分布如图2 - 1 所示。由图可见， 每个电场分量有四个磁场分量环绕，每个磁场分量有四个电场分量环绕。这种 印一 一 一l 荟 一 j朋 一 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 电磁场分量的空间抽样方式可以自然满足f a r a d a y 电磁感应定律和a m p e r e 环路积分定律，各分量的空间相对位置也适合于m a x w e l l 方程的差分计算， 能够恰当地描述电磁场的传播特性。同时，电场和磁场在时间上交替抽样，抽 样时间间隔相差半个时间步，使m a x w e l l 旋度方程离散以后构成显式差分方 程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进行矩阵求逆运算。因此，由给定 相应电磁问题的初始条件，f d t d 就可以逐步推进地求得以后各个时刻空l 日j 电 磁场的分布。 2 1 2 直角坐标系中的f d t d 离散方程 1 先看式( 2 - 2 a ) 设观察点( x ，旧为e 的节点，即( i + j ，k ) ，以及时刻 二 1 t = ( 歼+ ) f ，于是，式( 2 2 a ) 可离散为 喇咖妁竺生掣 一扣，竺生掣 ! 亟：生竺蔓：生! 。5 8 缈 日( f + 弘1t + j 1 ) 一7 2 ( f + 砂1 七一言) 在上式中用到了平均近似，即 ，2 ( ，+ 三_ 耻壁：乏竺：竺堕：竺 像，b ) 联“2 ( f + 去，歹，) = 王i l ( 2 - 5 b ) ( 2 5 a ) 式整理后可得 西南交通大学硕士研究生学位论文第”页 e n + l ( f + j 1 ，后) = 翻( 叮) 彤( f + i 1 ，_ ，七) 竺尘掣弦s 。， 一! 竺墨! ：垫二竺竺趋! 二垫 同理，分别以( f j + 寺，k ) ，( f j ，k + ) 以及时刻r = o + 寺1 ) f 为观察点，式 1 ( 2 - 2 b ) 和( 2 - 2 c ) 可离散为 彤“( f ，+ i 1 ，j i ) = c a ( 7 7 ) 彤( f ，_ ，+ i 1 ，_ j ) 删玎) 塑丛生媸协；d ， 一竺竺i ：! ：垫二竺：! 二圭：! ：坦 a x 彰“( j ， 七+ j 1 ) = c a ( 礼f ( “，七+ 争 + c 8 仞) l 竺竺墨! ：芝二竺竺乏竺皇 研2 ( f ，+ 1 + 乏1 ) 一研“2 ( f ，_ ，一尹1 + ；) 式中的系数 盟一a ( r 1 ) a ( 玎) 2 觋a t 2 f 2 ( 2 - 5 e ) ( 2 5 f ) ( 2 - 5 9 ) 其中，7 总是与等号前面各场分量的标号一致。以上( 2 5 c ) - ( 2 - 5 e ) 式为f d t d 法中 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 匾- lj # ，设观察点( x ，y ，z ) 为墨的节点，即( 1 扩o i 1 ，k 十i 1 ) ，以及时刻 = n a t ，于 1 是，式( 2 2 d ) 可离散为 艇砖竞+ 争竺生蔓；燮 +p(，+丢，后+三)!”12111：二1i!：至i：；：二l2型11 ( ：，h ) 影( f ，+ ；，后+ 1 ) 一e ；( i ，+ 寻，七) e ；( _ ，+ 1 ，七+ i 1 ) 一e t q ，_ ，七+ 导) = = - - - - - - - - - ：! 二- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - j = 二- 一一- - - - - - - - - - - - - - - - 二! ：- - - - - - - - - - - - - - ：，_ 整理得 彤“2 ( “+ j 1 ，七十j 1 ) = c p ( 班日町+ j 1 ，女+ 圭) - c , i 竺：! ：! ：! ：i ! 二竺：! ：! 望( 2 - 5 i ) 气厂一 彤( f ，+ 互1 ，七+ 1 ) 一蟛( j ，- ，+ j 1 ，七) 类似地，分别以( f + 丢j ，k + j 1 ) ，( i + 2 j + j 1 ，k ) 以及时刻f ；”出为观察点，式 ( 2 2 e ) 、( 2 2 f ) 可离散为 彬n + l ，2 ( f + 砂1 七十j 1 ) = c e ( n 7 2 ( f + 砂1 露+ 争 删f 竺过霉 协习， 一竺竺毯a x l 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 掣7 2 0 + j 1 ，+ i 1 ，七) = c p ( r p ) 7 2 ( f + j 1 ，+ j 1 ，七) 一c q f 坐羔：塾二坐! ：迎( 2 - 5 k ) 一c q ( 玎 i l 式中的系数c p ( ，7 ) 和c o ( u ) 分别为 ( 7 7 )户( 印) c p ( 玎) 。而a t 乃两2 ( 2 - 5 1 ) 。岔72 。 c q ( 吁) 2 而广1 万丽 2 - 5 m a t 2 同样的，其中的r 也总是与等号前面各场分量的标号一致。以上( 2 5 i ) ( 2 5 k ) 式为f d t d 法中磁场的时i 丑j 推进计算公式。( 2 - 5 e ) 、( 2 - 5 d ) 、( 2 5 e ) 、 ( 2 5 i ) 、( 2 5 j ) 、( 2 - 5 k ) 六个式子即为f d t d 的一组基本的计算公式。 2 2 数值稳定性 在f d t d 中，时问步长和空问步长不是相互独立的，它们的取值必须满 足一定的关系，否则会造成数值结果不稳定。这种不稳定性表现为在解式( 2 5 ) 的差分方程时，随着时间步数的增加，各电磁场分量的数值也将无限制地增大， 其原因不同于误差的积累，而是由于电磁波传播的因果关系被破坏而造成的。 为了确定数值解稳定的条件，必须考虑在f d t d 算法中出现的数字波模， 基本方法是把有限差分式分解为时间和空间的本征值问题。由于任何波都能展 开为平面波谱的叠加，因此，如果一种算法对一平面波是不稳定的，那么它对 任何波都是不稳定的。所以，只需考虑平面波本征模在数字空间中的传播，这 些模的本征值谱由数字空间微分方程来确定，并与由数字时问微分方程确定的 稳定本征值谱比较。按要求，空间本征值谱域必须全包含在稳定区间，以确保 这种算法中所有可能的数字波模是稳定的。基于这些原理，a t a f l o v e 和m e b r o d w i n 早在1 9 7 5 年就对y e e 氏差分格式的稳定性进行了讨论，并导出了对时 间步长的限制条件，即 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 f 111 ( 2 6 ) 式中，v 一= ( 1 掣) 一为介质中的最大电磁波传播速度。式( 2 6 ) 给出 了f d t d 中时间步长和空阃步长之间应当满足的关系，这就是f d t d 的数值 稳定条件，又称为c o u r a n t 稳定性条件。在实际计算中，一般取 a t = m i n ( a x , a y ，a z ) ( 2 v d 。 2 3 数值色散 用差分法对m a x w e l l 方程进行数值计算时，将会在计算网格中引起数值 波模的色散，即在f d t d 网格中，数值波模的相速与频率有关。这种关系由 非物理因素引起，随数值波模在网格中的传播方向以及离散化情况不同而改变。 这种色散将导致非物理因素引起的脉冲波形畸变、人为的各向异性和虚假折射 等现象。 击咖2 降) = 击s m 2 降) + 击咖2 ( 竽 + 击咖2 降) 岱乃 上式是三维情况下单色平面波的数字色散关系式，式中t 、k y 、t 分别是 波矢量沿x 、y 、z 方向的分量，( 0 是角频率，c 是被模拟的均匀介质中的光速。 与数值色散关系相对应，在无耗介质中的单色平面波，解析色散关系为 c ) 2 = + e 十 ( 2 - 8 ) 由式( 2 7 ) 可知，当缸、a y 、& 和，均趋于零时，它就趋于式( 2 8 ) 。这 说明数值色散是由予用近似差分替代连续微分而引起的，而且在理论上可以减 小到任意程度，只要此时时间步长和空间步长都足够小，但这将大大增加所需 的计算机存储空间和计算时间，并使累积误差增加。因此，在实际计算中要根 据问题的性质和计算机的软硬件条件来选择合适的时间步长和空间步长，一般 选取最大空间步长。 丸。2 0 ，砧。是所研究范围内的最小波长。同时也说明 了数值色散的影响在f d t d 中是不可避免的，只能尽可能地减小。 2 4 激励源技术 ( 1 ) 谐波入射情况一求解稳态问题 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 当需要了解入射平面波为某一频率的时谐波电磁场的传播性质时，入射波 一般随时问作周期性变化，所需要了解的是电磁场传播达到稳定后的效果这 是有关稳态电磁场问题，时域有限差分法应用于稳态问题时也能取得很好的效 果，此时对波源的要求是模拟的波源不应产生过大的计算存储和虚假反射。对 于三维空间，可在z = 2 s ( | = 七。) 处设置波源，激励面上各网格点的场值为 f ( j ，j ，k ，) 卜e os i n ( 2 月f n a t ) + 彤( f ，j ，k ，) ( 2 - 9 ) 其中厂为入射平面波的工作频率，疗为时间步数。上式将入射正弦的值与 差分方程得到的值相加，再存入存储器中。随着时间步数变化的正弦波场值模 拟一个平面波的生成、传播，直到整个领域的每个空间达到稳定为止。 ( 2 ) 脉冲波入射情况一求解瞬态问题 要获得宽频带的响应特性时，则入射波采用含有较宽频谱的脉冲信号，此 时将上述式( 2 - 9 ) 正弦信号换成为其波形符合所需模拟入射平面波脉冲时变信 号即可。场区中将获得一个沿一定方向传播的脉冲平面波，场值将随脉冲信号 的变化而变化，此时差分格式迭代的次数主要取决于入射脉冲的波形，尤其是 脉冲后沿持续的时间。 由于高斯脉冲有较宽的频谱，具有频谱变化缓慢且平缓又比较陡峭的截止 特性，适合用作入射脉冲源，它随时阃的变化规律为： f ( t ) = e x 一掣 亿 它的f o u r i e r 变换式为： 即，= 厨e x p l t t 2 c 0 2 协 g a u s s 脉冲的频谱函数与它的原函数一样是g a u s s 形曲线，其中t 为f ( t ) 的值 由最大值降为e 1 “= o 7 8 时之间的范围。 2 5 吸收仂界条件 f d t d 是在计算机的数据存储空间中对连续电磁波的传播过程在时间过 程上进行数字模拟。在电磁场的辐射、散射等问题中，边界总是开放的，电磁 场将占据无限大空间。但是，计算机的内存总是有限的，只能模拟有限空间， 所以，计算空间将在某处被截断。从f d t d 差分方程可以看出，截断边界面 上切向场分量的计算需要利用计算空间以外的电磁场分量，因此f d t d 差分 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 方程对这些场分量失效。如何处理截断边界上的场分量，使之与需要考虑的无 限空间有尽量小的差异，是f d t d 中必须很好解决的一个重要问题。实际上， 这是要求在误差可允许的范围内，计算空闻中的外向波能够顺利通过截断边界 面而不引起波的明显反射，使有限计算空间的数值模拟与实际情况趋于一致， 对外向波而言，就像在无限大空间中传播一样。所以，需要一种截断边界网格 处的特殊计算方法，它不仅要保证边界场计算的必要精度，而且还要大大消除 非物理因素引起的波反射，使得用有限的网格空间就能模拟电磁波在无限空间 中的传播。但是如果处理不当，截断边界面可能造成较大反射，构成数值模拟 误差的一部分，甚至可能造成算法不稳定。 加于截断边界场分量的、符合上述要求的算法就称为吸收边界条件。 2 5 1g m u r 的一阶和二阶吸收边界条件 考虑齐次波动方程 箕+ 馨+ 箕一三箕：0 ( 2 1 2 ) 锄2 锣 o z 2 0 t 2 式中，厂代表直角坐标系下任一电磁场分量。 b e n g q u i s t 和a m a j d a | 驯利用偏微分算子对式( 2 1 2 ) 作因式分解，并分 别取其t a y l o r 级数展开式中的第一项和前两项近似，导出了适合直角坐标系 下f d t d 吸收边界条件的单向波方程，这就是e n g q u i s t - m a j d a 吸收边界条件。 设三维长方体f d t d 区域0 x a ，0 y b ，0 z ，这时有六个截断边 界，其一阶和二阶解析吸收边界条件的具体形式见表2 1 。gm u r ”1 对表中的 吸收边界条件引入了一种简单有效的差分数值算法，即对时问和空间的偏微分 取二阶中心差分近似，将单向波方程离散化，便形成了著名的gm u r 的一阶 和二阶吸收边界条件，其总体虚假反射在1 5 。 根据y e e 氏网格的特点，在f d t d 截断边界面上只有电场切向分量和磁 场法向分量。以x = o 界面为例，此界面仅有日。，昱。和e ，三个分量。由于f d t d 中日。的计算不涉及x 0 的区域，即不需要截断边界界面外的场分量，所以， 吸收边界条件将不考虑日。，而只考虑电场切向分量e ，和e ：。以e ：为例，对一 阶和二阶吸收边界条件分别有 ，月1 盎、 l 鼍一二兰眨l ，= 0 ( 2 1 3 a ) b 岳专弘