（应用数学专业论文）小波分析及其在时间序列中的应用.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 摘要 小波分析是目前数学和工程界讨论晟多、最广的课题之一。作为一个 新兴的数学学科，其包含了丰富的数学内容，并具有广泛的应用潜力，已 成为许多学科和工程的一个有力的研究工具。因此，详细讨论小波理论， 进一步探讨它新的应用具有很大的理论意义和实用价值。 近年，统计学家已将小波方法引入到统计领域，使得统计学的研究在 很多方面取得重大突破。在非参数估计中，传统的统计方法总假定所要估 计的函数具有一定的光滑性，但是利用小波方法后使得这一条件大大放宽。 本文将小波方法应用于时间序列中，主要解决变点的识别和回归函数的非 参数估计问题。 本文主要侧重小波变换对奇异信号的研究，得出了结论：在检测奇异 信号中，小波函数必须是某一平滑函数的一阶或二阶导数且具有较好的正 则性或紧支性：尺度选取要合适。在构造了满足这一特性的小波函数后， 利用小波变换对回归函数的变点进行了估计，给出了变点个数，位置及跃 度的是个相合估计，并得到了验证。本文模拟了不同信号进行研究。 变点识别是统计研究的一类重要问题，在通常情况下，变点预示着所 研究的对象的某种突变性。变点存在某种程度的奇异性，利用小波方法对 回归模型的变点问题进行了研究，比传统核函数方法更为简单、直观。 关键词：非参数回归；变点；小波分析；相合估计 瓣褰交逶夫学磺壹磅变生学位论文繁l 戮 a b s t r a c t t h ew a v e l e ta n a l y s i si so n eo fm o s te x t e n s i v e l yd i s c u s s e dt o p i c s i nt h es c i e n t i f i ca n dt e c h n i c a l c o m m u n i t y a sa n e m e r g i n g m a t h e m a t i c a lb r a n c h i te m b r a c e sr i c hc o n t e n t si a i ta n dw i t hi t s p o t e n t i a lw i d e l ya p p l i c a t i o n s 。 th a sb e c o m eam o s te f f e c t i v et o o l f o ra l m o s ta 1 1s u b j e c t sa n de n g i n e e r i n gf i e l d s i ti ss i g n i f i c a n t i nt h e o r ya n dp r a c t i c a li nv a l u et od i s c u s st h ec o n t e n t so nw a v e l e t t h e o r yi nd e t a i 1a n de x p l o r eit sn e wa p p li c a t i o n s r e c e n t l y ，w a v e j e ta r i a 】y s i sh a sb e e ni n t r o d u c e din t os t a t i s t i c s a n dc a u s e da g r e a tc h a n g e i ns t a t i s t ic a lr e a r c h t r a d i t i o n a l n o n d a r a 拜l e t r i ee s t i m a t i o no nc e r t a i na s s u m p t i o n sa b o u tt h es m o o t h n e s s o ft h ef u n c t i o nb e i n ge s t i m a t e d w i t hw a v e l e t s ，s u c ha s s u m p t i o n sa r e r e l a x e dc o n s i d e r a b y h e r e ，w ou s ew a v e l e t st oi d e n t i f yc h a n g ep o i n t s a n de s t m a t ef u n c t i o n si nt i m es e r i e s i nt h i sa r t i c l e ，w oe m p h a s i z ep a r t i c u l a r l yo nr e s e a r c ho f w a v e l e tt r a n s f o r mt o s i n g u l a rs i g n a l ，a n da n a l y s e t w ok i n d so f s i n g u l a rp o i n t s w ed r a wac o n c l u s i o n t h a t i nt h ed e c t e c t i o no f s i n g u l a rs i g n a l ，w a v e l e tf u n c t i o n m u s tb ea1o r2o r d e ro fd e r i v a t i v e o fal u b r i c i t yf u n c t i o n ，a n dh a sr e g u l a r i t ya n dc o m p a c t l ys u p p o r t s e t t h es c a l ei sa p p r o p r i a t e ，t h ee s t i m a t e o r so fr e g r e s s i o ng i v e n b yw a v e l e t sa r ec o n s i s t e n t ，a n dh a v eb e e np r o v e d s i m u l a t i o n ss h o w t h a tw a v e l e tm e t h o di se f f e c t i v e d e t e c t i o no fc h a n g ep o i n t si sak i n do f i mp o r t e n tp r o b l e m si n s t a t i s t i c a r e a c o m m o n l y ，t o s o m ee x t e n t ，c h a n g e p o i n t i n d i c a t e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 ii 页 a b r u p t c h a n g eo fo b j e c t ，a n dh a ss i n g u l a r i t y i nt h i sp a p e r ，w e p r o p o s eam o t h e df o rt h ed e t e c t i o no fc h a n g ep o i n t si nr e g r e s s i o n g m o d e lb yw a v e l e t s t h ism o t h e di sd i f f e r e n tf r o mt r a d i t i o n a lk e r n e l e s t i m a t e t h ep r o c e d u r ei ss i m p l ea n di n t u i t i v e k e yw o r d s ：n o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o n ；c h a n g e p o i n t ： w a v e l e t a n a l y s is ：c o n s i s t e n te s t i m a t e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 小波分析简介 第1 章绪论 小波分橱的起源可以追溯到2 0 世纪胡期，但其理论的成熟却在2 0 世 纪弱8 0 霉代，9 0 年代耪又这到了一个辑究静高酶。建纯粹数学家移工程 技术专家分别独立掇出的。其成熟的理论是1 9 8 6 年以来由 y m e y e r ，s m a l l a t ，以及i d a u b e c h i e s 簿一批学者的工作而迅速发展起来 的，它是一f j 应用性攫强瓣数学科学，它是博立时分掇发震史上的一个里 程碑。一方颟，小波分析w 以看成是泛函分析、f o u r i e r 分析、调私分析、 数值分析这嫂领域最完美的结晶：另一方面，它可以用于广泛的信号处理、 图象处理、墩子场论、她簇预报、语啬识别、雷达、故障诊断与般控、股 泰分褥等众多嚣线淫辩学暇城。蠢羹上漭，足是转绞上栽霞焉f o u r i e r 努橇 的地方就可以用小波分析寐代替。 小波分析在时频方蹴具有良好的局部化特性，克服了f o u r i e r 分析的 不足，嗣时巍予它对高频成分采 爵l 逐澎精细静辩域步长，姨嚣可以聚焦到 信号的任意缓节，因诧小波分轿其有数学显徽镜的荚称。f o u r i e r 分耩是一 种频谱分析，能揭示信号的频谱结构，f o u r i e r 系数怒信号在整个时间域上 的加权平均。不能反映局部性质，尽管艏来g a b o r 引入的窗口f o u r i e r 变换 戆弥耱f o u r i e r 交换载不爨，毽没骞授零解决运题。 小波分车斥的思想来源于平移和伸缩。1 9 1 0 年a l f r e dh a a r 利用平移的思 想构造的规范正交基是最早的小波基。1 9 3 8 年l i t t l e w o o d p a l e y 建立了l p 壤论，即提如了按二进制频率成分分缎的耀位变化本质上不影嘲黼数熟形 状巍大，j 、。藏有直接影嘀静是7 0 年 弋，警时a 。c a l d e r o n 表示定璞的发现， 奇异积分算予理论的建立和对h a r d y 空间的原子分解及无条件基的大量研 究为小波分析的诞生提供了理论上的凇备。1 9 8 1 年s t r o m b e r g 进行了改进， 涯襞了夺波飘数懿存在。1 9 8 4 年洼国媳矮学家o f l e | 在分援建震镕号豹局 部性时，首次引入了小波。对信号进行分解，并取褥成功。第一个真正的 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 小波基是y m e y e r 在1 9 8 6 年强疑，l 、渡鏊戆存在挂熬露对秘造文采戆，嚣 年和l e m a r i e 提出了多分辨分析的愚憋：后来l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立 地给出了具有指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年s m a l l a t 巧妙地将计算机视觉 领域中的多尺度分析豹思想引入到小波函数的构造及信号按小波变换的分 解饔重梅串，麸嚣统一了魏藩s t r o m b e r g 、y m e y e r 、l e m a r i e 秘b a t t l e 等 人提出的小波分析的构造，并将m a l l a t 算法有效地_ 暾用到图象分解与重构， 至1 9 8 9 年s m a l l a t 和y m e y e r 建立了构造小波基的通用方法，即多尺度 分毒露。1 9 8 8 年l + d a u b e c h i e s 在萁逢文吲中麴造了其蠢有疆支撵繁熬芷交枣 波基，被视为小波分析缀热的纲领性文献；1 9 9 0 年槎锦泰和王建中构造了 基于样条函数的单正交小波函数并讨论具有最好局部化性质的尺腹函数与 小波函数。1 9 9 1 年，a l p e r t 翻r o i d a l i n 构造了r ( f 2 ) 个尺度函数，每个尺 度函数都是支撵在f o ，l 】上敬r - 1 次多颈式。这样雾小波理论出蠛了。1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人基于r 重多分辨分析，建立了多小波的基本理论框架， 势绘出了多小波的例子”7 1 。近年来商维小波理论，矢量小波及小波分帮亍的 应用正成秀许多研究人烫掰关注。 1 2 时间序列分析中变点问题 变蠡藏怒“援壅孛菜个藏菜些量怒突然交强之淼”。在交点阕麓中，有 一系列观察德( 样本) ，按出现时间的先后顺序排列，着在某个未知的时刻， 样本的分布特征或其它数字特征起了突然的变化，这个时刻就悬变点。随 投变量分禽豹变纯主要表璇为分靠函数( 或密凄函数) 参数垂勺交他，跑如 期望与方蓑簿。 在统计举中，变点问题是一门较新的课题，特别是近= 十年爿乏，变点 问题的研究在理论和应用等方西都有了快速的发展，在理论上，已有了一 系歹l 鞍为袋熬麓结鬃，黧：c s o r g o a n dh o r v a t h ( 1 9 9 7 ) 豹专萋“l i n i tt h e o r e m s i nc h a n g ep o i n t sa n a l y s i s ”，( 变点分析的极限理论) 就是对这一领域近二 十年来理论研究的总结。变点理论是统计推断的中心问题之一，由于变点 随题零鬻涉及至捐 独立隧槐变量豹分蠢瓣题，处理越来比较难，掰以这个 问题在理论上研究起来难度很大，有撬战性，常丽来缝理交点淘鞭於方法 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 主要为：极大謇鬟然法，爨小二乘法，黪参数方法，b a y e s 方法鞠孩售诗方 法等等。 现在变点问题的研究璺现多种层次，关于参数的变点，常考虑总体均 值和方差的变化情况，以及变点的统计推断，考虑饿嚣，尺度参数模型中 参数交点豹缓诗接繇。关予分京交点，秘躅菲参数方法或其缝方法绘蹬交 点的检测和估计( 点估计和区问估计) 。就观察值之间的关系来说。主要研 究相互独立的样本或相依样本的变点问题。总之，爨点理论研究涉及了统 诗理论的众多内容积研究方法，结合了统计控割理谂，估计理论，骰设检 验理论鞠b a y e s 等瑾沧，楚统计推断中的j 常青璎论慧义的研究分支。 在应用方面，变点问题不但在早期的应用领域工业自动控制中有 大量的实际成用，现在已发展到在许多领域都有应用，象经济学、金融学、 医学窝气象掌等方嚣都鸯丈量懿实骣骛豢。霾藜，溅蠢一些关予交赢运题 研究状况的专著和综述镶文献。 近年来小波分析作为个新的数学分支正发展越来了。由于熟在时域 鄹频方面同辩具有良好的弱部化特性，缀受人们的帮昧。很多绞诗学家正 试图鞋小渡为工其，缝合统计学中静方法震开交燕方嚣静臻究，其中鞋 w a n g ( 1 9 9 5 ) ，谢衷洁和栾贻会( 1 9 9 5 ) 为代表，将小波方法用于断点和尖 点识别，得到令人满意的结果。 3 本文的生要工作 本文在简述小波分析理论的基础上，对小波分析在时间序列分析中的 变点的进行了研究，主要暌做的工份如下： 1 ) 篱述了小渡分聿厅靛蒸本理论和时潮序碟分辑巾鹣变点阔麓； 2 ) 利用小波分析对奇异点的检测遴行了理论分析并进行了实例模拟； 3 ) 验证畿点在小波变换下能够被梭测出来并且烙相含的； 4 ) 绘崮涎令实镄著迸瑟了摸毅研究。 西南交通大学硕士 i f 究生学位论文第4 页 第2 章小波分析理论介绍 2 。1引 富 长期以来信号的分析趋建立在博立时变换的基础之上，傅晕叶变换一 真是信号处理领域中应用最广泛的一种分析手段，麒基本思想熙将信号分 解成一系列不同频率的逡续正弦波的叠加，从另一个角度来说是将信号从 辩瓣壤转换翻频率蠛，箕程频域警酌定位是完垒壤臻静( 都额城分辨率最 高) ，而在时城内无任何定位性( 或无分辨能力) 。傅立叶分析使用的是一 种全局的变换，即要么在时域要么在频域，但其无法表达信号在时频 域豹局部僚爨，两时颇蜀域性质埝埝是裴平稳绥号最根本翻最关键的 褴质。为此人们对傅立时分析进行了擒广，提出了一系列的理论：短时傅 立叶变换( s t f t 也叫窗口傅立叶变换) 、时频分析、g a b o r 变换、 r a n d o n w i g n e r 变换、分数博立叶变换、小波变换、线性调频小波变换等。 葵中，短瓣臻墼咛交换秘小渡交换是在传统懿薅萋畸交接不l 游避信号楚 理的要求而产生的。 短时傅里叶变换分析的基本思想怒：假定非平稳信号在分卡厅窗函数 g f ) 载一个鲢时闽捌疆内楚乎稳的，势移动分鞭塞滋数，爱f ( t ) g ( t b ) 在 不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱， 从本质上看，短时傅里叶变换是一种荤分辨率的倍号分析方法，因为其 爱赁一拿霾定稳短霹窑函数啪l 。 短时傅罩叶变换虽然在一定程度丘克服了标准傅里叶变换不其有局 部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数窖( f ) 确 定詹，矩形豁口鲍形状就确定了，f ，甜只能改变窑翻在葙_ 平面上舱位鬟， 而不能改变衡的形状。商巾一分辨率的分析，若骤改变分辨率，则必须 羡新选择窗瞒数。s t f t 用_ 柬分析平稳镲号犹可，但对非平稳信号。在信号 滚彰交诧裁熬豹薅刻，主续建裹菝，要袋有较裹斡蠢瓣分瓣率( 熬艿要，l 、) ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 亵波形变纯魄较平缓载嚣事翔，主频是甄频，刘要求魄较毫数频率努辨率( 秘 占要小) 。傅照叶变换不黥兼顾两者。丽小波分析方法是一种窗口大小( 即 窗口面积) 固定但其形状可改变，时间窗和频率窗郝可改变的时频局部化 分析方法，潮在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在 菇频嫠分其鸯较裹懿对麓分辨率巍较低瓣菝率分瓣攀，搽嚣歪鬻傣号中美 带的瞬态反常现象并展示矮成分，所以被誉为分析信号的“显微镜”。 2 2 连续小波变换 2 2 1 连续小波变换及其性质 小波( w a v e l e t ) 就是小区域的波，圈2 1 给m 了波与小波 图2 t 波与小波 定义f l 3 l ：设( d 是一个平方积鹃嚣数，瑟矿( ) l 2 ( r ) ，若其f o u l e r 变蝴螨足条件q = 钭 。 t ) 鬓i 称矿( 磅为一个小波母弱数或基本小波，称式( 2 - 1 ) 为小波函数的容许往 条件。将小波母函数( f ) 进行伸缩和平移，其伸缩因子( 又称尺度因子) 为群，平移嚣予为b ，其警移磊豹丞数浚蔻矿。叠) ，粼有： 艚) = a 。0 ( 学) o ，6 联固 ( 2 - 2 ) 称甄。( f ) 为依赖于参数岛矗的小波基函数e 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 定义2 对函数，( f ) r ( r ) ，基本小波y “( ，) 的连续小波变换( 简记c w t ) 用内积形式定义为： 町( 啪) = = 口 邝m 半) a t ( 2 _ 3 ) 其中参数a , b 是以连续形式存在的。 小波变换区别于其它变换的特点没有固定的核函数，但并非任何函数 都可以作小波变换的基本函数。任何变换都必须存在反变换才有实际意义， 因此对小波必须满足以下条件1 1 , 3 ： 允许性若妒( ，) 的f o u r i e r 变换矿( w ) 满足容许性条件( 2 - 1 ) 。用作 基本小波的函数y ( ，) 必须满足：当w = 0 ，4 ( o ) = 0 ；其相应的时域要求 l y ( f ) 疵= 0 ，即：矿( w ) 必须是带通的，且冲激响应( f ) 必存在振荡，使 其均值为零。 正规性主要保证p ( 在频域上表现较好的局部性，要求形( 口，6 ) f 随a 的减少而迅速减少，这就要求妒( ，) 的前n 阶原点矩为零，且n 值越高越 好，这要求： t p ( ，) 西= 0 ， ( p 5 l ，2 ， ) ( 2 4 ) 能量比例性在允许性条件下，小波变换幅度的平方的积分与信号能 量成正比，即 c v , 胍r ) 1 3 出= 。l 町( 口，6 ) | ! 掣a - 其螺= f 钤 0 ，则有瞅岛b ) = 4 2 w f ( a 2 ，b 2 ) ； 内积定理( m o y a l 定理) ：设，( f ) ，g ( t ) r ( 胄) ，( f ) ，g ( t ) 的c w t 分别为 w f ( a ，6 ) ，w g ( a ，b ) t & ff 眵( 群，6 ) = ，豫( 口，6 ) = ， 西南旋通大学硕士研究生学位论文第8 页 剩鸯m o y a l 定理： w f ( a , b ) ，嘲茛风矗) = 乞 ( 2 - 8 ) 其中g ：f 壁譬筻如c m 当弛) = g ( f ) 鲢，有能量荚篆式( 2 - 5 ) 式。 z 2 2 迁缓小汲阳遥戮拱【i g w l j 羞小波激数溃是容诲瞧祭传，裂葜缮在遂交换，繇凝擐绩号鹣，l 、渡变 换系数就可耩确地恢复藤信号，有重建公式： 巾) = 万i 上7 d aj - 。”矽( 口，6 ) ( f ) 锄 - ；古f 箸e 夥6 击( 半) 西 固 焚屺= f 雩虬( 。 2 3 离散小波变换 在实际成蠲中，为了确定有效算法，我们考虑压缩数据及节约计算量， 希望在不丢必原信号信息的情况下，尽嚣减少小波变换系数的冗余度。当 对尺度与平移参数进行适满的离散化话，( 2 2 ) 式就变成： 癌i j 矿【& i 。( t k a j 6 0 拦8 i i 矽【8 i t k b o 】浇淹j ；f ，t , k ( ) 2 一l o ) 其中j = 0 ，1 ，；k z ，在这些点上的小波变换记为： w f ( 群? ，k b 。) = f 瓦和 + ( 2 1 1 ) ( 2 - 1 1 ) 称为离散小波变换。实际工作中若口o = 2 即口= 2 ， 歹= 0 , 1 ，势显嚣闼釉上b = 1 ，鼷b 。= 2 7k ，k z 羧实瑰了 均匀离散抽样，这样形成的小波就是二进小波。 西南交通大学硕士研究生学位 仑文第9 页 2 。3 ， 楗絮毒夺渡攘繁 定义1 1 3 2 1 ：猩h i l b e r t 窳间h 中的一族函数 ) 朋称为一个框架，如果存 在0 重建厂呢? 有下列定理： ( 2 一1 2 ) 定理1 习如果 ) 脚悬一个紧框架，而框架界爿* 1 ，并且若矿，t l = i 对 于所有歹s z 成立，那么 矿， 构成芽的一个正交基。 若一b 时，定义算子r 如下：g = 黟= 仍( f ) e z 粼萁遂运翼凌示盛： ，= g = 一 吼加，】= r 。妒， 础e z 令r “鲛= ( i ) 又可麓成 联系小波变换， ，= 妒( i i i ) ，e z ( i i i ) 变为f = 旷( i i i ) ，1 f z ( i i i ) 秘 啄，；( ，) j ，女g z ( i v ) ( 2 - 1 3 ) 这样的矿m ( f ) ( 或秀) 称为。( f ) ( 成妒，) 的“对偶”小波。对偶小波有 下列性质：谚也构成个框架，其上下界与妒，的上下界成倒数关系： 在一玛b 比较接_ i 聩时- 作为一阶近似，取，。i 毛妒，因而 ，= 去客船艚难 娩_ 1 的 定义2 ：当由基本小波w ( o 经伸缩和平移弓 出的函数族 l y j , k ( f ) = 2 嚆妒( 2 。f 一盘) ； 歹z + ，k z 具有下述性质时： l ， 1 2 - c 2 e i f ，矿。 1 2s 嚣，1 1 2 ，虽o 蠢b o o ( 2 1 6 ) 便称移坩( ，) 斛。舳：构成了一个小波框架，称上式为小波框架条件，其频域 袭示为 搿g i 甲( 2 。w ) 1 2 t 0 o r g 1 2 - ：i r s , 2 协2 。) 离散小波变换具有非伸缩和时移共变性，连续小波变换具有时移共变性； 离散小波变换仍然具有冗余度。 2 3 3 离散小波变换的逆变换 若离散小波序列渺m j 。：构成一个框架，其上、下界分别为a 、口， 当a = 占时( 紧框架) ，则可知离散小波变换的逆变换为 厂( ，) = 矿小( ，) = 专町( ，七) p 肚( ，) ( 2 2 1 ) 当上、下框架非常接近但刁；相等时，取妒h ( ) 2 南少， ( ) 则重构公式近似为 f ( t 卜丢 l 厂妒坩卅( f ) _ 忐丢明工”( ，) ( 2 - 2 2 ) 2 34 二进小波变换 连续小波只在尺度上进行了一i 进制离散，而位移仍然取连续变化，这 类小波为二进制小波表示为 t， y 2 ( 帖2 一i y ( 导) ( 2 - 2 3 ) 二进制小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散 化，而在时间域上的平移量仍然保持连续变化，因此其具有连续小波变换 的时移共变性，这是它比离散小波变换具有的独特优点。 小波函数( ，) 的傅立叶变换为v ( 9 ，若存在二常数0 a b o o ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 使得 a i 甲( 2 w ) 卜b ( 2 2 4 ) 称( 2 - 2 4 ) 为二进小波的稳定性条件；若a = b 称为最稳定性条件。若定 义函数，l 2 ( r ) 的二进小波变换 w f ( 2 t ，6 ) ：巾) + 吩忙2 ；i 巾) p ( 等) 础 ( 2 - 2 5 ) 由卷积定理设w f ( 2 ，6 ) 的傅立叶变换为方( 2 ，w ) ，则 方( 2 ，w ) = f ( w ) 2 一 - e 一”6 a - ( 2 w ) ( 2 2 6 ) 因此由稳定性条件( 2 2 4 ) 等价于厂2 ( r ) 都有 爿岍f l l s e 1 1 w ： ，d m - 厂( ，) ，。( ，) ，令m = 2 后+ 订有下列关系 式： c 肚= = 万 = 瓦_ = 不- 川， ( 2 7 1 ) d h 一，( ，) 删川。 = i = 虿j = 瓦。， ( 2 7 2 ) 以上由( 2 7 1 ) ，( 2 7 2 ) 说明：尺度空间的剩余系数。坩和小波系数d ，。 可以通过，+ i 尺度空间的剩余系数c 。经滤波器系数 。，g 。进行加权求和 求得。而实际中的滤波器，g 。的长度都是有限长的，如紧支集正交小波等 西南嶷通大学硕士酋歼究生学位论文第19 页 或透錾有鞭圣乏弱，翔嚣祭夺波等。努麓避程螽鹫3 麟承，这秘出聱一，。t 。：诗 算仁t 。：、p 巾l 。：称为m a l l a t 塔式分解算法m 1 。 用类似于信母分解的思路不难递推重建过程。 由v t 。l = 一。甄褥 。( ，) = a 。扎( ，) + 屈，矿。，( ，) 邀( 2 - 6 9 ) ，( 2 - 7 0 ) 令k = 2 m 聍鸯 c ，c ， c ，一。 。d 。 。c j 一，舯1 ，一。 醋3m a l l a t 分解算法乐惹潮 q ，= l 谚“t o 厩、。( f ) 加= l 哆。；( z ) i 瓦孑i = ：l 石3 西 = 瓦胁( f 嗣焉：= 而= 一h h 。 同理有声。；互= 闲忿秀“。( ，) = 磊：。( f ) + ；劢。( f ) 由 c j + 埘= = 呵m ，：秀磊。+ ：互云，。 = 嚷一。 + i 醢幽 = 味。o 。+ 芝k 。勤 这就是m a l l a t 重梅算法，如下强4 表示。 ( 2 - 7 3 ) ( 2 7 4 ) ( 2 - 7 5 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 三z 二：7 一l 图4m a l l a t 重构算法示意图 2 6 正交小波的构造 叫cj 由多分辨分析可知，尺度函数( f ) 和小波函数( ，) 满足二尺度方程 利用二尺度方程可以构造出小波函数，通过伸缩和平移就得到整个2 ( r ) 空问的基。如果限定了关系式( 2 - 6 0 ) 的解为g ( w ) = e - s ”, h ( w + 口) ，则由多分 辨分析可唯一地确定小波函数。 2 6 1 由尺度函数构造正交小波基 构造小波函数的步骤如下吣8 1 ： 1 ) 选择( f ) 或o ( w ) 使( f 一七) ) 。：为一组正交归一基。 2 ) 求向”：厅一= 0 ，b o o ，使得对于所有 ( q ) z l 2 ( z ) 都有 a lc + i 2 s | | c 。( f k ) i 2 sb i c 。i 2 ( 2 7 9 ) i 或等价地有：0 ( 2 万) 叫a l 巾( w + 2 1 a ) 1 2 s ( 2 石) - 。b ( 2 8 0 ) ， 这里我们定义4 ( f ) l 2 ( r ) 使得 中4 ( w ) = i 中( w 十2 ，厅) i 3 2 m ( w ) ( 2 8 z ) ， 显然4 ( w ) 满足i 4 ( w + 2 k ) 1 2 = 1 ， ( 2 8 2 ) 即矽“( f k ) 是诈交基，矽“( ，一庀) 也可构成一个 矿，) ，。z 的多分辨分析 框架。 因此可由矽”( f j i ) 入手构造一个正交小波基。 例如：对b a t t l e h e m a rj e 小波系列，在尺度函数为n 阶b 样条时，有 蚋一伪伦( 筹 1 c z s 。， 上式中，n 为奇数时，k = 0 ：n 为偶数时，k = 1 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 | 2 。“斟2 仲留一m m 办：2 m 痧。 ：。笺；产，2 矽。：，一m 一。+ ，；：m 十， 2 8 4 设川妫为一给定的多分辨分析的传递函数，则可以证明h ( 掰) 满足 l ( 妫1 2 + t h ( c o + ，r ) 1 2 = 】 ( 2 8 5 ) 帅) = 击喜即( 2 - 8 6 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 要使和泓) 具有紧支集，只要 h 女) 中只有有限个不为零即可。 设为一自然数，令h ( 彩) ：( 生；二) q ( e - i o , ) 其中g 为一个多 项式，满足： i q ( ) i ：n - t ( 肌 k ) s i n ：t ( 珊2 ) + s i n ：w ( 2 ) r ( 半) k = 0 n厶 这里r 是一个奇次多项式，满足 ( 1 ) 尸( y ) o ，y o ，l 】，( 2 ) s u pj p ( ，) 2 2 ”“ ( 2 - 8 7 其中坳) = 篓( 0 ) y * + y n r ( 2 训对传递函数可以证明其频率| 旬应 h 女) 只有有限个非零，对其对应的尺度函数( x ) 和小波函数 ( x ) 具有紧支集。 当r