（应用数学专业论文）部分线性模型的小波估计.pdf

摘要 自从e n g l e 等人用部分线性模型( p a r t i a l l yl i n e a rm o d e l s ) 来分析电量与日平均 气温之间的关系以来，近二十年此模型引起人们的极大关注p l m 的优点在于，它比 线性模型对变量的解释更为恰当和灵活，并且也可以看作是加法模型维数缩减的一个 起点h a r d l e 等人在最近的专著中对p l m 给出了极好的概括，以及在许多领域的应 用，如金融学，经济学，地理和生物计量学等 目前，小波方法被用来估计p l m 作为小波非参数方法的扩展，此方法可以避免传 统方法对于非参数函数光滑性的要求传统的p l m 的估计方法，如光滑样条估计，核 估计，分段局部多项式估计等，均假设非参数函数满足一定的光滑性事实上，这一假设 并不一定满足 作为p l m 的一种特殊情形，我们首先将从已知的扩散函数得到的不同的阈值函 数成功地用于u n d e c i m a t e dd i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ( 简称u d w t ) 来进行非参数 估计本文采用各种阈值函数的u d w t 对p l m 的非参数部分进行去噪处理，将一些 新的阈值函数用来检验一维信号和二维图像从模拟的结果来看，采用u d w t 的去噪 效果要明显地优于采用d w t 的去噪效果本文还提出了一种新的( p l m ) 小波估计 方法，以便得到更稀疏的表示和较小的方差即，通过极小化余向量的f 2 范数和惩罚非 参数回归函数的小波系数的p ( 1 p 2 ) 范数来估计线性部分的参数p 和非参数回 归函数，( z ) ，并给出了此优化问题解存在的充要条件，从模拟结果可以看出此方法是 有效的 关键词：部分线性模型；小波估计；非参数估计；参数估计 a b s t r a c t t h ei n t e r e s ti np a r t i a l l yl i n e a rm o d e l sh a sg r o w ns i g n i f i c a n t l yw i t h i nt h et w od e c a d e ss i n c et h e i r i n t r o d u c t i o nb ye n g l ee ta 1 t oa n a l y z ei nan o n l i n e a rf a s h i o nt h er e l a t i o nb e t w e e ne l e c t r i c i t yu s a g e a n da v e r a g ed a i l yt e m p e r a t u r e t h ea d v a n t a g eo fs u c ham o d e li st h a ti ta l l o w sa na d e q u a t ea n dm o r e f l e x i b l eh a n d l i n go ft h ee x p l a n a t o r yv a r i a b l e st h a ni nl i n e a rm o d e l sa n dc a nb ea l s os e r v ea sas t a r t i n g p o i n tf o rd i m e n s i o nr e d u c t i o nb ya d d i t i v em o d e l i n g s i n c et h e nt h em o d e l sh a v eb e e nw i d e l ys t u d i e d i nt h el i t e r a t u r e t h er e c e n tm o n o g r a p hb yh a r d l ee ta 1 p r o v i d e sa ne x c e l l e n ts u r v e yo nt h et h e o r y a n da p p l i c a t i o n so ft h em o d e li nal a r g ev a r i e t yo ff i e l d s ，s u c ha sf i n a n c e ，e c o n o m i c s ，g e o l o g y ，b i o l o g y a n ds o o n m o r er e c e n t l y , w a v e l e ta p p r o a c h e sa r ep r e s e n t e df o re s t i m a t i n gap a r t i a l l yl i n e a rm o d e l ( p l m ) t h i sa p p r o a c h ，a ne x t e n s i o no ft h ew a v e l e ta p p r o a c hf o rn o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o np r o b l e m s ，a v o i d s t h er e s t r i c t i v es m o o t h n e s sr e q u i r e m e n t sf o rt h en o n p a r a m e t r i cf u n c t i o no ft h et r a d i t i o n a ls m o o t h i n g a p p r o a c h e sf o rp l m ，s u c ha ss m o o t h i n gs p l i n e ，k e r n e l ，p i e c e w i s ep o l y n o m i a lm e t h o d sa n ds oo n w ew i l lf i r s t l yd e a lw i t ht h en o n p a r a m e t r i cc o m p o n e n t ，as p e c i a lc a s eo fp l m ，b ys u c c e s s f u l l y a p p l y i n gt h ed i f f e r e n ts h r i n k a g ef u n c t i o n sf r o me x i s t i n gd i f f u s i v i t yf u n c t i o n st ot h eu n - d e c i m a t e d w a v e l e tt r a n s f o r m ( u d w t ) s o m en e w l yc r e a t e ds h r i n k a g ef u n c t i o n sa r et e s t e de x p e r i m e n t a l l yo nb o t h o n e - d i m e n s i o n a ls i g n a l sa n dt w o - d i m e n s i o n a li m a g e s e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ed e n o i s i n g e f f e c tw i t ht h eu n - d e c i m a t e dw a v e l e tt r a n s f o r m ( u d w t ) i sm o r ee f f i c i e n tt h a nw i t ht h ed w t t h e n e ww a v e l e tb a s e de s t i m a t o r sf o rp l mi sp r o p o s e d ，w h i c hb e t t e rd e a l sw i t hc a s e do fal e s s - s m o o t h n o n p a r a m e t r i cc o m p o n e n t n a m e l y , b ym i n i m i z i n gt h es q u a r eo ft h e1 2n o r mo ft h er e s i d u a lv e c t o r w h i l ep e n a l i z i n gt h ew e i g h t e d p ( 1 ps2 ) n o r mo ft h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t so ft h en o n p a r a m e t r i c c o m p o n e n tt oe s t i m a t e ( z ) f o ras p a r s e re x p a n s i o n sa n das m a l l e rv a r i a n c e an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o no ft h ee s t i m a t o ri sa l s oo b t a i n e d s i m u l a t i o nr e s u l t sa r eg i v e nt od e m o n s t r a t ee f f e c t i v e n e s s o fo u rm e t h o d k e yw o r d s ：p a r t i a l l yl i n e a rm o d e l s ；w a v e l e te s t i m a t i o n ；n o n p a r a m e t r i ec o m p o n e n t ；p a r a m e t r i c c o m p o n e n t 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 研究生签名：马月椅时间：7 叨扩年乡月枷日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的 全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：弓嗣梅 导师签名：喜= 7 包芝。秒 时间：勿鲫了年乡月勿e l 时间：泖年华月f f - l l 第一章绪论 引用m a n n yp a r z e n 的一句话：“s t a t i s t i c si sl i k ea r ti sl i k ed y n a m i t e ：t h eg o a li sc o m p r e s s i o n ”。 如，在多重线性回归中希望选择最简单的模型来充分的表示数据，从而得到最简练的表达式 回归分析是数理统计中应用非常广泛的统计分析方法之一，是分析数据，探索变量之间关系的 有力工具通过线性回归模型，可以建立了因变量y 与协变量x 之间的一种线性统计关系，然而并 非所有应变量和协变量之间的关系都是线性关系，如果错误地用线性回归模型对数据进行分析，结 果可能不正确现代回归分析伴随着飞速发展的计算机技术，经历了从线性模型到非线性模型，从 参数模型到非参数模型，再到复杂的部分线性模型这样一个日趋复杂的过程，如何建立一个既能够 客观的解释历史数据，又能够较好的预测未来趋势的“理想模型”是广大的统计学者不懈追求的目 标之一 1 1 参数回归与非参数回归 部分线性模型是八十年代发展起来的一种重要的统计模型f 1 2j 由于这种模型既含参数分量，又 含非参数分量，可以概括和描述众多实际问题，因而引起广泛重视为了进一步介绍部分线性回归 模型，我们引入两类回归模型：参数回归模型和非参数回归模型在参数回归模型中，一类最简单且 又十分有用的回归模型是线性回归模型，即假定回归模型有如下的线性形式： u ( z ) = 阮- t - 胁z 1 - t - + 凤镪， 这个模型的特点是：在回归函数中除去有限个参数其余都是已知的由于参数回归模型容易处理，且 对其研究已有相当长的历史，因而已形成了一套成熟的理论和方法参数回归模型的优点是：对回 归函数提供了大量的额外信息( 通常由经验和历史资料提供的) ，因而当假设模型成立时，其推断有 较高的精度但当假定与实际背离时，基于假设模型所作的推断其表现可以很差这种情况促使人 们寻找别的出路 非参数回归则是朝着这个方向的一种努力非参数回归模型的特点是：事先并不假定观测量与 参数之间的函数形式，即回归函数的形式可以是无穷维函数空间的任意一个( 或一组) ，对观测量的 分布也很少限制，因而有较大的适应性其一般模型为 阢= ，( 甄) 4 - i ，i = l ，n ( 1 1 1 ) 目的是估计未知函数，( z ) ，其中z l ，z 2 ，z 矗为x 的观测值，y 1 ，为y 的观测值，岛一 i i d n ( o ，盯2 ) ，f ( x ) 称为非参数回归函数且满足f ( x ) = e ( y x = z ) 非参数回归自s t o n e ( 1 9 7 7 ) 的著名工作【1 l 发表后，其估计已有很多成熟的理论和方法如，局部 多项式估计( l o c a lp o l y n o m i a le s t i m a t o r ) ；核估计( k e r n e le s t i m a t o r ) ；广义的f o u r i e r 技术的扩展；样 条估计( s p l i n ee s t i m a t o r ) ，其中样条估计分为光滑样条( s m o o t h i n gs p l i n e ) 、回归样条( r e g r e s s i o n s p l i n e ) 和p - 样条( p e n a l i z e ds p l i n e ) 补充光滑样条要求节点的个数至少要和观测值的个数一样 多，因此在使用光滑样条时，需要采用特殊的计算方法；回归样条估计是预先对节点进行选取，然后 用最小二乘算法来拟合非线性函数，然而这种方法的缺点是选取节点非常麻烦；p 样条是光滑样条 1 宁夏大学硕士学位论文马月梅：部分线性模型的小波估计 2 和回归样条的结合，p 样条使用幂函数作为样条函数的基并采用岭回归的方法对非线性函数进行最 小二乘拟合 在过去的二十年里基于小波方法的非参数回归也是数据分析的一个基础工具，最早将小波用在 统计中的是a n t o n i a d i s ，g r e g o i r e 和k e a g u e1 2 1 ，他们讨论了一个回归函数的小波估计方法在统计 估计中小波阈值的选择成为关键的一步，d o n o h o ，j o h n s t o n e ( 1 9 9 4 ，1 9 9 5 ) 13 i 一【5 】通过非线性小波压缩 和小波阈值估计非参数回归是占有非常重要的地位的，这种估计开辟了非参数回归估计的新领域， 命名为正交级数法这种方法可以设计快速算法，在实际问题中得到了广泛的应用a b r a m o v i c h 和 b e n j a m i n i ( 1 9 9 5 ) 1 6 j ，o g d e n 和p a r z e n l t l 一【8 】给出了多重假设检验的方法；n a s o n ，( 1 9 9 5 ，1 9 9 6 ) 9 1 一 1 0 1 ， w e y r i c h 和w a r h o l a ( 1 9 9 4 ) 1 1 给出了交叉核实的方法为了得到正则化的参数等 非参数回归模型虽有适应性的优点，但从实际应用来说，尚有它的局限性此外，在模型( 1 1 1 ) 中，各个解释变量对因变量作用的差别往往被忽略这在实际问题对此未提供任何信息时是不可避 免的但若有根据认为某些解释变量对y 的影响较显著时，而使用非参数回归会明显地降低模型的 解释能力 在许多实际问题中，响应变量y 可能与某些指标之间存在线性回归关系，而与另一些指标之间 存在非线性回归关系此时，单纯的建立线性模型或者非参数模型来研究可能是不合适的；在另外 一些问题中，若考虑的非参数模型中的协变量比较多时，会遇到所谓的“维数祸根”问题，常用的非 参数方法通常难以处理，而适当的选取某些协变量作为线性回归部分可以在一定程度上避免“维数 祸根”问题；此外，当一些协变量是离散变量时，如考虑处理效应时，通常的非参数方法也很难应用 这时将离散协变量作为线性回归部分是一种可行的办法由于上述原因，比较自然地将线性回归模 型和非参数回归模型结合起来，形成了“部分线性模型” 1 2 部分线性回归模型及其估计 部分线性模型是e n g l e ，g r a n g e r ，r i c e 与w e i s e ( 1 9 8 6 ) 12 l 提出的一个特殊的回归模型，并用它 们分析用电量与日平均气温之间的关系：他们所用的数据基于4 个城市的月电量的销售y l ，月电价 z 1 ，收入z 2 ，以及日平均气温t 他们建立的关于用电需求的模型是一个月温度t 的函数9 ( t ) 与 一个z 1 和x 2 以及1 1 个月名义变量x 3 ，x 1 3 的线性函数的和，即他们的模型是 1 3 秒= 成瓤+ 9 ( t ) _ x t 口+ g ( ) ， i - - 1 这里g ( t ) 是一个平滑函数 用部分线性模型描述客观实际，更具有灵活性和贴切性，模型既含有参数部分，又含有非参数 部分，在大量的实际问题中，模型的参数部分集中了观测值中的主要成分，非参数部分则可以表示 数值相对不大，但无法模型化的系统性成分，因而不仅有较强的解释能力，而且还能克服系统误差 的不利影响它综合了参数与非参数回归模型的许多优点，既充分利用了数据中的信息，又把一些 信息不充分的变量纳入了模型，是一类具有普遍性和代表性的统计模型，另外，部分线性模型具有 类似于标准线性回归的渐进性质，又比标准的线性模型更具有灵活性，因此，这一模型的重要程度 及可能应用的深度和广度是显而易见的通常情况下，部分线性模型( p a r t i a l l yl i n e a rm o d e l s ，简称 宁夏大学硕士学位论文 马月梅：部分线性模型的小波估计 3 p l m ) 1 5 1 是描述应变量y 与协变量( x ，t ) 之间的关系，表示成 y = x p + f ( t ) + ，( 1 2 1 ) 其中y = ( y l ，) t ，x t = 1 ，z 。) ，假定x 是满列秩，f ( t ) = ( ，( t 1 ) ，一，f ( t 。) ) t ，s = g 1 ，“) t ，p 是未知参数，是随机误差，独立同分布且服从正态分布n ( 0 ，0 - 2 ) 近二十年来对部分线性模型的研究引起了人们极大的关注( 见文献 1 5 1 一1 2 2 j ) 对此模型的研究 有多种方法，主要包括：样条估计方法，核估计方法，分段多项式方法，局部线性光滑法，小波方法等 它们的共同点是先对非参数分量进行处理，从而将部分线性模型变成线性回归模型例如，h e c k m a n ( 1 9 8 6 ) t t 6 1 以及r i c e ( 1 9 8 6 ) 1 3 】提出了使用平滑样条的估计方法，并得到了估计的相合性和渐进正态 性；r o b i n s o n ( 1 9 8 8 ) 1 3 基于对非参数分量用n a d a r a y a - w a n t o n 核估计量基础上构造了一个灵活的卢 的最d x - - 乘估计，在一些正则条件下，他导出这个估计的渐近分布；s p e c k m a n ( 1 9 8 8 ) 2 0 1 提出了核与 最d x - - 乘估计方法，并研究了估计的渐进性质；h a m i l t o n 与t r u o n g ( 1 9 9 7 ) 1 4 1 在部分线性模型中使 用局部线性回归，并建立了参数分量与非参数分量的估计量的渐近分布；m e y e r 等f 2 1 卜【2 8 j 将小波方 法用来估计此模型的非参数部分，并讨论了许多好的性质h a r d l e ，l i a n g 及g a o ( 2 0 0 0 ) 1 1 5 1 给出了部 分线性模型相应估计的综合概括这个模型己经成功地应用于许多领域，如金融学，经济学，地理和 生物计量学等领域 p l m 针对每个变量的作用给出了很好的解释，它是加法模型的一种特殊情况之所以提出 p l m 的一个原因在于p l m 和一个完全的非参数模型相比，它克服了“维数灾难”问题另外，由 于p l m 包括非参数和参数两部分，与常规的线性模型相比具有较强的灵活性下面我们简要的介 绍一下p l m 的几种参数估计方法 假定有n 个观测值 x ，正，m ) 翟1 ，e n g l e ，g r a n g e r ，r i c e 和w e i s s ( 1 9 8 6 ) 12 】，h e c k m a n ( 1 9 8 6 ) 1 6 1 和 r i c e ( 1 9 8 6 ) 1 1 3 l 采用了样条光滑的估计方法，通过解决下面的问题来估计p 和， n ， a r g m i n - 1i l y i 一霹p 一肥) 】2 弘”( 缸) 胁 s p e c k m a n ( 1 9 8 8 ) 2 0 利用来估计参数部分p ，其中u 是一个满秩的n q 阶矩阵，y 是一个 加法的参数p l m 在一个矩阵形式中可记为 y = x p + + ，( 1 2 2 ) 对式( 1 2 2 ) 中p 的估计为 良= x r ( ，一兄) 研- 1 x r ( x 一兄) y )( 1 2 3 ) 其中兄= t u ) 一1 u t 是一个投影矩阵，是一个d 阶单位矩阵 g r e e n ，j e n n i s o n 和s e h e u l t ( 1 9 8 5 ) 1 2 9 1 提出了另一种类型的估计 砧j s = x r ( j u ) x ) 一1 x t ( j u ) y ) ， 其中用另一种光滑的算子w h 来代替( 1 2 3 ) 式中的u 不论对非参数部分采用哪一种估计方法，参数口的估计形式总可以被写成 x r ( ，一) x 一1 x t ( j 一) y ) 宁夏大学硕士学位论文 马月梅：部分线性模型的小波估计 4 其中是一个投影算子在适当的假定下，估计是渐近正态的 1 3本文的要点及结构安排 第二章介绍了小波变换的概念，基本理论和小波变换的分类 第三章考虑到阈值函数和扩散函数之间的等价关系，以及u d w t 的一些好的性质，我们首先 对部分线性模型的特殊情形= o ) ，进行了估计将所的结果应用于一维信号和二维图像的去噪 处理，得到了很好的非参数估计，比通常的采样小波阈值方法信噪比高1 5 3 d b 第四章利用小波系数和b e s o v 范数的关系，通过极小化余向量的1 2 范数和惩罚非参数回归函 数f ( x ) 的小波系数的t p ( 1 p 2 ) 范数来估计模型( 1 2 1 ) ，相应地给出了其解的存在性条件和唯 一性条件并设计了有效算法，通过数值模拟得到了很好的效果 第五章是全文的总结与下一步研究工作的展望 第二章小波变换简介 小波分析是八十年代后期发展起来的- - f 新兴学科，它是f o u r i e r 分析划时代的发展结果关 于它的起源其说法至少有1 5 种以上虽然1 9 1 0 年h a a r 提出了最早的小波规范正交基，但当时并 没有出现“小波”这个词2 0 世纪3 0 年代，l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进制频率分 量分组理论这是多尺度分析思想的最早来源1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 对h a a r 系进行了改进，构造了 一组具有指数衰减且有限次连续可微的正交基，这些工作为小波分析奠定了基础1 9 8 4 年，m o r l e t 在分析地震波的局部性时，发现传统的f o u r i e r 变换不具备时频局部性，很难达到实际需求，因此他 首先提出了小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 这一概念，并把它用于信号分解中小波分析是一种窗口的 大小固定，形状可变的时频局部化信号分析方法，它具有多分辨率分析( m u l t i - r e s o l u t i d na n a l y s i s ) 的特点，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分 辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为分析信号的显微镜目前，小波分析的理论和应用都得到了 迅猛的发展，被广泛应用于数值分析，信号处理，图像处理，量子理论，地震勘探，语音识别，计算机 视觉，c t 成像等领域，已成为众多学科共同关注的热点( 见文献 3 0 1 1 3 , 1 ) 2 1 连续小波变换 定义2 1 1 2 3 如果函数妒 ) l 2 ( r ) ，满足容许性条件， 劬= 上警芈幽 1 ，则得到离散小波函数 奶，k ( z ) = a o j 2 妒( n 孑z k b o ) ， 相应的离散小波变换为 w a j ，忌) = ( ，奶，k ( 。) ) = n i 2 ，o ，冗 实际中最常用的是二进小波 ) 妒( o z k b o ) d x 奶，k ( z ) = 2 - j 2 妒( 2 一j z 一七) ，j ，k z 该小波在信号分析中具有变焦的作用二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进 行了离散化，而对时间域上的平移参量保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移 不变量 2 2 1 多分辨分析 2 2 离散小波变换 m e y e r 于1 9 8 6 年创造性地构造了具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成工2 ( r ) 的规范正交基，才使小波得到真正的发展上世纪8 0 年代后期由m a l l a t 与c o i f m a n 等人引入了多 分辨分析的概念，研究了小波的多分辨特性，将小波变换理论统一到多分辨分析的框架下，将之前 的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速算法， 即m a l l a t 算法m a l l a t 算法在小波分析中地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的 地位 定义2 2f 2 3 l 设日是一个可分的h i l b e r t 空间如果， ( 1 ) 鲰) k z 是日的s h a u d e r 基，即v ，h 对，存在唯一的 仇) z 1 2 ( z ) ，使得 ，( z ) = c k g k ( z ) 七z ( 2 ) 存在常数a ，b ，使得对v 繇) 七z f 2 ( z ) ，恒成立， a l 仇1 2 入 3 2 2 非线性扩散 使用偏微分方程进行信号和图像处理的思想可以追溯到g a b o r 3 8 1 和j a i n l 3 9 1 ，但是这种方法真 正建立起来是从k o e n d e r i n d 4 0 l 和w i t k i n 4 1 的研究工作开始的，他们引入了尺度空间( s c m es p a c e ) 的概念，尺度空间把一组信号或图像同时在多个尺度上表述他们的贡献在很大程度上构成了偏微 分方程图像处理理论的基础在他们的研究工作中，图像的多尺度表示是通过高斯平滑来获得的， 这等价于利用经典热传导方程来演化图像得到一个各向同性扩散流在8 0 年代末，h u m m e l l 4 2 1 提 出热传导方程并不是唯一可以产生尺度空间的抛物方程，并提出构成尺度空间的准则：只要是满足 最大原则的演化方程就可以定义一个尺度空间p e r o n a 和m a l i k 4 3 1 提出的各向异性扩散方程在这 个领域最具有影响力他们提出用一个可以保持边缘的有选择性的扩散来替换高斯扩散他们的工 作引发了许多理论和实际问题的研究 非线性扩散滤波f 4 3 】的基本思想是将噪声信号f ( x ) 作为一个恰当的扩散方程的初值，以便得到 一组解函数u ( x ，t ) ，即 r iu t = = ( g ( i t l 。i ) t 正) 。， iu ( 霸0 ) = ，( 。) 这里下标表示偏导数，并且扩散时间t 是个简单的参数：t 越大，表明扩散越强扩散函数g ( 1 u 。i ) 具有非负性，用来控制扩散的程度通常，它是i 让。i 的非增增函数，这保证了强的边界要比噪声和低 对比的细节部分要扩散的弱一些不同的扩散函数的选择对应于不同的滤波过程，常用的扩散函数 ( 见图3 1 和图3 2 ) 有 a 线性扩散1 4 3 ： g ( 1 = f ) = 1 ， b c h a r b o n n i e r 扩散瞰l ： c p e r o n a - m a l i k 扩散 4 3 1 ： m 乳 ，-i-j(1l = 0 双 u 3 蠖阈硬 屯 南南 一 卜 ) i 硼 m “ 9 宁夏大学硕士学位论文马月梅：部分线性模型的小波估计 1 2 d w e i c k e r t 扩散 4 5 1 ： 州硼= k 。黹冀 e t v 扩散1 4 6 ： g ( i z l ) 2 南， f b f b 扩散1 4 7 1 ： g ( 1 z i ) 2 奔 上述扩散函数中，a d 以1 为上界，而e 和f 是无界函数通常为了避免理论和数值困难， 需要将其正则化，变成有界函数 3 2 3 两者之间的关系 离散小波阈值有一个缺点就是依赖于信号的平移，有明显的虚假成份c o i f m a n 和d o n o h o 【4 8 】 提出了平移不变的小波阈值，其思想比较简单，即不仅使用信号本身，而且包含了它的平移另外一 种办法是使用乎稳小波变换f 4 9 】指出平移不变的小波阈值可以看成是扩散方程离散形式的解阈 值函数和扩散函数的许多性质是相互关联的对于h a r t 小波而言，如果取定时间步长a t = 1 4 ，则 可以由阈值函数得到扩散函数，即 州硼一箐取( 提) 反之有， & ( z ) = z ( 1 9 ( i k i ) ) ( 3 2 1 ) 由上面两个方程很容易得到下面结论： ( 1