（基础数学专业论文）伽罗瓦扩域上的正规基与对偶基.pdf

9 9 主9 7 5 摘要：随着计算机科学和密码学的发展，人们对有限域，特别是有限域_ k e 规基的研究越来越多，因为用合适的正规基表示有限域而设计的硬件和软件可以 很快地实现在这篇文章中，我们先介绍了有限域上的一些基本定义及关于正规 基的相关结论，进而将域扩张到一般的伽罗瓦扩域中，得到了伽罗瓦扩域中正规 基与其对偶基等价的充分必要条件，从而将有限域上正规基的等价条件推广到任 意伽罗瓦扩域上。相对于有限域上等价条件的证明，我们在扩域中用的方法更加 初等和直接。 关键词： 伽罗瓦扩域，正规基。对偶基，等价，乘法表 n o r m a lb a s e sa n dt h e i rd u a l - b a s e so v e rg a l o i se x t e n s i o nf i e l d s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：c h o n y a n l vs u p e r v i s o r ：g u o h u a p o n g a b s t r a c t ：w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rs c i e n c ea n dc r y p t o l o g y , t h es t u d y o f6 n i t ef i e l d s ，p a r t i c t l l a r l yt h en o l m a lb a s e so v e rf i n i t ef i e l d s b e c o m em o r ea n dm o r e i m p o r t a n t b e c a u s et h eh a r d w a r ea n ds o f t w a r em a yb ei m p l e m e n t e dq m c h yi fw e c h o o s ep r o p e rn o r m a lb a s e st or e p r e s e n tf i n i t ef i e l d s i nt h i sp a p e r ，w ef i r s ti n t r o d u c e s o m eb a s i cd e f t n i t i o n sa n df a c t so nn o r l l l s b a s e so v e rf i n i t ef i e l d s t h e ne x t e n dt h e s e r e s u l t st oa n yg s o i se x t e n s i o nf i e l 凼w jo b t a i nan e c e s s a r ya n ds u f i i c i e n tc o n d i t i o n o ne q u i v a l e n tn o r m s b a s e so v e rg s o i se x t e n s i o nf i e l d s c o n s e q u e n t l yw eg e n e r a l i z e t h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o no nh o r n l a lb a s e so v e rf i n i t ef i e l d st og a l o i se x t e n s i o n so fa n y f i e l d c o m p a r a t i v e l yo u ra p p r o a c hi sm o r ee l e m e n t a r ya n ds t r a i g h t f o r w a r d k e yw o r d s ! g a l o l se x t e n s i o nf i e l d ，n o r m s b a s e s ，d u a l - b a s a s ，e q u i v a l e n t ，m u l t i - p f i c a t i o nt a b l e 1 引言 设p 为素数，口为p 的方幂，k = 最为含有q 个元的有限域，f = 昂是 k = e 的n 维扩域。f 在k 上不同基的数目是很多的，但这其中有两种类型 的基特别重要，它们是正规基和多项式基。对正规基的注意出现在上个世纪人 们早期对正规基感兴趣可能是因为g a u s s 用正规基解决了何时可用直尺和圆规 画出正多边形的问题( 【1 】) 。事实上，g a u s s 用正规基来构造分圆域的子域。一般 地，正规基可用来实现伽罗瓦扩域中的中间域与伽罗瓦群的子群之间的伽罗瓦对 应( 【2 】) 有趣的是，早在人们发现有限域理论的实际应用之前，h e n s e l 在1 8 8 8 年就 注意到了用正规基表示有限域中元的优点( 【3 j ) 。在实际应用中，随着有限域上编 码理论和各种密码体制的出现，人们对有限域上算法的实现也就有了新的要求 在这方面的研究产生了许多硬件和软件的设计和实现，包括公钥密码中玛m 上 的加密程序( 1 4 1 ) 。而这些成果都是基于m a s s e y ，o m u r a ( s d ，m u l l i n ，o n y s z c h u k 和v a n s t o n e ( 6 1 ) 等人用正规基表示有限域而产生的乘法方案和对算法选择合 适的加法但是这样设计的乘法方案的硬件复杂度在很大程度上是由所选用的正 规基决定的又由于在椭圆曲线公钥密码体制的实现中通常用最优正规基表示有 限域中的元( 1 7 ，8 】) ，因此对正规基，特别是最优正规基的研究显得尤为莺要如 在1 9 8 9 年e b a y e r - f l u c k i g e r 在1 9 1 中研究了自对偶正规基。1 9 9 0 年j u n g n i c k e l d ，m e n e z e sa ，v a n s t o n es 在f 1 0 1 中讨论了兄。在e 上自对偶正规基的数 目s a k b i l c 在1 9 9 2 年发表了关于有限域中正规生成元的文章( 1 1 1 1 ) 。同年，s g a o 和h w l e n s t r a 完全确定了有限伽罗瓦扩域上的最优正规基( 1 1 2 1 ) ，从而 很容易确定有限域上的最优正规基( 1 3 1 ) 。1 9 9 5 年s g a o 和s a v a n s t o n e 研究 了最优正规基生成元的秩( 【8 1 ) 。2 0 0 4 年b e n j a m i ny o u n g 和d a n i e lp a n a r i o 在 【1 4 】中讨论了而上两种类型的低复杂度正规基等等。 最近廖群英给出了有限域上最优正规基乘法表的一个计算方法( 1 l s ) 。证明 了有限域上正规基与其对偶基等价的充分必要条件( 1 6 1 ) ，并发表了有限域上关 于一类比较特殊的正规基( 1 7 1 ) 这篇文章。本人就是受其文章的启发，将有限域 上部分定理推广到一般的伽罗瓦扩域中，从而得到了如下定理： 定理：设为域k 的n 次伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群为g = 印= i d ，o 1 ， 靠一1 ，n = n o ，o “，o t n 1 ) ，b = 岛，历，风一l 为l 的两组f 基对 于o 厶满足 c r o q ，o 1 0 ，一l q 为l 的正规基，令 a ( a o ，o t i ，o t n i ) = ( o t 0 ，口1 ，d n i ) t 1 四川走擘碛士学住论文 o ( 岛，历，风一1 ) = ( 岛，风，风一1 ) d ， 其中t ，d e ( k ) 如果n = o q = 以口f i = 0 ，1 ，l 一1 ，b = 屈= 以口 i = 0 ，1 ，n 一1 对某个p l ，( 也就是说n ，b 均是l 在上的正规基，) 则n ，b 等价当且仅当r = d 2 3 a i o t + 以口，以( a 口) = u i a o i p ，因此o - t 为f 的一个自同态。由以( o ) = 0 可以推 知o t = 0 ，反之亦然，所以以为单射又f 为有限集，所以以为满射，从而a i 为f 的一个自同构。又由吼( 口) = o t ，对任意f i t k ，所以o i 为f 在k 上的一 个自同构由于映射a 0 ，o 1 ，o n l 将f 的本原元( i e ，循环群f 。的生成元) 分别映成不同的元，所以它们彼此互异 反之，设口为任意一个f 在k 上的自同构，卢为f 的本原元，扛) = 矿+ f l n - l x 一1 + + n o 为p 在k 上的极小多项式我们有0 = 口( o ) = 盯( 矿+ a n l 矿一1 + + a o ) = ( a 侈) ”+ a n l ( 口口) “一1 + + a o ，因此口口为，( z ) 在f 上的一个根，由定理( 如果b z ) 为r m 上次数为n 的不可约多项式，则 ，( z ) 在。上有根f i t ，并且，扛) 所有的根都是单根，它们由o t ，f i t q ，口矿，酽“ 给出。【1 9 】) 我们有卵= 伊对于某个i ，0s isn 一1 又因为口为同态，我们 有o f i t = f i t q ，对所有f i t f 证毕 如果对于口f ，将所有的f 在k 上的自同构作用于f i t ，将得到与a 有关 的一组元素，也就是下面所谓的共轭元： 定义2 2 ：令f = 是k = 日的开维扩域，f i t f ，我们称元素 f i t ，o ：1 ，q 矿，q 矿- 1 为o t 关于r o 的共轭元。 有了f i t 的共轭元，我们定义一个新的概念： 定义2 3 ：对于a f = 昂，k = 日，我们称o l + 酽+ + 扩- 1 为n 在 k 上的迹，记作t r e ：( f i t ) 定理2 2 ( 1 1 9 1 ) 设k = ，f = 昂，则迹函数t r f k 有如f 性质： 四川走事项士擘住论丈 4 间 ( i ) t r e k ( a + 口) = t r f k ( a ) + n 力耳( p ) ，任意o ，p f ( i i ) t r f k ( c a ) = c t r f r ( c t ) ，任意c k ，o f ( i i i ) t r e 耳为f 到k 的一个线性变换，其中f ，k 都看成k 上的向量空 ( i v ) t r r k ( a ) = n o t ，任意o t k ( v ) t r f k ( o 一) = z r 吖k ( o ) ，任意o t f 。 迹函数t r f 耳不仅自身为从f 到k 的一个线性变换，它还可以表示所有 从f 到的线性变换。 定理2 3 ：令f 为有限域k 的付次扩域，其中f ，k 都看成k 上的向 量空间，则映射f ) 定义了所有从f 到k 的线性变换，其中( o ) = t r f k ( 口q ) ，口f ，并且当口7 ，p ，r f 时l 口0 证明：由以上定理的性质( i i i ) 知映射是从f 到k 的一个线性变换对于 p 7 ，一y f ，如( o ) 一l 7 ( o ) = 2 1 r 州k ( p d ) 一j 阶卢y 耳( 1 n ) = t r f k ( ( p 一7 ) 口) 因为迹函数t r r j r 为满射，于是存在o t ，使得t r f k ( 一7 ) a ) 0 ，因此映射 l a o 如果k = 晶，f = ，则幻( 卢f ) 给出矿个不同的从f 到k 的 线性变换。 另一方面。在给定一组基的前提下，每个从f 到k 的线性变换可以通过指 定k 中任意元为n 个元t 这其有q ，1 种不同的方法。而( p f ) 穷尽了所有 的从f 到的线性变换，因此f 在上的对偶空间为 “：卢f 。 令f 为有限域k 的n 次扩域，因而f 可以看成k 上的向量空间，并 且维数为n 设咖，口l ，一1 为f 的一组j o 基，则对任意口f 存在 匈 ) ，c l ( 口】，一l 缸) k 使得a = 匈( 口) 蜘+ c l ) n l + + c f i i ( 口) o o l 注意到q ：口k - - - - q ( 口) 为f 到k 的一个线性变换，由以上定理知存在岛f ， 使得c j ( 口) = t r f k ( d i a ) ，任意o f 特别地取口；啦，0 s i n 一1 ，则有 丁响舻 0 1 鬟 进一步我们有 岛，历，风一l 为f 的一组肝基。事实上，假设存在而，d 1 ，如一1 使得而岛+ d l 历+ + 厶一i 艮一l = 0 。两边同时乘以m 得d o 啦岛+ d 1 幽岛+ + d ，l l a i 矗n 一1 = 0 ，取迹函数t r f k 得，反= 0 ，0 i ，l 一1 ，所以岛，历，风一1 线性无关。 5 ，一l ， 岛，风， 基仍为其自身，则称 ，口。一l 都存在对偶 基t 风，反，风一l ，并且对偶基是唯一的。 事实上，f 的j - 基是很多的，如果考虑顺序共有( q , n 一1 ) ( 叮m q ) ( g m 一 矿- 1 ) ( 【1 9 | ) 。但其中有两种类型的基特别重要，一种是多项式基( 1 ，o ，舻，矿4 ， 此处口通常取f 的本原元；另一种则是由f 中合适元定义的正规基 定义2 5 ：设k = ，f = 吩，形如n ，o 口，o 矿，a 矿“的基，我们称它 为f 在k 上的一组正规基，其中n 称为正规基的生成元，或称为f 在k 上的 正规元。换句话说，正规基是由f 中合适的元与其所有共轭元组成的基 对于有限域的有限扩域，是否一定存在正规基，下面将给出肯定的答案，为 此我们先引入以下的引理： 引理2 4 ：设妒“如，以为从群g 到任意域f 的乘法群f x 的不同的同 态，n l ，o , 2 ，n ，i 为f 中不全为0 的元，则存在g g ，使得a 1 妒l ( g ) + 幻也0 ) + + 讥。( 9 ) 0 证明：对个数t , 进行归纳。当n = 1 时显然成立设n 1 且t l 一1 时成立 当有，1 个时，设妒l ，也，以如上，口l ，2 ，为f 中不全为0 的元，如果 o l = 0 ，则归纳假设成立。下设n l 0 ，如果对所有的9 g ，均有 a l 妒1 ( g ) + 啦如( 9 ) + + 0 ) = 0 ( 2 1 ) 由于妒l 饥，则存在h g ，使得讥( ) 以( ) 。用曲取代( 2 1 ) 中的g 有 a l 妒l ( g ) b l ( h ) + a 2 廿2 ( g ) 0 2 ( h ) + + 以0 ) 仉( ，1 ) = 0 ， 对所有的g g 。在( 2 2 ) 式两边同乘以c n ( h ) 一1 有 b l 砂l ( g ) + b 2 t f ，d g ) + + k l k 一1 ( g ) 4 - 0 r 。0 ) = 0 ， ( 2 2 ) ( 2 3 ) 6 ( 2 4 ) ( 危) 如( ) - 1 设t 为域k 上有限维向量空间y 的线性变换，多项式( x ) = a n 矿+ a n l 矿一1 + + o l x + a o k k l ，如果口n p + 口n 1 2 一1 + + 口l t + a o l = 0 ，其中 f 为矿上的单位变换，0 为y 上的零变换，则称，( z ) 零化t 。在所有能零化r 的 多项式中，次数最低的，首一的多项式称为t 的极小多项式，它能整除k m 上任 意零化t 的多项式特别地，t 的极小多项式整除r 的特征多项式g ( x ) ( c a y l e y - h a m i l t o n 定理) 。其中g ( x ) = d e t ( x l 一乃为首一的且d 叼( 9 扛) ) = 击m ( w ) 向量n v 称为t 的循环向量，如果 t k a ，七= 0 ，1 ，张成矿 引理2 5 ( 1 1 0 i ) ：设t 为有限维向量空间y 上的线性变换，则t 有循环向量 当且仅当r 的特征多项式为极小多项式 下面我们证明正规基的存在定理： 定理2 6 ：设f 为有限域k 的有限扩域，则f 在k 上存在正规基。 证明：设k = 疋，f = e 。，由定理2 1 知f 在k 上所有不同的自同构是 由诎，叽，矿- 1 给出，其中谢为f 上的单位映射，口( o ) = 印对任意o f ，一 表示盯的i 重复合因为口( q - - 卢) = 口o - 4 - 卵，口( ) = 口口= n ，对于任意 q ，p f c k ，所以映射盯同时也可以看成向量空间f 上的线性变换。因为 口“= i d ，所以多项式矿一1 k m 零化仃将i d ，以矿，仃一1 看成f 的自 同态，由引理2 4 知，次数低于f l 的非零多项式都不能零化口，因此护一1 为 线性变换盯的极小多项式。又因为盯的特征多项式为首1 的，次数为n ，且为 极小多项式的倍式，所以特征多项式又为极小多项式由引理2 5 知存在口f 使得o ，盯2 口，张成f ，去掉重复的元则有f ；耳( o ，盯口，矿一1 0 ) ，于是 口，彻! ，矿- i o 为f 的一组j o 基。又这组基是由口以及口关于的共轭元 组成，因此为f 在k 上的一组正规基。 由以上的讨论，我们知道对于有限域上的任意一组正规基都存在对偶基，那 么我们会问正规基的对偶基是不是正规基? 为回答这个问题，我们首先介绍如下 推论： 四大擘碛士擘住论文 7 ( 【1 9 1 ) ：设口1 ，o r 2 ，昂。则a l ，q 2 ，n i 为昂的一组砰 砚 n 2 q n n 口 1 q 2 矿一q ”一1 0( 2 5 ) a 仨量) 仁e ， 肚睢。臻) 仁7 ，b ：l 岛4 屈。 风一1 9 l( 2 7 ) 风矿1 风矿一风一l 矿- 1 因为丘，声互为对偶，我们有a b = 厶，b a = 厶，( a b ) r = b r a r = b t a = 厶( 因 为a 为对称矩阵) ，所以b a = 厶= b r a 又因为i a i o ( 引理2 7 ) ，所以 b b t ，即屈= 岛口，0 i n j l ，从而口为正规基。 有了以上知识，下面我们将看一下有限域上的运算。 设口为素数的方幂。晶，日。分别为含有q ，q n 个元的有限域，我们先看一下 中加法与乘法运算。令蛳，口l ，一l 昂为乃。的一组日基。对于a ，a 可以表示为a = e ：2 0 吼啦其中啦玛，因此日一可以等价于彤，从 而a 可以写成a = ( a o ，口，一，a n - 1 ) 令b = ( 6 0 ，b l ，k 一- ) 为琢中另一元， 则a + b 很容易计算，而乘法a b 则比较复杂。设a b = c = ( c o ，c l ，一1 ) ， 我们希望用 ql = 0 ，l ，n 1 ) ， b jij = 0 ，l ，n l 尽可能简单 地表示出 c fii = 0 ，1 ，n l 。设啦q = 盏甾口i ，其中t 。( ，k 局， 则c = e 。n = 0 - - 1 g 哦= a b = ( 蓦啦啦) ( 蒿岛q ) = 等蒿吼q i = 蓦高n i b n = 0 - i m ，从而有硌= 身；s n 。屯= a t ( ”口r ，其中 7 m 吖， 四川走荦硕士学位论吏 ) = ( 苗) 。m ( f j ，b r 为b 的转置，矩阵集 一q ，称为在日上的 乘法表f 1 2 0 1 ) 显然矩阵集 t o ) 与a b 的选择无关。对于某些基，对应的乘法表 t o 就可能含有较少的非零元，从而很容易计算a b ，这就要求我们选择合适的基， 也就是后面提到的最优正规基，首先我们讨论一下正规基。 昂在日上的正规基形如 o ，o 口，o z q n 1 ，其中n 为r 中合适的元。 令o t = 口矿，0 茎i 仃一1 ，则正规基可写成n = 缸= n 0 ，o t l ，o t n l ，且对 任意整数k 有啦口l = 啦+ ，其中口的下标是属于z ，1 我们首先考虑q 次方幂 运算，则有小= ( a n _ l ，a o ，0 1 ，一2 ) ，也就是说，小的坐标恰好为a 的一个 循环，因此很容易计算印，从而幂运算可以很快算出。特别地，如果q = 2 ，这 对d i f f i e h e l l m a n 密钥交换( 2 1 1 ) 以及e l g a m a l 密钥体制( 2 2 1 ) 的实现非 常重要，因为其中需要计算给定有限域中元素的高次幂。 由啦o t j = 脚n - i 3 n 可得慨q ) 9 = i n 目- - 1 善o = n l l 叼一l ；高 2 d - t m ，从而有t ”i t ) = t ! 竺。一l ，0 ，j ，l 扎一1 。对于。啦= ；醯q ，0 i 他一1 ，令磕= 红，记，l n 阶矩阵( t j i ) 为t 很容易证明塔= “一t j 一，因 此r ( o ) 中的非零元数等于r 中非零元的个数g a 卵e 等在文 2 3 中指出有 限域中元的乘法的执行硬件与正规基的复杂度有着密切的关系，也就是说，f o ) 中的非零元越少，有限域的乘法就越简单根据m u l l i n ，o n y s z c h u k 等人的叫 法，我们称t 中非零元的个数为正规基的复杂度，记为a v 又因为t ( ) 是 由t 唯一决定，从而我们称t 为正规基的乘法表。下面的定理将给出c 的 一个下界。 定理2 9 ：( m u l l i ne ta 1 1 1 5 1 ) ：对于岛在上的任何正规基均有c r 2 n l 。 定义2 6 ：如果c k = 2 n 一1 ，我们称为最优正规基 对于最优正规基有，型和，型之分，其构造如下( 1 2 3 1 ) ： j 型最优正规基的构造定理：设n + 1 为素数，q 为+ l 的本原元，其中q 为 素数或素数的方幂，则昂上，1 个非单位元的n + 1 次单位根是线性无关的，且 它们组成蹄在日上的一组最优正规基，记为n = 口矿肛= 0 ，1 ，7 1 , 一l = 协= l ，2 ，n ，这里q 是一个，i + 1 次本原单位根，称为昂在日上 的一组f 型最优正规基 8 四川走擘硕士学位论丈 9 ，型最优正规基的构造定理：设2 n + l 为素数，假设 ( i ) 2 为模2 n + l 的原根，或 ( i i ) 2 n + l 兰z c m o d 4 ) ，且2 模2 n + 1 的次数为n ， 则o t = r + i , - 1 生成f = 如到e 上的一组最优正规基，这里r 是一 个2 n + 1 次本原单位根，记为= o ，口2 ，o t 2 n - i ) = o = 7 - + r ，r 2 + r 一，p + t - n ) ，称为f = 易在尼上的一组，型最优正规基。 另一方面。如果为昂在晶上的最优正规基，易证对任意的n 日。，a n = 1 n 仍是在日上的最优正规基。两组基 口o ，a 1 ，一1 ) ， 岛，角， 风一1 称为等价，如果有啦= 口风，nef ，0 isn 一1 。 高绪洪和h w l e n s t r a 在文 1 3 证明了：有限域上的最优正规基等价于， 型或，j 型最优正规基。由此立即可得：f 一易在恳上的最优正规基只有， 型和n 型两种。 四川大学硕士擘位论文 3 有限域上的相关结论 在以上预备知识的基础上，廖群英和孙琦在i t 6 中给出了有限域上正规基 与其对偶基等价的充分必要条件，并证明了如下的定理： 定理3 1 ：设n = 啦= p = 0 ，l ， 一l 为f = 野在k = 日上 的正规基，b = 反= l i = 0 ，1 ，n 一1 为的对偶基，则 ( 1 ) 存在c 日。，使得b = c 当且仅当t = t r ，其中r 为的乘法 表，z 叮为r 的转置 ( 2 ) n 为自对偶正规基当且仅当t = t 口且t r f k ( 瑶) = 1 定理3 2 ：设为f = 吩在k = 日上的最优正规基则为自对偶正 规基当且仅当为f l = q = 2 时的，型最优正规基或为，型最优正规基。 此外廖群英还将上述结论自然推广，迸一步讨论了这样的正规基：其生成元 的某个线性组合恰好生成其对偶基。得到如下主要结果： 定理3 3 ( 【1 7 j ) ：设g 为素数幂，f = 岛为有限域日的n 次扩域，f 到日上 的一组正规基n = 啦= 酽l i = 0 ，1 ，l 1 ) 的对偶基为b = 屈= l i = 0 ，l ，n 一1 ，t = ( ) 和h = ( 7 ) 分别为与b 的乘法表，则 ( 1 ) 存在d ，b 日使卢= 口4 - b e 的充分必要条件是以下三条同时成立： ( i ) n a4 - b t r f f 。( a ) o ；( i i ) a t r f f 。( a ) + b ：= 奶t r f f q ( a ) = 1 ；( i i i ) 口十 6 = t o = 0 ，i = 1 ，n 一1 。 ( 2 ) 如果存在8 ，b f q 使p = a 4 - b a 。则有： n - i 幻= ：+ 咖嚣一一 ， ( 3 ) 如果存在口，b 马使p = d4 - b e ，则乘法表t 与日中元的对应关系 定理3 4 ( 【1 7 1 ) ：设g 为素数幂，f = 露为有限域目的t 1 次扩域，f 到 舀上的一组正规基= 啦= l t = o ，1 ，n 一1 ) 的对偶基为b = 压= 动p 0 1 口， “l h b 一 一 一 一 n 竹 n n ， ， ， ， 仉l k l = = = = 11jl 吁 似 吨外 = = = = m m 胁m ，、【 伊l i = o ，1 ，n l ，t = ( 幻) 和h = ( ) 分别为n 与b 的乘法表，则存 在d ，b 日使p = 口+ h 的充分必要条件是( 3 1 ) 和( 3 2 ) 式同时成立 推论3 5 ( 【l7 】) ：设口为素数幂，f = 昂为有限域日的n 次扩域，f 到 日上的一组正规基n = o r i = 0 t q 忙= 0 ，1 ，n 一1 的对偶基为b = 展= 伊l i = 0 ，1 ，l 一1 ，t = ( ) 和h = ( b ) 分别为与b 的乘法表。则 与b 等价的充分必要条件是 ；n - 1 幻= 荆嚣一一 c s 。， 1 1 、 、 l 四川大学礓士擘住论丈 4 伽罗瓦扩域中的预备知识 定义4 1 ：数域k 到c 中每个单同态叫做到c 中的嵌入。 定理4 1 ( 【2 4 1 ) ：设l k 为数域扩，i l ：刚= n ，则每个嵌入仃：kh c 均可以他种不同的方法扩充到工上换句话说，恰好存在n 个不同的嵌入 霞：lhc ( 1 茎i 墨n ) 使得nl k - - - - - 口 定义4 2 ：设l k 为数域扩张，仃：l c 为嵌入，如果口( 彤) = k ，并且 盯i k 是域k 的恒等自同构，则称盯为l 到c 中的个j o 嵌入类似地，设 l l g ，如g 均是数域的扩张，如果盯：l 一2 是域的同构，并且盯i k 是域 k 的恒等自同构，则称盯是j 同构。特别地，当l l = 1 , 2 ；时，则称盯为l 的j 自同构。l 的j 自同构全体显然形成群，叫作扩张l k 的伽罗瓦群，表 示成g a i ( l k ) 。 定义4 3 ：设l k 为数域扩张，盯：l c 为一个j o 嵌入。对于口l ， c 叫做元素n 的j - 共轭元素。设，( z ) k i z j 是元素n 在k 上的极小 多项式，则( x ) 在c 中的全部根恰好是n 的全部- 共轭元素。 定义4 4 ：数域扩张l k 叫作伽罗瓦扩张，如果对于每个k 一嵌入口：l c 均有a ( l ) = 己。 设l k 是数域的扩张，则以下几条彼此等价( 【2 1 ) ： ( 1 ) l k 是伽罗瓦扩张；( 2 ) 对于工中每个元素口和每个j 嵌入盯：l c ，均有口口l ；( 3 ) g a i ( l k ) i = i l ：吲。 定义4 5 1 设l k 是数域扩张，【l ：吲= 住，以：上b - - - - - 4c ( 1 is 礼) 是l 的n 个k 一嵌入，对于q ，定义t r l k ( o r ) = ：l 以( a ) 为元素o l 对于 扩张l k 的迹。 从定义可知迹t r l k 有如下简单性质： ( 1 ) 对于o ，卢l ，t r l k ( a + 所= t r l i k ( c t ) + 丁r l 耳( p ) ( 2 ) 对于c k ，o t l ，t r l k ( c - n ) = c t r l k ( c t ) ( 3 ) 对于n k ，t r l k ( o ) = 舭，其中n ；【l ：刚。 下面的定理给出迹的一种计算方法： 定理4 2 ( 2 4 1 ) ：设工是数域的扩张，陋：吲= n ，n 工，p ) = z ”- - c l x m - 1 + + ( 一1 ) ”k m 是口在k 上的极小多项式， l = 暇( 口) ：明， 、心、r，t、i；、*一r 擘硕士学住论文 l ，t r l k ( c t ) 都是k 中的元素，加以性质 性变换，这里，耳均看成k 上的向量空 c ，彤都看成上的向量空间，则映射p 口 ( p l ) 定义了所有从工到k 的线性变换，其中岛( 口) = t r l ，口厶 任意0 l l ，并且当口7 ，p ，7 l 时乃b 。也就是说，l 的对偶空间为 p = 昂l 卢l ，并且d i m ( p k ) = n 令为域的有限扩域，其中厶耳都看成上的向量空间。对于的一组 船基 咖，o t l ，一1 ) ，类似于有限域上的情形，可知存在岛，历，风一l 使得 ， t r ( a t 咖 0 1 嚣 i ，j = 0 ，1 ，n 一1 。同样地有 a o ，历，风一l 仍形成一组肛基。我们称 a i i = 0 ，1 ，n l 为基( 啦扣= 0 ，1 ，t l l 的对偶基。对工的两组 基 咖，o t l ，o t 。1 ) ， 岛，历，风一l 如果存在c k 。使得a i = 讽，i = 0 ，1 ，n 一1 ，则称这两组基等价 对于工的任意一组基n = t 咖，o t l ，一1 ) ，则存在髫k ，使得a , a i = 翟够n i ，i , j = 0 ，1 ，。n 一1 。同样地有t 啦) = ( 苗) 。决定工中的乘法 定义4 6 ：设l 为k 的n 次伽罗瓦扩域，g = o o = i d ，o 1 ，一l ，为其 伽罗瓦群，l 在k 上的一组基称为正规基，如果它们由( 印q ，0 1 0 ，“一1 0 组成，其中q l 定理4 3 ( 2 5 - 2 7 1 ) ( i e 规基定理) ：设l 为域的有限次伽罗瓦扩域，则正在 k 上存在正规基 对于正规基t 印a ，盯l q ，o n l q ，由以上讨论可知，存在l 在k 上的唯 一的一组基 南，岛，风一l 满足 如鸣) ：f ： - - _ j l u o 产j 嚼p , l 天擘硕士擘位论支 ，j = 0 ，1 ，n 一1 我们称( 岛，卢l 一，风一1 ) 为正规基 咖口，以口，靠一l a 的对偶基。令 凸o ( u o a ) a o ( a l a ) 咖( 一1 n ) 、 a ：l 吼( 啪) 以h q ) a z ( “n - t a ) i ( 4 1 ) i i 靠一l ( 仃l 口) 一l ( 叻a ) 靠一i ( o - 一l q ) 因为 印o ，0 1 0 r ，o n l q ) 为基，所以我们有laf 0 ( 【2 4 】) 因此我们可以类似 定理2 8 证明 岛，历，风一l 为正规基即存在唯一的口l 使得屈= 以卢， 0 is ，l 一1 。如果一组基的对偶基仍为其自身，则称这组基为自对偶基，也就 是说，基 0 r o ，o l ，一1 ) 为自对偶基，如果t r l k ( a i a j ) = 幻而对于自对 偶正规基，我们有如下定理： 定理4 4 ( f 2 8 】) ：设l 为域k 的，1 次伽罗瓦扩域，如果，l 为奇数，则l 在 k 上有自对偶正规基。 定理4 5 ( 【9 】) ：设工为域耳的n 次伽罗瓦扩域，其伽罗瓦群为g = c r o = i d ，0 1 ，一l ，假设g 为交换群， ( 1 ) 如果c f ( j q 2 ，则五在耳上有自对偶正规基当且仅当n 为奇数。 ( 2 ) 如果c h a r ( k ) = 2 ，则二在k 上有自对偶正规基当且仅当g 的指数 不能被4 整除，其中g 的指数为满足夕”= 1 的最小正整数m ，对于任意的 g g 。 如果l k 为循环扩张，我们可以选择合适的巩，使得g 磐z n z ，吼一 i ( m o d n ) ，i = 0 ，l ，n 一1 ，则叫为g 的生成元i 并且以= 口l 如果n = 幽= a , a l i = 0 ，l ，n l 为l 在k 上的一组正规基，则我们用盯“作用 于啦口j = 脚n - i t 。( k 帆，i ，j = 0 ，1 ，n 一1 ，从而有；= 嬖盈。令t ”= 伽t o ，t = ( 岛) 。m 。( k ) ，则甾= “_ ，_ i ，并且五中的乘法完全由矩阵t 决 定。我们称t 为正规基n = 矾oii = 0 ，1 ，n 一1 的乘法表同时我们有 。乃n = 。n 卸- it o n g a 或者a ( d o a ，叽n ，一1 0 1 ) = ( 印o ，以o ，一：d t 。令 死：l _ 厶z ho t x 为上的一个k 一线性变换，则t 为线性变换瓦关于正规基的矩阵。如果 吼口fi = 0 ，1 ，l l ，为的对偶基，则 o p = 如a i f l ，j = 0 川1 一，n 一1 t = 0 1 4 卢) = 5 主要定理及证明 在【1 6 j 中，廖群英和孙琦给出了有限域中正规基与其对偶基等价的充分必 要条件，在这一节我们将其结论推广到一般的伽罗瓦扩域中，得到如下的定理和 推论： 定理5 1 ：设l 为域k 的n 次伽罗瓦扩域，其伽罗瓦群为g = 印= i d ，m ，“一l ，n = - o ，口1 ，一l ，b = 风，岛，风一l 为l 的两组 j o 基对于o l ，满足 c r o q ，盯l a ，一l 口 为l 的正规基，令 a ( a o ，q 1 ，q 1 ) = ( q o ，a 1 ，a 1 ) l 口( 岛，尻，风一1 ) = ( 岛，风，风一i ) d ， 其中t ，d e 峨( k ) 如果= 嘶= 以o i = 0 ，1 ，n l ，b = t 屈= 以p i = 0 ，l ，佗一1 对某个p l ( 也就是说j 、r ，曰均是l 在上的正规基，) 则，b 等价当且仅当t = d 则 证明：设，b 等价，即存在oe k x 使得b = a n ，从而 ( 印口，口1 成，一l p ) = ( 印o ，以口，一l a ) a 厶 a ( 咖反叽反，一1 p ) = ( 印卢，仃l 成，一l 卢) d = n ( 印口，盯l 口，一l o ) c 厶= ( c r 0 口， m q ，一z a ) t ( a 厶) = ( c r o 卢，盯l 反，一l ) ( 口以t ( o 厶) ) = ( 印，盯l p ，一l p ) t 因此r = d 反过来，如果t = d 回忆 死：l l ，z h n z 为j 线性变换，任意z l ，则 瓦( 印d ，仃l 口，一l 口) = o ( 咖口，矿1 口，靠一1 口) = ( 印o ，盯1 a ，“一l n ) z 死( 唧口，盯l 口，一i 功= q ( 印p ，口1 n ，靠一1 卢) = ( 印尻盯1 反，“一l 卢) d 设 ( c r 0 口，盯1 口，一l 口) = ( 印q ，盯1 0 ，一l o ) g 9 川走擘项士擘位论丈 其中c 为从基 仉ofi = 0 ，1 ，l 一1 ) 到基 巩口li = 0 ，l ，n 一1 的过度 矩阵，则我们有d = c t c ，即c d = t c 又因为t = d ，所以c t ：t c 令码为c 关于基 以al = 0 ，l ，l 一1 ) 的线性变换，则有乃死= 瓦而， 从而 而瓦( 。) = t o ( ) = a t o ( 霉) ， 进一步有 ( ，( o ) 功= ，( n ) t c ( z ) ， 任意，( a ) k 【刈，其中a 为未定元。因为= ( a ) = k ( 【1 8 】) ，所以殆为 从工到工的线性变换，从而了b 为数乘变换，即存在c l x 使得昆( z ) = ， 任意z l 。特别地， 7 b ( 口) = c o t = p ，t c ( 以o ) = c o * i a = 以p = 以( o = a i c o s o t ， 因此以( c ) = c ，任意仉g ，从而c k 。，因此，存在c k 。使得以p = 。吼n ， 任意吼g ，即，口等价。 推论5 2 ：令n ，b ，t ，d ，g 如上如果b = 风= 以p t i = 0 ，l ，n 1 ) 为正规基n = 啦= 以q i i = 0 ，1 ，l 一1 ，的对偶基，则n ，b 等价当且仅 当t = t r 证明：如果与日互为对偶，则有 n 州哟肛 。1 雹 i ，j = 0 ，1 ，l 一1 从而有 n 。( d 以n 吁刃= n ( h 吼a 乃p ) = 玩了 r ( 靠口o p ) = 铷 = n ( 以a o 乃卢) = t r ( a , a 奶以p ) = d f j n 慨l p ) = 奶 因此k = d , j ，也就是t r = d 。如果，b 等价，由上述定理我们有t = d ， 因此t = 2 叮 另一方面则可以类似定理来证明。 推论5 3 ：设日为含有口个元的有限域，其中g 为素数或素数的方幂，f = 吩为日的佗次扩域，n = 啦li = 0 ，1 ，n 一1 为f 在日上的正规 1 7 四川太擘硕士擘位论吏 基，其中啦= 对某个口f ，b = 展= i = 0 ，1 ，n 一1 为 的对偶基，则存在c 碍使得b = c n 当且仅当t = 2 叮，其中t 满足 a ( a o ，o t l ，o t n 1 ) = ( a o ，o l ，a n 一1 ) t ，矿为矩阵t 的转置 关于推论5 3 的另一种i 正日, q t s 法可以参照【1 6 】 1 8 定理5 4 ：设l 为域k 的行次伽罗瓦扩域，对于l 在k 上的基= 咖，o t l ，q ，i t ，b = 岛，历，风一1 和口l 。其中。满足l = n ( o o 。令 a ( a o ，o t l ，o t n 一1 ) = ( o t 0 ，o “，一1 ) z a ( 风，历，风一1 ) = ( 岛，角，风一1 ) d ， 其中r ，d 厶( k ) 如果n = 啦i 啦= p = 0 ，l ，n 一1 ，b = 厦慨= h = 0 ，1 ，n l ，即，口为多项式基，则n = b 当且仅当t = d 。 证明：如果n = b ，很容易得到t = d 。 反过来，如果丁= d 。由于 t o ：l _ l z h 凹 为j o 线性变换，任意z