（基础数学专业论文）卢卡斯lucas数列若干问题研究.pdf

i 、 ， 一 福建师范大学硕士学位论文 j i l i l ll l ii ii ii l lii ii iiim i i iii m l l l y 17 4 4 8 0 0 a b s t r a c t i nt h et h e s i s s o m ee x i s t i n gu s u a l i d e n t i t i e so fl u c a sn u m b e ra r ee x t e n d st o t h er e s e a r c h e so ng e n e r a l i z e dr e l a t e di d e n t i t i e so fl u c a sn u m b e r ，a n dm e t h o d s f o re v a l u a t i n go fu s u a lk p o w e rr a n ko fm a t r i xo ff i b o n a c c is e q u e n c ea r es p r e a d t og e n e r a l i z e dr a n ko fm a t r i xo fl u c a ss e q u e n c e ，s oa st of u r t h e rs o l v em e t h o d s f o re v a l u a t i n go fs o m ek i n d so f m a t r i xv o l u m eo fl u c a ss e q u e n c e t h et h e s i si sd i v i d e di n t o4c h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h et h e s i sm a i n l yi n t r o d u c e st h eh i s t o r yb a c k g r o u n da n d r e s e a r c hs t a t u so ff i b o n a c c is e q u e n c ea n dl u c a ss e q u e n c e ，b r i e f l ys u m m a r i z e s r e s e a r c hb a c k g r o u n do fm a t r i xv o l u m e ，a n dp o i n t so u tt h ei n n o v a t i v ep o i n t so f t h et h e s i sa tt h es a m et i m e i nt h es e c o n d c h a p t e r , u s i n g t h ed e f i n i t i o no f g e n e r a l i z e dl u c a s s e q u e n c e e ) 二1 ，s q u a r e r e l a t i o n ，r e c i p r o c a lr e l a t i o n ，d e t e r m i n a n ta n ds u m r e l a t i o no fc o n t i n u o u ss e v e r a lg e n e r a l i z e dl u c a sn u m b e r sa r es t u d i e d ，t h u s c o n c r e t ef o r m u l a sa r ed e d u c e d i nt h et h i r d c h a p t e r , b y m e a n so fr e l a t e d k n o w l e d g eo fm a t r i xa n d d e t e r m i n a n t ，c o n t i n u o u sk p o w e r ( k = 2 ) m a t r i x e so fl u c a ss e q u e n c ea n d g e n e r a l i z e dr a n ko fm a t r i xo fl u c a ss e q u e n c ea r er e s e a r c h e d ，t h e nt od e r i v eo u t t e s t i f i c a t i o nt h i n k i n go fr e l a t e di d e n t i t i e s i nt h ef o u r t hc h a p t e r , b a s e do nc u r r e n tc o n c e p to fm a t r i xv o l u m ea n d c o m p r e h e n s i o nt or e l a t e dk n o w l e d g e ，t h et h e s i sm a k e saf u r t h e ri n v e s t i g a t i o nt o m a t r i xv o l u m eo fl u c a ss e q u e n c ea n dc h a r a c t e rp r o b l e mo fg e n e r a l i z e dm a t r i x v o l u m eo fl u c a ss e q u e n c e k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dl u c a sn u m b e r ，e q u a t i o n ，m a t r i xv o l u m eo f s e q u e n c e ，r a n k 福建师范大学硕：l ：学位论文 中文文摘 本文在部分常义上的卢卡斯( l u c a s ) 数恒等式推广到广义上的l u c a s 数相关恒等 式的研究，并从常义上k 次f i b o n a c c i 数列矩阵秩的求法推广到广义上l u c a s 数列矩阵 秩的求法，从而进一步解决了几类卢卡斯数列矩阵体积的求法问题 全文共分4 章 第l 章主要介绍了斐波那契( f i b o n a c c i ) 数列与卢卡斯( l u c a s ) 数列的发展的历 史背景和研究现状，对矩阵体积的研究背景进行简要概括，同时指出了本论文的主要工 作 、 第2 章利用广义l u c a s 数列 e ? 的定义，研究连续若干个广义l u c a s 数的平方关 系、倒数关系、行列式关系以及和式关系式，并推出具体公式第2 1 节中给出了连续 三个广义l u c a s 数的平方关系式证明 引理2 1 1z 为第n 个广义l u c a s 数，则l 。= l2 j l + 幻“ 定理2 1 2z 棚2 一q 2 一幻) z 。1 2 + 9 2 z 。2 。2 q m ( 4 口一p 2 ) 第2 2 节中给出了连续三个广义l u c a s 数的倒数关系式证明 定理2 2 1z 。表示第n 个广义l u c a s 数，则三。o 一旦+ q 2 ( p 2 - 4 p o ) 推论2 2 2 设( l 。 o 1 ) 是广义l u c a s 数列，则 ( 1 ) ：+ 。一三。z 棚。矿( 4 q p 2 ) ( 2 ) z 柑z 棚一p l 。z m + q l “。z 州= 矿( 4 p q p 3 ) 推论2 2 3 设 l 。 o 之1 ) 是l u c a s 数列，则 ( 1 ) 叠+ 。一l 厶：= 5 ( 一1 ) 1 “； ( 2 ) 厶+ 。厶：一厶t ：一厶，一5 ( 一1 ) “1 定理2 2 4 f 一。表示第n 个广义f i b o n a c c i 数，则f 1 。毒l 一旦+ 翌二一 f nf + 1f + 2f ，月+ l f + 2 第2 3 节中给出了一类广义l u c a s 数的相关行列式证明 定理2 3 2 设k 为非负整数，则对于任意正整数m ，n 及z ，当m n 一2 时，d n ( m ，k ，) u i t “ l t + “+ 1 ) f z ：2 1z l k + 工 + j l ， z z ：) f z 2 ：村 z 埘+ n o 1 ) + l 】，z 0 如n 1 ) + 2 1 ， z 乏。z f m ，n ，f 一1 ，2 ， - - - - 0 ，其中乞。为第k 个广义l u c a s 数，k 是非负整数， 第2 4 节中给出了一类广义l u c a s 数的和式关系式证明 定理2 4 1 设 t 为广义l u c a s 数列，则善- 定理2 4 2 设_ 【】为广义l u c a s 数列，则 y 廖； 白 p 2 2 q 一2 q 2 一2 。+ 2 + q 2 2 ( 1 + 鼋一p ) ( 14 - g4 - p ) 以+ 2 趟+ 一q 2 _ q 2 n + 2 1 一q1 一口 甩一2 望= 垡：+ 一q 2 _ q 2 n , 2 i q 1 一日 2 以+ 旦：二! 二墨垫；2 墨2 1 4 一p 4 n 2 n 一1 一( 一1 ) 。“ p + 2 q _ - l , , 1 - q l 一, , p 一留声1 l p + q 以+ q _ q n + l - - q 2 n p - q 一1 qi , 1 p = 2 ，qn 1 + 2 里；= _ 垡= ：( 1 + q - p ) ( 1 + q + p ) 一o ，q - 1 1 一口 定理2 4 3 设 t 】i 为广义l u c a s 数列，则： 荟， 1 + p + q 一0 。q 一1 1 + p - q 一0 ，qp e - 1 g 一1 ，p 土2 g = 1 ，p 一- - 2 日= - 1 ，p 一0 ! ：二- ! ! 兰【_ 二j 里：里；? ：堕l 单一! 哗( 1 + p 一目) ( 1 + 口+ p ) 一o ，g - 1 ( 1 + g p ) ( 1 + q + p ) 1 一q 。 刀+ 筹1一目 一n 一 + 2 堡二2 垡：! i 一口 吁3 一口2 “3 p q 一丝：! 1 一口2 1 一目 生每生姒+ 印 4 一p 一2 一+ 1 + ( 一1 ) 1 + 1 3 0 i v q p + l - o q 一1 q + p + i 一0 ，吁- 1 口= 1 ，p 乒2 碍一i ，p 一- 2 口一l ，p 2 q 一一1 p - 0 。，p - 盛 - 堡垄塑笙奎兰堡= ! ：兰竺丝茎 一一 第3 章探讨了连续k ( k 2 ) 次卢卡斯( l u c a s ) 数列矩阵及广义卢卡斯( l u c a s ) 数 列矩阵的秩 第3 1 节研究l u c a s 数列矩阵及广义l u c a s 数列矩阵的秩 引理3 1 3 吲对于f i b o n a c c i 数列 e 和l u c a s 数列 l 】- ，分别有如下矩阵表示： c c 。1 ) m 4 ( 三) ，t = c 。1 ，m ”( 三) ，其中m2 ( ：丢) 弓l 理3 1 4 t 。，对于f t b c ，r 、z t c ：c ：i 数歹u t ；：。，有( 麓1 乏，) t t ( ：三 i ，o 、= = 1 ，2 ，3 ，。， 推论3 1 5l c + 2 只4o 2 1 ) 引理3 1 6 对于f i b o n a c c i 数列 只) ，有e 也。囊。一+ 1 l ( r ，喀 ( 童1 乏，) ；( ：三) 1 ，c ，z = z 1 ，2 ，3 ，。， 定理3 1 7 当，m 苫2 时，矩阵e 。= 推论3 1 8 厶+ ， 厶l 厶+ ( 。一1 ) ，+ l 厶+ 2 l 2 l + ( 。一1 ) ，+ 2 厶+ ， l + 2 ， l + 。， 的秩为2 之+ 小厶山砂町 。叉旷弓鼻哪 引理3 1 1 0 对于二次 e ) 中连续的4 个数，有e - - ：, i4 - 2 e + ：一e 定理3 1 1 1当，加苫3 时，矩阵e 。，t ，2 1 + l ，2 1 + ( r + 1 ) ，2 h + ( m - 1 ) r + l 的秩为3 第3 2 节给出了广义f i b o n a c c i 数列 。】矩阵，同时证明相关次数的数列矩阵的 秩。定义3 2 1由连续的历，个广义f i b o n a c c i 数k 次方所组成的m 行r j 列矩阵定义由连续的历，个广义 数次方所组成的 仃，夕u 矩阵 i f n + 1 - 一七 f 。+ ( ，+ 1 ) - 七 f h + _ 一i ) ，+ l 一七 f n + 2 k f 。+ ( ，+ 2 ) k f “( m 1 ) ，+ 2 k fn r ，k f h + 2 ， 一k fn m r ，称为七次广义f i b o n a c c i 数列矩阵记为历：。，特 别地，r ，| 阶的七次广义f i b o n a c c i 数列矩阵记为i ：山：起始的m 厂个广义 v mk 忡乙 ，i一， 酗 玩如k 一 一 也? 叭乏 一 塑垄堑笙盔兰堡兰：兰垡笙兰 一 - _ _ l - l l - - - _ _ _ _ l - _ _ _ - l _ - l _ _ _ - l i _ _ _ _ - i _ - _ - l _ l _ - - _ _ _ 一一一 f i b o n a c c i 数的k 次方所组成的m 行，列矩阵 ： k fn + r - 七 f n + 1 t f 。+ ( r + 1 ) i ：+ 伽以) ，：+ ( 。哪，+ ， f ：+ 。一。 记为 否：l 。特别地，将，阶的由：起始的七次广义f i b o n a c c i 数列矩阵记为嘭 定义3 2 2由连续的mx r 个广义l u c a s 数的k 次方所组成的m 行r 列矩阵 z 川改。n ：z ：+ 。 ，称为七次广义l u c u s 数列矩阵记为否：x ，特别地， 将，r 阶的七次广义l u c a s 数列矩阵记为z ：；由z ：起始的m ，个的七次广义l u c a s 数 组成的数列矩阵 z ：+ 。 l ：一1 工n + l 月+ ，一 z ：+ ( ，+ 。) z ：+ ：，。 z - 1 ) ，l k 伽m 。z ：+ 。一1l + ( m 一1 ) ，+ ( m 1 ) ，+ 1 l + ，r 一 起始的七次广义l u c u s 数阵记为a ： 引理3 2 3 引理3 2 4 记为否：特别地，将，阶的由l 一： ! 胂71 ；声。i 。+ ，+ ，一。+ j f 。+ ，。一鸟一声，其中， ， 凡， ，71 ：z 。k 旷k l ：留一p z 一4 q ) f j f ，其中， j l 坩+ j1 定理3 2 6 当，小苫2 时，矩阵营二。，。 l + 2 l + r + 2 l + ， l + 2 ， l + ( m 1 ) ，+ ll + i 埘一1 ) ，+ 2 l + m ， 引理3 2 蠢，一q3 z ： 2 一日) z ：一( 2 +：-03 27 q - q ( pp - q ) l t , 0 弓i 理 l ：+ 3 一q 。： 2 一日) l ：+ - 一( 2 + 2 - 定理3 2 8当，- ，朋乏3 时，矩阵云：。，。 v i 2 l 月+ 1 _ 2 l 。+ ( ，+ 1 ) n r 2 l n + 2 7 2 l n + ，+ 2 ) l ，+ 1z 卅，+ 2 z ：+ 。+ ( 用一l j ，+“肼i ) ，+ 月+ 月圹 的秩为2 的秩为3 一 咖嘶厶己 也 己 “ 呻霞踟 耳 + h 一凡n 厶k ，i-一一，-llil l t e e d d ， + l 乙 乙 一 第3 3 节研究广义f i b o n a c c i 数列 i 。】矩阵的秩 定理3 3 1当厂，研苫2 时，矩阵d n 。1 ，； f + 1 fb ”n f + ( 州1 ) r + 1 引理3 3 2i ：，一9 3 声：+ q ：一q ) ：+ ，一0 2 一口) 声：+ ：= o 定理3 3 3 当，肌之3 时，矩阵石：。； v 2 f n + 1 ；2 ， + ( r + 1 ) v 2 f + ( m - t ) ，+ 1 - 2 f + 2 _ 2 f + ( ，+ 2 ) ，2 f “m 1 ) ，+ 2 一 f r f h + 2 ， f r h 咐 的秩为2 的秩为3 在对现有矩阵体积的概念和相关知识点理解基础上，第4 章进一步探究卢卡斯数列 矩阵体积和广义卢卡斯数列矩阵体积的若干性质问题，第4 1 节给出了卢卡斯数列矩阵 体积的定义和表示 定义4 1 1 设么掣”，矩阵彳的体积场阴定义为：若，t0 ，则y o g a - 0 ；若， 0 ， 则场己4 - 为了方便，约定；( 妒( ，暑d c r 如 定理4 1 2当r , m 乏2 时，矩阵e 。一 场峨。，= l + ： t ： l ( _ 1 ，2 的体积为 i d e t ( 乏，g n + t ，卜搿枷眠r 推论4 1 6 i 拙( 参：，r l 2 n + + t ，) s2 5 f f t 2 + 1 0 f s 2 e 一，其中，1 s r s r + ss 册 引理4 1 7 r m 幺+ 厶、l l ：参：! j i s 曩碌“2 5 + 2 5 + 2 5 + 3 。最j 其r l l1s _ ，i 一| 2 + ，2 ，2 t f + 2 ， ， 的体积为 s 圩互2 + 2 砰e 2 + 。，其中，1s f s f + ss 删 15 j l 厶 + _ ，2 ，2 f 知+ 钿q 2 4 q ) 2 i ；z + 2 1 q l 一q 2 一 ) i ；z ： 佃蚰斗隆毫到 s 上i ：。毫0 d 抽翩p 2 4 q ) 2 暖 + h 撕拥仞2 4 d 2 瑶+ h 撕抽p 2 4 d 2 f 2 + 6 ”p 2 一幻坞。】， 定理4 2 4 v o l e m 。= 当r ，肌己2 时，斜i 阵三：， 厶 l ， 一 l 州。i p + il 州- i ) ，2 三。 t ( 训p 2 4 d 的体积为 孙 砭赫一 f ) 1 + 2 p e也肘 f 、llll r 2 _ i l 铲 v i 、l ， w + ， 一 + 2 一l 矿 n 一 一l 值范围为：o s 3 ( e 。2 。) s 订，其中 d = 一2 l h + ( 肼一1 ) r + 1 2 l “( m 一1 ) r + 2 2 工n + m ， 薹_ f ) 2 ( r _ 1 - 9 1 ) 2 ( r - g ：) 2 【z 髭“i 口r p 2 - 4 q ) 2 ：j + i q r 2 “o z 一4 9 ) ：i + i q l 2 2 - 0 2 一钾) 2 2 + 6 1 q l “+ 0 2 4 q ) z ：+ 一) 】2 在4 3 节中继续讨论了广义f i b o n a c c i 数列矩阵的体积，并研究其介值范围 定理4 3 1当，肌苫2 时，矩阵占= 。 引理4 3 2 推论4 3 3 f + 。 f - + 一1 ， p 2 4 q f m f 2 f 州“p z 拙臣钟私n = 2 - 2 2 撕圮 d e t 引理4 3 4d e t v 2 fn + t = 2= 2 量件+ srn + s t 2 f 。+ ， 2 f + 吃 2 f h 1 1 _ 2 f n + h 一2 fm h f 。 f i 2 ， fi 。 的体积为 s w 髯+ 2 1 q l “f ；免。，其中1 s f s f + ss 删 2 ，。+ ： 一2 f “+ + j 2 v 2 f + r 2 + 2 其中1s 五 j 2 + l 0 ， 2 福建师范大学硕二e 学位论文 则v o i a 。yd e t 2 彳同时他还给出了矩阵体积的一个等价定义：v o l a = 几吼，其 、j ( ，纳 。4d 中吼吼砂“zq u 是a 的非零奇异值文 2 6 中提到了矩阵体积的相关概念，文 2 7 中通过矩阵体积的概念来介绍数学分析中的各类曲线、曲面积分的统一处理方法， 同时给出它在推广勾股定理、计算n 维球面的面积和概率中的应用 陈荣群在 2 8 3 中提出了矩阵乘积体积的一个基本性质，从矩阵的乘法角度考虑， 得出两个矩阵乘积的体积与两个矩阵体积的乘积的大小关系其本人在后期研究中进一 步刻划了矩阵体积与矩阵张量积的一个关系式、矩阵体积与矩阵广义逆的一个关系式， 从矩阵体积与初等变换的角度考虑，得出互换变换不改变矩阵的体积，倍法变换与消法 变换会改变矩阵的体积，并举例说明合同、相似、相抵变换却不能保持矩阵的体积不变， 从而使矩阵体积的应用更加广泛 1 3 本论文的主要工作 通过对现有f i b o n a c c i 数列和l u c a s 数列相关性质和知识的学习，进一步研究广义 形式的卢卡斯数列若干恒等式和关于卢卡斯数列矩阵的性质研究目前国内外学者对 高次l u c a s 数列的研究及l u c a s 数列矩阵体积问题的研究还很少，本文研究项目的创新 之处就是进一步刻画k 次( k 3 ) 广义l u c a s 数列 叠r 若干等式问题，同时定义了l u c a s 数列矩阵的体积，并求出k 次( k 2 ) l u c a s 数列矩阵的体积相应值的求法问题 第2 章利用广义l u c a s 数列 置r 的定义，研究连续若干个广义l u c a s 数的平方关 系、一些倒数关系、行列式关系以及和式关系式，并推出具体公式 第3 章利用矩阵和行列式相关知识来研究连续k ( k 2 ) 次卢卡斯( l u c a s ) 数列矩阵 及广义卢卡斯( l u c a s ) 数列矩阵的秩，并推出了相关恒等式的证明思路 在对现有矩阵体积的定义和相关知识点的理解基础上，第4 章进一步探究卢卡斯数 列矩阵体积和广义卢卡斯数列矩阵体积的若干性质问题 3 福建师范大学硕：i ：学位论文 第2 章涉及广义卢卡斯( l u c a s ) 数列的若干等式研究 在本章内容中，将利用广义l u c a s 数列 置k ，的定义，研究一类连续若干个广义 l u c a s 数的平方关系、倒数关系、行列式关系以及和式关系式，并推出具体公式 定义广义的卢卡斯( l u c a s ) 数列与广义的斐波那契( f i b o n a c c i ) 数列可以定义 如下( 见文 2 9 ) ： f 2疗；o f 0以一0 ( ； p na 1 ；茸； 1以。1 ，其中p , q 为任意非 l p l 。1 - q l 一2 ，l 1 l p f 一i - q f 一一2 以 1 、 零的实数 若记口，为x 2 _ + q 。o 的两个根，则z ；垡i 二譬，( 。a 一+ 卢一并且以上两个数 列的矩阵表示为：；( 。1 ) m “( 三) ，e _ ( 。1 ) m 4 ( 主) ，其中m 。( ；苫) 当p 2 1 ， q 一一1 时，数列u | j 为常义的l u c a s 数列j jf i b o n a c c i 数列 2 1一类广义卢卡斯数的平方关系式 前面我们谈到l u c a s 数列是一个线性递推式，文e 3 3 3 0 3 1 中给出了一系列 卢卡斯( l u c a s ) 数列与斐波那契( f i b o n a c c i ) 数列恒等式但目前国内学者对l u c a s 平方数的关系式研究，特别是对广义l u c a s 平方数的关系式研究并不多，下面我们给出 三个连续广义l u c a s 平方数的表示式，并加以证明 引理2 1 1。为第n 个广义l u c a s 数，则。= 三2 。+ 幻4 证明 因为l a “+ 卢4 ，口，是工2 一p x + g 一0 的两根，易知口+ 卢= p ，口卢= 口， 又z2 。+ 幻”一口知+ 2 ”+ 2 ( 口卢) “一( 口”+ 卢“) 2 一z 2 。，证毕 定理2 1 2l “m 2 一( p 2 2 q ) z m 2 + 口2 z 。2 。2 q “( 4 口一p 2 ) 证明 因为三2 j l + 4 ；p l 2 。+ 3 - q l 2 + 2 。p ( p l z 一+ 2 - q l 2 + 1 ) - q l 2 + 2 。p z z ：m 一朋( 鱼坐) 一扛：棚。( p 2 - 幻征m + 9 2 三孙 p 又由引理2 1 1 可知：z 棚2 一( p 2 2 9 ) z 州2 + q 2 z 。2 一z 2 州+ 2 q ”2 一0 2 2 q ) l 2 + 2 + 2 q ”1 1 + 口2f - - 2 a + 2 q “1 ；z2 n + 4 0 2 2 q ) 7 2 。+ 2 + 口2 z h + 2 q “+ 2 2 q “( p 2 2 q ) + 2 q ”+ 2 = 4 q m 一2 p 2 q ”1 + 幻”2 ；a q “+ 2 2 p 2 9 “+ 1 = 2 9 ”1 ( 4 q p 2 ) 推论2 1 3 3 2 1 设 乙 ，l 之1 是l u c a s 数列，则t 2 = l 2 。+ 2 ( - 1 ) “ 推论2 1 4 设 k ) 月乏1 址l u c a s 数列，则+ ：2 - 3 l + 。2 + 乙2al o ( 一1 ) ” 4 福建帅范大学硕二j ：学位论文 i i mmi _ - - - _ _ - _ _ _ - _ - _ 2 2 一类广义卢卡斯数的倒数式关系 文 3 7 作者给出了f i b o n a c c i 数的倒数，毒二间存在如下关系： ，t吒+ lj p k + 2 土= 一+ 二+ ( 一扩l ( 其中，f k 表示第k 个f i b o n a c c i 数，k = i ，2 ，) ，由 e 疋+ ，最+ ：、7e e + 。e + ： 此我们经过研究，给出了一类广义l u c a s 数和广义f i b o n a c c i 数的倒数关系式存在性定 理及其证明 定理2 2 1z 。表示第n 个广义l u c a s 数，则三：o 一旦+ q ：( p y - 4 p q ) l nl i l + 2l l + i l 月+ 2 证明由上所述的广义l u c a s 数列，我们知道其通项公式为z k ；口。+ 故有 z ：+ t j ：t l t + ：= a k + l + + 1 ) 2 - - ( 口+ ) ( c r + 2 + 卢+ 2 ) 。k “，+ 卢“1 ) 2 一b2 + 2 + 口卢“2 - i - c t “2 + p 2 “2 ) 一口2 + 2 + 2 a “1 + 1 + 2 “一a 2 “一口“2 一口七+ 2 卢。一声甜+ 2 * 2 a “1 卢“1 一口卢“2 一a “2 一a 【2 筇一口2 一卢2j 一一( q 声y 【( 口+ 卢) 2 4 q 声j q k ( 幻一p 2 ) 又由广义l u c a s 数列定义可得z ：p z 州一q z 盹，得z “：三z 。+ 里z h ，所以 z ：一z 。z m ：l k + l ( l z m + 里z k ) 一厶z m 。q t ( 4 q p ：) p p l k + 1 l k + 2 - p l k l i + 2 + q l + l i + 1t q ( 4 p q - p 3 ) l k + i l k + 2 一p l k l k + 2 - q l k l t , + 1 + 鸟0 3 4 p g ) 因l k l k + t l k + z 0 ，( 1 ) 式两边同除以l t ml m 便得到如下式子： 三。三一旦+ 鳝二兰丝2 l il “1l “2l t “l 工“2 ，k = o ，i ，2 ( 1 ) 由定理2 2 1 的证明，可以得到如下一些推论： 推论2 2 2 设( l 。) ( 刀苫1 ) 是广义l u c a s 数列，则 ( 1 ) l ：+ - 一l 。l 。+ 2 一口“( 幻一p 2 ) ( 2 ) l 一+ 1 l 一+ 2 一p l 。l 。+ 2 + q l 。l 。+ 1 一口“( 4 p q - p 3 ) 在定理2 2 1 中，令p = 1 ，q 。一1 ，得到下列推论： 推论2 2 3 设fl 。) 苫1 ) 是l u c a s 数列，则 ( 1 ) e + 。一+ ：= 5 ( - i t “ ( 2 ) t + 。t + ：一l + ：+ l l + ，一5 ( 一1 ) 1 定理2 2 4 i 。表示第n 个广义f i b o n a c c i 数，则当。l 一当+ 塑二一 f n f + 1 f n + 2 f 月f n + 1f h + 2 定理2 2 4 的证明类似定理l ( 证明从略) 推论2 2 5 设 f 。 伽1 ) 足广义f ib o n a c c i 数列，则 ( 1 ) 一一凡凡+ ：= 。 5 一 塑些堑鎏盔竺堡= ! = 兰垡笙兰 一i - _ _ i - _ _ - - l _ _ _ l - i - _ 一_ l - _ _ _ - l _ - - l _ - _ - _ _ _ _ l 。一一 ( 2 ) f ”i f 一2 + q f f 棚一p f f 州。朋” 在定理2 2 4 中，令p 一1 ，q 一一1 ，得到下列推论： 推论2 2 6 文 3 3 中设定 f 。) 加之1 ) 是f i b o n a c c i 数列， ( 1 ) ，：，一只c + 2 = 【一1 广 ( 2 ) e n e 也一e e + 2 一e e 缸= ( 一矿 2 3 一类广义卢卡斯数的相关行列式 关于l u c a s 数组成的特殊行列式的研究，囡内外已有很多学者f 在研究，也得出了 些很好的结论见文 3 4 3 3 5 3 3 6 3 下面我们给出一个山广义l u c a s 数构成的特殊 行列式， 讹，性差蔓 ，其中z 。为第k 个广义l u c a s 数，k 引理2 3 1 1 3 7 1如果行列式中有两行( 或两列) 对应项成比例，那么该行列式等于 零 定理2 3 2 设k 为非负整数，则对于任意正整数m ，n 及z ，当m n 一2 时，d n ( m ，k ， f ) = o 证明由公式z 。；口“+ 卢“，此处口，卢是二次方程z 2 一p x + q 1 10 的两个根，我们通 过二项展开式得 嘶 岫巨 l k + 2 j h l “加+ 2 ) ， 一，h i + 加( 一1 ) + 2 】， 州 厶k + 时 三z ：时 o m l “ 2 1 m 1 2 m h 肘2 2 肘翻 m 。2 m 。 其中m 朋一( 一) ，+ 叮；萎c 二口k p l ) + 叮琳州卢伽小( ，1 ) + 以p 1 s p ，gs 以现先把行列式 d n ( m ，k ，1 ) 按第1 列系数诺相同的拆成m + 1 个行列式 见班荟础= 口( m 胁。) 卢( 川hm 1 2 c r 【+ ( + 1 ) ，】( m 。) 9 + ( + 1 ) ，1 m 2 2 肘 m 2 j l 口帅( ) + i 】， ( 。 ) 矿+ 【 州) + 1 】，i l m 。2 m 。 再按上述和式中每个行列式的第2 列式系数c 耋把每个行列式再拆成m + 1 个行列式， 依次做下去，一共拆成( m + 1 ) n 个行列式，即得 6 福建师范大学硕： ：学位论文 见( ，l z ) 2 荟磊一荟诺诺磷 口( 川x m ) p ( ) l i 口m + 1 m 矿+ ( 槲孙 口) ( m f 1 ) 卢( 胁啦 a 胁一) 卢( 幽7 k 口弘+ f j i ( ”。1 ) + 1 】， ( m _ ) j 哆 t + 【h ( _ i ) + 1 】 a ( t + n 2 ) ( m 。) ( i + 2 ，k 上面和式中每个t 的取值范围是0 到m 共m + 1 个整数，所以当n m + 2 时由抽屉原理知 ，乞， j l l 这n 个变量中至少有两个是相等的，不妨设f ，= = f ，则它们所对应行列式中 的那一列分别为l口 口( + p 坝m 一) ( k + p 1 ) i 口【+ ( w ) ，】( m 一) 卢【2 + ( k + 【一( 一一1 ) + p 】f ) ( m 一 一) 卢( k + q l x 口【+ ( + q ) f 】( m 一) 卢【+ ( + 呵) 。】 口 t + 【 ( 月一i ) + q 1 ，) ( m 1 ) 卢 i + 【 n 1 ) + 叮1 f ) j 及 ，易知这两列对应值成比例，公比为 u ( p 一叮) 。( 历一) i f ( p - - q ) 矗，从而当n m + 2 ( 即m r 为广义l u c a s 数列，则 善窖= 等箫嚣净+2譬(1+q-pqq 1 q 肌州1 ( 1 +一p ) ( 1 + p ) 。 一 八1 十q 十，u q 一上 以+2旦二j兰：二+q2f-q2n+21 1 + p + 鼋；o ，g 一1 q 1 一 一口z ，叮一v 叮，- 工上 眦辔1 + 车乒 1 咿g i o 刖1 q 1 一 - 口2 。，叮一v 吁p 工1 2 | ，l + 二二兰二4 笋 鼋。1 ，p - 2 一口 1 r 4 以 q 一1 , p ；2 2 n 一1 一( 一1 ) “” 口一1d 。0 证明 当( 1 + g p ) ( 1 + g + p ) 一o j i l q - 1 时， 扣例2 扩榭们一等+ 等 + 2 堂二( 堂芝 。生坐尘丝竺等嬖篓兰她：+2ap-cap)+l- a 2 - p 2 + 口2 声2 一一“矿 1 一a , a p 2 - 2 q - 2 q 2 - l 2 , , + 2 + q l e , ：, , , + 2 趟 ( 1 + g p ) ( 1 + 口+ p ) 1 - q 。 当1 + p + 口a 咀鸟一：t ：l l b j ，口，中有一个为一1 ，设口。一1 ，则。- q , 从而 套宣2 扣咖h ) i 】2 。扣矾朔2 筹+ 可q 2 _ q 2 , , + 2 当1 + g p 2 0 且口一- 1 时，口，中有一个为1 ，设a 。1 ，则卢，口，从而可得 妻露2 妻“埘q l 。扣矾矿m 一2 普+ 可q 2 _ q 2 2 当q 一螂譬2 时，此时筇；l 且口，厣1 ， 嗡它2 扩榭们一百) 1 2 1 3 2 n + 2 + 爷+ 孙 ；学概 当g - l p = 2 时，口= 卢；1 ，：2 ，则岁窖；4 n 舒。 当g ；1 p = 一2 时，口= = 一1 ，；一2 ，则多廖。4 n 箭 当g 。一1 ，p2 。时，口l l = 以，则砉它- 喜f 1 + 1 + 2 ( 一1 y 】t 劾一1 一( 一1 ) ”1 8 善玩。 旦：二! 旦垡= 呈：旦二兰2 。1 21 望：墨2 ：! 一旦望二旦垡二 ( 1 + q p ) o + q + p ) 1 一吁 n + 垡：= 里= + 里：旦芷 1 一q 2 1 一q 一厅一旦二+ 旦堡：旦堡： 1 一日1 一日 旦：= 1 2 = 生牛监+ n p 4 一p 一2 n + 1 + ( - i ) 。+ 3 n 证明当( 1 + p 日) ( 1 + q + p ) 一0 且g 一1 时， 丘+ 1 暑 箭 口3 一口孙 1 一a 2 二+ 3 - - 卢2 。n + 3 + p 盟型= 1 8 2 l 1 一q 3 ( 1 + p 一日) ( 1 + q + p ) - o ，g 一1 q p + 1 一o ，q - 1 q + p + 1 - 0 。q - 1 口- 1 ，p 一- , - 2 q 一1 p 一一2 q 1 ，p - 2 q - - 1 ，p l i t0 茁+ 1 + 卢复“+ 口卢( 口+ 卢) 】 ；竺：壁：二垒：壁竺二塑：鱼；壁! 竺：壁：芷生：土+ p a , 8 - ( a , s y + x 2 二1 = ：_ 二否i ：a _ j i 乒一一一一1 y 1 一a 口 一o 【1 一2 + l 2 一o 【p ： ：二兰212垡：兰2!一pq_pq+lp-3pq-q p 3 2 一工2 + 3 + q l 2 壁l 一 o + q - p ) ( 1 + q + p ) 1 一q 当g p + 1 ；0 ，q - , - 11 对，计算得口一1 ，卢一口，则 砉配，；| ；+ 卢2 i + 14 - 口i 砍a 峒】_ 骞m 州州】 ；，l + q 3 _ q 知。+ 3 + p q _ p q , m 1 - q 2 1 - q 当口+ p + 1 = o , q 1 时， 套飒一下q 3 _ q r h + 3 + 口一一1 , p 。一q ，同理可得 p q p q “蚺 1 一日 当g 一1 ，p 2 时，o f , 均不为1 ，且筇- 1 ，则 善n“-砉【口2f“+夏“+(口+卢)】=砉(口2j“+卢卫+l+p)i兰二!铲+，妒 当q = 1 , p 卑一2 时，计算得口一声一- 1 ，则 + - = 善【一1 1 2 ( 一卜一2 ，l + 1 + ( 一1 ) ”1 。 当g 一1 , p 一2 时，计算得口= = 一1 ，则z + ，一z ( 1 + 1 + 1 ) 一孙 当日= 一1 p = o 时，计算得口一1 ，卢一一1 ，则e + ，= ( 1 1 + o ) 一o 9 福建师范大学硕- j ：学位论文 第3 章k ( k 2 ) 次卢卡斯( l u c a s ) 数列及其矩阵秩的研究 本章将利用矩阵和行列式相关知识来研究连续k ( k 2 ) 次卢卡斯( l u c a s ) 数列矩阵 及广义卢卡斯( l u c a s ) 数列矩阵的秩，推出了相关恒等式的证明思路 3 1 卢卡斯数列矩阵的秩 定义3 1 1由连续的m x r 个f i b o n a c c i 数的k 次方所组成的小行r 列矩阵 f k n + l f k 一一+ ( ，+ 1 ) f k n + 2 f i 工一+ ，+ 2 ) f ：。r 砹：， 礤( 。- 1 ) ，+ 1 砭。- 1 ) ，+ 2 砹。 ，称为七次f i b o n a c c i 数y , j r g 阵记为磷。特别地， 将，阶的七次f i b o n a c c i 数列矩阵记为f 并且由群起始的m ，个的七次f i b o n a c c i 数组成的矩阵 f kf k 一- + 1 f t f k 工t + 一+ ( ，+ 1 ) f k 一 + ，- 1 f k + 2 ，一1 硭( 。- 1 ) ，磁( 州) ，+ l 礤剃 记为s 。k 。特别地，将r ，阶的由群起始 的七次f i b o n a c c i 数列矩阵记为磷 定义3