小学数学奥数基础教程(五年级)--28.doc

小学数学奥数基础教程(五年级)本教程共30讲逻辑问题（二） 例1老师拿来五顶帽子，两顶红的三顶白的。他让三个聪明的同学甲、乙、丙按甲、乙、丙的顺序排成一路纵队，并闭上眼睛，然后分别给他们各戴上一顶帽子，同时把余下的帽子藏起来。当他们睁开眼后，乙和丙都判断不出自己所戴帽子的颜色，而站在最前面的甲却根据此情况判断出了自己所戴帽子的颜色。甲戴的帽子是什么颜色？他是怎样判断的？分析与解：这是一个典型的逻辑推理问题。甲站在最前面，虽然看不见任何一顶帽子，但他可以想到：如果我和乙戴的都是红帽子，因为一共只有两顶红帽子，那么丙就会判断出自己戴的是白帽子。丙判断不出自己戴的帽子的颜色，说明我和乙戴的帽子是两白或一白一红。甲接着想：乙也很聪明，当他看到丙判断不出自己戴的帽子的颜色时，他也能判断出我们两人戴的帽子是两白或一白一红。此时，如果他看到我戴是红帽子，那么他就会知道自己戴的是白帽子，只有我戴的是白帽子时，他才可能猜不出自己戴的帽子的颜色。所以，我戴的一定是白帽子。例1中，甲的分析非常精采，严密而无懈可击。例2三个盒子各装两个球，分别是两个黑球、两个白球、一个黑球一个白球。封装后，发现三个盒子的标签全部贴错。如果只允许打开一个盒子，拿出其中一个球看，那么能把标签全部纠正过来吗？分析与解：因为“三个盒子的标签全部贴错”了，贴错的情况见下图（表示白球，表示黑球）:如果从标签是两黑的盒子中拿一个球，那么最不利的情况是拿出一个白球，此时无法判定是实际情况1，还是实际情况2，也就无法把标签全部纠正过来；同理，从标签是两白的盒子中拿一个球，若拿的是黑球，则也无法把标签全部纠正过来；从标签是一黑一白的盒子中拿出一个球，若拿出的是黑球，则能确定出是实际情况1，若拿出的是白球，则能确定出是实际情况2，因此能把标签全部纠正过来。所以，只要从标签是一黑一白的盒子中拿一个球，就能纠正全部标签。例3 A，B，C三名同学参加了一次标准化考试，试题共10道，都是正误题，每道题10分，满分为100分。正确画“”，错误画“”。他们的答卷如下表：考试成绩公布后，三人都得70分。请你给出各题的正确答案。分析与解：我们先分析一下三人的得分情况。因为三人都得70分，所以每人都错了3道题。比较A，B的答卷发现，他们有6道题的答案不一样，说明这6道题A，B两人各错3道，也就是说，A，B答案相同的题都对了，因此找到了第1，3，4，10题的正确答案。同理，A，C的答卷也有6道题的答案不一样，因此找到了第3，6，8，9题的正确答案；同理B，C的答卷也有6道题的答案不一样，因此找到了第2，3，5，7题的正确答案。各题的正确答案如下表：例4 A，B，C，D，E五位选手进行乒乓球循环赛，每两人都只赛一盘。规定胜者得2分，负者不得分。现在知道的比赛结果是：A与B并列第一名（有两个并列第一名，就不再设第二名，下一个名次规定为第三名），D比C的名次高，每个人都至少胜了一盘。试求每人的得分。分析与解：因为乒乓球比赛没有平局，所以求胜的盘数与得分是一回事，胜的盘数乘以2就是得分。五人进行循环赛，共需赛10盘，总得分是210= 20（分）。因为每人都赛4盘，所以第一名最多胜4盘，但因为A，B并列第一，A，B不可能都胜4盘，所以A，B最多各胜3盘。如果A，B没有各胜3盘，而是各胜2盘，那么剩下的10-22= 6（盘）的胜利者只会是C，D，E，根据抽屉原理，C，D，E三人中至少有1人胜了至少2盘，与第一名胜2盘矛盾。所以，A，B各胜3盘，各得6分。还有4盘，已知D比C名次高，每个人都至少胜一盘，只能是D胜2盘得4分，C，E各胜一盘，各得2分。注意：题目中“每个人都至少胜一盘”是制约结果的重要条件，如果没有这个条件，那么该题的结果就有两种可能：一是A，B各胜3盘，各得6分，D胜2盘得4分，C，E各胜1盘，各得2分；二是A，B各胜3盘，各得6分，D，E各胜2盘各得4分，C胜0盘，得0分。 练习281.有个老汉想考考他的四个聪明的儿子，他拿出六顶帽子，三顶红的、两顶蓝的和一顶黄的。然后，让四个儿子按大的在前小的在后的顺序排成一路纵队，并让他们闭上眼睛。接着，给他们每人戴上一顶帽子，藏起其余两顶。当他们睁开眼睛后，每个人都只能看见前边人的帽子。这时，老汉依次问小儿子、三儿子和二儿子，“你戴的帽子是什么颜色？”他们都回答“不知道”。最后，老汉又问大儿子。大儿子想了一会儿，正确地说出了自己戴的帽子的颜色。 问：大儿子戴的帽子是什么颜色？他是如何判断的？2.五年级有四个班，每个班有两名班长，每次召开年级班长会议时各班参加一名班长。参加第一次会议的是A，B，C，D，参加第二次会议的是E，B，F，D，参加第三次会议的是A，E，B，G。已知H三次会都没参加，请问每个班各是哪两位班长？3.甲、乙、丙、丁四个学生坐在同一排的相邻座位上，座号是1号至4号。一个专说谎话的人说：“乙坐在丙的旁边，甲坐在乙和丙的中间，乙的座位不是3号。”问：坐在2号座位上的是谁？4.李大娘问三位青年人的年龄。小张说：“我22岁。比小吴小2岁。比小徐大1岁。”小吴说：“我不是年龄最小的。小徐和我差3岁。小徐25岁。”小徐说：“我比小张年龄小。小张23岁。小吴比小张大3岁。”这三位青年人爱开玩笑，每人讲的三句话中，都有一句是错的。李大娘难辩真真假假，请你帮助李大娘弄清这三人的年龄。5. A，B，C三支足球队举行循环比赛（每队之间赛一场），下面是记有详细比赛情况的表。但后来发现表中有四个数是错误的。请按规定重制一张正确的表格。（胜一场记2分，负一场记0分，平一场双方各记1分。）6.某次数学测验，共有六道试题，均是是非题。正确的画“”，错误的画“”。每题答对得2分，不答得1分，答错得0分。甲、乙、丙、丁的答案及前三人的得分如下表，求丁得了多少分。练习281.红色。提示：与例1类似。小儿子前面三个哥哥至少有1人戴红帽子，否则，若是蓝、蓝、黄，则小儿子就能判断出自己戴的是红帽子；同理，三儿子前面两个哥哥至少有1人戴红帽子，否则，三儿子就能判断出自己戴红帽子；同理，若大儿子戴的不是红帽子，则二儿子就能判断出自己戴的是红帽子。2.四个班的正、副班长分别是B和H，A和F，C和E，D和G。提示：两人同班的必要条件是不能同时参加同一次会议，由于B三次会都参加了，而H没参加，所以B和H同班。3.丁。提示：由题意知，乙坐3号，乙和丙不相邻，故丙在1号；又甲不在乙、丙之间，故丁在乙、丙之间，即丁在2号。4.小吴25岁，小张23岁，小徐22岁。提示：假设张22岁是真的，那么徐说“小张23岁”是假的，徐说的其他两句话都是真的，所以吴25岁，小徐小于22岁，由此推知小吴说的三句话中，“小徐和我差3岁”及“小徐25岁”这两句话都是假的，与每人有一句假话矛盾，所以小张不是22岁。因为小张的“我22岁”是假的，其余两句话是真的，所以小吴比小徐大3岁，小张比小徐大1岁。如果小徐说的“小张23岁”是假的，那么“小吴比小张大3岁”是真的，推知小徐与小张同岁，则小徐所说“我比小张年岁小”是假的，小徐有两句话是假的，与题意不符，所以“小张23岁”是真的。由此推知，小吴25岁，小徐22岁。5.提示：（1）三队循环赛，每队都打2场，所以C队只赛1场是错误的。（2）A队才打2场，不可能胜2平1，并且胜的总场数与负的总场数应相等，现表中胜3负2不合理，从A队得3分看，A队可能是胜1平1。打平双方都记1分，所以平球的总分不可能是奇数，从C队的得分看，C队平球是1场不是2场。这样，胜、负、平的场数才合理，与各队得分也相吻合。（3）A队既然胜1平1，不可能进0个球，打球双方有几个进球就有几个失球，失球总数是9，所以A队进球数的0应改为6。表格正确填法如下