（固体力学专业论文）斜拉索的非线性动力学分析.pdf

斜拉索的1 线卡牛动力学分析 摘要 本文对弹性斜拉索的非线性动力学进行了研究。在考虑几何非线性情况 f ，利用n e w t o n 方法建立了斜拉索的非线性动力学方程。利用约化方法、 多尺度法对斜拉索面内和面外的耦合振动进行了分析，发现在参数满足一定 条件时，面内和面外的振动就会发生祸合。在第四章中，研究了斜拉索在可 动边界条件下的单自由度响应，在这章中，首先利用边界条件，建立了斜拉 索在可动边界条件下的简化模型。接着重点分析了边界条件以及平方非线性 项对斜拉索的非线性动力学性质的影响，同时还分析了斜拉索从周期运动经 + 一一 过倍周期分叉通向混沌的道路。在第五章中，针对第四章得到的结论，用 m e l n i k o v 方法研究了斜拉索的混沌运动，并对斜拉索的混沌运动进行了数 值模拟。 关键词：斜拉索：非线性，约化方法，分又，混沌 湖南人学硕十论丈 a b s t r a c t t h i sp a p e ra t t e m p t st os t u d yt h en o n - l i n e a rd y n a m i c so fc a b l e s t h en o n l i n e a rd y n a m i c se q u a t i o n so fc a b l ea r ee s t a b l i s h e db ya p p l y i n gn e w t o nm e t h o d w i t h g e o m e t r i cn o n l i n e a r i t y t a k e ni n t o c o n s i d e r a t i o n a p p l y i n gs i m p l i f i e d m e t h o da n dm u l t i s c a l em e t h o d t h ec o u p l i n gv i b r a t i o no ft h ei n - p l a n ea n do u t - p l a n e i ss t u d i e d a n dt h e i n p l a n e a n do u t p l a n ev i b r a t i o n c o u p l e s c a nb e d i s c o v e r e dw h e nt h ec a b l e sp a r a m e t e r ss a t i s f yc e r t a i nc o n d i t i o n s i nc h a p 砖r4 t h es i n g l e d e g r e e o f - f r e e d o mr e s p o n s eo fac a b l eu n d e rt h ec o n d i t i o no fm o v a b l e b o u n d a r y i ss t u d i e d i nt h i s c h a p t e r , t h es i m p l i f i e d m o d e lu n d e rb o u n d a r y c o n d i t i o ni sa t t a i n e d t h e nt h ei n f l u e n c e so fb o u n d a r yc o n d i t i o na n dq u a d r a t i c n o n l i n e a r i t y o nn o n l i n e a r d y n a m i c so fc a b l e s a r e a n n y z e d m e a n w h i l e ，w e a n a l y z et h ep r o c e s s i o no f t h em u t el i o mt h ep e r i o d i cm o t i o nt oc h a o sm o t i o no f c a b l ev i ap e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n i nc h a p t e r5 ，t h ec h a o t i cm o t i o no f c a b l ei s s t u d i e db yu t i l i z i n gm e l n i k o vm e t h o da n ds i m u l a t e st h ec h a o t i cm o t i o nd i g i t a l l y k e y w o r d ：c a b l e ，n o n l i n e a r , s i m p l i f i e dm e t h o d ，b i f u r c a t i o n ，c h a o s 1 1 第一章斜拉索的1 r 线性动力学的概述 第一章斜拉索非线性动力学的概述 1 1 斜拉桥的发展概况 作为斜拉桥的一种重要结构，斜拉索的非线性动力学的发展是随着斜拉桥 的发展而迅速得到发展的，所以在论述斜拉索的非线性动力学的发展情况之 自h ，有必要先说明斜拉桥的发展情况。 斜拉桥作为种由索、塔和梁组成的组合体系桥梁结构，以其跨越能力大， 造型美观而成为现代桥梁工程中发展最快、最具有竞争力的桥型之一。实际上， 对于2 5 0 米至1 5 0 0 米( 甚至更长) 的跨度范围，斜拉桥( 包括悬索桥) 都具有竞争 能力，所以覆盖了目前跨度范围的5 6 左右。 早期由j o h nr o e b l i n g 设计的纽约b r o o k l y n 悬索桥( 2 8 5 + 4 8 4 + 2 8 5 ) 时就已把 斜拉索作为辅助构件了，但当时材料强度低且技术水平还不能正确计算象斜拉 桥这样的高次超静定结构。第一座现代钞斜拉桥直到第二次世界大战后才出 现，距第一座斜拉桥达一个世纪之久。此后，由于有限元法的出现和电算技术 的发展，高强度优质新型钢材的大量生产，模型试验技术和预应力混凝土技术 的飞速发展，使斜拉桥在近3 0 年间获得突破性的发展。近几年来，中国和世 界各国相继出现了修建斜拉桥的高峰期。 7 0 年代修建成不少p c 斜拉桥，具有代表性的两座p c 斜拉桥是美国的 p a s c o k e n n e w i c k 桥( 跨径为2 9 9 米) 和法国的b r o t o n n e 桥( 主跨径为3 2 0 米) ，它 们的特征是密索飘浮体系。目前建成最大跨径的p c 斜拉桥是西班牙的l u n a 桥，其跨径为4 4 0 米。8 0 年代中出现结合梁斜拉桥，采用钢梁和混凝土桥面 板，代表作是加拿大的a n n a c i s 桥( 跨径4 6 5 米) 和印度的第二h o o g h l y 桥( 跨径 4 5 7 米) 。9 0 年代将出现跨径超过结合梁的复合梁斜拉桥，即主跨为钢粱，边 跨为混凝土梁的斜拉桥。正在旄工的有法国的n o m a n d i 桥f 主跨为8 5 6 米) 和日 本本洲四国连络线上的多多罗大桥( 8 9 0 米) 。 我国斜拉桥的技术发展很快，目前已经进入世界领先的行列。在p c 斜拉 桥方面，世界范围内跨径大于2 0 0 米的j p c 斜拉桥有3 9 座，我国占有1 2 座； 在结合粱斜拉桥方面，1 9 9 1 年建成的上海南浦大桥( 主跨4 2 3 米) 和1 9 9 3 年建 成的上海杨浦大桥( 主跨6 0 2 米) 是当前世界上跨径最大的斜拉桥，也是最大跨 湖南人学硕十学位论文 径的结合梁斜拉桥。截至目前为止，世界上大于4 0 0 米跨径的斜拉桥为1 5 座， 其中我国就有6 座。 1 2 斜拉桥的结构特点 采用斜拉索对兴建大的桥梁起了一个新的促进作用。斜拉桥的重要性越来 越明显，仅在近二十年内变得如此成功，以致在j 下统的桥梁体系中它己占有很 重要的地位。近代的斜拉桥中呈现一个空间体系，这个体系由加劲梁( 在本文 中有时简称梁) 、横向与纵向联结系，萨交异性桥面以及支撑部分如受压的塔 柱与受拉的斜拉索等组成。这样一个空间结构的重要特征是横向构造全部与主 要的纵向结构共同作用。这意味着结构的惯性矩有很大的增加，这样就有可能 降低粱高并节约钢材。斜拉桥结构由塔、索和粱组成，结构体系丰富多彩。按 塔的数量，可分为单塔和双塔；按索面数可分为单索面和双索面：按索的形状 可分为放射形、扇形和竖琴形。在密索体系的前提下，按塔、梁和墩的相互连 接方式，可分为塔墩固结、塔粱固结、塔梁墩固结和飘浮体系等。 斜拉桥的结构特点是由索塔引起的斜拉索作为梁跨的弹性中间支承，以降 低梁跨的截面弯矩，减轻梁重，提高了梁的跨越能力。此外，斜拉索的水平分 力对主梁产生轴向预加压力的作用，此水平分力增强了主粱的抗裂性能，减少 了高强度钢材的用量。 斜拉桥的结构分析与传统的连续梁和桁架桥的结构分析相比较，几何非线 性的影响尤为突出，影响因素也多，特别是特大跨径的斜拉桥，由于斜拉索较 长，所以斜拉索自重产生的垂度较大，斜拉索的伸长量与斜拉索内拉力不成正 比关系。整个结构的几何变形也大，大变形问题很突出，加上弯矩和轴向力的 相互作用等因素的影响，使得大跨径斜拉桥的几何非线性分析显得较为复杂。 具体来说，斜拉桥几何非线性主要来源于以下四个方面： 1 由于梁、索、塔的尺寸增大，作用的荷载相应加大，变形也随之而增加， 因而要考虑小挠度的大应变问题，特别是粱和索； 2 新型材料的采用、温度效应等不可忽略的物理因素也使得斜拉桥问题的非 线性必须考虑； 3 粱、塔的耦合作用，在斜拉桥中，塔和主梁都是弯压构件，弯曲变形与压 缩变形之间的耦合所产生的作用也是引起非线性的一个重要因素； 4 斜拉索自身垂度的影响。 一 一 ： 墨二至型垫窒竺! ! 垡丝垫查堂塑塑堕 正是由于以上四点，斜拉桥问题呈现出非线性和祸合作用。斜拉索作为斜 拉桥的重要组成结构，斜拉索的几何非线性问题也很严重。 1 3 斜拉索几何非线性的主要影晌因素 1 大变形效应 在荷载作用下，斜拉桥上部结构的几何位置变化显著。从有限元的角度束 晚，结点坐标随荷载的增量变化较大，各单元的长度、倾角等几何特性也相应 产生较大的改变，结构的刚度矩阵成为几何变形的函数。因此平衡方程 f ： k 6 不再是线性关系。 2 垂度效应 斜拉索的相对运动受到斜拉索自身三个因素的影响： 1 斜拉索受力后发生的弹性应变受索材料的弹性模量控制； 2 斜拉索的垂度变化与材料应力无关，完全是几何变化的结果，受斜拉索内 张力、斜拉索的长度和重力的控制。抗拉刚度随轴力的变化而变化，斜拉 索的拉力若为零或受压，则抗拉刚度为零。垂度变化与斜拉索的拉力不是 线性关系； 3 在荷载的作用下，斜拉索各股钢丝作相对运动，重新排列的结果使横截面 更为紧密。 3 弯矩与轴向力的组合效应 斜拉桥的斜拉索拉力使其它构件处于弯矩和轴向力组合作用，这些构件即 使在材料满足胡克定律的情况下也会呈现出非线性特性。 综上所述，即使是在只考虑几何非线性的情况下，斜拉索的非线性也还是 一个非常复杂的问题。 1 4 斜拉索的非线性动力学的研究进展 斜拉索作为一种具有柔、轻及高强度等特征的结构，在工程实际中经常作 为受拉构件大量使用。特别是近十几年来，由于斜拉桥的大量修建，斜拉索的 应用更为广泛。故对斜拉索的动力学进行研究有很重要的工程意义。一般来说， 铷j 南人学硕十学位论文 斜拉索的非线性来源于材料非线性、大变形及垂度引起的几何非线性等因素， 其动力学行为非常复杂，所以近几十年来，一直是数学、力学与工程界研究的 重点领域。1 9 7 9 年y a m a g u c h i 和i t o 6 1 1 在基于三个假设的前提下研究了斜拉 索的三维动力学问题，结果表明即使是线性问题也比较复杂。1 9 8 1 年 y a r n a g u c h i ，m i y a t a 和i t o 6 2 又研究了在谐波激励情况下的时问历程问题，他 们的研究结果表明，斜拉索的动力学性质受几何参数和物理参数的影响较大， 其中几何参数有垂跨比、倾角，物理参数有水平张力、弹性模量、斜拉索的横 截面积、密度。8 0 年代后，l u o n g o ，p e g a 4 3 又专门研究t z 维问题弹性斜拉 索几何非线性问题，发现面外运动对面内运动有参数激励的作用，它们之间存 在非线性共振的情况。1 9 8 0 年，h a g e d a m 和s c h a f e r 3 5 研究了弹性斜拉索的 非线性自由振动。1 9 8 7 年p e r k i n s 和m o t e 5 l 】研究了运动的弹性索的三维振动。 1 9 9 1 年，r a o 和i y e n g a r 5 4 1 研究了在周期激励作用下斜拉索的内共振和非线 性响应。1 9 9 9 年，p i l i p c h u k ，i b r a h i m 5 3 研究了浅悬索的非线性模态相互作用。 自1 9 9 8 年以来，x u ，y u 5 9 ，6 0 1 专门研究了斜拉索上装有阻尼器件条件下斜拉 索的非线性振动控制问题，并取得了一系列的结果。1 9 9 2 年，p e r k i n s 5 2 研究 了强迫激励与参数激励联合作用下弹性斜拉索多模态相互作用的非线性动力响 应。1 9 9 3 年，b e n i t o ，p a c h e c o ，f u j i n o 和s u l e k h 2 9 等又进一步研究了考虑粘 性阻尼时斜拉索的曲线形状。1 9 9 5 年，b e n e d e t h n i ，r e g a 和a l a g g i o 3 0 研究 了在多种内共振条件下四自由度模型悬索的非线性振动。1 9 9 2 年，l e e 和 p e r i n s 3 9 专门研究了包含2 ：1 内共振的非线性振动。1 9 9 0 年以来，我国学者 也对大跨度桥梁中斜拉索的风雨激振问题开展了广泛的研究。同济大学顾明教 授及其领导的课题组在此领域内也获得了较好的研究成果【1 ，2 ，3 。2 0 0 0 年，湖 南大学赵跃宇教授领导的课题小组就斜拉桥的非线性动力学模型的研究取得了 很好的成果 7 5 ，7 6 ，7 7 ，7 8 ，7 9 1 ，受到很多的专家的肯定和好评。他们就斜拉索的 非线性振动进行深入的研究，比较成功地把非线性动力学中的一些先进研究方 法引入到了斜拉索的非线性动力学分析过程中来，同时利用多体动力学的些 观点首次( 就所查的资料来说) 把非惯性参考系引入到斜拉索的建模过程中来， 从而能够更精确的反映斜拉索的非线性动力学性质。 在斜拉索动力学研究过程中，经历了从静力学到动力学，从线性理论到非 线性理论，从考虑直线索到考虑垂度效应的几个过程。从总体上看，就非线性 4 第章斜拉糸的1 线性动力学的概述 两言主要研究了二个方面的问题：( 1 ) 斜拉索的大变形；( 2 ) 斜拉索的垂度效应。 就动力学而言研究了几种问题：( 1 ) 动力响应( 时间历程) ；( 2 ) p b 共振形态( 含主 共振、超谐、次谐共振) ；( 3 ) n 共振形态( 包括各维模态之f - 白j 内共振、同维各阶 模态之间的内共振) ；( 4 ) 斜拉索的几何参数、物理参数对动力响应的影响等；( 5 1 备种复杂荷载作用下( 风、雨等) 斜拉索的振动及其控制。 1 5 本文的研究内容 本文研究了在惯性参考系中弹性斜拉索的非线性动力学问题，其主要目 的是为了丰富斜拉桥非线性动力学的模型与理论。进一步考虑各种参数( 包括 几何参数和物理参数) 对斜拉索的非线性动力学的影响，同时引入工程实际的 些现象进行分析，并提出一些对工程有实际意义的结论，从而为更好地设计 更大跨度斜拉桥提供理论分析基础。 本文在只考虑几何非线性的情况下，建立了惯性参考系中弹性斜拉索的 非线性模型。并在此基础上，利用n e w t o n 法建立了斜拉索的非线性动力学方 程。接着利用g a l e f i n 方法把斜拉索的非线性偏微分方程组离散为一组常微分 方程组，然后利用多尺度法研究动力系统的非线性振动、共振及分叉、混沌。 下面简要介绍一下各章的研究内容。 在第二章中，主要研究了惯性参考系中弹性斜拉索的非线性动力学性态， 建立了弹性斜拉索的三维动力学模型及其运动微分方程。 第三章中，研究了两端铰支斜拉索的平面内运动与面外运动的耦合情况， 并进一步深入分析了此情况下两个自由度之间的内共振及其分叉模式。 第四章中，研究了斜拉索在可动边界条件下的单自由度响应，在这一章中， 首先通过分析斜拉索的边界条件，建立了斜拉索的简化模型。然后分析了边界 对斜拉索的动力学性质的影响，同时还分析斜拉索的周期运动以及拟周期运 动。 第五章中，针对第四章出现的一种情形，重点分析斜拉索在可动边界条 件下的混沌运动。在这章中，利用了二次平均法、m e l n i k o v 方法分析了斜 拉索的混沌运动，并得到了斜拉索发生混沌运动的临界条件，最后验证了混沌 的存在。 湖南人学硕十学能论文 1 6 与本文有关的概念 1 内共振：对一个n 自由度系统的n 个线性固有频率来说，当两个或更多个 频率可通约，或接近于可公度时，由于系统中非线性项的存在，频率的这 些可公度关系能够引起相应模态很强的耦合，此时系统就存在共振。 2 分又：对于含参数的系统，当参数变动并经过某些临界值时，系统的定性 性态( 例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等) 会发生突然变化。这种 变化称为分叉。它是一类常见的重要菲线性现象，并与其它非线性现象有 密切的关系。 3 混沌：混沌就是在确定的非线性系统中发生的对初值极端敏感的貌似随松 懈的、有界的非周期运动。 4 m e l n i k o v 方法：用摄动方法来计算稳定流形和不稳定流形之间的距离柬确 定横截相交的条件的一种数学方法。 第一章斜拉索三维1 | 线性动力学性态 第二章斜拉索三维非线性动力学性态 2 1 前言 斜拉索作为一种结构具有柔、轻及高强度等特征，因此在工程实际中经常 作为受拉构件大量使用，特别是近十几年来，由于斜拉桥的大量修建，斜拉索 的应用更为广泛。故对斜拉索进行动力学研究有很重要的工程意义，一直是数 学、力学与工程界研究的重点领域。一般来说斜拉索的非线性来源于材料非线 性、大变形及垂度引起的几何非线性等因素，其动力学行为非常复杂。 y a m a g u c h i ，m i y a t a 和i t o 6 5 研究了斜拉索在谐波激励情况下的时间历程问题， 研究结果表明，索的动力学性质受几何参数和物理参数的影响较大。l u o n g o ， r e g a 4 2 专门研究了三维问题弹性索的几何非线性问题，发现面外运动对面内 运动有参数激励的作用，两者之间存在非线性共振的关系。h a g e d a m ，s e h a f e r 3 5 1 研究了弹性索的非线性自由振动。p e r k i n s ，m o t e 5 1 研究了运动的弹性索的三 维振动。r a o ，i y e n g a r 5 4 研究了在周期激励作用下索的内共振和非线性响应。 p i l i p c h u k ，i b r a h i m 5 3 研究了悬索的非线性模态相互作用。p e r k i n s 5 2 研究了 强迫激励与参数激励联合作用下弹性索多模态相互作用的非线性响应。 b e n i t o ，p a c h e c o 3 0 1 等进一步研究了考虑粘性阻尼时斜拉索的曲线形状。 b e n e d e t h n i ，r e g a 和a l a g g i o 2 9 研究了多种内共振条件下四自由度模型悬索的 非线性振动。 本章在仅考虑几何非线性的情况下建立了三维弹性斜拉索的动力学方程， 并就斜拉索的几何形状进行分析。 2 2 斜拉索的运动学描述 本章公式的推导基于以下假设： ( 1 ) 斜拉索的抗弯刚度足够地小以致于可以忽略不计； ( 2 ) 斜拉索只承受拉力； ( 3 ) 斜拉索在振动过程中的轴向应变足够地小： f 4 ) 只考虑几何非线性，而不考虑其它非线性。 为全面分析弹性斜拉索的非线性动力学特征，建立如图2 1 a 所示的坐标系， 型塑叁竺堡堂! 兰笙苎 其中x 轴方向表示索两端点连线，x - y 平面为重力平面，以后简称面内，斜拉 索在该平面的振动称为面内振动。垂直于面内的平面简称面外，斜拉索在该平 面的振动称为摆振。设两端连线长为，两点垂直方向距离为h 。现截取索中 一微段进行研究，其中f ，g 和f ，g 分别表示变形前后点的位置，如图2 1 b 所示，则有 变形前 变形后 幽2 1 a 斜拉索模刑 图2 1 b 斜拉索变形模型 f = x i + + z k g = ( h 而d s o 。，+ 而y _ r d s o ) ，+ 出 ( 工1 ) ( 2 2 ) f = ( x + u ) i + ( y4 - w ) j4 - ( z4 - v ) k ( 2 3 ) g 7 ：( x + u + u x d x + 軎) f + ( y + w + w x d x + 车磐) _ ， 1 + y ：1 + j ； ( 2 4 ) + r ：+ v + v ，d x ) k 其中“，w ，v 分别表示为x ，y ，z 方向的位移，y 0 ) 为静变形曲线方程，出。表 示静变形时的单元长度，凼表示动变形的单元长度，则变形后f g 的微元向量 为 一 一 堡三童茎堕鳖三堡! ! 垡丝垫垄堂竺查 丽= ( g d x + d s o 州w x 出+ 丽y x d s o m x ( 25 ) l + y ；1 + y ；。 。 卜叫 其中d s 。= j i + y ：x ，变形后微元长度为 丽 d s = 打i 瓦i 玎i k陀。， 则微元段f 。g 的单位向量为 拈器钮1 籼。+ w ”忑d x ( 7 ) 微元的轴力为 n ( x ) = o ( ) + e a ( d _ s - d s o ) f28)as r - j 其中0 0 ) 表示静变形张力。 2 3 斜拉索三维动力学方程 考虑斜拉索在三个方向的运动，同时考虑有结构阻尼及外阻尼器作用。且 外阻尼器的作用力在x 方向投影为零，则微元的动量平衡方程为 盖回2 “n 。+ ，+ v t t k ) + “u t i + w t + v t k ) + ( 6 j + 正“ 佗9 ) + q x i + q y j + q = 丘 其中e 为斜拉索的弹性模量，4 为斜拉索的截面面积，p 为斜拉索的线密度， c 为结构阻尼参数，石，z 为外阻尼器对斜拉索的作用力，q ，q ，q 为作用在 斜拉索上的分布载荷。 由此可得 知小，a 幽x + 出去一翻知心肌帆川肿啪卜 亿 ( “f + w t t j + v ”足) + c ( “f f + 嵋+ v ，露) + ( f y j + f _ - k ) + q d + q y j + q ： 如果在( 2 1 o ) 式中用占函数表示外阻尼器的作用，则可以得到斜拉索在三个方 向上的运动微分方程为 - - 嬲- 0 n o ( x ) - e a ) 凼d x + 志嘲1 + 2 脚t , t u + c u t + q ( 2 1 1 ) 9 一型塑叁竺堕! 兰堡堡塞 旦靠 n o ( x ) - e a ) d 出x + 南眺) _ 眺，旭 泣 + 正，5 ( x 一( 卜“) ) - 未 n o ( x ) - e a ) ? - - s + 志驯一，也 汜 一厂。5 ( x 一( f x c , i ) ) 考虑到“。，“1 ，k ，w 。g 4 , 5 = 1 ，则( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) g g l ( 2 1 3 ) 式中 d s 4 ( 1 + z x ) + ( y ，+ w x ) 2 十v ：( 2 1 4 ) z 1 一( 虬一“：+ y xw r + 1 2 w ：+ 1 2 y ：+ i 2 v ：) e = “，一“：+ y 。w 。+ 1 2 以+ 1 2 y ；+ 1 2 v ；( 2 i s ) 在( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 式中f - 。，厶是第，对阻尼器产生的阻尼力，在本文中不考虑该 类阻尼的影响，则方程( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) r i ( 2 1 3 ) 式可简化为 兰 【。( t ) 一e a ) ( 1 一p ) + 告e a ( 1 + “，) = p 4 “。+ 甜，+ g ( 2 1 6 ) 疵 1 + y ： - 盥未 n o ( x ) - e a ) ( 1 - e ) + 、1 + 1 一尉】( y 一+ w ，) 2 剧k + 州+ g ( 2 1 7 ) 昙 o ( 工) 一翻) ( 1 叫) + 志删k ) = v c v ，+ q ： ( 2 1 8 ) 这是一组偏微分方程，为进行动力学行为分析，需将其转化为常微分方程，为 此采用o a l e r k i n 方法进行一阶模态截断，设 u ( x ，) = 仍( x ) q l ( f ) ( 2 2 2 ) w ( x ，) = 妒2 ( x ) q 2 ( f ) ( 2 2 0 ) v ( x ，f ) = 仍( x ) q 3 ( f )( 2 2 1 ) 其中纯( z ) ，伊2 ( x ) ，仍( x ) 为模态函数，g 。( ，) ，q 2 ( ，) ，q 3 ( f ) 为振动函数。将( 2 ，1 5 ) 式代入( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) g ( 2 1 3 ) 式，并对( 2 1 1 ) 式两边同乘以纯( x ) ，( 2 1 2 ) 式两边 同乘以妒2l 驯t ( 2 1 3 ) 式两边同乘以仍( 工) ，且在 0 ， 范围内积分，由此可将 第二章斜拉索二维1 r 线陡动力学性态 偏微分方程组化为常微分方程组，下式即为常微分方程表示的系统动力学方 程。 “l 辱l + a 2 q 1 + a 3 q ! + 0 4 9 ；+ 0 5 q ；+ a 6 q l q2 + 口7 q ? + a s q l q ；+ a 9 q l q ；+ 1 0 + d l i 口i = 一( ，) 6 1 辱! + 6 1 q ! + b 3 q i + b s q i + 6 5 q ；+ 6 6 q ；+ b 7 q l q ! + 6 8 q ：q2 + b g q i + b l o q 3 q ! + b 1 1 + b , 2 9 l ! = f 2 ( t ) c l 牙3 + c 2 q3 + c 3 q l q 3 + c a q ! q 3 + c s q ( q ，+ c 6 q ；q 3 + c t q ；+ c 8 口，= ( f ) 佗2 2 ) ( 2 2 3 ) f 2 2 4 ) 其中各系数的定义见附录。在上面的三个方程式中，各自由度的运动表现为三 次非线性，各自由度之间的耦合作用表现为线性项、二次项和三次项，非线性 耦合非常强烈。 为了便于下面几章的论 述，在这一章中，先作如下的 说明：定义垂跨比 = f ， 其中厂为斜拉索的垂度，定义 见图2 2 。，“= l l c o s 臼) 为斜 拉索的长度，o 为斜拉索的倾 斜角。斜拉索在自身的重量和 轴力的作用下，它的形状为悬 链线，但在实际计算中通常采用二次曲线来进行近似。为此，假设斜拉索的静 变形曲线方程为y ( x ) = 4 3 x ( 1 一x ) l ，则斜拉索的内力可表示为 n o ( x ) = h 。瓜c o s 0 ，其中玩为斜拉索的水平张力。同时可以定义“方 向的线性频率为= 0 i 百，w 方向的线性频率为吐= i 酉，v 方向的线 性频率为0 9 ，= i 百。 2 4 小结 本文通过n e w t o n s 法建立了弹性斜拉索考虑几何非线性的三维运动学方 程。从运动学方程可看出非线性系统有可能存在模态之间和自由度之间的内共 振模式。 一型塑叁! ! 塑主! ：堡堡茎 一 一_ 一一 附录： 各系数的定义： 旷p 妒阳出 盱鼬小华小焘妒“删刚曲出 旷脚( 帆“刖二“) 】仍n 忱 旷晦业，曩州蛐 口5 = 积。, no ( x ! ) - e a 矧咖( x ) 出 睁【o l 小翻仇州妣舭洫 a ，= 一l 鼻( 。( x ) 一e j ) 尹；( x ) j 妒，( x ) 出 驴稳( 删堋) 丛笔业川呔 铲尊( 删掣 冲 = 磨州删譬删小跏了专慨出 d = 卜妒出 b = 妒；( j ) 出 6 ：培( 州删办：( x ) - ( n o ( x ) - 脚知卜虿专k 出 驴螓【( 。( 矿尉) y 霸( 卿：( 舳 6 4 - 一珐 ( 。( 矿e a ) 删b ) 蚓舳 驴踟删，翌舭) 出 第一章斜拉室三丝堑垡些塑垄兰堡查 。一 一一 ”睡【( o ( x ) - e a ) y , 掣舭胁 6 ，：阵【( 。o ) 一4 ) p ( x ) 妒：( x ) 修，( j ) 出 o j c x 驴一售【( 水卜御铷州咖小) 出 驴睡矿别) 华舭协 ：。i 。o 一- ( no ( x ) - e a ) 业笋舭皿 “：蟾小别，譬- y , ( v o ( x ) - 翻，器舭皿 = 睡c ! 积舳 + c ，= 扣妒出 铲睡l ( 0 ( 矿翻，五字刈知蝌一了专d 扫如胁 铲睡【( 。( 小翻) 州咖蹦蛐 铲瑶【( 扣卜跚儿皿协印“神慨旺弦 c ，= 一睡【( ，。( x ) 一e a ) 衍( x ：( x ) 如，x 出 铲no ( x ) - 翻) 坐字舭泌 铲睡叫。( 小尉) 妒m 烈舳 c 。= f c ，妒出 ( 小= p 朋( 功出 = p 脾( x ) 出 ( f ) = ( q ：吼“) d x 3 湖南人学硕十学何论文 第三章弹性斜拉索约化二维模型的耦合振动分析 3 1 前言 在上一章中，通过分析斜拉索的频率关系图发现由于斜拉索的非线性的存 在，所以在斜拉索的几何参数和物理参数在一定条件时就会发生强烈的内共振 现象。这种内共振包括自由度之间的内共振，以及模态之间的内共振，同时还 可能发生在不同自由度中模态之问的内共振。 通过不同的实验和理论手段，许多研究人员已经研究了弹性斜拉索以及悬 索的的动力学行为，其中包括单个自由度以及多个自由度的动力学行为。研究 结果发现由于内共振的存在，斜拉索表现出了许多有趣的现象。b e n e d e n n i n i 和r e g a l 2 9 的实验结果表明，在斜拉索的参数达到一定范围时，斜拉索表现出 了非线性耦合现象。其中有面内模态、面外模态、对称模念发及反对称模态之 问的耦合瑚象，这种耦合现象在斜拉索的响应中普遍存在 本章在第二章的基础之上，通过约化，把一个三维问题约化成个二维问 题。然后对其进行g a r l e r k i n 积分得到了二维情况下的动力学方程。利用摄动 法对斜拉索在1 ：1 的内共振情形下进行了求解。并分析了斜拉索在摆振和面 内振动相互耦合的动力学性质。 3 2 斜拉索约化二维模型的分析 3 2 1 约化方程的建立 在第二章中，就图3 1 所示的弹性斜拉索在只考虑几何非线性情况下给出 了三维动力学方程，在本文中，将就面内振动和摆振的相互耦合进行分析。 墨三芏些垡塑垫窒竺垡= 丝堡型竺塑垒堡垫坌堕 首先，从三维运动微分方程开始，由第二章中的三维动力学方程，有f 不 计阻尼1 知”尉，妄+ 焘刚，氓肛眺， b 一， 知”翻，妄+ 志刚吲 b ：， 驰v o - 尉，妄+ 志锄r ， b ， 在斜拉索中，考虑到 查： ! 西 ( 1 + 虬) 2 + ( 峨+ 儿) 2 + v ； ( 3 4 ) z i - e - f l y t , 其中 p ：“，+ 。w ，一“。2 y + 5 1 - v ：+ 3 1 - w ： ( 3 5 )p = “一+ r w r 一“r +v ：+w ：( 3 5 ) 将( 3 4 ) 和( 3 5 ) 两式代a ( 3 1 ) 则可得 昙 | v 。( 1 一荨) 一( 。一尉弦+ 。( 1 一要) 虬一( 。一e a ) k p ) ：“。 ( 3 6 ) 以zz 昙 o ( 1 一譬) k + “( 1 一譬) 儿一( n o - 翻) e w 。一( “一翻) 钞，) = w f f ( 3 7 ) - n o ( 1 一荽) 一( 。一e a ) g v ，) ：p a y 。 ( 3 8 ) z 对上面的三个方程式进行化简，就可以得到 + 面1 瓦0 ( 0 一剧) 小去昙 “( 1 一譬) 叫+ 面1 瓦0 ( “一以) v 】- 。( 3 9 ) 湖南人。z 硕十学何论文 _ 虿1 瓦o 。一e a ) e w 小刍昙c l 一譬破，+ 击昙州。一别m 矧。 + 士昙 ( v 。一e a ) e y 。】_ 0 v r 去杀( 一争+ 面1 瓦a 州。一翻n e 】= 。 c ， 因为与时间f 无关的项在进行g a l e r k i n 积分后是一个常数，对动力学性质没有 影响，所以为了研究的方便，在上面的三个式子中已经忽略了这些项。引入自 变量变换 ，= j b 其中p 爿表示单位长度上斜拉索的质量。月。表示斜拉索所受到的水平张力。进 行变换之后，可以得到 + 瓦l 石0 ( 。一删) e 卜瓦l 否o o ( 1 一譬) 划+ 瓦l i 0 ( ( 。一尉) v 】= o ( 3 1 3 ) w 一瓦1 面0 c 一翻，r 一瓦1 夏0 o c 1 一譬，w 一】+ 昙去 c v 0 一刨，w 矧b 。， + 瓦1 瓦0 【( n o - e a ) e y r _ o v 厂瓦1 夏0 【“( 1 一譬) 蚓+ 瓦1 夏o ( 0 一尉) v 翻= 。 ( 3 1 5 ) 为考虑面外摆动与面内振动的相互问题，首先将面内的运动进行约化，将面内 二维约化为一维系统的动力学方程，为此假设斜拉索两端简支。由于斜拉索两 端固定，在变形过程中，沿支座连线方向的变形相对于横向变形而言可以忽略 不计，且其振动频率相对于横向振频率在只考虑较低阶横向振动模态时可以忽 略不计，即可将x 方向的惯性力忽略不计，因而由( 3 1 3 ) 式有 一( 。一f 4 ) p + 。( 1 一y - i ) “。一( 。一e a ) i g x e = p ( r ) ( 3 1 6 ) 在( 3 1 6 ) 式中p ( f ) 是一个只与时间f 有关，而与坐标无关的量。等式两边同时除 i _ _ 了耋霉堂塑丝坐塑幽堡塑坌坠 以翻，并考虑到斜拉索沿支座连线方向的变形相对于。，是高阶小而 “r 2 o ( w ；) ，同时还考虑到实际弹性斜拉索中o 剧：酬e 1 因而有 ( “。十y ，w 。+ 寺v ：+ w ：) g o )( 3 1 7 ) 在( 3 1 7 ) 式中g ( f ) = p ( t ) e a 。如果考虑到斜拉索的边界条件“( o ) ：“f ，) ：o ， 则可以得到 g ( f ) = ；f ( 儿+ 告v ；+ j 1w ；) 出( 】8 ) 将( 3 7 ) 式代入( 3 6 ) 式，所以 虬= g “) 一( ，。w 。+ 三2v x 2 + 三以) ( 3 1 9 1 由( 3 5 ) 、( 3 1 9 ) 两式有- p = g ( t ) e a = p ( ，) ，代入( 3 2 ) 和( 3 - 3 ) 式从而实现将三维问 题约化为二维问题 芸 ( 1 等) k + ( 1 一譬) 儿一( v o 一剧) 呻) u 一( n o e a ) e ( t ) y ，) = p a w 。 丢( 虬( 1 一等心一( - o 一尉m 咖，) = 倒v 。 3 2 2g a l e r k i n 方法 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 为了对( 3 2 0 ) 和( 3 _ 2 1 ) 式进行分析，首先引入g a l e r k i n 方法对两式进行离散。 为此假设v ( x ，) = 9 3 ( ) 吼o ) ，w ( x ，r ) = 9 2 ( f ) 妒2 ( x ) 。4 弋k ( 3 2 0 ) 和( 3 2 1 ) 式，同时 在两个方程的两边同乘以各自的振型函数，并在 0 ，】区间进行积分。引入结 构阻尼和外激励之后，可以得到 0 0 舡 谚 嵫 尉 ，争 卜亭拇峙 一 咖 西 堍 啪一 疵 缸导 d 上 出 渤 粕一 瞰 附 搬州 啪 咖 衍 慨妇州 = 董 吣 咖睡 弘上风 型塑苎堂堕! ：兰生丝圣 ： 其中 c ( f ) = 孚f 儿出+ 筹f 妒丢出+ 豸f 妒支出 c s 盈， 将( 3 2 4 ) 式代入( 3 2 2 ) , f d ( 3 2 3 ) 式，并按q ：，q j 的幂次进行整理，则可得到下式 b l 巧二+ b 2 q 2 + 6 3 q ；+ 方4 q 3 2 + 6 5 q i + 6 6 9 ；9 2 + 2 口2 = 0 f 3 2 5 ) c i 辱3 + c z q 3 + c 3 q ：q 3 + c 4 q ；9 1 + c s q ；+ 3 寸3 = q ( f ) ( 32 6 ) 其中各个系数的定义见附录r 。 为了便于分析方程( 3 2 5 ) 和( 3 2 6 ) 两式的非线性动力学特征，引入无量纲 小量占，假设外激励可以写为q ( r ) = q 。c o sx - 2 t 。同时作变换，则可以得到下 牙2 + 2 掣：日! + ；q 2 + 础2 q ；+ 印2 q ；+ 形2 q i + c r 2 q 2 q 2 = 0 ( 3 2 7 ) 虿2 + 2 c , t 3 口! + c o f q 3 + 占口3 9 2 q 3 + f y 3 q ；+ 占仉叮2 2 叮3 = 2 z f 3 c o s q ( 3 2 8 ) 其中；= 6 2 b l ，犯2 = 6 玩，妒2 = h b 】，o f f 2 = 6 5 b 1 ，e - r 2 = b 6 b 1 2 z t 2 = 4 2 b 1 ，c o ；= c 2 c l ，甜3 = c 3 c l ，可3 = c 4 c l ，c r l 3 = c 5 c l ， 2 玩c o s q = d 0 c 【，2 e t 3 = 4 3 肛 3 2 - 3 具体实例 为了研究的方便，选定两端铰支的一根斜拉索，其物理参数和几何参数分 别为：厂= o 2 5 m ，h 。= 7 5 1 0 6 n ，= 2 0 9 6 始m ，l l = 1 0 0 m ，h = 5 0 m ， e = 1 9 5 x 1 0 “n m2 ，a = 2 6 3 5 1 0 。m 2 ，其中垂度厂的定义，静变形曲线函 数和斜拉索内力的表达式见第二章。对于两端铰支的情形，我们选取的振型函 数分别为妒2 ( x ) = s i n ( n z c 1 ) ，仍( 工) = s i n ( 廊1 ) 。如果选取占= 0 0 1 ，则可以求 得：f = 1 1 1 8 0 6 7 m ， 口2 = 0 0 6 2 0 5 ，卢2 = 0 0 3 0 3 6 ，y 2 = o 1 1 7 4 3 2 ， = 0 0 6 0 6 ，r 3 = o 1 1 7 4 3 2 1 5 6 ，y 3 = o 1 1 7 4 3 1 。这里f 为斜拉索两支座之 间的距离。 3 2 。4 摄动法 方程组( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) 式可以用多尺度法求得近似解，所以令 1 8 笙三茎塑堡型丝室垫些生丝型塑塑全堑塾坌塑 q 2 ( f ；s ) 。q 2 0 ( t o ，7 j ) + 田! i ( t o 一) + 。，q 3 ( f ；) = g3 0 ( 兀，i ) + 6 93 i ( t o ，正) + 从而 瓦= ，i = 日，n = 1 2 ，。 !=詈+s导+=do+幽+dt a 瓦 a 一 ” 笔= 杀z s 丽0 2 4 - + ”椰诽d d t 一 了= _z 占+ = i + 2 口j n1 + 2 a 瑶a a 五 “。1 其中d o = a a t o ，d l = 影a 一。将( 3 3 0 ) 寸n ( 3 31 ) 式代入( 3 2 8 ) 和( 32 9 ) 式 1 整理后，可以得到 o ： d 0 2 q 2 0 + i ；q 2 0 = 0 d 0 2 9 3 0 + c o z _ ) q 3 0 = 0 。1 d j q 2 1 + o ) s q 2 1 + 2 d 。d 1 q 2 0 + 2 m 2 d o q 2 。+ 口2 q 2 0 + 卢2 q 斋 + y 2 9 矗+ r h q 2 0 q 3 0 = 0 d 0 2 9 3 l + o ) 5 q 3 l