（计算数学专业论文）求解helmholtz问题的最优schwarz算法.pdf

求解h e l m h o l t z 问题的最优s c h w a r z 算法 h e h n h o l t z 方程 摘要 ( 一一u 2 ) 让= ， 在工程实际和科学技术中有广泛的应用背景研究求解h e l m h o l t z 方程数值解法对 处理在电磁学、声学等领域中的很多物理问题都具有很重要的意义 近年来兴起的区域分解算法起源于s c h w a r z 交替法( 1 8 7 0 ) ，它的特点是能将 大型问题分解为小型问题、复杂边值问题分解为简单边值问题、串行问题分解为 并行问题，具有优良的并行性能经过几十年的发展，特别是近年来随着并行计算 机和并行算法的飞跃发展，区域分解算法的相关理论不断发展和日趋成熟，其应用 也逐渐拓展到了各种领域其中，有一类区域分解方法一- - w a v e f o r mr e l a x a t i o n s c h w a r z 算法，得到广泛的推广和应用 本文主要讨论求解h e l m h o l t z 方程的古典s c h w a r z 算法和它的w a v e f o r mr e l a x - a t i o n 形式，首先，分析古典s c h w a r z 算法求解h e l m h o l t z 问题时的收敛情况，说明 古典s c h w a r z 算法对求解h e l m h o l t z 问题并不凑效尤其在非重叠情形，算法不收 敛在连续情形下，通过修改古典s c h w a r z 算法中的d i r i c h l e t 传输条件，得到能使 s c h w a r z 算法有最优收敛速度的连续传输条件( 带参数的广义r o b i n 条件) 然 而，这些传输条件是全局相关的，不便于实际计算本文用偏微算子得到最优连 续传输条件的估计，通过适当选取参数使得算法性能优化，得到一类算法，称为 最优s c h w a r z 算法，它属于w a v e f o r mr e l a x a t i o ns c h w a r z 算法本文还在离散情 况下，分析了s c h w a r z 算法的最优离散传输条件和给出其估计方法另外，给出最 优s c h w a r z 算法的几种推广最后，对文中所提到的算法给出了数值算例，证实了 算法的有效性 关键词：区域分解：传输条件；h e l m h o l t z 方程；最优s c h w a r z 算法；收敛分析 硕士学位论文 a b s t r a c t h e l m h o l t ze q u a t i o n ( 一一u 。) 钍= ， h a sb e e nw i d e l ya p p l i e di np h y s i c s ，e n g i n e e r i n ga n ds c i e n t i f i cc o m p u t a t i o n i t s s i g n i f i c a n tt or e s e a r c he f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n gh e l m h o l t ze q u a t i o n i nd e a l i n gw i t hm a n yp h y s i c a lq u e s t i o n si ns o m ef i e l d s ，s u c h8 * 2e l e c t r o m a g n e t i c s ， a c o u s t i c sa n ds oo n d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s ，d e v e l o p e df r o ms c h w a r za l t e r n a t i n gm e t h o d ( 1 8 7 0 ) ，h a v eb e e nw i d e l ys t u d i e dr e c e n t l y , d u et ot h ea d v a n t a g e so fr e d u c i n gt h e l a r g e - s c a l ep r o b l e mi n t os m a l l e ro n e s ，r e d u c i n gt h ec o m p l e xp r o b l e m si n t os i m p l e r o l l e sa n dt u r n i n gs e r i a lc o m p u t i n gi n t op a r a l l e lc o m p u t i n g a f t e rs e v e r a ld o z e n s y e a r so fd e v e l o p m e n t ，e s p e c i a l l yw i t ht h er a p _ i dd e v e l o p m e n to fp a r a l l e lm a c h i n e a n dp a r a l l e lc o m p u t i n gt e c h n i q u e ，c o r r e s p o n d i n gt h e o r e t i cr e s e a r c h e so fd o m a i n d e c o m p o s i t i o nm e t h o d sh a v em a d eg r e a tp r o g r e s s i t sa p p h c a t i o n sh a v eg r a d u a l l y e x t e n d e dt om a n yf i e l d s i nt h el a s td e c e n t ，o n eo fd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s ， s c h w a r zw a v e f o r mr e l a x a t i o nm e t h o d lh a so b t a i n e dw i d e s p r e a dp r o m o t i o na n d a p p l i c a t i o n i nt h i sp a p e r w em a i n l ys t u d yc l a s s i c a ls c h w a r zm e t h o d sa n di t sw a v e f o r m r e l a x a t i o nv a r i a n tf o rh e l m h o l t ze q u a t i o n ，f i r s t l y , w ea n a l y z et h ec o n v e r g e n c e o fc l a s s i c a ls c h w a r zm e t h o df o rh e k n h o t t ze q u a t i o n i ts h o w st h a tt h ec l a s s i c a l s c h w a r za l g o r i t h mi sn o te f f e c t i v ef o rh e l m h o l t ze q u a t i o n e s p e c i a l l y , t h ea l g o - r i t h md i v e r g e sw h e nt h es u b d o m a i n sh a v en oo v e r l a p n e v e r t h e l e s s ，t h ea l g o r i t h m c a nb ea p p l i e dt oh e l m h o l t ze q u a t i o nb yc h a n g i n gt h et r a n s m i s s i o nc o n d i t i o nf r o m d i r i c h l e tc o n d i t i o nf o rt h ec l a s s i c a ls c h w a r zc a s et og e n e r a lr o b i nc o n d i t i o n i nt h e p a p e r ，t h ec o n t i n u o u sa n dd i s c r e t eo p t i m a lt r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n sf o rt h es c h w a r z a l g o r i t h mw i t h o u to v e r l a p f o rt h eh e l m h o l t ze q u a t i o na r es t u d i e d t h e s ec o n d i t i o n a r e ，h o w e v e r ，n o n l o c a li nn a t u r e i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c el o c a la p p r o x i m a t i o n s f o rb o t hc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ec a s e s ，w h i c hm a yo p t i m i z et h ep e r f o r m a n c eo ft h e s c h w a r zm e t h o d w ec o n c l u d es u c ha l g o r i t h mi nt h ec l a s so fo p t i m i z e ds c h w a r z m e t h o d s ，w h i c hb e l o n gt ow a v e f o r mr e l a x a t i o ns c h w a r za l g o r i t h m m o r e o v e r ，s e v - e r a ik i n d so fp r o m o t i o n so fo p t i m z e ds c h w a r zm e t h o da r ep r e s e n t e d 、n u m e r i c a l r e s u l t si l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h eo p t i m i z e ds c h w a r zm e t h o d sw ep r o p o s e d i i i 苎丝坚! ! 竺皇! ! 竺囹里塑墨垡! ! 业! 竺鲨 ： k e yw o r d s ：d o m m nd e c o m p o s i t i o n ；t r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s ； h e l m h o l t ze q u a t i o n ；0 p t i m i z e ds c h w a r za l g o r i t h m s ；c o n v e r g e n c e a n a l y s i s i v 硕士学位论文 图1 1 图4 1 图4 2 图4 3 图7 1 插图索弓 s c h w a r z 算法的区域分解示意图 t a y l o r 估计传输条件时s c h w a r z 算法的f o u r i e r 收敛速度分布情况 零阶最优估计传输条件时s c h w a r z 算法的f o u r i e r 收敛速度分布情况 二阶最优估计传输条件时s c h w a r z 算法的f o u r i e r 收敛速度分布情况 迭代次数与网格剖分h 的关系 ( 加性最优s c h w a r z 算法作为求解器) 图7 2迭代次数与网格剖分h 的关系 2 4 2 9 2 9 4 1 ( 使用g m r e s 方法) 4 l v 求解h e l m h o l t z 司题的最优s c h w a r z 算法 附表索弓 表7 1选取不同的网格剖分h ，各种传输条件的最优参数的选取 表7 2迭代次数与不同的传输条件及不同的网格剖分h 的关系 ( 加性最优s c h w a r z 算法作为求解器) 表7 3迭代次数与不同的传输条件及不同的网格剖分h 的关系 ( 使用g m r e s 方法) i i 4 0 4 0 4 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：右于l 聿7 日期：睡妒月劫日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：亥孑? 移 刷碰轹饼动 ，kh|u 日期：如年彳月如日 日期：五d 年4 月罗口日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1区域分解法及s c h w a r z 算法的发展 数学物理及工程问题，如油、气藏的勘探与开发、大型结构工程、航空器的设 计、天气预报、反应堆计算等，都可以归结于求解大型偏微分方程，计算区域往往 是高维的、大范围的，其形态可能很不规则，给计算带来很大困难对于单个计算 机来说，解决如此大规模的问题，显得力不从心正因为这个需要，并行计算机及 并行算法的研究成为当前高端计算的热点过去二十年中，随着并行计算机越来 越普及，经典的串行计算格式不适应并行计算机，这使得传统算法受到挑战如何 构造高度并行的算法以提高计算速度呢? 一类被称为区域分解算法【1 ，2 】( d o m m n d e c o m p o s i t i o nm e t h o d ) 的偏微分方程数值解的新技术骤然而起，并愈来愈受到 人们熏视 区域分解与其说是一种计算方法，倒不如说是一种思想它是中国古老的“分 而治之”策略的映照它提供了一种把复杂的大问题分解为一系列简单的小问题 的方法，通过求解小问题而得到整个问题的解我们知道，实现并行计算的关键 是如何把复杂的大规模计算任务分解为相对简单的小规模的计算任务，同时要考 虑到负载平衡和通信量的大小而区域分解方法正好适应了这样的需要区域分 解算法具有高度并行性，即计算的主要步骤是在各子域内独立进行，可有效地用 于并行计算机上子区域形状如果规则( 如长方形) ，其上或者允许使用熟知的快 速算法，如快速f o u r i e r 交换( f f t ) ，谱方法等；或者可以使用解这类规则问题的 高效软件而且区域分解算法允许使用局部拟一致网格，无需用整体拟一致网格， 甚至各子域可以用不同的离散方法进行计算这对形态极不规则的问题，如锅炉 燃烧问题：炉体部分与烟筒部分几何尺寸相差很大，整体计算为了对付烟筒部分， 不得不把网格加得很密，而区域分解算法可以把这两部分分别处理，具有很大的 灵活性区域分解法还允许在不同子域选用不同的数学模型，以便整体模型更适 合于实际情况例如，在模拟区域地下水系统的问题中，可以把地表水和地下水联 系起来进行计算，只要分别建立各自的数学模型即可另外，对对称区域会有更简 单的区域分解算法因此，区域分解算法具有比其他方法无以比拟的优越性，以缩 小规模和并行计算尤为根本 区域分解方法起源于1 8 7 0 年德国数学家h a s c h w a r z 提出的著名的s c h w a r z 交 替方法【3 1 但s c h w a r z 本意用交替方法论证了两个相互重叠区域的和集_ e l a p t a c e 方 程d i r i c l l l e t 问题解的存在唯一性稍后n e u m a n n 注意到这思想可以用于求解两个 相互重叠区域的d i r i c h l e t 问题1 8 9 0 年p i c a r d 进一步发展了s c h w a x z 思想。用之于求 一1 求解h e l m h o l t z 问题的最优s c h w a r z 算法 解非线性椭圆型偏微分方程，并把算法定：为s c h w a r z 交替法( s a p ) 上世纪三十年 代苏联数学家基于变分原理阐述s c h w a r z 算法，并推广到弹性力学问题上，其中尤 以s o b o l e v ，m i k h l i n 的贡献最为卓越但直到6 0 年代以后，才真正认识至t j s c h w a r z 算 法在数值分析方面的潜力，因为s c h w a r z 算法可以把复杂区域分解为若干相互覆 盖的子区域，在子区域上可以用快速算法求解，这就增大了人们研究的兴趣此期 间，w e r n e r ，m i l l e r 和m i t c h e l l 等做了许多工作，m i l l e r l a 还给出了收敛性估计 然而，直到近二十多年，由于并行计算的快速发展刺激研究者的兴趣，才使 得s c h w a r z 算法得到令人瞩目的发展由前所述，经典的s c h w a r z 交替算法并不是 并行算法，康立山教授把s c h w a r z 算法与d c h a z a n 等于1 9 6 9 年提出的混乱松弛法 相结合，提出了解偏微分方程的异步并行算法1 5 6 1 异步s c h w a r z 算法的主要特征 是它的过程在任何时候都不需要等待数据输入，而是根据整体变量里最新信息来 确定计算是继续还是停止，完全打乱经典s c h w a r z 算法的串行格局，充分考虑并 行计算机的特点法国g l o w i n s k i 等应用s c h w a r z 算法加速共轭梯度法，并在流体 力学计算上取得成功然而对s c h w z 方法作出全新解释当归功- 于p l l i o n s ( 见文 献 7 】) ，他巧妙地把s c h w a r z 算法与投影方法联系起来，从而使那些看来复杂的收 敛性证明，简化为对投影算子的估计在第二届国际区域分解算法会议上，l i o n s 又 提出s c h w a r z 算法的随机解释( 见文献f 8 】) ，把位势理论、布朗运动和s c h w a r z 交替方 法联系起来，这种多学科间渗透引起人们极大的兴趣目前，s a p 算法已成为一种 人们熟知并被广泛采用的区域分解算法，可用于得到椭圆的、抛物的、双曲面以 及偏微分方程的连续或离散解1 7 “1 2 总之，以s c h w a r z 算法为基础的区域分解算法，目前正由于p l l i o n s 的卓越贡 献得到新的认识，成为构造新算法的理论依据为了适合并行计算的需要，所谓加 性s c h w a r z 算法得到发展，w i d l u n d 、吕涛、石济民、林振宝等皆提出不同算法，这 些算法可克服交替方法的串行性，更利于并行处理 下面先概述古典s c h w a r z 算法如图1 1 所示，求解区域q = q 1un 2 ，f 】，f 2 称 之为内边界假定模型问题为： fc u = ，在q 内， i 钍：9 ， 在a q 上 ( 1 1 ) 这里，c 是线性椭圆形算子给定初始值鹋，那么，古典s c h w a r z 交替算法可表述如 下【1 】： 2 硕士学位论文 图1 1 ：s c h w a r z 的区域分解示意图 算法1 1 1 ：( 古典s c h w a r z 交替算法) 步1 选取初始近似值迎= 札。，置礼：一- - - o 步2 求解嵋“h 1 ( q 1 ) ，满足 u ? + 1 = ， 嵋+ 1 = 9 ， 嵋+ 1 = 2 ， 步3 求解嵋+ 1 h 1 ( q 2 ) ，满足 于n l ， 于a q n o f l 于r 1 于n 2 ， 于a q n a q 2 于r 2 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 步4 置n ：= n + 1 ，转步2 算法1 1 1 是串行结构，也称之为乘性s c h w a r z 算法为了适合并行计算的需要， 所谓加性s c h w a r z 算法得到发展，这些算法可克服交替方法的串行性，更利于并行 处理，尤其适合大规模粗粒度并行计算加性s c h w a r z 算法描述如下： 算法1 1 2 ：( 古典加性s c h w a r z 算法) 步1 选取初始近似值, t , 0 h 1 ( q ) ，令珏2 = u ，碹= u ：，置n ：= 0 步2 分别在q 1 和q 2 上并行求解边值问题 于q 1 ， 于o f n a q l 于r 1 一3 ( 1 4 ) ，卅1 k 叫 “ 如嚏嵋 ，-f，l ，n2 = g u ， = = 婶矿 ，-(，【 求解h e l m h o l t 盘问题的最优s c h w a r z 算法 和 fc 仳矿1 ：， ：夕， 【嵋+ 1 = 嵋， 于q 2 ， 于a q n a q 2 ，( 1 5 ) 于r 2 步3 置n ：= 礼+ 1 ，转步2 对于多子域情况，假设q 有分解豆= u 墨，砭，q t 是开子域，且对每个指标i 皆 n - f f j 衢l j j i ，使q 。n o 用记号表示y = 硪( n ) ，k = 硪( q ) 多子域情形的s c h w a r z 交替法，计算步骤如下：首先，选择初始近似扩硪( n ) ： 其次，对n 0 ，如矿+ ( 一1 ) ，1 i 已知，则扩“n 满足方程 悟u n + i 扣n 嚣卜。w ，季彖 。， l= 矿+ ( 。1 ) ，于a 继 、7 求出u 卅t n 后，需将定义域有q 延拓到整个q 上，为此，置 u n h n ：卜叶洲， i 乱州。”， 鬻 ( 1 7 ) 相应地，多子域加性s c h w a r z 算法的计算步骤为：首先，选取初始近似值护 日1 ( q ) ，置佗：= 0 ；其次，对i 一1 ，2 ，并行计算子域上的边值闯题 孑我，i 1 一，m 【“= 驴，于绷i ，= ， 、7 然后，延拓u r l 的定义到q ，即定义 并取平均 或者使用加权因子 铲+ 1 一卜出于z q 叱 一1 虹“， 于q g ， 其中因子 0 ，而u = 墨1c o i 0 为了实现并行计 算，可用材 代营( i 1 3 ) 中的嚣? “，还有给定初值趟 通过选取合适的参数，这些传输条件可以大大加快s c h w a r z 方法的收敛速度 但在很长一段时间内这种方法没有什么进展，其主要原因是对于般润题，没有 确定最优参数的有效方法，就像对于一般问题很难为s s o r 迭代选取最优的松弛 因子一样 为了更有效地改善s c h w a r z 算法的收敛属性，可以采用更一般的边界条件，如 广义r o b i n 边界条件譬如，在子区域q f 和q k 之间的界面r 北上的界面条件 芦豢祁( 脚) 一p 蓑祁( 嘲 ( 1 t 1 4 ) 其中p 为参数，8 是作用在界面上的算子卢和b 的不同选取方法，可得到不同收敛 效果的w a v e f o r mr e l a x a t i o ns c h w a r z 算法 求解h e l m h o l t z f 司题的最优s c h w a r z 算法 从理论上说，s c h w a r z 方法的最优传输条件应该是偏微分方程在内边界上所满 足的拟微分算子，也就是所谓的s k e k l o v - p o i n c a r d 算子从不同的角度来看，这种 边界条件称之为“吸收边界条件”，“开放边界条件”【2 2 ，2 3 , 2 4 】等等但这种精确的 传输条件是全局相关的，实践中难于操作和实现所以，实际应用中，我们总是采 用各种方法来近似估计它，从而使其局部化从这个角度出发，近年来由许多文献 讨论如何对s k e k l o v - p o i n c a r d 算子进行局部近似，以期获得较好的传输条件，请参 阅m a r t i nj g a n d e r ，l h a l p e r n 以及f n a t 甜等人的文章1 3 ，1 4 ，1 5 ，2 5 1 3h e l m h o l t z 问题 声波在均匀的各向同性介质中传播时，波的运动速度由速度势妒( 。，y ，z ，t ) 决 定，而速度势妒满足耗散的波动方程 辔+ ，y 喾一c 2 a 妒 ( 1 1 5 ) 疣2 。况 ”7 其中7 时阻尼系数，c 是声速，t 表示时间，g 是声波源函数在声波散射的应用中，最 典型的情形是右端非齐项g 关于时间是周期的，即 g ( x ，t ) = f ( x ) e 一“，( 1 1 6 ) 式中i 是虚单位，即i = j ，尤是声波频率对于形如妒( z ，y ，z ，t ) = u ( z ，y ，z ) e 。“的 时间调和声波，函数乱满足约化的波动方程，又称为h e l m h o l t z 方程： a u + u 2 “= ， ( 1 1 7 ) 其中u 2 = 尤( 尤+ 竹) c 2 ，u 称为波数 h e l m h o l t z 方程在工程实际和科学技术中有很重要应用，研究求解h e l m h o l t z 方 程数值解法对处理在电磁学、声学等领域中的很多物理问题都具有很重要的意义 例如周期力作用下的动力学系统、拉紧薄膜的振动和电磁波的衍射等各类物理问 题( 包括反问题) 都可归结为h e l m h o l t z 方程的定解问题用数值方法求解线性抛物 型方程或线性双曲型方程初边值问题时，也可以间接地导出求解h e l m h o l t z 方程问 题迄今已有很多种求解h e l m h o l t z 方程的数值方法，诸如边界元法、谱域g a l a r k i n 法、 有限元法、广义差分法，模式匹配法由于区域分解算法将计算区域划分为多个相 对独立的予区域，使计算规模的缩小和子域规则的形状，而且算法能实现并行计 算，所以基于有限差分和有限元的区域分解法也被用于数值求解h e l m h o l t z 问题 本文主要讨论下面的二维h e l m h o l t z 问题： ( 一一u 2 ) 札( 。，y ) = f ( x ，9 ) ，z ，y q ，( 1 1 8 ) 6 硕士学位论文 这里q = r 2 ，而且在无穷远处解满足s o m m e r f e l d 辐射条件 熙行( 筹+ 讪让) = o ，r = 厢 ( 1 _ 1 9 ) 本文讨论用于求解上述问题的古典s c h w a r z 算法和它的一些改进后续章节内 容安排如下： 第二章，分析古典s c h w a r z 算法的收敛性能，说明它对于求解h e l m h o l t z 方程 并不凑效； 第三章，在连续情况下，讨论用带参数的广义r o b i n 条件代替古典s c h w a r z 算 法中的d i r i c h l e t 传输条件，选取合适的参数能使求解h e l m h o l t z 方程时s c h w a r z 算法 有最优收敛速度，得到最优连续s c h w a r z 算法； 第四章，由于最优连续传输条件是全局相关的，不便于实际计算，在该章分析 这些传输条件的估计和最优参数的确定方法，得到零阶最优估计传输条件和二阶 最优估计传输条件： 第五章，讨论在离散情况下求解h e l m h o l t z i = 题的最优离散s c h w a r z 算法及其 最优离散传输条件估计； 第六章，将两子域推广到多子域，给出了多子域情况下的非重叠型最优加 性s c h w a r z 算法，另外还提出求解h e l m h o l t z 方程的两水平最优s c h w a r z 算法； 第七章，针对第三章和第四章中提出的两子域的非重叠加性s c h w a r z 算法，描 述整个离散计算过程，并且给出相应的数值结果 最后，综合文中的理论分析和数值结果得出结论，以及指出以后还需进一步 努力的研究方向 7 求解h e l u l h o l t z n 题的最优s c h w a r z 算法 第2 章古典s c h w a r z 算法的收敛分析 上世纪三卜年代苏联数学家基于变分原理阐述s c h w a t z 算法，并推广到弹性力 学问题上，其中尤以s o b o l e v ，m i k h l i n 的贡献最为卓越但证明复杂且不易推广到多 子域覆盖的情形直到1 9 8 7 年p l l i o n s 巧妙地用投影理论对s c h w a r z 算法作出全 新解释后，才使s c h w s r z 算法理论变得完整、简单而且易于推广应用本章先先阐 述p l l i o n s 的s c h w a _ r z 算法的投影解释理论，从变分角度考虑求解l a p l a c e 方程的 古典s c h w a r z ：i 算法的收敛结果：然后基于f o u r i e r 交换方法分别分析了求解l a p l a c e 方 程和h e l m h o l t z 方程的古典s c h w a r z 算法的收敛情况说明古典s c h w a r z 算法的收敛 速度慢的原因，特别地说明用于求解h e l m b _ o l t z 方程时并不奏效 2 1 求解l a p l a c e 方程的古典s c h w a r z 算法 本节结果可参见文献【7 】，为了论文的完整性，我们给出其中较详细的一些重 要结论 2 1 1 投影解释理论 仍考虑模型问题( 1 1 ) 。其中假设偏微算子c ：= 一，g = 0 依照古典s c h w a r z 交替算法1 1 1 ，首先选择初始u o 丑j ( n ) ，令r 1 和碹”，r = 0 ，1 ，分别满足子 域方程 君髫碧 皿， l 嵋“= 嵋，于r 1 、7 和 ， 考! ；。，季之j 皿。， lu ；“= 婶1 ，于r 2 、 定义双线形泛涵 a ( 弘u ) = v u v v d x ，讯， 嘲) ( 2 , 3 ) 由一致正定性，存在常数一 0 ，使 | | 乱l l 。皇口( 钍，“) l iu l i 础( n ) ，且3 ( n ) ( 24 ) 由弱解理论，砰+ 1 h 1 1 ) ，“r 1 h 1 ( q 2 ) ，现在延拓嵋+ 1 与；+ 1 到n 上，为此只 需要置 需要置 “r 1 i 呲n 。= u ； ( 25 ) 8 硕士学位论文 和 嵋+ 1 i n o 。= 珏n + 1 ( 2 6 ) 如此延拓后的函数仍记为让? + 1 和钍r 1 ，显然嵋+ 1 硪( q ) ，嵋+ 1 瑶( q ) ，礼= 0 ，1 ，2 ，但按延拓方式知u + 1 一“；硪( n 1 ) ，让r 1 一u n l + 1 硪( q 2 ) 我们 把( 2 1 ) 、( 2 2 ) 表达成弱形式 ，。( u r l 一叩- ) = 0 ， iu r l 一叼日3 ( q 。) 和 fa ( 嵋+ 1 一钍，吨) = 0 ， i 叼机一让n 1 + 硪( q 。) 讹1 瑶( n 1 ) ( 2 7 ) 硪( 呲 ( 2 8 ) 令m = 磁( 哑) ，i = 1 ，2 ，而用只：h o i ( a ) 一掰( q ) 表示在能量内积( 2 3 ) 意义下的 正投影，则可改写( 2 7 ) 、( 2 8 ) 为 n ( 嵋+ 1 一u ；，仇) = n ( “一乱? + 1 ，口1 ) ，v t ，l ，“n 1 + 1 一嵋， 口( u ；+ 1 一嵋+ 1 ，v 2 ) = o ( 让一让；十1 ，乞匕) ，v v 2 ，u ；+ 1 一婶+ 1 或者等价地得到误差传播关系为 ( 2 9 ) u u 一- 乱u r t + 。a ：= ( ( 1 一- b p a ) ) ( ( u u 一- u 州2 ) , iu 1 ) ( 2 1 。) u 一乱墨+ 1 = ( 一b ) ( u 一“+ 1 ) p 7 令e ? = u 一缸 ，e 星= 珏一u 呈，贝口得至0 由此得到 囊嚣黔鬻 e r l = ( ，一p 1 ) ( j 一恳) e 2 这蕴含如果序列 e ! ) 和 e 2 ) 收敛，必收敛于时n 时中，k 1 是k 的正交补空间，故 易见收敛于。的必要条件是时n 时 引理2 1 1 设v k + ，必存在正常数c o 0 ，使成立不等式 i i 。c o ( 1 ip 1 ”幢+ | lb 钉旧1 胆，讹矿( 2 1 3 ) 9 ，。 嘞叫 一坼竭 = h 叼嵋 一 一 “ “ 嵋碹 味 意这义定影投由 l1 心 l n卸。 k k r b 一 一 u 口 一 = h “ 日醴 求解h e l m h o l t z 问题的最优s c h w a r z 算法 证明：由于y = k4 - ，故 廿1 ， 2 一口1 + v 2 定义由积空间x 到y 的线性满 映射，由开映射定理知存在正常数岛 0 ，使任意钉y 必存在 1 ，也) u k 使 ( i i ”t | i ：+ i iv 2i i ：) 1 2 c o | l i i 。，”= 。+ v 2 ( 2 1 4 ) 但 i | | f ：= o ( u ， 1 ) + n ( w ，v 2 ) = n ( p 1