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含频率色散材料的有序结构中特色模式的研究 专业：光学 博士生：董建文 导n - 汪河洲教授 摘要 光子晶体和奇异材料是当今科学的两大热点。光子晶体是一种由介电常数材 料在波长尺度下按照一定规律有序排列的人工材料。目前，人们对光子晶体的研 究已经从原来的基于光子带隙特性，扩展到光子通带特性。同时，研究的结构从 原来的由弱色散材料组成的周期系统，扩展到由强色散材料组成的周期和准周期 系统。奇异材料是另外一种人工材料，它具有强频率色散性质。由于它的介电常 数和磁导率可以被设计在任意波段，因此它具有许多新奇和有趣的性质。把奇异 材料结合到光子晶体一类的有序结构中来研究，已经成为了近年来一个重要的研 究方向。 本论文通过理论分析和数值模拟，详细地研究了几类由强频率色散材料( 金 属和奇异材料) 组成的有序结构中缺陷模、界面模、截止带、导模等特色模式的 性质。主要的研究成果包括以下五个方面： ( 1 ) 推导了一维金属介质结构的等效介质理论，并提出了两类光学波段的全 吸收体。其一是宽带全吸收体，其结构是按准周期排歹0 而成的金属介质结构，具 有宽入射角、宽带、双偏振的全吸收特性；其二是窄带全吸收体，萁特点是用四 层结构来实现特定波长的全吸收。它们能实现全吸收的原因是：结构中含有与趋 肤深度可比或更小的、高本征吸收的材料，而且设计的结构具有更低群速度以及 摘要 很好的阻抗匹配和相位匹配。 ( 2 ) 系统地研究了二维金属介质光子晶体能带结构中特征频率的变化规律， 发现完全禁带存在于较大填充比结构；完全负折射带存在于较小填充比结构。同 时还发现了e 偏振截止频率和填充比之间满足线性增长关系。这些研究对设计光 子晶体的工作频段和制作光子晶体都起着重要的指导作用。 3 ) 研究了含任意频率色散材料韵掺杂一维光子晶体缺陷模频率及其空间局 域度。发现缺陷模频移方向只与缺陷层材料的符号有关。随着缺陷层厚度的增大， 当缺陷层材料为右( 左) 手材料时缺陷模频率表现为红( 蓝) 移；当缺陷层为异号材 料时则表现为孪生缺陷模性质。同时，缺陷模的空间局域度只与两边对称结构有 关。当缺陷层为同号材料时，空间局域度最大值在禁带中央出现；而且当两边对 称结构含奇异材料时，空间局域度最大值比不含奇异材料的要强。当缺陷层为异 号材料时，孪生缺陷模的局域度有差异，表现为低频模的局域度比高频模的要大。 ( 4 ) 提出了全动量空间的零阻抗条件。任意满足该条件的单异质结必存在界 面模。在金属光子晶体配置和光子晶体异质结配置中，我们从实验上证实了零 阻抗条件的正确性。同时，对于光子晶体异质结配爱，我们还提出了用相图方法 来寻找零阻抗点。在以奇异材料为基的配置中，我们发现其界面模的空间色散可 正可负，而且其局域度比前两个配置都强。零阻抗条件揭示了关于界面模的非常 直观物理图像，同时也可以作为寻找界面模的方法。 ( 5 ) 研究了“单负材料一左手材料一单负材料”三明治结构中的各种局域模 式。研究表明，该结构存在近零色散响应，它们的出现源于在所有入射情况下由 材料引起的各种相移均能互相抵消。利用之我们实现了双偏振的多通道全向响 应。另一方面，当电磁波沿界面传播时，可以在t e 波中获得零群速度。具有零 群速度的电磁波在内外层界面处呈现出特有的漩涡状。同时，在k = 0 附近的慢 光区域，群速度色散非常小，这将有利于脉冲信号的保真。 关键词：光子晶体奇异材料频率色散材料金属 n p r o p e r t i e so ff e a t u r em o d e si no r d e rs t r u c t u r e sc o n s i s t i n g o ff r e q u e n c y - d e p e n d e n tm a t e r i a l s m a j o r ： o p t i c s a u t h o r ：j i a n w e nd o n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rh e z h o uw a n g a b s t r a c t p h o t o n i ec r y s t a l s ( p c s ) a n dm e t a m a t e r i a l sh a v eb e e np a i dg r e a ta t t e n t i o ni nt h e r e c e n tr e s e a r c hf i e l d p ci sa l lo r d e r e dd i e l e c t r i co rm e t a l l o - d i e l e c t r i c ( m d ) s t r u c t u r e i nw h i c ht h ed i m e n s i o n so fm a t e r i a l sa r eo nal e n g t hs c a l ec o m p a r a b l et ot h e w a v e l e n g t h a tp r e s e n t , t h er e s e a r c h e so np ch a v ee x t e n d e df r o mp h o t o n i cb a n dg a p ( p b g ) t op r o p a g a t i n gb a n d a l s o , t h es t u d i e ds y s t e m sh a v ee x t e n d e df r o mp e r i o d i c a l s 吐u d i l r ec o m p o s e do fw e a kf r e q u e n c y - d e p e n d e n tm a t e r i a l s ( f d m s ) t op e r i o d i c a lo r q u a s i p e r i o d i c a l s t r u c t u r ec o m p o s e do fs t r o n gf d m s m e t a m a t e r i a li sak i n do f m a n m a d ef d m s i n c ei t sp e r m i t t i v i t ya n dp e r m e a b i l i t yc a l lb ed e s i g n e da r b i t r a r i l y i t p o s s e s s e sm a n yu n i q u ea n di n t e r e s t i n gp r o p e r t i e s r e c e n t l y , t h er e s e a r c ho np c c o n t a i n i n gm e t a m a t e r i a l sh a sb e c o m ea h o tt o p i c ， i nt h i st h e s i s , b yt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，t h ep r o p e r t i e so f s o m ef e a t h e rm o d e s ( s u c ha sd e f e c tm o d e s , i n t e r f a c em o d e s , c u t - o f fh a n d , a n dg u i d e m o d e s ，e t c ) i nd i f f e r e n to r d e rs t r u c t u r e sc o m p o s e do fs t r o n gf d m s ( e 昏m e t a la n d m e t a m a t a r i a l ) h a v eb e e ni n v e s t i g a t e d t h ef n o 啦i m p o r t a n tr e s u l t s 撤g i v e na s f o l l o w s a b s t r a c t ( 1 ) t h ee f f e c t i v em e d i u mt h e o r yo no n e - d i m e n s i o n a l ( 1d ) m ds t r u c t u r eh a s b e e ns h o w n t w ok i n d so fr o b u s ta b s o r b e r sh a v eb e e nd e m o n s t r a t e d o n ei s 蛳 a b s o r b e rw i t hab r o a da n dr o b u s ta b s o r p t i o nb a n df o raw i d er a n g eo f i n c i d e n c ea n g l e s a n df o rb o t hp o l a r i z a t i o n s ：a n o t h e ri sas t r u c t u r ew i t haf e wl a y e r sp o s s e s s i n gr o b u s t a b s o r p t i o n i nap a r t i c u l a rw a v e l e n g t h s u c hr o b u s ta b s o r p t i o na p p e a r sw h e nt h e s t r u c t u r et h a ti sc o m p o s e do fat h i n ( c o m p a r a b l et oi t ss k i nd e p t h ) a b s o r p t i v el a y e r p o s s e s s e sl o wg r o u pv e l o c i t ya n dt h em a t c h i n go f i m p e d a n c ea n dp h a s e ( 2 ) t h ec h a r a c t e r i s t i cf r e q u e n c i e s o f b a n ds t r u c t u r e si nt w o - d i m e n s i o n a l m d - p c sh a v eb e e nt h e o r e t i c a l l ys t u d i e d i ti sd e m o n s t r a t e dt h a tl a r g ef i l l i n gf r a c t i o n b e n e f i t st h ee x i s t e n c eo fa b s o l u t ep b g ，w h i l el e s sf i l l i n gf i a c t i o nb e n e f i t sa b s o l u t e n e g a t i v er e f r a c t i o nb a n d i na d d i t i o n ，i ta l s of i n d st h a tt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ec u t - o f f f r e q u e n c yo fe p o l a r i z e dw a v ea n dt h ef i l l i n gf r a c t i o ni sc o n t e n tw i t hal i n e a r i n c r e a s i n gf u n c t i o n t h e s ei n v e s t i g a t i o n sh a v es i g n i f i c a n ti m p l i c a t i o n st od e s i g na n d m a n u f a c t u r ep c s ( 3 ) t h ee x p r e s s i o n so ft h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n s h i pa n ds p a c el o c a l i z a t i o ni n ak i n do fd o p e di dp cw i t ha r b i t r a r yf d m s w i t ht h ei n c r e a s i n gt h i c k n e s so f d e f e c tl a y e r , w ef o u n dt h a tt h ee i g e n f r e q u e n c yo fd e f e c ts t a t ei sr e d - b l u e s h i f t e dw h e nt h ed e f e c tl a y e ri sr i g h t 一l e f t - h a n d e dm a t e r i a l s ；a n dt h et w i nd e f e c t m o d e se x i s tw h e nt h ed e f e c tl a y e ri ss i n g l e - n e g a t i v em a t e r i a l m o r e o v e r , t h e d e f e c ts t a t ei sm o r el o c a l i z e df o rt h es t r u c t u r e sc o n s i s t i n go fm e t a m a t e r i a l st h a n t h o s eo fr i g h t - h a n d e dm a t e r i a l s i na d d i t i o n ，t h em a x i m u ms p a c el o c a l i z a t i o n a p p e a r si nt h ec e n t e ro f p b ge x c e 。p tt h el o w e re i g e n f r e q u e n c yo f t h e t w i nm o d e ( 4 ) i ti ss h o w nt h a t ，b yt h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a lr e s u l t s ，au n i v e r s a l z e r o - i m p e d a n c ec o n d i t i o ne x i s t sf o rt w ok i n d so fl o c a l i z e di n t e r f a c em o d e si nt h e w h o l em o m e n t u ms p a c e i tc a nb ea p p l i e da tt h ei n t e r f a c eb e t w e e na n yt w om a t e r i a l s i n c l u d i n gp c s , s i n g l e - n e g a t i v e ( n e g a t i v e p e r m i t t i v i t y o r n e g a t i v e - p e r m e a b i l i t y ) m a t e r i a l s , o rd o u b l e n e g a t i v em e t a m a t e r i a l s i na d d i t i o n ，i tp r e s e n t sa ni n t u i t i v e 1 v 塑! 型盟 p h y s i c a lc o n c e p t , a n da l s op r o v i d e saf e a s i b l ew a yt od e t e r m i n ei n t e r f a c em o d e s , w h i c hw i l lh a v ep r e d o m i n a n c ei nv a r i o u sa p p l i c a t i o n s ( 5 ) n e a r - z e r od i s p e r s i o n r e s o n a n c e sa r ef o u n di nas a n d w i c h e ds t r u c t u r e c o n s i g i n go fal e f t h a n d e dm e t a m a t e r i a lc a v i t ya n dt w os i n g l e - n e g a t i v e p e r m i t t i v i t y r e f l e c t i o nw a l l s t h e s er e s o n a n c e sa p p e a rb e c a u s et h ep r o p a g a t i n gp h a s es h i f to f l e f t - h a n d e d m e t a m a t e f i a lc a nc a n c e lt h e r e f l e c t i o n p h a s e s h i f to f s i n g l e - n e g a t i v e - p e r m i t t i v i t ym e t a m a t e r i a l sa te v e r yi n c i d e n c ea n g l e b yu s i n gs u c h p a r t i c u l a rs t r u c t u r e ，t h em u l t i p l eo m n i d i r e c t i o n a lr e s o n a n c e sc a nb er e a l i z e di n b o t h p o l a r i z a t i o n s m e a n w h i l e , s l o w l i g h te f f e c ti n t h i sg e o m e t r yh a sa l s ob e e ns t u d i e d i t i ss h o w nt h a tt h et r a n s v e r s ee l e c t r i cm o d em a ya l l o wf o ra c h i e v i n gz e r og r o u p v e l o c i t ya n dp o s s e s s as l o w - s i g h tf r e q u e n c yr e g i o nw i t hl o wg r o u pv e l o c i t yd i s p e r s i o n t h er e a s o nf o ri ti st h a ts u c hs t r u c t u r es u p p o r t sav o r t e x l i k eg u i d em o d e ，l e a d i n gt o t h e c a n c e l l a t i o n o f t h e p o w e r f l o w sb l e t w e e n t h e c e n t r a la n d t h ec l a d d i n g l a y e r k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l s ，m e t a m a t e r i a l s , f r e q u e n c y - d e p e n d e n t , m e t a l v 第1 章绪论 1 1 光子晶体的提出和特性 1 1 1 光子晶体和光子带隙 一直以来，人们都在研究光和物质的相互作用。一方面，人们总是希望通过 物质来人为控制光的传播方式。例如光在两种不同介质的界面会发生反射现象。 另一方面，相互作用使得原子固有的自发辐射特性得到调制。通过设计和改变空 闻辐射场的态密度函数，人们就可以有效的改变原子的光学性质。光子晶体 ( p h o t o n i cc r y s t a l ，p c ) 正是这样一种材料，它提供了一种全新的机制来控制光的传 播和改变原子的光学性质。 光子晶体一词，最早是由y a b l o n o v i t c h 1 和j o h n 2 名- 自独立提出来的。它是 根据传统意义上的电子晶体类比而来的。固体物理研究表明，晶体中周期性排列 的原子产生周期性势场，运动中的电子在其作用下会受到布拉格散射，各散射波 之间产生干涉，从而形成能带结构，各能带之间可能会存在带隙。当电子能量处 于带隙当中，它将不能够传播；相反，当电子能量处于能带中，它将可以传播。 在光子晶体中，也存在这样的周期性势场，只不过原来的微观“原子”被宏观材 料( 例如介质、金属等) 所取代。当晶格常数处于波长最级时，同样存在一些频率 的电磁波在光子晶体中沿任何方向都不能传播，对应于m a x w e l l 方程组无解，我 们把这些频率区闻成为光子带隙( p h o t o n i cb a n dg a p , p b g ) 。而在其他频率区间， 电磁波则可以传播，称为光子通带。实际上，不论是电子波、电磁波，还是其他 波( 如水波、声波) 等，只要受到周期性势场的调制，都有可能出现能带结构和带 隙。当能量处于带隙中时，这些波也都不能传播。 光子晶体的提出者y a b l o n o v i t c h 指出，光子晶体可以有效的抑制原子的自发 第1 章绪论 辐射特性。我们知道，原子自发辐射几率和辐射频率、该频率下的态密度成正比 【3 】。当原子的自发辐射频率刚好处于光子带隙中时，由于带隙中态密度几乎为 零，使得自发辐射被大大的限制。相对地，当频率处于光子带带边时，由于要保 持总的态数目守恒，导致带边的态密度非常大，因此自发辐射的能力也就能得到 很大程度的增强。 从光子晶体的基本理论不难看出，光子带隙可以出现在电磁波的任意波段。 1 9 9 0 年，h o 等人【4 】4 首次从理论上提出；金刚石结构能形成三维完全带隙 ( c o m p l e t e a b s o l u t ep b g ) 。1 9 9 2 年，y a b l o n o v i t c h 采用精密机械加工技术制作出 第一个带隙在1 5 g h z 的光子晶体【5 】。接着，光子带隙的工作波段不断向高频推 进，从微米亚微米量级【6 8 】到近红外区【9 - 1 3 】。另外，带隙在近红外波段的金属 光子晶体也被成功制备出来【1 4 】。 图1 1 ( a ) 第一个三维光子晶体【5 】，( b ) 类金刚石结构光子晶体 i s 】 除了金刚石结构外，越来越多的三维结构被发现具有完全带隙。h a u s 等人 【1 5 】重新研究了f c c 结构并发现了在高频位置可以存在完全带隙。随后在类金刚 石结构中也被发现具有完全带隙 1 6 - 1 9 。l i n 等人【2 0 】还发现由双轴介质球组成 的简单立方结构也具有完全带隙。同时，人们从结构的周期性、原胞单元的对称 性、高低折射率比、材料的占空比等角度，对二维和一维光子晶体结构的带隙作 了详细研究。有兴趣的读者请参考文献【2 1 - 2 5 】。 第1 章绪论 1 1 2 光子晶体缺陷 在很长一段时间内，人们都集中在对光子晶体带隙的研究。近年来，人们 开始关注在完整光子晶体中引入缺陷。在这样的系统中，带隙中会形成缺陷模。 如果引入的是点缺陷，会形成微腔结构【图1 2 ( a ) 】，与缺陷模频率对应的电磁波 将会被局域在缺陷位置附近，使得该处电磁场和态密度急剧增大。利用该特性可 以用于实现低阂值激光器 2 6 2 8 1 。如果引入的是沿着特定方向的线缺陷，将可以 形成一条光通道。电磁波的传播被限制在通道内，只有沿着该通道传播的电磁波 可以顺利通过【图1 2 ( b ) 】。它最成功的应用是光子晶体光纤【图1 2 ( c ) ，2 9 3 2 。光 子晶体光纤是空气孔在介质材料( 通常为二氧化硅) 上按蜂窝结构排列，并在结构 的中央遗留了一个大空气孔而构成。电磁波由于带隙效应被局域在大空气孔内， 无法在光纤径向传播而只能沿第三维传播。另外，利用周期性点缺陷和线缺陷波 导，还可以获得极小群速度1 3 3 ，3 4 ，用于光学延迟线器件等。 图1 2 缺陷型光子晶体：( a ) 光子晶体微腔示意图1 2 8 1 ，( b ) 光子晶体波导【3 5 】，( c ) 光子晶体光纤 3 2 】 3 第1 章绪论 1 1 _ 3 光子晶体异常色散特性 除了禁带和缺陷以外，光予通带也有许多性质。近年来，人们发现一些特 殊的光子晶体具有异常色散性质，利用它可以有许多应用。超棱镜 ( s u p e r - p r i s m s ) 【3 6 - 4 0 】就是其中之一。文献【3 7 】在光波段观察到超强的色散现象【图 1 3 ( a ) 1 。他们将波长相差1 的光分开了5 0 度之多，这比利用传统棱镜要强 0 0 到1 0 0 0 倍。 图1 3 异常色散型光子晶体：( a ) 超棱镜 3 7 1 ，( b ) 负折射 4 q ，( c ) 亚波长成像 4 3 j 利用光子晶体还可以实现负折射( n e g a t i v er e f r a c t i o n ，n r ) 和亚波长成像 ( s u b - w a v e l e n g t hi m a g i n g ) 4 1 5 6 1 、自准直( s e l f - c o l l i m a t i o n ) 5 7 6 h 特性。2 0 0 0 年， n o t o m i 从理论上提出【4 1 】，三角形排列的二维光子晶体可以实现负折射，并用数 值模拟方法得到光子晶体的负折射和点源的聚焦特性。接着，g r a l a k 等人【4 2 】模 拟发现方形排列的光予晶体也存在负折射现象；l u o 等人【4 3 】在方形光子晶体中 实现了点源的近场成像；s o u k o u l i s 等人【4 4 】区分了两类光子晶体负折射行为的不 同。不久，人们又在实验上对光子晶体负折射行为进行了实验证实 4 5 ，4 6 。同时， 该领域扩展到了三维光子晶体 4 7 - 4 9 、二维金属光子晶体1 5 0 - 5 2 、乃至准晶结构 1 5 3 1 。具有异常色散的三维结构有，如按体心立方排列的空气小方块结构【4 7 】， 完全金属球结构 4 8 】和网络状结构 4 9 1 ：二维金属结构中，h u 等人【5 0 】用简单的 4 第1 毒绪论 金属结构实现了远场成像。z h a n g 提出5 1 ，5 2 用金属包裹介质的复合结构，实现 了同一频率双偏振的负折射。另外，z h a n g 等人还在十二重准晶中实现了负折射 【5 3 。与此同时，人们还研究了光子晶体的表面形貌对负折射成像质量的影响 【5 4 - 5 6 1 。自准直效应是伴随着负折射现象而被发现的。同前已经广泛应用于各类 光集成器件中。我们小组综合自准直效应和表面修饰方法，提出了一种非缺陷型 的垂直发射器件和一种光束分束器【6 l 】。 1 1 4 金属光子晶体吸收增强特性 吸收和热辐射增强特性是金属光子晶体的一大特色。近年来，人们把周期性 排列的金属薄层、金属柱和金属球嵌入刘透明介质中形成金属介质光子晶体 m e t a l l i c d i e l e c t r i cp c ，m d p c ) 。如前所述，这些金属介质光子晶体也会产生光子 带隙0 4 t 、拥有良好的缺陷模特性【6 2 ，6 3 秆口负折射现象1 5 0 - 5 2 。对于金属介质光 子晶体，一个不容忽视的问题是金属损耗。在微波和射频波段，金属可以被视为 完美导体，金属吸收可以忽略。相反我们也可以利用它来增强吸收。基于带边态 密度增加，在金属介质光子晶体内可以获得很大的光吸收和热辐射增强 【t 4 ，6 4 7 0 】。例如l i n 等人1 6 5 ，6 6 利用金属钨制成的三维金刚石光子晶体，首次 发现了在禁带带边的吸收增强效果。接着人们就开始对二维【6 8 l 和一维 6 9 ，7 0 金 属介质光子晶体的吸收和热辐射特性进行了研究。 图1 4 吸收增强型金属光子晶体 1 4 1 第l 章绪论 罱嚣，、粼慧苷 一浏。j w a v e v g c t o r 图1 5 典型光子晶体能带结构 图1 5 概括了上面谈及的光子晶体的各种性质在能带中的对应位置。除此以 外，光子晶体的应用还包括高效发光二极管 7 1 7 2 1 、宽带滤波器r 7 3 7 4 、窄带选 频滤波器 7 5 7 7 】、微谐振腔 7 9 7 9 ，等等。以上谈及的都是光子晶体的线性效应， 同时光子晶体中的非线性光学性质也吸引了众多科研人员的目光 8 0 8 8 1 。例如光 学双稳态、自感应透明、孤子 8 3 8 5 、全光开关 8 6 8 8 1 ，光限幅( 8 8 】。此外，在 量子通讯方面，光子晶体中的光学压缩和量子纠缠也成为了人们的研究课题。光 子晶体领域将越来越活跃并吸引更多的重视。 1 1 5 光子准晶体 光子晶体实际上是在空间上的阵列结构。它具有周期平移性和旋转对称性。 在自然界中，还存在另外一类结构谁晶体 8 9 】。它缺少平移性，仅有旋转对 称性。与此对应的，我们也有光子准晶体( p h o t o n i eq u a s i c r y s t a l ，p q c ) 结构。它 是一类由介电常数材料组成的具有高的旋转对称性的人工材料。同样的，该类光 子准晶体也具有光子带隙1 9 0 。不仅如此，由于它特殊的几何配型，光子准晶体 第l 章绪论 在控制光传播、光波局域和光波异常色散行为等方面都有着许多新奇和良好的性 质。例如，对于越高旋转对称性的材料，越是对光的传播具有各向同性，这就意 味者光的传播性质越少依赖于入射角。还有，在二维周期结构中，最高的旋转对 称性是六重对称，但是准晶体则会有十二重对称。另外，准晶体的布里渊区 ( b r i l l o u i nz o n e ，b z ) 比周期结构的更显得球状，因而更容易满足非线性光学效应 ( 如频率转换等) 中的位相匹配条件( p h a s em a t c h i n g ) 9 1 。光子准晶体还是研究光 波局域的一个理想平台。在周期结构中要实现光波局域，需要额外的引入无序。 然而由于光子准晶体中复杂的散射波干涉，在缺少无序情况下，它也可以引起光 波局域。还有上面提到的异常色散性质【5 3 】，也是一个非常值得研究的问题。去 年，l c d e n n n 等人【9 2 】利用激光直写( d i r e c t - l a s e r - w r i t i n g ) 的s u 8 准晶体模板， 在其反结构中填充了高折射率材料硅。这大大促进了关于光与光子准晶体结构互 作用实验研究的向前发展。通常人们也把一维准晶称为准周期结构。在本论文中， 我1 f ) 将研究种光子准晶体一维f i b o n a c e i 准晶体， 1 2 光子晶体理论计算方法 本节将简要介绍若干种光子晶体理论计算方法。总的来说，伴随着光子晶体 的发展，几种从经典电磁波理论上发展起来的常用算法被运用到不同的系统中 去。人们主要是根据要计算的对象和所需要的物理量，来选择不同的计算方法。 下面将分述之。首先列出m a x w e l l 方程组： v 豆( 力) = 妄西( 力) + t 7 ( 力) v 豆( 幻) = 一昙画( 和) v 西( f ，t ) = p ( f ，t ) v 雪( 尹，f ) = o 在自由空问无源区域中，( 1 1 ) 式中7 = o ，p = 0 。 7 第1 章绪论 平面波疑开法 平面波展开法( p l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d ，p w m ) 3 ，3 5 】是对于某一波矢 i ，假设电磁场矢量具有时谐形式解，从m a x w e l l 方程组出发，将其写成本征方 程 v 高c r 恬卟， n z ， 按照光子晶体的周期性，我们引入倒格矢g ，并把磁场矢量和介电常数以倒 格矢为基展开，经过化简就可以得到一矩阵方程 善r ( 乳g ) p g p g l ( 乏。鼍- - 耄e e 2 - e g 。1 ) ( 乏 = 等隐) s ， 在求解能带结构( 色散关系) 的过程中，我们给定波矢f ，就可以通过上述矩 阵方程求出其特征值频率缈和特征向量( ，：厂。其中国= 珊仁) 就是色散关系。 如果求出的频率m 是实数，说明对应的模式能在系统中传播；如果是复数，则表 现为倏逝波，不能传播。而实特征频率甜对应的特征向量就是系统的本征模式。 在求解过程中，需要用到傅立叶变换、矩阵对角化等数学方法，可以使用l a p a c k 等标准库函数。但是，平面波方法也有其弱点。例如当介电函数g ( 或磁导率) 为频率色散材料时，没有确定的本征值方程，需要通过寻根方法获得，计算会复 杂和困难得多；而且该方法计算的是无限大系统，不能得到有限结构的光谱特性。 传输矩碡法和散射矩阵法 传输矩阵方法( t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ，t m m ) 思路是：首先将有限系统分成 若干薄层，然后把m a x w e l l 方程组转变成矩阵形式，每一薄层由一矩阵r 表示， 矩阵元素只与该层的材料参数和几何构型有关，因此也称为特征矩阵。而系统中 某一层电磁场场强与紧邻的前一层电磁场场强由界面矩阵z 联系。最后，整个系 统的传输矩阵7 0 就是每层的特征矩阵的乘积。利用总的特征矩阵7 0 ，在给定 r 第1 章绪论 频率和薄层内的横向波矢毛= ( t ，女，) ，我们就可以求出传播常数t 与频率彩 之间的关系，即能带结构。用简洁的数学表达为t ：= kf c o , 露1 。如果求出的，是 、， 实数，说明对应的模式在系统内能沿z 方向传播：如果是复数，则表现为倏逝波， 不能传播。矩阵法还可以用来计算有限结构的光谱响应。把特征矩阵作用在电磁 场量基上，就能求出反射端和透射端的电磁场分布情况，然后再求出相应的总能 流。透射率( 反射率) 就是出射端( 反射端) 的能流与入射能流的比值。同时，该方 法还可以给出系统内部稳态电磁场分布。相比于平面波方法，矩阵法的灵活性更 大，它适用于含介电函数s 和磁导率为任意频率色散材料的系统。 a ) s i 曲 q o * a o q ： 巧 图t 6 矩阵方法计算光子晶体 不同维度的系统，其具体的矩阵元素和电磁场向量都不同。文献【9 3 】给出了 含s 频率色散材料的系统的一维传输矩阵方法。对于二维系统，s i r p e n d r y 将电 磁场按照实空间格点位置，并以电场和磁场作向量基【9 4 ，9 5 。这样矩阵就可以写 成以下形式 盼巧( 笔) ( 1 4 ) 通过求解t 就能得到能带结构或者光谱响应。但是该方法主要存在两个问 题：第一个问题是该法用的是立方网络进行差分，因此只能计算正交格子型的结 构。解决该问题的办法是采用文献( 9 6 】提到的任意网络结构。另一个问题是数值 收敛性。由于传输矩阵的元素中还有指数增长项，在矩阵运算中就势必会造成数 9 一郐锚 他 第1 章绪论 值不稳定或者数据溢出等问题。 解决第二个问题的方法是采用散射矩阵方法( s c a t t e r i n gm a t r i xm e t h o d ， s m m ) ，它给出的矩阵形式为 ( 骆墨 s ， 它与传输矩阵最大的不同在于它们的向量基不同。具体来说，传输矩阵给出 的是出射面前向波、后向波与入射面前向波、后向波的关系；而散射矩阵给出的 是出入射界面所有朝外方向的波与所有朝内方向的波的关系。比较成功的散射矩 阵方法例子是l i 等人提出的平面波基传输矩阵方法 9 7 一i 0 0 1 。l i 方法的思路是， 首先把实空间m a x w e l l 方程转变到动量空间。用平面波( 倒格矢) 对电场展开，求 出特征值和特征向量后，又变回到实空间中，并写成散射矩阵。采用这样的迂回 方法，一个最大的优势在于在程序中利用了许多解析解。例如对介电函数占和磁 导率的傅立叶展开【1 0 1 1 0 3 。这样不但实现了对系统的精确求解，同时也提高 了收敛性。这尤其对含频率色散材料的系统最为有效。 对于三维g 统 t o o ，1 0 4 - 1 0 5 h 除了“的方法步b 1 0 0 ，也有对磁场作平面波 展开的方法 1 0 4 1 。有兴趣的读者可以参考相关文献。 多重散射理论 多重散射) y 法( m u l t i p l es c a t t e r i n gt h e o r y , m s t ) 描述各散射单元对光波的散 射行为以及光波在光子晶体内的传播的行为。它特别适合于含圆柱状 1 0 6 - 1 1 1 】 和球状【1 1 2 1 1 6 散射单元的系统。多重散射方法将系统内每个物体都看成是散射 中心，而整个系统的散射性质由各个散射元共同决定。该方法适用于含频率色散 材料的系统，它能求出系统的能带结构、有限结构的光谱图，以及系统内部稳态 电磁场。本论文第3 章将对圆柱状周期系统的多重散射方法予以详述。值得指出 的是，该方法并不局域在周期系统，它也适用于无序的圆柱状和球状系统 1 1 7 1 。 另外一种用多重散射语言描述的方法是l a y e r - k k r ( k o r r i n g a - k o h n r o s t o k e r m e t h o d ) 方法1 1 8 。它与矩阵方法有点类似，也是把系统分层后，采用特征矩阵 1 0 第1 章绪论 来描述电磁波从第一层传到最后一层的的性质。与多重散射方法不同，该方法认 为系统横向为无限。这种方法的优点是：沿传播方向分布的各层平面散射体只需 具有相同的二维周期性，但不需完全一样( 例如嵌入不同半径、不同介电常数的 小球1 ，因此可应用于较复杂的结构。最近s t e f a n o u 还用这种方法计算了非球状 散射单元的系统【l1 9 1 。 时域有限差分法 时域有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n c e - t i m e - d o m a i nm e c h o d ，f d t d ) 1 2 0 1 2 2 将 一个单位原胞划分成许多网格单元，用差分形式取代m a x w e l l 时域场旋度方程中 的微分式，并选取合适的边界条件，将麦克斯韦方程组化成矩阵形式的特征方程。 该方法具有一次时域计算代替频域上逐点计算的潜力，同时也能给出直观的电磁 场演化情况。但是，有限差分法没有考虑品格格点的形状，遇到具有特殊形状格 点的光子晶体时，要求得到精确解比较困难。另外该方法的计算需要大量的存储 空间，计算时间长；同时，晶体含有金属时，收敛非常慢。 有限元法 有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d , f e m ) 是在2 0 世纪7 0 年代提出。其基本原 理是有限差分法和变分法的结合。适用于任何微分方程所描述的各类物理场问 题，也适合于时变场、非线性场以及分层介质中的电磁场问题的求解。其优点是 不受场域边界形状限制，适用于具有复杂边界或边条件、含有复杂介质的定解问 题，并且对第二、三类及不同介质界面的边条件不必作单独处理。有兴趣的读者 请参考文献 1 2 3 - 1 2 5 1 。 1 3 奇异材料的提出和分类 1 3 1 奇异材料的概念 第l 章绪论 光子晶体实际上一种是人工材料，与半导体对应，人们称之为“光子硅”。 进入2 1 世纪，另外与光子晶体类似的一种人工材料奇异材料( m e t a m a t e r i a l s ) 【1 2 6 1 2 8 】，逐渐引起了人们的注意。最初，奇异材料也是周期的。但随着研究的 深入，人们发现奇异材料的周期性作用与光子晶体截然不同。我们知道，天然晶 体是由微观原子分子有序排列而成，光子晶体是由宏观的介电常数材料有序排列 而成。两者都是以周期性布拉格散射效应为主。而奇异材料则是由比波长小的复 合型单元结构有序排列而成，它是以单元结构的共振响应为主【图1 7 】，其周期 性仅用于增强共振的效果。 图1 7 天然晶体和奇异材料的构成 2 1 0 】 在奇异材料中，人们可以求出该材料的等效介电函数和磁导率，而且和j 可以为任意数( 正数、负数、零) 。这就暗示了它将具有许多天然材料中没有的特 性。图1 8 是s i rp e n d r y 按照g 和的符号把所有的材料进行了分类。从图中可 以看出，按照s 和f 的符号来分，可以分为两大类：同号材料和异号材料。首先， 理论上讲，同号材料都是透明的。双正材料0 0 和肛 o ) 大都是天然的，人们 习惯上用折射率疗表示；由于双正材料中电场、磁场和波矢构成右手法则，因此 也称右手材料( r i g h t - h a n d e dm a t e r i a l ，r i q m ) 。双负材料0 0 和j 0 ， 第1 章绪论 d o u b l e - n e g a t i v em a t e r i a l ，d n mo rn e g a t i v e