信号与系统之传输算子课件.ppt

输入 输出模型是系统的一种外部描述 凡是能从外部端口通过测量得到的描述就是一种外部描述 系统的微分算子方程和传输算子 什么是内部描述 内部描述有能力提供在系统中全部可能出现的信号的完整信息 外部描述不能给出系统的完整信息 状态空间方程 1 系统的内部和外部描述 系统模型 系统的微分算子方程与传输算子 引入如下算子 则 对于微分方程 算子形式 微分算子方程 微分方程的一种表示 含义是在等式两边分别对变量y t 和f t 进行相应的微分运算 形式上是代数方程的表示方法 可用来在时域中建立与变换域相一致的分析方法 微分算子的运算性质 性质1以p的正幂多项式出现的运算式 在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解 性质2设A p 和B p 是p的正幂多项式 则 例 函数乘 除算子p的顺序不能随意颠倒 对函数进行 先除后乘 算子p的运算时 分式的分子与分母中公共p算子 或p算式 才允许消去 性质4设A p B p 和D p 都是p的正幂多项式 系统模型 输入 输出描述 依据输入和输出端测量值的系统描述称为输入 输出描述 分析任何系统的第一步是构建一个系统模型 它应该是能满意地逼近这个系统动态行为的一种数学表达式 本章只讨论连续时间系统 y t H x t 电气系统 电路元件伏安关系 VAR 的微分算子形式称为算子模型 电压 电流比为算子感抗和算子容抗 电路元件的算子模型 例1 电路如图 a 所示 激励为f t 响应为i2 t 试列写其微分算子方程 画出其算子模型电路如图 b 所示 由回路法可列出方程为 H p 代表了系统将激励转变为响应的作用 或系统对输入的传输作用 故将H p 称为响应y t 对激励f t 的传输算子或系统的传输算子 练 习题册2 1 2 3 3 2 LTI连续系统的响应特性 LTI系统全响应可作如下分解 1 y t 自由响应 强制响应 2 y t 瞬态响应 稳态响应 3 y t 零输入响应yx t 零状态响应yf t 输入u t 0时的系统响应 是系统内部条件 如能量存储 初始条件 单独作用的结果 与f t 无关 当系统在零状态 意味着系统内部能量存储不存在 所有初始条件都为0时系统对f t 产生的响应 系统全响应的求解方法 求零输入响应yX t 一 系统初始条件LTI系统在激励作用下 全响应y t 及其各阶导数在t 0处可能发生跳变或出现冲激信号 因此需要考察初始观测点前一瞬间t 0 和后一瞬间t 0 时情况 y 0 yx 0 yf 0 y 0 yx 0 yf 0 对于因果系统 yf 0 0 对于时不变系统 yx 0 yx 0 y 0 yx 0 yx 0 y 0 y 0 yf 0 y j 0 y j x 0 y j x 0 y j 0 y j 0 y j f 0 二 通过系统微分算子方程求零输入响应 零输入下LTI连续系统的微分算子方程为 要使上式成立 需满足D p 0 特征方程 针对特征根两种情况来求yx t 1 特征根为n个单根p1 p2 pn 可为实根 虚根或复根 将yx 0 yx 0 yx n 1 0 代入上式 确定积分常数A1 A2 An 举n 2为例 共轭复根或虚根时 可用欧拉公式化简为三角实函数形式 2 特征根含有重根 设特征根p1为r重根 其余特征根为单根 则yx t 的通解表达式为 举r 2为例 将yx 0 yx 0 yx n 1 0 代入上式 确定积分常数A1 A2 An 例2电路如图 a 所示 已知uC 0 1V iL 0 1A 求t 0时的零输入响应uCx t 1H 12 F 解 1 画出算子模型电路 由节点电流法可列出方程为 化简可得 由D p 0 解得特征根 p1 2 p2 3 2 0 瞬时的等效电路 代入初始条件 总结 求解零输入响应yx t 的基本步骤 2 通过微分算子方程得D p 求系统的特征根 3 写出yx t 的通解表达式 4 由系统的0 状态值与0 瞬时的零输入系统求得初始条件yx j 0 j 0 1 2 n 1 5 将0 初始条件代入yx t 的通解表达式 求得积分常数A1 A2 An 6 写出所得的解yx t 画出yx t 的波形 1 建立系统微分算子方程 LTI连续系统的零状态响应 一 零状态响应 零状态LTI连续系统H p 非齐次微分方程的解由通解和特解组成 f t 形式简单特解还易确定 如形式复杂 则特解很难确定 一般情况下零状态响应可通过将f t 分解为更为简单的单元信号 将各单元激励下的响应进行叠加来求解 举例说明 信号的时域分解 将f t 分解为无穷多个宽度为 的矩形脉冲信号之和fa t 任意信号可分解为无穷多个不同时刻出现的冲激强度为该时刻函数值的冲激信号之和 零状态响应的求解过程 由上述过程可看出求解零状态响应可通过下列两步完成 二 冲激响应h t h t 定义 通过多项式的长除法 H p 可以化为某个多项式与一个有理真分式之和 例1 依据D p 根的不同 有理真分式H p 可展开为不同的部分分式 1 当D p 有n个单特征根p1 p2 pn 可为实根 虚根或复根 冲激响应h t 为 2019 12 20 25 可编辑 2 当D p 特征根有重根时 设p1为r重根 其余 n r 个为单根pj j r 1 r 2 n 则有理真分式H p 可展开为 与重根相关的部分分式项的冲激响应 3 H p 为某个关于pj多项式时 长除法得到的部分 总结 求解单位冲激响应的步骤 1 据算子微分方程求出传输算子H p 2 长除法化为多项式与严格有理真分式之和 3 严格有理真分式部分分式展开 4 根据D p 特征根的不同情况 确定分式中的系数 5 对照不同情况写出单位冲激响应 例2 求出下面系统的单位冲激响应 例3 求出下面系统的单位冲激响应 注 当D p 有共轭复数根时 P42 表2 2 2 阶跃响应 阶跃响应g t 的求解方法 对冲激响应进行积分 根据LTI系统特性 对输入信号积分后作为系统的新输入 得到的新输出为原输出信号的积分 求解零状态响应通过下列两步完成 三卷积积分 上述积分可看作f t h t 经过如下过程完成 1 将f t h t 的自变量t换为 f h 波形不变 2 将h 折叠 得到h 3 将h 沿 轴平移t t为参变量 得到h t 即h t t 0为右移 t 0为左移 4 将f 与h t 相乘得到相乘信号f h t 5 将f h t 在区间 上积分得到零状态响应yf 定义 卷积积分简称卷积 求解步骤如上 卷积积分上下限的确定是关键 讨论如下 3 若f1 t f2 t 都为因果信号积分上下限为 0 t 2 若f1 t 为因果信号 f2 t 为无时限信号 积分上下限为 0 1 若f1 t 为无时限信号 f2 t 为因果信号 积分上下限为 t 4 若f1 t f2 t 都为时限信号则卷积后仍为时限信号 其左边界为原两左边界之和 右边界为原两右边界之和 例3 求图示f1 t f2 t 的卷积 重点 1 t 0时 f1 f2 t 0 2 0 t 1时 3 1 t 2时 4 2 t 3时 5 t 3时 练 习题册2 10 卷积的运算规律 据卷积的定义和积分的性质 可推知卷积有如下的运算规律 1 交换律 2 分配律 3 结合律 卷积的主要性质 1 f t 与奇异信号的卷积 1 f t t f t 即f t 与 t 卷积等于f t 本身 2 f t t f t 即f t 与 t 卷积等于f t 导数 3 2 卷积的微分和积分 1 积分 f1 t f2 t 1 f1 1 t f2 t f1 t f2 1 t 2 微分 f1 t f2 t f1 t f2 t f1 t f2 t 3 微分 积分 f1 t f2 t f1 t f2 1 t f1 1 t f2 t 3 卷积时移 设f1 t f2 t y t 则 f1 t f2 t t0 f1 t t0 f2 t y t t0 f1 t t1 f2 t t2 y t t1 t2 推论 f t t1 t t2 f t t1 t2 t t1 t t2 t t1 t2 记住一些常用的卷积 P45 表2 3 就可利用卷积性质求解较复杂的卷积 若f1 t f2 t 左收敛 即 例 已知 求卷积 卷积时的 t 的存在只是确定被积信号的起始位置 卷积结果要考虑起始位置 即加 上限 下限 所以有 结果与前面图解法所得的分段表达式一致 若f1 t f2 t 收敛 利用微分 积分性质使被卷积的一个信号尽量化为冲激信号以及其延时 再利用任一信号与 t 卷积等于该信号本身及其时移性质 可计算简化 上例中两信号都有界 因此可利用微分 积分性质 结果与前面一致 例试计算常数K与信号f t 的卷积积分 解直接按卷积定义 可得 如果用微分 积分性质来求解将导致错误结果 常数K不收敛且任意信号f t 也并非一定收敛 例已知某系统的冲激响应h t sint t 激励f t 的波形如图所示 试求系统的零状态响应yf t 可利用卷积的微分 积分性质来求解 练 习题册2 15 四 系统全响应的求解方法 1 求单位冲激响应h