（信号与信息处理专业论文）基于方向的图像变换和滤波方法及其应用的研究.pdf

山东大学博士学位论文 变量符号 a 变量的傅立叶系数 z矩阵或向量的转置 日 矩阵或向量的共轭转置 奉 变量的复共轭 ( ，) 二维直角坐标 专 矢量符号 运算符号 v 梯度符号 拉普拉斯算子 i | 绝对值符号 i i | i 范数 内积运算 m i n ( ) 取最小值运算 d i v ( ) 散度符号 上 信号的抽取 个 信号的插值 缩略名词索引 父湖q 枝 b v d f r d 、胛 f f t f r i t f r f r l p m f 符号说明 a d d i t i v e 删t eg a u s s i a nn o i s e b o u n d e dv 撕a t i o n d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m f i n i t er i d g d e tt r a n s f o r m f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m l a p l a c i a np y r a m i d m e d i a nf i l t e r 加性高斯白噪声 有界变差 离散傅立叶变换 离散小波变换 快速傅立叶变换 有限r i d g e l e t 变换 分数阶傅立叶变换 拉普拉斯金字塔 中值滤波 5 山东大学博士学位论文 m g a m m f p d e p s n r t v t m 、胛 6 m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s 多尺度几何分析 m u l t i s t a g em e d i a nf i l t e r 多级中值滤波 p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 偏微分方程 p e a ks i g n a lt on o i s er a t i o 峰值信噪比 t o t a lv a r i a t i o n 全变差 t r a n s l a t i o n - i n v a r i a n tw a v e l e tt r a n s f o r m 平稳小波变换 w a v e l e tt r a n s f o r m 小波变换 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：盈边未太一 e l期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：j 暾导师签名：刭毕日期：2 丝上尘7 山东大学博士学位论文 中文摘要 边缘的方向信息通常是重要的、也是本质的图像特征之一。人们总是希望各 种图像变换或滤波算法能够充分反映图像所包含的丰富的边缘方向信息，并将这 种信息作为特征应用于具体的图像处理的算法之中。为此人们先后提出了多种基 于方向的图像变换或滤波方法，而这些方法对那些与边缘信息密切相关的应用领 域的研究，如图像去噪、分割等，尤其具有重要意义。 多级中值滤波是早期提出的经典的方向滤波方法，它通过子窗口方向的设计， 实现了基于方向的噪声去除。虽然这是一种较为直观的基于图像局部几何特征的 去噪策略，却能够在抑制噪声的同时保护边缘。2 0 世纪8 0 年代以后，以小波理 论为代表的多分辨率分析的产生和发展，突破了传统的傅立叶分析的诸多限制， 为信号处理领域带来了革命性的变化。就图像而言，人们采用二维小波变换对其 进行处理。二维小波基由一维小波基在二维空间的张量积构成。由于一维小波变 换具有对点奇异性的稀疏表示能力，因此二维小波变换能够检测水平、垂直和对 角三个方向的边缘信息。而方向小波变换则增加了方向的数量。但是，无论是二 维小波变换还是方向小波变换，它们毕竟只能以点、而不是线或面来描述图像信 息，即它无法实现对二维或高维数据的稀疏表示。近年来多尺度几何方法就是针 对小波变换的这一不足而提出的，包括c u r v e l e t ，r i d g e l e t , c o n t o u r l e t 等一系列变换。 与小波理论同时兴起的基于偏微分方程的图像处理方法，主要包括各向异性扩散 ( 非线性扩散) 和水平集方法，则利用一个或一组偏微分方程及一定的边界条件，实 现对图像灰度或轮廓的演化，而偏微分方程则由图像的局部几何特征导出。除上 述方法之外，g a b o r 变换也是一种有效的方向表示工具。 可以看出，基于方向的图像变换和滤波方法可以是空域的，如多级中值滤波、 基于偏微分方程的图像处理技术；也可以是变换域的，。如多尺度几何分析、小波 变换、g a b o r 变换。本文主要围绕上述方法中的c u r v e l e t 变换( 多尺度几何分析的 一种) 、基于偏微分方程的图像处理技术以及多级中值滤波方法，开展了一系列相 关的理论和应用的研究工作。这些工作主要包括： ( 1 ) 借助于现有的相关工具和程序，我们仿真实现了多尺度几何分析家族中的一 种重要变换c u e l e t 变换，其中包括基于框架金字塔分解的子带分解，以及基于 山东大学博士学位论文 伪极坐标快速傅立叶变换的r i d g e l e t 变换。后者作为c u r v c l c t 变换数字实现的关键 步骤，我们给出了其正反变换数值计算的主要步骤，对于涉及的分数阶傅立叶变 换做了简单介绍； ( 2 ) 我们回顾了基于偏微分方程的图像各向异性扩散方法发展的主要历程。特别 地，我们对经典的各向异性扩散模型一p e r o n a m a l i k 模型进行了相关数学推导和理 论证明，从而说明了有关p m 模型和t v 模型的图像灰度演化与图像局部边缘方 向之间的关系。这加深了我们对各向异性扩散模型的认识，以及对偏微分方程对 图像作用机理的理解； ( 3 ) 考虑到c u r v c l e t 变换所采用的金字塔结构的子带分解方法具有的缺点，我们 利用1 v 模型实现图像分解的特性，将其代替子带分解。同时我们对全变差数字滤 波器的迭代公式加以改进，使其运算速度加快，达到快速提取图像细节的目的； 在此基础上，将其与r i d g e l e t 变换结合，即利用r i d g e l e t 变换实现对细节的处理， 最终达到了图像去噪的目标。仿真实验结果也验证了方法的有效性； ( 4 ) 我们对多级中值滤波加以改进，增加了子窗口的方向，并实现了基于方向选 择的自适应算法。这种新的去噪算法边缘保护的效果更加有效； ( 5 ) 我们建立了新的图像边缘的特征，即局部边缘方向估计和局部狄度对比度。 在此基础上，我们对特征进行优化：首先对不同尺度下的局部灰度对比度进行特 征融合，再结合边缘方向信息得到图像边缘和轮廓；最终利用基于区域的水平集 方法对特征图像进行演化，以获得分割结果。仿真实验证明，与g a b o r 方法相比， 该方案更为有效。 2 关键词：c u r v e l e t 变换；偏微分方程；全变差；图像去噪；非线性滤波 山东大学博士学位论文 a bs t r a c t d i r e c t i o n a li n f o r m a t i o ni su s u a l l yo n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta n di n t r i n s i ci m a g e f e a t u r e s p e o p l ea l w a y se x p e c tav a r i e t yo ft r a n s f o r m so rf i l t e r sa r ec a p a b l eo f r e p r e s e n t i n ga b u n d a n te d g e sd i r e c t i o n a li n f o r m a t i o nc o n t a i n e di ni m a g e s ，a n du t i l i z ei t t o s p e c i f i e da l g o r i t h m sf o ri m a g ep r o c e s s i n g t h e r e f o r ep r e s e n t e dd i r e c t i o n - b a s e d t r a n s f o r m so rf i l t e r sa r es i g n i f i c a n tf o rt h ea p p l i c a t i o n sa s s o c i a t e dw i t he d g e ss u c ha s i m a g ed e n o i s i n g ，s e g m e n t a t i o n , e t c t h em u l t i s t a g em e d i a nf i l t e r ( m m f ) p r e s e n t e di ne a r l yy e a r si sac l a s s i c a l d i r e c t i o n a la p p r o a c hf o rd e n o i s i n g 、析t l ls u b w i n d o w sw i n lm u l t i d i r e c t i o n s a l t h o u g hi t i sa ni n t u i t i v el o c a ls t r u c t u r e - b a s e df i l t e r , i ta c h i e v e sa9 0 0 dp e r f o r m a n c ei nn o i s e r e m o v a la n de d g ep r e s e r v i n g s i n c et h e19 8 0 s ，t h eo r i g i n a l i t ya n dd e v e l o p m e n to f m u l t i r e s o l u t i o n a la n a l y s i sr e p r e s e n t e db yw a v e l e tt h e o r yb r e a kt h r o u g ht h el i m i t a t i o n s o fc o n v e n t i o n a lf o u r i e ra n a l y s i s ，a n di th a sb r o u g h tar e v o l u t i o n a r yi n f l u e n c eo ns i g n a l p r o c e s s i n g i m a g e sa r eh a n d l e db yt w o - d i m e n s i o n a lw a v e l e tt r a n s f o f n lw h o s eb a s i si s s p a n n e df r o mt h et w oo n e - d i m e n s i o n a lo n e s a so n e - d i m e n s i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r mi s c a p a b l eo fc a p t u r i n gp o i n t w i s es i n g u l a r i t i e s ，t h et w o - d i m e n s i o n a lc a no n l yd e t e c te d g e s a l o n gt h r e ed i r e c t i o n s ：h o r i z o n t a l ，v e r t i c a l ，a n dd i a g o n a l t h ed i r e c t i o n a lw a v e l e t t r a n s f o r mh a v em o r ed i r e c t i o n sc o m p a r e dt ot w o - d i m e n s i o n a lt r a n s f o r m ，b u tt h e yb o t l l d e s c r i b el i n eo rs p h e r es i n g u l a r i t i e si np o i n t w i s em a n n e r , i e t h e yc a nn o ta c h i e v ea s p a r s er e p r e s e n t a t i o nf o rt w oo rh i g hd i m e n s i o n a ld a t a i nr e c e n ty e a r s ，t h em u l t i s c a l e g e o m e t r i ca n a l y s i s ( g m a ) h a sb e e nd e v e l o p e dt oo v e r c o m et h ed r a w b a c ko fw a v e l e t t r a n s f o r m ，w h i c hi n c l u d e sas e r i e so ft r a n s f o r m ss u c ha sc u r v e l e t , r i d g e l e t ，c o n t o u r l e t , e t c a l m o s tw i t h i nt h es a m ep e r i o do fw a v e l e t sp o p u l a r i t y , t h ep d e b a s e di m a g e p r o c e s s i n gt e c h n i q u e sh a v er i s e nt h a tc o n s i s t so fa n i s o t r o p i cd i f f u s i o na n dl e v e ls e t m a i n l y t h i st y p eo fm e t h o d se m p l o y so n e o rag r o u po fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) w i t hs o m eb o u n d a r yc o n d i t i o n st oe v o l v ei m a g ei n t e n s i t yo rc o n t o u r , a n dt h e p d e sc a nb ed e r i v e df r o ml o c a ls t r u c t u r a l f e a t u r e s e x c e p tf o rt h em e n t i o n e d a p p r o a c h e s ， g a b o rt r a n s f o r mi sa n o t h e re f f i c i e n tt o o lf o r r e p r e s e n t i n gd i r e c t i o n i n f o r m a t i o n i th a ss h o w nt h a tt h ed i r e c t i o n - b a s e dt r a n s f o il l i sa n df i l t e r sc a nb ec a t e g o r i z e di n t o t w ot y p e s ：t h eo n e sb e l o n g i n gt os p a t i a ld o m a i ns u c ha sm m fa n dp d e - b a s e d 3 山东大学博士学位论文 a p p r o a c h e s ，a n dt h eo t h e rb e l o n g i n gt o t r a n s f o r md o m a i ns u c ha sm g a ，w a v e l e t t r a n s f 0 1 t i ia n dg a b o rt r a n s f o r m i nt h i st h e s i sw ef o c u so nt h ec u r v e l e tt r a n s f 0 1 t n ， p d e - b a s e da p p r o a c h e sa n dm m f , a n dc a r r yo u ts o m er e s e a r c ht h e o r e t i c a l l ya n d p r a c t i c a l l y t h i sw o r ki n c l u d e sa sf o l l o w s ( 1 ) w es i m u l a t e t h ec u r v e l e tf r a m e w o r k , w h i c hi n c l u d e sl p - b a s e ds u b b a n d d e c o m p o s i t i o na n dp s e u d o p o l a rf f t - b a s e dr i d g e l e tt r a n s f o r m a st h el a t t e rt r a n s f o r m i st h ek e ys t e pi nd i g i t a lr e a l i z a t i o no fc u r v e l e tt r a n s f o r m ，w eg i v ead e s c r i p t i o no nt h e n u m e r i c a la l g o r i t h mo fi t sf o r w a r da n di n v e r s et r a n s f o r m s ，a n dp r e s e n tf r a c t i o n a l f o u r i e rt r a n s f o mr e l a t e dt op s e u d o p o l a rf f t ( 2 ) w er e v i e wt h eh i s t o r yb r i e f l yo fp d e - b a s e da n i s o t r o p i cd i f f u s i o nf o ri m a g e s i n p a r t i c u l a r , w ei n v e s t i g a t et h ec l a s s i c a la n i s o t r o p i cd i f f u s i o n , t h ep e r o n a - m a l i km o d e l m a t h e m a t i c a l l ya n dt h e o r e t i c a l l y , a n de x p l a i ns o m ei n t r i n s i cr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e l o c a ls t r u c t u r e - b a s e de v o l u t i o nf o ri m a g ei n t e n s i t yo rc o n t o u ra n dt h ep ma n dt v d i f f u s i o nm o d e l s t h i sd e e p e n so u i u n d e r s t a n d i n go na n i s o t r o p i cd i f f u s i o na n dt h e m e c h a n i s mo fp d e si ni m a g ep r o c e s s i n g ( 3 ) c o n s i d e r i n gt h ef a u l t so fp y r a m i d - b a s e ds u b b a n dd e c o m p o s i t i o na p p l i e dt oc u r v e l e t t r a n s f o r m ，w et a k ea d v a n t a g eo ft h ep r o p e r t i e so ft vm o d e l s ，a n du s et h ed i g i t a lt v f i l t e rt os u b s t i t u t es u b b a n dd e c o m p o s i t i o np r o c e d u r e s i m u l t a n e o u s l y , w ei m p r o v et h e d i g i t a lt vf i l t e rt os p e e du pi t sd e t m le x t r a c t i o n t h e nw ec o m b i n et h i sn e wf i l t e rt o r i d g e l e tt r a n s f o r mt oa c h i e v ei m a g ed e n o i s i n g ，a n de x p e r i m e n t a lr e s u l t sh a v es h o w ni t s e f f e c t i v e n e s s ； ( 4 ) w ei m p r o v em u l t i s t a g em e d i a nf i l t e rb ya d d i n gd i r e c t i o n so fs u b - w i n d o w st o a d i r e c t i o n a la d a p t i v ea l g o r i t h m ，a n di ti sb e a e ri ne d g ep r e s e r v i n ga n dn o i s er e m o v a l ( 5 ) w ec o n s t r u c tan o v e ls e to f f e a t u r e sf o ri m a g ee d g e s ，i e 1 0 c a lo r i e n t a t i o ne s t i m a t i o n a n dl o c a li n t e n s i t yc o n t r a s t t h em u l t i l e v e ll o c a li n t e n s i t yc o n t r a s tf e a t u r e sa r et h e nt o b ef u s e di n t oas i n g l ei m a g ew h i c hi st ob eo p t i m i z e db yd i r e c t i o ni n f o r m a t i o n f i n a l l y w eu t i l i z et h er e g i o n - b a s e dl e v e ls e ta p p r o a c ht oe v o l v et h ef e a t u r ei m a g ea n do b t a i n s e g m e n t a t i o nr e s u l t o u re x p e r i m e n t sh a v es h o w ni t se f f e c t i v e n e s sc o m p a r e dt og a b o r a p p r o a c h k e yw o r d s ：c u r v e l e tt r a n s f o r m ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t o t a lv a r i a t i o n ， i m a g ed e n o i s i n g ，n o n l i n e a rf i l t e r i n g 4 山东大学博士学位论文 1 1 课题的背景和意义 第一章绪论 随着科学技术的不断发展，人们能够方便快捷地获得各种数字图像，图像已 经成为获取信息的重要途径。一般来讲，人们利用各种技术手段对这些图像进行处 理( 或加工、分析) ，主要目的有三个方面： ( 1 ) 提高图像的视觉质量，如进行图像的亮度、彩色变换，增强、抑制某些成分，对 图像进行几何变换等，以改善图像的质量。典型应用包括图像去噪、增强、恢复、 超分辨率分析等。 ( 2 ) 提取图像中所包含的某些特征或特殊信息，这些被提取的特征或信息往往为计 算机分析图像提供便利。典型应用包括图像分割、聚类、检索、配准、融合等。 提取特征或信息的过程是模式识别或计算机视觉的预处理。提取的特征可以包括 很多方面，如频域特征、灰度或颜色特征、边界特征、区域特征、纹理特征、形状 特征、拓扑特征和关系结构等。 ( 3 ) 图像数据的变换、编码和压缩，以便于图像的存储和传输。 此外，人们可以进一步地利用由图像处理所获得的结果，实现计算机系统对 图像的解释，这类似于人类视觉系统理解外部世界，这被称为图像理解( i m a g e u n d e r s t a n d i n g ) 或计算机视觉( c o m p u t e rv i s i o n ) 。麻省理工学院( m i t ) 的m a r r 教授 提出的视觉计算理论 1 ( c o m p u t a t i o n a lv i s i o n ) 对此进行了深入阐述。 不论出于何种目的，图像处理都需要由计算机和图像专用设备组成的图像处 理系统对图像数据进行输入、处理和输出。本论文主要关注的是中间的处理环节。 具体来讲，在这一环节人们采用的图像处理方法可归纳为三大类： ( 1 ) 第一类包括各种正交变换和图像滤波等方法，其共同点是将图像由空间域变换 到其它信号域中进行处理( 如滤波) 后，再变换到原来的空间。图像变换的目的，是 通过少量变换系数表征图像特征，即通过图像在正交基下的展开实现图像信息的 稀疏表示。图像变换的传统方法包括傅立叶变换、哈达马变换( h a d a m a r d t r a n s f o r m ) 、沃尔什变换( w a l s ht r a n s f o r m ) 、离散余弦变换( d i s c r e t ec o s i n e 7 山东大学博士学位论文 t r a n s f o r m ) 、k l 变换( k a r h u n e n l o e v et r a n s f o r m ) 等，近二十年以来小波变换 2 8 也成为图像变换的重要方法； ( 2 ) 第二类方法是直接在空间域中处理图像，它包括各种统计方法、微分方法及其 它数学方法，如早期的非线性滤波【9 2 2 ，基于偏微分方程的各向异性图像扩散和 水平集演化； ( 3 ) 第三类是数学形态学运算，它不同于常用的频域和空域的方法，是建立在积分 几何和随机集合论基础上的运算。 上述方法只是对数字图像进行分析和处理的工具和手段。考虑到边缘及其方 向信息是计算机所依赖的一种对图像进行分析处理关键特征，在图像去噪、恢复、 增强、识别、聚类、配准、融合、压缩、超分辨率分析等工程应用领域有重要意 义，人们自然希望这些图像处理方法能够充分反映和利用这种信息。相关的研究 非常活跃。从早期的多级中值滤波，到当前广泛应用的g a b o r 变换 8 4 8 9 、基于 二维小波变换和偏微分方程的图像处理方法，再到新近提出的多尺度几何分析， 人们一直在寻找有效的基于方向的图像变换和滤波方法。 1 2 国内外研究现状 2 0 世纪八十年代以来，小波理论的兴起对信号处理产生了深远影响。它所具 有一系列优良的性质，包括多分辨率特性、对信号奇异性的稀疏表示和快速算法 等，这也使其广泛应用于图像处理的各个领域，例如在d o n o h o 提出了经典的收缩 阈值去噪算法 6 5 1 之后，产生了大量的相关研究成果 6 6 6 8 ，7 0 ，9 0 ，9 5 ，1 0 8 1 0 9 。 我们知道，一维小波能够实现对点奇异性的最优表示。对于图像，我们采用 二维小波变换对其进行处理，而二维小波基由维小波基在二维空间的张量积构 成，这就决定了二维小波依然只能以点的形式实现对图像奇异性的描述。但是， 图像的奇异性通常表现为分段光滑的曲线( 边缘) 。以点的形式去逼近这些曲线，也 就无法实现最优表示。另外，二维小波基的构成形式决定了它只具有有限个方向： 水平、垂直和对角，无法有效描述图像所包含的丰富的方向信息。 为克服上述不足，人们进行了大量的卓有成效的研究工作，其核心就是建立 适于表示高维奇异性的基函数。这些新的方法被成为多尺度几何分析( m u l t i s c a l e 山东大学博士学位论文 g e o m e t r i ca n a l y s i s ，g m a ) 2 3 1 。多尺度几何分析由一系列新近提出的变换方法组 成，包括r i d g e l e t 变换 3 3 3 6 ，9 3 ，c u r v e l e t 变换 4 l - 4 5 ，9 4 ，c o n t o u r l e t 变换 4 6 - 5 1 ， 9 1 9 2 ，b a n d l e t 变换 5 2 - 5 3 ，w e d g e l e t 变换 5 4 】和b e a m l e t 5 5 - 5 6 变换等。 多尺度几何分析根据图像本身所包含的丰富的边缘信息，利用边缘的方向实 现对图像的稀疏表示。目前这一领域的研究非常活跃。r i d g e l e t 变换通过r a d o n 变 换将二维的线奇异性转化为一维的点奇异性，然后利用小波变换实现对点奇异性 的描述，因此尤其适用于线特征的提取。但是单尺度下的r i d g e l e t 分析不具备多尺 度分析的能力，只能针对图像的局部信息进行处理，容易受到图像局部灰度水平 的影响，例如在r i d g e l e t 去噪中会经常出现方块效应。另外，r a d o n 变换是r i d g e l g t 变换的关键步骤，它的数字实现是信号处理领域一大难点。c u r v e l e t 变换是多尺度 下的r i d g e l e t 变换，它建立了一个多尺度、多方向的图像表示框架，能够克服单尺 度r i d g e l e t 变换的缺点。但是c u r v e l e t 变换通常利用基于小波的金字塔模型进行子 带分解，因此各个子带图像反映的是原始图像的频域信息。我们知道，对图像的 小波系数进行非线性操作会产生伪影。因此，对c u r v e l e t 系数进行操作后再通过 基于小波的金字塔算法进行重构，也会产生类似的问题，这必然会严重降低图像 质量。因此我们考虑选择适当的图像分解方法来代替基于小波变换的金字塔分解， 达到抑制伪影的目的。 几乎与小波理论同时兴起的、对图像处理同样具有重大意义的偏微分方法， 也引起了人们的广泛关注。目前关于图像偏微分方法的研究非常活跃。与上述的 小波变换和多尺度几何分析不同，它在空间域，而不是变换域对图像进行操作。 它通过一个或一组偏微分方程刻画图像或图像特征的演化过程，所表示的物理意 义亦非常明确：通过图像的局部几何信息( 梯度、曲率等) 实现对图像的操作，使 其向人们期望的方向演化；在演化过程中，方程的参数可以适当调整，使处理结 果最终收敛于某个稳定状态。最典型的应用包括各向异性的图像扩散( 滤波) 【1 0 0 】 和基于水平集的图像分割 3 0 ，5 9 ，8 3 。前者是通过对边缘方向的判断自适应地实现 对图像的平滑滤波，目的是为了保持边缘、抑制噪声；后者则是通过对图像轮廓 内外能量函数的设定，驱使初始化的分割边界向真实边界演化。由于图像偏微分 方法都在连续信号域被提出，因此其正则化是必要的。同时，相应的尺度空间的 概念使人们可以通过由偏微分方程控制的图像演化的过程提取局部特征，而这些 9 山东大学博士学位论文 特征对图像处理和模式识别有重要意义。 图像经过各向异性扩散处理之后，被分解为“卡通”图像和细节图像，其中 前者保留了重要的边缘信息，而后者则包含了噪声和一些小尺度的几何结构。两 者叠加就可以恢复原始图像。因此它也是有效的图像分解方法。更为重要的是，“卡 通 图像不存在伪影。因此我们利用这种空域的图像滤波方法，代替c u r v e l e t 变 换中的基于小波金字塔的图像分解，以此实现图像细节的分离；然后再由r i d g e l e t 变换对这些细节进行处理。相关的图像去噪实验结果也表明，我们的方法能够在 抑制噪声的同时更有效地保护边缘，同时也消除了在c u r v e l e t 去噪实验中出现的 伪影。 1 3 本文的研究工作和内容安排 我们围绕着几种重要的基于方向的图像变换和滤波方法，包括c u r v e l e t 变换， 基于偏微分方程的图像各向异性图像扩散和水平集演化，以及多级中值滤波，开 展了一系列研究。本文的主要工作包括： ( 1 ) 借助于相关的工具和程序，我们仿真实现了c u r v e l e t 变换，其中包括基于框 架金字塔分解的子带分解，以及基于伪极坐标快速傅立叶变换r a d o n 变换的以及 在此基础上的r i d g e l e t 变换； ( 2 ) 我们回顾了基于偏微分方程的图像各向异性扩散方法发展的主要历程。特别 地，我们对最早提出的各向异性扩散模型一p m 模型进行了相关数学推导和理论 证明，从而验证了有关p m 模型和t v 模型的一些关键结论； ( 3 ) 我们利用t v 模型可以实现图像分解的特性，对全变差数字滤波器的迭代公 式加以改进，加快图像灰度的变化速度，达到快速提取细节的目的；在此基础上， 将其与r i d g e l e t 变换结合，即利用r i d g e l e t 变换对经全变差数字滤波器提取的图像 细节进行处理，最终达到去噪的目的； ( 4 ) 我们建立了新的图像边缘的特征，即局部边缘估计和局部狄度对比度，并对 这些特征进行优化：首先对不同尺度下的局部灰度对比度进行特征融合，再结合 边缘信息得到最终的图像边缘和轮廓信息。最终利用几何活动轮廓模型对特征图 像进行演化，以获得分割结果； ( 5 ) 我们对多级中值滤波加以改进，增加了子窗口，并实现了基于方向选择的自 1 0 山东大学博士学位论文 适应算法。与多级中值滤波相比，改进算法对图像边缘的保护更为有效。 本文的内容安排如下： 第一章简要回顾了图像处理的发展历程，并介绍了图像处理的意义，图像处 理方法的分类一变换域方法、空间域方法和形态学方法，以及近年来兴起的小波 变换、基于偏微分方程的图像处理方法和图像的多尺度几何分析。 第二章简要介绍了从傅立叶分析到小波分析，再到多尺度几何分析的发展历 程；特别地，我们主要关注多尺度几何分析中的一种重要方法c 1 1 r v e l e t 变换的理 论和实现。在c u r v e l e t 变换的数字实现过程中，子带分解和r i d g e l e t 变换是两个关 键问题。又因为r i d g e l e t 变换必须经由r a d o n 变换才能完成，而r a d o n 变换的数 字实现一直是一个难点问题，所以我们在此重点讨论了r a d o n 变换的一种实现方 法一伪极坐标快速傅立叶变换。这种变换涉及到分数阶傅立叶变换，相关内容可 参考附录。 第三章首先对基于偏微分方程的图像处理方法的原理进行了简要说明，然后 着重回顾了图像各向异性扩散方法发展的主要历程：从各向同性的图像扩散( 高斯 线性尺度空间) 到各向异性图像扩散( p m 模型) ，再到t v 模型。我们对p m 模型 中的图像扩散系数加以深入分析，并进行了相关的数学推导和理论说明。在此基 础上，我们通过欧拉一拉格朗r 方程说明了t v 模型与p m 模型的关系一前者是 后者的特例，并且其扩散系数能够克服p m 模型所带来的病态问题。 第四章提出了全变差数字滤波器与r i d g e l e t 变换相结合的图像去噪方法。全变 差数字滤波器来源于各向异性的图像扩散和t v 模型，它能够在有效去除噪声的同 时实现边缘保护。但是，被去除的噪声图像中仍然存在图像的细节信息。我们利 用r i d g e l e t 变换的特性，将噪声图像经全变差数字滤波器处理后得到的细节图像进 行空间域的剖分，然后在每个剖分区域内进行r i d g e l e t 变换。仿真实验结果表明， 与其它经典图像去噪方法相比，本章提出的算法能够使去噪图像的视觉效果更好， 且p s n r 值更高。 第五章论述了我们提出的对传统的多级中值滤波的改进算法。多级中值滤波 是基于空间域的具有边缘保护功能的非线性滤波方法，它对边缘的保护源自其子 窗口方向的选定。考虑到多级中值滤波子窗口的方向有限，仅为水平、垂直和两 山东大学博士学位论文 个对角共计四个方向，我们增加了子窗口方向，即增加了对角方向的折线窗口。 在此基础上我们进行了自适应算法的设计，使改进算法能够根据图像边缘的方向 自动选择子窗口方向。仿真实验与分析一并给出，验证了这种自适应算法的有 效性。 第六章提出了一种新的图像边缘特征，即图像的局部边缘和局部灰度对比度。 我们对优化后的特征图像进行水平集演化，实现纹理图像的分割。 第七章是我们对论文的回顾和对今后研究工作的展望。 1 2 山东大学博士学位论文 第二章图像的多尺度几何分析与c u r v e l e t 变换 近年来，二维或高维数据的多尺度几何分析( m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s m g a ) 弓i 起了业界的极大关注。多尺度几何分析来源于傅立叶分析和小波分析。与 小波变换不同的是，多尺度几何分析充分利用了方向信息对二维或高维信号实现 稀疏表示。在本章，我们首先回顾从傅立叶分析到小波分析、再到多尺度几何分 析的发展脉络，并重点论述c u r v e l e t 变换的理论与实现。其中，作为c u r v e l e t 变换 框架的核心问题之一，r a d o n 变换的数字实现算法是一大难点。同时我们注意到， c u r v e l e t 变换的先进思想其受到其数字实现手段的制约，但是这并不能否定这种变 换的重要意义。 2 1从傅立叶分析到小波分析 信号是信息的载体。如何实现信号的有效表示是信号处理领域中的一个核心 问题。传统的傅立叶分析以正交的复正弦信号为基函数，通过不同频率的谐波组 合来描述目标函数。傅立叶于1 8 0 7 年提出了傅立叶级数的概念，即任意一个周期 信号都可以分解为复正弦信号的叠加。1 8 2 2 年他又提出了非周期信号分解的概念， 即我们所熟知的傅立叶变换。给定连续信号f ) ，如果它满足 i | x ( t ) 1 1 2 d t o o ( 2 1 ) 我们称石( f ) 为能量有限信号。对于能量有限信号x ( t ) ，其傅立叶正、逆变换分别为 x ( 彩) = ，x ( t ) e - j 耐d t ( 2 2 ) 川) 2 去x ( 咖国 ( 2 3 ) 傅立叶变换经过一百多年的发展，不但成为一个重要的数学分支，而且成为 信号处理领域极为重要的分析工具。本质上傅立叶分析是一种频域分析方法，它 揭示了时间与频率之间的内在联系，反映的是信号在整个时间范围内的频率特征， 因而具有很强的频域局部化的能力。但是，人们很快发现了傅立叶变换的主要 缺点： 山东大学博士学位论文 ( 1 ) 不具备时域局部描述的能力。对于信号的任一频率分量，傅立叶变换必须 在整个时间坐标上对时间信号进行积分才能求得，因此它无法反映局部时间内信 号的频率特征； ( 2 ) 不能很好地反映具有突变特征的非平稳信号。由定义式可知，信号的傅立 叶变换与时间无关，即傅立叶变换只适用于时不变信号。但是现实物理世界中的 绝大部分信号，其频率都是随时间变化的，即时变信号。时变信号是非平稳信号。 因此对于非平稳信号，傅立叶变换只能给出在整个时间上总的平均效果； ( 3 ) 在频率分辨率上有局限性。由海森堡测不准原理可知，信号的时间分辨率 和频率分辨率不可能同时达到最高。在工程实践中，通常我们会针对信号的时频 特性，根据需要选取不同的时间分辨率和频率分辨率。但是傅立叶变换只能给出 较高的频率分辨率，即不能实现时间一频率的联合分析。 为克服上述傅立叶变换的缺点，人们首先提出了短时傅立叶变换。自2 0 世纪 中叶以来，时频联合分析的提出才真正实现了时间和频率的联合。8 0 年代之后， 时频联合分析广泛应用于信号分析与处理。 2 0 世纪8 0 年代，诞生了一种新的信号表示和分析方法- d , 波理论。小波理论 来源于