（光学工程专业论文）实用化数字全息图记录与再现系统的实验研究.pdf

西北工业大学硕士学位论文 i 实用化数字全息图记录与再现系统的实验研究古 摘要 在数字全息术的实用化过程中，由于现有c c d 参数对记录条件的限制，降低了再 现像的分辨能力。作为数字全息干涉计量术中的一个关键环节，相位去包裹一直未得到 很好的解决。这些在一定程度制约了数字全息术的实际应用。本文对上述问题进行了深 入研究，并提出相应的改进方法，在此基础上建立了一套较为实用的数字全息图记录与 再现实验系统。其主要内容包括： ( 1 ) 通过对c c d 靶面的精确平移，实现了大幅面数字全息图的拼接记录。针对计 算机处理能力的限制以及最大物参夹角的影响，在理论分析的基础上提出了用于大幅面 数字全息图再现的分割再现合成技术。采用平面参考光波记录时，拼接后的全息图越大， 所能记录的物场越大i 采用球面参考光波记录时，拼接后的全息图越大，再现像的横向 分辨率越高。利用精密电控平移台移动c c d 分别对平面波记录和球面波记录的情况进 行了详细地实验研究，结果证明了上述方法的可行性。 ( 2 ) 从理论和实验两方面研究了欠采样情况下所获取的数字全息图的再现问题，分 析了造成频谱混叠现象的原因。提出了利用“亚像元”成像技术重建高分辨率数字全息 图的方法。实验结果表明，该方法可有效地突破最大物参角的限制，同时可以消除由于 欠采样造成的频谱混叠现象。 ( 3 ) 建立了一个可有效地消除包裹相位图中不连续点的模型，在此基础上进行多方 向去包裹运算，然后求其平均值，从而达到与路径无关的目的。文中给出了具体算法， 并通过数值模拟和实验验证了该方法的有效性和可行性。结果表明，这种方法既具有很 强的抗噪声能力，又能很好地处理较大面积的欠采样区域，并且具有很强的稳定性和较 高的效率。 ( 4 ) 利用v c + + 与m a t l a b 混合编程技术，将本文完成的以及本实验室近年来已 经完成的有关数字全息图处理的功能模块进行了集成，比较系统、完整地实现了数字全 息的记录、再现以及后处理功能。系统的集成极大地方便了相关研究工作，同时利于发 现问题。代码打包后软件的保密性、稳定性、独立性更强，更趋干实用化；同时也可以 满足低端用户群的需要。 关键词：数字全息图，数值再现，图像拼接，亚像元，欠采样，相位去包裹 + 航空科学基金资助项目( 0 2 1 5 3 0 7 5 ) i i a bs trac t e x p e r i m e n t a ls t u d yo nap r a c t i c a ls y s t e mu s e df o rr e c o r d i n g a n d r e c o n s t r u c t i n gd i g i t a lh o l o g r a m s 啦 a b s t r a c t n o w a d a y s ，t h er e s o l v i n gp o w e ro ft h er e c o n s t r u c t e di m a g ei nt h ea p p l i c a t i o n so fd i g i t a l h o l o g r a p h yi s r e s t r i c t e db yt h ef i n i t es i z ea n dr e s o l u t i o no ft h ec c d a n dt h ep h a s e u n w r a p p i n g ，a sa ni m p o r t a n tp r o c e s s ，h a s n tb e e np e r f e c t l ys o l v e di nd i g i t a lh o l o g r a p h i c i n t e r f e r o m e t r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ed i s c u s s e dt h e s et w op r o b l e m s ，w h i c hr e s t r i c tt h e a p p l i c a t i o n so fd i g i t a lh o l o g r a p h y , a n dp r e s e n t e ds o m ei m p r o v e dm e t h o d s b a s i n go nt h e s e ， w ed e v e l o p e dap r a c t i c a le x p e r i m e n t a ls y s t e mf o re f f e c t i v e l yr e c o r d i n ga n dr e c o n s t r u c t i n g d i g i t a lh o l o g r a m s t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) s o m em e t h o d sf o rr e c o r d i n ga n dr e c o n s t r u c t i n gd i g i t a lh o l o g r a m sw i t hl a r g es i z ea r e p r o p o s e d ，b a s e do nb r e a d t h w i s em o v i n gt h ec c dc a m e r ap r e c i s e l y , ah o l o g r a mw i t hl a r g e s i z ec a nb eo b t a i n e db yi m a g ef u s i o n f o rt h ep r o c e s s i n gl i m i t a t i o no ft h ec o m p u t e ra n dt h e i n f l u e n c e so ft h ec r i t i c a la n g l eb e t w e e nt h eo b j e c ta n dr e f e r e n e eb e a m s am e t h o di sp r o p o s e d b a s e do nt h e o r e t i c a l a n a l y s e s ，w h i c h i sd e m o n s t r a t e dt ob ef e a s i b l ef o rs e g m e n t i n g r e c o n s t r u c t i n g ，a n df u s i n gd i g i t a lh o l o g r a m sb yt h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s ( 2 ) a f t e rt h ef r e q u e n c ya l i a s i n gi nr e c o n s t r u c t i o n so fu n d e r - s a m p l e dd i g i t a lh o l o g r a m sa r e i n v e s t i g a t e db o t ht h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i m e n t a l l y , an o v e lm e t h o db a s e do nt h es u b p i x e l i m a g i n gt e c h n i q u ei sp r o p o s e dt or e c o n s t r u c td i g i t a lh o l o g r a m sw i t hl a r g es i z ea n dh i g h r e s o l u t i o n t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o dc a no v e r c o m et h el i m i t a t i o n so ft h e c r i t i c a la n g l eb e t w e e nt h eo b j e c ta n dr e f e r e n c eb e a m s ，a n do m i tt h ef r e q u e n c ya l i a s i n g ( 3 ) am o d e lt oe f f e c t i v e l ye l i m i n a t el o c a lb r a n c hp o i n t sw i t h o u ti n f l u e n c i n gn o r m a lp o i n t s i se s t a b l i s h e d ，a n dt h e n ，b yc a l c u l a t i n gt h em e a nv a l u e so ft h eu n w r a p p e dp h a s ea l o n g m u l t i p l ec e r t a i nd i r e c t i o n s ，t h eg o a lo fp a t hi n d e p e n d e n c ec a nb ea c h i e v e d e m p l o y i n g n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa n de x p e r i m e n t sd e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t i e sa n dt h ee f f i c i e n c i e so f t h e a p p r o a c h i ti ss h o w nt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o da l s oe x h i b i t sv e r ys t r o n gs t a b i l i t ya n dh i g h e f f i c i e n c ye v e ni np r e s e n c eo fs e r i o u sn o i s e sa n dr e l a t i v e l yl a r g eu n d e rs a m p l e da r e a s ( 4 ) b ym i x e dp r o g r a m m i n gb e t w e e nm a t l a ba n dv c + + ，ap r a c t i c a ls y s t e mf o r r e c o r d i n ga n dr e c o n s t r u c t i n gd i g i t a lh o l o g r a m si sd e v e l o p e db yp a c k a g i n gt h ec u r r e n ta n d p r e v i o u sw o r ki no u rl a b o r a t o r y r e c o r d i n g ，r e c o n s t r u c t i n g ，a n dp r e p r o c e s s i n gc a nb ee a s i l y i m p l e m e n t e db yt h es y s t e m ，w h i c hh a sg o o dm a n - m a c h i n ei n t e r f a c e ，h i 曲c o m p u t a t i o n a l s p e e da n db e t t e rs t a b i l i t y k e y w o r d s ：d i g i t a lh o l o g r a m ；n u m e r i c a lr e c o n s t r u c t i o n ；i m a g ef u s i o n ，s u b p i x e l i m a g i n g ，u n d e r s a m p l e d ，p h a s eu n w r a p p i n g + s u p p o r t e db yt h es c i e n c ef o u n d a t i o no f a e r o n a u t i c so f c h i n au n d e rg r a n tn o0 2 1 5 3 0 7 5 西北工业大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 数字全息术概述 1 1 1 数字全息术的发展 数字全息术是利用c c d 摄像机等光电探测器代替普通全息记录介质记录全息图， 通过计算机数值计算取代光学衍射来实现所记录物场的再现，并直接在计算机屏幕上得 到物场的再现像。早在1 9 6 7 年，g o o d m a n t l 和k n , o n r o d t 2 3 等人就提出了利用光电视像管 采集全息图，用数字计算机再现全息图的设想。1 9 7 1 年，t h u a n g t m 在一篇介绍二十世 纪6 0 年代到7 0 年代早期数字计算机用于波场分析所取得的进展时，首次提出了“数字 全息术( d i g i t a lh o l o g r a p h y ) ”一词。7 0 年代早期，y a r o s l a v s k i i 等人【4 ，5 】开始进行数字全 息图的数值重建工作。8 0 年代木，o n u r a l 和s c o g 6 墙l 改进重建算法并将其应用于粒子测 量。1 9 9 2 年，h a d d a d 9 】等人提出了基于傅里叶变换全息图数值重建的全息显微术。1 9 9 3 年，数字全息术取得了很大进展，s c h n a r s 和j f i p t n e r 【x 0 , u 利用c c d 直接记录并用计算机 数值再现菲涅耳全息图，使得全息图的记录和再现完全数字化。但是在此后相当长的一 段时问内，数值重建全息图的良好构想一直受到计算机技术与电子技术相对落后的限 制，数字全息术发展缓慢。近年来，高分辨率c c d 、高速计算机及先进数字图像处理 技术的发展，使得对全息图的高速及高分辨率数字化处理成为可能，数字全息术得到了 快速发展，并开始得到实际应用。 1 1 2 数字全息术的实现过程及优点 数字全息术的实现过程主要分为三个部分 i2 ：( 1 ) 数字全息图的获取。将参考光 和物光的干涉图样直接投射在光电探测器上，经采集卡模数转换后得到全息图的数字图 像，将其传输并存储在计算机内。( 2 ) 数字全息图的数值再现。这一部分完全在计算机 上进行，包括数字全息图的预处理、数值再现和对再现图像进行数字图像处理三个过程。 ( 3 ) 数值再现结果的输出。通过对再现像进行分析处理，实现对目标图像进行检测和 相关物理量的计算。 与传统的光学全息术相比较，数字全息术具有如下优点【i3 】： ( 1 ) 利用电子图像采集系统获得全息图的数字图像，省去了光学全息中必须的曝 光、显影、漂白等物理和化学处理过程，使再现过程简化，再现周期得以缩短，满足实 时化的基本要求。 ( 2 ) 计算机技术和数字图像处理技术的引入，使记录和再现过程完全数字化，因 此可以很方便地加入数学处理方法，以消除像差、噪声以及干板特性曲线的非线性等因 素带来的影响，提高全息图的质量。 ( 3 ) 数值再现全息图得到的是物场的复振幅分布，同时可得到物体振幅和相位分 2 第1 章绪论 布，可以方便快速地实现真正意义上的两个或多个全息图的相加减、增减背景图像、叠 加图像等操作。而这些在光学全息中需要很复杂的光路才能完成，这也增加了数字全息 技术的实用性。 ( 4 ) 由于全息图是以数字形式存储于计算机中，这使得全息图的保存、传输和复 制更容易，共至可以通过互连网实现全息图的实时传输和异地显示。 1 1 3 常用的数字全息图再现算法 现阶段数字全息术的研究主要集中在成像理论、算法及如何提高精度和分辨率等方 面，其中全息图的再现算法是数字全息术的核心。迄今为止，研究者已提出多种数值再 现方法，包括相位恢复算法、相移法、菲涅耳变换法【1 1 1 ”、频域变换法以及卷积 算法【l6 】等。其中菲涅耳变换法和频域变换法最为常用。 利用菲涅耳变换法数值再现离轴全息图的方法，首先由s c h n a r s 和j ( i p t n e r 等提出。 该方法基于衍射的球面波理论数值再现全息物场的思路，实际上就是数值模拟光学全息 的再现过程，它以菲涅耳衍射积分公式为基础，根据采样定理将菲涅耳积分离散化，并 利用快速傅里叶变换获得再现物光波的复振幅分布。为了消除零级和共轭像的影响，需 对全息图进行数字相减或带通滤波等处理。类似技术已用于飞行光观测( 1 i g h t i n 。f l i g h t o b s e r v a t i o n ) 、面形测量及相衬成像( p h a s e ，c o n t r a s ti m a g i n g ) 等方面。 频域变换法基于衍射的平面波理论( 角谱理论) 数值再现全息物场，实际上就是模 拟再现光波经全息图衍射后在频域内的传播规律，即利用衍射平面与观察平面上频谱的 点点对应关系，通过频谱滤波并利用快速傅里叶变换得到物光波在成像平面上的复振幅 分布。频域变换法的关键在于提取出全息图平面上物光波的频谱信息。而只有在满足一 定物参夹角条件下离轴记录的全息圈，其频谱才可能分离。因此，频域变换法只适合于 离轴全息图的数值再现。 以上两种再现算法都是以菲涅耳衍射积分为基础，通过将菲涅耳衍射积分离散化而 实现全息图的数值重建。 1 1 4 数字全息术的应用及存在的问题 目前，随着相关技术理论的发展，数字全息术已从开始的一般性研究走向实用化。 数字全息术的诸多优点( 非接触、无损、大景深、可获得三维图像及相衬图像等) 使其 应用领域非常广泛，涉及形变分析、形貌测量、显微成像、粒子大小和位置的测量、物 体等高线测量、飞行光观测、光学相干断层成像、加密技术、振动分析和无损检测等方 面。从文献资料来看，国内外许多学者或研究组都在致力于这方面的研究。h a d d a d 等【 1 利用数字全息显微技术在5 1 4 5 n m 相干照明波长下获得了1 4 p , m 分辨率。u s c h n a r s 和 j t i p t n e r 等进行了数字全息干涉实验，并实现了对物体形变的定量测量。c u c h e 掣m 2 1 1 在只拍摄一张菲涅耳全息图的情况下，通过数值重建，同时得到了相位和振幅图像，并 依次分别获得了1 0 n m 的轴向分辨率和微米量级的横向分辨率。d d i r k s e n 等 2 2 利用无 西北工业大学硕士学位论文 3 透镜傅里叶变换全息术，数值再现了诸如心脏膜瓣这类湿滑和不稳定的表面。c o l o m b t 2 3 用数字全息显微术再现出了活细胞组织的三维相衬图像。中国科学院上海光机所徐至展 等人 2 4 8 】j 哿数字全息技术应用于x 射线全息图与电子全息图的再现。中国科学院西安 光机所成铎0 1 9 q0 1 、侯比学、陈国夫等i ” 3 5 在飞秒数字全息术方面作了一定的工作。西北 工业大学赵建林口”4 3 等人将数字全息应用于折射率、温度场、声场、等离子体及材料泊 松比的测量，同时在数字全息显微和加密方面进行了一定的研究。h j t i a n i 和g p e d r i n i t 4 4 】采用脉冲激光器( 脉冲间隔再1 - 1 0 0 0 i t s 可调) 和具有内部转移栅的c c d 记录 了振动扬声器的两个分立的菲涅耳全息图和像面全息图，通过数字再现和相位解卷积得 到扬声器的三维变形图。 当然，数字全息术在实际应用中还存在着一些困难和问题。最主要的困难是现有光 电记录器件空间分辨率远远低于传统的全息记录胶片的分辨率。在全息图记录过程中， 参考光波与物光波之间的夹角受到c c d 低空间分辨率的限制。因为在全息图平面上， 干涉条纹图样需由c c d 采集。与卤化银等记录材料相比，目前c c d 的分辨率约为每毫 米1 0 0 线对左右，所能记录的物参夹角大小有限：而传统记录材料的分辨率为每毫米几 千线对，可记录全息图的物参夹角为o 1 8 0 。一般c c d 的像素间隔在4 9 m 到1 4 9 m 之间，采样定理要求干涉条纹间隔大于像元间距的两倍。在传感器靶面上不同点处，参 考光波与物光波之间的夹角不同，所利用的最大空间频谱也不尽相同。因此，对于大多 数的全息图结构来说，传感器的空间带宽都不能充分利用。显然，当记录平面上各点处 物参夹角相差( 最大夹角与最小夹角之差值) 较小时，传感器的空间带宽才能被更加有 效地利用。另一困难是c c d 靶面尺寸很有限，影响了视场的大小和再现像的清晰程度。 因此，如何针对不同物场( 透明和不透明) 和不同照明光源( 连续和脉冲激光) 改进全 息图记录光路以最大限度地利用现有图像传感器( c c d 或c m o s ) 的有限空间分辨率 和横向尺寸是人们需要进一步深入探讨的问题。 1 2 数字全息图再现的相关技术 1 2 1c c d 成像技术概述“” 1 9 6 9 年秋，美国贝尔实验室的w s b o y l e 和g e s m i t h 受到磁泡即圆柱形磁畴器 件的启示，提出了c c d 的概念。c c d 是英文c h a r g ec o u p l e dd e v i c e 的缩写，中文译为 “电荷耦合器件”。c c d 的特点是借助于必要的光学系统和适当的外围驱动电路，可将 景物图像通过输入面空域上逐点的光电信号转换、存储和传输，在其输出端产生一时序 视频信号，并经末端监视器同步显示出一幅幅可视图像。c c d 集光电转换、电荷存储、 电荷转移和白扫描等功能于体，具有体积小、重量轻、耐冲击、寿命长、工作电压低、 启动快、无失真、灵敏度高、噪声低、动态范围大等一系列优点，同时也存在散粒噪声、 转移噪声和热噪声等不利因素。 4 第1 章绪论 c c d 按像素的空间排列主要分为两种，即线阵c c d 和面阵c c d 。其应用主要有两 方面：( 1 ) 线阵c c d 用于谱分析、图形尺寸检测，也可通过附加的机械扫描，得n - 维图像，以实现文字、图像识别以及航空摄影与遥测等。( 2 ) 面阵c c d 基本上用于实 时摄像，如广播电视、民用电子照相机、监护系统的图像传感器等多方面。 另外，近年来市面上也出现了c m o s ( 互补金属氧化物半导体) 图像传感器 4 6 , 4 7 。 早在7 0 年代初，国外就已经开发出c m o s 图像传感器。但当时，其分辨率、动态范围、 噪声、功耗和成像质量等方面都不如c c d 图像传感器，因而未获得充分发展。9 0 年代 初期，c m o s 图像传感器显示出强劲的发展势头。随着超大规模集成电路( v l s d 制 造工艺技术的发展，目前c m o s 图像传感器的一些参数性能指标已达到或超过c c d 图 像传感器。1 9 9 6 年就有采用0 5 p t m 的c m o s 工艺开发出2 0 4 8 2 0 4 8 阵列的c m o s 图像 传感器的报道。相信随着工艺水平的提高，将生产出分辨率更高、阵列面积更大的c m o s 图像传感器。与c c d 相比，c m o s 图像传感器的光谱响应范围更宽，在红外波段仍具 有较大的输出响应。因此，它在红外成像领域将具有广阔的应用前景。目前，c m o s 有 源像素传感器己成功应用于机器视觉、航空航海、自动控制、消费电子产品( 例如可视 电话、计算机输入和家庭监视设备) 等领域，并主要朝着高分辨率、高动态范围、高灵 敏度、超微型化、数字化和多功能化的方向发展。 1 2 2 数字图像处理技术1 4 8 , 4 9 1 数字图像处理本质上就是运用计算机强大的计算和存储功能，对离散图像阵列作某 种“运算”、“变换”、“修饰”或“处理”，最终实现对图像的“评价”、“识别”和“理 解”。 二维数字图像处理方法可以分为两大类，即空间域处理法和频率域处理法。空间域 处理是对平面点阵数据作一维或二维处理，如对比度增强、图像分割、滤波、锐化等； 频率域处理首先对空间域作正交变换( 如傅里叶变换等) ，得到变换阵列，亦称离散频 域图像。计算机对频域图像进行处理后再变换到空间域，从而得到目标图像。 数字图像处理的内容可分为图像处理、图像分析和图像理解三个层次。图像处理是 对图像本身进行“加工”，改善其视觉效果或表现形式，为图像分析打基础。图像增强、 图像平滑、图像锐化、图像复原、图像变换、图像编码、图像计算( 对像素点进行算术 或逻辑计算) 等都属于这个范畴。图像分析是对目标图像进行检测和相关物理量的计算 ( 如图像特征提取) ，以获取对图像的客观接述，其得到的是一组描述目标图像特性的 数据。图像理解是在图像分析的基础上，由计算机进行“联想、思考及推理”，从而实 现对客观世界的正确认识。图像理解与模式识别、人工智能密切相关。 随着微电子技术、计算机技术、网络技术及多媒体技术的发展与普及，数字图像处 理的应用已深入到人类生活的各个方面( 如科学研究、遥感航天、军事安全、工业生产、 通信技术及人民生活等) ，极大地推动着社会生产力的发展。 西北工业大学硕士学位论文 5 1 3 本论文的主要工作 本文的主要目的是建立一套较为实用的数字全息图的再现系统，并就其中几个关键 环节进行分析和研究，以达到优化系统的目的。全文共分为六章，各章的内容如下： 第2 章：阐述数字全息术的基本理论，根据衍射的平面波理论和球面波理论，给出 两种不同的数值再现思路，即菲涅耳变换法和频域变换法。 第3 章：针对c c d 参数的限制，探讨利用c c d 拼接技术和“亚像元”技术记录数 字全息图，以改善再现像的质量。并从理论和实验两方面验证所采用方法的合理性和可 行性。 第4 章：提出相位圈去包裹的种新的综合方法。给出具体算法，并通过数值模拟 和具体实验验证该方法的有效性和稳定性。 第5 章：采用v c “与m a t l a b 混合编程技术，建立一套实用的数字全息图再现系 统。 第6 章：对本文的主要工作进行总结，并对后续工作的开展提出一些建议。 6 第2 章理论基础 第2 章理论基础 全息图的再现问题实际上就是照明光波经过全息图的衍射成像问题。数字全息图的 再现过程实际上是利用计算机，通过数值方法模拟照明光波经全息图衍射后的传播规 律。本章首先介绍傅里叶交换的基本理论，然后针对光波衍射在空域和频域内的不同传 播规律，给出两种常用数字全息图数值再现方法，最后讨论离轴全息记录和再现系统的 空间带宽积。 2 1 傅里叶变换 在数字全息术中，傅里叶变换是实现空域和频域信号转换的有效工具，数字全息图 的再现及后续处理都离不开傅里叶变换。本文涉及到的主要是二维图像，这里仅对二维 傅里叶变换理论进行介绍。 2 1 1 二维连续傅里叶变换 设舷力是两个独立变量z 和，的二元连续函数，在整个j y 平面上只有有限个极值点和 间断点，且对整个x y 平面绝对可积，则定义积分 ，( ”) = j jf ( x ，y ) e x p 一j 2 ( u x + v y ) d x d y ( 2 1 。1 ) 为二维函数以y ) 的傅里叶变换，并定义 f ( x ，y ) = f ff ( u ，v ) e x p j 2 n ( u x + w ) d u d v ( 2 1 2 ) 为f ( u ，的逆傅里叶变换。式中j 和y 分别代表空间变量，“和v 分另代表沿x 轴和y 轴 方向的空间频率分量。f ( u ，和m ，力构成一个傅里叶变换对。从图像处理角度说，f ( u ， v ) 称为图像信号m ，力的频谱，一般是复数，可以写成： f ( u ，v ) = l f ( “，v ) k “”或f 0 ，v ) = r ( u ，v ) + ( “，v ) ( 2 1 3 ) 式中，r ( u ，v ) 、l ( u ，v ) 分别为f ( u ，v ) 的实部和虚部。 函数辑，力的傅里叶变换振幅谱、相位谱和强度谱分剐为： f f ( x ，j j ) i = j r2 ( “，v ) + ，2 ( “，v ) 】“ ( 2 1 4 ) 砸，v ) = a r c t a n 筹 2 ) e ( “，v ) = r 2 ( “，v ) + ，2 ( “，v ) ( 2 1 6 ) 在光学信息处理中，频谱分析即对频谱f ( u ，谚的复振幅分布进行分析处理，通常可 分解为振幅谱和相位谱分布分别进行。 2 1 2 二维离散傅里叶变换 所谓信号的频谱分析就是对信号进行傅里叶变换 5 0 1 ，在信号的频谱域内进行某些操 西北工业大学硕士学位论文 7 作。由于现代电子技术获取的信号往往是离散的数字信号，加之连续的傅里叶变换不便 于直接利用计算机进行计算，人们提出了离散傅里口十变换( d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ， 缩写为d f t ) 。离散傅里叶变换是时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分 析离散信号和系统的有力工具。 假设图像兵k 力已在空间上采样成为二维离散信号，x 轴方向采样点数为采样间 隔为a x ；y 轴方向采样点数为j 采样间隔为衄。为方便起见，仍然把离散图像记作y ( x ， y ) ，可用下式表示： a x ，力= m 缸，y 每) ( 2 1 7 ) 式中，x 、y 为空间域采样值，x = 0 ，1 ，2 ，胁l ；y = 0 ，1 ，2 ，- l 。 同样，二维离散频谱f ( u ，的具体含义为 f ( u ，v ) = f ( u a u ，v v ) ( 2 1 ，8 ) 其中，u 、v 为频率域采样值，u = 0 ，l ，2 ，肛l ；v = 0 ，l ，2 ，- 1 。a u ： d a v 分别为频率 域中沿x 轴和y 轴方向的采样间隔。 二维d f t 具有如下的形式： 脚，= - - 艺，薹z z 篓i ( xy 皿扣z ( 争万v y ) u = o ，1 ，m - i ；v = o ，1 。， l ( 2 。1 9 ) f ( x 川= 羔艺f ( “，e x p u = ov = om ( 嚣+ 号) l ，y ) = f ( “，j 2 “( 等+ 号) l l j x = o ，1 ，胁l ；y = o ，1 ，1 ( 2 1 1 0 ) 式中e x p 一j 2 ( “+ ) 】、e x p j 2 n ( + ) 分别称为正逆傅里叶变换核。 与连续傅里叶变换一样，v ( u ，v ) 称为离散信号函数a x ，力的频谱，是复函数。同时， 离散信号函数j ( x ，力的傅里叶变换振幅谱、相位谱和强度谱与连续信号函数0 ，力的一 样。可以看出，在离散傅里叶变换中，谱点总数与样点总数相等，而且也组成点阵形式。 根据采样定理，频率域谱点间隔“和v 与空间域采样点间隔血和妙之间有如下关系 ；! 一 p ：三一 ( 2 1 1 1 ) m a x n a y 2 1 3 快速傅里叶变换 虽然d f t 是信号分析与处理中的一种很重要的变换，许多信号处理方法，如卷积、 相关、滤波等都可以转化为d f t 实现。但是因为直接计算点d f t 需要2 次复数乘 法运算，当较大时，运算量很大。所以直接用d f t 算法进行频谱分析和信号处理是 不现实的。1 9 6 5 年c o o l e y 和t u k e y 提出了一种快速傅里叶变换( f a s t f o u r i e r t r a n s f o r m ， f f t ) s u ，其核心是不断地把长序列的d f t 分解为几个短序列的d f t ，并且利用变换 核的周期性和对称性来减少d f t 运算次数，该算法使点d f t 的乘法计算量由2 次 8 第2 章理论基础 降为1 2 n l 0 9 2 n 次。以此为契机，加之计算机的飞速发展，使得数字信号处理的理论在 实际中得到广泛应用。 对于一幅二维图像，可把二维d f t 变换转化为两次一维d f t ，即先对图像矩阵的 各行做一维傅里叶变换，然后再对变换结果的各列做一维傅里叶变换，如图2 1 所示。 图2 1 _ 维d f t 的快速计算 2 1 4 线性调频z 交换( c z t ) f 5 2 , 5 3 1 如前所述，采用d f t 计算图像的频谱时，其在频谱面上的采样点数与在空域的采样 点数相同。要提高频域分辨率，只能增加采样点数，但是采样点数的增加却又导致计算 量增大。当数据量足够时，我们有时并不需要得到全部频谱，而只关心某一个频带内的 值。在这种情况下，用f f t 解决实际问题，可以进一步简化运算过程，以降低计算量。 | v 点序列的离散傅里叶变换( d f t ) 实际上就是序列在单位圆上z 变换的点均匀 取样。而线性调频z 变换( c z t ) 算法可以用来计算在单位圆上任一弧段上的z 变换， 而且取样的间隔也可以自由确定。 图2 ，2c z t 在单位圆上任意弧段均匀取样 对于一维序y l j f ( n ) ，在o n 1 条件下的c z t 定义式如下： f ( z 。) _ c z r o 。 ，( n ) = ( 啦。= 厂( h ) k 鹏w 卜o 肛l ( 2 1 1 2 ) n = 0n = 0 式中岛为起始取样相位，伽为取样间隔，m 为取样点数。 如图2 2 所示，由参数岛、咖和m 共同决定了需要细化分析的弧段范围 o o ，岛+ ( 正i ) 师】。如果0 0 = 0 ，j j l 仁m 伽= 2 n n 时，c z t 变换就是d f t 变换。 罐淼絮彝菇o 式中 虬小跏岛睁嚣“刃： 眨朝。_ 妻憩舞孽需虬意 ：麓攀一i 畴吣“挚通善萎篓? 蝴蚴确： 职勰眦2 蛐中森娑蝴化。， “。( x ，y ) = 岳“。( ，y 。) e x p 茜k 一) 2 + o y ) d x 。妙。 ( 2 2 5 ) 。一如y y 。) = 击e x p ( j m ) e x p 篆b 一) 2 + 一y 。) 2 1 ( 2 _ 2 6 ) w ) = 击e 删树) e x p l 蔷( z2 2 ) 5 砸小加x 一匿y ；槲坤n b ”轳y ) 卜。 i 毫黧嚣赳。嗜 ( 2 2 8 ) 斗( 训唧匿m ，；札， “一“ 乩瑚“少秘严妒，y 、 ( 2 2 1 0 ) r j 去b 。2 + ，n 2 ) j e x p 一j 罢n 叫y h ) j 救n 母n 式中q = e x 叫2 兀d 组) ( j 五们为复常数，d 为物平面与c c d 之间的距离，d ，为成像平面与全 儿( 一_ y f ) - q c x p | j 寺”y “) l r 尺c ：n ，y 。，c x 。，y ：，e x p ，寺。2 + y 。2 ) ) 。：丢。：刍 2 - 2 1 1 虬( n 门= q e x p 卜寺y “) l f “扛c z 。，y 。，c x 。，_ ：。，e x p 一，j 苦b 。2 + y 。2 ) ) 。：告，：毛 2 f 2 1 2 儿，加聋警冀k 2 a x + 1 2ay2dft r ( kt ) 1 ( k a x12 虬s ， ， ，f ) c x p l j 音m “d(i，”)。：i”dpf一tr老(k?：t)21：(k：jex2p#：翌仁：。+，：y。：)cz-zt4， ，) 一j 去怔2 缸。+ ，2 衄f i 卅 z ( ”) _ e x p 卜j 寺b 2 缸“栅2 缈”) i q 2 1 5 ) 必( 刈) = e 刮易如2 缸；+ ，2 妙。2 ) | ( 2 2 1 6 ) 1 2 第2 章理论基础 不难看出，由式( 2 2 1 7 ) 或式( 2 2 1 8 ) 求解物场的过程实际就是用参考光照射全息图 的再现过程。当d ，_ d 取正值时，利用式( 2 2 1 7 ) 可得到准焦的共轭像；当d 毫一d 取负 值时，利用式( 2 2 1 8 ) 可得到准焦的原始像。如果对i n ，”) 预先进行频谱滤波，只保 留原始像( 或共轭像) 信息用于重建则可以消除0 级和共轭像( 或原始像) 离焦带来 的影响。 2 2 3 再现像面的空间分辨率和横向分辨率 再现像的空间分辨率反映了再现像平面上采样间隔的大小，等于采样间隔的倒数。 当用菲涅耳变换法进行数值再现时，对输入复振幅与二次相位因子的乘积直接进行一次 f f t 运算，此时再现像面的空间分辨率蔓t j 5 7 , 5 8 1 ： p 。：m a x ，v 、，一1 _ n a y ( 2 2 1 9 ) p 。= 一，v ，= 一= 、z 血划缈。 五d 式中，k 和h 为再现像面上z 和y 方向上的空间分辨率，血和z x y 吩别为再现像面水平 和竖直方向上的采样间隔，肘和n 分别为数字全息图上沿相应方向参加运算的像索数， 血和衄为数字全息图在相应方向上的采样间隔，即c c d 的像元尺寸，a 为再现时的光 波长。 再现像的横向分辨率是指对物体精细结构所能分辨的最小距离59 1 。由频谱分析理论 可知，再现像的横向分辨率由数字全息系统所能记录下的物体衍射的最高空间频率。 决定。如果要求最小分辨距离为。i 。，其对应的衍射角为仇，如图2 4 所示。则在满足 靠。的条件下，数字全息再现像中理论横向分辨率应n f 6 0 , 6 q f ? _ = 石1 = 去“j ( 罴j “( 2 , 2 2 0 s i n ， 一 毂 y l k 。j 图2 4 再现像的横向分辨率示意 在衍射场自中间某一区域到无穷远处，满足菲涅耳近似条件下，采用菲涅耳变换法 数值再现，可得观察平面上再现像能分辨的横、纵向最小尺寸善、玎分别为( 6 z 】： f ：盟：丝，玎：竺：丝 ( 2 2 2 1 ) m a x l ：n a y l y 可见在c c d 像元尺寸缸和y 确定的前提下，物体到c c d 靶面的距离d 越小，得到的 再现像中能分辨的最小距离手、7 也越小，横向分辨率越大。同理，物体到c c d 靶面 的距离d 确定时，c c d 靶面有效尺寸越大，得到的再现像中能分辨的最小距离f 、野 西北工业大学硕士学位论文 1 3 也越小，横同分辨翠越大。 2 2 4 菲涅耳变换法再现无透镜傅里叶变换全息1 1 t 记录无透镜傅里叶变换全息图时，参考光为球面波，且参考光点源与物体处于同一 平面内，使用这种光路记录、再现全息图具有光路结构简单的特点，再现时只需作一次 傅里叶变换，计算速度快，有利于实时化。假定参考光点源位于”平面内，在x 方向上 偏离中心距离为b ，则参考光在全息图平面上的复振幅分布为 咄e x p | j 去m _ y 一2 ) l 2 2 2 ) 此时在全息图后的光场复振幅分布仍可以用式( 2 2 9 ) 表示，于是在再现球面光波点源 所在平面0 ：y 将得到再现像的虚像。将式( 2 2 9 ) 、式( 2 2 2 2 ) 代入式( 2 ，2 i 0 ) ，可 得 “拈q 唧卜寺矿) j 肛o e x p 卜寺m ) ，j 忙乩) r i j 寺g 小一1j 罢o x n + y y h ) b 帆 = q o e , p b j 丢少) i 驴( 孙e x p | j 去g 叫y ”) 卜枞 = q o “p l 一删j “( 、x , 2 + y a ) m o 彬n ) 岳 告 ( 2 2 2 3 ) 式中q o = q r o 。除去积分式外的二次相位因子的影响，再现原始像光场复振幅分布就是 全息图强度分布的准确的逆傅里叶变换。对式( 2 2 2 3 ) 离散化后有 町b ) = q oe x p | - j 寺b 2 血“+ ”2 船“) 1 1 d f t ，) 。 ( 2 2 2 4 ) 式中b x7 、缈是成像平面的采样间距，m = o ，1 ，- ，2 ，m - i ，n = o ，1 2 ，- l 。从而可得到再 现像的强度和相位分布为 m ，y ) = 【r e 乩( 一，y ) 口2 + 【l m 乩( x ，y ) 卫2 ( 2 2 2 5 ) 肌，= a r c t a n 矧) z 舶， 2 3 利用衍射平面波理论再现物场 2 3 1 衍射的平面波理论6 3 1 平面波理论的基础源于数学上的傅里叶分析。按照傅里叶分析理论，一个任意的解 析函数，均可以看作是由一系列具有不同周期或频率的基元简谐函数的线性叠加。 1 4 第2 章理论基础 在频率域中，设u o ( 4 , 叩) 和l 姜功分别表示“o ( x o ，y o ) f d “缸，y ) 的频谱函数，根据二 维傅旱叶变换的定义，( 鲁功和l h 皇功可表示成 u 。( # ，玎) = j 。( 民，y 。) e x p - j 2 n ( 4 x 。+ 剥。) 】出。印。 ( 2 3 1 ) u 。( 亭，q ) = 卜。( x ，y ) e x p - j 2 n ( ( ：x + 秽) 出妙 ( 2 3 2 ) 由傅里叶变换的定义，逆傅里叶变换应为 l l d ( x ，y ) = ff u a ( 孝，叩) e x p d