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文档简介
带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 论文题目带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 专业应用数学 硕士生付银莲 指导教师王其如教授 摘要 本文主要利用一类西( ,s ,f ) 型三元函数和广义r i c c a t i 技巧,进一步研究带有阻 尼项的二阶非线性微分方程 ( r ( t ) 妒( 。( t ) ) 妒( z ) ) ) 7 + p 0 ) 妒( z 7 0 ) ) + 9 0 ) ,( z 0 ) ) = 0 ,t t o , 的振动性,得到了一些新的k a m e n e v 型和区间振动准则所得结果不同于以前利用 h ( t ,8 ) 型二元函数和积分平均技巧得到的结果,而且应用起来更简便 根据内容本文分为以下三章t 第一章为综述,对二阶微分方程的振动理论做简要的介绍,并概括本文的主要工 作 第二章利用西( t ,s ,1 ) 型三元函数和两个广义r i c c a t i 变换,对上述微分方程建立 新的k a m e n e v 型和区间振动准则,所得结果推广和改进了已有的一些结果 第三章对上面三元函数垂( t ,s ,1 ) 的定义作一些修改,再利用它及比第二章更一般 的广义r i c e a t i 变换研究上述方程的振动性,所得结果推广、改进和统一了第二章和 现有文献中的有关结果 关键词:非线性微分方程;振动性;区间准则;广义r i c c a t i 技巧 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 t i t l e0 s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rs e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hd a m p i n g m a j o ra p p l i e dm a t h e m a t i c s n a m ef 1 1y i n l i a n s u p e r v i s o r p r o f e s s o rw a n gq m l a b s t r a c t t h i st h e s i se m p l o y sac l a s so fn e wf u n c t i o n so ft h ef o r mo ( t ,s ,1 ) a n dag e n e r a l - i z e dr i c c a t it e c h n i q u et oi n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t i o no fs e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd a m p e d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( r ) 妒( z ( t ) ) 妒( z ) ) ) 7 + p ( t ) 妒( z ( t ) ) + 口0 ) ,( z ( t ) ) = 0 ,t t o , a n ds o m en e wk a m e n e v - t y p ea n di n t e r v a lo s c i l l a t i o nc r i t e r i aa r ee s t a b l i s h e d t h e o b t a i n e dr e s u l t sa x ed i f f e r e n tf r o mt h ep r e v i o so n e sg i v e sb yu s i n gt h ef u n c t i o n sh ( t ,s ) a n di n t e g r a la v e r a g i n gt e c h n i q u e t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s t h ef i r s tc h a p t e ri sag e n e r a ls u r v e yw h i c hi n v o l v e sab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h e o s c i l l a t i o no fs e c o n d o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h em a i nr e s u l t so ft h e t h e s i sa r ea l s ob r i e f l yi n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ,b yu s i n gf u n c t i o n so ft h ef o r m 西( t ,s ,1 ) a n dt w og e n e r a l i z e d r i c c a t it r a n s f o r m a t i o n s ,s o m en e wk a m e n e v - t y p ea n di n t e r v a lo s c i l l a t i o nc r i t e r i aa r e e s t a b l i s h e df o rt h ee q u a t i o n s t h eo b t a i n e dr e s u l t se x t e n da n di m p r o v es o m er e s u l t s k n o w ni nt h el i t e r a t u r e i nt h et h i r dc h a p t e r ,s o m ei m p r o v e m e n t sh a v eb e e nm a d ef o rt h ed e f i n i t i o no ft h e f u n c t i o n s 圣( t ,s ,2 ) m o r e o v e r ,s o m er e l a t e dr e s u l t si nt h es e c o n dc h a p t e ra n dl i t e r a t u r e s a r ee x t e n d e d ,i m p r o v e da n du n i f i e db yt h ei m p r o v e df u n c t i o n s 垂( t ,s ,1 ) a n dt w om o r e g e n e r a l i z e dp d c c a t it r a n s f o r m a t i o n st h a nt h o s ei nt h es e c o n dc h a p t e r k e y w o r d s :n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ;o s c i l l a t i o n ;i n t e r v a lc r i t e - r i a ;g e n e r a l i z e dr i c c a t it e c h n i q u e i i i 原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文,是本人在导师的指导下,独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外,本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究作出重 要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名:始毵莲 日期:劲哆年f 2 月1 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定,即:学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质 版,有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆、院系资料室被查阅,有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索, 可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文 学位论文作者签名:f 才铱莲 导师签名 日期:z 口o t 年偿月1 日日期:z d 口7 年庳月1 日 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 第1 章综述 1 1 二阶微分方程的振动性理论 近代物理学和应用数学的发展,非线性微分方程理论的重要性日益显现,不仅在 工程技术,航天技术以及自动控制等领域中有重要应用,而且在计算机科学、人口动 态学和金融等领域中也成为不可缺少的工具因此,微分方程理论引起国内外学者的 研究兴趣,其基础理论及应用性意义越来越被人们所重视 微分方程振动性理论是微分方程理论的重要组成部分,对于振动性理论的研究更 是得到了迅速的发展特别是近几十年,大批学者对微分方程解的振动性研究进行了 深入的探讨,从线性到半线性、超( 次) 线性、非线性,从一阶到高阶,从纯量微分方 程到矩阵微分方程,都有非常丰富的成果,其中以二阶微分方程最受人们的关注,因 此也被研究得比较深入和广泛,无论是从方程的类型上还是从研究的方法上均有长足 的发展,这在很大程度上归因于微分方程在应用方面的重要价值,伴随着在物理学, 生物学,生态学和社会学中新现象的不断涌现,微分方程的应用范围也日益扩大 本文的目的在于对一类带有阻尼项的二阶非线性微分方程 ( r 0 ) 妒扛( t ) ) 妒( z ) ) ) + p ( t ) 妒( z ) ) + g ) ,0 ( t ) ) = 0 ,t t o ,( 1 1 1 ) 的振动性进行进一步的研究,其中r ( t ) ,p ( t ) ,q ( t ) c ( 1 t o ,o o ) ,r ) ,且妒( z ) ,妒( z ) ,f ( x ) c ( r ,r ) 本文中记f l 0 = 【0 ,) ,r + = ( 0 ,o 。) ,且始终假设下列条件成立; ( c 1 ) r ( t ) 0 且x f ( x ) o ( x o ) ; ( c 2 ) 0 0 且矿( ) y 妒( ) ,y r ,为常数; ( c 4 ) f ( z ) 存在且,7 ( 。) 2p o ( x o ) ,p 为常数; 或者 ( c 4 ,) q ( t ) 2o ,掣2a o ( x o ) ,a 为常数 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 称函数z : t o ,t 1 ) 一r ,t l t o 为方程( 1 1 1 ) 的解,如果。( t ) 对所有t 【t o ,t 1 ) 都满足方程( 1 1 1 ) 以后,我们总是假设方程( 1 1 1 ) 在区间i t ,o o ) ( t t o ) 上存在 这样的解方程( 1 1 1 ) 的个解z ( t ) 称为振动的,如果它有任意大的零点;否则,称 之为非振动的如果方程( 1 1 1 ) 的所有解都是振动的,则称方程( 1 1 1 ) 是振动的 近年来,人们x t - z 程( 1 1 1 ) 及其各种特殊情形,例如方程 矿( t ) + q ( t ) x ( t ) = 0 ,t t o , ( 1 1 2 ) ( r ( t ) x 印) ) 7 + g ( t ) ,( z ( t ) ) = 0 ,t2t o , ( 1 1 3 ) 和 ( r ( ) z ) ) + p ( t ) x o ) + 口o ) , ( t ) ) = 0 ,t2t o( 1 1 4 ) 等的振动性问题进行了广泛的研究,其成果可参见文献 1 - 3 ,5 - 3 1 1 9 9 9 年,k o n g 1 4 1 证明了t 定理a 如果对每一个l t o ,存在常数a 1 使得 h 攀刍,。( 8 - 矿如) 幽 南 且 警刍j f 。c n 幽 南, 那么方程( 1 1 2 ) 振动 2 0 0 0 年,l i 和a g a r w a l 1 6 】把k o n g 1 4 1 的主要结果推广到方程( i i 4 ) ,得到下 列结果。 定理b 假设l i m t 兄( t ) = ,其中r ( t ) = f d s r ( s ) ,t l t o 如果对每一 个1 2 t o ,存在常数a 1 使得 唧确1 ,一器卜矿 + 蒜堋r 1 ) 如 南 2 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准l u m s u p 南j f 一貉卜m p + 蒜叫s 旷。1 ) 幻高, 那么方程( 1 - 1 4 ) 振动 2 0 0 4 年,王其如【2 5 研究了更一般的二阶非线性微分方程( 1 1 1 ) 的振动性,他 利用广义r i c c a t i 变换 ”( = a o p ) 竺鱼群+ b ( t ) 和 ” ) = a ( r ( 竺鱼掣+ b o ) , 分别得到下列两个定理; 定理c 设条件( c 1 ) 一( c 4 ) 成立且d = ( t ,8 ) :t 8 t o 并设h ,h a ( d ,r ) 满足下列三个条件; ( i ) t 2 t o 时日( t ,t ) = 0 ,t 8 t o 时日( t ,8 ) 0 ; ( i i ) h 在d 上关于第二个变量有连续非正的偏导数; ( i i i ) 一锣笋= h ( t ,s ) 棚币习,( ,s ) d 如果存在函数a c 1 ( o ,o 。) ,r + ) 和b c ( t o ,o 。) ,r ) ,使得( r b ) c 1 ( 肛o ,o 。) ,r ) 且 h m s u p 、i 。,r 卜,湘,( 旷蠡) r ( s ) 吼s ) 如= m , 其中 q 1 ( s ) 叫s ) g ( s ) 一互1 ( 1 i 一瓦1 川、i p 2 ( 万s ) 一扣( s ) 耶) + 争肌h 小删,7 ) , , 3 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 础叫和) - 归丽( 箸+ 百2 # k 即) + 端) , 那么方程( 1 1 1 ) 振动 定理d 设条件( c 1 ) - ( c 3 ) 和( c 4 7 ) 成立且函数日,h 满足定理c 中的条件 ( j ) 一( i j i ) 如果存在函数a c 1 ( ,。) ,r + ) 和b 口( ,) ,r ) ,使得( r b ) c 1 ( ,o o ) ,r ) 且 絮去z m ,s ) q 4 ( s ) - 爰) r ( s ) 讯 s ) d s = m , 其中 ,叫s ,卜卜去( 击一恚) 错一云1 p 耶, + c 2 kr ( s ) b 2 ( s ) 一( r ( s ) b ( s ) ) , ( 1 1 6 ) 矾,s ) _ 忡) - 佩丽( 筹+ 百2 k b ( 8 ) + 端) , 那么方程( 1 1 1 ) 振动 我们可以看到许多振动结果都用到一个二元函数类x 设d = ( ,s ) :t o s t s t o 时h ( t ,s ) 0 ,并且在d 上有偏导数箸和筹使得 署= h l ( t ,s ) 万丽和箬= 一h 2 ( t ,s ) 万丽,其中h i ,h 2 在d 上分别关于t 和s 局部可积 2 0 0 4 年,孙元功【2 2 】定义了一个三元函数类y 和算子t 设e = ( t ,s ,z ) :t o f s s t s 12 t o ,并且在e 上有偏导数 赛使得警在e 上关于s 局部可积 设垂g c ( t o ,o o ) ,r ) ,定义积分算子t 【i ;z ,t 】为 t 断z ,t 】= 护( t ,s ,1 ) g ( s ) d s ,( ,8 ,f ) e ,( 1 1 7 ) 4 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 函数咖= 妒( t ,s ,1 ) 定义为 曼掣刊郇,f ) 吣,f ) iu s 容易验证t i ;l ,司是线性算子并且满足 t b 7 ;z ,t | - 一2 t b 妒;l ,t 】,g c 1 ( i t o ,o 。) ,r ) 事实上, 丁b 7 ;z ,t = 2 垂2 ( t ,s z ) 9 7 ( s ) d s = ,圣2 ( t ,s ,f ) d 国( s ) ) = 西2 ( t ,t ,f b ( 一垂2 ( t ,z ,f ) 9 ( f ) 一2 圣( ,s ,z ) ! ! 竺 g ( s ) d s = 一2 西2 ( ,s ,f ) 9 ( s ) 咖( t ,s ,f ) d s = 一2 t k 妒;1 ,扎 ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 利用该三元函数中= 中( ,s ,z ) ,孙元功【2 2 研究了方程( 1 1 4 ) 的振动性并在 r ( t ) i1 时得到下述结果 定理e 如果对每一个1 t o ,存在常数n 1 2 使得 u 罂再if 。( 卜s 严( s f ) 2l a # q ( s ) - - p 2 ( s ) + 4 书嚣掣出) i 如 、竺 7 ( 2 a 一1 ) ( 2 0 + 1 ) 那么r ( t ) i 1 的方程( 1 1 4 ) 振动 定理f 如果对每一个f t o ,存在常数卢 1 2 使得 唑p 历19 ( t ( t _ s ) 2 ( s _ i ) 2 9 卜h + a 篱如, d s 4 口 7 ( 2 卢一1 ) ( 2 卢+ 1 ) 那么r ( t ) i1 的方程( 1 1 4 ) 振动 定理e f 比以前的一些结果更简明( 可见 1 4 ,【1 6 】, 1 8 】, 2 9 】) ,然而定理e ,f 要求方程( 1 1 1 ) 中的r ( t ) i1 ,妒( z ( ) ) i1 和妒( z ) = z ,这就限制了它们的应用 5 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 1 2 本文的工作 本文在现有的微分方程理论的基础上,利用上面定义的三元函数西( t ,8 ,z ) 和广 义r i c c a t i 技巧对一类更一般的二阶非线性微分方程( 1 1 1 ) 的振动性进行进一步的研 究,建立了一些新的振动准则 本文分为三章,第一章为综述 第二章利用上面定义的三元函数垂( ,s ,z ) 和两个广义r i c c a t i 变换对方程( 1 1 1 ) 建立新的k a m e n e v 型和区间振动准则,所得结果推广和改进了现有文献中的一些结 果 第三章对上面三元函数垂( t ,s ,1 ) 和算子t 的定义作一些修改,再利用它们及比 第二章更般的广义r i c c a t i 变换,即王其如【2 5 】提出的两个广义r i c c a t i 变换对方程 ( 1 1 1 ) 建立新的k a m e n e v 型和区间振动准则,所得结果推广、改进和统一了第二章和 现有文献中的有关结果本章的结果具有高度的一般性,并且不同于以前利用h ( t ,8 ) 型二元函数和积分平均技巧得到的结果 6 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 第2 章带有阻尼项的二阶非线性 微分方程的振动准则i 本章利用第一章中定义的三元函数西( t ,s ,1 ) 和p d e e a t i 技巧对方程( 1 1 1 ) 建立新 的k a m e n e v 型和区间振动准则,并举例说明其应用 本章中还假设p ( t ) c 1 ( o 。) ,r ) 2 1k a m e n e v 型振动准则 当,( z ) 单调时,我们司以得到以f 结论 定理2 1 1 设条件( c 1 ) 一( c 4 ) 成立若对每一个l t o ,存在函数圣y 使得 l i m s u p tq 一万c 2 舻t 。, ( 2 1 1 ) 其中算子t 、函数咖= 妒( ,s ,1 ) 分别由( 1 1 7 ) 和( 1 1 8 ) 定义,且 ) 刊s ) _ 箍一哿, ( 2 抛) 则方程( 1 1 1 ) 振动 证明若方程( 1 1 1 ) 存在一个非振动解z ( t ) ,则存在充分大的t o t o 使得对所 有t t o ,。( t ) 0 不妨设对所有t t o ,x ( t ) o ( 若z ( t ) 最终为负,可类似证之) 定义 吣) = 型铲+ 篇,s t o ( 2 1 3 ) 7 对( 2 1 3 ) 求导并利用( 1 1 1 ) 及( c z ) - ( c 4 ) ,可得对s 蜀 ”,( s 卜如卜喘铲一业绁篝群+ 哿 细一编卜矧一赢卜甜+ r 硒( 8 ) = 一口( s ) + 面j 一志+ 型2 # k币翮旷( 8 ) + 一 细+ 端一高州+ 哿 一q ( s ) 一高以s ) , r p q ( s ) 叫,( s ) 一靠舻( s ) , ( 2 1 4 ) 其中q ( 8 ) 由( 2 1 2 ) 定义 应用t hz ,司到( 2 1 4 ) 可得对所有t t o , 丁 q ;,t 一t 陋7 ;,叫一t 答叫2 ;而, 于是由( 1 1 9 ) 可得对所有t2 晶, 引觚,t 】 1 2 为常数,p ( s ) c 1 ( i o ,o 。) ,r ,+ ) ,那么对t s l 有 蜘,f ) - 错+ 飞f i t - 刁( a + f f l ) s 矿+ a t 事实上, 曼! ;生旦= ( s ) ( t s 尸( s z ) 4 - - a p ( s ) 。一s ) n 一- ( s i ) 4 + 卢p ( s ) 一s ) 。( s f ) 卢一1 刊州h 川,4 ( 哿+ 等岩) 叫如棚( 错+ 群) 那么根据定理2 1 1 ,可得下列振动结果 定理2 1 2 设条件( c 1 ) 一( c 4 ) 成立如果对每一个f t o ,存在函数p ( s ) c 1 ( ,o o ) ,r + ) 和两个常数a ,卢 1 2 使得 l i r a 。+ s 。u p fp2(s)(tj s ) 缸( s f ) 2 4iq ( s )一s ) 缸( s z ) 2 4 i q ( s ) t _ + o 。 zi 一触( 等+ 掣错字) 2 d s 。, 其中q ( s ) 由( 2 1 2 ) 定义,那么方程( 1 1 1 ) 振动 定义 踯) = 。丽1 d s 】z 独, 并设 圣( t ,s ,f ) = p ( s ) f 冗( t ) 一r ( s ) 1 0 r ( s ) 一兄( f ) 1 4 , 9 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 其中o l ,p 1 1 2 为常数,p ( s ) c 1 ( 【t o ,o o ) ,r + ) ,那么对t s z ,有 m 埘= 错+ 篇蒜锚揣 事实上, 垡等= 加) 吼沪即) h 即) 一础胪一a 小而1 旷耶) r 1 r ( s ) - 删4 + 励( s ) 而1 一刖m ( s ) 2 删阳 刮瓣m h 鼬m 4 ( 貉+ 蒜杀篇箍券筠) 叫如( 错+ 蒜杀篇黼) 一 那么由定理2 1 1 可得下列振动结果 定理2 1 3 设条件( c i ) 一( c 4 ) 成立如果对每一个z t o ,存在函数p ( s ) c 1 ( 【t o ,o o ) ,r ,) 和两个常数q ,卢 1 2 使得 l i r a s u p 矿( s ) 【r ( t ) 一兄( s ) 】2 。【兄( s ) 一兄( f ) 】筇iq ( s ) 一o 。j l l 一 音+ 蒜杀搿擀端) 2 , , 其中q ( 8 ) 由( 2 1 2 ) 定义,那么方程( 1 1 1 ) 振动 如果取卢= 1 和p ( t ) 兰1 ,那么由定理2 1 3 可得下列定理 定理2 1 4 设条件( e 1 ) 一( c 4 ) 成立且l i m t - 。r ( t ) = o o 如果对每一个z t o , 存在常数口 1 2 使得 l i r a s u p 面未而,眦) 一踯) 1 “j r ( s ) - 础) 1 2 铷( s ) 如 面写i 厕, ( 2 1 6 ) 其中q ( s ) 由( 2 1 2 ) 定义,那么方程( 1 1 1 ) 振动 1 0 堂查里星堡墼三堕垩丝堡堡坌童堡丝堡垫塞型一 一= = ;= = = = = _ = = 一一一 2 叫s ) 阳踯) 呻+ 1 ) 踯) + 咧f ) 2 高d s :肛叫s ) 】缸_ 2 ( 郧) - r ( s ) ) 叫踯) 删f ) ) 】2 丽1 如 = 肛( t ) 叫s ) 】“丽1 加2 n 伽叫s 俨1 那) - r ( 1 ) 】志如 搿肛一踯) 】【r ( 旷删2 而1 2 a - 2 d s + n 2 r ( t ) 一r ( s ) 】【r ( s ) 一兄( 2 ) 】2 ;i 磊 = 未刍肛叫s ) 】2 “i r ( s ) 础( ) 高如 = 百五= j j 景豆:i 面【r ( t ) 一r ( c ) 】“+ 1 , 2 1 。7 于是由( 2 1 5 ) 和( 2 1 7 ) 可得 # c 2 kl i m 。s 。u p 面j 未t 酉 r ) 一r ( s ) 2 “i r ( s ) 一r ( f ) 】2 如,一触( 器瓣黼) d s = 罂志。删叫s ) 1 “j r ( s ) 埘( f ) 2 等q ( s 胁 一h 嬲p 南,。_ r ( s ) 严。- ( a + 1 ) r ( s ) + 以j 丽1 如 划罂p 西南万,。删_ r ( s ) 】“【r ( s ) _ r ( 1 ) 】2 等q ( 8 ) d s ( 2 n 一1 ) ( 2 0q - i ) 由( 2 1 6 ) 及( 2 1 8 ) ,易得到 1 唑p ;丽,圳s ) ( s ) 础】2 * ,音( 器书糕) d s 0 因此,由定理2 1 3 可得方程( 1 1 1 ) 振动定理2 1 4 得证 礅o :1 和p ( t ) i 1 ,类似于定理2 1 4 的证明,我们有下列定理 ( 2 1 8 ) 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 定理2 1 5 设条件( c 1 ) - ( c 4 ) 成立且l i 她- + 。兄( t ) = ( 3 0 如果对每一个z t o , 存在常数卢 1 2 使得 唑攀丽巧1i ,【踯) 一即) 2 陬8 ) - 础) 2 8 等) d s 雨= 丽, ( 2 1 9 ) 其中q ( s ) 由( 2 1 2 ) 定义,那么方程( 1 1 1 ) 振动 若取 垂( ,s ,1 ) = v h i ( s , z ) h 2 ( ,s ) , 其e e h ,上屯x ,h l ,h 2 定义如下 驾竽= s f ) 厕,1 a h 2 r ( t , s ) = 一跳,s ) 厕, ( 2 1 1 0 ) 则有 北,s ,驴斟湍一湍 事实上。 掣=1_l掣晰埘下01t2(t,s)2l v h , ( s t 2 一, 1 ) h 2 ( t , s ) i t 地一j + m 【s j 下l = 丽赫( 她d 佤丽凰( t , s ) - h a ( t , s ) 哪棚佤嘲 = 如f ) 佤丽呐s ) 俩叫 毗刈,斟湍一潞 那么同样根据定理2 1 1 可以得到下列振动准则 定理2 1 6 设条件( c 1 ) 一( c 4 ) 成立如果对每一个l t o ,存在两个函数1 t l ,1 t 2 x 使得 唑p 厂酬燃巾卜鼢,( 湍一湍) 2 , 1 2 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 其中h 1 ,h 2 由( 2 1 1 0 ) 定义,q ( s ) 由( 2 1 2 ) 定义,那么方程( 1 1 1 ) 振动 注2 1 1 若取皿( z ( t ) ) i1 ,妒( 俅) ) = 一( t ) ,则定理2 1 1 可简化为孙元功 2 2 】 中的推论2 1 和定理2 1 ;定理2 1 2 和2 1 6 可分别简化为孙元功 2 2 中定理2 2 和 2 5 如果还有r ( t ) i1 ,那么定理2 1 3 可简化为孙元功【2 2 中定理2 2 ;定理2 1 4 可简化为孙元功 2 2 】中推论2 2 和定理2 3 ;定理2 1 5 可简化为孙元功1 2 2 中推论 2 3 和定理2 4 定理2 1 3 _ 2 1 5 还可以处理r ( t ) 1 但l i i n t 。r ( t ) = 。o 的情况,此 时我们的结论改进并推广了孙元功 2 2 】中的定理2 3 、2 4 及推论2 2 、2 3 的结论 若f ( x ) 没有单调性,但满足条件( c 4 ,) ,则有下列定理 定理2 1 7 设条件( c 1 ) 一( c 3 ) 和( c 4 7 ) 成立若对每一个f 2 t o ,存在函数圣y 使得 l i m 。s 。u p t q 。一c 。r 6 2 ;z , o , 一o 。 l o 其中算子t 、函数妒= 庐( ,s ,1 ) 分别由( 1 1 7 ) 和( 1 1 8 ) 定义,且 洲垆s ) - 端一掣,( 2 1 1 1 ) 则方程( 1 1 1 ) 振动 证明若方程( 1 1 1 ) 存在一个非振动解z ( t ) ,不妨设存在充分大的t o t o 使得 对所有t t o ,x ( t ) 0 定义 吣) = 必学4 - 絮,s 蜀( 2 1 1 2 ) 对( 2 1 1 2 ) 求导并利用( 1 1 1 ) 及( c 1 ) - ( c 3 ) 和( c 4 ,) ,可得对8 t o 有 w ,( s ) = 一p ( s ) 妒( z ( s ) ) 一g ( s ) ,( o ( s ) )r ( s z ( s ) 巡兰垃巡塑盟丛生 z 2 ( s ) ( s ) 2 k 洲s 卜崭一絮) 一而南( 卅絮) 2 + 掣 一g ( s ) + 研翥一碱k 州+ 掣 如) + 瑞+ 掣一赤 = 一q 0 ( s ) 一丽k ”2 ( s ) , 1 3 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 即 ) s 一”怡) 一丽k 埘2 ( s ) , 其中q o ( s ) 由( 2 1 1 1 ) 定义以下类似于定理2 1 1 的证明,可证得定理2 1 7 成立 定理2 1 7 证毕 注2 1 2 类似于定理2 1 7 ,若定理2 1 2 - 2 1 6 中条件( c 4 ) 被替换成( c a ,) 则 可得方程( 1 1 1 ) 振动的相应的定理 2 2 区间振动准则 我们可以看到,定理2 1 1 2 i 7 和 1 - 3 ,w ,1 0 - 3 1 】中的一些结果都包含系数p ,q 和r 的积分,因此需要系数在整个 t o ,o o ) 上的信息然而由s t u r m 分离定理知振动 只是一种区间特性,即若存在 t o ,0 0 ) 的一个子区间序列【g i ,纠,当啦一o o 时,对每 个t ,方程( 1 1 1 ) 存在一个非平凡解在 a 。,b l 】上至少有两个零点,则方程( 1 1 1 ) 是振 动的,不管方程( 1 1 1 ) 在 t o ,o o ) 的其余部分性质如何因此,我们对方程( 1 1 1 ) 的 区间振动性质作进一步的研究,建立了几个新的区间振动准则,推广了已有的一些振 动结果 引理2 2 1 设条件( c i ) 一( c a ) 成立若z ( t ) 是方程( 1 1 1 ) 的解且在k ,6 c t o ,o o ) 上z ( t ) 0 ,则对任意的函数垂y ,有 r q - 矽叫姐 眨z 其中算子r 、函数= ( 6 ,8 ,n ) 和q ( 8 ) 分别由( 1 1 7 ) 、( 1 1 8 ) 和( 2 1 2 ) 定义 证明在【a ,6 l 上定义埘( s ) 如( 2 1 3 ) ,类似于定理1 1 1 的证明过程,可得对所有 8 h6 】,( 2 1 4 ) 成立在( 2 1 4 ) 两边应用算子州;a ,6 ,再利用( 1 1 9 ) 并对w 进行 1 4 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 配方,我们有 t l q ;n ,b s t 【;a ,b 一r = t 2 妒;a ,6 】一t 丝w 2 ;a ,b 1 q r j p k w 2 , a ,胡 c 2 r j 州俘一屈) 2 影c 2 。翻 s 丁睁幻,6 , 从而 t q 一去r 矿;n ,6 a t o 使 得 r 卜矽虺6 。, 偿。固 其中算子r 、函数= ( 6 ,s ,a ) 和q ( s ) 分别由( 1 1 7 ) 、( 1 1 8 ) 和( 2 1 2 ) 定义,则 方程( 1 1 1 ) 的每个解在【a ,b 】上至少有一个零点 证明假设方程( 1 1 1 ) 存在一个解z ( t ) 在 n ,6 上没有零点,即在i a ,纠上x ( t ) 0 则由引理2 2 1 知,对任意的圣y ,( 2 2 1 ) 成立,这与条件( 2 2 2 ) 相矛盾,故假 设不成立定理2 2 1 证毕 定理2 2 2 设条件( c 1 ) 一( c 4 ) 成立如果对每一个l t o ,存在函数西y 和两 个常数b a z 使得( 2 2 2 ) 成立,其中算子t 函数妒= ( 6 ,s ,a ) 和q ( s ) 分别由 ( 1 1 7 ) ,( 1 1 8 ) 和( 2 1 2 ) 定义,则方程( 1 1 1 ) 振动 证明选取序列亿) c t o ,o o ) 使得i o o 时,正一o 。根据假设,对每个 i n ,存在a t ,阮 t o ,o 。) ,使得噩sa 4 。, c z 删 其中算子t 、函数妒= ( 6 ,8 ,o ) 和q ( 8 ) 分别由( 1 1 7 ) ,( 1 1 8 ) 和( 2 1 2 ) 定义,则 方程( 1 1 1 ) 振动 证明对任意的l t o ,令a = z ,在( 2 2 3 ) 中我们取l = a ,则由( 2 2 3 ) 可得存 在b o 使得 t q 一矽叫 。, 即( 2 2 2 ) 成立所以由定理2 2 2 可知方程( 1 1 1 ) 振动,定理2 2 3 证毕 类似于第2 1 节中的讨论,可得下列推论和定理 推论2 2 1 设条件( c 1 ) 一( c 4 ) 成立如果对每一个l t o ,存在函数p ( t ) c 1 ( ,o o ) ,r + ) 和常数a ,卢 1 2 ,b a 1 使得 b 矿( s ) ( b - s ) z a ( s - a ) 2 4 q ( s ) 一触+ 掣篇茅) 2 , 其中q ( s ) 由( 2 1 2 ) 定义,那么方程( 1 1 1 ) 振动 推论2 2 2 设条件( c 1 ) 一( c 4 ) 成立如果对每一个f t o ,存在函数p ( t ) c 1 ( ,o 。) ,r + ) 和常数a ,卢 1 2 ,b a z 使得 z 6 p 2 ( s ) r ( b ) 一兄( s ) 】细j r ( 8 ) 一r ( n ) 2 4i q ( s ) ) 一兄( s ) 】细) 一r ( n ) 卵i q ( s ) jol 一触+ 器莽瑞特筠) 2 d s 。, 其中q ( s ) 由( 2 1 2 ) 定义,那么方程( 1 1 1 ) 振动 推论2 2 3 设条件( c 1 ) 一( c 4 ) 成立如果对每一个1 如,存在两个函数皿,岛 x 和两个常数b n l 使得 r 晰脚小旷鼢,( 湍一器) 2 d s 。, 1 6 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 其中h 1 ,h 2 由( 2 1 1 0 ) 定义,q ( s ) 由( 2 1 2 ) 定义,那么方程( 1 1 1 ) 振动 注2 2 1 若取皿( z ( t ) ) e1 ,妒( z 俅) ) = 一( ) ,则定理2 2 2 可简化为孙元功 2 2 】 中推论3 2 和定理3 1 ;推论2 2 1 和2 2 3 可分别简化为孙元功 2 2 中推论3 3 和 3 4 如果还有r ( t ) i1 ,那么推论2 2 2 也可简化为孙元功 2 2 】中推论3 3 若y ( x ) 没有单调性,但满足条件( c 4 ,) ) 则类似于定理2 2 2 和2 2 3 ,我们有下列 定理 定理2 2 4 设条件( c 1 ) 一( c 3 ) 和( c 4 ) 成立如果对每一个l2t o ,存在函数 西y 和两个常数b a l 使得 丁 q 。一警舻p 0 , 其中算子t 、函数庐= 妒( 6 ,8 ,a ) 和q o ( s ) 分别由( 1 1 7 ) 、( 1 1 ,8 ) 和( 2 1 1 1 ) 定义, 那么方程( 1 1 1 ) 振动 定理2 2 5 设条件( c 1 ) 一( c 3 ) 和( c 4 ) 成立如果对每一个l t o ,存在函数 西y 使得 l i r a 。s 。u p t q 。一鲁r 扩;l , o , o o 其中算子丁,函数庐= 庐( 6 ,s ,a ) 和q o ( s ) 分别由( 1 1 7 ) 、( 1 1 8 ) 和( 2 1 1 1 ) 定义, 那么方程( 1 1 1 ) 振动 注2 2 2 类似于定理2 2 ,4 ,若推论2 2 ,1 - 2 2 3 中条件( c 4 ) 被替换成( c 4 ,) j 则 可得方程( 1 1 1 ) 振动的相应的推论 2 3 应用 下面通过两个实例来说明本章结果的应用第一个例子说明定理2 1 5 的应用 例2 3 1 考虑带有阻尼项的二阶非线性微分方程 ( 去c z 一酬啪斋) 7 + 焉禹 + 云每坤) ( 1 + 巾) ) = 0 i t t o 1 ,( 2 肌) 1 7 带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动准则 其中口,m ,竹是g - 数且q 20 ,( m 一1 ) 2 使 得2 n m 2 - 4 - 2 m 3 4 卢2 ,所以 2n-m2+2m:!一,、。!;!一 1 2 z ( 2 z 一1 ) ( 2 卢+ 1 ) 7 ( 2 卢一1 ) ( 2 p - 4 - 1 ) 这说明条件( 2 1 9 ) 成立由定理2 1 5 知,方程( 2 3 1 ) 是振动的 第二个例子说明定理2 2 2 的应用 倒2 3 2 考虑带有阻尼项的二阶非线性微分方程 ( c + 础,搦篇) + c o s t 熹 童至里星堡墼三堕苎丝堡丝坌壅堡竺堡垫堡型 其中z r ,a ,c 是常数且0 t 0 +
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