储油罐的变位识别与罐容表标定-纸质打印.docx

储油罐的变位识别与罐容表标定问题分析摘 要本文旨在对储油罐的变位识别与罐容表标定问题进行深入探讨，运用微分法、函数拟合以及立体几何等理论知识，分别建立了小椭圆油罐和实际油罐的罐体变位对罐容表影响模型以及变位后罐容表标定模型，结合相关算法并运用matlab数学软件编程求得未知参数的值，得出了准确的模型，最终完整地解决了储油罐的变位识别与罐容表标定的有关问题。在问题（1）中，我们建立了无变位和纵向变位4.1o后两种情况的小椭圆油罐罐容标定模型；利用微元分析法和区域分割法，分三大阶段（其中一三阶段各自包括两个阶段），分别对罐容V和油高h的关系进行求解；在计算第二阶段时，结合投影和相似原理延长油面，采用割补法计算体积；再将模型所标定的罐容表与给出的观测值数据进行比对，得出两者之间的误差函数（无变位时为： y=0.1349*x-0.012，纵向变位4.1o时为： y=-397.39*x2+583.41*x-124.24），从而对模型进行进一步改进；最后利用MATLAB软件结合改进后的模型对罐容表进行标定，变位后的标定表前15组数据如下表所示：（完整数据见附录表3）在问题（2）中，我们先建立实际油罐纵向变位时的罐体变位对罐容表影响模型以及变位后罐容表标定模型；同样用微分分析法和区域分割法，分三个阶段（五个区间）对不同油高h对应的罐容V进行求解；计算实际储油罐体积时，将两端球冠体简化为球缺，利用球缺公式V缺=*H2*R0-H3，对实际储油罐两端球冠体体积进行计算；然后建立实际油罐横向变位时的罐体变位对罐容表影响模型以及变位后罐容表标定模型，利用立体几何相似关系得出对罐容表影响转换公式：Vh=VR-R-hcos；最后利用MATLAB软件结合所建模型对罐容表进行标定，得出变位后标定表。（见附录表4） 本文提出的模型具有较高的精确性和实用性，可以为解决罐容表变位之后的标定等实际问题提供理论基础，同时可以推广到其他顶为弧形顶、锥顶、椭球顶等形状的不规则立体物体的相关问题的求解。关键字：微分分析法 区域分割法 割补法 投影法 最小二乘法1. 问题的重述1.1问题的背景通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。1.2提出问题1）根据图示给出的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），建立数学模型研究罐体变位前后对罐容的影响，并利用附件给出的罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位的相关数据，计算出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值；2）根据图示给出的实际储油罐（两端为球冠体的圆柱体），建立数学模型研究研究罐体变位前后对罐容的影响，得出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系；然后利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。2.模型的假设与符号说明2.1模型的假设1）假设油位探针、注油口管、出油管对储油罐中剩余油体积的影响忽略不计；2）假设忽略温度、压力对汽油的密度的影响；3）假设储油罐在偏移的过程中，油位探针始终与油罐底面垂直；4）假设累加进出油量数据是准确可靠的。2.2符号说明h油浮子在油中的高度，即为油表读数V油的体积即所求罐容a小椭圆油罐截面长半轴b小椭圆油罐截面短半轴a0油表读数为0即油浮子刚好与油面接触时对应的罐侧边的距离l0油表读数为0即油浮子刚好与油面接触时对应的罐底边的距离m小椭圆油罐正面投影图的长n小椭圆油罐正面投影图的宽l、H、L线段里的任意长度，因线段长度不同而范围不同R0圆柱部分截面圆半径R1球冠体所在球的球半径3.问题的分析4.模型的建立与求解4.1问题（1）模型的建立与求解4.1.1问题的分析首先建立相应的坐标轴，确定油罐截面椭圆的方程；然后根据油在油罐中的变化特点，将整个过程分为三大阶段，第一三阶段分别有两种情况，求体积时总共为五个区域；再利用微分的思想分别对每一阶段的体积进行求解，得到罐容和油高的关系，计算体积时，先对线段积分计算每个截面的面积，再对所有截面的面积进行积分，利用几何中投影、相似等各种知识，得到相应的体积；最后将模型所标定的罐容表与给出的观测值数据进行比对，看是否存在误差，如若存在，则拟合出误差函数对模型进行改进，再利用改进后的模型通过matlab软件对罐容表进行标定，得到所求的油高间隔为1cm的罐容标定表。4.1.2模型的准备1）建立坐标轴以短半轴与椭圆边界下交点处为原点X轴-储油罐侧面椭圆的长半轴向下平移b个单位后处Y轴-储油罐侧面椭圆的短半轴所在的直线Z轴-储油罐正面罐底所在平面上的直线如下图4.1.1所示图4-1-1.1 y,z坐标轴图示图4-1-1.2 x,y坐标轴图示2）阶段说明如下图4-1-2所示A,B,C,D分别为油罐正视图的四个顶点K1为过B的水平线，K2为过D的水平线，红线为任一油面图4-1-2 分阶段图示因为小椭圆油罐是不规则的几何体，所以在计算体积时，我们把它分为三个阶段水平线K2到AD之间的区域为阶段水平线K1到水平线K2之间的区域为阶段水平线K1到BC之间的区域为阶段4.1.3建立小椭圆油罐罐容标定模型罐体无变位时（=0o）当油罐中有一定油量的时候，此时油浮子高度为h；如下图4-1-3所示图4-1-3 无变位时图示V油的体积即所求罐容，将油看成一个截面不规则的柱体，先求出截面的面积，再求体积截面椭圆方程为:x2a2+y-b2b2=1对h积分求截面面积:S=0h2a*1-y-b2b2dy再求体积V=S*m=m*0h2a*1-y-b2b2dy罐体变位后（=4.1o）1）第一阶段i）对罐容的计算即为对不规则几何体体积的计算，此处采用微分的思想。l1 为罐体变位时油面与AD边交点到A点的距离，a*为罐体变位时油面与AB边交点到A点的距离l为l1内任意长度（l0,l1）， a1则为每个l对应的a*的长度，a1=l*tan4.1o，l和a1在椭圆截面上对应的截面面积为S1,S2,S3,Sn，如下图4-1-4所示图4-1-4 阶段一图示椭圆方程为:x2a2+y-b2b2=1对a1积分求面积:Sn=0a12a*1-y-b2b2dy,n=1,2,3,n然后再将Sn在Z轴上对l1进行积分求体积:V=0l1Sndl=0l10a12a*1-y-b2b2dydlii）h为油浮子在油中的高度，同时也是油表的读数。（a0=l0*tan4.1o a1=l*tan4.1o）h=0, &a1a0a1-a0, &a0l0又将第三阶段分为两个阶段4.1.4模型的检验i）罐体无变位时，模型为：V=m*0h2a*1-y-b2b2dyV为罐容，h为油位高度先对附件1表格一进行处理，将累加进油量与油量初值相加得到罐容V；然后将附件1表格一中的高度数据h代入模型，得到罐容V的数据；最后将理论值V与实际值V进行比对，得差值V，对模型进行检验。（相关数据如表1所示）对差值V进行拟合，得到一个拟合函数，如下图4-1-7所示误差拟合函数方程为：y=0.1349*x-0.012即为：V=0.1349*h-0.012图4-1-7 无变位误差拟合函数通过上述对模型的检验，说明模型与实际情况之间存在一个V的误差，考虑到这个误差，才能较为接近实际地算罐容，则改进后的模型为：V*=VV=m*0h2a*1-y-b2b2dy(0.1349*h-0.012)ii）同样地，罐体变位后的模型也要进行改进如下图4-1-8所示，对三个阶段的临界值进行计算；图4-1-8 各阶段临界值图示第一阶段h的临界值为h1=m-l0*tan4.1o=0.147m=147mm第二阶段h的临界值为h2=n-h0=n-l0*tan4.1o=1.171m=1171mm第三阶段h的临界值为h3=n=1.2m=1200mm所以当高度h0,147mm时处于第一阶段，当高度h147mm,1171mm时处于第二阶段，当高度h1171mm,1200mm时处于第三阶段先对附件1表格三进行处理，将累加进油量与油量初值相加得到罐容V；因为h数据都处于第二阶段，所以将附件1表格三中的高度数据h代入第二阶段的模型，得到罐容V的数据；最后将理论值V与实际值V进行比对，得差值V，对第二阶段的模型进行检验。（相关数据如表2所示）对差值V进行拟合，得到一个拟合函数，如下图4-1-9所示误差拟合函数方程为：y=-397.39*x2+583.41*x-124.24即为：V=-397.39*h2+583.41*h-124.24图4-1-9变位后阶段二误差拟合函数通过上述对模型的检验，说明模型与实际情况之间存在一个V的误差，考虑到这个误差，才能较为接近实际地算罐容，所以要对模型进行改进；因为第一、三阶段的实际数据没有给出，不能进行比对，如若对第一、三模型进行改进，就用第二阶段的误差拟合函数。i)第一阶段（l0,l1），a1=l*tan4.1oV*=VV=0l10a12a*1-y-b2b2dydl(-397.39*h2+583.41*h-124.24)ii)第二阶段（l0,l1）， a1=l*tan4.1oV1=0l2Sndl=0l20a12a*1-y-b2b2dydl（l0,l2-m）， a1*=l*tan4.1oV2=ml20a1*2a*1-y-b2b2dydl则油的体积即罐容为：V=V1-V2V=0l20a12a*1-y-b2b2dydl+ml20a1*2a*1-y-b2b2dydl(-397.39*h2+583.41*h-124.24)iii) 第三阶段（l0,l2-m），a1=l*tan4.1oV*=V2-V1V=a*b*m-l1ma1n2a*1-y-b2b2dydl(-397.39*h2+583.41*h-124.24)4.1.5结果的计算i）当只对第二阶段的模型改进时，三个阶段的模型分别为：第一阶段：V=0l10a12a*1-y-b2b2dydl第二阶段：V*=V1-V2V=0l20a12a*1-y-b2b2dydl+ml20a1*2a*1-y-b2b2dydl(-397.39*h2+583.41*h-124.24)第三阶段：V=V2-V1=a*b*m-l1ma1n2a*1-y-b2b2dydl油位高度h取间隔为1cm的值时，罐容值V相应有对应值，如表3中“V/L(只拟合二)”所示现列举前15组数据，如下表4-1-1所示表4-1-1只拟合二前15组数据h/cmV/L（一二三都加拟合）V/L(只拟合二)0.00125.9141.6741.00122.4273.5312.00119.8946.2643.00118.4209.9754.00118.09614.75655.00119.00420.6916.00121.22027.85417.00124.81536.31618.00129.85346.14219.00136.39657.39310.00144.50070.12711.00154.22084.39712.00165.607100.254713.00178.710117.74814.00193.575136.924ii）当对三个阶段的模型都改进时，一、三阶段用第二阶段误差拟合函数改进第一阶段：V*=VV=0l10a12a*1-y-b2b2dydl(-397.39*h2+583.41*h-124.24)第二阶段：V=V1-V2V=0l20a12a*1-y-b2b2dydl+ml20a1*2a*1-y-b2b2dydl(-397.39*h2+583.41*h-124.24) 第三阶段：V*=V2-V1V=a*b*m-l1ma1n2a*1-y-b2b2dydl(-397.39*h2+583.41*h-124.24)油位高度h取间隔为1cm的值时，罐容值V相应有对应值，如表3中“V/L(一二三都加拟合)”所示现列举后15组数据，如下表4-1-2所示表4-1-2 一二三都拟合后15组数据h/cmV/L（一二三都加拟合）V/L(只拟合二)101.003471.8883471.887102.003509.3773509.377103.003546.3833546.38302104.003582.87103582.880105.003618.8403618.840106.003654.2333654.233107.003689.0283689.028108.003723.1903723.1908109.003756.6843756.6838110.003789.4673789.467111.003821.4963821.496112.003852.7203852.720113.003883.0833883.083114.003912.5193912.519115.003940.9483940.9484.2问题（2）模型的建立与求解4.2.1问题的分析首先建立相应坐标轴，利用勾股定理对两端球冠体所在球的球心进行求解，从而确定球体的方程；然后根据油面在实际储油罐中的变化特点，将整个过程分为三大阶段，第一三阶段分别有两种情况，求体积时总共为五个区间；先只考虑纵向变位时的情况，利用微分的思想分别对每一阶段的体积进行求解，得到罐容和油高以及的关系；计算体积时，先对线段积分计算每个截面的面积，再对所有截面的面积进行积分，利用几何中投影、相似等各种知识，得到相应的体积，第三阶段求实际储油罐的体积时，将两端球冠体简化为球缺，利用球缺公式求解体积；然后考虑横向变位时的情况，利用几何中的相似关系求解罐容和油高以及的关系式；最后利用matlab软件根据所建模型对罐容表进行标定，得到所需油高间隔为10cm的罐容标定表。4.2.2模型的准备1）求储油罐球冠体的球半径如下图4-2-1所示图4-2-1 求球冠体所在球半径图示O为球冠体所在球体的球心p=1 q=3m2=1.5m在RtEOB中，由勾股定理有：R12=R1-12+q2解得：R1=1.625则球冠体所在球体的方程为：x2+y2+z2=R122）建立坐标轴原点O-实际储油罐正面长方形的左下顶点X轴-实际储油罐正面长方形的下边长所在的直线Y轴-实际储油罐正面长方形的左边长所在的直线Z轴-垂直于XOY面从O点出发向外的直线如下图4-2-2所示图4-2-2 坐标轴图示R1-1=0.625此时球冠体所在球体的方程变为：x-0.6252+y-1.52+z2=R123）阶段说明如下图4-2-3所示A,B,C,D分别为油罐正视图的四个顶点K1为过B的水平线，K2为过D的水平线，红线为任一油面图4-2-3 分阶段图示因为实际油罐是不规则的几何体，同样地在计算体积时，我们把它分为三个阶段水平线K1到AD之间的区域为阶段水平线K1到水平线K2之间的区域为阶段水平线K2到BC之间的区域为阶段4.2.3只考虑纵向偏转变位时的储油量和油位高度的关系1）第一阶段对罐容的计算为对不规则几何体体积V的计算，此处包括球冠体部分和柱体部分，如下图4-4-4所示图4-4-4 第一阶段图示i）油在球冠体部分的体积V1计算O为球冠体所在球的球心油面交AB于H点，过H点作球心O所在与AB平行直线的垂线，垂足为F点，交AB于G点，连HO；FI=GA=H1 HF=R2 HO=R1在FOH中，由勾股定理，有：R12=R22+H1-1.52同样地，H为H1内的任意长度，H0，H1，对应的与AD平行的直角边为R，由勾股定理有：R12=R2+H-1.52与第一问相同，仍用微分的思想求体积先对HG段在XOZ面积分求截面圆面积，R1-1=0.625相对坐标原点高H处的圆截面方程为：x-0.6252+H-1.52+z2=R12S=-R-0.62502R12-x-0.6252+H-1.52dx在HGJ中，cos=HGHJ，通过投影关系可知，沿着HJ方向以任意H高度截面面积为:S=1cos*S=1cos*-R-0.62502R12-x-0.6252+H-1.52dx再在Y轴上积分，得到球冠体的体积为：AJ=H-R-0.625*tanV1=0H-R-0.625*tanSdH=0H-R-0.625*tan1cos*-R-0.62502*R12-x-0.6252+H-1.52dxdHii）油在柱体部分的体积V2计算AL=l1，l为l1内任意长度，l0，l1，a1为与l1对应的AB上的长度，a1=l*tan同样采用微分的思想求体积将a1投影到YOZ面上求截面面积S，此时x=1S=0a12R12-y-1.52dy再在X轴上积分，得到柱体体积V2为：V2=0l1Sdl=0l10a12R12-y-1.52dydliii）最后得到油在罐内的体积即罐容为:V=V1+V2=0H-R-0.625*tan2cos*-R-0.6250R12-x-0.6252+H-1.52dxdH+0l10a12R12-y-1.52dydliv）h为油浮子在油中的高度，同时也是油表的读数。（a0=l0*tan4.1o a1=l*tan4.1o）h=0, &a1a0a1-a0, &a0a1m*tan4.1o又将第一阶段分为两个阶段2）第二阶段对罐容的计算为对不规则几何体体积V的计算，此处包括两个球冠体部分和柱体部分，如下图4-4-5所示图4-4-5 实际储油罐第二阶段图示i）油在左边球冠体部分体积V1的计算与第一阶段相同的做法，最后得到沿HJ方向以任意H高度截面面积为:S=1cos*S=1cos*-R-0.62502R12-x-0.6252+H-1.52dx再在Y轴上积分,得到左边的球冠体体积V1为：V1=0H-R-0.625*tanSdH=0H-R-0.625*tan2cos*-R-0.6250R12-x-0.6252+H-1.52dxdHii）油在柱体部分体积V2的计算与第一问中阶段二方法相同，H为H1内任意长度，H0，H1得到柱体体积V2为：V2=0H1-R2-0.625*tantan0H1-R2-0.625*tan2R12-0-0.6252-y-1.52dydH-0H1-R2-0.625*tantan0H1-R2-0.625*tan-8*tan2R12-0-0.6252-y-1.52dydHiii）油在右边油冠体部分的体积V3的计算类比于第一阶段的方法，L1H1 r2R2，L为L1内任意长度，L0，L1V3=1cos0L1-r2-0.625*tan8r2-0.625+82R12-L1-1.52-x-8+0.6252dxdLvi）油在第二阶段的总体积V=V1+V2+V3=0H-R-0.625*tan2cos*-R-0.6250R12-x-0.6252+H-1.52dxdH+0H1-R2-0.625*tantan0H1-R2-0.625*tan2R12-0-0.6252-y-1.52dydH-0H1-R2-0.625*tantan0H1-R2-0.625*tan-8*tan2R12-0-0.6252-y-1.52dydH+1cos0L1-r2-0.625*tan8r2-0.625+82R12-L1-1.52-x-8+0.6252dxdLv）h为油浮子在油中的高度，同时也是油表的读数。通过相似我们可以得到，h和H1 R2的关系为：h=H1-R2-0.625*tan-2*tanh和L1 r2的关系为:h=L1+r2+6-0.625*tan3）第三阶段i）求罐容即油在罐内的体积V与第一问第三阶段思想相同，先算出罐内除油面以外的空白部分的体积V1，再算出实际储油罐的总体积V1，则罐容即油在罐内的体积为：V=V1-V1以C点为原点，CB为X轴，CD为Y轴建立坐标轴，参照第一阶段罐容的计算得：V1=0H-R-0.625*tanSdH=0H-R-0.625*tan1cos*-R-0.62502*R12-x-0.6252+H-1.52dxdH圆柱体积计算公式V柱=8R2代入数据得到：主体圆柱体积为56.5487一端球缺体积计算公式代入数据得到：两端球缺总体积为，则储油罐的总体积为V1=V柱+V缺=64.6645最后得到罐容即油在罐内的体积为：V=V1-V1=64.6645-0H-R-0.625*tanSdH=0H-R-0.625*tan1cos*-R-0.62502*R12-x-0.6252+H-1.52dxdHii）h为油浮子在油中的高度，同时也是油表的读数。（a0=l0*tan a1=l*tan）h=3, &a1a03-a1-a0,