（应用数学专业论文）复杂动力网络的结构、性能与自适应混沌同步.pdf

摘要 为了设计出记忆性能较优的人工神经网络，本文比较了各种不同连结的联想记忆神经网 络的记忆性能，并且提取出了刻划其性能的关键特征量 受到自适应控制方法的启发本文提出了一种变时滞神经网络的同步和镇定的方法，并且 可以基于同步对其连结权重进行估计此方法是结合反馈控制和自适应策略，借助l y a p u n o v 泛函方法及l a s a l l e 不变原理提出的，具有很强的抗噪声能力，并且在控制对象的参数发生大 范围变化时能够自觉调整控制器本身的参数使其达到同步或镇定数值仿真结果很好的展现 了此自适应方法的优点 具体地，本文的研究内容及创新之处如下： 一，第一部分比较了通过规则网，随机网，小世界和无尺度连结的联想记忆神经网络的 性能，并由此得出网络连结越随机，越无序，其记忆性能越好 二，对于参数未知的变时滞混沌神经网络，提出了一种自适应策略使其同步和镇定在 第二部分应用l y a p u n o v 泛函方法及l a s a u e 不变原理，研究了混沌神经网络的同步和镇定， 并给出了一种基于同步的参数识别方法在第三部分，自适应方法被用于控制不同的参数未 知的混沌系统，并使其同步 关键词：神经网络，复杂网络，小世界，无尺度，自适应控制，混沌，同步，稳定，l y a p u n o v 泛函，l a s a l l e 不变原理 a b s t r a c t i no r d e rt od e s i g nh i g hp e r f o r m a n c ea r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ，i nt h i sp a p e r ，w ec o m p a r e dt h e c o m p u t a t i o n a lp e r i b r m a u c eo ft h en e u r a ln e t w o r k sc o n n e c t e dw i t hr e g u l a rl a t t i c e ，r a n d o m ，s m a l l - w o r l d ，a n ds c a l e - f r e es t r u c t u r e s ，a n dp i c k e do u tt h ek e yc h a r a c t e r i s t i c s ， m o t i v a t e db yt h ei d e ao fa d a p t i v ec o n t r o l ，w ep r o p o s e das c h e m ef o rt h es y n c h r o n i z a t i o n ， s y n c h r o n i z a t i o n b a s e dp a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o na n ds t a b i l i z a t i o no f n e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n g d e l a y b a s e do nt h ec o m b i n a t i o no ft h ea d a p t i v es t r a t e g ya n dl i n e a rf e e d b a c kc o n t r o l ，t h ea d a p t i v e s c h e m ei sp r o p o s e db yd i mo fl a s a l l ei n v a r i a n c ep r i n c i p l ea n dl y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d t h e m e t h o dp r o p o s e di nt h i sp a p e ri sq u i t er o b u s ta g a i n s tt h ee f f e c to fn o i s e ，a n di tc a nr a p i d l ya d j u s t i t sp a r a m e t e r st oa d a p tt h eg r e a tc h a n g e si nt h eo p e r a t i n gp a r a m e t e r so ft h ee x p e r i m e n t a ls y s t e m t h ee x c e u e n c yo ft h i ss c h e m ei sw e l le x h i b i t e di nn u m e r i c a ls i m u l a t i o n c o n c r e t e l y , t h em a i nr e s u l t sa n do r i g i n a l i t yo ft h i sp a p e ra r es h o w na sf o l l o w s ： f i r s t l y , i nc h a p t e r2w es t u d i e dt h ec o m p u t a t i o n a lp e r f o r m a n c eo ft h en e u r a ln e t w o r k sc o n - n e c t e dw i t hr e g u l a rl a t t i c e ，r a n d o m ，s m a u - w o r l d ，a n ds c a l e - f r e ss t r u c t u r e s a sg r a p h sb e c a m el e 酷 l o c a l l yc o n n e c t e da n dm o r er a n d o m ，w ef o u n dt h a tt h ea s s o c i a t i v em e m o r yp e r f o r m a n c e i sw e l li r a - p r o v e d s e c o n d l y , w ep r o p o s e da l la d a p t i v es c h e m ef o rt h es y n c h r o n i z a t i o na n ds t a b i l i z a t i o no ft i m e - d e l a y e dn e u r a ln e t w o r k sw i t hu n k n o w np a r a m e t e r s i nc h a p t e r3 ，b yu s i n gl a s a l l ei n v a r i a n c ep r i n - c i p l ea n dl y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d ，w es t u d i e dt h es y n c h r o n i z a t i o na n ds t a b i l i z a t i o no fc h a o t i c n e u r a ln e t w o r k s ，a n dp r e s e n t e das y n c h r o n i z a t i o n - b a s e dp a r a m e t e r se s t i m a t i o nm e t h o d i nc h a p t e r 4 ，t h ea d a p t i v ec o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o na r ep r e s e n t e df o rc h a o t i ca n dh y p e r c h a o t i cs y s t e m sw i t h f u l l yu n k l l o w np a r a m e t e r s k e y w o r d s ：n e u r a ln e t w o r k ，c o m p l e xn e t w o r k ，s m a l l - w o r l d ，s c a l e - f r e e ，a d a p t i v ec o n t r o l ，曲艄岛 s y n c h r o n i z a t i o n ，s t a b i l i t y , l y a p u n o vf u n c t i o n a l ，l a s a l l ei n v a r i a n c ep r i n c i p l e 。学位论文独创性声明 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二，关于学位论文使用授权的说明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名：老宝坯l 导师签名；墟日期：坦：! ：! 目 第一章绪论 1 i 复杂网络的研究背景及已有工作 众所周知，万维网、因特网、电力网、交通网、科学引用网，新陈代谢网、食物链网以及 神经网络等都是复杂网络p i 2 s j ，可以说复杂网络无处不在尽管网络是如此重要和普遍， 但科学家对它的结构和属性却还知之不多复杂网络的理论研究始于2 0 世纪6 0 年代由著 名数学家e r d 5 s 和r d n y i 提出的e r 随机图模型1 4 在此后的近4 0 年里，该模型一直是研 究复杂网络的基本模型随着计算机运算能力的日益强大，以及各学科之间的相互交叉和不 断融合，人们对复杂网络的定性特征与定量规律的研究也日益深入然而在国际上真正掀起 了复杂网络研究热潮的是在两项开创性的工作之后一是1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z ( w s ) 在 n a t u r e 上发表文章引入小世界网络模型( s m a l l - w o r l d ) 5 j ；二是1 9 9 9 年b a r a b 螽8 i 和a l b e r t ( b a ) 在s c i e n c e 上提出了无尺度网络模型( s c a l e - f r e e ) j 6 同时有一些重要的特征量被引 入，主要用以刻戈0 或描述复杂网络特征，其中包括平均距离( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) 聚集系数 ( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) 、度分布( d e g r e ed i s t r i b u t i o n ) 等i z 1 8 1 9 除了w s 小世界模型和b a 无 尺度模型外，最近还有一些其他复杂网络模型相继被提出，如改进的n e w m a n - w a t t s ( n w ) 小 世界模型p o l ，l i - c h e n 区域世界发展模型1 1 1 l ，描述科学引用网的k l e m m - e g u l l u z ( k e ) 模型 b 2 1 1 3 1 等等。 人们创造了很多复杂网络，如i n t e r n e t ，w w w ，电力网通讯网、经济网络等，它们给 人类世界带来了极大的方便，但同时也埋下了一些隐患：由于狂风暴雨，一个地方电线杆的 倒塌最终导致美国加州的电力网崩溃；泰国汇率的改变在几周内就由于经济的网络化导致了 亚洲金融危机；艾滋病、s a i l s ，计算机病毒的传播让人们胆战心惊所以更好地理解身边 的复杂网络( 无论是生物的工业的，还是社会的、信息的) ，能使它们更好地为我们服务， 避免或减轻复杂网络的灾难性事件，并能对消灭恐怖主义、解释遗传密码等看似无关的课题 作出贡献美国著名物理学家s t e p h e nh a w k i n g 就提出2 1 世纪是复杂性的世纪目前，复杂 网络系统已引起了许多领域，如物理、数学，统计、计算机科学、通信、电子、自动控制、神 经网络，生物学等方面的专家和学者的广泛重视 1 1 一【2 q ，1 6 6 1 一p 0 1 目前，人们对复杂网络的研究大多集中在网络的大规模性，行为的统计性节点动力学 行为的复杂性，网络连结的稀疏性，连结结构的复杂性和网络的时空演化的复杂性几个方面 1 7 p s ( 1 9 1 通过实证方法度量网络的统计性质依然是人们认识复杂网络的主要工具复杂非 线性动态网络系统的连结结构和时空演化是错综复杂、丰富多彩的，尤其是各类同步问题， 包括广义同步的物理机制及其控制方法等问题，是迄今尚未解决的一类难题，也是众多领域 东南大学硕士学位论文 2 中都存在的值得共同研究的复杂性课题，更是最近几年各个领域的学者研究的热点一嘲 w a n g 和c h e r t 提出的一个复杂动力网络模型就为这方面的研究提供了一个切入点1 2 3 1 w u 比较了各种复杂动力网络的同步能力，提出了一个衡量同步能力的标准，并给出了怎样增加 少量的耦合使局部连结的网络迅速提高其同步能力的方法1 2 4 1 然而对于复杂网络中结构是 怎样影响其性能的研究并不是很多正如b a r a b d s i 和a l b e r t 所指出的： 迄今为止，对复杂 网络的研究还只是其冰山一角而已”大量关于复杂网络的奥秘正有待于探索和研究 1 2 混沌同步的研究背景及已有工作 所谓混沌，粗略地说是一种在确定性系统中所出现的类似随机而无规则运动的动力学行 为闭然而，由于混沌的复杂性，科学界至今仍无一个公认的非常严格的标准数学定义 在数学上常用的定义有l i - y o r k e 意义下的混沌 2 6 1 - ( 高维空间中有相应的m a r o t t o 定理l 明) d e v a n e y 意义下的混沌1 2 8 j 2 9 | 和连续动力系统( 流) 的s m a l e 马蹄意义下的混沌而在物 理和工程上常用的混沌判据是其有界性并存在正的l y a p u n o v 指数或正的信息熵p 1 1 自从混沌现象被揭示以来，不少人认为“混沌是既不可以控制又不可以预测的，当然更不 可能象周期解那样具有同步效应”，因为混沌运动最基本的特征之一就是对初值的敏感依赖 性，或对小扰动的极端敏感性，即著名的蝴蝶效应1 3 2 1 即使是同一个混沌系统，从相平面上 两个几乎相同但不同的初始条件出发的轨线，也很快不一致因此，人们一度认为，在实验室 里进行混沌控制或建立两个混沌同步的非线性系统几乎不可能实现但是在1 9 9 0 年，混沌同 步及混沌控制同时取得了突破性的进展1 3 3 1 混沌同步是由美国海军实验室的科学家p e c o r a 和c a r r o l l 开刨的，他们在实验电子线路上首先应用驱动响应方法实现了混沌同步例混沌 控制则是由美国马里兰大学的三位物理学家o t t g r e b o g l 和y o r k e 从理论上提出了参数小微 扰方法( 简称为o g y 方法) ，使混沌控制引起了世界性的广泛关注1 3 5 1 这些先驱性的工作， 加上混沌在物理学、数学，电子学、保密通讯，密码学，激光、化学，生物、医学和工程技术等 众多领域的极大应用潜力，立即激起了混沌控制和同步的研究热潮1 3 3 l 1 4 l l 【5 0 l f 5 5 1 “6 8 卜 7 3 1 从不同的角度研究混沌同步会产生不同的同步概念混沌同步的类型主要有完全同步， 相同步，广义同步，q s 同步，频率同步，滞后同步，间歇性滞后同步，不完全相同步，几乎 同步，一致同步等到目前为止，混沌同步的研究主要集中在恒同系统的同步。非恒同或完 全不同的混沌系统的同步与滞后同步，结构相同或不同且含未知参数系统的同步以及具有一 定误差界的一致同步等等混沌同步的实现方法基本可以分为变量替代法( 即p c 方法) f 3 4 j ， 线性和非线性反馈法，耦合同步法，模糊控制【3 6 l ，自适应同步法1 3 7 1 3 8 ，脉冲控制法，外部 噪声驱动方法，延时反馈法1 3 9 ，b a c k s t e p p i n g 法，滑模控制法，不变流形方法1 4 1 1 ，微分几 东南大学硕士学位论文 何方法等等 自2 0 世纪8 0 年代以来，神经网络的研究取得了空前的发展1 4 2 j 大部分研究主要集中 在稳定性和周期解方面| 4 3 l 一 4 9 1 然而，人们已经发现延时神经网络也可以表现出相当复杂的 行为，甚至混沌i s o ) 目前，对于神经网络混沌同步的研究还不是很多在文献【5 1 】中，作者 讨论了一组具有时变延时的线性耦合神经网络的同步特征，基于l y a p u n o v 泛函方法和矩阵不 等式技巧，获得了保证耦合网络同步的充分条件在文献1 5 2 1 中，作者利用l y a p u n o v 泛函方 法和h e r m i t i a n 矩阵理论研究了耦合的延时神经网络的全局同步在文献f 5 3 】中，作者通过 构造适当的l y a p u n o v 泛函，并利用线性矩阵不等式( l m i ) 方法，探讨了一组线性耦合神经网 络的全局和局部同步问题文献【5 4 】借助l y a p u n o v 稳定性方法和h a l a n a y 不等式技巧给出了 飙合神经网络同步的延时不依赖的充分条件文献【5 5 】对主从系统的参数不匹配时的鲁棒同 步问题进行了分析 1 3 本文的主要工作 联想记忆神经网络a m n n s ( a s s o c i a t i v em e m o r yn e u r a ln e t w o r k s ) 是神经网络研究的一个 重要方面【5 6 】【5 1 【5 8 l ，它在许多领域都有广泛的应用a m 作为人工神经网络的一种能力，就 是将任意的输入矢量通过线性或非线性映射，变化为输出矢量集【5 9 1 联想记忆网络存储成 对的矢量即模式对设在学习过程中存入p 个学习样本对f f “，s “) ，“= i ，2 ，p ，若输入样本 为= 驴十n ，其中驴是p 个存储学习的样本之一，d 是噪声，要求输出：s = 扩。因此联 想记忆可以分为自联想记忆和异联想记忆本文所要研究的是自联想记忆，即存储的学习模 式对一样( p = ) 此时，通过输入模式的一部分信息即可恢复模式的全部信息，此过程相 当于滤波过程 联想记忆神经网络的稳定性和容错性必定与其神经元的连结结构有密切关系本文第二 章将对具有规则随机，小世界和无尺度连结的联想记忆神经网络的记忆稳定性和容错性进 行研究、比较，并找出刻划其记忆能力的关键特征量据此可以设计出记忆性能较高，成本 较低的人工神经网络另外，本文还给出了一种复杂动力网络的自适应同步方法 对于神经网络稳定性或同步的研究大多是基于其参数已知或其参数范围已知的前提下， 然而，在实际情况中很多系统的参数是未知的在此背景下，借助l y a p u n o v 泛函方法及l a s a l l e 不变原理，本文第三章给出了一种神经网络自适应混沌同步的方法此方法可以在参数未知 的情况下使延时混沌神经网络达到同步或镇定同时我们还提出了一种基于同步的神经网络 参数估计方法此自适应策略具有很强的抗噪声能力，并且在控制对象的参数发生大范围变 化时能够自觉调整控制器本身的参数使其同步或镇定数值仿真结果很好的展现了此自适应 3 东南大学硕士学位论文 4 方法的特点 第三章讨论的是完全相同的神经网络的同步问题而在第四章中，我们将研究不同的( 甚 至是不同维的) 不确定混沌系统的同步，以及超混沌同步问题超混沌同步在保密通信、信息 处理生物医学等领域具有比混沌同步更大的应用潜力和发展前景f 6 0 1 1 4 相关定义和引理 在这一节中，我们介绍与本文相关的一些定义和引理 定义1 2 1 称常微分动力系统d x d t = f ( z ) ( 或者泛函微分动力系统d z d t = f ( x t ) ) 在平 衡点矿是l y a p u n o v 意义下稳定的，若对任意e 0 ，存在6 0 ，只要i i x ( t o ) 一矿0 6 ( 或者 一矿i l 0 ，t ，( s ) 0 ( 8 0 ) ，( o ) = v ( o ) = ( o ) = 0 ，如果存在r e 到r 中的连续泛函y ，使得 “( i 妒( 0 ) i ) y ( t ，妒) ”( 1 1 妒i i ) ， ( 1 3 ) v ( t ，纠s 一 ( i 妒( 0 ) i ) 则方程( 1 2 ) 的解z = 0 是一致渐近稳定的 壅查奎堂堡主兰丝垒苎 5 考虑延时自治系统 童= ，( 视) ( 1 4 ) 这里，：g 。r 是全连续的，记。( 咖) ( t ) 表示通过( o ，咖) 的解设，( 0 ) = 0 ，且解连续依赖于 初始值 引理1 2 3 【删( 泛函微分方程l a s a l l e 不变原理) 设对于系统( 1 4 ) 存在泛函v ：c r 在 g c c 的闭包百上连续，在g 上有矿0 ，x t ( 妒) 是方程( 1 4 ) 的有界解，且轧( 妒) g 又 设s = 百：矿( 咖) = o ) ，mc s 是最大不变集，则t o 。时，有研( 妒) 一m 第二章复杂网络的结构与性能及其同步 本章首先介绍几类复杂网络，刻划复杂网络的一些关键特征量，和联想记忆神经网络中 的h e b b 学习规则通过比较几种不同拓扑结构的记忆神经网络的稳定性和容错性，找出记 忆性能较好的复杂网络结构及影响其记忆性能的关键特征量在第二节中，我们还将提出一 种自适应法则使复杂动力网络达到同步 2 1复杂网络的结构与性能 2 1 1 复杂网络特征量 在本节中，我们将介绍复杂i j i l 络的三个特征量( 统计性质) ：平均路径长度二聚集系数 c 度分布p ( k ) ( 1 ) 平均路径长度( t h ea v e r a g ep a t hl e n g t h ) 网络研究中，一般定义两节点闻的距离为连结两者的最短路径的边的数目；网络的直径 为任意两点问的最大距离；网络的平均路径长度l 则是所有节点对之间距离的平均值，它描 述了网络中节点间的分离程度，即网络有多小复杂网络研究中一个重要的发现是绝大多数 大规模真实网络的平均路径长度比想象的小得多，称之为“小世赛效应”这一提法来源于 著名的m i l g r a m “小世界”试验1 6 6 j ，试验要求参与者把一封信传给他们熟悉的人之一，使这 封信最终传到指定的人，借此来探明熟人网络中路径长度的分布，结果表明平均传过人数仅 为六，这一试验也正是流行的“六度分离”概念的起源 ( 2 ) 聚集系数( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) 聚集系数c 是用来刻划复杂网络系统中各节点间的聚集特征，即网络有多紧密比如在 朋友关系网中，你朋友的朋友很可能也是你的朋友；你的两个朋友很可能彼此也是朋友聚 集系数就是用来度量网络的这种性质的其计算方法为；假设节点t 通过岛条边与其它个 节点相连结，如果这版个节点都相互连结，它们之间应该存在乜一i ) 2 条边，而这个节 点之间实际存在的边数如果只有蜀，则置与岛淑一1 ) 2 之比就是节点 的聚集系数白 网络的聚集系数c 就是整个网络中所有节点的聚集系数的平均，即c = i 1 q 显然，只 有在全连通的规则网络( 每个节点都与其余所有的节点相连结) 中，聚集系数才能等于1 ，一 般均小于1 ( 3 ) 度分布( d e g r e ed i s t r i b u t i o n ) 图论中节点t 的度定义为节点i 连结的边的总数目，所有节点的度的平均值称为网络 的平均度，定义为( k ) = i i 衄网络中节点的度分布用分布函数p ( k ) 来表示，其含义为一 6 东南大学硕士学位论文 个任意选择的节点的度数恰好为k 的概率，也等于网络中有k 条边的节点的个数占网络总节 点数的比值 2 1 2 几类复杂网络模型 本节将介绍四类比较常见的复杂网络模型：规则网、e - r 随机图模型小世界网络和无 尺度网络 ( 1 ) 规则网( 砒g u l a rm o d e l ) 规则网络是指我们常见的具有规则拓扑结构的网络，如完全连结图，星状网络，邻近节 点连结图等在本文中研究的是邻近节点连结图，即每个节点只与其邻近的k 个节点相连 规则网络具有大的平均距离l 和大的聚集系数c ( 2 ) e - r 随机图模型( e - rr a n d o mm o d e l ) 1 9 6 0 年，e r d s s 和r d n y i 提出了著名的e - r 随机图模型1 4 lt 考虑个节点，每两个节 点之间以概率p 帽连结e - r 随机图具有小的平均距离二和小的聚集系数口 ( 3 ) 小世界网络( s m a l l - w o r l dn e t w o r k s ) 1 9 9 8 年，w a t t s 和s t r o g a t z 提出了单参数的小世界网络模型i s 这个网络模型介于规则 网络和随机图之间，并在它们之间架起了桥梁原始的w s 模型描述如下： i ) 初始化：考虑个具有个节点的邻近节点耦合的环状网络，其中每个节点i 连结到它 的k 个邻近的节点i ：k l ，i + 2 ，t 士萼，这里k 是一个正偶数( 假定n 耳i n ( n ) 1 这样保证整个网络是相互连结的，但又是稀疏的) i i ) 随机化：以概率p 随机的改写网络的每一条边即以概率p 将一条现成的边重新连 结到另个顶点上同时避免节点将自己连结到自己或者与已有的边相重合的情形( 这个 过程中有2 等丝条边被连结到新的节点上这些重新连结的边通常称为捷径当调节参数p 从 o ( 规则) 到1 ( 随机) 时，我们可以密切监视整个变换过程) 小世界网络介于规则网络和随机网络之间，它实现了从规则网络( p = 0 ) 到完全随机网 络( p = 1 ) 之间的连续演变最近，n e w m a n 和w a t t s 1 0 】改进了原始的w s 模型在n w 模型 里，代替w s 模型中改写节点之间的连结，而是随机的增加一些新的边，即所谓的捷径，且 不破坏原有的邻边显然，若p 一0 ，则n w 模型变成原始的邻近节点相连的环状网络；若 p = 1 ，则n w 模型变成完全连结的网络然而，对于充分小的概率p 和足够大的n ，n w 模型等价于w s 模型，并且同时具有小的平均距离l 和大的聚集系数e 后来物理学家把大 的聚集系数和小的平均距离这两个特征量结合在一起称为小世界效应，具有这种效应的网络 就是小世界网络 ( 4 ) 无尺度网络( s c a l e - f r e en e t w o r k s ) 7 东南大学硕士学位论文 1 9 9 9 年，b a r a b j l s i 和a l b e r t 提出了个b a 无尺度网络模型1 6 j ，它通过增加新的节点 而实现连续增长，同时这些新的节点总是倾向于选择连结已经具有大量连结的节点无尺度 网络的主要特点是连结度分布为幂指数的形式，即具有某个特定度的节点数目与这个特定的 度之间的关系可以用一个幂函数近似地表示这使得极少数节点有大量的连结，而大多数节 点只有很少的连结然而在许多实际网络中，一个节点不可能是永远活跃的，在一定的时闻 以后此节点就不会接受新的连结受此启发，在b a 模型的基础上，k l e m m 和e g u f i u z 提出 了k e 模型 1 2 1 1 3 ，而b a 模型为其一特殊情况k e 模型的具体描述如下： 每个节点均有激活和非激活两种可能状态每一个新加入的节点最初的状态总是激活， 并保持与其他点相连结的可能性直到它被封存( 即处于非激活状态) i ) 增长性和倾向性选择：考虑开始有小数目m 个激活节点的完全连结图，在每一个时同 步增加个新的节点，同时随这个新节点而来的m 条新边以概率“选择新边是连结到网络中 任意节点或以概率1 一“连结到激活节点上在此选择确定以后，新的节点选择连结节点是有 偏好的，即它选择某个节点i 的概率p l 正比于这个节点i 的度数，也就是p i ； 吩； i i ) 激活新节点：新增加的节点被激活； i i i ) 封存旧的激活节点；在m 个旧的激活节点中选出一个节点i 被封存，被封存的概率 砘与其度数殷成反比，即鼽= a k ? 1 ，其中o “= f 好1 ； 当“= 0 时，k e 模型是具有高聚集系数工，低随机性的；当0 腰26 ：n = 8 0 0 0 ( ) 模式记忆稳定性，即帆。“= 1 ；( b ) 模式记忆客惰性，即m 衄“= 0 5 ，li【jii 萝m一卜l 一 一 、 讲 1叫叫 东南大学硕士学位论文 降，随着平均度数( ) 的增大而上升那么在模式数目p 与平均度数( ) 的比值p ( k ) 被固 定时，随着p 的增大( 当然( k ) 也相应增大相应倍数) ，神经网络的记忆性能指标会怎样变化 呢? 选定n = 8 0 0 0 研究p ( k ) 被固定于0 3 至1 2 5 之间，p 分别取为2 0 ，3 0 ，4 0 三个值时的 记忆性能比较( 图2 6 ) 显然，可以得到p = 2 0 时其性能指标最高也就是说，模式数目p 的变化对记忆性能的影响比平均度数( ) 的变化对其性能的影响更大 2 2复杂动力网络的自适应同步 所谓复杂动力网络就是指每个节点是一个非线性动力系统，而节点之问则以复杂的拓扑 关系相连结的网络长期以来，同步一直是科学技术中的一个重要的基本概念已有研究结 果表明，当网络耦合强度足够大时，网络的节点之间会产生同步，但是对于为什么即使在网 络耦合相当弱的情形下，许多现实的复杂网络仍然会展示很强的同步倾向性，现在还没有很 好的解释网络拓扑和单个节点的动力学性质决定了整个网络的动力行为一一网络同步在 现实中，很多网络同步是有利的，如保密通讯，调和振子的形成、组织管理的协调及高效运行 等但是在很多情况下，它也是有害的，如周期路由器信息的同步，因特网中的信息拥塞、 传输控制协议窗口的增加大桥的共振( 英国的千年大桥) 等下面我们将首先介绍复杂动力 网络的模型，然后提出一个自适应同步的方法 2 2 1 复杂动力网络模型的介绍和预备知识 最近w a n g 和c h e n 提出了一个复杂动力网络模型1 2 3 1 设网络的总节点数为，每个 节点是一个n 维的动力系统( 可以是混沌系统) 模型可用如下方程表示； 磊= ，( ) + c ：a , j f ( x j 一缸) ， = 1 ，2 ，n ( 2 8 ) 1 j i 其中，( 研) = ( f l ( x t ) ，如( 翰) ，厶( ) ) r ：r | i 一舻是描述单个节点动态的非线性向量值函数； = ( 。n 2 ，。m ) 丁兄“是节点i 的状态向量；r = d i a g ( r 1 ，r 2 ，r n ) h 0 ) 是内部耦合 矩阵；常数c 0 表示节点之间的耦合强度，a = ( a i j ) 。n 是表示网络拓扑结构的耦合框架 矩阵，这里的定义如下：若在节点i 和j 0 i ) 之间存在着连结，则a o = n j 0 ；否则 叼= 唧严0 ( i j ) 如果把耦合框架矩阵a 的对角元素定义为 口“= 一叼，i = 1 2 ， ( 2 9 ) 嚣 1 4 东南大学硕士学位论文 那么模型( 2 8 ) 可以写为如下的形式： 幽= f ( x i ) + c o u j f x i ，i = l 2 ， ( 2 1 0 ) j = l 为了得出主要结果，我们给出下面的定义和假设 定义2 2 1 集合m _ ( 1 ) ：设列矩阵m 中的每一行恰好只有两个非零元素分别为q 和 一其余的元素均为零由这样的矩阵m 组成的集合记为m ，( 1 ) 定义2 2 2 集合 ( n ) ? 把集合m ，( 1 ) 中的矩阵m 的元素m i 3 替换为”玎厶为，l 阶 单位矩阵) 得到矩阵m 的集合记为m ，( n ) ，即m ，( n ) = m im = m p 厶：m m ，( 1 ) ) ， 其中。表示直积 定义2 2 3 集合 ( n ) ： ( n ) 是m ，( n ) 的子集，并且对于m = mp 厶 ( n ) 的每 一对下标i 和j ，均存在j l ，如，j l ( 其中j 1 = i , j t = j ) 和p 1 ，p 2 ，p t “使得对于lsq 0 ，使得i ( 。) 一 ( 矿) i 2 + 1 譬毳 b 一巧1 ) ，t 。1 ，2 ，m 对任意：z = ( z l ，2 ，z 。) r 舻，z = ( 卫：，z ；，? ：) r r ”成立 假设凰：耦合框架矩阵a = ( o 玎) 。 ，是对称不可约矩阵不可约意味着复杂网络是连通 的，没有孤立簇 2 2 2 复杂动力网络的自适应同步 为了给出本节的主要结果，我们还需要给出下面两个引理 引理2 2 1 7 0 1 一个对称不可约矩阵a 属于t ( o ) 当且仅当存在个l x n 矩阵m 蟛( 1 ) ( 二n 1 ) 满足a = 一m r m 证明：假设a 是t ( 0 ) 中的对称矩阵下面来构造矩阵m ：对于矩阵a 中含有非零元素 的每一行，我们利用它构造中相同长度的几行：设矩阵a 的第 行中有非零元素，则对 于此行中每个a “j ) = o o a 0 ( i o ，那么在耦合强度自适应律( 2 1 1 ) 下， e ；k x 7 ( t ) m r m m t m r x ( t ) ，( k 0 ) ( 2 1 1 ) 复杂动力网络( 2 1 0 ) 将会达到同步 证明：由记号如) 。z ( ) ，r ，以及a ，方程( 2 1 0 ) 可表示为 ( t ) = “o ( t ) ) + c a f z ( t )( 2 1 2 ) 构造l y 8 , p u n o v 函数为 y 2 扣m 。( 圳j 2 + 壶( c 一 ) 2 ( 2 1 3 ) 其中h 为一充分大的正数 计算l y a p u n o v 函数y 沿方程( 2 1 2 ) 的解的导数，可得 警= ( m 球) ) t ( m ( t ) ) + 石1 ( c 一啪 = x t ( t ) m r m 【如( t ) ) + c a r z ( t ) 】+ ( c h ) z r ( t ) m r m m t m r z ( t ) = 。r 8 ) m 7 m f ( z ( t ) ) 一hz r ( t ) m r m m 了m r x ( t ) + c x t ( t ) m r m a r x ( t ) + c z 了( t ) m t m m 丁m r z ( t ) 注意到a = 圆厶) = 一( m r m ) o 厶= 一( 肘r o 厶) - ( m o 厶) = 一m r m ，贝0 有 兰d ! t = ( m z ( ) ) t ( m 昭( t ) ) ) 一h ，( t ) m r m m t m f $ ( t ) ( 2 1 4 ) 根据矩阵m ( n ) 的结构，可知( m z ( t ) ) 丁的第k 行是口k ( 趣一) = a k ( x i l x i l ，矗2 一 锄，戤n 一即n ) ，而m f ( z ) 的第列是q ( ，( 缸) 一，( ) ) = 鲰( ) 一 ( 巧) ，2 ( ) 一，2 ( 即) ， 壅童奎兰堡圭兰堡垒塞 1 7 ，n ( 以) 一 ( q ) ) r 由于，满足假设日1 ，故 o k ( x i q ) a k c f c x i ) 一，( 勺) ) = ( q l 一i ，x i 2 一q 2 ，越n 一奶n ) ( 扛。) 一，l ( 巧) ，2 0 。) 一，2 ( q ) ，i ( x d 一厶( 巧) ) r s 口l i z 幻一勺口i l f d x d 一矗( q ) l 口= 1 。2 l n l m 0 ，可得 面d v 州m z ( 咿t ( m z ( t ) ) 一 ( m $ ( 咿m m r m r 荆 si n ( m z ( t ) ) r ( m z ( t ) ) 一h ，r ( m z ( t ) ) r ( m m r ) ( m z ( t ) ) = ( m z ( t ) ) 丁( 1 n i h r m m r ) ( m z ( t ) ) 其中j 为相应维数的单位矩阵 由于m m t 0 ，所以取一个充分大的h 可以使得l n i h r m m r - i 成立，即 髻s 一( m z ( t ) ) 7 - ( m z ( t ) ) 显然，喾= 0 成立当且仅当m x = 0 对于系统( 2 1 2 ) ，集合e = = i m x = 0 ) 是包含于 日= 扛l 髻= o ) 的最大不变集由常微分方程的l a s a l l e 不变原理，可得。魄i l m = l l = 0 再 利用引理2 2 2 就可以得到本定理的结论了口 系统( 2 1 2 ) 同步的速度可由参数k 来控制，取个大一点的k 可以加快其同步速度一个 复杂动力网络在自适应律( 2 ，1 1 ) 下能否达到同步，只需要确定其是否满足条件m m r 0 下面的定理将会给出一类满足此条件的复杂网络 定理2 2 2 若复杂网络是一棵拥有n 个节点的树，其耦合框架矩阵为对称不可约矩阵 a = 一m t m ，贝4 有m m 7 0 证明：耦合框架矩阵a = ( o 玎) 。定义如下：若节点 和j u ) 之间存在着连结，则 0 4 i = a l i 0 ；否则叼= 0 j i = 0 ( i j ) 其对角元素定义为 2l = l 叼 鬻 一 = o 东南大学硕士学位论文 一棵顶点数为n 的树有n 一1 条边| 6 9 l ，所以矩阵 中有n 1 个元素a o 0 ( i 0 ( i 0 证毕口 结合定理2 2 ，l 和定理2 2 2 ，易得下面推论 推论2 2 1 在假设日l 、玩下，如果复杂网络是一棵树，那么利用耦合强度自适应律 e = k x r ( t ) m 7 m m 7 m r z ( t ) ，( k 0 ) ，复杂动力网络( 2 1 0 ) 将会达到同步 实际上，仿真表明许多复杂动力网络( 2 1 0 ) 只要满足假设h l 和嘞，那么在自适应律( 2 - 1 1 ) 下复杂动力网络( 21 0 ) 将达到同步而这正与耦合强度足够大时，网络节点产生同步相一致 因为只要系统( 2 加) 没有达到同步，那么根据自适应律( 2 1 1 ) 可知耦合强度将不断增大直到 其达