北京市海淀区2013届高三年级第二学期期中练习--数学(理).doc

北京海淀区2013届高三年级第二学期期中练习数学（理）试题本试卷共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1集合，则A B C D2在极坐标系中, 曲线围成的图形面积为B 3某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的值为5，则输出的值为 B C D4不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则的值为 B C D5 若向量满足，则 的值为A B C D 6 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有A12种 B 15种 C 17种 D19种7 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是A B C D8 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线给出下列三个结论：，使得是直角三角形；，使得是等边三角形；三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体其中，所有正确结论的序号是A B C D 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9在复平面上，若复数（）对应的点恰好在实轴上，则=_10等差数列中, 则 。11如图，与O切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点 若，则弦的长为_12在中，若，则13已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_ 14已知函数，任取，定义集合：，点，满足 设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记 则（1）函数的最大值是_；（2）函数的单调递增区间为_三、解答题: 本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）已知函数（）求的值和的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值和最小值16（本小题满分13分）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人 （I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分； （ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望 17（本小题满分14分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（）求证：；（）求证：平面;（）求二面角的余弦值18（本小题满分13分）已知函数（其中为常数且）在处取得极值 （I） 当时，求的单调区间；（II） 若在上的最大值为，求的值19（本小题满分14分）已知圆：（）若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为 （I）求椭圆的方程；（II）若存在直线：，使得直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围20（本小题满分13分）设为平面直角坐标系上的两点，其中令，若,且，则称点为点的“相关点”，记作： 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中（）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（）求证：若与重合，一定为偶数；（）若，且，记，求的最大值参考答案说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案BCCDADBB9 0 10 14 11. 12 13 14 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15（本小题满分13分）解：（I）因为 2分 4分 6分所以 7分所以 的周期为 9分（II）当时，所以当时，函数取得最小值 11分当时，函数取得最大值 13分16.解：（）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有人 1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为 3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 7分（）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20 8分， ， 所以的分布列为1617181920 11分所以所以的数学期望为 13分17.证明：(I) 因为是正三角形，是中点，所以,即 1分又因为，平面， 2分又，所以平面 3分又平面，所以 4分（）在正三角形中， 5分在中，因为为中点，所以，所以，所以 6分在等腰直角三角形中， 所以，所以 8分又平面，平面，所以平面 9分（）因为，所以，分别以 为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以由（）可知，为平面的法向量 10分，设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为 12分 设二面角的大小为， 则 所以二面角余弦值为 14分18. 解：（I）因为所以 2分因为函数在处取得极值 3分当时，随的变化情况如下表：00 极大值 极小值5分所以的单调递增区间为, 单调递减区间为 6分(II)因为令, 7分因为在 处取得极值，所以当时，在上单调递增，在上单调递减所以在区间上的最大值为，令，解得9分当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得 11分当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得 而所以，解得，与矛盾 12分当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或 . 13分1.（本小题满分14分）解：（I）设椭圆的焦距为，因为，所以， 所以. 所以椭圆： 4分（II）设（，），(，)由直线与椭圆交于两点，则所以 ，则， 6分所以 7分点（，0）到直线的距离 则 9分显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，所以要使，只要所以 11分 当时， 12分当时，又显然, 所以 综上， 14分20. 解：（）因为 为非零整数） 故或，所以点的相关点有8个 2分 又因为，即 所以这些可能值对应的点在以为圆心，为半径的圆上 4分（）依题意与重合则 ， 即， 两式相加得（*）因为故为奇数，于是（*）的左边就是个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以一定为偶数 8分 （）令，依题意，因为 10分因为有，且 为非零整数，所以当的个数越多，则 的值越大，而且在 这个序列中，数字的位置越靠前，