（材料物理与化学专业论文）窄过渡带数字滤波器设计.pdf

摘要 本文利用目 前比较先进的频率掩蔽响应理论， 解决了以往窄过渡带数字滤波 器阶数过高的困难， 设计出了窄频带和宽频带的窄过渡带f i r数字滤波器， 输入 相应的滤波器系数后， 可以实现各种形式的滤波功能。 该滤波器结构经软件模拟 和硬件综合后仿真， 表明滤波器完全达到设计要求。 在电路的设计过程中， 为减 少硬件的复杂性和提高运算速度， 采用了改进的b o o t h 乘法器和一种新型的乘加 单元，并利用了硬件复用结构，使电路的规模被大大降低。 关键字 数字滤波器 频率掩蔽响应 硬件复用 ab s t r a c t t h e u s u a l l y d i g i t a l f i l t e r d e s i g n m e t h o d s f a c e t h e d i f f i c u l t y t h a t t h e o r d e r o f fi l t e r s i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e w i d t h o f t h e t r a n s it i o n b a n d . i n t h i s p a p e r a n e w t y p e o f n a r r o w t r a n s it i o n b a n d d i g i t a l f i r f i l t e r i s d e s i g n e d u t i l i z i n g t h e a d v a n c e d f r e q u e n c y m a s k i n g r e s p o n s e t h e o r y . i t c o u l d f u l f i l l t h e d e s i g n e d t a s k s a ft e r t h e c o e f fi c i e n t s a r e wr i t t e n i n t o i t . t h e r e s u l t o f s i mu l a t i o n i n d i c a t e s t h a t i t c a n f i l t e r t h e n o i s e e ff i c i e n t l y . i n o r d e r t o r e d u c e t h e c o m p l e x i t y , a n e w t y p e o f b o o t h m u l t ip l i e r s a n d ma c a r e a d o p t i o n , t h e h a r d w a r e m u l t i p l e u s e s t r u c t u r e i s a l s o u s e d . k e y w o r d s d i g i t a l f i l t e r , f r e q u e n c y m a s k i n g r e s p o n s e . h a r d w a r e m u l t i p l e u s e 第一章 引言 笛 一 ，音已 性 全 x 1 4 日 j i 1 -7 信号，一般指电信号，是随时间变化的电压或电流。信号可分为时间连续信号和时间俘 散信号，它们都可以用唯一的频率函数即频谱来表示。信号处理，就是对观测到的信号进令 所需的变换或者按照一定的规则进行数学运算，使之更便于对它们进行分析、识别和使用。 信号及其处理，在当今的工程和科学的多个领域有着广泛的应用，如通信、生物医学工程、 遥测、雷达等。滤波是信号处理的常用手段，就是根据某一希望的指标对信号的频谱进行f i; 正整形或处理的过程，它能够对某一范围的频率分量进行放大或衰减，或对某一特定分量k 行抑制或分离，可用在多个方面，如:消除信号污染、消除由于传输信道不完善或者测量夕 精确而引起的信号失真、区分混合在一起的两个或多个不同信号、将信号分解为频率分量、 信号解调等。 自 然界的信号都是连续变化的模拟信号， 加上技术方面的原因， 二十世纪七十年代以前 对获得的信号所做的处理绝大多数是用模拟方法实现的。而数字滤波器是一种用来过滤时1-i 离散信号的系统，上世纪四十年代后期，牛顿等科学家就运用古典的数值分析公式对数列e 数即时间离散信号进行内 插、微分和积分，后来又出现了许多复杂和更加完善的算法，可坦 认为是数字滤波器的理论基础。到六十年代中期， k a i s e r 采用双线性变换设计了有效的数乓 滤波器w ， 数字滤波器的名字正 式出 现， 加上同 时期快速傅立叶变换 ( f f t ) 方法的发现(2 1 系统的数字滤波理论开始建立。八十年代以后，随着电子计算机技术的飞速发展和集成电y 制造技术的日 益成熟，数字信号处理的速度迅速提高，应用成本大幅度下降，使得数字滤之 器的硬件实现成为可能，并逐步应用到实时处理上来，获得了广泛的应用前景。 传统的模拟滤波器由电阻、电容、电感及运算放大器等元件组成，滤波器的性能由元1 的制造精度决定，因此对工艺的要求较高。而数字滤波器的主要是由加法器、乘法器和延划 单元组成， 对生产工艺要求低， 且重复性好， 通过大规模集成电路生产可以很好地降低成本 相比模拟滤波器有以下优点: . 元件的容许误差要求不高 . 元件的特性漂移和周围假信号对系统性能无影响 . 精确度高，能实现陡峭的频响 . 滤波器实体尺寸小 . 可靠性高，受外界温度、环境及老化影响小 . 对信号处理灵活，随滤波参数的改变，容易改变滤波性能 . 处理速度快，适合实时控制 本文首先介绍了数字滤波器的基本原理，分析了传统设计方法设计窄过渡带滤波器面i1 的困难，然后介绍了频率响应掩蔽方法设计窄过渡带数字滤波器的解决办法，以及对这种i 第一章 引言 计方法的改进。 滤波器的具体实现过程， 采用了最优等波动方法编写m a t i a b 软件程序确定 字滤波器系数，运用频率响应掩蔽原理和硬件复用技术相结合设计滤波器结构，主要模块 用改进算法的b o o t h 乘法器和改进的乘加单元结构， 最后完成了有关硬件的设计和模拟工竹 并对其中主要的乘加单元的量化噪声进行了讨论和优化，最终实现了符合要求的窄过渡带二 限冲激响应 ( f i r )数字滤波器。 第二章 数字滤波器原理 第二章 数字滤波器原理 第一节 线性时不变系统 首先引入离散时间系统的概念。 我们知道， 数字信号可以用离散的序列来表 示，若一个系统的输入信号为一序列、 ( n ) ，输出信号也是一个序列记为y ( n ) , 则将输入序列转换为输出序列的这种运算称为离散时间系统。以 f 表示这种 运算，则有: y ( n ) = f x ( n ) ( 2 - 1 - 1 ) 一般电路中最常见的时间离散系统是线性时不变系统。 先介绍线性系统， 设系统在输入x l ( n ) 和x 2 ( n ) 时的输出序列分别为y , ( n )和 y 2 ( n ) ，即: y , ( n ) = f x , ( n ) , y , ( n ) = f x z ( n ) ( 2 - 1 - 2 ) 如果该系统在输入a x , ( n ) + b x , ( n ) 时的输出序列为a y l ( n ) + b y 2 ( n ) ，即: f 仁 a x , ( n ) 斗 b x , ( n ) = a y l ( n ) + b y 2 ( n ) ( 2 - 1 - 3 ) 其中a ,匕为任意常数，则称此系统为线性系统，上式表明线性系统对信号 的处理符合叠加原理。 线性时不变系统是指当线性系统的输入有一个延迟t 时， 其输出也相应延迟 t ，即: f 仁 x ( n 一t ) = y ( n - t ) ( 2 - 1 - 4 ) 对于连续时间系统， 在冲激函数 s ( t ) 的激励下产生的响应 h ( t ) 被称为系统 的冲激响应。6( t ) 在所有频率上具有相同的幅度，用它作为激励，相当于同时 用所有可能频率的同等幅度的正弦波来测试系统。 同样在线性时不变系统中， 用 单位脉冲序列 s ( n ) 作为激励， 则系统的响应序列h ( n ) 被成为系统的单位脉冲响 应。即: h ( n ) = f 5 ( n ) ( 2 - 1 - 5 ) 任意输入序列 x ( n ) 可表示为: x ( n ) = 艺x ( k ) ,5 ( n 一 * ) ( 2 - 1 - 6 ) 则线性时不变系统的输出可表示为: 第二章 数字滤波器原理 y ( n ) = f x ( n ) = f 艺 x ( k ) 8 ( n 一 k ) 二 艺x ( k ) f “ ( n - k ) 艺x ( k ) h ( n - k ) ( 2 - 1 - 7 ) k = 闺 令m - n - k , 得到: y ( 。 ) = 艺x ( n 一 m ) h ( m ) ( 2 - 1 - 8 ) ( 2 - 1 - 7 ) 和( 2 - 1 - 8 ) 式是离散卷积的表达式，方便期间我们将离散卷积表示 为: y ( n ) = x ( n ) * h ( n ) ( 2 - 1 - 9 ) 上式说明在时间域上线性系统的输入和输出之间的关系是由输入信号和系 统的冲激响应的卷积来确定。 根据卷积定理可知它们之间的关系在频率域上将更 加简单， 设x ( n ) 、 y ( n ) 、 h ( n ) 分别在频率域上对应x ( e ) 、 y ( e ) 、 h ( e ) ， 那么 在频率域上输入频谱和输出 频谱之间的关系为: y ( e ) 二x ( e ) h ( e ) ( 2 - 1 - 1 0 ) ( 2 - 1 - 9 ) 和( 2 - 1 - 1 0 ) 式分别表示了线性时不变系统在时间域和频率域上的分 析方法。 第二章 数字涟波器原理 第二节 数字滤波器概述 通常的数字化处理方法如下图所示; 图( 2 - 2 - 1 ) 数字化处理方法 其中模拟信号x e ( t ) 经过抽样及a / d 变换变成数字信号， 这个数字序列用x ( n ) 表 示 : x ( n ) 二x e ( n t ) ( 2 - 2 - 1 ) 其中t 为抽样周期。 定义数字频率w = 2 n f t = 0 t ， 其中f 为模拟频率，。 为模拟角频率，如果模 拟信号的频谱( 即傅立叶变换) 用 x s ( j q ) 表示，数字信号的频谱 ( 序列的傅立叶 变换)用x ( e ) 表示，二者之间的关系可表示为: “ 一 ，= 1 。复 x at n,= - (二 一 、m t ) ( 2 - 2 - 2 ) 即数字信号的频谱是原模拟信号的周期性延拓，只要抽样频率 f , 1 / t符合奈奎 斯特定理(3 ， 则这些延拓部分不会互相混淆。 数字信号 x ( n ) 经过数字滤波器进行数字滤波得到输出序列为y ( n ) ，然后经 过d / a 转换得到模拟输出信号。 对于实际的数字滤波电路， 在 t = n 时刻的输出y ( n ) 仅由n 之前的 输入、输 出及当前的输入有关，这种关系可用差分方程来描述: y ( n ) 二 艺 a k x ( n 一 k ) 一 艺 b k y ( n 一 k ) ( 2 - 2 - 3 ) 当所有的常数b k 都等于0 时， 数字滤波器的输出只与有限个输入有关， 其单 第二章 数字滤波器原理 位冲激响应是有限的， 这种滤波器称为有限冲激响应滤波器 ( f i r ) ; 如果至少有 一个 b * 不等于0 ， 那么滤波器的输出不仅和输入有关系， 而且还与过去的输出有 关，其单位冲激响应是无限的，这种滤波器成为无限冲激响应滤波器 ( i 工 r ) 。 经过 z 变换后，可以得到它的传递函数为: 2一2 犷一x h ( z ) = my a , z 一 + 艺b k z - k ( 2 - 2 - 4 ) 由上式可见， 用硬件实现滤波器时， 需要用相应的算法来实现输入输出 序列之间 的变化， 而算法在数字电路设计中是由一些基本运算单元和相应的逻辑控制来实 现的。常用的数字滤波器主要包括三种基本单元:加法器、乘法器和存储单元。 数字滤波器的频率响应可以用下式来定义: h ( e ) = h ( z ) i z = e = 1 14 ( e ) i e ( 2 - 2 - 5 ) h ( e ) 一般是一个与频率w 有关的复数， 其幅值! h ( e ) 称为滤波器的幅度频 率特性， 其相位(b ( w ) 称为滤波器的相位频率特性。 由( 2 - 2 - 4 ) 式可以 推出i i r 数 字滤波器不具备线性相位特性， ，即相位巾( w ) 是一个随w 变化的曲线。而如果 f i r 滤波器的单位脉冲响应h ( n ) 是实数，并且h ( n ) 满足偶对称或奇对称条件， 即: h ( n ) = h ( n - 1 - n )或h ( n ) = - h ( n - i - n ) ( 2 - 2 - 6 ) 那么该滤波器就具有严格的 线性相位们 。且当 偶 对称条件时， 满足 (w ) = - w ( n - 1 ) ( 2 - 2 - 7 ) 奇对称时，满足: 小 (w ) 二 一 w ( nn1 ) 一 二 2 2 ( 2 - 2 - 8 ) f i r 数字滤波器和i i r 数字滤波器各有优缺点。 f 工 r 滤 波器由 于其冲 激响应 是有限的， 可以通过设计使滤波器的乘法系数满足对称性， 从而使滤波器具有严 格的线性相位 ( 或者说其群延迟特性为常数) ， 这在语音处理和信号传输中十分 重要，而且f 工 r 滤波器总是稳定的。但是为了完成相同的滤波要求， f i r 滤波器 通常需要比 i i r 滤波器更高的阶数， 相应增加了硬件的开销。i i r 滤波器计算效 率比f i r 滤波器高， 但由于其单位冲激响应是无限的， 无法设计成具有严格线性 相位的系统， 而且由于存在输出的反馈， 设计出的系统并不总是稳定的。 本文选 用了f 工 r 数字滤波器， 并通过硬件复用技术有效地降低了硬件开销， 在很大程度 上克服了f i r 滤波器阶数较高的缺点。 第二章 数字滤波器原理 第四节 用m a t l a b 设计f 工 r 滤波器 m a t l a b 是一套功能十分强大的工程计算及数据分析软件， 关法应用于工业、 电 子、 医 疗、 建 筑 等 众多 领域 p1 。 在m a t l a b 中， 实 现r e m e z 算 法的 函 数 是r e m e z 函数，这一函数调用格式有多种，其中常用的一种是: h = r e m e z ( n , f , m , w e i g h t s ) ( 2 - 4 - 1 ) 其中各变量的意义是: h :滤波器的单位抽样响应: n :滤波器阶次， 滤波器的长度为n + 1 ; f : 数组， 其中 含边界频率， 单位为n , 0_f1,频率必须以 递增次序排列; m :数组，为各指定频率上预期的幅度响应，f 和 m的长度必须相等且要为 偶数; w e i g h t s :是每个相应带 ( 通带和阻带)的权函数，一般表示为: i w i w p w p 司 “ ( 2 - 4 - 2 ) 厉一命1 子1、lllt 一- s 水l 卜户 口 :.走 e w 由上式可知， 只要给定滤波器在通带和阻带内的波动系数6 p和6 s 、 通带 和阻带的边界频率w p 和w s ，以及滤波器长度m ,就可以利用r e m e z 函数求出 滤 波 器 的 单 位 响 应 函 数h o k a i s e : 给出 了 一 个 确 定 滤 波 器 长 度m 的 近 似公 式 jo : 一 2 0 1 g 扣 河一 3 ( 2 - 4 - 3 ) 鲜 1 4 .6 丫 _ w ， 一 w p 2 7c ( 2 - 4 - 4 ) 在m a t l a b 中利用r e m e z 算法设计切比雪夫等波动f i r 滤波器的设计流程图如图 ( 2 - 4 - 1 ) 所示。 以低通f i r数字滤波器为例，滤波器设计参数为: w p = 0 . 1 2 n w s = 0 . 1 4 :s p = s s = 0 . 0 1 ( 2 - 4 - 5 ) 由 式( 2 - 3 - 1 ) 和( 2 - 3 - 2 ) 可以 分别求出 通带和阻 带的 衰减: a ,= -20 1x (号，= 。 17db “!t。二 一 20 1g (急 ) =40dbi ( 2 - 4 - 6 ) ( 2 - 4 - 7 ) 第二章 数字滤波器原理 m =1 8 7 根据滤波器参数和近似公 式确定滤波器长度m 利用 r e m e z 函数求出滤波 器的单位抽样响应 h ( n ) 利用f r e q z 函数求出 滤波 器的频率响应函数h ( e ) 计算滤波器的波动系数 6dm = m 二 s d 6 绘出滤波器的频率响应曲 线 图 ( 2 - 4 - 1 )用ma t l a b 计算滤波器系数流程 经过m a t l a b 计算结果表明， 经过 1 2 次迭代计算，当m = 1 9 9 时， 通带和阻 带的衰减符合设计要求，其单位脉冲响应、幅度响应和振幅响应分别如图 ( 2 - 4 - 2 ) 、图 ( 2 - 4 - 3 ) 和图 ( 2 - 4 - 4 ) 所示: 第二章 数字滤波器原理 实际雄位脉冲响应 0. 2 01 鲁 01 - - n1 9 9 图 ( 2 - 4 - 2 )滤波器实际单位脉冲响应 幅度响应 . 门 一. 一-一 . 却以卞 4 0 - 8 0 0 . 1 3 频率 ( 单位p i) 图 ( 2 - 4 - 3 ) 滤波器幅度响 应 1 5 第二章 数字滤波器原理 振幅响应 色工 0_ 1 3 顺举 ( 单位p i l 图 ( 2 - 4 - 4 ) 滤波器频 率响 应 1 6 第三章 窄过渡带f 工 r 数字滤波器设计 第三章 窄过渡带f 工 r 数字滤波器设计 第一节 窄过渡带f i r 数字滤波器设计原理 从第二章的分析我们知道， f 工 r 数字滤波器具有很多优点， 如可以保持线性 相位、滤波器总是稳定的 ( 其冲激响应是有限的) 等， 但f i r 滤波器有一个很大 的缺点就是计算上的复杂性。f i r 数字滤波器的传递函数可以写为: h (z ) 二 y (z ) = s a , z 一 、 x( z ) k = o ( 3 一1 一1 ) 我们可以根据传递函数得到f 工 r 滤波器用硬件实现时的结构如图( 3 - 1 - 1 ) ( a ) 所示， 我们利用m a t l a b 的r e m e z 函数设计线性相位f i r 滤波器时， 由于其系数的 对称性，其硬件实现结构图( 3 - 1 - 1 ) ( b ) 所示: x ( n ) 戈 h ( d ) y( n ) ( b ) 图( 3 - 1 一 of 工 r 硬件实现结构 第三章 窄过渡带f i r 数字滤波器设计 从图中可以看出一个n 阶的f i r 数字滤波器需要n + 1 个乘法器( 对于线性相 位滤波器需要【 n / 2 个)和 n 个加法器来实现，而对于窄过渡带 f i e 数字滤波器 来说，这一缺点更加明显，根据( 2 - 4 - 3 ) 式，滤波器的阶数 n 与过渡带的宽度成 反比 关系， 用m a t l a h 设计也表明， 一个w p 为0 . 1 2 n , w s 为0 . 1 4 二 ，s p 和5 s 都是0 . 0 1 的f 工 r 数字滤波器用最大误差最小化的频域设计方法需要 1 9 9 阶，这 样的硬件开销是很大的， 对一些设计参数要求更严格的滤波器来讲甚至是无法忍 受的。 针对这个问 题， 人们想出了 很多的解决办法 ，一 15 1 ， 其中近几年讨论的重 点是 y . c . l i m在文献 1 5 中提出的频率响应掩蔽法( f r e q u e n c y r e s p o n s e m a s k i n g ) ， 简称f r m 方法， 文献 1 4 中提出的内 插有限脉冲响应法( i n t e r p o l a t e d f i n i t e i m p u l s e r e s p o n s e ) 其实是f r m 方 法 在 低通窄带 滤 波器设计中的 应用。 下 面简单介绍f r m 方法。 分别用 h ( n ) , h ( z ) 表示一个 f i r数字滤波器的冲激响应函数和频率响应函 数的 z变换，如图( 3 - 1 - 2 ) ( a ) 所示，如果我们在原来的冲激响应函数 h ( n ) 的两 个采样点之间内 插 m - 1 )个 ( m 为正整数)0 值采样数据，我们就得到 h ( n / m) 0 n = i m, i = 0 ， 土 1 ， 士 2 n 等于其它值 ( 3 - 1 - 2 ) 叫 ( n ) 的z 变换函数表示为: . ( z ) = h ( z )( 3 - 1 - 3 ) 可见只要将 h ( z ) 的单位延迟用m 个延迟来替代就可以实现这个内 插，相应 的滤波器响应函数的周期变为原来的 1 / m ，我们称之为模板滤波器 ( m o d e l f i l t e r ) ，如图( 3 - 1 - 2 ) ( b ) 所示。如果我们用图( 3 - 1 - 2 ) ( c ) 所示的频率响应函数 e ( e ) 对模板滤波器进行掩蔽， 就得到图( 3 - 1 - 2 ) ( d ) 所示的频率响应h e ( e ) ; 如 果我们用图( 3 - 1 - 2 ) ( e ) 所示的频率响应函数f ( e j ) 对模板滤波器进行掩蔽， 就得 到图( 3 - 1 - 2 ) ( f ) 所示的频率响应 i f ( e ) e 第三章 窄过渡带 f i r 数字滤波器设计 葺 1 1 1 ( o. ) i i n ( - , * ) i s n - 日 ， . . ti 纂 阵e (m r c e i 区 2 二 v ! i r i 护 91 几 t工, x c f i 左占乞= 苏u丁 图( 3 - 1 - 2 ) f r m 算法示意图 ( a ) 模板滤波器( b ) 周期性的模板滤波器( c ) 掩蔽滤波器e ( d ) 经e 过滤后的整体滤 波器( e ) 掩蔽滤波器 f ( f ) 经 f 过滤后的整体滤波器 由此可见，我们要想得到图( 3 - 1 - 2 ) ( d ) 和( f ) 所示的窄过渡带滤波器，只要 先设计出图( 3 - 1 - 2 ) ( a ) 所示的宽过渡带滤波器， 然后进行内插和频率掩蔽就可以 了，而根据式( 2 - 4 - 3 ) ，过渡带与滤波器的阶数成反比，这样就可以有效地降低 滤波器的阶数， 即使需要增加一个频率掩蔽滤波器，由于其过渡带相对较宽， 总 体考虑还是可以降低滤波器的复杂度。 我们可以用一个简单的式子来表示f r m 方法实现的窄过渡带f i r 滤波器的传 递函数: 第三章 窄过渡带f i r 数字滤波器设计 h , ,. , , ( z ) = h , ( z 0 ) f ( z ) ( 3 - 1 - 4 ) hr., ( z ) 、h w ( z 0 ) 、 f ( z ) 分别表示最终要实现的滤波器( 即 整体滤波器) 、 模 板滤波器和掩蔽滤波器的z 变换函数。相应的结构如图( 3 - 1 - 3 ) 所示。 图( 3 - 1 - 3 ) f r m 算法结构 假设整体滤波器的通带和阻带的波动系数分别为6 p和6 5 ，那么模板滤波 器和掩蔽滤波器应满足以下对设计参数的要求( 以低通滤波器为例) : 卜 s p 一h m (e ) f ( e ,w ) 一三 卜 b y通 带 一h m ( e w ) f ( e l ) 卜 5 s阻 带 有数据表明 ,9 ，对于一个w i) 等于0 . 0 4 0 4 n ， w s 等于 ( 3 - 1 - 5 ) ( 3 - 1 - 6 ) 0 . 0 5 5 6 n 的低通窄带 数字滤波器，如果取m 等于2 ,滤波器的阶数和所需乘法器、加法器的个数都减 少约5 0% 。 第三章 窄过渡带f i r 数字滤波器设计 第二节 改进的窄过渡带f i r 数字滤波器设计 频率响应掩蔽法也存在一些缺点， 当m 的值增加时， 虽然模板滤波器的阶数 降低了，但掩蔽滤波器的过渡带必须保证落在模板滤波器的两个通带周期之间， 因此其过渡带要窄， 这反过来又增加了设计的复杂性。 为此， 人们又提出了改进 的窄过渡带f i r 数字滤波器设计方 法16 ， 这种方法用相同的 滤波器( 延迟周期不 同)来同时实现模板滤波器和掩蔽滤波器，滤波器的传递函数表示为: ll ( z ) = n h , ( z , ) 1 二1 其中m 川 m ; , j = 1 , 2 ， 二 ， k - 1 。其结构可用下图表示: ( 3 - 2 - 1 ) x ( u ) y ( n ) 日 艺 m )1 -1( l - )h ( z a 1 k 图( 3 - 2 - 1 ) 改进的f r m 算法结构 上图中的 h ( z l) 为模板滤波器，其余的为掩蔽滤波器， 可以看出，所有用到 的滤波器的系数是相同的， 所不同的只是传递函数中的延迟单元， 这样就可以利 用硬件复用技术来实现滤波器，因为所有子滤波器的阶数 ( 即所需乘法器的个 数) 、滤波系数都是相同的，无需另外附加频率掩蔽滤波器，具体的硬件复用结 构将在本章第四节中详细介绍。 改进的窄过渡带f i r 数字滤波器设计方法其实质是多个滤波器的串连， 如果 整体滤波器对通带和阻带波动系数的要求分别为6 p和6 s ，该整体滤波器由 k 个子滤波器串 连而成，那么子滤波器在通带的 波动系数8 ) re ) 应满足下式: 1 士s p = ( i 士s p (f ) ) ( 3 - 2 - 1 ) 一般来讲6 p 是一个小量，我们近似认为下式成立: s p m、 s p / k ( 3 - 2 - 2 ) 同样的道理有: s s (f ， 二s s / k ( 3 - 2 - 3 ) 下面我们来讨论子滤波器m 的选择。 从图( 3 - 1 - 2 ) ( b ) 我们可以看出， 为过滤 掉图中不需要的 通带部分， 必需要求掩蔽滤波器的阻带 截止频率w s (f ) 满足下式: w s (f) 2 ,a - w s ( ) m ( 3 - 2 - 4 ) 第三章 窄过渡带f i r 数字滤波器设计 式中用w s ( - ) 表示模板滤波器的阻带截止频率， 如果用w s 表示整体滤波器的 阻带截止频率，则有: ws) = m w s ( 3 - 2 - 5 ) 如果我们以图( 3 - 2 - 1 ) 中的第一和第二级子滤波器分别来替代上式中的模板 滤波器和掩蔽滤波器，上式可以改写成: 2 1 r 一 w s ( - ) _ m, ( 3 - 2 - 5 ) 这样就可以将第一级子滤波器中的第一 个不需要的通带过滤掉，如图( 3 - 2 - 2 ) 所示: 1 i l l ( ( ?j ) 乳= 3r/ 2 h ( e i l ) 夕，几= 皿/ 23 - 1 2 1 i ( e w 黔 .剑层工 盆/ 2 3r , / 2 11 ( e i l a , ) 轰。二 兀/ 2 3”/ 2 11 ( e y e ) 1 3 万1 2 3万r 2 (e)22 第三章 窄过渡带f i r 数字滤波器设计 图( 3 - 2 - 2 ) 改进f r m 算法示意图 ( a ) 模板滤波器( b ) 周期性的模板滤波器( m 1 = 4 ) ( c ) 第一级掩蔽滤波器 ( m 2 = 4 ) ( d ) 第二级掩蔽滤波器( m 3 = 1 ) ( e ) 整体滤波器 对于下一级子滤波器我们同样可以仿照式( 3 - 2 - 5 ) 写出不等式，这个不等式 关系可以总结为: w s ) 2 ) r 一 w s _ m 环 s ( ，) 2 ; r 一 w s ( ) ( 3 - 2 - 7 ) 从上式就可以递推出各级子滤波器的m ，因为m ; 都是正整数，所以当m 十 ，= 1 的时候递推结束， 此时的i 值就是所需的子滤波器器级数k ，同时为保证这个递 推过程是收敛的，每次递推时m 还需要遵守以下规则: w s ( m ) 2 1 r 一w s ( - ) m 1( 3 - 2 - 8 ) m; 当递推结束时，m i + = m k 1 ， 因此 m ; 至少要等于 2 ，这是最简单的情况，只有 两级子滤波器，此时满足下式: w s () 1 。w s ( - ) 2 1 r一ws2 ,73 根据( 3 - 2 - 5 ) 式，可得 m _2 )r 3夕 s ( 3 - 2 - 9 ) ( 3 - 2 - 1 0 ) 而m , 至 少 等 于2 ， 所以w s - 誉 ， 仍 然 可 以 采 用 第 一 节 中 介 “ 的 方法进行解决。 以低通滤波器为例说明设计过程。 设低通滤波器的设计参数为: w p = o . 1 2 二 w s = o . 1 4 二 ，8 p = 8 5 = 0 . 0 1 ,根据式( 3 - 2 - 1 0 ) 可得: m l 二 it 3 * ws ; 二 一 = 4 . 7 6 3 * 0 . 1 4 所以选m ,= 4 ， 根据式( 3 - 2 - 8 ) ， 分别选m 2= 2 , m,=1. 由此可以得到模板滤波器的设计参数: 第三章 窄过渡带f i r 数字滤波器设计 w p = 0 . 1 2 n * 4 = 0 . 4 8 n w s = 0 . 1 4 n * 4 = 0 . 5 6 n s p ” 二 8 s = 0 . 0 1 / 3 = 0 . 0 0 3 3 利用第二章中编写的m a t l a b 程序进行计算，不采用 f r m 方法实现这样的滤 波器需1 9 9 阶，采用改进的f r m 算法实现模板滤波器仅需6 5 阶，可见对硬件的 节省是十分明显的。 以上介绍的是低通滤波器的情况， 对于高通滤波器的设计， 首先要引入一个 互补滤波器的概念。对于两个线性相位 f i r 滤波器 1 1 和 h e ，其频率响应函数分 别表示为h ( e ) 和 h e ( e ) ，如果它们满足以下条件: we ) + h c ( e ) ( = 1 ( 3 - 2 - 1 1 ) 则称它们为互补 f 工 r 滤波器。它们的频率响应曲线如下图所示: we ， )l lc ( e i u ) 珍异 n1 率 图( 3 - 2 - 3 ) 互补滤波器频率响应 从第二章的式( 2 - 2 - 5 ) 至( 2 - 2 - 7 ) 我们知道， 一个线性相位的f i r 滤波器可以 表示成: h ( e ) = 旧( e ) i e - , cc- u i z ) ( 3 - 2 - 1 2 ) 则其互补滤波器可以表示成: h e ( e ) 二 ( 1 - i h ( e ) i ) e - j u n - u r s ) . ( 3 - 2 - 1 3 ) 对上式进行 z 变换可以得到: h c ( z ) = z wu iz ) _ h ( z ) ( 3 - 2 - 1 4 ) 由上式可知， 互补滤波器可以这样实现: 经过( n - 1 ) / 2 延时的输入减去输出 得到，一个带有互补输出的具有严格线性相位的f i r 滤波器的结构如图( 3 - 2 - 4 ) 所示。 所以 当 我 们 利 用图( 3 - 2 - 2 ) 的 原理 求出 低 通 滤波 器 后， 可以 用 互 补 滤 波器的 原理， 仅用一个小的改动就可以得到高通窄过渡带滤波器， 而其中的( n - 1 ) / 2 个 延时可以利用原来低通滤波器中的延时单元来实现， 不用额外增加硬件， 高通滤 波器实现的示意图如图( 3 - 2 - 5 ) 所示。 第三章 窄过渡带f i r 数字涟波器设计 x ( n ) t y c ( 川 h ( 0 ) h ( n i 2 - 1 )h ( n 1 2 ) 一由一 一- - 一 由 一 - - -一 - y ( n ) 图( 3 - 2 - 4 ) n 阶带互补输出的线性相位 f i r 滤波器 n ( e i ) 公， 皿 1 2 3n; 22皿 w 厂 ( n ) 、 h (eivr.)曰 冗/ 2 盆 3 卫广 2. 1 兀 认 ( b ) i ll ( e i 0 - ) i 摊熬忍二 万! 2 3兀户 2兀 、 军 ( g ) i l1 ( s 1) ，卜七哥，孟诬f 匕，= 兀了 1 7 i3a1 2 2兀 w ( ( i ) h ，( e 叫 厂- - 一 书几= 皿 / 2 显 3蕊几 2r 、 、 ( 。 ) 图( 3 - 2 - 5 ) 高通窄过渡带f i r 滤波器的实现 2 5 第三章 窄过渡带 f i r 数字滤波器设计 ( a ) 模板滤波器( b ) 周期性的模板滤波器( m 1 = 4 ) ( c ) 第一级掩蔽滤波器 ( m 2 = 4 ) ( d ) 第二级掩蔽滤波器( m 3 = 1 ) ( e ) 整体滤波器( 图中虚线部分就是 利用互补滤波器的原理实现的高通滤波器) 第三章 窄过渡带f i r 数字滤波器设计 第三节 宽频带窄过渡带f i r 数字滤波器设计 第二节中， 我们用改进的f r m 算法实现了窄过渡带的高通和低通滤波器， 但 是这种方法也存在一定的缺点。 当我们用 m 个延迟单元来代替原来的一个延迟单 元时，滤波器的过渡带减少为原来的 1 / m ， 但实现窄过渡带的同时，滤波器的通 带也相应减少为原来的 1 / m ，下面我们进一步对f r m 算法进行改进， 使之同样适 合宽频带的窄过渡带f i r 数字滤波器的实现。 先介绍宽频带高通滤波器的设计。设计思路如图( 3 - 3 - 1 ) 所示: 川e j 空 ) 3- 1 22友w i f9 ( c ) ;二 幻-加 砚咫 / j n/ 2 3n/ 2 / 3获/ 2 日 ( c ev . ) ; 1 : / 2 三。 资敬恋二 h ( o j u ) 歪 3-/ 2 2兀w 图( 3 - 3 - 1 ) 宽频带窄过渡带高通滤波器设计 ( a ) 模板滤波器( b ) 周期性的模板滤波器( m 1 = 4 ) ( c ) 第一级掩蔽滤波器 第三章 窄过渡带 f i r 数字滤波器设计 ( m 2 = 4 ) ( d ) 第二级掩蔽滤波器( m 3 = 1 )( 图中虚线部分就是用互补滤波器 的原理实现的高通滤波器)( e ) 整体滤波器 具体的设计思想是在图( 3 - 3 - 1 ) ( d ) 所示的第二级掩蔽滤波器( 即第三级子滤 波器) 过滤时， 利用互补滤波器原理 如虚线所示) 来代替原来低通滤波， 这样 就保留了宽频带部分而滤掉了低频带成分的波。 相应的低通滤波器是将得到高通 滤波器利用互补滤波器原理变为低通滤波器。 第四章 数字滤波器模块设i i 第四章 数字滤波器模块设计 第一节 r 工 r 数字滤波器的有限字长效应 滤波器中用到的主要运算是对信号的乘加运算，在 f 工 r 滤波器硬件实现过 程中，由 j 二 硬件物理条件的限制，输入信号、乘法器系数以及运算的中间结果 都只能用有限的精度来表示，这样就会产生由硬件实现引起的误差，主要有以 下二种: 1 用有限的位数表示输入信号引起的量化误差 2 .用有限的位数表示滤波器乘法系数引起的量化误差 3 .乘法和加法的运算结果引起的误差 首先，我们讨论用有限的位数表示输入信号引起的量化误差。由( 2 - 2 - 1 ) 式我们知道，数字信号是通过模拟信号取样来产生，常表示为: x , 0 x( n t ) ( 4 - 1 - 1 ) 其中t 为抽样周期， 理论上讲x i. 是用无限精度表示的， 但是由于硬件条件 的限 制， 我们只能 用有限 位数的寄存器来存储该 输入信号， 如果用 ( x n ) 来表示 x ,、 与理想信弓 的误差，用表示量化间距，那么量化噪声的平均值和方差可分 别表示为! ir s e (x )- kr0斋e c2 0 . 0 0 1 4 0 . 0 0 4 9 - 0 . 0 0 2 4- 0 . 0 0 0 20 . 0 0 2 4 0 . 0 0 0 5 0 . 0 0 3 8 - 0 . 0 0 0 7 凸曰门钊 c o l u m n s 1 1 t h r o u g h 2 0 - 0 . 0 0 6 3 0 . 0 0 1 8 一 ( 0 0 8 7 = 0 . 0 1 2 8 0 . 0 0 7 8- 0 . 0 0 3 4 - 0 . 0 0 9 4 0 . 0 0 , ) 7( )01 1 1 0 . 0 1 2 9 c o l u m n s 2 1 t h r o u g h 3 0 0 . 0 1 4 4 - 0 . 0 1 8 5 - 0 . 0 1 6 0 0 . 0 5 8 3 0 . 0 1 9 3 - 0 . 1 0 2 8 0 . 0 2 6 3 0 . 0 1 7 3 - 0 . 0 3 8 2 0 . 01 8 4 c o l u m n s 3 1 t h r o u g h - 0 . 0 1 9 8 0 . 3 1 7 2 0 . 0 5 8 3 - 0 . 0 1 8 4 4 0 0 . 5 2 0 00 . .3 1 7 2 - 0 . 0 1 4 8 - 0 . 1 0 2 80 . 0 1 9 3 - 0 . 0 3 8 2 c ol u m n s 41 0 . 0 1 7 3 - 0 . 0 0 8 7 t h r o u g h 5 0 0 . 0 2 6 3 0 . 0 1 1 1 - 0 . 0 1 6 0 0 . 0 0 5 7 - 0 . 0 1 8 5 0 . 0 1 4 4 0 . 0 1 2 9 一 ( )0 1 2 8 c o l u m n s 5 1 t h r o u g h 6 0 - 0 . 0 0 9 4 - 0 . 0 0 3 4 0 . 0 0 7 8 0 . 0 0 0 1 - 0 . 0 0 3 8 0 . 0 0 0 5 0 . 0 0 1 8 - 0 . 0 0 6 3 - 0 . 0 0 0 了 0 . 0 0 4 9 c o l u m n s 6 1 t h r o u g h 6 5 0 . 0 0 2 4 - 0 . 0 0 0 2 - 0 . 0 0 2 4 0 . 0 0 1 4 0 . 0 0 1 7 相应的窄频带低通滤波器的通带截止频率为1 2 0 1 1 z , 阻带截止频率为讯o h z 模拟结果如下图所示: 第五章 模拟结果与结论 ，j， 、 j/j 、 ，j j/j 八/ / / 八广 、t、 2厂/ 、 ，/厂 、 /z 、 i/ 、 了厂了 j/j 、 广/ 广 / lesres卜1卜f.卜.1今 月，刁n，匀抽碑卜 ( a ) 户户 八 尸八 八 八 / 护八/ 、 八 娜叭川价川叭八 州 ( h ) ijz 伙 、 丫 , 1v 丫 一 / 滩 / 丫 丫 州丫甘 、 _ 一 川丫 / ( c ) / 产 /丫、 了 丫 ， 厂 厂 % 一.j下一卜一|卜十les.