2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：2.1.1-2.2 空间中直线与直线之间的位置关系 含解析.doc

教学资料范本2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：2.1.1-2.2 空间中直线与直线之间的位置关系 含解析编 辑：_时 间：_第2课时空间中直线与直线之间的位置关系知识点一空间两直线的位置关系1空间中两条直线的位置关系2异面直线(1)定义：把不同在任一平面内的两条直线叫作异面直线(2)画法：(通常用平面衬托),1异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件异面直线既不相交，也不平行2不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a，b，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为abO，所以a与b不是异面直线知识点二平行公理与等角定理1平行公理(公理4)与等角定理(1)平行公理文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行这一性质叫作空间平行公理符号表述：ac.(2)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)范围：090.(3)当90时，a与b互相垂直，记作ab.1异面直线所成角的范围是0 90 ，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直2公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()答案：(1)(2)(3)(4)2如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A共面B平行C异面 D平行或异面解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D.答案：D3设为两条异面直线所成的角，则满足()A090 B090C090 D0EH，所以四边形EFGH有一组对边平行但不相等由平面几何知识得到线线平行，用公理4进行转化类型二等角定理及其应用例2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点求证：EA1FE1CF1.【证明】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则BFA1M.又BFA1M，四边形A1FBM为平行四边形，A1FBM.而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1B1.而C1B1綊BC，F1M綊BC，四边形F1MBC为平行四边形BMCF1.又BMA1F，A1FCF1.同理，取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则有A1ECE1.EA1F与E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，EA1FE1CF1.要证明EA1FE1CF1，可证明A1FCF1，A1ECE1且射线A1E与CE1，射线A1F与CF1的方向分别相反方法归纳(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补(2)证明角相等，一般采用三种途径利用等角定理及推论；利用三角形相似；利用三角形全等跟踪训练2在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点求证：PNA1BCM.证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，所以PNBC.又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，所以A1M綊NC.所以四边形A1NCM为平行四边形，于是A1NMC.由及PNA1与BCM对应边方向相同，得PNA1BCM.利用空间等角定理证明两角相等的步骤：(1)证明两个角的两边分别对应平行；(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反类型三求异面直线所成的角例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成的角的大小【解析】方法一如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OGB1D，EFA1C1，GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)GA1GC1，O为A1C1的中点，GOA1C1.异面直线DB1与EF所成的角为90.方法二如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊DB1，HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)连接HF，设AA11，则EF，HE，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HIIF，HF2HI2IF2，HF2EF2HE2，HEF90.异面直线DB1与EF所成的角为90.方法三：如图，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN.E，F分别是A1B1，B1C1的中点，EFA1C1，又MNA1C1，MNEF.连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，四边形DMB1N为平行四边形，MN与DB1必相交，设交点为P，则DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)设AA1k(k0)，则MPk，DMk，DPk，DM2DP2MP2，DPM90.异面直线DB1与EF所成的角为90.方法四：如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体，连接B1Q，易得B1QEF，DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)设AA1k(k0)，则B1Dk，DQk，B1Qk，B1D2B1Q2DQ2，DB1Q90.异面直线DB1与EF所成的角为90.利用中位线作平行线，找出异面直线DB1与EF所成的角即可求解方法归纳求异面直线所成角的步骤一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角；二证：证明作出的角就是要求的角；三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解,跟踪训练3如图，P是平面ABC外一点，PA4，BC2，D，E分别为PC，AB的中点，且DE3.求异面直线PA与BC所成的角的大小解析：如图，取AC的中点F，连接DF，EF，在PAC中，D是PC的中点，F是AC的中点，DFPA.同理可得EFBC.DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)在DEF中，DE3，又DFPA2，EFBC，DE2DF2EF2，DFE90，即异面直线PA与BC所成的角为90.平移PA，BC至一个三角形中找出PA和BC所成的角求出此角基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是()A异面B平行C相交D可能相交、平行、也可能异面解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示答案：D2空间两个角，的两边分别对应平行且方向相同，若50，则等于()A50 B130C40 D50或130解析：由等角定理知与相等，故选A.答案：A3.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，G，H分别在边CD，DA上，且满足CGGD，DH2HA，则四边形EFGH为()A平行四边形 B矩形C菱形 D梯形解析：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF綊AC，又，所以，所以HG綊AC，所以EFHG且EFHG，所以四边形EFGH为梯形答案：D4若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交解析：由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交答案：D5在正方体ABCDA1B1C1D1的所有面对角线中，与AB1成异面直线且与AB1成60的有()A1条 B2条C3条 D4条解析：如图，AB1C是等边三角形，所以每个内角都为60，所以面对角线中，所有与B1C平行或与AC平行的直线都与AB1成60角所以异面的有2条又AB1D1也是等边三角形，同理满足条件的又有2条，共4条，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以错误点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线同理AM，DD1也是异面直线答案：7已知正方体ABCDABCD中：(1)BC与CD所成的角为_；(2)AD与BC所成的角为_解析：连结BA，则BACD，连结AC，则ABC就是BC与CD所成的角由ABC为正三角形ABC60，由ADBC，AD与BC所成的角就是CBC.易知CBC45.答案：(1)60(2)458如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是_(填序号)解析：中PQRS，中RSPQ，中RS和PQ相交答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A，C1C的中点，求证：四边形MBND1为平行四边形证明：取B1B的中点P，连接C1P，MP.因为N为C1C的中点，由正方体性质知C1N綊PB，所以四边形C1PBN为平行四边形，所以C1P綊BN，(*)又因为M，P分别为A1A，B1B的中点，有MP綊A1B1.又由正方体性质知A1B1綊C1D1，所以MP綊C1D1，所以四边形D1MPC1为平行四边形，所以C1P綊MD1.由(*)知MD1綊BN，所以四边形MBND1为平行四边形10在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解析：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角(或其补角)AB1ACB1C，B1CA60.即A1D与AC所成的角为60.(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，E，F分别为AB，AD的中点，EFBD，EFAC.EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.能力提升(20分钟，40分)1120xx江西师大附中月考已知a和b是成60角的两条异面直线，则过空间一点且与a、b都成60角的直线共有()A1条 B2条C3条 D4条解析：把a平移至a与b相交，其夹角为60.60角的补角的平分线c与a、b成60角过空间这一点作直线c的平行线即满足条件又在60角的“平分面”上还有两条满足条件，故选C.答案：C12.20xx江西新余一中月考如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且，若BD6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为_解析：EH3，FG64，设EH，FG间的距离为h，则S梯形EFGH28，得h8 (cm)答案：8 cm13.已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点求证：DNMD1A1C1.证明：如图，连接AC，在ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是ADC的中位线，所以MNAC，由正方体的性质得ACA1C1，所以MNA1C1.又因为NDA1D1，所以DNM与D1A1C1相等或互补而DNM与D1A1C1均是直角三角形的锐角，所以DNMD1A1C1.14如图，在空