（基础数学专业论文）关于拓扑空间中推广型开集的研究.pdf

中文摘要 本文的主要目的是进一步在一般拓扑空间、l 一拓扑空间、f u z z y 双 拓扑空间中讨论推广型开集并研究其相关性质全文主要工作如下： ( 1 ) 一般拓扑空间中的推广型开集是拓扑学研究的一个重要领域， 1 9 6 3 年，l e v i n e 弓 入了半开集；1 9 6 5 年，n j a s t a d 研究了口一开集；1 9 8 2 年，m a s h o u r 弓l 入了拟开集；1 9 8 3 年，a b de i - m o n s e f 弓j 入了口一开集；1 9 9 7 年，a c s a s z a r 提出了，一开集的概念等等本文首先从一个新角度引入了 一类推广型开集强半开集，然后讨论其性质，并通过举反例彻底弄 清了相关概念之间的关系 ( 2 ) 1 9 9 1 年，李厚源在一般拓扑空间中研究了半拓扑子集的一些性 质本文首先引入了若干强半子集的概念，而后通过与拓扑子集、半拓扑 子集的相关性质进行对比深入研究和探讨了强半子集的若干性质，并进 一步通过对一般拓扑空间中k u r a t o w s k i 十四集定理的研究和推理证明了 一般拓扑空间中强半子集的两个重要定理 ( 3 ) 一般拓扑空间、l 一拓扑空间中的分离性是很重要的性质，1 9 8 4 年，胡庆平利用半开集在一般拓扑空间中提出了量一空间；2 0 0 5 年，艾为 鸿在一般拓扑空间引入了强墨一空间本文以一般拓扑空间中新引入的一 类推广型开集强半开集为基础，在l 一拓扑空间中首先引入强半开集、 强半远域等概念，并进一步利用l 一拓扑空间中的强半开集在l _ 拓扑空间 中引入了强最一空间，并研究其相关性质 ( 4 ) 1 9 8 9 年，k a n d i l 引入了f u z z y 双拓扑空间，1 9 9 6 年，s s t h a k u r 在k a n d i l 意义下的f u z z y 双拓扑空间引入了半开集和半连续映射的概念 本文在f u z z y 双拓扑空间中继续讨论了一类新的推广型开集，即在f u z z y 双拓扑空间中引入了( f ，_ ，) 一f u z z y 拟开集和拟连续映射的概念，从而将基 于b i ns h a h a n a 在f u z z y 拓扑空间中引入的f u z z y 拟开集推广到f u z z y 双拓扑空间，并通过列举反例研究其相关性质 关键词：一般拓扑空间，l - 拓扑空问，f u z z y 双拓扑空间，强半开集， ( f ，) 一f u z z y 拟开集 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h em a i np u r p o s ei st od i s c u s st h eg e n e r a l i z e do p e ns e t s a n ds t u d yi t sp r o p e r t i e si ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ，l - t o p o l o g i c a ls p a c e s a n d 吻b i t o p o l o g i c a ls p a c e si nt h ef u l t h e rw a y t h ep r i m a r ys t u d i e si nt h i s p a p e ra l et h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) r e s e a r c ho ng e n e r a l i z e do p e ns e t si sav e r yi m p o r t a n tf i e l di ng e n e r a l t o p o l o g i c a ls p a c e s i n1 9 6 3 ，l e v i n ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p to f s e m i o p e n s e t s i n1 9 6 5 ，m a s t a di n t r o d u c e dt h en o t i o no f 口一o p e ns e t s i n1 9 8 2 ，t h ec o n c e p t o f p r e o p e ns e t sa r es t u d i e db ym a s h o u r i n1 9 8 3 ，t h en o t i o no f 夕o p e ns e t s a r es t u d i e db ya b de 1 一m o n s e f i n1 9 9 7 ，t h ec o n c e p to f ? , - o p e ns e t sa r e i n t r o u d u c e db ya 。c s a s z a r , c t e i nt h i st h e s i s , f i r s t , s t r o n gs e m i o p e ns e t s , o n e t y p eo fg e n e r a l i z e do p e ns e t s ，i si n t r o d u c e di nan e ww a y , a n di t sp r o p e r t i e s a r er e s e a r c h e d , a n dt h e nt h er e l a t i o n so ft h er e l a t i v ec o n c e p t sa l em a d ec l e a r b yt a k i n gs o m ea n t i e x a m p l e s ( 2 ) t h ep r o p e r t i e so fs e m i - s u b s e ti ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e sa r e s t u d i e db yl ih o u - y u a ni n1 9 9 1 i nt h i st h e s i s ，as e r i e so fc o n c e p t so fs t r o n g s e m i - s u b s e ta r ei n t r o d u c e d t h e n ，b yc o m p a r i n gt os u b s e ta n ds e m i - s u b s e ti n g e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ，s o m ep r o p e r t i e so fs t r o n gs e m i - s u b s e ti ng e n e r a l t o p o l o g i c a ls p a c e sa r ed i s c u s s e da n dr e s e a r c h e d ，a n dt h ef u r t h e rr e s e a r c ha n d g e n e r a l i z a t i o n o nk u r a t o w s k i s1 4s e t st h e o r e mi n g e n e r a lt o p o l o g i c a l s p a c e sm a d et h et w oi m p o r t a n tt h e o r e m si n t r o d u c e di ng e n e r a lt o p o l o g i c a l s p a c e s ( 3 ) s e p a r a t i o na x i o m sa r ev e r yi m p o r t a n ti ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e s a n dl t o p o l o g i c a l s p a c e s i n 19 8 4 ，t h ec o n c e p t so fs l s e p a r a t i o na r e i n t r o d u c e di ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e sb yh uq i n p i n g i n2 0 0 5 ，a i w e i - h o n g i n t r o d u c e dt h en o t i o no f s t r o n gs i s e p a r a t i o n i n g e n e r a l t o p o l o g i c a ls p a c e s i nt h i st h e s i s ，a c c o r d i n gt ot h en e wg e n e r a l i z e do p e n s e t s - - - s t r o n gs e m i o p e ns e ti ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ，as e r i e so fc o n c e p t s ， i n c l u d i n gt h es t o n gs e m i o p e ns e t ，s t r o n gs e m i r - n e i g h b o u r h o o da n d s 0o n ， a r ei n t r o d u c e di n l - t o p o l o g i c a ls p a c e s ，a n d t h e c o n c e p t s o fs t r o n g s l s e p a r a t i o n a r ei n t r o d u c e di n l - t o p o l o g i c a ls p a c e s a n dt h er e l a t i v e p r o p e r t i e sa r er e s e a r c h e d ( 4 ) k a n d i li n t r o d u c e dt h ec o n c e p to ff u z z yb i t o p o l o g i c a ls p a c e s ，t h e c o n c e p t o ff u z z y s e m i - o p e n s e t sa n df u z z ys e m i ，c o n t i n u i t yi n f u z z y b i t o p o l o g i c a ls p a c e sw a ss t u d i e db ys s t h a k u ri nk a n d i l s m e a n s i nt h i s t h e s i s ，t h ec o n c e p t so f 呦p r e o p e ns e t sa n df u z z yp r e c o n f i n u o u sm a p p i n g s i nf u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e sd u et ob i ns h a h a n ah a v eb e e ng e n e r a l i z e dt o f u z z yb i t o p o l o g i c a ls p a c e s ，a n ds o m e o f t h e i rp r o p e r t i e sa r es t u d i e d k e yw o r d s ：g e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ，l - t o p o l o g i c a ls p a c e s , f u z z y b i t o p o l o g i c a ls p a c e s ，s t r o n gs e m i o p e ns e t s ，( f ，) 一f u z z y p r e o p e ns e t s 内蒙古师范大学硕士学位论文 第一章引言 拓扑学是现代数学的一个重要分支，是现代数学其他分支的基础二十世纪以来， 拓扑学已经渗透到心理学、计算机科学、化学、物理学等各个学科领域二十世纪下 半叶，拓扑学在经济学、社会科学中得到广泛的应用，好几位经济学者因此而获得诺 贝尔奖 一般拓扑学是拓扑学的基础，其发展有相当长的历史在般拓扑学的众多研究 领域中推广型开集的研究是一个重要的研究领域，有许多国外学者一直从事着这一领 域的研究，如，1 9 6 3 年，l e v i n e 引入了半开集( 见文 1 ) ；1 9 6 5 年，n j a s t a d 研究 了口一开集( 见文 2 ) ；1 9 8 2 年，m a s h o u r 引入了拟开集( 见文 3 ) ：1 9 8 3 年，a b d e l - m o n s e f 引入了卢一开集( 见文 4 ) ；1 9 9 7 年，丸c s a s z a r 提出了r 一开集的概念( 见 文 5 ) 等等，这些学者分别从不同的角度研究了不同类型的推广型开集此外，国内 学者杨忠强、白世忠、徐振国、史福贵等在这一领域也进行了大量的研究( 见文 7 - 1 1 ) 随着模糊数学的产生，拓扑学的发展又进入一个新的阶段1 9 6 5 年，美国著名的 控制论专家l a z a d e h t ”j 教授提出了模糊集合的概念，从此以后模糊集合在数学的各 个分支得到了广泛的应用1 9 6 8 年，c l c h a n g 油1 以z a d e h 的模糊集合论为基础提出 了模糊拓扑的概念，后经j a g o g u e n 将i = o ，1 推广到具有逆序对合对应的完全分 配格，而提出了l _ 拓扑( 即文献 2 6 中的l - f u z z y 拓扑) 在国内以刘应明教授和王 国俊教授为首的数学家对于l - 拓扑空间的研究也做出了巨大的贡献l 一拓扑学中推 广型开集的研究得到了进一步的发展 1 9 6 3 年，j c k e l l y 呻1 首先在一般拓扑空间中引入了双拓扑空间的概念，给出 了配h a u s d o r f 、配正规、配正则等主要分离公理，研究了若干个拓扑定理和拟度量 定理，得到了u r y s o h n 引理，u r y s o h n 度量化定理，t i e t z e 扩张定理，b a i r e 分类定 理等在双拓扑情况下的推广形式以后，双拓扑的研究得到了迅速的发展模糊拓扑的 概念引入之后，1 9 8 4 年，杨占波。”继续在一般拓扑空间中进行研究并引入了l - f u z z y 双拓扑的概念；1 9 8 9 年，k a n d i l ：捌又提出了f u z z y 双拓扑空间的概念，此后许多国 内外学者在f u z z y 双拓扑空间中进行了大量的研究，在各个研究领域都取得了令人可 关于拓扑空间中推广型开集的研究 喜的研究成果如，1 9 9 4 年，吴健荣1 在f u z z y 双拓扑空间中引入了一类推广型开 集相对半开集；1 9 9 6 年，s s t h a k u r 在k a n d i l 意义下的f u z z y 双拓扑空间中 又引入一种推广型开集一半开集等等这些研究成果为以后从事f u z z y 双拓扑空间 中推广型开集的研究奠定了坚实的基础，开辟了新的研究思路 本文在上述文献的基础上就推广型开集在一般拓扑空间、l 一拓扑空间、f u z z y 双 拓扑空间中继续进行相关的研究，并通过列举反例进一步分析和探讨其相关性质，从 而丰富和发展拓扑学中推广型开集这一重要研究领域的理论和内容 下面介绍本文的结构和主要内容 第二章预备知识对全文将要用到的一般拓扑空间、l 一拓扑空间、f u z z y 双拓 扑空间中有关推广型开集的概念和结果作了简要概述 第三章研究了一般拓扑空间中的推广型开集本章首先以文献 1 1 为基础，从 一个新的角度通过借助内部和半闭包在一般拓扑空间中引入了强半开集，证明了在开 集与半开集这两种集合之间，以这种方式只能插入一种集合一强半开集，并通过列 举反例彻底弄清了开集、强半开集、半开集之间的强弱关系然后引入了强半内部、 强半闭包、强半边界等若干强半子集的概念，并通过与拓扑子集、半拓扑子集的相关 性质进行对比，深入研究和探讨了这些强半子集的若干性质和重要定理 第四章研究了l - 拓扑空间中的推广型开集本章以第三章中引入的推广型开 集强半开集为基础在l 一拓扑空间中继续研究推广型开集，在l 拓扑空间中引入 了强半开集、强半远域等概念在此基础上，利用l _ 拓扑空间中的强半开集在l - 拓扑 空间中引入强最一空间( i = o ，l ，2 ，3 ，4 ) 的定义，并研究其相关性质 第五章研究了f u z z y 双拓扑空间中的推广型开集本章将基于b i ns h a h a n a 。” 在f u z z y 拓扑空间中引入的f u z z y 拟开集推广到f u z z y 双拓扑空间，即在已有文献 3 3 3 4 等的基础上，继续研究f u z z y 双拓扑空间中的推广型开集( f ，_ ，) 一f u z z y 拟开集和双f u z z y 拟开映射，并通过列举反例研究( f 力- f u z z y 拟开集的相关性质 2 内蒙古师范大学硕士学位论文 第二章预备知识 本章简要的介绍阅读本文所需要的一些基础知识，包括本文所需的一般拓扑空间 中的推广型开集的相关知识，l 一拓扑空间论的一些基本定义和定理以及f u z z y 双拓扑 空间论中的基本概念 2 1 一般拓扑空间 自文 6 引入半开集的概念之后，人们对l - 拓扑中半开集的相关概念作了大量的 研究”。”其中强半开集的概念由文献 8 和文献 9 分别独立提出，后在文 1 0 中提出 了拟半开集的概念，文 1 1 提出了强拟半开集的概念，上述概念均是在 拓扑空问 中提出的事实上，这些概念及其相关性质的讨论并不涉及f u z z y 的知识，也就是说， 所有的讨论完全可以在更简单的框架分明拓扑空间中进行 拓扑空间首先是用开集描述的，自从n l e v i n e 在 1 中定义了半开集和半连续映 射，特别是半拓扑性质n 2 1 和s 一闭空间m 1 等概念被引入以来，许多学者在一般拓扑学 这一范围内进行了一系列的研究，文 1 4 - 一2 2 得到了许多很好的结果 本文对一般拓扑空间中推广型开集的研究所涉及到的标记沿用文献 2 3 的术语 和记号例如，设( x ，f ) 是拓扑空间，acx ，用i n t ( a ) 和e l ( a ) 分别记a 的 内部和闭包 定义2 1 1 嘲设( x ，f ) 是拓扑空间，a c x ( 1 ) a 称为半开集，如果存在开集g ，使得g c a c c l ( g ) ； ( 2 ) a 称为半闭集，如果存在闭集f ，使得i n t ( f ) cacf 定义2 1 2 “1 设( x ，f ) 是拓扑空间，a c x ( 1 ) i n t 。( a ) = u b bc a ，b 是半开集 ： ( 2 ) c 1 ( a ) = n ( bi a c b ，b 是半闭集 i n t 。( a ) ，c 1 。( a ) 分别称a 的半内部和半闭包 2 2l 拓扑空间论 本文讨论l 一拓扑空间的推广型开集将沿用文献 2 6 的术语和记号例如，肘( 三) 是的全部分子之集，m ( l x ) 是r 中所有分子之集；，7 g 。) 表示分子扎的全部闭 3 关于拓扑空间中推广型开集的研究 远域之集，a 表示集a 的补集 定义2 2 1 嘲设( r ，艿) 是三一拓扑空间，ae ( 1 ) a 称为半开集，如果存在开集g ，使得g a c l ( g ) ； ( 2 ) a 称为半闭集，如果存在闭集f ，使得i n t ( f ) sa f 定义2 2 2 偿订设( r ，占) 是三一拓扑空间，ae 工。 ( 1 ) i n t 。( a ) = v berbsa ，且b 是半开集 ； ( 2 ) c 1 ( a ) = b ia b ，且b 是半闭集) i n t ( a ) ，c 1 ( a ) 分别称a 的工一半内部和三一半闭包 命题2 2 1 1 设( ，占) 是三一拓扑空间，aer ( 1 ) a 是半开集当且仅当a 是半闭集 ( 2 ) 开集是半开集：闭集是半闭集 ( 3 ) 任意多个半开集之并是半开集；任意多个半闭集之交是半闭集 定理2 2 1 蜘设( 。占) 是工一拓扑空间，a l x 则i n t ( a ) i n t 。( a ) a s c l 。( a ) c l ( a ) 定义2 2 3 嘲设( ，占) 是三一拓扑空间，而是以工( x ) 为承点，以a ( e 工) 为高的凹点若a 是包含我的开集，即，若屯a 艿，则称a 为矗的开邻域若 b 包含而的一个开邻域a ( 即，as b ) ，则称b 为屯的邻域，而的全体邻域和全 体开邻域之集记作g 。) 和芦o g 。) 定义2 2 4 蚓设( ，艿) 是三一拓扑空间，屯m ) ，a 占。( 即a 是闭集) 如果屯薯a ，则a 为以的闭远域，设b ，如果而有闭远域a 使b a ，则称 b 为a 的远域分子而的一切远域和一切闭远域之集分别记作叩g 。) 与，7 g 。) 定义2 2 5 嘲设( r ，占) 是三一拓扑空间，a l x ，p d 如果v 石x ，当 a ( x ) 0 时，a ( 工) 墨j p ( x ) ，则p 为a 的闭远域，如果q p ，则称q 为a 的远域 4 内蒙古师范大学硕士学位论文 a 的一切远域和一切闭远域之集分别记作可( a ) - q , 1 ( a ) 定义2 2 6 捌设( ，艿) 是l 一拓扑空间，a l x ，he m ( r ) ，而叫作a 的 附着点，着vp 叩g ) ，a 基p 定义2 2 7 嘲设( r ，艿) 是三一拓扑空间，a r ，而e m 。) ，而n q f e a 的 聚点，若 ( i ) 而是a 的附着点，即h a 一，且 ( i i ) 屯芒a 或而e a 且vp 毫，7 也) 以及对a 中每个包含而的分子毛( 即， 以a ) ，有a 基pv 定义2 2 8 嘲设( l x ，艿) 是三一拓扑空间，a l x ，a 被称为准分明的，如果 存在口工，口0 ，使a ( 算) 0 当且仅当a ( j ) 2 口，v 工x 定义2 2 9 删设( x ，f ) 是分明拓扑空间，工是f 格，a ：x _ 三是映射如 果v 口l ， 工x a ( x ) s 口 f ，这里f 表示( x ，f ) 中的全体闭集之族，则称 a 为x 上的工值下半连续函数 定义2 2 1 0 嘲设( ，引是l - 拓扑空闻， ( 1 ) 如果对肼( ) 中的任二不同分子而与以，有p 叩( 而) ，使乩p ，或 者有q ，7 ( y 。) ，使h q ，则称( r ，艿) 为t o 空间 ( 2 ) 如果对膨( ) 中的任二不同分子而与以，当颤墨托时，存在pe ，7 ( ) ， 使y 。s p ，则称( ，艿) 为正空间 ( 3 ) 如果对肘( ) 中的任二不同分子而与儿，当z y 时有pe 叩( 以) 和 q j 7 ( y 。) ，使p v q = 1 ，则称( l x ，艿) 为疋空间 ( 4 ) 如果对x 上的任一非零准分明闭集a 和心em ( ) ，当石s u p p a 时有 p ，7 ( a ) ，q 叩( h ) 吏p v q = 1 ，则称( r ，艿) 为正则空间，称正的正则空间为五 关于拓扑空间中推广型开集的研究 空间 ( 5 ) 如果对任二非零准分明闭集a 和b ，当s u p p a ns u p p b = 时有p 叩( a ) ， q ，7 ( b ) 使p v q = l ，则称( ，艿) 为正规空间，称五的正规空间为瓦空间 2 3f u z z y 双拓扑空间论 一般拓扑空间中双拓扑空间的概念首先由文献 3 0 提出，文献 3 1 引入了 l - f u z z y 双拓扑的概念；后文献 3 2 引入了f u z z y 双拓扑空间，文献 3 4 在文献 3 2 意义下的f u z z y 双拓扑空间引入了半开集和半连续映射的概念，文献 3 2 提出的 f u z z y 双拓扑空间为推广型开集这一重要领域的研究开辟了新的方向 本文中对双拓扑空间中推广型开集的讨论仍沿用文献 3 2 术语和记号例如，设 x 是非空集，i = 【o ，i 】x 上的f u z z y 集是一个从x 到，的映射0 元是从x 到，的仅 取o 值的映射，1 是从x 到，的仅取l 的映射x 上一族f u z z y 集( a 。：口a ) 的 u a 。( n a 。) 由s u p a 。( i n f a 。) 定义a 、b 是x 上的f u z z y 集，a b 当且仅当 对v x x ，a ( 功b ( x ) a 用l a 表示，即v x x ，o a ) ( 功= l a ( x ) 定义2 3 1 x 上的f u z z y 点x p 按如下方法定义：v y x ，当y = 石时， 蜘( ) ，) 2 ；当y j 时，即( y ) 2 0 x ，声分别被称为x , e 的承点和高度和ea ，即 a ( 工) 。f u z z y 集a 是所有属于a 的f u z z y 点的并x p q a 表示重于a ，即 + a ( x ) i a q b 表示a 重于b ，即3 x x ，s ta ( 力+ b ( 工) 1 a b 等价于 1 ( a 吁b ) 设，：x 寸y ，a 是x 上的f u z z y 集，贝u f ( a ) 是y 上的f u z z y 集，且v y y ， 当，1 ( y ) 妒时，( a ) ( y ) = s u p a ( j ) ，x f - 1 ( y ) ：当厂。( ) ，) = 妒时，( a ) ( y ) = 0 若b 是l ，上的f u z z y 集，则f - 1 ( b ) 是x 上的f u z z y 集，且对v x ex ， 厂- 1 ( b ) ( 力= b ( ，( 工” 定义2 3 2 1 设q ，f 2 ，都是非空集x 上的拓扑，则称( x ，f l ，f ：) 为双拓扑空间， 6 内蒙古师范大学硕士学位论文 简称b t s 定义2 3 3 m 1 设x 为非空集，为f u z z y 格，4 ，以为x _ k n l - f u z z y 拓于b ，称三元 组( ，4 ，以) 为l - f u z z y 双拓扑空间，简称l f b t s 定义2 3 4 ( x ，f l ，7 2 ) 是由一个非空集x , n x _ j ：的两4 - f u z z y 拓扑f l ，f 2 组 成的，则称( x ，q ，f 2 ) 为一个f u z z y 双拓扑空间 本文中，i - ，i ，_ ，2 l ，2 如果尸是指任一f u z z y 拓扑性质，则t p ( r 厂p ) 是指拓扑t ( 0 ) 的性质 7 关于拓扑空问中推广型开集的研究 第三章一般拓扑空间的推广型开集 在本章中，笔者从一个新的角度引入了一类推广型开集一强半开集，并对其相 关性质进行研究 3 1 拓扑空间中的强半开集 命题3 i 1 设( x ，f ) 是拓扑空间，a 。b c x ( 1 ) 若a c b ，财i n t ( a ) c i n t ( b ) ：i n t ，( a ) t - - i n t ( b ) ；c l ( a ) cc l ( b ) ： c l 。( a ) c c l 。( b ) ( 2 ) 开集是半开集：闭集是半闭集 ( 3 ) 任意多个半开集之并是半开集；任意多个半闭集之交是半闭集 ( 4 ) i n t 。( a ) 是半开集；c l 。( a ) 是半闭集 ( 5 ) a 是半开集，当且仅当a = i n t 。( a ) ；a 是半闭集，当且仅当a = c l 。( a ) ( 6 ) i n t ( i n t ( a ) ) = i n t 。( a ) ；c l 。( c l 。( a ) ) = c l 。( a ) ( 7 ) i n t ( a ) c i n t 。( a ) c - a c c l ( a ) c c l ( a ) 证明由预备知识的定义2 1 1 和定义2 1 2 ，以上结论是显然的 命题3 1 2 设( x ，f ) 是拓扑空间，a c x ，则 ( 1 ) i n t 。( i n t ( a ) ) = i n t ( i n t 。( a ) ) = i n t ( a ) ； ( 2 ) e 1 ( c l ( a ) ) = c 1 ( c l 。( a ) ) - - e l ( a ) 证明注意到i n t ( a ) 是开集，从而是半开集，由命题3 1 1 的( 5 ) 知， i n t 。( i n t ( a ) ) = i n t ( a ) 再由命题3 1 1 的( 7 ) 及( 1 ) 知，i n t ( a ) c i n t 。( a ) c - a ， 得i n t ( a ) c i n t ( i n t 。( a ) ) c i n t ( a ) 。i n t ( i n t 。( a ) ) - - i n t ( a ) ，即( 1 ) 成立类 似可证( 2 ) 定义3 1 1 设( x ，f ) 是拓扑空间，a c x ( 1 ) a 称为拟半开集，如果存在半开集h ，使h c a c c l ( h ) ； ( 2 ) a 称为拟半闭集，如果存在半闭集t ，使i n t ( t ) 1 - a c t 定义3 1 2 设( x ，f ) 是拓扑空间，a c x ( 1 ) a 称为次强半开集，如果存在半开集h ，使hc a c 0 1 ( h ) ； ( 2 ) a 称为次强半闭集，如果存在半闭集t ，使i n t 。( t ) ca ct s 内蒙古师范大学硕士学位论文 定义3 1 3 设( x ，f ) 是拓扑空间，a c x ( i ) a 称为强半开集，如果存在开集g ，使gcac c i 。( g ) ； ( 2 ) a 称为强半闭集，如果存在闭集f ，使i n t 。( f ) c ac f 定理3 1 1 设( x ，f ) 是拓扑空间，a c x ( 1 ) a 是半开集，当且仅当ac c i ( i n t ( a ) ) ；a 是半闭集，当且仅当 a 3 i n t ( c l ( a ) ) ( 2 ) a 是拟半开集，当且仅当a c c l ( i n t ( a ) ) ；a 是拟半闭集，当且仅当 a3 i n t ( c l 。( a ) ) ( 3 ) a 是次强半开集，当且仅当ac c l 。( i n t 。( a ) ) ；a 是次强半闭集，当且仅 当a3i n t ( e l 。( a ) ) ( 4 ) a 是强半开集，当且仅当ac e l 。( i n t ( a ) ；a 是强半闭集，当且仅当 a 3i n t ( c l ( a ) ) 证明( 1 ) 若a 是半开集，由定义2 1 1 ，存在开集g ，使得g c a c c l ( g ) ， 则gci n t ( a ) c c l ( g ) ，c l ( g ) cc l ( i n t ( a ) ) c e l ( g ) ，故e l ( i n t ( a ) ) = c 1 ( g ) 因为a c c l ( g ) ，所以a c c l ( i n t ( a ) ) ；反之，若a c c l ( i n t ( a ) ) ，则 因i n t ( a ) 是开集，及i n t ( a ) c a c c l ( i n t ( a ) ) ，所以a 是半开集 对偶可证：a 是半闭集，当且仅当a 3 i n t ( c l ( a ) ) 类似可证( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 命题3 1 3 设( x ，f ) 是拓扑空间，a c x ( 1 ) a 是半开集，当且仅当a 是半闭集； ( 2 ) a 是拟半开集，当且仅当a 。是拟半闭集： ( 3 ) a 是次强半开集，当且仅当a 。是次强半闭集； ( 4 ) a 是强半开集，当且仅当a 。是强半闭集 证明由定理3 1 i 的( 1 ) ，a 是半开集，当且仅当acc l ( i n t ( a ) ) a 。3i n t ( c l ( a 。) ) ；a 。3i n t ( c l ( a 。) ) ，当且仅当a 是半闭集( 1 ) 得证 由半开集与半闭集互补，再根据定理3 ll 的( 2 ) ，对ac c l ( i n t 。( a ) ) 两端取 补，并注意到( i n t 。( a ) ) c l 。( a ) ，可证( 2 ) 同理可证( 3 ) ，( 4 ) 9 关于拓扑空问中推广型开集的研究 定理3 1 2 设( x ，f ) 是拓扑空间，acx ，则 c l ( j n t ( a ) ) - - - - c 1 ( i n t ( a ) ) ；i n t ( c l 。( a ) ) = i n t ( c l ( a ) ) 证明由命题3 1 1 的( 4 ) 知，i n t 。( a ) 是半开集，再由定理3 1 1 的( 1 ) 及 命题3 1 2 的( 1 ) ，i n t 。( a ) cc l ( i n t ( i n t 。( a ) ) ) = c l ( i n t ( a ) ) ，故 c l ( i n t 。( a ) ) cc l ( i n t ( a ) ) ，另一方面，由命题3 1 1 的( 7 ) 显然有 c l ( i n t ( a ) ) c - c l ( i n t 。( a ) ，所以c l ( i n t 。( a ) ) = c l ( i n t ( a ) ) 第二个等式 i n t ( c l 。( a ) ) - - - - i n t ( c l ( a ) ) 类似可证 由定理3 1 2 及定理3 1 1 的( 1 ) ，( 2 ) 得到： 推论3 1 1a 是半开集，当且仅当a 是拟半开集a 是半闭集，当且仅当a 是 拟半闭集 定理3 1 3 设( x ，f ) 是拓扑空间，a t - - x ，则 ( 1 ) a 是次强半开集，当且仅当a 是半开集 ( 2 ) a 是次强半闭集，当且仅当a 是半闭集 证明( 1 ) 若a 是次强半开集，由定理3 l1 的( 3 ) ac c l 。( i n t ( a ) ) ，由命 题3 1 1 的( 7 ) 及定理3 1 2 ，a c c l 。( i n t 。( a ) ) c c l ( i n t ，( a ) ) = c l ( i n t ( a ) ) ， 再由定理3 1 1 的( 1 ) ，知a 是半开集反之，当a 是半开集时，由命题3 1 1 的 ( 5 ) a = i n t 。( a ) ，又ac c l 。( a ) ，故ac c l 。( i n t 。( a ) ) ，知a 是次强半开集( 1 ) 得证类似可证( 2 ) 注等式c 1 ( i n t ( a ) ) = c l ( i n t ，( a ) ) 不成立比如通常实数空间r 中的a = ( o ， 1 ) ，c l 。( i n t ( a ) ) = ( o ，1 ) ，而c l ( i n t 。( a ) ) = o ，1 通过以上讨论，可知次强半开集、半开集、拟半开集实际上是同一概念，下文中 统称它们为半开集，从而摈弃次强半开集和拟半开集的名称；同样，次强半闭集、半 闭集、拟半闭集也是同一概念 定理3 1 4 设( x ，f ) 是拓扑空间，则 开集j 强半开集半开集；闭集j 强半闭集j 半闭集 证明由命题3 1 1 的( 7 ) 及定理3 1 1 的( 1 ) 和( 4 ) ，证明是容易的 为了完全弄清楚开( 闭) 集、强半开( 闭) 集、半开( 闭) 集之间的强弱关系， 下面的反例是重要的 反例3 1 1 强半开集不必是开集 内蒙古师范大学硕j ：学位论文 x = o ，1 ，f = ， o ，1 ，【o ，圭) ，取集合a = o ，j 1 ，i n t ( a ) = 0 ，三) ， 为了求c l 。( i n t ( a ) ) 2 c l s ( o ，三) ) ，注意到c l 。( f 0 三) ) 是半闭集，由定理3 1 1 的 ( 1 ) 及命题3 1 2 ，c 1 ( o ，三) ) 3 i n t ( c 1 ( c 1 。( 【o ，三) ) ) ) = i n t ( c 1 ( 【o 三) ) ) = i n t ( o ， 1 ) = o 1 ，t tc “【o 争) 咄，1 故a = 0 ，三 c c “i n t ( a ) ) 所以a 是强半开集，由拓扑的构造可知a 不是开集 反例3 1 2 半开集不必是强半开集 在通常拓扑的实数空间r 中，a = 0 ，1 ，注意到( 0 ，1 ) 是半闭集，则 c l ( i n t ( a ) ) = o ，1 ，c l 。( i n t ( a ) ) = ( 0 ，1 ) ，a c c l ( i n t ( a ) ) ，但a 旺c l 。( i n t ( a ) ) ， 由定理3 1 1 的( 1 ) 与( 4 ) ，故a 是半开集但不是强半开集 定理3 1 5 任意多个强半开集的并是强半开集；任意多个强半闭集的交是强半 闭集 证明是平凡的 在拓扑空间中，等式c l ( i n t ( a ) ) = c l ( i n t ( c l ( i n t ( a ) ) ) ) ，i n t ( c l ( a ) ) = i n t ( c l ( i n t ( c l ( a ) ) ) ) 是熟知的与此类似，有 定理3 1 - 6 设( x ，f ) 是拓扑空间，a c x ，则 ( 1 ) c l ( i n t 。( a ) ) = c l ( i n t ，( c l ( i n t 。( a ) ) ) ) ；i n t ( c l 。( a ) ) = i n t ( c 1 ( i n t ( c l 。( a ) ) ) ) ； ( 2 ) c l 。( i n t ( a ) ) = c l ，( i n t 。( c l 。( i n t 。( a ) ) ) ) ：i n t 。( c l 。( a ) ) = i n t 。( c l 。 ( i n t ( c l 。( a ) ) ) ) ： ( 3 ) c l 。( i n t ( a ) ) = c l 。( i n t ( c l 。( i n t ( a ) ) ) ) ；i n t 。( c l ( a ) ) = i n t 。( c l ( i n t 。( c l ( a ) ) ) ) 证明：( 1 ) 因为c l ( i n t 。( a ) ) 是闭集，由i n t 。( c l ( i n t 。( a ) ) ) c c l ( i n t 。( a ) ) 两 端取闭包，得c l ( i n t 。( c l ( i n t 。( a ) ) ) ) cc l ( i n t 。( a ) ) ，因i n t , ( i n t 。( a ) ) = i n t 。( a ) ，而i n t 。( a ) c c l ( i n t 。( a ) ) ，两边取半内部，可得i n t 。( i n t 。( a ) ) c i n t 。( c l ( i n t 。( a ) ) ) ，然后再对上式两边取闭包，可得c l ( i n t 。( a ) ) cc l ( i n t 。 ( c l ( i n t 。( a ) ) ) ) 综上，c l ( i n t 。( c l ( i n t 。( a ) ) ) ) = c l ( i n t 。( a ) ) 类似可证i n t ( c l 。( a ) ) = i n t ( c l 。 关于拓扑空间中推广型开集的研究 ( i n t ( c l 。( a ) ) ) ) ( 2 ) 、( 3 ) 的证明与( 1 ) 完全类似 推论3 1 2 设( x ，f ) 是拓扑空间，a c x ，则 ( 1 ) c l ( i n t ( a ) ) ，c l ( i n t 。( a )