（应用数学专业论文）几类具偏差变元的微分方程解的振动性与非振动解的存在性.pdf

摘要 本文内容主要分为四部分 在第一章绪论部分，一方面我们简单介绍了常微分方程振动理论与泛函微分 方程振动理论的起源与发展另一方面我们还介绍了本文所作的主要工作与刨新 之处 文章的第二部分主要研究一类一阶非线性具偏差变元的微分不等式 x o ) + a ( t ) f ( x ( f ) ) + p ( t ) 9 0 p ) ) ( x 0 一q o ) ) ，x ( t f ：( f ) ) ，x ( t - - k o ) ) ) 0 。 ( 1 ) 卫( f ) + a ( t ) f 0 0 ) ) + p ( t ) g ( x o ) ) l i l ( x o 一o ) ) ，x ( t f ：( f ) ) ，- ，z ( f 一_ r ( f ) ) ) 壬0 ( 2 ) 及相应的微分方程 x o ) + a ( t ) f ( x o ) ) + p ( t ) 9 0 ( r ) ) l i l o ( f 一( f ) ) ，x ( t f ：( f ) ) ，一，x ( t r ( f ) ) ) 一0 ( 3 ) 解的振动性通过引入一个新的变换，获得了不等式( 1 ) 无最终正解( ( 2 ) 无最终负 解) 的充分条件及方程( 3 ) 振动的充分条件同时，所用的方法也适用于时超微分 不等式及方程所得结果较大地推广了文 1 1 1 的相应结果 文章的第三部分主要研究与第二部分对应的时滞微分方程 x p ) + a ( t ) f 0 0 ”+ p q ) g ( x ( f ) ) ( x o f 。( f ) ) ，z o l 2 ( f ) ) ，x ( t f p ) ) ) ；0 ( 4 ) 的非振动解的存在性通过利用s c h a u d e r 不动点定理，得到了此类方程( 4 ) 非振动 解存在的充分条件同时，将结果推广到时超微分方程所得结果都是新的 文章的第四部分主要研究一类二阶强超线性时滞微分方程 ，( f p ( f ) 】+ y ( f ，x ( t f 。o ) ) ，x ( t t ：p ) ) ，工o r 。( f ) ) ) ；0 ( 5 ) 简 的振动性通过引入变换，获得了方程( 5 ) 一切解振动的充要条件所得结果改进 了文f 2 6 ，2 8 的相应结果 本文所获得的所有定理与推论均是新的，改进或推广了已有文献的相应结果 关键词：微分方程：偏差变元；非线性；强超线性：振动性；非振动解；存在性 a b s t r a c t t h ec o n t e n to ft h i sp a p e rw i l lb em a i n l yd i v i d e di n t of o u rp a r t s i nt h ep a r to fi n t r o d u c t i o ni nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to f o s c i l l a t i o nt h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n df u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sb r i e f l y o nt h eo t h e rh a n d ，w ei n t r o d u c et h em a i ns t u d ya n d i n n o v a t i o n so f t h i sp a p e r i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n so fac l a s so f f i r s to r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t s x ( f ) + u q ) f ( x o ) ) + p ( t ) g ( x ( f ) 冲( x ( f f ，o ) ) ，x q f ：( f ) ) ，一，x ( t r o ) ) ) 墨0( 1 ) 工( f ) + a ( t ) f o ( f ) ) + p ( t ) 9 0 ( f ) ) o 一o ) ) ，工o f ：o ) ) ，x ( t f 。( f ) ) ) 0 ( 2 ) a n dt h ec o r r e s p o n d i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s z ( f ) + 口( f ) ，( 芹o ”+ p ( t ) g o ( f ) 妒( x o q ( f ) ) ，x ( t f ：( f ) ) ，x ( t f 。o ) ) ) 一0( 3 ) b yi n t r o d u c i n gan e wt r a n s f o r m a t i o n ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r0 0e v e n t u a l l yp o s i t i v e s o l u t i o n so ff i r s to r d e rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s ( 1 ) ，( o rn oe v e n t u a l l y n e g a t i v es o l u t i o n so ff i r s to r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s ( 2 ) ) a n do s c i l l a t i o n o fe q u a t i o n s ( 3 ) a r eo b t a i n e d a tt h es a m et i m e ，t h i sm e t h o dc o u l da l s ob eu s e di n a d v a n c ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e sa n de q u a t i o n s a sc o r o l l a r i e st oo u rr e s u l t s ，t h ec o r r e - s p e n d i n gr e s u l t si n 【1 1 】a r ee x t e n d e d i nt h et h i r dp a r to ft h i sp a p e r , w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s o ft h ec o r r e s p o n d i n g e q u a t i o n so f t h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r 工o ) + a ( t ) f ( 算( f ) ) + p ( t ) g ( x ( f ) ) j l ( x o q o ) ) ，x ( t f ：( f ) ) ，x ( t r o ) ) ) ；0( 4 ) b yu s i n gs c h a u d e re q u i l i b r i u mp o i n tt h e o r e m ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n so ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( 4 ) a r eo b t a i n e d a tt h es a m et i m e ，o u rr e s u l t s a r ee x t e n d e dt oa d v a n c ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h er e s u l t sw eo b t a i n e da r en e w i nt h ef o u r t hp a r to ft h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h es e c o n do r d e rs t r o n g l ys u p e r l i n e a r d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h ef o r m p ( f 扣( f ) i + m 正( f ，z o - - f i l ( f ) ) ，工( f 一。；：o ) ) ，工( f - - w i n ( f ”) ：0 ( 5 ) 面 b yi n t r o d u c i n gan e wt r a n s f o r m a t i o n ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r e o b t a i n e df o re q u a t i o n s ( 5 ) t oh a v eo s c i l l a t i o n a sc o r o l l a r i e st oo u rr e s u l t s ，t h ec o r r e s p e n d i n gr e s u l t si n 【2 6 ，2 8 】a r ei m p r o v e d a l lt h et h e o r e m e sa n dc o r o l l a r i e so b t a i n e di nt h i s p a p e ra r en e w ，a n dt h e y i m p r o v e do re x t e n d e dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fc u r r e n td o c u m e n t k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；d e v i a t i n ga r g u m e n t ；n o n l i n e a r ；s t r o n g l ys u p e r l - i n e a r ；o s c i l l a t i o n ；n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s ；e x i s t e n c e 1 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：泰闺t j - 日期：知眵年中月2 f e l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部f 1 或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密囤。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：秦闭红日期：肼牛月爿日 导师签名：髹苏强 日期：秽年4 月够日 第一章绪论 1 1 泛函微分方程振动理论的历史背景、研究动态及其发展趋势 方程是个古老的研究课题解是方程的灵魂微分方程的基本问题在于求解 及研究解的基本属性 常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的历史上，它的雏形的出现甚 至比微积分的发明还要早纳泊尔发明对数、伽利略研究自由落体运动、笛卡尔 在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等，实际上都需要建立和求解微分方 程然而，实际上人们能够用初等函数的积分表达解的微分方程是很少的，大量 的微分方程是无法用初等积分法求解在1 9 世纪初期，柯西给微积分注入了严格 性的要素，同时他也为微分方程的理论奠定了一个基石一解的存在性和唯一性定 理斯图姆的工作提出了对解进行定性研究的最初思想1 8 8 l 一1 8 8 6 年，庞卡莱 接连以“微分方程所定义的积分曲线”为题发表了四篇论文，奠定了定性理论研 究的基础李雅普诺夫首创的稳定性概念和l i a p u n o v 函数概念，及在此基础上建 立的一系列基本定理，为稳定性理论的建立和发展奠定了坚实的基础这些研究 实际上都是假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而和过去的历史状况无关 事实上，我们知道许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖于过 去的状态，在这种情况下，微分方程就不能精确地描述客观事物了代之而起的 是微分方程特别是带时间滞后的微分方程在许多科学领域的研究中，例如力学、 物理学、生物数学、经济数学、自动控制、通讯理论等等，都涉及到微分差分方 程和微分积分方程而泛函微分方程就是这些方程的总称和概括因此对它的研 究不但有理论价值，而且有实用价值 1 7 5 0 年e u l e r 提出了一个古典几何学问题：是否存在一种曲线，它经过平移， 旋转运动以后能与其渐缩线重合? 1 7 7 1 年，c o n d o r c e t 讨论这个问题，导出了已知 的，历史上第一个泛函微分方程此后在一个世纪中，许多著名的数学家，如 b e r n o u l l i ，l a p l a c e ，p o i s s o n 以及b a b b e g e 等都提出过类似的方程鉴于这些方程 的复杂性，一直未对其有效的研究2 0 世纪以来，自然科学和社会科学的许多学 科中提出了大量时滞动力系统问题，如核物理学、电路信号系统、生态系统、化 工循环系统、遗传问题、流行病学、动物与植物的循环系统社会科学方面主要 是各种经济现象时滞的描述，如商业销售问题、财富分布理论、资本主义经济周 期性危机、运输调度问题、工业生产管理等等，促使人们对这种困难的课题开始 认真地研究发现第一个泛函微分方程至今已过去两个多世纪了，但是系统的研 究工作只是在2 0 世纪5 0 年代才开始的自1 9 5 9 年以来，泛函微分方程发展是非 常迅速的在解的基本理论、稳定性理论、周期解理论、振动理论、解算子理论、 分支理论等许多方面都出现了重要的成果在我国，秦元勋、刘永清、王联在1 9 6 3 年出版了专著带有时滞的动力系统的运动稳定性7 0 年代以来，发展更为迅速， 每年都有数以百计论文问世，其中j k h a l e 在1 9 7 7 年出版的 t h e o r yo f f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 是当时对有界滞量泛函微分方程的研究的最新总结自1 9 7 8 年以来，无界滞量和无穷延滞的泛函微分方程也跟着兴起，它们与有界滞量的泛 函微分方程形成三大方向，系统的理论逐步地建立起来了 微分方程的振动问题最初是由从s t u r m ( 1 8 3 6 年) 研究热传导方程时导出二阶 线性常微分方程 。 石。p ) + a 0 弦( f ) - 0 时提出的，从那时起，常微分方程的振动理论便得到了不断地发展我们知道s t u r m 的比较定理，s t u r m 的零点分布定理已写入大学教科书s w a n s o n 总结了线性常微 分方程振动理论，得到了一些经典结果，可见文献 1 文献 2 ，3 中介绍了某些 非线性常微分方程的振动性研究结果然而仅仅研究常微分方程的振动理论问题 还远远不够在现实生活中，特别是在生物模型，经济学，工业方面等人们已经 发现了许多滞后微分方程的振动性问题，可以说滞后现象广泛存在于自然科学和 工程技术各领域之中，于是便进一步提出泛函微分方程振动理论一般情况下， 出于从理论研究和实际应用两方面考虑，学者们大多对泛函微分方程解的存在性、 稳定性、振动性、渐近性及有界性进行了研究并在该领域涌现出大量研究成果特 别是由时滞变量引起的方程的振动性一直被许多研究者所重视，因为它从振动性 方面深刻地揭示了时滞泛函微分方程与常微分方程的本质性差异泛函微分方程 振动理论区别于常微分方程的振动理论主要方面表现在前者揭示了微分方程中的 偏差变元的出现引起解的振动性或非振动性泛函微分方程的振动理论作为泛函 微分方程定性理论的一部分，在最近3 0 年中有了迅速的发展从线性到超( 次) 线性、非线性，从一阶到高阶，从滞量的分散分布到连续分布，都有非常丰富的 成果在泛函微分方程振动理论上第一篇有影响的论文是文献 4 第一本系统地 叙述泛函微分方程振动理论的著作是由苏联学者s e v e l o 写的，他总结了直到1 9 7 7 年这一理论的发展，特别是前苏联学者的贡献由于书是俄文写的，影响有限而 在这一领域具有影响性的一本专著是其偏差交元微分方程的振动理论0 3 一它是 由b g z h a n g ，l a d d e 和l a k s h m i k a n t h a m 合写的一本英文专著，它系统地总结了国 际上这领域直到1 9 8 4 年的成就，该书特别强调偏差变元的出现对微分方程解的 振动性质的影响，成为这一领域的经典著作进入8 0 年代以来，泛函微分方程理 论有了特别迅速的发展，特别要提到以下几点： ( i ) 开创了中立型时滞微分方程解的振动性与非振动性的研究，并取得了大量 的重要成果； 2 ( ii ) 开创了时滞差分方程振动理论的研究； ( i i i ) 有时滞变元的偏微分方程的振动理论的发展； ( i v ) 开创了时滞脉冲微分方程解的振动性的研究； ( v ) 发展随机微分方程解的振动理论； ( v i ) 时滞微分方程振动理论在生态模型上的应用 振动理论今后研究方向和发展趋势可概括为： ( i ) 寻找泛函微分方程的一切解都是非振动的条件 ( i i ) 研究泛函微分方程存在振动解的条件 ( i i i ) 时滞微分方程组解的振动性和非振动性的深入研究 ( i v ) 研究时滞引起的非振动性文献中往往强调时滞可以引起解的振动性质， 但时滞的出现也能引起解的非振动性 ( v ) 二阶时滞微分方程x 。( f ) + ( f h ( f ) + m q 扛o r 0 ) ) 一0 的解的振动性与相应 的边值联系尚待进一步研究 ( v i ) 对振动解的零点分布、振幅变化和渐近性质的进一步研究 ( v i i ) 对具有本质上非线性的中立项的中立型微分方程的进一步研究，揭示中 立项的非线性带来的对解的性质的影响 ( v i i i ) 时滞差分方程振动理论的进一步研究 ( i x ) 发展随机微分方程解的振动理论众所周知，随机微分方程的定性研究 已有很多工作，特别是在随机系统的稳定性方面，但对于随机系统解的振动性质 的研究还只有零星工作 1 2 本文的主要工作与创新 本文研究了几类具偏差变元的微分方程解的振动性、非振动解的存在性 在第二章中，研究一类一阶具偏差变元的微分不等式 x o ) + 口( f ) ，( x ( f ) ) + p ( t ) 9 0 ( f ) 冲( 并o q ( f ) ) ，x ( f f ：( f ) ) ，x ( t l ( r ) ) ) s 0( 1 1 ) x ( f ) + a ( t ) f o o ) ) + p ( t ) g ( x ( f ) 冲o p 一( f ) ) x p 一百：o ) ) ，x ( f f 。o ) ) ) 0( 1 2 ) 及相应的微分方程 工o ) + a ( t ) f o q ) ) + p ( t ) g ( ，q ) ) j l ( x q f ，q ) ) ，z g 百：q ) ) ，工( f f 。q ) ) ) = 0 ( 1 3 ) 通过引入一个新的变换，获得了具多滞量的阶非线性微分不等式( 1 1 1 无最终j 下 解，( 1 2 ) 无最终负解的充分条件及方程( 1 3 ) 振动的充分条件同时，把结果推广 到时超微分不等式 x ( f ) 一口( f ) ，( 1 0 ) ) 一p ( t ) g o ( f ) ) ( x q + z ，0 ) ) ，并o + f ：p ) ) ，- ，z q + - r 。o ) ) ) 乏0( 1 4 ) 工o ) 一口p ) ，o ( f ”一p ( t ) g ( 工( f ) m o o + f 。( f ”，x ( t + f ：( f ) ) ，z 0 + l 0 ) ) ) 妄0( 1 5 ) 及相应的时超微分方程 x 7 0 ) 一a ( t ) f 0 0 ) ) 一p ( t ) g ( x o ) 沙( z p + o ) ) ，并o + f ：o ) ) ，一，z o - l - z 。p ) ”一0 ( 1 6 ) 3 所得结果较大地推广了文 a l l 的相应结果 在第三章中，研究与第二章对应的时滞微分方程 x o ) + a q ) f 0 ( f ) ) + p ( t ) 9 0 ( f ) 冲0 0 t o ) ，x ( t f 2 p ) ，x ( t 一g ) ) = 0 ( 1 7 ) 的非振动解的存在性通过利用s c h a u d e r 不动点定理，得到了此类方程非振动解 存在的充分条件同时，把结果推广到时超微分方程 z ( f ) 一a ( t ) f ( x ( f ) ) 一p ( t ) g o ( f ) ) j 1 0 p + q ( f ) ) ，x ( t + f ：o ) ) ，x ( t + f ( f ) ) ) 一0 ( 1 8 ) 在第四章中，研究具多个偏差变元的二阶强超线性时滞微分方程 一 j p ( f 弦( f ) 】+ 罗f a t ，工o t ，p ) ) ，z o t ：o ) ) ，工( f r 。o ) ) ) zo ( 1 9 ) 丽 建立了在强超线性条件下滞后型方程的振动准则所得结果改进了文 2 6 ，2 8 1 相应 结果 4 第二章一阶非线性具偏差变元的微分不等式及方程 2 1 引言 本章考虑具多滞量的一阶非线性时滞微分不等式 茹o ) + a ( t ) f ( x 0 ) ) + p ( t ) g ( x o ) ) j l ( x p - - t 。( f ) ) ，x ( t r ：0 ) ) ，x ( t f 。( f ) ) ) 墨0 算g ) + a ( t ) f ( x o ) ) + p ( t ) g ( x ( f ) ) j l ( x o f 。o ) ) ，x ( f 百：( f ) ) ，- ，x ( t - - t o ) ) ) o 及相应的时滞微分方程 x 0 ) + a q ) f ( 并o ) ) + p ( t ) 9 0 0 ) m ( x o 。o ) ) ，工o 一_ r ：( f ) ) ，一，x ( f 一百。( f ) ) ) 一0 其中，总假定下列条件成立 ( h ，) 口，p ，_ r ，c ( 尺+ ，r + ) t 是恐0 一f j o ) ) + m ，1 2 ，一，甩 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 _ 3 ) ( h ：) ，c ( r ，r ) ，当x 一。时，x f ( x ) ，。，上高出- + m ，袅豸出一一m 饵3 )g c 僻，r ) ，x e r 时，9 0 ) 0 暇4 ) | l c 僻4 ，r ) ，且当屯x j o ( ，一1 , 2 ，n ) 时，z l h ( x l ，z 2 ，善。卜0 下列时滞微分不等式 z ( f ) + p ( f ) n 肛p - k j qs o ( 2 4 ) z o ) + p ( f ) 兀降( f r o 胪o ( 2 5 ) 以及与它们相对应的时滞微分方程 z o ) + p o ) n 扛( r f ，k o ( 2 6 ) 是( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 的特例其中口j o 为分母是奇数的有理数，- 1 , 2 ，玎，口， = 1 关于具常偏差的线性时滞微分方程及不等式解的性质，l a d a s “川给出了一些结 果，并在l a d a s ”1 中得到了推广阮炯”1 将l a d a s 的结果推广到了具有变偏差的时 滞微分方程及不等式魏俊杰n 们去掉了文 6 9 的一个主要条件，得到了一个 非常好的结果，庾建设1 在此基础上作了进一步的改进和推广，获得了有关 ( 2 4 ) - ( 2 6 ) 的解的性质的如下结果 定理2 a 定4 “若 熙缅善a 如。，p o 炒， ( 2 - 7 ) 则( i ) ( 2 4 ) 无最终正解； ( ii ) ( 2 5 ) 无最终负解 推论2 a 1 论11 若( 2 7 ) 式成立时，则方程( 2 6 ) 振动 当p ( t ) - p ，0 ，f f o ) 一f ，o ，( ，一1 , 2 ，行) ，都是常数时，( 2 7 ) 变为保证( 2 6 ) 振动的充要条件 此外，文【9 ，1 1 】还给出了有关结果的一些应用 关于一阶非线性具偏差变元的微分不等式及方程的解的性质的研究，参见文 【1 2 ，1 3 ，1 4 等 在2 2 节考虑较微分不等式( 2 4 ) 、( 2 5 ) 及方程( 2 6 ) 更为一般的滞后型微分不等 式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 及方程( 2 3 ) ，获得了不等式( 2 1 ) 无最终正解，( 2 2 ) 无最终负解的充分 条件也获得了方程( 2 3 ) 振动的充分条件 此外，在2 3 节我们还考虑具变偏差超前型微分不等式 z ( f ) 一口q ) ，( x g ) ) 一p ( t ) g ( x ( f ) ) j l ( x ( f + f 。o ) ) ，z ( f + f ：o ”，- ，x ( t + f 。( f ) ) ) 0( 2 8 ) x p ) - a ( t ) f ( x ( f ) ) - p ( o g o ( f ) o o + f 。( f ) ) ，x ( t + f ：p ) ) ，x ( t + f 。( f ) ) ) s 0( 2 9 ) 及相应的微分方程 x ( f ) 一a ( t ) f ( x ( f ) ) 一p ( t ) g o o ) 冲o g + q o ) ) ，x ( t + f 2 ( f ) ) ，x ( t + f 。( f ) ) ) - 0 ( 2 1 0 ) 获得了不等式( 2 8 ) 无最终正解，( 2 9 ) 无最终负解的充分条件也获得了方程( 2 1 0 ) 振动的充分条件 所得结果较大地推广了文【1 1 1 的相应结果 设t o 0 , t m i n t 一百j o ) k 乏t o ，j l ，2 ，玮，妒c ( f ，t o 】，r ) ，称函数x ：【t ，) 一r 是( 2 3 ) 的满足初值妒( t x r c ts t 。) 的解，如果膏( f ) 在p o ，m ) 上满足( 2 3 ) ，且x ( t ) 一妒( f ) ， t t 墨t 。，由分步法可知，初值问题的解是存在且唯的 一个解称为是振动的是指它有任意大的零点否则，就称为是非振动的一 个方程称为是振动的是指它的所有解都是振动解 2 2 滞后型不等式及方程的结果 首先引入下面函数 y - f o ) 一 懿吖南出) 算，。 0工i o 一呱志“。 ( 2 1 1 ) 显然，r ( x ) 在( 一* ，+ * ) 上有定义、连续、单调递增，且在工一0 时连续可导因此， f 的反函数r ：0 ，6 ) 一( 一* ，+ 。o ) 存在、连续、单调递增，且z zr 1 ( y ) 在y ，0 时连 6 续司导，其中口一r ( 一* ) o 定理2 2 1 如果何，) 一( h ) 成立，且存在常数m ， 0 ，m ：0 ，口j 0 ， j 。0 , 1 , 2 ，n ，使得口。口。成立，且满足 磐旧 ) “一m - ， ( 2 1 4 ) n 计 墨麻习州z ( 2 j 5 ) 乏= 睁o t ，b ) i 。 以及 熙i n f 套a 如，) c x p ；| ；口t l n 。肋炒丝些 ( 2 1 6 ) 则( i ) ( 2 1 ) 无晟终正解。 ( ii ) ( 2 2 ) 无最终负解 证明：只证( i ) ( 类似可证( i i ) ) 反证法假设( 2 1 ) 有最终正解x ( f ) ，取f 0 ，0 ， 使 x ( f ) 0 ，x ( t f j o ) ) 0 , t t o ，j - 1 2 ，1 不等式( 2 1 ) 两边同除以，o o ) ) ，t 之t 。，得 7 丽1 工o ) + 口( f ) + p ( f ) 手芸器i l ( x ( r q ( f ) ) ，z ( f 一- r ：( f ) ) ，一，工。一l p ) ) ) s 。 蛑1 1 ) 知志一鬻对圳于是 暑器x 协蜘mp ( t ) 关器撕_ 妒删，邡础) ) ) s o 注意到r o p ) ) o , t 乏t 。，则上式变为 【r ) 】，+ 口。o ) ) + r ( f ) ) 芋黜 o o 一删m _ 吼，z ( f _ 。) ) ) 姐 ( 2 1 7 ) 令 y ( o i 、( 工( f ) ) ，甄z q ) 一f “( ) ，0 ) ) ， 则由( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) 及( 2 1 7 ) 得 y7 ( f ) + 4 0 ) y o ) + p ( t ) y ( t ) g ( y ( t ) ) i ( j ，o f 。o ) ) ，y o r ：o ) ) ，) ，( f r 。( f ) ) ) j 0 也就是 ( y ( t ) e x p f 口o ) 出) 7 + p ( t x y ( t ) e x p ia ( s ) a s ) 虱y q ) m ( y q t ( f ) ) ，y ( t 一_ r ：o ) ) ，) ，o 一( f ) ) ) s 0 1 0一 再令 z ( f ) - y p ) e 以口o ) a s ，或) ，o ) - z ( f ) c x p ( - ；o n o 冲) ， 代入上式并整理得 。o ) + p o ) z o ) 弛o ) e x p ( t 口o ) ) h - ( 。p r , q ) ) e x p 竹。n $ 胁) ，z ( f l x p ( t o 冲) ) s o ( 2 1 8 ) 因为y o ) 0 ，f 苫f 。，所以z ( f 卜o ，z ( f ) o ，口o ) o ，f f 。，故z o ) 及z ( f ) e x p ( 口o ) 凼) 均为单调递减函数令 墨恐z ( f ) e x p ( n o 灿) - z ， 则0 szt + * 下面分两种情况证明 ( ) 若l 0 则 墨氅虿o ( t ) e x p ( - f 4 0 胁) ) 。g q ) ，o ， l i m b ( z ( t - r , ( t ) ) e x p ( f n o ) ，z ( f 吖。( f ”e x p ( _ j ：f r , f t ) a 。) 出) - f i ( t ，f ，f 卜o 故存在f l f o ，使f 七 时 z ( t ) e x p ( - f o 口。冲) 1 2 t ， 虱：( t ) e x p ( - f , 邢冲) ) 2 三即) ， g ( z ( t - r - ( f ) ) e x 烈_ ，。- r d o a ( s ) 凼) ，砸一o ) ) c x p ( r a o ) 如) ；圭i u ，f ，一，f ) 由( 2 1 8 ) 式，得 z q ) + g ( 1 ) f i ( 1 ，f ，一，) p ( f 弦( r ) 0 ，f f 。 8 】茳f f 口有 【o p ) ) 。】+ ! 虿( f ) i ( f ，f ，一，f ) p ( f ) 【z o ) r 。so ，f 土f ， ( 2 1 9 ) 令f ( f ) - 粤坚仁，p ) ) i r t 2 t l ，使t f 心) ；t o ，对r 七t 2 ，j 一1 2 ，n 则 l 胪 盯一如胁谢掣“。冲错。唧；na ，f - t j ( t ) a ) d s t t 2 - f 2 2 0 ) 将( 2 2 0 ) 式代入( 2 1 9 ) 式，知 【。o ) 】+ 导( 圭) 岳( f 万( f ，。一，f ) p ( t ) e x p 喜口，f 叫g 访s 。，t t 2 对上式两边从r f o ) 到f 积分，得 ) p 七。一f o ) 胪+ 鲁( 言) “g ( t ) k ( t ，f ，f 埴巾，。) e x p 善na ，f 州 胁灿n f2 f 2 r 2 2 1 ) 注意到z p ) o 且单调递减，蕴含了极限l i r az ( f ) 存在从而，对( 2 2 1 ) 式两边，令 t - + o 。，得 慨i l l f 正( p ( 咖x p 蠢口，丘小，口。胁s o ( 2 2 2 ) 而由( 2 1 6 ) 2 t ：，有 昱恐甜正。，( p ( s ) e x p 砉a ，丘口。胁如 1 - 2 - l i r a 。；赶骞吐脚( 唧砉口r l 扩“) a s ，等挚 这与( 2 2 2 ) 式矛盾 ( 二) 若f 一0 ，则由( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 分别有 曼恐亭o ( t ) e x p ( - j ! o n o ) 出) ) k ( f ) e x p ( - 口o ) 出) 1 “；m ， ( 2 2 3 ) i i m l ：i f z ( f1 ( f ) ) e 砸f 如a o ) 】口 - - - ( t ) - r ( o 由( 2 a 6 ) 式，对某个充分小的s ，0 ，应仍有 l i m 。i n f 喜口，正州。( p ( s ) e x p 砉口；正州，( u 矽u ) d s ，塑生三￥! ! 堂 ( 2 2 5 ) m 。一et 虿g o ) e x p ( 一f 口o ) 出” z ( t ) e x p ( - f4 0 ) 出) r 。cm ，+ g ， v 0一 f 1 阶- - r j e x p ( r 口o ) 】口 峨叫面i 磊轰瓦丽i 石丽i 两枷2 虿o o ) e x p ( - f , 0 4 0 ) 如”，( 肼，一s ) z ( o e x p ( - f o n o ) 出) 】“ i 。( f 吖。e 砸r n o 冲) ，z o l o ) ) 赢p ( r 。n ( s ) 出) ) ，似：4 船( f1 ( f ) ) c x p ( f “删计， ：+ z 吖) ：) - 1 p ( t ) i e x p 口，正t j l 。) 口。】口矧1 。“珥n 【孑p 一。p ) ) 】q so 【( z ( f ) ) “】，+ 口。似- 一8 ) 似：+ ) 4 p ( | ) 【唧善a ，l ( f ) n o 灿】l ：l 扛( f r j ( f ) ) 】q s o “协 。( g i - ) 似z + s ) 4 p o ) c x p 砉a ，正州。冲】冉阻( f r ，o ) ) p h s0 ，f ) n ( 2 2 6 ) 其中芝a ，口。2 1 采用文【1 1 】的方法， 由( 2 2 5 ) 式可以证明( 2 2 6 ) 无最终正解，矛 盾故不等式( 2 1 ) 无最终正解类似可证不等式( 2 2 ) 无最终负解证毕 推论2 2 1 如果( 日。) 一( 日) 、( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 及( 2 1 6 ) 成立， 则方程( 2 3 ) 振 1 0 2 3 超前型不等式及方程的结果 这一节考虑具变偏差的时超微分不等式 x ( f ) 一a ( t ) f 0 ( f ) ) 一p ( t ) g o ) 0 0 + q ( f ) ) x ( t + f ：o ) ) ，一，工( r + f 0 ) ) ) 0( 2 8 ) 工o ) 一a ( t ) f 0 ( f ) ) 一p ( t ) g o o ) ) j 1 0 0 + q ( f ) ) x ( t + f ：q ) ) ，一，x ( f + f 。p ) ) ) 0( 2 9 ) 及相应的时超微分方程 x o ) 一4 ( f ) ，o ( f ) ) 一p ( t ) g ( x ( f ) ) j l o o + q o ) ) ，z ( f + f ：o ) ) ，一，z ( f + f 。0 ) ) ) 0 ( 2 1 0 ) 其中，总假定a , p ，f j c 僻+ ，r + ) ，j 一1 , 2 ，n ，( 灯2 ) 一( h 4 ) 成立及 ，静+ 吼e 舟一 ( 2 2 7 ) 类似滞后型方程的作法，引入函数y - r o ) ，如( 2 1 1 ) 所示易见r o ) 在( _ * ，+ m ) 上有定义、连续、单调递增且r 的反函数r ：( 一* ，+ * ) 一( 一m ，+ * ) 存在、连续、 单调递增 定义函数可及h 如( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 所示 定理2 3 1 如果a , p ，f c 僻+ ，r + ) ( ，一】 2 ，玎) ，似：) 一何。) 、( 2 2 7 ) 成立， 且存在常数肘l 0 ，m 2 0 ，口，o , j - o , 1 , 2 ，使得口，一口。成立，且