（微电子学与固体电子学专业论文）电热微执行器设计方法研究.pdf

摘要 节点分析方法是一种系统级的分析设计方法，己广泛应用于机一电耦合m e m s 器件的分析设 计，并取得了很好的效果，但节点分析方法本质上是一种集总化的方法，无法用于热分布之类的分 布问题，所以节点分析方法到目前为止仍无法用于热执行器的仿真。另一方面，热执行器因其驱动 力较大和驱动位移大驱动电压和c m o s 兼容，所以在很多领域得到了广泛的应用。因此开展热执 行器的系统级仿真的研究有重要意义。 本文首先依据节点分析方法的基本思想将常用的几种热执行器分解为锚点单元和梁单元，其中 梁单元依据其驱动机理的不同分为单层梁单元和双层梁单元。因为在正常工作时锚区单元的温度变 化很小，所以本文将其作为理想熟沉考虑。梁单元中包含热一电一机械三种物理量的相互耦台，但 这三者之间的相互耦合程度是不一样的，本文根据这一特点，将其分解为热一电耦合和热一机械耦 合两大部分。 对于熟一电耦合单层粱，本文基于加权余量法和常数变易法，用不同的边界条件处理方法提出 了三种模型；然后，用插值法预估温度分布并以傅立叶级数作估计补偿，建立了第四种模型。本文 提出的模型可以仿真梁的材料参数随温度变化的特性。 对于热一机械耦合单层梁，本文在已有的梁单元的机械域节点分析方法的基础上，将粱热膨胀 的行为等效为施加在梁的两端的轴向平衡力，从而建立了模型。模型中考虑了由横向偏转产生的轴 向长度变化效应、大轴向应力效应以及非共轴连接或不同层连接效应；本文提出的深粱节点模型可 以仿真热执行器中长宽比较小的梁的行为。 通过对双层梁热执行器的温度载荷的分解，并利用各阶温度载荷对应的等效质量，本文建立了 双层梁单元的动态节点分析单元。 使用以上方法，本文构建了完整的梁单元的热一电一机械耦合节点分析模型，可用于分析仿真 常用热执行器的静态特性、动态特性和频域特性等模型不仅形式简洁，而且建模过程中考虑的热 一电一机械耦合梁单元的多个非理想效应更进一步提高了仿真结果的准确性。该模型的建立使热执 行器的仿真可以不再借助于数值分析方法，从而极大的提高了热执行器分析仿真的效率，扩展了节 点分析方法的应用领域，并为建立其它分布参数问题的节点分析模型提供了一个较好的思路。 在节点模型的具体实现方法上，本文选择电路仿真软件s p i c e 作为分析平台，把提出的节点分 析模型都等效为对应的等效电路。通过对几种常用的热执行器的分析并使用有限元工具a n s y s 的 分析结果或已发表文献中的结果验证，证明了模型的准确性。 关键词：m e m s 节点分析法：热执行器；热一电一机械耦合；梁单元；边界条件 a b s t r a c t an o v e lu o d a a n a l y s i sm e t h o df o rt h ee l e c t r o t h e r m a lm i c r o a c m a t o rw h i c hm a ya n a l y z et h ec o m m o n l y u s e de l e c t r o t h e r m a lm i c r o a c t u a t o r si si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r n o d a la n a l y s i sm e t h o dw a sw i d e l yu t i l i z e d j nt h ed e s i g na n da n a l y s i so f 山ec o u p l e de l e c t r o m e c h a n i c a lm 匣m sd e v i c e sa n dw o r k e dw e l l ，h o w e v e r , i t c o u l dn o ta n a l y z et h ee l e c 订o t h e r m a lm i c r o a c t u a t o rb e c a u s ej t se s s e n u a i l yal u m p e dm e t h o dw h i c hi sn o t s u i t a b l ef o rt h ed i r i b u t e dp r o b l e m - t h ce l e c v o t h e r m a lm i c r o a c i m a t o ri sw i d e l ya p p l i e di m a n yd 鲥嘴 d u et oi t sh i 曲o u t p u tf o r c ea n dd i s p l a c e m e n tm 鲫蛐v o l t a g eo ft h e s ea c r l a t o r si sc o m p a t i b l ew i t h c m o s s o 由ed e s i g n e r sn 啷f t 出1 3 - v ef o ra ne 伍c i e 虹t 丑l v 面st o o l sf o rt h ee l e x l r o t h e r m a lm i c r o a c m a t o r s 1 1 砖e l e c t r o t h e r m a lm i c r c u c m a t o r sa r ed e c o m p o s e dt ot w oe l e m e m s i n c l u d i n ga n c h o r sa n db e e m s a c c o r d i n g 幻t h et r a d i t i o n a ld o d a a n a l y s i sm e t h o d n e l e m e n to fb e a mi sc l a s s i f i e di n t ot h es i n g l e 1 a y e r b e a ma n dt h ed o u b l e - l a y e rb e a m t h ea n c h o ri sd e f i n e da sa ni d e a lh e a ts i n kd u et ot h el o wt e ：n p e n m r e s h i f tw h i l et h ea c _ o j a u 3 rw o r k i n g1 1 me l e c t r o t h e r m a lm i c r o a c m a t o ri sac o u p l e de l 蜘t h e r m o - m e c h a n i c a l d e v i b u tt h et e l a t i o n s h i pb d w 啪t h e s et h r e ei si l o tt h e 翻叮碡t h e r e f o r et h ec o m p l e xp r o b l e mi sd i v i a l e d i n t oe l e 肋- o t h e r m a 】a n dt h e r m o m e c h a n i c a p r o b l e m s t h ec o u p l e de l e c t r o t h e r m a lm o d e lo f t h es i n g l e - l a y e rb e a mi se s t a b l i s h e dw i t hf o xd i f f e r e n tm e t h o d s f i m , t h r e em e t h o d sw i t hd i f f e r e n to p e r a f i o bo ft h eb o u n d a r yc o n d i t i o na r ct a k e nt ob u i l dt h em o d e lw i 血 班印m d o fv a r i a b l e sa n dv a r i a t i o no fc o n s t a n t t h 钒t h ef o u r t hm e t h o di st a k e nw i t ht h ew e i g h t e d r e s i d u a lm e t h o d1 1 1 em o d e lc o u l da l s os i m u l a t et h et e m p e r a t u r e - d e p e n d e n tm a t e a lp r o p e r t i e s b ya s s u m i n gt h a tt h et h e r m a le x p a n s i o no f t h eb e a me q u i v a l e n tt ot h ea x i a lc o u n t e r b a l a n c ea p p l i e da t t h et w oa n d so ft h eb e a n l ，t h ec o u p l e dt 1 1 e r m o m e c h a n i c a lm o d e li sb u i l tb a s e do l l 山em e c h a n i c a ln o d a l a n a l y s i sm o d e lo ft h eb e a m t h ce f f e c t so fe f f e c t i v ea x i a ll e n g t ho ft h eb e a n xl a r g ea x i a ls 嘛s ，c t c ，a r e t a k e ni n t oa c c o u n ti nt h em o d e l t h en o d a la n a l y s i sm o d e lo ft h ed e e pb e a mi st l l i n t r o d u c e dt os i m u l a t e t h eb e a mj dt h ee l e o x o t h e r m a lm i c r o a c m a m rw i t hl o wr a t i oo f 山el e n g t ha n dt h ew i d t h w i t ht h ed e c o m p o s i t i o no f t h et e m p e r a t u r e1 0 a da n du t i l i z a t i o no f t h ee q u i v a l o n tn i a 8 so f e a c ho r d e ro f t h el o a d , t h ed y n a m i cn o d a la n a l y s i sm o d e lo f t h ed o u b l e - l a y e rb e a mi sc o n s t r u c t e d w i t ha l it h em e t h o d si n m ) d u c e da b o v e t h ec o m p l e t ec o u p l e de l o ：t r o t h e r m o r n c c h m i c a lm o d e lo ft h e b e a mi se s t a b l i s h e d t 1 l i sm o d e lc o u l db cu s e dt 0s i m u l a t et h es t e a d y s l a t e d y n a m i ca n df t e q u c o c y c h a r a c t e r i s t i co ft h ee l e c n o t h e r m a 】i m e r o a c m a t o r f u r t h e rm o r e t h en o n i d e a le f f e c t si n c l u d s di nt h em o d e l c o u l dm a k et h em o d e lm o r er e a s o n a b l en l i sm o d e lm a k e si tp o s s i b l et 0s i m u l a t et h ee l e c t r o t h e r m a l m i e r o a c m a t o rw i t h o u tt h eh e l po ft h en u m e r i c a lm e t h o d sa n dw i d e n st h ea p p l i c a t i o nf i e l d so ft h eu o d a a n a l y s i sm 酣l o c ls oi ti n l p r o v e st h ee f f i c i e n c yo ft h es i m u l a t i o ns i g n i f i c a n t l y o nt h eo t h e rb a n dt h e e s t a b l i s h m e n to ft h em o d e lm a y g i v e 量删ei n s p i r a t i o nf o rt h ec i 捌n l c i o ft h en o d a la n a l y s i sm o d e lo f o t h e rd i m r i b m i v ep r o b l e m s 1 1 碡c i r c u i ts i m u l a t i o nt o o ls p i 。i ss p e c i f i e da st h ea n a l y s i sp l a t f o r mo ft h e 删a n a l y s i sm e t h o d a l lt h en o d a la n a l y s i sm o d e l sm t r o d u c o di 1 1t h i sp a p e ra r et r a n s f o r m e dt oc o r r c 印o n d m ge q u i v a l e n t 枷l 1 1 砖m o d e li sp r o v e dr e a s o n a b l e w i t ht h ev e r i f i c a t i o no f a n s y sa n ds o m ee x p e r i n m a ld a n k e y w o r d s ：m e m s ，n o d a la n a l y s i sm 吲帆e l e e m y t h e n n a lm i c r o a c m a t o r , e l e c t m t h e r m o m e c h a n i c a lc o u p l e 。 b e a me l e m e n t , b o u n d a r yc o n d i t i o n 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 日期：丝丑g 哆 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查 阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 东南大学博士论文 1 1微电子机械系统 第一章绪论 随着微电子技术的不断发展，微电子机械系统( m i c r o - e l - a o - m e c h a n i c a ls y s 也m ，m e m s ) 越来 越受到人们的关注。所谓m e m s ，是指在微米量级内设计和制造集成多种元件，并适宜于低成本 大批量生产的系统。m e m s 技术是随着l c 微细加工技术和超精密机械加工技术的发展而发展起来 的，是将微电子和微机械加工技术融为一体的系统”。从广义上讲，m e m s 是集各种传感器、控制 器、执行器、信号处理、控制电路和接口单元于一体，具有信息采集、处理和执行功能，是一种智 能化的微型光机电一体化系统。 m e m s 技术的起源可追溯到2 0 世纪6 0 年代1 9 8 9 年后m e m s 一词就渐渐成为一个世界性的 学术用语m e m s 技术的研究与开发也日益成为国际研究的热点。m e m s 将电子系统和外部世界有 机联系起来，它不仅可以感受运动、光、声、热、磁等自然界信号将这些信号转换成电子系统可 以识别的电信号而且还可以通过电子系统控制这些信号。m e m s 技术己逐渐成为一项涉及到电学、 力学、机械、热、磁等不同学科领域的交叉科学。 对丁二目前大多数的研究而言，从材料和工艺的角度，微电子机械系统可简单的理解为，在半导 体衬底( 主要是s i 和g a a s ) 上，利用微加工技术制作出的三维微结构或微系统；从组成结构上看。 m e m s 系统是由电子部件和机械部件组成的器件或系统，主要包括微型传感器、执行器和相应的信 号处理电路三部分。一般而言，m e m s 具有以下几个基本特点”j ： ( 1 ) 体积小，精度高重量轻。尺寸在微米到毫米量级，重量可轻至纳克。 ( 2 ) 性能稳定，可靠性高。具有较高的抗干扰性，可在恶劣的环境下稳定工作。 ( 3 ) 能耗低灵敏性和工作效率高。完成相同的工作，微机械所消耗的能量仅为传统机械的十 几分之一或几十分之一，而运作速度却可达其1 0 倍以上。 ( 4 ) 与微电子芯片类同，可大批量、低成本生产，性价比比传统机械制造技术有大幅度提高： ( 5 ) m e m s 的目标是微“机械”与i c 相集成的微系统智能微系统。 根据以上特征衡量，用微电子技术( 但不限于此) 制造的微小机构，器件、部件和系统都属于 m e m s 范畴，微机械和微系统只是m e m s 发展的不同层次。这就是微电子机械系统较为准确的一般 定义。 m e m s 器件和系统具有体积小、重量轻、功耗低、成本低、可靠性高、性能优异、机电一体化、 可批量生产等优点，因此在航天、航空、汽车、生物医药等诸多领域有着十分广阔的应用前景”j 。 自从2 0 世纪6 0 年代以来，m e m s 技术已取得很大的发展，尤其是进入9 0 年代之后，由于制作工 艺的进步，其发展更为迅速。m e m s 器件种类繁多，几乎无法列出所有的m e m s 器什。根据目前的 研究情况，除了进行信号处理的集成电路部件以外，m e m s 所包括的单元主要有以下儿类9 j ： ( 1 ) 微传感器：包括机械类、磁学类、热学类、化学类、生物学类等的传感器。每一类又可以 细分为多种； ( 2 ) 微执行器：主要包括微马达1 6 j 、微齿轮、微泵【7 j 、微阀门及其它微驱动部件； ( 3 ) 微型构件：主要包括微梁、微探针、微腔、微沟道等； ( 4 ) 微机械光学器件：即利用m e m s 技术制作的光学元器件目前已有微镜阵列、微光扫描 器、微光斩波器、微光开关i s 等； ( 5 ) 微机械射频器件( r fm e m s ) ：包括用微机械加工工艺制作的微型电感p 】、可调电容”、谐 振器滤波器、波导、传输线、天线阵列与移相器等。 ( 6 ) 真空微屯子器件：它是m e m s 技术、真空电子和微电子技术相结合的产物。这种技术是 利用微细加工工艺在芯片上制造集成化的微型真空电子器件结构包括场致发射阴极阵列、阳极、 第一章绪论 绝缘层和微腔。由于电子输运是在真空中进行的，因此开关速度极快，有很好的抗辐照能力和温度 特性。目前的器件种类包括场发射显示器、照明器件、微电子传感器等。 由以上的分析可见，m e m s 有着广阔的应用前景，它将成为本世纪重要的科技领域和主要的支 柱技术之一，m e m s 的发展具有很大的市场潜力，将对社会和经济产生重大影响。 徽电子机械系统尺度的缩小集成化程度的提高，会导致工序增多，成本提高。显然，对于一 个如此复杂的系统，如果我们按照传统的制造来验证设计的模式进行研制是不可行的首先，制 造、试验花费时间长费用高；其次，所需测试设备一般都很复杂，价格昂贵：再则，大多数m e m s 器件是非线性的，涉及到复杂的多能量域耦合问题“。因此，这些因素使得人们对m e m s 进行计算 机辅助分析的要求越来越迫切”“。 m e m s 系统建模的目的是使得设计者在设计阶段就能进行整个微系统的器件分析和性能模拟， 对各种参数进行优化，并且能够在制造前检验工艺及掩模的有效性考虑j i 二艺的变化对性能的影响 许多大学利公司已经意识到m e m s 建模与仿真的重要性，纷纷投入这方面的研究，目前已取得 了丰硕的研究成果。如美国c o v e m o r 公司的c o v e a t o r w m - e 软件”，l m e m s e m e 、加州大学伯克利分 校的s u g a r ”以及e t h z 的s o l i d s ”等。 ，m e m s 不像集成电路只涉及单一的电学参数，而是涉及机、电、光、磁、和热等多门学科范 畴，因而m e m s 建模与i c 建模有很大的不同，面l 临更多的困难。总的说来，m e m s 器件遇到的两 大挑战是： 1 与宏观机械的区别 m e m s 结构尺寸的缩小使得其与宏观相比，力的作用效应和材料的性质都发生了变化。随 着尺寸的减小，与尺寸3 次方成比例的力( 如惯性力、电磁力等) 的作用明显减弱；而一些在传统 机械中很少考虑的力，如静电力、表面张力等它们与尺寸的2 次方成比例，随着结构的缩小，其 作用与影响明显增强。同时，由于微机械加工工艺的限制，也使得m e m s 中机械结构与传统机械有 很大不同。另外，由于尺寸的缩小，晶体内部的缺陷减少，材料的强度增加，表现出一些在常规尺 度下不显著的性质和特性。这些材料性质的变化也会对m e m s 的设计过程产生一定的影响。 2 不同能量域的耦合问题 m e m s 器件在儿何空间上是复杂的三维结构，在物理上是各种能量域相互耦合。计算中不仅要 求进行内部的鹫化分析，还要进行结构外部的各种场分析( 如电场、流场等) 。这些分析计算量人， 耗时长，而且要求有较大的计算机内存。因此，建立快速有效的算法是实现m e m s 设计分析工具的 基础。 m e m s 设计主要包括有以下三个设计层次：系统级设计、器件级设计及工艺设计 1 , 2 1系统级设计 系统级设计土要是面向整体系统的，它是从整体系统性能要求山发，将系统性能逐级分解为 m e m s 器什性能和电路性能t 这种方法也被称为白顶而下c t o p - d o w n ) 设计方法。由丁m e m s 器 中卜自身的复杂性，住系统设计中很难进行一致性分析与模拟有必要将m e m s 器什复杂的多能昔域 物理模璀转换为相对简单的动态模型，并将这些动态模型应用于系统级的模拟。 2 东南大学博士论文 1 2 2器件级设计 器件级设计主要是面向器件结构与性能的。由于m e m s 器件所存在的多种能量的耦合，以及 m e m s 器件行为大多是采用偏微分( 或是常微分) 方程表达，因此，分析软件常采用数值的方法( 有 限元f e m 、边界元b e m 或有限差分) 分析器件的性能。目前已有一些软件可以解决部分m e m s 器 件的设计问题，如a n s y s 、i n t e l l i s u i t e 等。但数值分析方法有如下一些缺点： i 计算时间较长占用大量的计算机资源； i i 很难优化器件性能，不适宜做高级的设计和优化； i i i 对于强耦合情况，计算难以收敛； i v 与系统级分析兼容性差。 1 2 3工艺设计 m e m s 技术的发展是随硅机械加工技术的进步而不断发展的，在m e m s 设计过程中就需要解 决工艺设计的问题。m e m s 工艺技术常被称为微米一纳米技术，实际上目前m e m s 涉及的一般是 由毫米到微米尺寸的加工。m e m s 工艺技术包括硅微加工技术、l l g a 技术，超精密加工技术和集 成组装技术等几个方面。其中，硅微加工技术是从硅微电子工艺技术发展而来的，又称为硅基微机 械加工，它是m e m s 技术的主流和发展方向。l i g a 技术和超精密加工技术是独立于硅微加工技术 的新技术，称为非硅基微加工技术。 硅基微加工技术起源于微电子工艺技术，井以微电子工艺技术为其基础和主体。除了i c 鬻用的 薄膜技术、光刻技术、刻蚀技术等外，硅基微加工技术还发展了体微机械加工技术和表面微机械加 工技术。 1 3研究m e m s 设计方法的意义 m e m s 技术是一种典型的多学科交叉的前沿性研究领域，它几乎涉及到自然及工程科学的所有 领域，如电子技术、机械技术、物理学、化学、材料科学等。m e m s 设计方法是指导设计的基本思 想方法，在整个m e m s 系统的设计和优化过程中具有相当重要的作用。对m e m s 器件来说，其工 作过程中包含了多种能量的耦合。例如微传感器把非电信号( 机械、热、磁等) 转变为电信号，而 微执行器则是把电能( 或热能等) 转变为机械动作。由于多能域耦合分析比较困难，因此在分析器 件的性能时一般都用到数值分析的方法( 有限元f e m 、边界元b e m 或有限差分) 。另一方面，数值 分析软件针对的主要是单个m e m s 器件的设计与优化，并不能从整个系统性能出发，对包含m e m s 器件和电路的系统进行性能模拟与考虑。为了优化系统性能，缩短设计周期，进行m e m s 设计方法 的研究尤为重要。 耦合问题是混合能量域器件设计必须解决的一个问题。不同能域之间的耦合往往需要混合技术 的模拟器。现在已有的一些软件如a n s y s 等大都采用数值计算有限元( f e m ) 等方法来解决 能域耦合问题。虽然模拟结果比较精确，但模拟速度很慢，极费时，占用大量的计算机资源，甚至 在某些情况下在有限的时间内还是不可解的：另外，这样的模型对于整个系统级的分析比较凼难， 因为器什级仿真l ：具和系统级仿真工具之间没有比较方便的接口。这就有必要在m e m s 的设计过程 中引入新的设计方法去克服高强度数值计算带来的负面影响。 关于宏模型的设计方法已经有不少研究成果，但不论怎样建立宏模型，都应遵循以下几个基本 要求： i 能准确地仿真原器件的主要特性：宏模型的端口特性与原器件端口特性的差值要在允许的 误差范围之内否则这个宏模型便失去了意义； 第一章绪论 i i 宏模型本身的结构要尽可能简单：建立宏模型的目的是简化原器件，从而节省器件仿真所 用的时间及内存； 缸 建立宏模型的过程要尽可能简化：建立宏模型的过程叉称预分析或预仿真。如果预分析的 工作量过大，会使模型设计周期过长。因此宏模型设计最好能自动生成：用户只要输入原 器件的端口特性指标，由软件自动生成所需要的宏模型；或者宏模型本身就是参数化的模 型。 1 4 本文主要工作 本文主要研究了热一电一机械耦合m e m s 热执行器的基本结构，提取出其节点设计的基本单 元井建立其节点分析模型。考虑到系统级仿真的兼容性和通用性选取s p i c e 作为仿真平台将 节点模型转换为等效电路模型。本文的第二章介绍了m e m s 器件模型的种类，简单介绍了数值模型 井介绍了宏模型的几种基本建立方法着重说明了节点分析方法的研究对象和原理，及其存在的问 题；第三章对目前常见的热执行器作简单介绍，对其分类，井提出了这类热执行器的基本节点分析 单元：锚区单元和梁单元。粱单元包括单层梁单元和双层粱单元，其中单层梁单元又可分为二维粱 单元和三维梁单元；第四章针对第三章所提出的两类基本单元作较深入的研究，提出锚区单元和 几种梁单元的节点分析模型。其中梁单元的热一电耦合模型的多种建立方法均为首次提出，双层粱 单元的热一机械耦合模型也为首次提出。然后对于热执行器中对其行为影响较大的效应，如非共轴 轴梁的连接、深梁问题、有效轴向长度变化、大轴向应力以及不同层连接提出了各自的模型：第五 章首先阐述了m e m s 器件的等效电路模型的一般建立方法，然后建立了第四章提出的各个模型的等 效电路：第六章以几种常见的热执行器为例，使用电路仿真工具s p i 对这些热执行器进行仿真和 验证：第七章对全文加以总结。 4 东南大学博士论文 第二章m e m s 器件的分析设计方法 目前m e m s 器件分析设计方法的主要方法为通用数值分析方法和各类宏模型的建立方法。其中 常用的数值仿真方法包括有限元法( f e m ) 和边界元法( b e m ) 。这一类数值计算方法精度较高， 通用性强，但是建模较为繁复，而且计算过程需要消耗较多的计算资源。虽然建立宏模型的方法相 对于有限元法和边界元法精度有所下降，但由此带来的对建模过程的简化和计算速度的提高使其在 m e m s 分析仿真领域仍有着较强的优势，更重要的是所建立的宏模型可以很方便的用于系统级仿真。 m e m s 器件的分析和设计是两个非常重要的方面，设计在一定程度上是依赖于分析的手段的， 在设计过程的设计一修改一验证这个循环中，分析占到很大的分量，往往需要重复多次，这就对分 析的效率提出了较高的要求，所以本文主要介绍分析方法。如果在设计中使用数值方法，必然就会 使m e m s 的设计成为一种白底向上( b o o m - u p ) 的过程，这需要设计者有丰富的m e m s 设计经验。 如果使用系统级的m e m s 器件整体宏模型虽然提高了分析的效率，但是仍然不能实现自项向下 ( t o p - d o w n ) 的设计，唯有引入积木化的设计分析方式，才能实现这一设计理念，节点分析设计方 法正是基于这样的思想。本文首先介绍了m e m s 的数值分析方法，然后介绍器件整体宏模型的构建 方法，最后引入节点分析方法，以基本单元节点分析模型组合成可用于系统级分析的器件宏模型。 2 1 数值分析方法 数值分析方法是一种较低层次的仿真方法，这类分析方法和具体的物理问题一般没有太大的联 系，仅仅从物理问题的数学描述出发，去解决一些没有解析解或者使用解析的方法求解困难的复杂 方程。这类方法为了能够降低原来理论上无限大的计算量，首先在时间或者空间上将关心的域分解 成为比较小的单元组成的部分，以便于使用具有有限存储空间的计算机分析计算。这类的仿真方法 包括：有限差分法、有限元法和边界元法等。然而因为分解产生的方程依然数目庞大，所以又引入 了一些降低计算规模的方法，称为降阶方法，这些方法或利用数学原理、或利用物理性质来降低方 程的数量，从而提高计算效率。 2 1 1有限差分方法 有限差分法的基本思想是用离散的，只含有限个未知数的差分方程( 线性代数方程组) 去近似 代替连续变量的微分方程及边界条件，并把相应的差分方程的解作为微分方程的近似解。差分方法 的主要问题是：构造近似代替定解问题的差分方程，即建立差分格式问题；用差分方程的解近似微 分方程的解时，产生了误差，需要进行误差估计及讨论差分解的收敛性问题；当初值具有误差时， 需要讨论它对以后各步解的影响的大小，即稳定性问题。 有限差分方法首先要对关心的时域或空域进行网格划分，一般使用矩形网格，以一维问题为例， 假设使用均匀网格划分网格大小为h 。设方程中的未知量g ( x ) 在区间【而一 ，而十 】上具有所需 要的连续函数，利用泰勒展开可得： g ( 而) = 去 g ( 而+ ) 一g ( ) 一号g ( 毒) ( 而 毒 而十| i ，) ( 2 1 ) g ( 而) = 圭 g ( 而) 一g ( 知一 ) + 鲁g ( 磊) ( 而一 岛 而) ( 2 2 ) g c 而，= 去 g ( + 兰) 一g ( 而一兰) + 西h 2g 。c 磊，( 一尝 蠡 而+ 宝) g 挪 第二章m e m s 器件的分析设计方法 g ( 而) = 却g ( 而+ ) - 2 9 ( ) + g ( z o - h ) 卜鲁州) ( x o - h 毒 而+ ) ( 2 4 ) g ( 而) = 缸g ( 而+ 1 1 ) 一g ( x o - h ) - 等g ( 磊) ( 而一 磊 而+ | i f ) ( 2 5 ) 更高阶微分的差分表示依此类推，将这些差分形式代入到原方程中就可以得到方程的差分形式，这 些形式可以直接用于计算机。当然还有很多实际的问题，详见文献忆 2 1 2有限单元法 有限元法是基于变分原理的里兹( r i t z ) 法的另一种形式，它是处理连续介质闷愿的一种普遗方 法讨论一个连续介质问题的。变分原理”首先要建立一个标量泛函n ，它由积分形式确定【2 j ntf f ( 口，詈皿2 + e ( “，：c ： u ，) d r ( 2 6 ) 6 假 f 以 其中u 是未知函数，f 和e 是特定的算子q 是求解域，r 是q 的边界。n 称为未知函数u 的泛函随函数u 的变化而变化。连续介质问题的解”使泛函n 对于微小的变化西取驻值，即泛函 的。变分等于零： 扣= 0 ( 2 7 ) 这种求得连续介质问题的解答的方法称为变分原理或变分法。变分问题的主要困难是在无穷维 空间上求泛函的极值。有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方 式相互连接在一起的单元的组合体”j 。利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域 上待求的位置场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各个节点的数值和其 插值函数来表达。这样一来，一个问题的有限元分析中，未知场函数或其导数在各个节点上的数值 就成为新的未知量( 也即自由度) ，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。 一经求解出这些未知量就可以通过插值函数计算山各个单元的场函数近似值，从而得到整个求解 域上的近似解。显然，随着单元数目的增加也即单元尺寸的缩小，或者陆着单元自由度的增加及 插值函数精度的提高。解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛 于精确解。 m e m s 器r i ：通常包含了多个能量域的耦合，如电、机械、热、光和磁等。在不同的能量域，都 有现成的求解器对于求不同能鼙域的耦合问题，只要利用这些求解器进行反复迭代就可以了。对 涉及m 个能量域的m e m s 器引：的准静态耦台分析需要求解下列方程组”j ： ( 工1 ，工r f ，工，工h l ，。j 。) = 0 ( 2 8 j 这是第，个能量域满足的方程其中x i 表示网格化后第，个能量域所要求的未知向量。虽然就 每一个能封域而言，通常都存在现成的求解x ，的一j ：凡软什但单一领域的求解l 具无法求出同时满 足上述m 个方样的所有置( ，= 1 , 2 ，m ) 。有多种方法可以求解上述方群组t 如松弛法和牛顿法等。 对m e m s 器r i 进行有限元分析包括对器件进行网格划分求解偏微分方榨。计算颦取决丁对器件划 分的疏密程度。随着器件越来越复杂需划分的单元越米越多。进行动态分析时，计算i t , t l 司将变得 无法忍受。 6 东南大学博士论文 2 1 3边界元法 边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。又称边界积分方 程边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数 方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度 数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状最终得到阶数 较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具 有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如 应力集中问题或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。 由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无 限域以及半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提， 对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代 数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题，由于在方程中 会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。 2 1 4 降阶方法 由有限元、有限差分以及边界元等方法产生的网格数目非常大，使用计算机仿真会消耗较多的 计算资源和计算时间，这在很多情况下是无法忍受的。而且，这种方法无法和系统级仿真工具实现 无缝集成。为了减小计算量，缩短计算时间和实现系统级的仿真引入了模型降阶的方法。这种方 法能够在保证一定精度的前提下，显著的降低计算量。降阶的方法很多，包括：奇异值分解法，平 衡实现法( b a l a n c e dr e a l i z a t i o n s ) 、成本等价实现法( c o s t - e q u i v a l e n tr e a l i z a t i o n s ) 、斜投影法( o b l i q u e p r o j e c t i o n ) 、s c h u r 分解法、渐进波形等效法( a w e ) 等等h 。 以一种简单的模态叠加方法为例，不考虑阻尼的影响，有限元产生的半离散矩阵方程如下式所 示1 4 】： m d + 尉= f ( 2 9 ) 其中矩阵m 和石都是是对称矩阵，式( 2 9 ) 所对应的特征值问题为： ( 一a r m ) # t = 0， 1 ，2 3 ，月( 2 1 0 ) 其中丑为特征值或者极点，舜为其对应的特征向量。假定0 丑 五 五 0 的项积分之后全部都为零，只 剩下一= 0 的项，即有关温度的积分项是有限项，其在理论上是没有误差的。 由式( 4 5 7 ) ，( 4 5 9 ) 和式( 4 6 5 ) ，可以将热一电耦合梁单元分为两个子单元： a )集总子单元：即叫t ) ，此子单元可以视作简单的热阻，由式( 4 6 3 ) 和式( 4 6 4 ) 可得其总阻 值r = 士，分为相等的两部分，分别位于粱的左节点和右节点 t w b b )分布子单元：和上一模型的分类不同，此模型的分布子单元的划分并非按照n 的奇偶性，而是 根据n 是否为0 来划分。 i n = 0 ，此类子单元的描述如式( 4 5 7 ) 所示，此式的右端包含电流项，可以看作温度分布的 形成是由电流产生的焦耳热和传热因素形成的。此类子单元能够产生热膨胀。 j in 0 ，此类子单元的描述如式( 4 5 9 ) 所示，此式的右端不含电流项，可以看作其温度分布 的形成仅仅由传热因素决定。此类子单元对于热膨胀没有贡献。 考虑联系梁两端所加电压和梁中流过电流的欧姆定律，综合( 4 5 7 ) 、( 4 5 9 ) 、( 4 6 3 ) 、( 4 6 4 ) ， 即可建立热电耦合一维传热粱的节点方程，每个节点的a c r o s s 量包括节点电压和节点温度，t h r o u g h 量包括电流和热流量。由于温度为式( 4 6 2 ) 中各阶的热流量之和，而在各阶方程中使用相同的节点 热流量，很显然，各阶之间的连接方式应该为串联。 4 2 1 4 用复合边界条件构建热一电耦合模型 用n e u m a n n 边界条件构建的模型可以改善因为边界不连续造成的误差，因而同时也降低了构建 模型所需的阶数，但是其所需的方程仍然在5 至7 个，而且模型的收敛性不够好，这就需要进一步 改进这个模型，尽量减少模型的阶数。有了d i r i c h l e t 边界条件构建的模型和n e u m m m 条件构建的模 型，可以考虑融合这两种模型，同时使用这两个边界条件，这时方程的边界条什表示为： t l 。= 石“) t k = t 2 ( t ) t k = r l , ( t ) r l “= 仉( r ) 使用以上条件，利用插值的方法可以写出( 4 2 9 ) 式中的叫毛f ) 的形式如下所示： 叫毛f ) = 三1 1 1 1 1 ；：墨盟+ 互! ! ! ；型) z 】一 三【! ! ! ! ；：墨盟+ ! ! ! l ! ! ! ；! 趔 x 2 + r l , ( t ) x + 五( f ) ( 4 鳓 ( 4 6 7 ) 第四章热一电一机槭耦台基本单元的节点模型 4 2 14 1 定参数线性问题 首先考虑简单的线性问题，即粱的材料参数不随温度变化。将t ( x ，t ) 的表达式代入到方程( 4 2 1 ) 中，可得： 专v ，( x , t ) 一( 毛1 ) = v f ) 一毒w ，o 1 ) + w n c x , t 卜 “毛1 ) + 产o ) ，i 札6 8 ) 将此方程作为关于v ( x , t ) 的偏微分方程则方程的边界条件变为： “j ，f ) j - 0 h 而7 ) k o “瑚) v y z ，t ) k 1 0 v g x ，f ) k - 0 同样对v ( x ，f ) 和武r ) 在z 方向上作周期性偶延拓- 利用n e t r n 嘣n a 条件模型推导过程中已有的结果，峨力 的形式应该是： 嵋毛f ) t 宝c - ( r ) c o s 竿 但是因为州j ，t ) 同时还满足d