（应用数学专业论文）一类四阶拟线性微分方程最终正值解的存在性.pdf

摘要 本文主要研究的是一类四阶拟线性微分方程 p ( ) m a - - l u l l l ) 7 + q ( t ) l u l n = 0 ， 其中o t 0 ，卢 0 p ( ) ，q ( t ) 是定义在区间【n ，o o ) 上的连续函数并且当t a 时有 p ( t ) 0 ，q ( t ) 0 本文给出了方程满足 f ( 高) v “出= o 。 时特殊的最终正值解存在的充要条件 关键词：非振动解；最终正值解；s c h a u d e r - t y c h o n o f f 不动点定理 i i a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t hn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so ft h ef o u r t ho r d e rq u a s i l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 0 ( t ) i i ”1 ) + q ( o i u l 4 - 1 札= 0 ， w h e r eo 0 ，卢 0 ，v ( t ) a n dq ( t ) a r ec o n t i n u o u sf u n c t i o n so na ni n f i n i t ei n t e r v a lt n ，s a t i s f y i n gp ( t ) 0 ，q ( t ) o ( t 口) ，a n dn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n ti n t e g r a lc o n d i t i o n sa r e e s t a b l i s h e df o rt h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sh a m n g s p e c i f i ca s y m p t o t i cg r o w t h s a st + o 。w h e nt h ee q u a t i o ns a t i s f i f ( 高) v 4 出一 k e yw o r d s ：n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n ；e v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n ；s c h a u d e r - t y c h o n o f f f i x e dp o i n tt h e o r e m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 堑耋硷日期：型2 1 麦12 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：锰袭诊 指导教师签名： 日 期：舭 日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 秽 1 i n t r o d u c t i o n i nt h i sp a p e rw ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ef o u r t ho r d e rq u a s i l i n e a rs c a l a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( p ( t ) l u m l 。一1 1 7 + g ( t ) i u p l 让= 。 ( 1 1 ) u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a t 口a n d 卢a r ep o s i t i v ec o n s t a n t s ，p ( t ) a n dq ( t ) a r ec o n t i n u o u s f u n c t i o n so na ni n f i n i t ei n t e r v a l a ，o o ) ，a 0 ，a n ds a t i s f yt h ec o n d i t i o np ( t ) 0a n d q ( t ) 0 ( t n ) f o rt h ef u n c t i o np ( t ) w ea s s n n l em o r e o v e rt h a t f ( 高) v 。疵一 ( 1 z ) b yas o l u t i o no f ( 1 1 ) w em e a nar e a l - v a l u e df u n c t i o n 钍( t ) s u c ht h a t c 3 陋，o o ) a n dp f t i 。一1 t 【6 ，。o ) a n du ( t ) s a t i s f i e s ( 1 1 ) a te v e r yp o i n to f 【b ，c o ) ，w h e r eb a a n dbm a yd e p e n do nu ( t ) s u c has o l u t i o nu ( t ) o f ( 1 1 ) i sc a l l e dn o n o s o c i l l a t o r yi fu ( t ) i se v e n t u a l l yp o s i t i v eo re v e n t u a l l yn e g a t i v e as o l u t i o nu ( t ) o f ( 1 1 ) i sc a l l e do s c i l l a t o r y i fi th a sa ni n f i n i t es e q u e n c eo fz e r o sc l u s t e r i n ga tt = o 。e q u a t i o n ( 1 1 ) i t s e l fi sc a l l e d o s c i l l a t o r yi fa l ls o l u t i o n sa r ea s c i l l a t o r y t h em a i no b j e c t i v eo ft h i sp a p e ri s t oi n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t o r ya n dn o n o s c i l l a t o r y b e h a v i o ro fs o l u t i o n so f ( 1 1 ) as i m i l a rp r o b l e mh a sb e e ns t u d i e di nf a i rd e t a i lf o rt h e f o u r t ho r d e rq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p ( ) i r 1 ) + q ( t ) i u l 肛1 = o ， ( 1 3 ) w h e r en 0 ，卢 0 ，p ( t ) a n dq ( t ) a r ec o n t i n u o u sf u n c t i o n so n a ，o o ) s a t i s f y i n gp ( t ) 0 a n dq ( t ) o ( t2n ) w eg i v eab r i e fs u m m a r yo fs o m ei m p o r t a n tr e s u l t sf o rt h ef o u r t h o r d e re q u a t i o n ( 1 3 ) u n d e rt h ec o n d i t i o n f ( 嘉) q 。班一 ( 1 a ) o r ，m o r es t r o n g l y , f 赤薪出= m 肌af ( 嘉) “。础2 o 。 ( 1 s ) t h er e s u l t sb e l o wa r ef o u n di nt h ep a p e r so fa e l b e r t 1 ，f w u 9 ，1 0 ，m n a t i oa n df w u 【1 l 】 u n d e rt h ec o n d i t i o n p以 上丽5 0 。 1 ( 1 6 ) h o l d s ，t h e nt h ef o u rf u n c t i o n s ，t - - s 萨，a n af ( t - s ) ( 南) v 。如 p l a yas p e c i a lr o l ei nt h es e to fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so f ( 1 3 ) ， l e m m a1 1 s u p p o s et h a t ( 1 5 ) h o l d s ，巧u ( t ) i sa ne v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 3 ) ，t h e no n eo ，t h ey o l l o w i n gc a s e sh o l d s ： 咏) 0 ，( ) 0 ，( p ( t ) l u ”( ) i ”1 “”( ) ) 7 0f o r a l ll a r g et ； ( 1 7 ) “) 0 ，( t ) 0f o ra l ll a r g et ( 1 8 ) b ya b o v el e m m a ，w eh a v et h eb e l o wy o u rs p e c i a ls o l u t i o n s ： ( i ) 可as o l u t i o nu ( t ) i nt h es e to fa l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so l ( 1 3 ) ，w h i c h s a t i s f i e s 熙了j 笋忑矿：o 七 o 。， ( 1 9 ) 熙万砑出0 “一 u 。9 t h e ni tc a nb er e g a r d e d0 , 8a m a x i m a l ”s o l u t i o n ( i i ) yas o l u t i o nu ( t ) i nt h es e to fa l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so l ( 1 3 ) ，w h i c h 舰荣咄o k o o , ( 1 1 0 ) t h e ni tc a nb er e g a r d e da 8a m i n i m a l ”s o l u t i o ni nt h es e to fa l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u 以o n s w h i c hs a t i s f y ( 1 7 ) ( i i i ) 巧as o l u t i o nu ( t ) i nt h es e to fa l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so y ( 1 3 ) ，w h i c h h m 塑：尼，o 七 o o ，( 1 1 1 ) t 一t t h e ni tc a nkr e g a r d e da sa m a x i m a l ”s o l u t i o ni nt h es e to fa l le v e n t u a l l yp o s i 挽v es o l u 托o n s w h i c hs a t i s f y ( 1 8 ) ， ( i v ) 巧as o l u t i o nn ( t ) i nt h es e t 巧a l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so y ( 1 3 ) ，w h i c h s a t i s f i e s “l i m 。u ( t ) = k ，0 k ， ( 1 1 2 ) t h e ni tc a nb er e g a r d e d0 8a m i n i m a l ”s o l u t i o n t h e r e f o r ew eh a v et h eb e l o wt h e o r e m s ： 2 。1 。i h r e m1 l 睡】p 。s e ( 1 4 ) 。地a t l e 。b 鼬口何口馆ds t 颂c 锄l t 行出挽口竹f o r ( 1 3 ) 幻 伽on 帅o s c i l l a t o r ys o l u t i o nu ( t ) w h i c hs 碱啦e s ( 1 9 ) i st h a t 7 z 0 。稚，( r c h ) ( 高) v “幽) 4 出 o 。 m1 ： 跏卿e ( 1 6 ) 。协4 佗蝴a 憎删s u f f i c i e 耐c d l 嘲。nf o r ( 1 3 ) 抽 矗钾口咒伽蒯如如付s d 如饿o t 毫u o ) w h i c hs a t i s l i e s ( 1 7 ) a n d ( 1 l o ) i st h 耐 。 。t q ( t ) ( r 赫幽) 4 出 。：t h e 0 。8 m1 3 跚，p o s e ( 1 6 ) 。胁a 加燃赠。砌s 颂c 搪耐n d i t i o n o r ( 1 3 ) 如 口口8 口n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n “( ) w h i c hs a t i s f i e s ( 1 8 ) a n d ( 1 1 1 ) 诂矾以 。 7 。z ”( 州矿g ( 8 ) a s ) 讹出 0f o rt t b y ( 2 2 ) ，p ( t ) l u “( ) i 。一1 钍0 ) i sd e c r e a s i n go i li t , o 。) a s s u m et h a t ( ) i 。：如 0 f o rs o m e t o t w e h a v e p ( ) i 让( ) i 。一1 t ，( t ) p ( ) i u ( t ) l 。- l u ( t ) l 。确e 一句 0 ，亡o t h e r e f o r e 让0 ) 0 ，( t ) 0 ，( t ) 0 ，d ra l l l a r g e t ； ( t ) 0 ，( t ) 0f o ra l l l a r g e t ( 2 5 ) ( 2 6 ) p r o o f b yl e m m a2 ，1 ，u m ( t ) 0f o ra l ll a r g et ，a n dh e n c e ( ) i se v e n t u a l l y i n c r e a s i n g w eh a v et h et w op o s s i b i l i t i e s ：矿( t ) 0f o ra l ll a r g eto ru ”( t ) 0f o ra l ll a r g et t h e r ei st os u c ht h a t ( t ) 0 ，( t ) 0 ，t 正s o ( t ) i s i n c r e a s i n g f o r t t t h e n “”( ) u t t ( t ) = ，e l 0 ，t t i n t e g r a t i n g ( 2 7 ) f r o mtt ot ，w eh a v e u t ( ) 钍，( t ) + e 1 0 t ) ，t z ( 2 7 ) t h e ni tf o u o w sf r o ma b o v ei n e q u a l i t yt h a t ( t ) _ o oa st _ o 。，a n dc o n s e q u e n t l y “他) 0 f o ra l ll a r g et t h u sw eh a 品t h ee a s e ( 2 5 ) s u p p o s en e x tt h a tu t t 0f o ra l ll a r g et a _ 8 s l l m et ot h ec o n t r a r yt h a tt 邻) 0f o ra l ll a r g et t h e r ei st o a s a t i s f y i n gu ( t o ) 0s u c ht h a t u ( ”s h r 。一s ) 2 ( 高) v 。眠f o r a l l l 盯g e t ( 2 8 ) 5 i nf a c t ，i f ) 0 i f ( t ) 0s i n c e ( 1 2 ) i m p l i e s 恕f t ( t 掣j1 x , 1 ：熙z t ( t - s ) ( p - b ) 蜘虻。 s u p p o s et h a tb o t h 俅) a n d ( ) a r ee v e n t u a n yp o s i t i v e b yl e m m a 2 1 w eh a v e z ( 力 0e v e n t u a l l y t a k ean u m b e rt as u c ht h a t “( ) 0 ，乱7 ( f ) 0 ，乱”( f ) 0a n d 札胛( t ) 0f o rt t b y ( 2 2 ) ，p ( ) i u ”( ) 。一1 胛0 ) i sd e c r e a s i n go n 正o 。) t h e r e f o r e p ( t ) b “ ) i 。1 “( t ) sp ( ) i ”o ) i 。一1 ( t ) l b r = 印( o ) ， 8 0 w eh a v e ，( t ) ( 蠢) “。，t 独 ( 2 9 ) i n t e g r a t i n g ( 2 9 ) t h r e et i m e s ，w eo b t a i n 吣) s “( r ) “( 吲t 卅+ 华( ) 。 + 鲨2 i 厂t 妒( 高) 珈慨 t h e ni ti se a s yt 。v e r i f yt h a ta b o v ei n e q u a l i t yi m p l i e s ( 2 8 ) w i t hk 1 警 0 t h u s ，i f ( 1 2 ) h o l d sa n d i fu ( t ) i sa l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 1 ) ，t h e n ( 2 8 ) h o l d sf o rs o m e c o n s t a n tk l 0 w eo b s e r v eb y ( 2 8 ) t h a t ，i nt h es e to fa l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 1 ) ，a s o l u t i o nu ( t ) w h i c hs a t i s f i e s 熙赢吐一， ( 2 1 0 ) c a nb er e g a r d e da sa “m a x i m a l ”s o l u t i o n s u p p o s et h a t ( 1 2 ) h o l d s ，a n dl e t “ ) b ea ne v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 1 ) w h i c h s a t i s f i e s ( 2 5 ) s ot h e r ei st2as u c ht h a t ( t ) o ，u ”( t ) o ，胛( t ) 0 ，t t t h e r e f o r e ( t ) i si n c r e a s i n go n lo 。) ，a n dw eh a v e “”g ) t ”( t ) = c l 0 i n t e g r a t i n g ( 2 1 1 ) f r o mtt otr e p e a t e d l y , w eh a v e ( ) 2 珏( 丁) + u ( ? ) + ( 一卵2 6 ( 2 1 1 ) s o t h e r e i s 如 0 ，噩 ts u c ht h a t “( t ) t 2 ，t 丑 ( 2 1 2 ) w eo b s e r v eb y ( 2 1 2 ) t h a t ，i nt h es e to fa l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 1 ) ，a s o l u t i o nu ( ) w h i c hs a t i s f i e s 规警咄o 0 ) i n t e g r a t i n gt h i si n e q u a l i t yf r o mt t ot , w eg e t u ( t ) u ( t ) + 饧 一t ) s o t h e r e i s 0 ，孔 ts u c h t h a t u ( t ) t ，t 而( 2 1 4 ) w eo b s e r v eb y ( 2 1 4 ) t h a t ，i nt h es e to fa l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 1 ) ，a s o l u t i o nu ( t ) w h i c hs a t i s f i e s 恕华咄o 0s u c ht h a tu ( t ) f o ra l ll a r g et t h u sas o l u t i o nu ( t ) o f ( 1 1 ) s a t i s f y i n g 规u ( t ) = k ，0 后 o o ， ( 2 1 6 ) c a nh er e g a r d e d 嬲8 。m i n i m a l ”s o l u t i o ni nt h es e to fa l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 1 ) 7 3 e x i s t e n c eo fs p e c i f i cn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s t h i ss e c t i o ni sd e v o t e dt ot h es t u d yo fe x i s t e n c eo fs p e c i f i cn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so f ( 1 1 ) i nt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ，w ee s t a b l i s hn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e e x i s t e n c eo fs p e c i a lt y p e so fn o n o s c i u a t o r ys o l u t i o n s t h e o r e m3 1 s u p p o s e ( 1 2 ) h o l d s an e c e s s a r ya n ds 明i c i e n tc o n d i t i o n 如r ( 1 1 ) t oh a v ean o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nu ( t ) w h i c hs a t i s f i e s ( 2 1 0 ) st h a t z 。妒) ( r ( h ) 2 i 而ij l a d s a d t m ， ( 3 1 ) p r o o f ( n e c e s s i t y ) l e tu ( t ) b ean o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no f 【1 l js a t i s f y i n g 瞄1 0 ) t h e n t h e r e i s t as u c h t h a t ；r ( ) 2 ( 高) v 。d s 邮) 2 m r ( ) 2 ( 丽1 ) v “d s 以 i n t e g r a t i n g ( 1 1 ) f r o mtt ot ，a n du s i n gl e m m a 2 1 ，w eh a v e p ( t ) l “( t ) l “”( ) b fq ( s ) 【u ( s ) 】4 幽 2 ( ；) 4 知，( r ( ) 2 ( 高) v 。咖) 8 旭哪 t h i sv i e l d s f 如) ( r c ，2 ( 高) 吖“d r ) 4 幽 0 b ea l la r b i t r a r yn u m b e r t h e r e i s t 2as u c h t h a t f 犯，( r 生( 高) v 。a s ) 4 出 0s u c ht h a tl r ( t ) i mf o rt mp t h e n ，a p p l y i n g t h el e b e s g u ec o n v e r g e n c et h e o r e m ，w eh a v e 舰f + ( t * - 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