（固体力学专业论文）建筑结构主动控制模型降阶方法研究.pdf

河海大学硕士学位论文 摘要 我国处于地震多发地带，对高层建筑结构进行振动主动控制可以有效地减轻 地震灾害的影响。高层建筑结构往往具有较大的自由度，如果直接进行控制器设 计，不但成本高、设计复杂，而且计算量大，不便于控制系统的实时实现。为了 简化控制器的设计及减少计算量，模型必须进行降阶处理。控制系统的模型降阶 方法有别于常规的模型降阶方法，在降阶过程中须考虑系统的控制效果，目前研 究较少。本文将以八层建筑结构为研究对象，研究内容包括传统模型降阶方法、 线性控制系统模型降阶方法。此外还介绍了非线性控制系统模型降阶方法。具体 内容包括： 1 1 、介绍传统的模型降阶方法、控制系统相关的线性、非线性模型降阶方法 的研究现状。 、介绍了m a t l a b 软件及s i m u l i n k 仿真模块，最优控制算法的实现过程， 建立了一个八层的建筑模型并给出了控制的仿真结果。 3 1 、论述了传统模型降阶方法中具有典型意义的集结法、i r s 法、i i r s 法、 时间矩匹配法、正规摄动法和r o u t h 近似法的降阶过程。 们、分析了目前在控制系统中采用的模型降阶方法的降阶过程。 5 1 、以集结法、i r s 法、i i r s 法、平衡降阶方法和代价分析法为例，编制了 八层的建筑模型的降阶程序。在分析各种降阶方法特点的基础上，本文提出了控 制效率这个新的评价指标，并通过控制效率、可靠性和可控度对这五种降阶方法 进行了分析和比较。 、介绍了非线性控制模型降阶方法的降阶过程，并以一个八层非线性建筑 模型为例说明基于经验可控性可观性格拉姆矩阵的平衡降阶方法的具体实现过 程。 n 、总结和展望，对本文工作做了总结，并对以后需要研究的工作提出了自 己的见解。 关键词：建筑结构；控制系统；模型降阶：可控度；可靠性；控制效率 英文摘要 a b s t r a c t o u rc o u n t r yi si na ne a r t h q u a k e - p r o n ez o n e a c t i v ev i b r a t i o nc o n t r o lf o rt h e h i g l l l e v e ls t r u c t u r ei sa l le f f e c t i v ew a yt or e d u c et h ei m p a c to ft h ee a r t h q u a k ed i s a s t e r t a l l b u i l d i n g so f t e nh a v eh i 曲d e g r e e - o f - f r e e d o m ( d o f ) ，a n dd i r e c tc o n t r o l l e rd e s i g n w i l lp r o d u c e sh i g hc o s t ，c o m p l i c a t e dd e s i g na n dg r e a t e rc a l c u l a t i o ne f f o r t ，m e a n w h i l e ， i ti sn o te a s yt or e a l i z ear e a l - t i m es y s t e mc o n t r 0 1 t os i m p l i f yt h ec o n t r o l l e rd e s i g n a n dr e d u c ec a l c u l a t i o ne f f o r t ，t h em o d e lm u s tb er e d u c e d c o n t r o ls y s t e mm o d e l r e d u c t i o nm e t h o di sd i f f e r e n tf r o mt h ec o n v e n t i o n a lm o d e lr e d u c t i o nw a y , b e 伽s ei t i sn e c e s s a r yt oc o n s i d e rt h ee f f e c to ft h ec o n t r o ls y s t e m ，a n di ss t u d i e ds e l d o ma t p r e s e n t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，ae i g h t s t o r e yb u i l d i n gi su s e da sr e s e a r c ho b j e c t ，a n d r e s e a r c hc o n t e n ti n c l u d i n gt r a d i t i o n a lm o d e lr e d u c t i o n , l i n e a rc o n t r o ls y s t e mm o d e l r e d u c t i o nm e t h o d h e r e ，t h en o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e mm o d e lr e d u c t i o nm e t h o di sa l s o i n t r o d u c e d m a i nc o n t e n ta r eg i v e na sf o l l o w s ： 1 ) 、i n t r o d u c i n gt h e r e s e a r c hs t a t u so ft r a d i t i o n a l ，c o n t r o l r e l a t e dl i n e a ra n d n o n 1 i n e a rm o d e lr e d u c t i o nm e t h o d s 2 ) 、i n t r o d u c i n gm a t l a bs o f t w a r ea n ds i m u l i n kb l o c k ，t h er e a l i z a t i o np r o c e d u r e o ft h eo p t i m a lc o n t r o la l g o r i t h m e s t a b l i s h i n ga8 - s t o r e yb u i l d i n gm o d e l ，a n dg i v i n g c o r r e s p o n d i n gs i m u l a t i o nc o n t r o lr e s u l t s 3 、d i s c u s s i n gt h em o d e lr e d u c t i o np r o c e s so ft h et y p i c a l l yt r a d i t i o n a lm o d e l r e d u c t i o nw a y s ，s u c ha si r s ，i i r s ，t i m em a t c h i n gm o m e n t ，r e g u l a rp e r t u r b a t i o n , r o u t ha p p r o x i m a t i o na l g o r i t h m s 钔、a n a l y z i n gt h em o d e lr e d u c t i o np r o c e s so ft h ep r e s e n tm o d e lr e d u c t i o n m e t h o d su s e di nc o n t r o ls y s t e m 5 1 、t a k i n gt h eg u y a nr e d u c t i o n ，i r s ，i i r s ，b a l a n c i n gr e d u c t i o na sw e l la sc o s t a n a l y s i sa l g o r i t h m s a se x a m p l e s ，c o m p i l i n g8 - s t o r e yb u i l d i n gm o d e lr e d u c t i o n p r o g r a m s b a s e do na n a l y s i so fa b o v e - m e n t i o n e dm o d e lr e d u c t i o na l g o r i t h m s ，i nt h e d i s s e r t a t i o n ，an e we v a l u a t i o ni n d e x c o n t r o le f f i c i e n c yi ss u g g e s t e d ，a n db yt h e i n d e x ，a sw e l la sr e l i a b i l i t ya n dc o n t r o l l a b i l i t y , a l lf i v em o d e lr e d u c t i o nm e t h o d sa r e a n a l y z e da n dc o m p a r e d 6 ) 、 i n t r o d u c i n gt h er e d u c t i o np r o c e s s e so fn o n l i n e a rm o d e lc o n t r o ls y s t e m ，a n d b a s e do ne x p i r i c a lc o n t r o l l a b i l i t y o b s e r v a t i o ng r a m i a n sm a t r i c e s ，a8 - s t o r e yn o n l i n e a r 2 翌塑查兰堡主兰垒望塞 b u i l d i n gm o d e l i sd e m o n s t r a t e d 7 ) 、i nt h el a s t ，t h er e v i e wa n do u t l o o kg i v e sas u m m a r i z a t i o no f t h i sd i s s e r t a t i o n a n dp e r s o n a lo p i n i o no ff u t u r er e s e a r c hd i r e c t i o n k e y w o r d s ：b u i l d i n gs t r u c t u r e s ；c o n t r o ls y s t e m s ；m o d e lr e d u c t i o n ；c o n t r o l l a b i l i t y d e g r e e ；r e l i a b i l i t y ；c o n t r o le f f i c i e n c y 3 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 敝储( 签触警屹一唧细乒日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期 刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电 子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允 许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河 海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： 泸6 。 日 河海犬学硕士学位论文 1 1引言 第一章绪论 地震突然爆发出来的强大能量，可以在瞬问摧毁人们的美好家园，是人民的 生命财产蒙受巨大损失，影响可持续发展战略的顺利展开，也使许多人在心理上 产生难以抹去的阴影1 1 1 。从它造成的人员伤亡数量之多、社会影响之大来看，在 威胁人类的种种自然灾害中，地震灾害无疑是群害之首。地震中建筑物的大量破 坏与倒塌，是造成地震灾害的直接原因。我国是世界上地震灾害最严重的国家之 一，全国约4 5 0 个城市中，位于地震区的占7 4 5 ，约有一半的城市位于基本烈 度7 度和7 度以上地区1 2 j 。因此，对建筑结构进行振动控制，对有效地减轻地震 灾害有重要的现实意义。 振动控制的任务就是通过一定的手段使受控对象的振动水平满足人们的预 定要求1 3 】。按不同性质的振动区分，振动控制包括动力响应的控制与动稳定性的 控制1 4 l o 按是否能源区分，振动控制可分为无源控制与有源控制，前者又称为被 动控制，后者又称为主动控制例。 振动被动控制由于不需要外界能源，装置结构较简单，易于实现，经济性与 可靠性好，在许多场合下减振效果满意，已广泛地在各工程领域中得到应用。但 随着科学技术的发展，以及人们对振动环境、对产品与结构振动特性越来越高的 要求，振动被动控制的局限性就暴露出来了，难以满足人们的要求。如无阻尼动 力吸振器对频率不变或变化很小的简谐外挠激起的振动能进行有效的抑制，但它 不适用于频率变化较大的简谐外挠激情况；另外其吸振器质量块的重量代价与振 幅限制也是妨碍这类吸振器更广泛应用的原因，等等。因此，人们除在振动被动 控制的研究领域继续探讨更为有效的减振方案外，又进一步寻求新的振动控制方 法。主动控制技术由于具有效果好、适应性强等潜在的优越性，很自然地成为一 条重要的新途径【6 l 。 受控对象尤其是大柔性结构，往往具有很高的阶数，如果直接进行控制的话， 控制器成本随着受控对象阶数增高成几何增加；例如，一座八层建筑物，在只考 虑层间结构响应时，其状态变量有十六个，若按全状态设计控制器将十分复杂。 另一方面，受控对象具有很高的阶数会导致控制器设计的复杂性显著提高，也会 出现控制效果难以实现这样的问题。所有这些都导致直接在高阶系统上进行控制 器设计的困难，因此通常希望采用低阶模型来代替原受控对象的模型，以减少设 计计算量、简化控制器结构并便于控制算法的实时实现。这种从高阶模型获取低 阶模型的过程称为模型降阶。现今，传统降阶方法的研究已经比较成熟，比如集 结法、i r s 法、迭代i r s 法、摄动法、时间距匹配法等都得到了很大的运用和发 展【7 j ：而与控制系统有关的降阶方法还比较少，常用的一般只有代价分析法、平 衡降阶法和最优投影法等【8 。9 】。同时这些方法还存在着一些缺点，需要进行改进 以适合目前日益增长的大柔度建筑结构实际控制的需要。 普通的模型降阶方法主要是针对模型特征对，即要求降阶后的模型特征对与 原模型前几阶特征对尽量吻合。而对于控制系统来讲，由于以振动控制为目的， 其衡量指标是系统可控性与可靠性，实际工作中存在这样一种事实：用精度高的 降阶模型设计出的控制器进行振动控制时，其控制效果并不优于采用精度差的降 阶模型所设计的控制烈1 0 i 。综上所述，本文拟在考虑可控度及可靠性的基础上， 通过分析与比较目前流行的几种模型降阶方法，提出一个适合于控制系统的模型 降阶方法的评价指标。 1 2 模型降阶方法的研究现状 1 2 1 线性系统的模型降阶方法 目前已有多种模型降阶方法。比较成熟的经典方法有集结法、摄动法、劳斯 ( r o u t h ) 逼近法、时问矩匹配法、帕德( p a d e ) 逼近法等。在振动主动控制中采用 的模型降阶方法有代价分析法( c o s ta n a l y s i s ) 、最优投影法( o p t i m a lp r o j e c t i o n ) 、 平衡降阶法( b a l a n c c dr e d u c t i o n ) 以及这些方法的组合。总的来说，这些方法都是 应用优化法以及矩阵变换，对受控对象的结构特性进行简洁的描述。 2 河海大学硕士学位论文 1 2 1 1 传统的降阶方法 ”集结法 集结的思想起源于经济理论。所谓集结就是将系统的状态变量进行合并，用 数目较少的一组状态变量来描述系统的模型1 1 1 l 。集结( 或精确集结1 1 2 1 ) 不仅是 模型降阶的一种方法，同时也是其它一些模型近似简化方法的基础【1 3 1 。例如，保 留系统主要模态的模态集结法就是一种特殊的集结方法。鉴于上述原因，集结法 在模型简化中占有重要的地位。 集结法可以分为精确集结法、模态集结法、连分式法以及链接集结法。一般 模态集结法要计算高阶矩阵的特征值和特征向量，工作量大，同时在系统特征值 均匀分布或相对集中时，不能取得较好的结果。此外，由于简化的状态向量和原 系统的状态向量通过常量矩阵相联系，因此简化的状态向量不一定是物理上存在 的状态向量。 i r s 法和i i r s 法 i r s 方法可以分为两种形式：一种就是直接用动态降阶来代替静态降阶得到 变换矩阵作为基本变换矩阵，另一种就是采用降阶模型的最优估计来修正变换矩 阵的迭代方法，它是对i r s 方法的改进，可以得到更高的精度1 1 4 j 。 o c a l l a g h n i l 通过引入i r s 方法来改进静态模型降阶方法。这种方法通过加 入惯性力作为伪静力来对静态系统变换矩阵进行修正。这种方法可以满足降阶模 型的系统静态特性，并且每一个降阶的变换矩阵在某些方面都有很高的精确度。 0 c a l l a g h a n 方法使得降阶模型在低频条件下与降阶前系统的匹配度上要比集结 法好。然而i r s 方法中，降阶后的刚度矩阵比集结法降阶后的刚度矩阵刚一些， 同时降阶后的质量矩阵也比集结法降阶后的质量矩阵在正交性方面差。而另一种 就是通过对i r s 方法定义的变换矩阵进行迭代得到新的变换矩阵，这样一直迭代 下去直到得到我们满意的精度为止。 3 绪论 3 ) 时间矩匹配法 这种方法无需求出原系统的时间响应或频率响应，只要确定原系统冲击响应 的一组时间矩，然后适当简化传递函数中的参数以简化模型的时间矩与原系统时 间矩相匹配i 堋。该方法的基本思想在于简化模型和原模型脉冲响应的前几个时间 矩能相一致，所取项次少，则系统阶次降得较低，但精度也就较差。需要指出的 是，时间矩匹配法并非总能得到比较理想的结果。有时按此方法计算会从稳定的 原模型得到不稳定的降阶模型，有时又会从不稳定的原模型得出稳定的降阶模 型。 4 ) 正规摄动法 摄动法的基本思路是通过略去模型中的某些关联来得到近似于原系统的低 阶模型。从大规模系统建模的观点看，摄动法也是一种近似集结的方法。一般认 为，大系统模型简化的摄动法可以分为“弱耦合”模型的摄动和“强耦合”模型的摄 动。其中，前者又称为非奇异摄动法( 或正规摄动法) ，而后者称为奇异摄动法。 在空间制导、化工过程以及其它一些工业系统的控制中，为了减少系统分析 和设计中的计算量，常常通过省去动态模型中的某些关联来得到与整体系统模型 相等价的多个独立的低阶模型。显然，可以使用这种方法减少计算量的前提条件 是整体系统特性不会因此而受到明显损坏，亦即只有当子系统之间的关联是弱耦 合时才能使用正规摄动方法。因此弱耦合系统的判定条件及其模型简化方法是使 用正规摄动法进行模型简化所需要研究的重要工作【”】。 5 ) r o u t h 近似法 r o u t h 近似法利用r o u t h 表中的系数和一种特殊形式的连分式( 所谓口一卢展 开式) 之间所具有的对应关系，先将传递函数展开为d 一卢展开式，再截断该连分 式，就可以得到简化模型。该简化模型能够保持原模型的稳定性质。但这个简化 模型通常只保留了原系统的高频特性f 1 3 l 。 4 河海大学硬士学位论文 1 2 1 2 主动控制系统模型降阶方法 1 ) 代价分析法 代价分析法是斯克尔顿在7 0 年代末期提出来的【“。它的基本思想是：一个 动力学系统可以看成是由在时间上因果相关的一系列相互联系、相互作用的实体 组成的。这些实体称为部件或分量。动力学系统的性能通常用性能指标来描述， 这个性能指标可以是反映动力学系统一段时间内的能量或者是输出误差的某种 范数。那么，对于给定的分量和性能指标，一个自然的问题是：整个系统的性能 指标中哪一部分是由给定的分量引起的。 2 ) 平衡降阶法 m o o r e 1 7 1 针对线性稳定连续系统提出了平衡降阶方法。该方法克服了以前 ，f 方法的缺点并具有可靠性好、简单易行、降阶效果良好的优点，备受人们的关注， 这种平衡实现思想也在模型降阶理论界引起了一次变革。许多前述的经典方法一 旦与平衡理论结合，便形成了更加简洁、有效的降阶方法。 1 9 8 1 年【切，m o o r c 从系统的内平衡实现的角度出发，基于主元分析对稳定、 可控、可观的系统，提出了一种针对渐进稳定系统的平衡降阶方法，并提出了一 个使系统平衡的线性变换的有效方法。然而这一算法比较复杂，用起来并不方便， l a u b 改进了计算线性变换的方法。m 0 0 r e 的这一方法在渐进稳定系统中得到了 成功的运用，保有着良好的降阶误差，并保证了降阶后系统仍然保持稳定。然而， 对于不稳定系统，这一方法却不能保证其是完全适用的。 3 ) 最优投影法 7 0 年代初，w i l s o n 1 8 】首先研究了降阶模型坐标的最优选择问题。其基本思 想为寻求降阶模型，使降阶模型的输出与降阶前模型输出之差的加权二次型指标 达到极小。该最优化问题的必要条件为两个李亚普诺夫方程，方程的阶使降阶前。 后模型阶之和。 在w i l s o n 1 8 l 研究的基础上，h y l a i l d 1 9 1 作了进一步研究，简化了w i l s o n 【1 8 1 提 5 出的必要条件，并给出了最优投影法与其他降阶方法的关系。完善了最优投影法。 现在最优投影法已用于模型降阶、低阶状态估计、低阶控制器的设计等。最优投 影降阶问题可描述成：对于给定对象，寻求降阶模型使得他的降阶准则达到极小。 1 2 2 非线性系统的模型降阶方法 近年来，非线性系统问题得到了广泛的注意，但目前非线性系统的降阶模型 还不是很成熟，现在研究比较多的有k - l 方法1 2 0 、s v d 经验方法( 2 1 】、经验平衡 降阶方法和线性化方法等。 1 ) k - l 展开式方法 k - l 展开式方法是一种有效的模型降阶方法，已经在工程科学的很多领域得 到广泛应用 2 2 - 2 4 1 。这种方法首先是通过实验或数值计算的方法获得一系列关于系 统状态的数据，然后通过k - l 方法获得一组基函数。用这种基函数作为迦辽金 方法的试函数，可以将系统化成较低维数的离散系统。采用系统辨识的方法辨识 这个低阶系统，然后利用基函数可以获得系统的数学模型。 采用这种方法时虚拟测点的选取原则需要进一步研究。如果虚拟测点的延时 时问选的不适当，会引入较大的误差，有时甚至会得到错误的结果。另外，采用 这种方法得到的降阶模型的适用范围受到样本的频带范围的限制【矧。 2 ) s v d 经验方法 通过先求矩阵和它的共轭矩阵的乘积，并求出乘积后矩阵的特征值，该特征 值的平方根就是矩阵的奇异值，s v d 经验方法就是通过取奇异值较大部分来进 行模型降阶的。该方法的结果在2 范数中是最优的【矧。 实际运用中出现的问题是结果是否可以运用到动力学系统。它的方法是选择 输入响应并计算结果的曲线，搜集不同时间的样本曲线然后运用这些结果进行奇 异值分解并把奇异值分解运用到最终的矩阵上，这是一种被广泛运用的计算方法 【2 7 1 。它的缺点是最终的结果太依赖于所选择的初始激励，因此奇异值并不是系统 不变的i 。 6 河海大学硕士学位论文 3 1 经验平衡降阶方法 经验平衡降阶方法就是首先我们运用卡波滤波器来分解未控系统的非线性 状态方程得到一些参数1 2 9 1 ，然后通过试验得到一些经验数据，接着就是把这些数 据进行简单的分析来求出经验可控矩阵和经验可观矩阵，利用经验可控矩阵和经 验可观矩阵我们就可以求出变换矩阵了例。采用这种方法可以在动态分析中，对 非线性模态进行很好的优化，而这些模态在实际中有着非常重要的意义1 3 。 4 ) 线性化方法 线性化方法就是通过系统识别，进而设计控制系统是一种有效的方法p 羽，对 于非线性结构来讲，系统识别有两种：一种是采用模糊识别，进而进行模糊控制， 但只适用于少自由度系统【3 3 1 ；另一种方式是直接识别【3 4 1 ，在识别时可以得到其 线性化的状态方程，这样我们就可以利用线性模型的降阶方法来对模型进行降阶 了【矧。 、 1 3 研究内容 本文拟以八层建筑结构模型为研究对象，着重研究与控制系统相关的模型降 阶方法，同时也介绍一些经典的模型降阶方法。着重对集结法、i r s 法、i i r s 法、 代价分析法和平衡降阶方法，运用可控度、可靠性、控制效率等指标进行评价， 来比较这些降阶方法在不同方面的优劣性。主要研究内容包括： 1 ) 针对土木工程建筑的实际和结构特点，结合本文研究的需要，建立了一个八 层建筑结构的基本模型，并且利用最优控制算法和s i m u l i n k 仿真程序模拟了 控制前后的加速度和位移响应。 2 ) 研究了现今非常流行的1 r s 方法和迭代i r s 方法( 即i i r s 法) 这两个传统的模 型降阶方法，并把他们运用到控制系统中去，利用几种评价指标了解了它们 的适用性。 3 ) 介绍了一些常用的线性系统的经典模型降阶方法以及与控制系统相关的线性 模型降阶方法，并且利用最优控制算法和s i m u l i n k 仿真程序模拟了几种模型 降阶方法控制前后的加速度和位移的变化。 7 绪论 4 ) 通过各种评价指标对几种降阶方法进行了比较来得出一定的规律，为以后降 阶方法的改进提供了一些评价方法。 5 ) 提出了控制效率这个评价指标，并运用控制效率评价几种降阶方法的控制效 果。 6 ) 研究了非线性控制系统的模型降阶方法一经验平衡降阶方法，并运用m a t l a b 软件中的程序语言编写了程序，求出了他们的降阶模型的状态矩阵。 8 河海大学硕士学位论文 第二章m a t l a b 软件及控制策略 目前，在介绍和运用有关控制系统的模型降阶方法时，为了考虑有关控制系 统的模型降阶方法在控制效果方面的好坏程度，一般都需要通过m a t l a b 软件中 的仿真程序块来模拟控制的效果图，以便我们可以对各种降阶方法对控制效果的 影响有一个直观的印象。下面我们就简单介绍一下本文将用到m a t l a b 软件和最 优控制算法，并以一个八层框架结构作为模型来进行实现。 2 1m a t l a b 软件及控制算法介绍 m a t l a b 是由m a t h w o r k s 公司于1 9 8 4 年推出的一套计算软件，分为总包和若 干个工具箱。它是一种使用简便的工程计算语言完成系统从概念到技术实现全过 程设计的c a d 工具箱，是目前世界各国科学研究和工程设计领域普遍运用的标 准设计软件。它具有强大的矩阵计算和数据可视化能力，一方面可以实现数值分 析、优化、统计、偏微分方程数值解、自动控制、信号处理等若干个领域的数学 计算，另一方面可以实现二维、三维图形绘制、三维场景创建和渲染、科学计算 可视化、图像处理、虚拟现实和地图制作等图形图像方面的处理1 3 6 1 。 除此之外，m a t l a b 还提供的一个实时开发环境，可用于实时系统仿真和应用， 这点是通过特殊应用工具箱- - r e a lt i m ew o r k s h o p ( 实时工作间r t w ) 实现的， 在r t w 中运行某种目标( 比如：实时窗口目标、x p c 目标) ，用户只需安装相关 软件、编译器和i o 设备板，就可以通过计算机转变成一个实时操作系统，来控 制外部系统f 3 7 1 。 m a t l a b 以其良好的开发性和运行可靠性，是原来控制领域的封闭式软件包 纷纷淘汰，而改以m a t l a b 为平台重建。 2 1 2s i m u l i n k 仿真系统 s i m u l i n k 仿真系统是运行在m a t l a b 环境下的用以对动态系统建模、仿 9 m a t l a b 软件及控制策略 真、分析的集成软件包。它功能强大，使用方便。已经在学术和工业领域得到 了广泛的应用。s i m u l i n k 犹如一个理想的实验室，它可对现实世界存在的动态 系统：线性、非线性、连续、离散及混合系统：单任务、多任务离散系统的仿 真和分析。同时由于s i m u l i n k 已经包含丰富的模块，不论对于多么复杂的动态 系统，都可以用鼠标简单操作，方便快捷的构造出复杂的快速模型，以便进行 算法验算【3 s l 。s i m u l i n k 仿真是交互式的。用户可以需要快速修改模型，对比试 验各种方案，可通过s i m u l i n k 菜单或在m a t l a b 命令窗口输入命令，任意改 变仿真参数，可采用s c o p e 或其他的画图模块对仿真结果进行可是化分析。 s i m u l i n k 是一种针对各种物理、数学系统，尤其是控制系统以及基于d s p ( 数 字信号处理) 系统的先进建模、分析及仿真环境。s i m u l i n k 为用户构造动态系 统方框图提供了一个十分方便并功能完善的图形用户界面( g u i ) 。有了这个界 面，用户只需要使用鼠标对其大型内置子框图库有关模块进行施放操作即可建 立模型，并点击按钮启动或结束仿真，所有这一切工作都不需要写一行程序。 这项技术要比用户使用其他高级语言描述微分或差分方程的传统仿真软件包方 便多了【3 9 l 。 2 1 3 最优控制法 最优控制就是兼顾响应和控制两方面相互矛盾的要求，使控制系统的性能指 标达到最优的一种控制策略。当系统存在各种随机干扰与外扰作用下，这种控制 称为随机最优控制，当系统只存在各种确定性外扰作用下，这种控制称为确定最 优控制。 最优控制即满足一定条件的反馈控制。对于高阶系统，确定最优控制是很复 杂的，难以用解析形式来表示i 柚】。而具有二次型性能指标的线性系统的最优反 馈控制律则能用解析的形式表示，计算也相对简单，因而在现代控制理论中占有 很重要的地位。下面我们就介绍一下确定最优控制。 先从普通的时变受控线性系统开始讨论。设其状态方程为 量一爿( f ) 算+ b c 0 u + d ( f ) ，x ( t o ) 一x o ( 2 1 ) y 一日( f ) 石( 2 2 ) 1 0 河海大学硕士学位论文 式中：x 为n 维状态矢量；h 为m 维控制力矢量：d 为厅维确定性外扰；y 为l 维 输出矢量：a ( t ) 为h x 玎维系统矩阵：口( f ) 为n m 维输入矩阵；h ( t ) 为l 蚪维 输出矩阵。 取目标函数为 ，一按 【y 一卢( r ) 】7 q o ( r ) 【y 一卢( r ) + u r r ( r ) “) 疵+ 丢 y ( r 小口】t s o y ( r ，) - a 】 ( 2 3 ) 式中：q o ( f ) 和& 为至少半正定的，f 维权矩阵；r ( f ) 为正定的研聊维权矩阵； 口为预定的( 希望的) 稳态响应：芦( f ) 为希望的瞬态响应；t o 为控制的起始时间： t ，为控制的终止时间。 通过优化目标式( 2 3 ) 获得控制力“，能使得响应跟踪口和卢( f ) ，称为跟踪性 问题；当令口和卢( f ) 都为零矢量，且外扰d - - - 0 ，则通过优化目标式( 2 3 ) 获得控 制力u 能使输出稳态和瞬态响应跟踪零，称为调节器问题。 无论是跟踪性问题还是调节器问题，其最优解的必要条件都可通过 h a m i l t o n i a n 函数的极值条件得出【4 1 啦】。 对跟踪性问题，构造哈密顿函数 厅( 训，a ) = 三( 娥一卢) t q 0 ( h x 一声) + 1 2 “7 r o ) u + a r ( 血+ 肌勒) ( 2 4 ) 式中：a a ( t 1 为拉格朗r 乘子矢量。 要使目标函数，极4 、，且满足式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) ，则只需令厅对变量x ，u ，a 的 一阶导数为零，可得三个方程 工；一h 7 a o h x a 7 a + h t a o t ；( 2 5 ) a ( r ，) | h 晶p ( r ，) 口】 ( 2 6 ) r u + 口7 a - 0 ( 2 7 ) 由式( 2 7 ) 可得 - r 。1 8 7 a ( 2 8 ) 将其代入到式( 2 1 ) 中可得 圣一a x b r 一1 8 7 a + d ，x ( t o ) = x o ( 2 9 ) 对于调节器问题，口、声( f ) 和d 均为零，此时 t 一爿x b r 一1 8 7 a ，x ( t o ) = ( 2 1 0 ) 五一一日7 舭一a 7 a ，a ( f ，) - h 7 她( f ，) ( 2 1 1 ) 式( 2 5 ) 和式( 2 9 ) ，以及式( 2 1 0 ) 和式( 2 1 1 ) 都称为两点边值问题，一个边界条件在 开始时刻，另一个边界条件在终止时刻，前两式为非齐次矢量微分方程，后两式 为齐次矢量微分方程。 设a ( f ) 具有如下形式： a ( t ) - p ( t ) x + q ( t ) ，a ( f ，) - o ( 2 1 2 ) 式中：e ( t ) 为n x n 维对称矩阵；q ( t ) 为与口、筘( f ) 和d 有关的露维矢量。将其 代入到式( 2 8 ) 可得 “一一r 一1 8 1 p ( t ) x r 一1 8 7 q ( t ) ( 2 1 3 ) 式中的第二项与状态变量x 无关，为开环控制。 将式( 2 1 1 ) 代入到式( 2 5 ) 和式( 2 9 ) ，并考虑到式( 2 6 ) ，可得 一户= 别+ 4 p p b r 一1 8 7 p + h 1 q o 胃，p ( f ，) 一日& 日 ( 2 1 4 ) 一尊；蹦+ ( 一p b r 。b 7q 一日7 q 0 卢，g ( f ，) ；一h 7 s o a ( 2 1 5 ) 对调节器问题，a ，卢和d 都为零矢量，则q 也为零矢量，这时控制只与状 态量有关，构成闭环反馈控制。 由于尸( f ) 为珂厅阶对称矩阵，从式( 2 1 4 ) 可构成三月o + 1 ) 个独立的微分方 程，可用逆向积分求出p ( t ) ，再按式( 2 1 5 ) 经逆向积分求得q o ) 。 以上讨论的是在有限时间间隔k 。，t ，j 内的最优控制问题，式( 2 1 4 ) 为非线性矩 阵微分方程，求解困难。在求解跟踪性问题时，认为d 和芦都是已知的时间函数。 大量的计算经验表明，矩阵p 在k 。，t ，j 的很大一段时间内都为常数矩阵，只 河海大学硕士学位论文 在接近t ，的很短一段时间内迅速趋于零。同时，实际工程中常遇到的一类调节器 问题是对应时不变系统，因此常取f 0 0 ，t ，一m ，此时，式( 2 1 4 ) 退化为 黝+ 4 7 p p b r 一1 8 7 p + h 7 q o h 一0( 2 1 6 ) 对应的控制力为 h 一- r 一1 8 7 p x ( 2 1 7 ) 对应的闭环系统方程为 j 一阻一b r - 1 8 7 p k ( 2 1 8 ) 求解式( 2 1 6 ) 的r i c c a t i 方程比式( 2 1 4 ) 的非线性矩阵微分方程方便得多，目 前已有多种算法与计算机程序如可用m a t l a b 软件的c a r e 命令进行求解。按式 ( 2 1 7 ) 确定的最优反馈控制能保证闭环系统总是稳定的，且具有无限的增益裕量 及6 0 0 的相位裕量，因此，这种最优控制律设计方法广泛用于动稳定性与动力响 应的主动控制。 2 2 计算模型 图2 1八层建筑模型 以图2 1 的八层剪切墙建筑物为研究对象，假定每层建筑物有一个自由度， 假设系统阻尼为比例阻尼，在地震作用下的振动方程可表示为： m a t l a b 软件及控制策略 卅 + 七产1 + 七：“一x 2 ) i 一厂2 + ( 嘲) m 2 蔓+ 七2 0 j 一工1 ) + 屯x 2 一屯) = ，2 一厶+ ( 一m 2 x e ) m l j + k 3 ( x 3 一x 2 ) + 后4 0 ，3 一_ ) 。，3 + ( 一”l ，砖) ；ii ，玎j + t 8 ( 黾一x 7 ) 一( 一m s i g ) 其中o - 1 8 ) 代表各层楼的质量，t o = 1 8 ) 代表各层楼的刚度， l ( i 一1 3 ) 代表各个作动器的输出力，砖代表地震力。 将上述方程写成矩阵形式，同时加上阻尼，则变为： 旅+ 凹+ 厩一f u + ( 一胁磁 ( 2 1 9 ) 式中：厨、e 、露分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵；f 为作动器定位矩阵； i 为物理空间位移矢量；h 为控制力；代表地震力；，为忍1 的单位阵 上式可变为状态方程，为 主- a x + b u + 绣 ( 2 2 0 ) 式中： 工懈爿。瞄霞二t e 卜卜一h 测量方程为： y h x陀2 1 ) 以八层框架为研究对象，其结构性能指标如下： ( 1 ) 、各层质量为：m i - m 一3 4 5 6 i = 1 8 ( 单位为：t ) ( 2 ) 、各层屈服前刚度分别为：k i ( i ；1 ，2 ，8 ) = 1 7 5 x 1 0 5 ，1 7 5 x 1 0 5 ，1 7 5 x 1 0 5 ， 1 7 5 x 1 0 5 ，1 7 5 x 1 0 5 ，1 6 1 0 5 ，1 6 x 1 0 5 ，1 6 x 1 0 5 ( 单位为：k n m ) 。 ( 3 ) 、各层阻尼比为： 6t 0 0 2 则八层框架结构的质量矩阵为： m ；d i a g m 1 ，m 2 ，m 3 ，m 4 ，m 5 ，m 6 ，m 7 ，m s 】 刚度矩阵为： 1 4 塑塑查堂堡主兰焦丝奎 一 k k + k k 0 o 0 0 0 0 一k k + 蜀 一墨 o o 0 o 0 o 一玛 k j + k 4 一孟0 o o o o 0 o 一墨 k 4 + x 5 一蚝 0 0 0 o 0 0 一憨 k 5 + k 6 一蚝 o 0 0 0 0 o k k 6 + k ， 一疋 0 下面先利用m a t l a b 软件来求出特征值d 和特征向量y ： oo o0 o 0 oo 0o x 0 k 1 + x i k | 一k蚝 少，o - a g ( r ，m ) 模型的阻尼为了简化计算，采用比例阻尼，则模型的阻尼矩阵可以由下 式求出： e - d 缸g 【2 托 ，2 她，2 b ，幼咄，2 3 m 5 ，2 & 0 6 ，2 ，2 & 0 8 】 c = 7 ) - 1 e 矿- 1 其中：d i a g 代表对角阵。 模型的作动器布置在一楼、二楼和三楼，则作动器定位矩阵为： f 一 100 00 0 00 1 7 1loooooo l 0 110000 0 根据最优控制算法，在本文中取各种参数为：q ；5 2 x l l y 9 ：r t o 2 ； q ；q x e y e ( 8 ) ：r r e y e ( 3 ) 。则可以求出计算模型控制力的增益矩阵为： k g a i n = k g a i n lk g a i n 2 k g a i n l - 1 3 8 3 1 - 0 7 3 1 4 - 0 1 0 1 8 0 6 5 5 1 2 7 4 6 - 0 6 5 2 8 0 5 9 9 4 0 7 8 3 1 1 7 8 9 8 瞄晰m淼 ! 删啷啷 n o o鲫诌 m a t l a b 软件及控制策略 f0 0 0 9 4 0 0 0 7 0 0 0 6 60 0 2 5 90 0 2 5 20 0 2 4 90 0 2 5 6 0 0 2 5 8 1 | - 0 0 0 2 4 0 0 0 9 0 0 0 7 50 0 3 50 0 3 4 8 0 0 3 4 20 0 3 5 10 0 3 5 5l 1 俨 卜0 0 0 0 4 0 0 0 1 8 0 0 1 1 10 0 8 7 30 0 9 1 90 0 8 9 30 0 9 1 40 0 9 2 6 i 本文将通过输出位移和速度来设计控制器，则输出矩阵日为：h e y e ( 1 6 ) ， e y e ( n ) 代表n x n 的单位阵 2 3 地震波 采用了两种不同的地震波：e l c e n t r o 波和k o b e 波。下面将简单的分析一下这 两种波。由于地震波一般都是o 0 2 秒输出一个数据：文中取1 0 2 4 个数据用来进 行地震波的频率分析，可以得到如下结果。 1 6 l o 一- 3 w ) 1 4 1 2 - 1o o 8l 0 6l 0 4 o 2 o i1 t 一3 41 6 l h z ) 图2 2e l c e n t r o 波的频谱图 从图可以看出：e l c e n t r o 波的频率一般都是在0 6 h z 之间，则取它的前五 个频率大概为：1 4 3 2 、1 1 8 9 、1 5 0 6 、1 7 9 9 、o 8 3 6 。这五个频率选择的原则就 是它们所对应的能量峰值为最大的。 1 6 河海大学硕士学位论文 图2 3k o b e 波的频谱图 同样，从图可以看出k o b e 波的频率一般都是在0 6 h z 之间，则取它的前 五个频率大概为：1 4 0 9 、1 1 6 3 、2 9 0 8 、2 5 9 1 、1 9 3 2 。这五个频率选择的原则 也是它们所对应的能量