（基础数学专业论文）proto双代数胚和同调方法.pdf

摘要 本文的主要工作是将d i r a c 理论从李双代数胚推广到p r o t o 双代效胚上p r o t o 双代效胚是用超流形语言刻画的本文详细讨论了p r o t o 双代数胚的基本性质详细 研究了p r o t o 双代数胚e 的d i r a c 结构，给出了极大迷向子丛可积的充要条件，发现 在这些充要条件中蕴含了p r o t o 双代数胚的扭关系，进一步阐明了扭与d i r a c 结构 之间的内在联系，证明了扭在p r o t o 双代数胚范围内是等价关系我们定义了两类可 约的d i r a c 结构，讨论了p r o t o 双代效胚的约化问题作为p r o t o 双代数胚的d i r a c 理论的简单应用，具体讨论了扭泊松流形的约化 李拟双代数胚作为p r o t o 双代数胚的特殊情形，我们详细讨论了它的一些几何 性质，定义了恰当李拟双代数胚和三角李拟双代数胚，给出了相应d i r a c 结构的特殊 性，讨论了三角李拟双代数胚和q u a s i - y a n g b a x t e r 方程的关系 处理p r o t o 双代数胚的同调方法和代数语言( 大括号) 都是很有价值的文章最 后，将n i j e n h u i s 张量引入p r o t o 双代数胚理论，使得n i j e n h u i s 结构有了更丰富的研 究内容从超流形角度来看n i j e n h u i s 结构，各变量之间的关系就很清楚、简洁我 们具体讨论了n i j e n h u i s 结构中的形变括号相容、形变算子相容和微分算子相容的 关系作为同调方法的简单应用，以微分为主要研究对象，定义和研究了j c a o b i 代 数胚理论中的g j 微分，给出了广义李拟双代数胚的定义和例子 关键词：超流形p r o t o 双代数胚 李拟双代数胚特征对c o u r a n t 代数胚 扭泊松结构 a b s t r a c t t h em a i n w o r ko ft h i st h e s i si st og e n e r a l i z et h ed i r a ct h e o r i e sf r o ml i eb i a l g e - b r o i dt ot h ep r o t o b i a l g e b r o i d t h ep m t o b i a l g e b r o i di sd e p i c t e db yt h el a n g u a g eo f s u p e r m a n i f o l d s o m eb a s i cp r o p e r t i e so fp r o t o b i a l g e b r o i da r ed i s c u s s e di nt h i st h e - s i si nd e t a i l w es t u d yt h ed i r a cs t r u c t u r e so np r o t o b i a l g e b r o i d ，g i v et h ei n t e g r a b l e c o n d i t i o n sf o rm a x i l p l b l l yi s o t r o p i cs u b b u n d l eb e i n gd i r a cs t r u c t u r ef o rp r o t o b i a l g e - b r o i db yt h en o t i o no fc h a r a c t e r i s t i cp a i r f r o mt h ei n t e g r a b l ec o n d i t i o n s ，w ef o u n d o u tt h a td i r a cs t r u c t u r eh a sd o s e dr e l a t i o n sw i t ht w i s t i n go fp r o t o b i a l g e b r o i d f u r - t h e r ，t h ec l o s e dr e l a t i o n sa r ee x p l a i n e d ，t h ef a c tt h a tt w i s t i n go fp r o t o b i a l g e b r o i d si s ae q u i v a l e n c er e l a t i o ni sv e r i f i e d w ed e f i n et w ok i n d so fr e d u c i b l ed i r a cs t r u c t u r e s d i s c u s st h ep r o b l e mo nt h er e d u c t i o no fp r o t o b i a l g e b r o i d s a sas i m p l ea p p l i c a t i o n o ft h et h e o r i e so fd i r a cs t r u c t u r eo np r o t o b i a t g e b r o i d ，w ec o n c r e t e l yd i s c u q e dt h e r e d u c t i o no ft w i s t e dp o i s s o nm a n i f o l d l i eq u a s i b i a l g e b r o i di sas p e c i a lc a s eo fp r o t o b i a l g e b r o i d ，w ed i s c u s ss o m eo f i t sp r o p e r t i e si nd e t a i l ，d e f i n et h ee x a c tl i eq u a s i - b i a l g e b r o i da n dt h et r i a n g u l a r l i eq u a s i - b i a l g e b r o i d ，g i v et h ep a r t i c u l a r i t i e so fc o r r e s p o n d i n gd i r a cs t r u c t u r e s ，d i s - c u s st h er e l a t i o n so ft h et r i a n g u l a rl i eq u a s i - b i a l g e b r o i dw i t ht h eq u a s i - y a n g b a x t e r e q u a t i o n t h ea l g e b r al a n g u a g e ( b i gb r a c k e t ) a n dt h em e t h o do ft r e a t i n gt h ep r o t o b i a l - g e b r o i da r ea l lv e r yv a l u a b l e i nt h ee n d ，n i j e n h u i st e n s o ri si n t r o d u c e di n t ot h e t h e o r i e so fp r o t o b i a l g e b r o i d ，m a k i n gt h en i j e n h u i ss t r u c t u r e sh a v em o r ea b u n d a n t r e s e a r e hc o n t e n t s f r o mt h es u p e r m a n i f o l dp o i n to fv i e w ，e a c hr e l a t i o no fo b j e c t s o nn i j e n h u i ss t r u c t u r ei sv e r yd e a r l ys i m p l ea n dd i r e c t l y w ed i s c u s sc o m p a t i b i l i t i e s o fd e f o r mb r a c k e t s ，d e f o r mo p e r a t o r s ，d i f i e r e n t i a lo p e r a t o r si nt h en i j e n h u i ss t r u c - t u r e s a sas i m p l ea p p l i c a t i o no ft h eh o r n o l o g i e a lm e t h o d ，w ed e f i n ea n ds t u d yg j d i f f e r e n t i a li nt h et h e o r i e so fj c a o b ib i a l g e b r o i d ，g i v et h ed e f i n i t i o na n dt h ee x a m p l e o fg e n e r a l i z e dl i eq u a s i b i a l g e b r o i d k e y w o r d s ：s u p e r m a n i f o l d ，l i eq u a s i b i a l g e b r o i d ，p r o t o b i a l g e b r o i d ，d i r a cs t r u c - t u r e t w i s t e dp o i s s o nm a n i f o l d 2 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体。均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：彳岳和蚴 。 日期：2 0 0 6 年4 月1 5 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名 搦邵 日期：2 0 0 6 年4 月1 5 日 第一章绪论 1 1 引言 辛( s y m p l e c t i c ) 几何来源于分析力学，它产生和发展于二十世纪六七十年代，是 微分几何中的一门新兴学科七十年代，又进一步产生了泊松( p o i s s o n ) 几何，它以 辛几何为重要特例，同时，它又具有更加广泛的内涵，是比辛几何更广泛的一种几何， 二者之间有着十分密切内在联系p o i s s o n 流形来自于经典粒子( 或者场在无穷维的 情形) 的相空间，p o i s s o n 几何与量子力学中的可观测量，以及更广泛的非交换代数 也有着紧密的联系经过半个多世纪发展人们认识到，辛几何和泊松几何是分析力 学的最好的数学框架，在诸多物理学的分支，如几何光学、热力学、量子力学论等物 理学分支中都有重要应甩因此，它引起了世界各国数学家和物理学家的普遍重视 二十世纪八、九十年代，在众多学者的努力之下，该领域得到了飞速发展，形成一 门具有完整理论体系和丰富内容的崭新学科在数学领域，它与l i e 群、l i e 代数、 微分拓扑、微分方程、复变函数、同谓论等方向都有着紧密的联系近来，特别在 与l i e 群胚、l i e 代数胚等对象的结合研究过程中，人们发现非常精妙的构造：l i e 双代数胚和p o i s s o n 群胚，而且它们和y a n g - b a x t e r 方程、可积系统等有深刻的内 在关系这也使得辛几何与p o i s s o n 几何成为数学领域中具有旺盛生命力和宽广的 发展前途的一门崭新学科 1 8 0 9 年，p o i s s o n 在研究经典力学时，首创了以他的名字命名的括号运算f “】 对有2 n 个参变量( p l ，；矿，矿) 的两个可微函数，g ，定义 u ，= 娄c 荔骞一丽o g 叫o f ) 随后，j a c o b i 认识到了它的重要性，阐明了它的代数性质【2 5 】l i e 也开始着手研究相 应的几何对象，1 8 9 0 年，他的论文【3 5 宣告p o i s s o n 几何学诞生随后便为数学家们 所普遍关注在最近四十年中，又有一批学者结合其他数学、物理学分支，对p o i s s o n 几何的发展做出了很大贡献例如( 仅仅其中的一少部分) b e r e z i n 将其与l i e 群上 的调和分析联系起来【9 k i r i l l o v 研究了无穷维l i e 代数1 3 2 也有学者结合研究 了粒子力学与连续性( a l n o l d 1 ，l i c h n e r o w i c z 3 4 ，m a r s d e a - w e n s t e i n l 3 8 1 ) ，奇异点 理论( v a r c h e n k o - g i v e n t a l 4 8 】) ，完全可积系统( g e l f a n d d i k i i 2 0 ，k o s t a n t 3 0 ) 等 这使得p o i s s o n 几何成为当今数学物理研究的活跃领域之一 2第一章绪论 在十九世纪早期，p o i s s o n 注意到 ，订= u ， = 0 蕴涵着u ， g ， ) ) = 0 随后，j a c o b i 发现了恒等式 ， 玑 ) = ( 以，砖+ 如， ，h ) ) 这个恒等式解释 了p o i s s o n 的上述结果在l i e 对j a c o b i 恒等式的研究中，给出了现在所说的泊松 结构【3 5 】在舻上，p o i s s o n 结构由满足下列等式的函数。u 给出： + 丌j i = 0 ， 蔷( 鬻怕t 等怕t 鬻) ：o 这意味着泊松括号 m ) 。盎面o f 两o gt j 5 j 。 是反称的，满足j a c o b i 恒等式即c 。( 舻) 是一个李代数一般的，流形m 上 的p o i s s o n 结构是g ”( m ) 中的满足l e i b n i z 性质的李代数结构“) 函数可 视为双向量场”的局部分量，j a c o b i 恒等式等价于阿，7 r 】= 0 ，其中卜】是流形m 上的s c h o u t e n 括号 2 0 0 1 年，闭的三形式同时出现在p a r k 对弦理论f 2 8 1 研究及k l i m c i k 和s t r o b l 对 拓扑场论的研究中k l i m e i k 和s t r o b l 很快意识到一个新几何结构的出现，他们称之 为w z r - 泊松流形【1 1 选取这个名字是因为闭的三形式所扮演的角色与w i t t e n 在场论中提出的w e s s - z u m i n o 类似后来，他们也建议用更短的名字“w 二泊松流 形”s e v e r a 和w e i n s t e i n 利用微分方法在c o u r a n t 理论框架中研究了这样的结构称 之为带有三形式背景的泊松结构( p o i s s o ns t r u c t u r e sw i t ha3 - f o r mb a c k g r o u n d ) ” 此结构由一个双向量7 r 和一个闭的三形式妒构成，满足【丌t7 r 】= a 3 坳【4 2 1 他们也 称这样的结构为“妒一泊松结构”或( 扭泊松结构”扭泊松结构这个名字在后来被广 泛使用【1 3 ，4 3 ，6 ，2 2 】 李拟双代数是d r i n f e l d 作为拟h o p f 代数的典型极限提出来的1 6 1 ，y k o s m a n n - s c h w a r z b a c h 将典型d o u b l e 从李双代数推广到李拟双代数上，定义了恰当和三角李 拟双代数，讨论了扭( t w i s t i n g ) 在李拟双代数范围内是等价关系拟泊松李群的李 代数上带有一个自然的李拟双代数后来，为了弄清楚群值动量映射和拟哈密顿空 闯【5 而导致了对拟泊松李群在流形上作用的研究【4 1 拟泊松李群是由d r i n f e l d 提 出的，是泊松李群的自然推广在拟泊松李群的李代数上存在着一个自然的李拟双 代数结构拟泊松李群作用有一种特殊的情形，就是当拟泊松李群上双向量场是退 化的，而三向量保留那么拟泊松流形是流形上带有一个双向量场满足这样的拟泊 松李群作用【3 3 李代致胚( l i ea l g e b r o i d ) 是由p r a d i n e s 在文献【2 6 】中提出来的它是李代数的 推广，也是李群胚的无穷小逼近有关李群胚的许多问题在李代致胚中会看的更清 楚关于李群、李群胚，m a c k e n z i e 在文献【4 0 中有深入的研究李代数胚是流形m 上的一个向量丛l 带有f ( l ) 上的李括号卜】和光滑丛映射n ：l t m ，其中丛 映射满足李代数胚同态 a ：r ( l ) + r ( t m ) ，口i x ，y 】- 陋( x ) ，n ( y ) 】，x ，y f c l ) 和莱布尼兹法则 ，y = f x ，y 】+ ( 口( x ) ，) y x ，y r ( l ) ，ec ”( m ) 称该丛映射为李代数胚的锚泊松流形余切丛上带有自然的李代数胚结构，一形式 括号是由下式确定的 ，q ) 。= l 。f 口一l 。 f d ”( f ，q ) ，f ，口r ( t f ) ，丌r ( 2 t m ) 它由m a g r i 和m o r o s i 4 1 ，g e l f a n d 和d o r f m a n 2 1 ，k a r a s e v 2 9 独立定义的c a s t e ， d a z o r d 和w e i n s t e i n 在文献 5 0 ，1 2 】中把它解释为李代数胚括号进一步的结论：任 何一个泊松流形的切丛和余切丛都带有李代数胚结构相反，任何一个李代数胚的 对偶丛上带有自然的泊橙结构f 1 0 1 在【3 9 】中m a c k e n z i e 和徐平提出了李双代数胚( l i eb i a l g e b r o i d ) 的概念，它 是李双代数的推广w e i n s t e i n 发现李双代数胚可理解为p o i s s o n 群胚的无穷小形 式 4 9 1 p o i s s o n 群胚和李双代数胚的理论几乎都能平行的推广因而研究李双代数 胚的结构是重要的工作李双代数胚的一个重要性质是，它在底流形上自然诱导出 一个p o i s s o n 结构在李双代数胚( a ，a + ) 中， 和小具有平等的地位若( a ，a + ) 是李双代数胚，则( 小，且) 也是李双代数胚若”是李代数胚( a ，a ) 上的 双向 量场，那么7 r 可以诱导了 上的一形式括号卜】。此时( 小，卜 。，ao 利) 不一定 是李代数胚( 见例1 2 2 0 ) 它成为李代数胚当且仅当l x 丌，口l = o ( x r ( ) ) 如 果( 小，卜1 。，no 一) 是李代数胚，那么( a ，小) 还是李双代数胚，称为恰当李代数匪 如果口还是a 一泊松张量即满足【丌，”l _ 0 ，则称( a ，a ) 为三角李双代数胚 c o u r a n t 括号是t m t * m 上的光滑截面空间上自然的括号运算，现在的c o u r a n t 括号是由c o u r a n t 在 1 0 中提出的c o u r a n t 和w e i n s t e i n 用它定义了一个新的几 何结构一d i r a c 结构【2 1 - 此后c o u r a n t 对它进行了透彻的研究f 2 2 d o r f m a n 使 用d i r a c 结构对偏微分方程的完全可积系统进行了研究此概念成功的统一了p o i s - s o n 结构和预辛结构，并引起了国内外专家如刘张矩、w e i n s t e i n 和徐平等人的广泛 4第一章绪论 关注他们把流形上的d i r a c 结构推广到了李双代数胚上，得到了许多有意义的结 果+ 对于一个向量空间y ，在vov 中有一个自然的对称括号( ，) + 和个反称 括号( - ，) 一： 1 ( x + u ，y + p ) 士= 三( ( u ，y ) 士( x ，p ) ) ，x + u ，y + 肛v o v 设m 为流形则这两个括号在截面空间r 口mop m ) 中自然诱导出相应的括号 此外，c o u r a n t 在f ( t mop m ) 中引入了个自然的反称双线性括号： 【x + w ，y + p 】= 【x ，y 】+ ( l x 卢一l y u + d ( x + u ，y + 芦) 一) ，x + w ，y + 卢f ( t m t + m ) 一般的c o u r a n t 括号( i 不满足j e l c o b i 恒等式，但当l 为m 上的d i r a c 结构 时，该括号在r ( l ) 上满足j a c o b i 恒等式，且( l ，1 j 】，p t l ) 为一个李代数胚其 中p ：t m o t + m 一丁m 为自然投影 d i r a c 结构的理论在d r i n f e l d 关于李双代数和p o i s s o n 齐性空间的理论申引起 了反响李双代数( g ，g ) 可视为向量空间9 和g 的对偶空间g + 上的一对李代数结 构，它们可唯地扩张为g o 矿上的个李代数结构对该结构而言，对称形式( ，) + 是。d _ 不变的李代数go 扩称为李双代数( g ，9 ) 的d o u b l e 该d o u b l e 的极大迷 向子代数在模去关于子群的闭性和连通性的某些细节后对应着p o i s s o n 齐性g 空 问，而g 是p o i s s o n 李群，其线性化正是给定的李双代数 设似，小) 为李双代数胚在( a ，小) 上的满足某个正则条件的d i r a c 结构与形 如g h 的p o i s s o n 齐性空间之问存在着一一对应这里g 为p o i s s o n 群胚，其线性 化是，卅) ，而日为g 的闭子群胚，含有一切恒等元，且是a 单连通的 流形上的n i j e n h u i s 结构是李代数形变理论在流形上的推广流形上的( 1 ，1 ) 张量，如果关于流形上向量场李代数的n i j e n h u i s 挠率为零，则称为n i j e n h u i s 张量 n i j e n h u i s 张量可以将流形上向量场李代数形变为新的李代数，而且与原有的李代数 是同态的当流形是泊松流形时，泊松张量与n i j e n h u i s 张量具有一定的相容条件就 构成p o i s s o n - n i j e n h u i s 澈形【1 8 ，1 9 】，它是双h a m i l t o n 流形的个具体的例子，在 流形上特别是在李代数的对偶上的p o i s s o n - n i j e n h u i s 结构构成了完全可积系统的 自然框架本文主要是将n i j e n h u i s 算子引入到p r o t o 双代数胚理论中 本文所讨论的数学对象主要是与p o i s s o n 几何紧密联系的概念：扭泊松流形、p r o t o 双代数胚、d i r a c 结构等对p o i s s o n 流形来讲，他们都是泊松几何中相应概念的推 广 5 超流形f 4 7 1 产生于2 0 世纪七十年代，它与一般的光滑流形有着密切的关系 设 是流形肘上的向量丛，a 的秩为口在局部平凡化邻域覆盖 ) 上，有自然 超代数结构暖旧，昵：v u 口t - - - - # c 。) 谗1 ，f 】，其中p 表示g r s s s m a n 代 数r ( a 。a + i ) 上对应的生成元，构成( p ，q ) 维的超流形，记作i i a 对偶丛截面 的外代数空间可以视为超流形h a 上的函数空间【4 7 】l e e o m t e ，p b a 和r o g e r ， c 证明了在超流形余切丛p ( h a ) 上存在标准的偶辛流形结构u 【3 6 】，设“- ) 是u 诱导的标准泊松括号r o y t e n b e r g 发现李双代数胚与超流形的紧密联羲和用超流 形给出了李双代数胚的另一定义对偶李代数胚( a ，a + ) 分别对应t ( h a ) 上两个 自交换的哈密顿函数，如果它们是李双代效胚当且仅当两个哈密顿函数的和是自交 换的这种方法最早是由k o s m a n n - s c h w a r z b a c h 提出来的他将这种方法运用到李 双代数，但不涉及超流形在他的工作中 s l l ，研究了李拟双代数( j a c o b i 双代数) 及 对偶拟李双代数( 余j a c o b i 双代数) ，提出了p r o t o 双代数的概念 p r o t o 双代数胚是用超流形语言定义的一种代数胚结构，它与许多几何结构有 密切关系，比如李双代数胚、李拟双代数胚、拟李双代数胚、拟泊松流形、扭泊松流 形等我们知道泊松流形可诱导流形上的李双代数胚结构，而拟泊松流形可诱导流 形上的李拟双代数胚结构，扭泊松流形诱导流形上拟李双代数脏结构扭涪松流形 主要应用于物理学中弦( s t r i n g ) 理论，弦理论是最近几年提出来的，它的研究激发 了对p r o t o 双代数胚及超流形的研究 非斜对称版本的c o u r a n t 括号也是刘张矩等引入的，这种版本的c o u r a n t 括号 满足j a c o b i 恒等式可以证明两种定义下的c o u r a n t 代数胚是等价的对李双代数 胚来说，它的d o u b l e 中的非斜对称版本的c o u r a n t 括号实际上是关于“_ ) 的导出 括号 1 4 】r o y t e n b e r g 证明了p r o t o 双代数胚对应的t ( h a ) 上的哈密顿函数口诱 导的导出括号“，目) ，) 是c o u r a n t 括号这说明了不来自于李双代数胚的非平凡 的c o u r a n t 代数胚的存在性 1 9 9 9 年r o y t e n b e r g 在他的论文中解决了从p r o t o 双代数到p r o t o 双代数胚推 广问题并对利用强同伦李代数对c o u r a n t 代数胚做了深入的研究从研究方法的 角度来讲，对于p r o t o 双代数胚的研究主要利用的是同调方法，它的好处是更容易刻 画各量之间的关系，有利于我们对于某些几何结构的整体把握 本文各章安排及其主要结果： 第一章我们首先了介绍了一些预备知识包括李代数胚、李双代数胚、导出括 号、超流形、李超代数、及与p r o t o 双代数胚紧密相关的p r o t o 双代数等的基本定 义和主要结论 6第一章绪论 第二章讨论了p r o t o 双代数胚的基本性质在许多涉及p r o t o 双代数胚的文献 中，对p r o t o 双代数胚的性质研究不够系统和完善，所以本文对p r o t o 双代数胚的性 质做了详细阐述，给出了p r o t o 双代数胚在底流形上的诱导结构主要定理为 定理2 2 6 设( a ，a ，p ，们是p r o t o 双代数匪令a = n 。虻，那么a 是底流 形m 上的双向量场满足 a ，a 1 = 一所妒一 妒 我们知道如果( a ，a 。，p ，0 ) 是平凡李双代数胚，”r ( n 2 a ) 满足卜，】，= 0 ，那 么诱导小上的一个李代数胚结构使得( a ，小) 构成新的李双代数胚本文给出 了更一般的结论，即当h 州。0 的情形 定理2 2 1 3 设( a ，a ，p ，0 ) 是一个平凡李双代数胚，丌r ( n 2 a ) ，妒r ( n 3 a ) 满 足y a n g b a j c t e r 方程 扣州。+ t a = 0 那么( ，a + ，p ，乱7 r ，妒) 是一个李拟双代数胚 第三章首先回顾了李双代数胚上的d i r a c 结构的主要结果就p r o t o 双代数胚 而言，利用非斜对称的版本的c o u r a n t 代数胚定义它的d o u b l e 更为自然有些文献 对它的描述和理解存在偏差，本文对此做了系统描述非斜对称版本的c o u r a n t 代 数胚和p r o t o 双代数胚的d o u b l e 定义接着给出了p r o t o 双代数胚的d i r a c 结构的 定义，讨论了p r o t o 双代数胚上d i r a c 结构可积性质 定理3 3 8 设( a ，a ，p ，仉仍妒) 是流形m 上的p r o t o 双代数胚，l 是p r o t o 双代数 胚d o u b l e 的极大迷向子丛带有特征对( d ，7 r ) ，即 l = x + 7 r + 酬x d ，d 1 ， 那么l 是p r o t o 双代数胚上的d i r a c 结构当且仅当 l r ( d ) 在和括号卜h + 卜】，吣下封闭； 一 打，州p + ( 3 r 4 ) 砂一嘶7 r + 妒= o ( m o d d ) i i i p ( d 1 ) 在和括号【，h + h l 删下封闭； i v 砂= o ( m o d d l ) 第四章我们回顾了p r o t o 双代数胚理论中扭关系的概念，证明了在p r o t o 双代 数胚范围内扭是一种等价关系李拟双代数胚作为p r o t o 双代数胚的特殊情形有独 特的性质，本文详细讨论了它与y a n g b a x t e r 方程及扭之问的关系定义了三角李拟 双代数胚，讨论了三角李拟双代数胚上的d i r a c 结构 定理4 2 1 2 设( a ，a + ，肛，a ) 是流形m 上的三角李拟双代数胚，l 是李拟双代数 胚d o u b l e 的极大迷向子丛带有特征对( d ，玎) 即 l = x + ”+ 引x d ，d 1 ) 7 那么l 是李拟双代数胚上的d i r a c 结构当且仅当 j p ( d ) 是在括号 f 】。下封闭； 2 防一o ，7 r 一0 】p = o ( m o d d ) ； 冀7 r a 是d 不变的( m o d d ) ，即，丌一n 】p = 0 ( r o o dd ) v x r ( d ) 第五章研究了p r o t o 双代数胚上的d i r a c 结构的约化问题，定义了第一类可约 和第二类可约d i r a c 子丛，得到了约化定理5 1 5 定理5 1 5 设( ，a ，p ，m 蛾0 ) 是流形m 上的李拟双代数胚，l a o 岔是第一 类可约d i r a c 子丛，带有特征对( d ，”) 那么在商流形( 肘炙) 上存在一个泊松张 量7 r l 使得商流形( m a r ：，口1 ) 是泊松流形，其中”l = p 1 ( a + ( 丌) ) 随后，作为它的一个简单应用我们给出了扭泊松流形通过d i r a c 理论的约化定 理 定理5 1 1 3 设( m ，妒) 是一个扭泊松流形，( t m ，p m ，豇+ 7 r 4 妒，+ a 2 一妒，0 ，妒) 是个由”诱导的拟李双代数胚，其中口诱导p ( t m ) 上的标准向量场李括号l r m o p m 是第二类可约d i r a c 子丛，带有对偶特征对( d ，n ) 那么在商流形m 磊 上存在约化泊松张量砘使得( m 玩，7 r 2 ) 是泊松流形，其中”2 = m 。( 2 一( n ) 一7 ) 第六章中我们给出了同调方法的简单应用在对p r o t o 双代数胚的研究中我们 发现，微分在代数胚理论中起着至关重要的作用所以本文认为在代数胚的研究中 以微分作为主要研究对象更为自然第一节我们将n i j e n h u i s 张量引入p r o t o 双代 数胚理论，使得n i j e n h u i s 结构有了更丰富的研究内容从超流形角度来看n i j e n h u i s 结构，各变量之间的关系就很清楚、简洁我们具体讨论了n i j e n h u i s 结构中的形变 括号相容、形变算子相容和微分算子相容的关系给出了定理6 1 1 3 定理6 1 。1 3 假设( a ，a ，p ，1 ，吼纠是p r o t o 双代数旺，那么是( a ，岔，) 上的n u l ld i r a c 结构等价于l = ( e x p h 一。) l 是( a ，a 。，“7 ，妒，妒) 上的d i r a c 结构， 这个定理阐明了扭在d i r a c 结构中的重要地位及其联系最后，将同调方法应 用到j a c o b i 流形上，定义了广义李拟双代数胚，证明了它的存在性 8 1 2 1辛流形和泊松流形 1 2 预备知识 第一章绪论 定义1 _ 2 1 【5 9 】设吖是光滑流形，u r ( 2 ( p m ) ) 是非退化的，闭的二形式，则称u 为m 上的辛形式或者辛结构，带有辛结构的流形m 被称为辛流形，记作( m ，u ) 定义1 2 2 设( a 矗，u 1 ) 和( m 2 ，此) 是两个辛流形，f ：尬m 2 为光滑映射 若u 1 = ，她则称，为辛映射或辛流形同态若，还是微分同胚，则称，为辛同构 或辛微分同胚，简称为辛同胚 保持辛结构的向量场称之为辛向量场辛流形上的所有辛向量场构成向量场李 代数的李子代数 定义1 2 3 着辛流形( m ，u ) 上的向量场x 满足l x w = 0 ，则称x 为( m ，) 上的 辛向量场辛向量场的全体记作s ( m ，u ) 容易看出x 是辛流形( m ，u ) 上的辛向量场等价于u ( x ) 是闭的一形式h a m i l - t o n 向量场是辛几何中一个重要概念，对于任意的i c ”( m ) 总存在唯一的向量 场吗使得“( h i ) = d ，我们称毋为，所确定的h a m i l t o n 向量场，称，为h a m i l - t o n 向量场z 0 的h a m i l t o n 函数不难看出，h a m i l t o n 向量场一定是辛向量场 定义1 2 4 设m 为光滑流形，若存在c 。( m ) 上的括号“) 是双线性，反对称，满 足j a c o b i 恒等式和莱布尼兹法则即 ，g h ) = ，9 h + ， ) g 则称0 ) 为流形m 上的泊松括号，则称( m ，“) 为泊松流形 从泊松括号的定义可以看出泊松括号是c 。( m ) 上的李括号 命题1 2 5 在辛流形( m ，u ) 上定义映射 “) ：c 。( m ) c ”( m ) 一c 。( 们) ( f ，g ) 一h f g 则括号 ，) 是泊松括号 j 2 预备知识 9 上述命题说明在每个辛流形上都有辛形式所确定的泊松括号“) 即睾流形是 泊松流形的特例现在我们将h a m i l t o n 向量场的概念推广到泊松流形上设( 托 ，) ) 是泊松流形，则称 ， 是流形m 上由函数，确定h a m i l t o n 向量场 泊松流形( m ，“) ) 上的泊松括号等价于流形m 上唯一的双向量场i r 满足 其中卜】表示多重向量场的s c h o u t e n 括号所以有时我们也称( m ，丌) 为泊松流 形，称”为泊松张量与泊松张量w 等价的泊松括号可以表示为 ， 9 ) = ”( d ，d g ) 定义1 2 6 设( m ， ，) m ) 和( n ，h ) ) 都是泊橙流形，光滑映射妒：m 满 足 ，0 妒，go 妒 m = ，g ) no l p 则称妒为泊松映射若妒还是微分同胚，则称妒为泊松同构 泊松映射的概念也可以用泊松张量来表达： 定义1 2 7 设( m ，7 r m ) 和( n ，i r n ) 都是泊松流形，光滑映射妒：m _ + 满足 l p 7 r m = 7 r 则称_ p 是泊松映射若妒还是微分同胚，则称妒为泊松同构 扭泊松流形是最近几年发展起来的，它是泊松流形的自然推广，在拓扑场论及 物理学中弦理论方面有重要应用所以自产生以来，受到国内外许多数学家和物理 学家的普遍关注下面就简要介绍一下它们的相关概念和结果 定义1 2 8 4 2 】设7 r 是光滑流形m 上的双向量场，妒是m 上的闭的三形式，满足 ； 7 r ，7 r = 3 7 r t 妒 ( 1 1 ) 则称( m ，7 r ，妒) 为扭泊松流形，”称为妒一扭泊松张量 从定义看出当母为零时，扭泊松流形就是泊松流形设 ，g ) = 7 r ( d ，d g ) 则 称 ) 为扭泊松流形的妒一扭泊松括号定义h i = ，- 为，所对应的h a m i l t o n 向量场妒一扭泊松括号由以下性质唯一决定： 1 0 l 双线性 d l + a 2 h ，9 = n 1 ，9 卜 口2 ，2 ，9 ，a l ，啦r 2 反对称性 ，办= - g ，) 3 ，莱布尼兹性质 ，g h = h f ，g ) - g f ， ) 4 扭j a c o b i 恒等式 ，0 ，埘卜fc p + 妒( 毋，峨，h a ) = 0 第一章绪论 容易验证流形m 上的一个砂一扭泊松括号唯一决定一个妒一扭泊松张量反之 也对所以我们可以称带有妒一扭泊松括号的流形为扭泊松流形设( m ，7 r m ，妒村) 和( ，t n ，妒) 都是扭泊松流形，光滑映射妒：m - + 满足7 t m = ”，且妒 f = 矿妒，则称妒是扭泊松映射若l p 还是微分同胚，则称l p 为扭泊松同构 例1 2 9 f 4 2 假设( ，- ) 是李群g 上的双不变度量，妒是标准的双不变c a r t a n 三形 式 1 母( 付，伽) = 言( b ，叫，l j ) ，v u ，柚b ， 其中g 是g 的李代数双向量场”由算子亓= 2 ( a 如一1 ) ( a 如+ 1 ) 定义则( g ，”，妒) 为扭泊松流形 命题1 2 1 0 设( m ，妒) 是扭泊松流形，那么( p m ，h 】哪，7 r ) 是李代数胚且它所 决定的外微分 矗m = d 丌+ 2 利币， 其中卜 删定义如下 砖，喇。，p = l 。f q l 。目一d ( ”( ，q ) ) + 。f 。妒( 1 2 ) 证明( p m ，卜 。，十， ) 是李代数胚的证明参见【4 2 】- v x p ( t m ) ，o ，p r ( p m ) ， d n 廿x ( q ，卢) = 7 r ( q ) ( x ，卢) 一丌( p ) x ，d ) 一( x ，【a ，芦】。廿) = ”( o ) ( x ，卢) 一7 r ( 卢) ( x ，口) 一( x ，陋，翻。+ i 。n 。口妒) = 卜，x ( 口，卢) + 妒( ”o ，7 r 成x ) = ( d 丌x + a 2 荆妒) ) ( n ，卢) 所以有d 。，= d 。+ 2 7 4 母 上述命题中李代数胚中的括号( 1 2 ) 满足3 a c o b i 恒等式，而妒一泊松括号不满 足j a c o b i 恒等式，二者之间有如下关系： d f ，d 讲= d f ，9 + 母( 嘶，以，) 】2 预备知识 对于任意的，c 。( m ) ，有 露，十，= 如，= 【丌，】= 一h i 容易验证蟊，p 是外代数i ( a ) 的逆变外微分对于h a m i l t o n 向量场点0 ( l l o 丌) ( f ，町) = 妒( 7 r ，7 r 叼，月j ) 此式说明h a m i l t o n 向量场的流一般不保持7 r 定义1 - 2 1 1 【8 l 设u 是光滑流形m 上的二形式，如果满足山+ 妒= 0 ，则称( m ，u ，妒) 为扭预辛流形，u 称为讪一扭璜辛形式 在引盲中我们提到拟泊松流形实际上是特殊的拟泊橙李群在流形上的作用a a l e k s e e v 和y k o s m a n n - s c h w a r z b