（应用数学专业论文）c2一维动力系统中的极小非双曲集.pdf

c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集中文摘要 c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集 摘要 本文我们刻画，c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集只能为以下三种情况： 中性周期轨，周期吸引子或共轭于无理旋转的s 1 上的动力系统这个结论给出了非双 曲扩张集的刻画 令，是圆周或单位闭区间上的c 2 映射，不共轭于单位圆周上的无理旋转记a 为，的一个非空紧致不变集我们要证明的结果是a 为双曲扩张集当且仅当下述条件 同时成立： a 不含临界点，即使得，的导数为零的点； a 中的周期点，若有，必为双曲扩张周期点； 这一结论是m a 耐的经典结果本文将给出与上述结论相等价的主要定理，并对一些结 论给出另外的分析方法其中关于l i a 0 的极小非双曲集分类及有界形变性质( d i s t o r t i o n p r o p e r 锣) 的应用，自然数分段技术，向前轨道空间的引入以及对d e n j 呵st h e o r e m 的 推广都将是本文的核心内容 关键词：极小非双曲集，a d a p t e d 区间，双曲扩张性 作者：张晶晶 指导教师：张勇 t h em i n i m 甜1 yn o n - h y p e r b o l i ce x p a n d i n gs e ti nc 2o n 昏d i m e n s i o n “d y n 锄i c s a b s t r a c t t h em i n i m a l l yn o n h y p e r b o l i ce x p a n d i n gs e t i nc 2o n e d i m e n s i o n a ld y n a m i c s a b s t r a c t i nt h i sp 印e r ，w e 研ud i s c u s st h a tt h em i n i m “l yn o n - l l y p e r b o u ce x p a n d i n gs e ti nc 2 o n e - d i 1 e n s i o n dd y n 锄i c sh a st h r e ec o n d i t i o n sa 8f o l l o w s ： n e u t r a lp e r i o d i co r b i t ，p e r i o d i c s i i l l 【80 rt h ed y n 舭l i c st h a ti st o p o l o 百c a l l yc o n j u g a t et oa ni r r a t i o n a lr o t a t i o no ns1 t h e n o n - h y p e r b o u ce x p a n d i n gs e ti sc h a r a u c t e r e db ys u c hac o n c l u s i o n l e t ，b eac 2m 印o ft h ec i r c l e o rt h ei i l t e n ，a li n t oi t s e l fa n d ，i 8n o tt o p o l o 百c a y c o n j u g a t et oa ni r r a t i o n a jr o t a t i o n i 卮tab ean o n - e m p t yc o m p a c ti n v 盯i a n ts e t w - eg e tt h e r e s u l tt h a tai sah y p e r b o u ce ) ( p a n d i n gs e ti fa n do n l yi ft h ef o l l a w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s 6 e d ： ad o n t n t a l i nc r i t i c 出p o i n t ，t h a ti s ，t h ep o i n tzw i t h ，7 ( z ) = 0 ； e 、r e 】叮p e r i o d i cp o i n t ，i ft h e r ei 8 ，i sh y p e r b o l i c 唧a n d i n go n e ； t h i s r e s u l ti sm a j i 6 sc l 越s i cc o n c l u s i o n t h es u b j e c to ft h ep 印e r 丽1 1 百v et h ee q u i v 越e n t t h e o r e mt om a 矗6 st h e o r e m ，a n da l s o 百v et h eo t h e ra n a j y t i cm e t h o b i nt h ep a p e r ，w e a l s of o c u so nl i a 0 8c l 鹄s i 6 c a t i o no ft h em i n i m a l l yn o n - h y p e r b o l i c to f ，t h e 印p l i c a t i o n o fd i s t o r t i o np r 印e r 锣a n dt h et e d h n o l o g yo fc u t t i n gt h en a t u r a ln u 1 b e ri n t o 跎c t i o n s w b l e a di nt h ep r 争o r b i ts p a c et op r o 、，et h em a i np r o p o s i t i o n a tl 嬲t ，w ew i l le x t e n dd e n j o y s t h e o r e m ，蛆dm 出【ei tm o r eu s e f l l l i na n yo t h e r6 e l d s k e y 、o r d s ：t h em i n i m m l yn o n - h y p e r b o u c t ，a d a p t e di n t e r v a l ，h y p e r b o h ce x p a n d i n g w m t e nb yz h a n gj i n 百i n g s u p e r v i s e db yp r o f z h a n gy _ o n g i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：毒墟虽吼 学位论文使用授权声明 逊鱼1 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：递盘蠡咻型生叫7 导师签名：短日期 型丑7 c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张桌 第一章引言 第一章引言 对于一维动力系统的研究可追溯至p o i n c 龃6 ，我们对那些具有无穷多个临界点的 连续光滑映射很感兴趣，并且这个领域的动力系统的研究自上世纪7 0 年代至今已有 很大发展就这个方面的相关著作由g r a u c z y k ，s w i a t e k 1 】及l y u b i c h 2 】完成，此外d e m e l o ，v 妇s t r i e n 3 】等人也就此课题作了基本探索 在一维动力系统中，双曲性是一个简单但很典型的性质，迄今为止对其研究已较 完善双曲性一个很重要的性质就在于这些映射的双曲性建立在远离临界点的基础之 上，也即若一个映射，为双曲的，当且仅当所有临界点轨道包含在某些双曲吸引子的 吸引邻域中；进一步有，若，为单峰映射，双曲性等价于一个双曲吸引子的存在多 峰映射的动力系统同样受到临界点的很大影响这一结论在本文要证明的定理中得到 很好的体现本文中我们令= s 1 或【0 ，l 】，记e n d r ( ) 为上的所有微分同胚 的集合，其上赋予伊拓扑 定义1 - 1 设，e n d r ( ) ，z 为，的n 一周期点如果l ( 广) 7 ( z ) i 1 ，则称z 为双 曲点j 当i ( p ) ( z ) l 1 时，称z 为排 斥子，也称为源 定义1 2 ，同上若，7 ( z ) = 0 ，称z 为临界点记，的临界点的集合为c ( ，) 事实上，一个不含极小非双曲集的紧致不变集在c 2 系统中为双曲集因此，我们 研究双曲集可以通过研究极小非双曲集达到目标在m 蚯6 4 1 中证明了一个很强的结 论本文将给出与其结论等价的主要定理( 见下文) 在对主要定理的证明中运用l i a o 的极小非双曲不变集的分类，使证明过程清晰易懂同时本文还对相关引理作了详细 证明，丰富了文章内容 对于伊多峰映射空间的讨论在近期也取得了突破性的进展其中r = 1 时， j a k o b s o n 【5 】中证明了一维参数空间是开稠的，那么r 2 时呢?m 碰早在1 9 8 5 年就提出猜想：伊双曲系统在多峰映射空间中是否也为伊稠的? 这一未解课题在 很长一段时间内成为一维动力系统的主要问题上述定理证明了任意多峰映射若其临 界点包含在双曲吸引子的领域中，则这样的，可由一个双曲映射逼近这样，此猜想 可等价证明这样的映射组成的集合为伊稠的事实上，二次映射结果的得出迈出关 键的一步，见g r a c z y k ，s w i a t e k 【6 】，l y u b i c h 7 】在此基础上k o z l o v s i 对此猜想关于单峰 映射作了大胆的推广，见k o z l o v s i 9 】联系一般的多峰映射，s h e n 最近证明了c 2 双 c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集第一章引言 曲映射的稠性见 1 0 】更令人兴奋的是，在不久前由k o z k ) v s i ，s h e n ，及v 抽s t r i e n 1 1 】对 m a 舶的猜想作了圆满的解决但对其高维推广的可行性有待进一步的探讨 另一方面，临界点的出现对于参数空间中非一致双曲性的发展起了促进作用j a k o b s o n 【5 】主要结论：对于c 2 多峰映射族组成的开集( 包含二次映射) ，使映射存在一个绝对 连续不变侧度的p 的参数集具有正的l e b e s g u e 测度这一结果开辟了通往非一致双曲 动力系统的道路此后，近期在这方面的发展很快，主要归功于对于重整化算子的理解， 并且重整化技术在分析统计性质时发挥重要作用，且对于n o r m a u z a t i o nc o n j e c t l l r e 的证明成为整个一维动力系统中最重要的成就之一 本文将给于极小非双曲集以明确的刻画，文章将在第三部分给出证明，并将简单诠 释证明的几何意义，扩充d e n j 呵st h e o r e m 使之具有更广泛的应用此外，在下文引 理3 6 证明过程中我们根据返回映射f ( za ) 的定义将自然数进行分段，而这一技术在 很多方面有广泛的应用，例如：参见文献【1 2 】 另外，我们给出了相关命题及引理的几何解释，希望读者读后能对引理内容有更深 刻更直观的认识在介绍本文内容之前先看两个基本的定理，他们将在后文证明过程 中起到举足轻重的作用： d e 埘0 y st h r e m 设，：s 1hs 1 为c 2 上的保向微分同胚记丁= p ( ，) 为，的旋转 数，为传递的，则，拓扑共轭于一刚性旋转 此定理证明过程表明若一区间远离临界点，且在，作用下仍不含临界点，则可使原 区间延长一点时在，作用下其叠加和相差一常数即： l p ( 以) i 一( 1 + e ) k i 尸( ，) i ， 下文将给出精确陈述 有界形变性质( d i s t o r t i o np r o p e r t y ) 设，为区间j 、r 上的c 2 映射，称区间，c 上 具有有界形变，如果存在k o ，对于任意 ，尼cj ，对每个礼= 1 ，2 ，有 糍f 删k 卧 2 c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集第二章预备知识及主要结论 第二章预备知识及主要结论 2 1 c 1 动力系统 这部分主要给出l i a o 的关于极小非双曲集的分类及性质首先我们看几个定义： 定义2 1设，e n d r ( ) ，ac 若，( a ) ca ，则称a 为，一不变 定义2 2 设a 为，的非空紧不变集若存在o a o ，使得对于任意z a ， 对每个n = 1 ，2 ，3 ，有i ( 尸) 7 ( 删k a ，则称a 为双曲扩张的 定义2 3 设a 为非空紧致不变集假设a 不是双曲扩张集，若对于任意非空紧的不 变真子集a 1ca ，a 1 必为双曲扩张集，则称a 为极小非双曲扩张集 为方便起见，在下文中我们说双曲集就是指双曲扩张集，同样提到非双曲集就是指 非双曲扩张集通常情况下我们更关注极小非双曲集下面的这个命题会保证极小非 双曲集的存在性 命题2 1 任意一个闭的非双曲不变集至少包含一个极小非双曲集 证 设q 为闭的非双曲不变集，令厂= acq ：a 为闭的非空非双曲扩张集) 则 由包含关系可得一偏序记蜀c 厂为一个全序集，这样n r ：r 而 也是而中的 元如若不然，n r ：r 蜀) 必为双曲集从而由双曲集结构稳定性可知定存在一 个紧邻域u ，并且可保证此u 为双曲集而由n 口：r 冗 cu 知，存在r 矗，使 得r u 于是得i 、为双曲集这样与蜀的定义矛盾故n r ：r 而) 蜀由z o r n 引理知存在极小元不妨记为 0 ，易见a o 就是q 中的极小非双曲扩张集 关于双曲扩张集我们有如下的命题； 命题2 2 紧不变集a 为双曲扩张集当且仅当对于任意的z a ，当n _ 。o 时，有 l ( 广) 7 ) f _ 0 0 定义2 4 若l ( 尸) 7 ( z ) i 乒_ ) ，称z a 为阻碍点 由命题2 2 知，极小非双曲集必包含阻碍点下面依l i a o 的方式对其进行分类： 定义2 5极小非双曲集可分为两类：简单及非简单极小非双曲集若对于任意阻碍 点z a ，有u ( z ) a ( z ) 必为双曲集 则a 为简单极小非双曲集此时易见 a = u ( z ) uo r b + ( z ) 若存在阻碍点z a ，使得u ( z ) = a ，则称a 为非简单极小非双 曲集，此时a 具有回复传递性 3 c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集 第二章预备知识及主要结论 命题2 3设a o 为极小非双曲扩张集，则a o 具有正向回复性，即存在z a 使得 u ( z ) = a 0 ，且有，( a 0 ) = a o 即在一维动力系统中只有非简单极小非双曲扩张集这种 情况 证 a 。为极小非双曲集，下面分类讨论： 若a o 为简单极小非双曲集，存在阻碍点z a o ，使得a o = u ( z ) uo r b + ( z ) ，即“，( z ) 为a o 的真子集又由于1 i md ( ，u ( z ) ) = o 易见，当礼_ o o 时，l ( ，n ) 7 ( z ) i _ o 。 这与z 为阻碍点相矛盾故一定存在z a ，使得u ( z ) = a o 事实上，此时不存在a o 为简单极小非双曲集这一情况 若a 0 为非简单极小非双曲集时，对于任意阻碍点z a 0 ，都有u ( z ) = 结论成 立 下证： ，( a o ) = a 0 事实上，如若不然，设，( a o ) sa o ，则，( a o ) 一定为双曲扩张集根据双曲扩张集定义 知必存在o a o ，使得l ( ，n ) ) i k a l 1 ) 对于任意的! ，( a o ) 都成 立这样对每一个z a o ，有l ( 尸) 7 ( z ) i _ + 。o ，即说明了a o 为双曲集与a o 为非双曲 扩张集矛盾 口 注2 1 事实上，由极小非双曲集的定义及l i a o 的分类可以看出，对于极小非双曲集可 以有更精确的划分极小非双曲集存在于三种平凡的形式，一条中性周期轨或一条周 期吸引子都是一个极小非双曲集；此外，当，为无理旋转时，以全空间为极小非双曲 集 命题2 4设 0 为极小非双曲集若a o 不由一条中性周期轨或一个周期吸引子组 成，则一定包含非周期点 证由上述命题知只有非简单极小非双曲扩张集这一种情况故存在阻碍点z 0 ， 使u ( z ) = a 0 由a 0 不由一条中性周期轨或一条周期吸引子组成知，这样的z 必为非 周期点否则，a d = o r b ( z ) 这时a 0 或者为中性周期轨，或者为周期吸引子与条件 矛盾 口 4 c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集 第二章预备知识及主要结论 2 2c 2 动力系统 以下是本论文的主要结论它给出了俨一维映射中非双曲扩张集的刻画 定理2 1 假设，e n d 2 ( ) ，且，不共轭于无理旋转设a 为极小非双曲扩张集，且 a 不含临界点，则或者a 由一条中性周期轨组成，或者a 由一条周期吸引子组成 以上结论也可以看作是极小非双曲集的分类定理令，e n d 2 ( ) ，设极小非双曲 集a 不含临界点则a 只能是以下三类 ( 1 ) a 由一条中性周期轨组成； ( 2 ) a 由一条周期吸引子组成； ( 3 ) a = s 1 ，一吼，其中a 为无理数 推论2 1 肘硫鲋j 7 设，e n d 2 ( ) 令ac 为，一非空紧致不变集假设a 不包含 临界点，吸引子及其领域则a = = s 1 ：，拓扑共轭于吼或a 为双曲集 主要引理设，e n d 2 ( ) ，不共轭于单位圆周上的无理旋转令a 为，的非空紧不 变集则a 为双曲扩张集当且仅当下述条件同时成立： a 中不含临界点； a 中不含中性周期点； a 中不含周期吸引子 注2 2j ，e n d l ( ) 时上述命题均不成立事实上，在证明过程中要用到区间上的 有界形变性质，而后者是在映射为c 2 光滑下成立的 2 引理条件显然是必要的其充分性是一维c 2 动力系统所特有的，对高维不成 立这是此命题的可贵之处 只定理2 i f 及以上引理条件中“不含临界点”这个条件不能去掉下面这个例子将 说明这个条件的重要性 例2 1 定义在区间j = 【o ，1 】上的二次映射厶( z ) = p z ( 1 一z ) ，设1 p n o 都成立则 d i 锄厶 o ， n 。7 由极限定义知存在一时刻珊o ，使得 蒜d ( 厶，c ( ，) ) o 竹 伽 7 从而有i n f d ( 厶+ f 1 0 ，c ( 川 o 而我们已经知道广( ) c 厶+ ，l o ，故得 瓣d ( ，“( ) ，c ( 川 o ( 1 ) d i 锄，n ( ) 。o ( 2 ) n = o 下证( 1 ) + ( 2 ) 与的极大性是相矛盾的 由d e n j o y 8t h e o r e m 及( 1 ) ( 2 ) 知对于任意的z 厶有 i ( ，”) 怡) i 6 ，即，在，一n 作用下没有临界点产生； ( 3 ) 亚n ( ，) c ，或皿n ( j ) n ，= 0 ，即j 在，一“作用下要么进入j 内部，要么与，不相 交 引理3 2 给定a 中任意非周期点口，及j 0 ，存在 o ，使得若 n ) c ，( 开) ，满足 d j a m ( j ) o 设竹为最大正数满足厶= ( o e n ，o + e 。) ，对 于任意的z 厶na ，口皿( z ，a ) ，存在，一歹i j 的分支：厶h ，其中歹= 1 ，2 ，n ， 使得 ( z ) = 口0 ) ， d i a m 屿( 厶) 6 ， ，皿j + 1 = 皿j 】 c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集 第三章定理的证明 不失一般性可设 o 6 o ，则取j = ( o 一，口+ ) 即可 现假设概n = o ，则 一。令= 皿j 。( 厶) ，则存在 ) 的一个子列收敛到 u ，且d i 锄= 6 为方便不妨记为巩一矿由于= 皿j 。( 厶) ，“i 巩是单射，且没 有临界点，故每个巩为d 一区间这样得到u 为d 一区间由引理3 1 知u 为终周 期的取一点口u ，必存在伽，当n n o 时，口= 皿j 。( 厶) ，即，如( 口) 厶而 d i 锄厶正n 厶，贝0 d ( o ，尸”( 口) ) 一0 而由口的取法知u ( q ) 为周期轨这样必然有o u ( 口) 口为周期点。矛盾 口 注3 4 ( 1 ) 此引理是在条件( b ) ( c ) ( e ) 即，为c 2 映射，a 不含临界点且包含非周期点 情况下成立此外，我们还用到引理3 j 的结论，所以还要隐含条件( a ) 必须成 立； ( 2 ) 引理舅2 在于寻找到一个区间，当，的尺寸小于某个固定的常数e 时，在， 的反向迭代下可使其尺寸无限小 ( 3 ) 证明过程中，l i m n = e 这一极限有意义事实上：首先， e 。) 是一个有界数 列；其次，由给定竹，d i 锄( 厶) = 2 e 。，d i 锄( ( 厶) ) 正1 歹礼，要证得 d i 啦( ( 厶+ 1 ) 6 仍然成立，则需要e n + 1 n ，故【e n ) 为有界单减数列，这样 o ，存在充 分小的，f z ) c ，c 而a d 印t e dt oa ，满足存在，当仃时对任意( 而，) c ( 而) ， 使得皿。( 厂) n ，0 ，贝0 d i 锄皿n ( 而) o ，及一列c o h e r e n ts e q u e n c e ( 而， 雪：) ) c ( 而) ，其中 = 1 ，2 ， 一列整数几1 n 2 1 下式之一成立： 皿。( 而) n 西z ( 而) = d ， 皿。( 而) c 西l ( 而) 或皿。( 而) ) 锄( 而) 这样可取吨( 而) c 雪岛( 而) c 而，其中i 歹1 设u = i n tn 皿毛( 而) ，则u 为一个开 之1 区间，且非空d 一区间，由引理3 1 知必为终周期的故 d ，【厂) = l i m d ( z ，妒( 而) ) 坶n d ( z ，雪( j ；c ) ) h d i 锄五+ d i a m 皿( ) 由引理3 2 知上式极限为o ，故z 扩根据u 的定义知氏( u ) c 而则u ) n 五0 而z 厅，u 为终周期的，则u ( z ) 为周期轨这与而选取矛盾 口 注3 5j 事实上，由非周期点z 可找到一个a d 印t e d 区间而，并且可以找到一个尺寸 更小的区间jc 而从某一刻起，j 在以后任一次逆向迭代作用下进入j 的内 部此时而在，的逆向迭代下拉不长，即限定在给定r 范围内 1 3 c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集第三章定理的证明 2 这一命题同样要特别强调，不为无理旋转，a 不含临界点，这样d 一区间j 的 出现才会有所依据，并且成为终周期的 到此为止，基本的准备工作已经完成剩下的任务就是验证在厂na 的点在，作用 下是扩张点，从而说明a 的双曲扩张性引理3 5 特别注意的是条件( b ) ，是c 2 映射 成立通过证明我们知道有界形变性质在c 2 下才有意义 引埋3 5 对1 士惠6 0 ，仔征k o = k o ( d ，) 0 便得( ，t 尘n 力c o h e r e n ts e q u e n c e ，褥 足i n f d ( 皿。( j ) ，c ( 川 6 ，则对于每个z ，秒zn = 1 ，2 ，都有 矧鲫争毗， 陬协) | ；锱刊 d ( “g ( ，) ) 6j 惭j ：； 其中戤= ，( z ) ，玑= ，( 可) ，为戤，犰之间的数对于每个礼都有i n f d ( 皿n ( j ) ，c ( ，) ) 占， 则j 中没有临界点， l ，7 ( i o 能保证上式的右端有意义取 耻啪，孙。锱d 豫，c ( ，) ) 6j k t j 1 4 昭 i 1 轨 一 卜 一 i 1 k ， i - 、1 0 g “一心 o 一；一m 器 毗铷l枷 c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集第三章定理的证明 其中& 为皿n ( j ) 中任意一点，则 魄酗删 故得 鲫凰酗删 等价于：设z l ，z 2 为了的端点时， 即 缈九圳警唧跏刀 i ( 雪”) b ) i e x p 甄i ( m 唧凰争i ， 九刮警唧酗删 口 定义3 7给定，e n d l ( ) ，ac 为紧集， ，a d 印t e dt oa 若存在m 1 使得圣 为，一”i j 的分支，满足( 圣( j ) ) nj = 0 ( 1 歹 o 广( a ) ) ，使得 垂( z ) n 。 o 尸( a ) ，则称圣为返回映射 f ( a ，j ) = 【圣：，h ，为a 上的返回映射) ，即因为ja d a p t e dt oa ，皿。( j ) nj d 则 意味着霍n ( ，) cj 当1 j m 时，皿j ( j ) n j = o ，皿。( j ) n j o ，这样皿m ( j ) f ( a ，) ， 所以事实上f ( a ，j ) 包含那种第一次返回j 的映射 引理3 6 设ja d a p t e dt oa ，使得f ( a ，) = 0 ，或者存在o a m o ) 从而得到d i a m ( d 2 d i 锄构造c o h e r e n ts e q u e n c e 雪：) ) ，在求线段长度过 程中要用到有界形变估计 证 设皿。为恒同映射，任取( z 皿。) c ( j ) 当f ( a ，j ) = 0 时，即对任意的n 1 有皿露( j ) nj = d ，从而皿n ( j ) n 皿。( j ) = d 仇1 ) ，这样d i a m 皿n ( 刀2 d i a m 现假设有无穷个n ，使得( j ) nj 0 成立不妨设为n 1 n 2 竹3 1 时，有 1 ，雪1 ( 刀斗皿2 ( ，) + 雪。1 1 ( ，) ，雪。n 雪m = d ，0 n 仃l 几1 1 ， 2 雪。1 ( 了) _ + 雪。1 + 1 ( 了) _ 雪，l l + 2 ( 了) 雯n 2 1 ( ，) ，雪。n 雪t ，；= 既铭1 珏 7 您礼2 1 ， 3 皿。2 ( ，) 一皿。2 + 1 ( ，) ，皿。2 + 2 ( j ) 皿n 3 1 ( j ) ，雪n n 皿仇= 口，n 2 礼 m n 3 1 ， k 皿。k 一。( ，) - 皿。 一l + 1 ( j ) + 皿n k 一1 + 2 ( ，) 皿。 一1 ( ，) ，皿。n 雪m = 0 ，礼七一1 n 1 ， 西l i 皿铂一】( ，) = 亚m ，n 一1 = ，m l 一啦。 易看出，西l = 皿。，定义m 1 = n 1 ，m t = 啦一啦一1 ，则哦可描述如下：存在广n i j 的分 支皿i ( 1 佗 m t ) ，满足 ( a ) 峨= ，雪：+ 1 ，i 1 ，1 嚣 ”k ， ( b ) 皿幺= 圣i ，且i 圣：( z ) l 入 由包的定义及ja d a p t e dt oa 知，对于任意1 礼 m l ，由 雪乞( ，) nj = 0 ， 得到 雪：( j ) n 皿( ，) = 谚，( 1 n m m ，i 1 ) 这样由上述迭代过程可以看出 】6 c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集第三章定理的证明 1 i ，j + i 皿1 ( ，) i + j 皿2 ( j ) j + + j 皿。，一1 ( j ) j = 高1j 町( 刀j 2 d i 锄 2 i 皿。，( j ) i + i 皿n 。+ 1 ( j ) i + i 皿。，+ 2 ( ，) i + + i 皿他一1 ( j ) l = i 皿n ，( ，) l + i 皿忆，( 皿1 ( j ) ) i + l 皿n ，( 皿2 ( ，) ) i + + i 皿n 。( 皿。一n 。+ l ( j ) ) a i j i + a l 皿1 ( j ) i + a i 皿2 ( ，) i + + a i 皿仰一。+ 1 ( j ) l = 警石“1 十1a i 皿j ( j ) i 2 a d i 锄 3 i 皿。：( ，) i + l 皿n 。+ l ( j ) i + l 皿他+ 2 ( j ) i + + i 皿。一1 ( j ) l = i 皿。( j ) i + i 皿。( 皿1 ( ，) ) l + l 皿。( 皿2 ( ，) ) i + + i 皿。：( 皿。一耽+ 1 ( j ) ) j sa 2 i 了 + a 2 i 雪l ( j ) i + a 2j 皿2 ( j ) j + + a 2j 皿。3 一。+ 1 ( 刀f = ：豸7 圪+ 1a 2 l 皿j ( j ) i 2 a 2 d i 锄 k i 皿n 。一，( 厂) l + l 皿。一。+ 1 ( ，) i + l 皿。一。+ 2 ( 厂) i + + j 巫。一1 ( j ) i = i 皿n 。一。( ，) i + i 皿。一，( 皿1 ( ，) ) l + i 皿。一。( 皿2 ( j ) ) l + + i 皿n 。一。( 雪。一n 。一，+ 1 ( ，) ) a 七一1 i j i + a 七一1 l 皿1 ( ，) i + a 七一1 i 雪2 ( j ) i + + a 。一1 i 皿n k 一。k 一1 + 1 ( j ) i = 蒿吣1 + 1 一1 心( j ) i 2 妒一1 d i 锄 上述式子相加，得 n l 一1 愕( 删( a + 入2 + a 3 + + 炉1 + ) 2 d i 锄 t = lj = 0 羔2 d i 锄 托 ， 因此有i 虬( j ) i k 得 矧细硒怡凰 其中z ，zn 1 于是，有无数个礼满足皿n ( j ) nj 0 时结论成立事实上，当 有有限个n 满足( 刀n ，d 时证明及分析过程相类似：上面的迭代过程不是无限 而成为有限的几个阶段，这样相加后的的式子左端值变小，不等式自然成立综上所 述得到 吖i 警e x p 凰争哪， 尝唧硒k d l 锄j 1 7 c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集 第三章定理的证明 则有 m 刮警薹蛐吲j ) 掣甄 1 孑k 1 口 下述引理对于整个定理的证明起到很大作用，在m 蕊6 4 及后来的补充m a 能 1 3 】已 相当完善，此处只给出其内容： 引理3 7若，e n d 2 ( ) 不是无理旋转， ac 一孙r 为紧的不变的且没有临界点 的闭集，则n 尸( a ) 有非周期点z ，如) c ，a d 印t e dt oa ，及常数k 1 ，o o ，使得对于任意的z a ，对于每个 n = 1 ，2 ， i ( 厂i ) ( z ) i c 文章将在附录部分给出详细证明 下面将给出文中主要引理的简要证明t 证 我们用反证法若a 不为双曲集，不含中型周期轨，不含吸引子及非双曲周期 点，临界点a 具有正向回复性，且，不为无理旋转，由命题2 3 知一定存在非周期 点z 由引理3 7 知可找到区间j 弓za d a p t e dt oa ，取任意的口皿( z ，a ) ，设r 为口的 极限集( 相当于口( z ) ) a r a 时，r 为双曲集，有撬i ( 尸) 7 ( p ( n ) ) l = o o ； b r = a 时，存在口( 礼o ) j na ，定义占= 皿( a ，口( 礼o ) ) ，占( 礼) = 口+ 仃o ) ，由于，a d 印t e d t oa ，存在似( 雪住】) 使得( 口( 嚣o ) ) = 否( 冗) ，由 ( 皿n ) 印( 礼) ) o ( 1 等) ，取正整数 ，满足 2 1 m 2 我们断言：对于任意z a ， | ( ，( + 1 ) ) 怡) i 2 此断言可证明上述命题下面证明断言成立： 任取z a ，固定牙= 0 0 ，z l ，z 一2 ，z n ) a ，使得知= z 令毛= ，( z ) a 1 ) ， 记丞。= ( ，z 一1 ，知，z n 一1 ，z n ) a 由于孟( z + 1 ) a ，故定存在某个娩使牙( z + 1 ) u ( 砚) ( 1 t 后) 现为简便起见不妨设n 1 = 佗( 娩) ，则 i ( ，n ( 磊) ) 7 临( f + 1 ) 一n ( 而) ) i 2 即 i ( ，m ) 忙( 1 + 1 ) 一n 。) i 2 而易知孟( 1 + 1 ) 一。( 磊) a 仍成立，故同样存在某个使孟( z + 1 w n ( 磊) u ( 易) 再设 n 2 = n ( 易) ，贝0 i ( ，n 2 ) 伶( z + 1 ) 一n 。一。2 ) i 2 依此类推则存在1 n 1 ，礼2 ，n q ，且有( 2 + 1 ) 一佗1 一礼2 一礼g 2 这样由求导的链式法则得 i ( ，( 2 + 1 ) ) k ) l m 2 。 2 2 n c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集第四章附录 记a = 妮 1 e = 署，则 l ( 厂( 1 + 1 ) ) 7 ( z ) i c a ( 。+ 事实上，由于，为满射，故当z 跑遍a 时，厂( i + 1 ) ( z ) 也跑遍a 这样a 中任意一点 在，迭代下指数扩张，且是一致扩张的，扩张常数为以上a 口 2 关于d e n j o y st h e o r e m 中的区间延长技巧 命题4 1 设，为定义在s 1 或者【0 ，1 】上的c 2 映射其子线段j 满足 i i 跫d ( ，“( j ) ，c ( ，) ) o j n ，u 2 d i 锄，件( ，) o ，使得 j i n f d ( ，“( 以) ，c ( 埘 o j n 户u 2 d i 锄，t i ( 以) o 。 礼0 这里以为与，有共同端点，长度为( 1 + ) l ，i 的j 的扩充 证 令溉d ( ，”( ，) ，c ( ，) ) = r - 事实上，我们只要在，这一区间一端接出一端长度 为6 的小区间如，若j u 厶后仍具有有界形变性质，若为耳，则= 斜同时我们令 6 足够小，且满足i ，“( 厶) j 吉r ，这时由有界形变性质可保证 端d ( ，n ( 以) ，c ( 川o 同时，由有界形变性质知 删k 饼，l 产( 删。一川 即 l ，n ( 以i ( 1 + e ) k i ，n ( j ) i 1 目固定要使上式成立只需要求d i s t o r t ( ，n ，厶) a e 弘，对于任意的n 都成 立，从而有 n l d i s t o r t ( ，“，厶) e ) 【p 硒l ，( 厶) i t = 0 由于硒l ，( 厶) l 2 入高e 弘，令占充分小，使得e 硒。而1 沁而为计算简 = 0 便不妨取入= e ，有 2 硒高1 + 1 虬+ 1 ，且川 1 ，所以得到 o 6 去 曲时磁：e k l + 1 口 c 2 一维动力系统中的极小非双曲扩张集 参考文献 参考文献 【l 】g r a u c z y kj & s w i a t e kg ，s m o o t hu n i m o d a lm 印si nt h e1 9 9 0 s ，e r g o d t h d y n 锄 s y s ，( 1 9 9 9 ) ，1 9 ，2 6 孓2 8 7 【2 l y u b i c l lm ，t h eq u a d r a t i cf a 嘶l ya saq u a l i t a t i v e l ys o l 、，a b l l em o d e lo fc h a o s ，n o t i c e a m e r m a t h s o