【创方案】学高中数学一集合与函数概念末复习方案与全优评估人教A版必修.doc

【创新方案】2013-2014学年高中数学 第一章 集合与函数概念末复习方案与全优评估 新人教A版必修11集合的“三性”正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意2集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集解题时，已知条件中出现AB时，不要遗漏A.3集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如ABABAABB.4函数的单调性函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间a，b上是增函数或减函数，必须证明对a，b上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)成立；若要证明f(x)在区间a，b上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2I，则(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1x2f(x1)f(x2)(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)0在区间I上至多有一个实数根(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)g(x)亦与它们的单调性相同函数单调性的判断方法：定义法；图象法5函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提集合间关系的应用例1已知集合Ax|x23x20，Bx|x2x2m0若ABB，求m的取值范围解(1)由题意得A1,2因为ABB，所以BA.当B时，方程x2x2m0无实数解，因此其判别式18m；当B1或B2时，方程x2x2m0有两个相同的实数解x1或x2，因此其判别式18m0，解得m，代入方程x2x2m0解得x，矛盾，显然m不符合要求；当B1,2时，方程x2x2m0有两个不相等的实数解x1或x2，因此121,2m2.显然第一个等式不成立综上所述，m.借题发挥空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而导致解题失误1已知集合My|yx21，xR，Nx|y，则M与N之间的关系()AMNBMNCMN DM与N关系不确定解析：My|y1，Nx|x1，MN.答案：A2已知Ax|x22xp0，xR，Bx|x0，xR且AB，求实数p的取值范围解：AB，A有两种情况：A；A.当A时，44p1.当A时，则方程x22xp0有实数根且根非正0p1.综上所述，p0.集合的运算例2若集合Ax|x1，Bx|2x2，则AB_.解析由Bx|2x2，又Ax|x1，结合数轴知：所以ABx|1x2答案x|1x2借题发挥此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心圈”表示例3已知Ax|2axa3，Bx|x5，若AB，求a 的取值范围解由AB，若A，有2aa3，a3.若A，如图：，解得a2.综上所述，a的取值范围是，2(3，)借题发挥(1)依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法(2)若AB，则集合A、B可能的情况为：A、B均为空集；A与B中只有一个是空集；A、B虽然非空但无公共元素3集合Ax|1x2，Bx|x1Bx|x1Cx|1x2 Dx|1x2解析：Bx|x1，RBx|x1A(RB)x|1x2答案：D4已知U0,2，x22，UA2，x，则A_.解析：(UA)U，xU且x2.当x0时，U0,2，2，UA0,2，A2当xx22时得x1或x2(舍去)x1时，U0,2，1，UA2，1，A0答案：2或0函数概念问题例4已知f(x)，若f(a)2，则实数a_.解析当a0时，f(a)a12，a1.当a0时，f(a)4a2，a(舍去)答案1借题发挥解决分段函数求值问题的关键是搞清分段标准，然后代入相应的解析式即可例5求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)已知yf(x)的定义域是0,4，求yf(x1)f(2x1)的定义域解(1)使根式有意义的实数x的集合是x|x1，使分式有意义的实数x的集合是x|x2，所以这个函数的定义域是1,2)(2，)(2)要使yf(x1)f(2x1)有意义，必须有x.故所求函数的定义域为，借题发挥已知解析式求函数的定义域，即求使解析式有意义的自变量的取值范围；而本例(2)为抽象函数的定义域问题，函数yf(x1)f(2x1)的定义域为yf(x1)与yf(2x1)的定义域的交集5函数y的定义域为()A(，1) B(，0)(0,1C(，0)(0,1) D1，)解析：要使函数有意义，则，即x1且x0.答案：B6设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若f(1)2，求f(99)的值解：f(x)f(x2)13.且f(1)2.f(3)，f(5)2.f(7).f(9)2，f(2n1).f(99)f(2501).函数图象及应用例6设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，对称轴为x1.当t11，即t1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.借题发挥本题中区间是变化的，从运动观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰7设函数f(x)x22|x|1(3x3)，(1)证明f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上是增函数还是减函数；(4)求函数的值域解：(1)证明：f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，即f(x)f(x)又3x3，关于原点对称，f(x)是偶函数(2)当x0时，f(x)x22x1(x1)22，当x0时，f(x)x22x1(x1)22，即f(x).根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图(3)函数f(x)的单调区间为3，1)，1,0)，0,1)，1,3f(x)在区间3，1)和0,1)上为减函数，在1,0)，1,3上为增函数(4)当x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为2，最大值为f(3)2；当x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为2，最大值为f(3)2.故函数f(x)的值域为2,2.函数的单调性、奇偶性与最值问题 例7已知函数f(x)x，且此函数图象过点(1,5)(1)求实数m的值；(2)判断f(x)奇偶性解(1)f(x)过点(1,5)，1m5m4.(2)对于f(x)x，x0，f(x)的定义域为(，0)(0，)关于原点对称f(x)xf(x)f(x)为奇函数借题发挥在判断函数的奇偶性之前，首先要确定函数的定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性，若函数的定义域关于原点对称，则再利用f(x)与f(x)的关系判断奇偶性例8已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)求实数a的范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数；(2)求f(x)的最小值解(1)f(x)(xa)22a2，可知f(x)的图象开口向上，对称轴方程为xa，要使f(x)在5,5上单调，则a5或a5，即a5或a5.(2)当a5，即a5时，f(x)在5,5上是增函数，所以f(x)minf(5)2710a.当5a5，即5a5时，f(x)minf(a)2a2，当a5，即a5时，f(x)在5,5上是减函数，所以f(x)minf(5)2710a，综上可得，f(x)min借题发挥解决二次函数的最值问题主要采用图象法或根据单调性求解，若问题中含参数，往往需要分类讨论，该类问题概括起来主要有两类：一是二次函数的解析式确定(不含参数)，而定义域为不定区间；二是定义域确定，而解析式中含参数，无论哪一类应视抛物线的开口方向，就对称轴与给出的区间的位置进行讨论8函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f().(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t1)f(t)0.解：(1)根据题意得即解得f(x).(2)任取1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x21，x1x20,1x0.又1x1x20.f(x1)f(x2)0.即f(x1)f(x2)f(x)在(1,1)上是增函数(3)f(t1)f(t)f(t)f(x)在(1,1)上是增函数，解得0t.9设函数f(x)是定义在(0，)上的增函数，且满足f(xy)f(x)f(y)若f(3)1，且f(a)f(a1)2，求实数a的取值范围解：因为f(xy)f(x)f(y)，且f(3)1，所以22f(3)f(3)f(3)f(9)，又f(a)f(a1)2，所以f(a)f(a1)f(9)，再由f(xy)f(x)f(y)，可知f(a)f(9(a1)因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，从而有，解得1a.故所求实数a的取值范围为(1，)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合Ax|x210，则下列式子表示正确的有()1A1AA 1，1AA1个 B2个C3个 D4个解析：Ax|x2101，1均正确答案：C2设全集UR，Mx|x2，Nx|1x3，则图中阴影部分所表示的集合是()Ax|2x1 Bx|2x2Cx|1x2 Dx|x2解析：阴影部分所表示集合是N(UM)，又UMx|2x2，N(UM)x|10时是增函数，x0也是增函数，所以f(x)是增函数；(2)若函数f(x)ax2bx2与x轴没有交点，则b28a0；(3)yx22|x|3的递增区间为1，)其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：(1)反例：f(x)；(2)不一定a0，开口向下也可；(3)画出图象可知，递增区间有1,0和1，)答案：A8函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是增函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是()Aa2 Ba2C2a2 Da2或a2解析：yf(x)是偶函数，且在(，0上是增函数，yf(x)在0，)上是减函数，由f(a)f(2)，得f(|a|)f(2)|a|2，得a2或a2.答案：D9定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2(，0(x1x2)，都有0，则()Af(5)f(4)f(6)Bf(4)f(5)f(6)Cf(6)f(5)f(4)Df(6)f(4)0，对任意x1，x2(，0，若x1x2，总有f(x1)f(5)f(6)又函数f(x)是偶函数，f(6)f(6)，f(4)f(4)f(6)f(5)f(4)答案：C10设数集Mx|mxm，Nx|nxn，且M、N都是集合x|0x1的子集，如果把ba叫做集合x|axb的“长度”，那么集合MN的“长度”的最小值是()A. B.C. D.解析：由集合长度的定义知M的长度为，N的长度为，若要使MN的长度最小则应使M的左端点m与N的右端点n离得最远，又M、N都是集合x|0x1的子集，应使m0，n1.此时Mx|0x，Nx|x1，此时MNx|x，其长度为.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11函数y的定义域是_解析：要使函数y有意义得x1.答案：x|x112已知函数满足f(xy)f(x)f(y)(x，yR)，则下列各式恒成立的是_f(0)0f(3)3f(1)f()f(1)f(x)f(x)0解析：令xy0，则f(0)0成立；f(2)2f(1)，f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)恒成立；f()2f()f()f(1)成立当x0时不成立答案：13若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.解析：f(x)bx2(2aab)x2a2由f(x)为偶函数可得2aab0.若a0则f(x)bx2其值域不可能为(，4，故b2，此时f(x)2x22a22a2.又由值域为(，4可得2a24.f(x)2x24.答案：2x2414函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)，若f(1)5，则f(f(5)_.解析：f(x2)，f(x22)f(x)f(x4)f(x)，f(5)f(1)5.ff(5)f(5)f(1)f(3)f(12).答案：三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知集合Ax|ax10，Bx|x23x20，且AB，求实数a的值解：B1,2，且A为或单元素集合，由ABA可能为，1，2(1)Aa0；(2)A1a1；(3)A2a.综上得a0或1或.16(本小题满分12分)已知函数f(x)2xm，其中m为常数(1)求证：函数f(x)在R上是减函数；(2)当函数f(x)是奇函数时，求实数m的值解：(1)证明：任取x1x2R，则f(x1)f(x2)2x1m(2x2m)2(x2x1)又x10.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)f(x)为R上的减函数(2)f(x)为奇函数f(x)2xmf(x)2xm，m0.17(本小题满分12分)若f(x)是定义在(0，)上的增函数，且对一切x，y0，满足f()f(x)f(y)(1)求f(1)的值；(2)若f(6)1，解不等式f(x3)f()2.解：(1)在f