（基础数学专业论文）广义逆的线性保持问题.pdf

中文摘要 y 6 5 7 4 5 5 中文摘要 设r 是一个主理想整环，m ；( 兄) 记r 上扎x 礼全矩阵代数文献 【5 中给出特征不为2 和3 交换局部环或一般交换环及除环时矩阵保群 逆算子的刻划作为文【5 的补充，在本文中我们给出了特征是2 的主 理想整环上保矩阵群逆的线性映射的一个刻划类似地，保l “( r ) 中矩 阵 1 ) 逆的线性映射也被刻划 本文充分利用【8 】的结果，刻划了特征不为2 的主理想整环r 上从 靠( 冗) 到 乱( r ) 的保矩阵逆的线性映射sm ) ，及特征是2 的主理 想整环r 上从a 幺( r ) 到a 矗( r ) 的保矩阵逆的可逆线性映射。 关键词：主理想整环线性映射矩阵的群逆矩阵的 1 逆 保矩阵逆 外文摘要 a b s t r a c t l e trb eap r i n c i p a li d e a ld o m a i na n dm n ( r ) d e n o t e st h en nm a _ t r i xa l g e b r a so v e rr t h eo p e r a t o rp r e s e r v i n gg r o u pi n v e r s e so fm a t r i c e s o nm n ( k ) ，w h e r eki sc o m m u n i t i v el o c a lr i n go rg e n e r a lc o m m u n i t i v e r i n go rd i v i s i o nr i n ga n de h k 2 ，3 ，i sc h a a c t e r i s e di nr e f e r e n c e 【5 1 - i nt h i sp a p e r ，a st h ec o m p l e m e n t a r yo fr e f e r e n c e 5 】 w h e nc h r = 2 ，w e c h a r a c t e r i s eal i n e a rm a p p i n gp r e s e r v i n gg r o u pi n v e r s e so fm a t r i c e so n m n ( 兄) i ti st h es a l n ew a y t oc h a r a c t e r i s et h el i n e a rm a p p i n gp r e s e r v i n g 1 ) i n v e r s e so fm a t r i c e so n 尬i ( r ) b yu s i n gt h er e s u l to fr e f e r e n c e 【8 】，w ec h a r a c t e r i s et h el i n e u rm a p p i n gp r e s e r v i n gi n v e r s e so fm a t r i c e sf r o m 众( r ) t o 尬n ( r ) ，w h e r e 佗 m ，c h r 2 ，a n d t h ei n v e r s el i n e a rm a p p i n g p r e s e r v i n gi n v e r s e so fm a t r i - c e sf r o m ( r ) t o ( r ) w h e nc h r = 2 k e y w o r d s ：p r i n c i p a li d e a ld o m a i n l i n e a rm a p g r o u pi n v e r s e s o r m a t r i x 1 i n v e r s eo fm a t r i x p r e s e r v ei n v e r s e so fm a t r i x 一一 第1 章关于“广义逆线性保持同题”的概述 第l 章关于“广义逆线性保持问题”的概述 1 1 关于广义逆矩阵 逆矩阵的概念只是对非奇异矩阵才有意义但是在实际问题中，遇 到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要考虑， 可否将逆矩阵概念进一步推广为广义逆为此，引进下列条件： ( 1 ) 对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在“广义逆”； ( 2 ) 它具有通常逆矩阵的一些性质； ( 3 ) 当矩阵非奇异时，它还原到通常的逆矩阵 早在1 9 2 0 年，e h m o o r e 就提出了广义逆矩阵的概念但在其后的3 0 年，它的理论几乎未被注意直到1 9 5 5 年r p e n r o s e 以更明确的形式给 出了m o o r e 的广义逆矩阵的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个 新的时期由于广义逆矩阵在数理统计，系统理论，优化计算和控制论等 许多领域中的重要应用逐渐为人们所认识，因而大大推动了对广义逆矩 阵理论的应用的研究对非奇异矩阵来说，不论什么研究目的，逆矩阵 的定义是唯一的，而对广义逆矩阵来说，对不同的目的有不同的定义 因此，广义逆矩阵类型有很多，典型的有m p 逆，群逆，f 1 一逆， 1 ，2 ) - 逆， 1 ，2 ，3 ) 一逆， 1 ，2 ，4 一逆， 1 ，3 ) 一逆等等 1 2 “线性保持问题”的研究 设s 是一个代数结构( 域，环，半环等) ，h 。，h 2 记代数结构s 上 的矩阵空间或加法群，它们经常被取作所有的n r t 矩阵的集合 “( s ) ， 所有的礼n 对称矩阵的集合，所有的n n 反对称阵的集合，所有的 r t 礼上三角矩阵的集合等如果一个映射l ：h 1 h 2 满足下面的( 1 ) 和( 2 ) ，则称l 是线性映射或线性算子 ( 1 ) l ( a + b ) = l ( a ) + 工( b ) ，v a ，b h i ； 熏龙江大学硬士学位论文 ( 2 ) l ( s a ) = s l ( a ) ，v a h i ，8 s 特别地，当h 1 = h 2 = h 时，也称l 为线性变换刻划从h l 到k 的保 持某些函数，子集，关系，变量等不变量的线性映射的结构的问题称为 线性保持问题，衙记为l p p ( l i n e a rp r e s e r v ep r o b l e m ) 关于线性保持问题的最早文章是1 8 9 7 年f r o b e n i u s 的【1 6 】和k a n t o r 的【1 7 】，之后一些研究线性保持问题的文章陆续出现，参见m a r c u s 和 g r o n e 的综述文章1 1 8 ，1 9 ，2 0 】特别是近三十年，线性保持问题已成为 国际上矩阵论领域中的热门研究课题之一，它在众多领域有应用背景 许多学者做了大量的研究工作因此产生了大量关于线性保持问题的文 献，参见l i ，d o k o v i c 和t s i n g 的综述文章【2 1 ，2 2 1 9 8 9 年曹重光在黑 龙江大学自然科学学报上发表“局部环上矩阵幂等的模自同态【2 3 】”一 文，在国内引发了线性保持问题的研究，几年来出现了一大批成果参 见刘绍武等的专著【3 】及 1 1 1 2 1 9 9 2 年，l i 在1 2 1 】中将线性保持问题( h i = h 2 = 砷概括为以下 四个主要类型包括保持函数，保持子集，保持关系及保持变换 关于保持函数是指设f 是h 上的( 纯量值，向量值或集值) 函数 h 上的线性算子l 满足 f ( l ( a ) ) = f ( a ) v a h 当f ( a ) = d e t ( a ) 时，f r o b e n i u s 1 6 】分别解决了h = ( g ) ，h = 晶( g ) 及h = a m n ( e ) i t r a = o ) 的情形，其中g 是复数域，d e t a 记矩阵 a 的行列式，t r a 记矩阵a 的迹当函数取作矩阵秩时，m i n e 2 5 解 决了h = 尬。( 卢) 情形，其中p 是任意的代数封闭域；刘绍武和王路群 【2 6 】将m i n c 的结果推广到含1 的交换环；w o n g 2 7 】也在非交换环上 解决了这个问题 关于保持子集是指设驼ch ，h 上的线性算子l 满足l ( 跪) 乳 当驼= a l a 2 = a ) 时，c h a n 等【2 9 】首先解决了h = 尬；( r ) 的情形，其中r 表示实数域，曹重光【2 3 】和王路群等 3 0 j 先后将c h a n 一2 一 豢l 章关于“广义遵线性保持问题”e 概述 等的结果分别推广到特征不为2 的局部环和含1 的交换环；b e a s l e y 和 p u l l m a n 3 1 在元素个数大于2 的任何域上研究了这个问题，并提出了 两个o p e n 问题，曹重光和张显等1 3 2 】解决了其中一个，后来刘绍武在 1 0 中将这两个问题在更广泛的主理想整环上同时解决；曹重光f 3 3 1 和 刘绍武等【3 4 先后在体上解决了这个问题，关于保持子集的线性保持问 题还有很多，例如 3 5 3 6 3 7 等 关于保持关系方面的文章有p i e r c e 和w a t k i n s 3 8 1 刻划了任意域上 保交换的非退化线性算子，之后c h o i 等3 9 1 又去掉“非退化”的条件 进行研究另外c h a n 和l i r a 2 4 1 也研究了实对称空间及复h e r m i t e 阵 空间上保交换的线性算子 关于保持变换的文章有c h a n 等分别在 3 6 和 4 0 中考虑了保幂 及保矩阵伴随的线性算子的保持问题 关于线性保持问题的进一步研究主要可从以下三个方面着手 1 ) 扩大基础环，试图在某些较一般的环上来研究l p p 2 ) 试图寻找新的不变量来研究l p p 3 ) 在不同的矩阵空间上来研究l p p 从这三个角度出发l p p 有着更多可供研究的内容，本文从上述考 虑问题的几个角度出发来欲以研究 1 3 关于“广义逆的线性保持问题” 人们试图不断寻找新的不变量来研究l p p ，由于对广义逆矩阵的 不断深入研究，使得不变量为广义逆的研究成果不断增多文1 4 1 早在 1 9 9 1 年研究了特征不为2 及3 域上保m p 逆线性算子刻划之后曹重 光和张显又分别在 6 4 2 2 8 中分别刻划特征2 及3 域上保m p 逆可 逆线性算子结构+ 在【3 3 中给出了实四元数体上保m p 逆刻划当关系 取作群逆时文5 1 中给出特征不为2 和3 交换局部环或一般交换环及除 环时矩阵保群逆算子的刻划本人则研究了特征2 的保群逆及 1 ) 逆可 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 逆线性算子( 见作者读硕士期间发表论文【1 】【2 】) 从低维到高维的保幂等线性映射的刻划近年来引起一些学者兴趣 1 9 9 9 年，曹重光在黑龙江大学自然科学学报( 3 1 ( 1 ) ：1 4 ) 中确定了( 设r 是有1 的连通交换环，且r 上每个幂等阵都相似于对角阵，当2 为r 中的单位时) 从低维到高维的保幂等线性映射c h i k w a _ a gl i ，唐孝敏 在【4 3 4 4 中分别研究了秩1 保持及伴随保持的问题 陈涛在其硕士毕业论文【1 5 】中考虑了( 设f 是域，c h f 2 ，3 日寸) 从低维到高维的保立方幂等的线性映射佟鑫，曹重光在【4 1 中刻划了 特征不为2 , 3 ，5 的域f 上从对称矩阵空间晶( f ) 到全矩阵空间地( f ) 的保幂等的线性算子的研究( nsm ) 本文刻划了特征不为2 的主理想 整环r 上从 靠( 兄) 到 ( r ) 的保矩阵逆的线性映射( n m ) 本文咒表示一个主理想整环， 靠( r ) 记r 上扎n 全矩阵代数 c h r 表示r 的特征数，g l 。( r ) 表示冗上的饥阶一般线性群，厶( r ) 记为惦。( r ) 中幂等阵的全体墨，表示( i ，j ) 位置为1 其余位置为0 的 矩阵，厶为扎阶单位阵，0 7 为j 阶零矩阵，a 0b 记为a 与b 的 k r o n e c k e r 积， 1 ，n 记集合 1 ，扎 1 4 本章小结 在本章中，我们给出了广义逆、线性保持问题以及关于广义逆的 线性保持问题的简单介绍 一4 一 第2 章保矩阵群逆及 i 逆的线性映射 第2 章保矩阵群逆及 1 ) 逆的线性映射 2 1 保矩阵群逆的线性映射 定义1 设a 螈( r ) ，如果x 尬。( r ) 是矩阵方程a x a = a ，x a y = x ，a x = x a 的解，则称x 是a 的群逆，记作a 伴，又设 t 为 ( r ) 的可逆线性算子，如果对】l 矗( r ) 中所有a 祥存在的a 有 t ( 舢孝= 丁( a 毒) ，则称t 是保群逆的，其全体这样的丁构成集合l 引理2 1 1 ( 【6 】的引理2 ) 设q l ，q 2 ，q 3 ，q 4 为r 中四个不同的元 素，若a + q k b + 靠e + 9 2 d = o ( k = 1 ，2 ，3 ，4 ) 对a ，b ，g ，d 靠( r ) 成立，则a b cd = 0 引理2 1 2r 为特征2 的主理想整环，a 3 = a 矗( r ) ，则存在 p g l ( 劢使得 p a p l = d p 0 ， 其中d p = d i a g ( d 1 ，一，d p ) ，d i 0 ，i 1 1 ，p 】，礼= 2 p + q + r 证明由【1 】及 2 之引理1 易证 引理2 1 3 设r 是特征2 的主理想整环，r 中单位个数大于4 ，t l ，则t ( 厶) = l ， 证明对任意的i 【l ，n 1 ，及r 中单位q ，由 t 【厶+ ( q + 1 ) e l i 社= t 厶+ ( q 一1 + 1 ) e “1 易知 t i n + ( q + 1 ) e i ；】t + ( q q + 1 ) e i 0 丁b + 0 + 1 ) 置胡= t i n + + 1 ) 忍 j 一5 一 熏龙江大学硕士学位论文 取q 为四个不同的单位，由引理2 1 1 推出 t ( 厶) t ( 置i ) t ( 厶) + t ( 厶) 2 t ( 互) + r ( 臣) t ( 厶) 2 + t ( 最t ) t ( 厶) t ( 蜀 ) = 0 ( 1 ) t ( 既) ? ( 厶) t ( 最i ) + t ( 风) = 0( 2 ) 丁( 厶) 丁( 最，) t ( k ) + t ( 厶) t ( 易t ) 2 + t ( e i ) 2 t ( 厶) + t ( 噩i ) = 0( 3 ) 又由 t 【厶+ ( q + 1 ) 置d t 厶+ 0 一。+ 1 ) 墨 1 = t 【厶+ ( g - 1 + 1 ) e i i l t 1 , + ( q + 1 ) e i 】 推得 t ( 毋t ) t ( 厶) = t ( 厶) t ( 最i )( 4 ) 由( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 推出 t ( 厶) t ( 最：) t ( 厶) = t ( 置，)( 5 ) 由 t ( 厶+ q e j ) # = t ( 厶+ 口e 玎) 对任意的i ，j 1 ，礼】且i j 都成立，取q 为三个不同的单位，则有 丁( 厶) 2 t ( e i j ) + t ( e i j 。) t ( 厶) 。+ t ( 厶) t ( e o ) t ( 厶) = t ( e j ) ( 6 ) 因t ( 厶) 誊= t ( l ) ，故t ( i a ) 3 = t ( 厶) ，由引理2 1 2 ，不妨设 ti pd p ir 丁( 厶) = l p 其中2 p + q + r = n ，d p = d i a g ( d l ，d p ) ，比0 ，i 【1 ，纠 下面分四种情况讨论 c i ，t c 厶，= ( 苫兰) 其中，+ 。c r ，且r ，p + a ，z p + 第2 章保矩阵群逆及 1 ) 逆的线性映射 c i i ，丁c 厶，= ( 吉2 ) 其中p ，z p = n ，。，= d i a s c a 。，略， c i i i ，丁c 厶，= ( 2 ) 其c o p , q 1 , 2 p + q = n , d p = 喇= x n v ie1 1 , 礼 t c 引= x i w h l 1 ，v t c 噩。，= ( 妻吾) ，vi ，t c e 。，= ( 茎誓) ， 2 ) c ) 如果( i i ) 发生，令t ( 风) = ( 喜；) ，将此式和( i i ) 代入( 5 ) d ) 令t ( e 巧) = ( 茎 ) 将此式和( i i ) 代入( 6 ) ， 因t ( i n ) 2 = 厶于是( 6 ) 化简为t ( i ) t ( e j ) t ( i ) = 丁( 晟，) 燕龙江大学硕士学位论文 类似c ) 的证明易知z i = 0 由c ) ，d ) 知 啦扣x w y 、) 此与t 可逆矛盾，故( i i ) 隅，= ( 吾嘉 不成立 3 ) e ) 如果( i i i ) 发生，令t ( e t j ) = v i ， ，x yz 、 l ll ，v i j m qj 。令t c 岛，= x 1 y 1 z 1 、】将此式和c i i i ，代入c e ， 丁c 吲= ( 三x 菇y 言z 卜t c 驴x 1 y 1z 1 1 ，蝌， 一8 一 第2 章保矩阵群逆及 1 ) 逆的线性映射 i ) 存在尸eg l 。( r ) 使得 t ( x ) = p “xp ) v x 厶( r ) i i ) 存在p g l 。( r ) 使得 t ( x ) = p 。1 x 丁只v xe 矗( r ) 证明由 3 定理4 21 易证 定理1 设r 为特征2 的主理想整环，且r 中单位个数大于4 ，则 t l 当且仅当t 是如下形式之一： i ) 存在p g l 。( r ) 使得 t ( x ) = p 1 xp v x 螈( r ) i i ) 存在p g l 。( r ) 使得 t ( x ) = p 。x t 只v x 嵋。( 冗) ， 证明由引理2 1 3 ，引理2 1 4 和引理2 15 即可证得 2 2 保矩阵 1 ) 逆的线性映射 定义2 设a 尬。( r ) ，如果x 呱( 冗) 是矩阵方程a x a = a 的鹪，则称x 是a 的 1 ) 逆用a 【1 ) 表示矩阵a 的所有) 逆的 集合若尬。( r ) 上的可逆线性映射，满足对任意的x a ( 1 ) 均有 y ( x ) ，( a ) ( 1 1 ，则称，是保 l 逆的，其全体这样的i 构成集合血t ) 引理2 2 1 设兄是特征2 的主理想整环，且存在q i u ( r ) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，f l ( ”，贝4 ，( 厶) = 厶 证明对任意的i 【1 ，叫，及r 中单位q ，由 i ，【厶+ ( q 。+ 1 ) 邑订，i 厶+ ( q + 1 ) e l ：】1 ) 易知 ，【l + ( q + 1 ) e i d ，【l + 伯一1 + 1 ) e 翻， 厶+ ( q + 1 ) 毋j = ，阢十( 口+ 1 ) e e ；j 一9 一 黑龙江大学硕士学位论文 取q 为四个不同的单位，由引理2 1 1 推出 ，( 厶) ，( 旦t ) f ( i n ) + ，( 厶) 2 f ( e i l ) + ，( 蜀) ，( 厶) 2 + f ( e i t ) ，( 厶) ，( 匠t ) = 0 ( 9 ) ，( e t ) ，( 厶) ，( 最i ) + ，( 匠。) = 0( 1 0 ) 又由于对任意的i ，j 【1 ，礼 且i j ，均有 ，+ q 确) ，( k + q e , ，) ( 1 ) 成立，取q 为三个不同的单位，则有 ，( 厶) 2 ，( ) + ，( e o ) ，( 厶) 2 + ，( 厶) ，( e o ) ，( 厶) = ，( 最，)( 1 1 ) 因为，( 厶) ，( 厶) ( ”，故，( 厶) 3 = ，) ，由引理2 1 2 不妨设 ti pd | lr f ( i n ) = l 如 其中2 p + q + r = n ，d p = d i a g ( d t ，一，d p ) ，巩0 ，i 1 ，p 再利用( 9 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ) 参考引理2 1 ，3 的证明方法易证得，( 厶) = 厶 引理2 2 2 设r 是特征2 的主理想整环，且3 u ( r ) ，如果f l ( 1 ) ) 满足f ( z ) = i ，则，是保幂等的 证明首先，任意a 3 = a ，显然意味着a a 哦由于，保 1 ) 逆，则f ( a ) ，( a ) 即，( a ) 3 = ，( a ) ，这说明，保立方幂等现在 任取x = x 2 ，则x 3 = x ，由c h r = 2 易知( x + ) 3 = x + i ，从而 f ( x + ) 】3 = f ( x + j ) ，即【i ( x ) + ，( j ) 】3 = f ( x ) + ，( ，) ，再由f ( 1 ) = ， 及3 e ，( r ) 可推出，( 竭2 = ，( x ) ，即，是保幂等的 引理2 2 3 设，是保幂等的可逆线性算子，且1 r i 2 ，c h r = 2 ， 则f 是如下形式之一： i ) 存在p g l 。( 冗) 使得 f ( x ) = p 。x 只v x 螈( 兄) 一1 0 一 第2 章保矩阵群逆及 1 逆的线性映射 i i ) 存在p g l 。( r ) 使得 f ( x ) = p 。x tp v x 螈( r ) 证明由 3 定理4 2 1 易证 定理2 设r 为特征2 的主理想整环，且r 中单位的个数大于4 ，则 f l o ) 当且仅当，是如下形式之一： i ) 存在p g l 。( r ) 使得 ，( x ) = p “xp 】v x m 。( r ) i i ) 存在p g l 。( r ) 使得 f ( x ) = p 一1 x t p ，v x 螈( r ) 证明由引理2 2 1 ，引理2 2 2 和引理2 2 3 即可得证 2 3 本章小结 近年来一些学者对线性保持问题给予了极大的关注，其中不变量为 广义逆的也有许多研究，但特征是2 的情形尚很少 见 3 【4 【6 ，在这 一章中确定了特征2 的主理想整环上，保矩阵群逆及 1 ) 逆的可逆线性 映射的形式 黑龙江大学硕士学位论文 第3 章保矩阵逆的线性映射 3 1 引言 关于矩阵代数保逆的线性映射的研究引起许多学者的兴趣( 如【7 f 1 3 ) 但是钆 1 , 2 p = n c m ，t c 厶，= ( 昂厶) 其中p ，。三：，z p + a = n t c 剐= x 荔1 恍m 州 一1 8 第3 章保矩阵逆的线性映射 b ) 再令 t c 耻( x 1w m l ) v i j 将上式及( i ) 代入( 1 8 ) 推出啊= 0 ， 由a ) ，b ) 知 t c = ( 兰吾) ，t c 剐= ( 参等) ，蝉， 易见丁( 魄) 和丁( e d ) 不能生成全空间，即t 非满射，这与t 可逆矛 盾，故( i ) 不成立 其余( i i ) ( i i i ) 情况同理可证不能发生 引理3 3 2 设r 是特征2 的主理想整环，若te b 一1 ，满足t ( i ) = ， 则t 是保幂等的 证明由 3 引理4 22 易证 定理4 设r 是特征2 的主理想整环，且r 单位个数大于3 ，若 t e b l 当且仅当t 是如下形式之一： i ) 存在p g l 。( r ) 使得 t ( x ) = p 。x 只v x a 靠( r ) i i ) 存在p g l 。( r ) 使得 t ( x ) = p 。1 x tp v x ( r ) 证明由引理3 3 1 ，3 3 2 及 3 】即可证得 一1 9 黑龙江大学硕士学位论文 致谢 作者自2 0 0 2 年底起，在导师曹重光教授指导下，开始了“线性保持 问题的学习经过一年多的努力，取得了一些成果，现将其汇编成册作 为毕业论文 值此研究生生活即将结束之时，我谨向我的导师曹重光教授表达最 诚挚的谢意感谢曹重光教授给予了多方面的关怀和精心指导曹老师 言传身教，他严谨的科研作风和勤奋忘我的工作态度永远激励我不断进 步 感谢理学院王路群，任洪善等诸多老师是他们用爱心和无私奉献 给予我知识，教会我做人感谢同窗好友在学习中的关一t , - 和帮助 在此，我向所有给予我关怀和帮助的老师、同学和朋友致以真诚的 谢意 参考文献 参考文献 1 冯克勤，交换代数基础，北京：高等教育出版社，1 9 8 5 2 张显，主理想整环保对合矩阵的线性映射，数学杂志，2 1 ( 4 ) ：4 2 1 4 2 4 ( 2 0 0 1 ) 3l i us h a o w u ，z h a od o n g b i n ，i n t o d u c t i o nt ol i n e a rp r o b l e m s ，h a r b i n ： h a r b i np r e s s ，1 9 9 7 4 张显，曹重光，保不变量的矩阵加群同态，哈尔滨：哈尔滨出 版社，2 0 0 1 5 曹重光，环上矩阵保群逆的线性算子，科学通报， 3 7 ：1 8 2 8 1 8 3 1 ( 1 9 9 2 ) 6 刘玉，张显，保矩阵m p 逆的线性算子，南昌大学学报， 2 1 ( 4 ) ：3 6 4 3 6 8 ( 1 9 9 7 ) 7c a o c h o n g g u a n g ，z h a n gx i a n ，a d d i t i v eo p e r a t o r sp r e s e r v i n gl d e m p o t e n tm a t r i c e so v e rf i e l d sa n da p p l i c a t i o n s ，l i n a l g a p p l ，2 4 8 ：3 2 7 - 3 3 8 ( 1 9 9 6 ) 8 曹重光，某些环上矩阵模的保幂等线性映射，黑龙江大学自 然科学学报，1 6 ( 1 ) ：1 4 ( 1 9 9 9 ) 9z h a n g x i a n ，c a oc h o n g g u a n g ，b uc h a n g j i a n g ，a d d i t i v em a p sp r e s e r v i n gm - p i n v e r s e so fm a t r i c e so v e rf i e l d s l i n m u l t i l i n e a r a l g ，4 6 ：1 9 9 2 1 1 ( 1 9 9 9 ) 1 0l i us h a o w u ，l i n e a rm a p sp r e s e r v i n gi d e m p o t e n c eo i lm a t r i xm o d u l e s o v e rp r i n c i p a li d e a ld o m a i n s ，l i n a l g a p p l ，2 5 8 ：2 1 9 - 2 3 1 ( 1 9 9 7 ) 1 1 曹重光，张显，幂保持加法映射，数学进展，3 3 ( 1 ) ：1 0 3 1 0 9 ( 2 0 0 4 ) 一2 1 黑龙江大学硕士学位论文 1 2c a oc h o n g g u a n g ，z h a n gx i a n ，a d d i t i v er a n k - o n ep r e s e r v i n gs u r j e c t i o n so n s y m m e t v i c m a t r i x s p a c e s ，l i n a l g a p p l ，3 6 2 ：1 4 5 - 1 5 1 ( 2 0 0 3 ) 1 3 曹重光，域上对称矩阵保逆的加法映射，高等教育科研文萃， 9 - 1 0 ( 1 9 9 6 ) 1 4 曹重光，域上m o o r e - p e n r o s e 逆的线性保持算子，黑龙江大学 自然科学学报，8 ( 3 ) ：4 8 - 5 1 ( 1 9 9 1 ) 1 5 陈涛，保立方幂等的线性映射，黑大硕士论文，0 1 5 1 2 4 ( 2 0 0 3 ) 1 6g f r o b e n i u s u b e rd i ed a r s t e l l u n gd e re n d l i c h e ng r u p p e nd u r c h l i n e a r es u b s t u t i o n e n ，s i t z u n g s b e r d e u t s c h a k a d w i s s ，b e r l i n ，9 9 4 1 0 1 5 ( 1 8 9 7 ) 1 7s k a n t o r t h e o r i ed e ra q u i v a l e n zv o nl i u e a r e n 。s c h a r e nb i l i n e a r e r f o r m e n ，s i t z u n g s b e r m u n c h e n e ra k a d ，3 6 7 3 8 1 ( 1 8 9 7 ) 1 8r g r o n e ，i s o m e t r i e so fm a t r i xa l g e b r a s ，p h d t h e s i s ，u n i v o fc a l i f o r n i a ，s a n t ab a r b a r a ，( 1 9 7 6 ) 1 9m m a r c u s ，l i n e a r o p e r a t i o n s o i lm a t r i c e s ，a m e r m a t h m o n t h l y ，6 9 ：8 3 7 - 8 4 7 ( 1 9 6 2 ) 2 0m m a r c u s ，l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n so nm a t r i c e s ，j r e s n a t b u r s t a n d a r d s ，7 5 b ：1 0 7 - 1 1 3 ( 1 9 7 1 ) 2 1c k l ia n dn k t s i n g ，l i n e a rp r e s e r v e rp r o b l e m s ：ab r i e fi n t r o d u c t i o n a n ds o m e s p e c i a lt e c h n i q u e s ，l i n a l g a p p l ，1 6 2 1 6 4 ：2 1 7 - 2 3 5 ( 1 9 9 2 ) 2 2d z d o k o v i ca n dc k l i o v e r g r o u p so fs o m ec l a s s i c a ll i n e a rg r o u p s w i t h a p p l i c a t i o n st ol i n e a rp r e s e r v e rp r o b l e m s ，l i n a l g a p p l ，1 9 7 1 9 8 ：3 1 6 1 ( 1 9 9 4 ) ， 一2 2 参考文献 2 3 曹重光，局部环上矩阵模的保幂等自同态，黑龙江大学自然 科学学报，6 ( 2 ) ：1 3 ( 1 9 8 9 ) 2 4c h c h a r ta n dm h l i m l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n so ns y m m e t r i cm a t r i c e st h a tp r e s e r v ec o m m u t a t i v i t y ，l i n a l g ，a p p l ，4 7 ：1 1 2 2 ( 1 9 8 2 ) 2 5h m i n c l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n so nm a t r i c e s ：r a n k1p r e s e r v e r sa n dd e t e r m i n a u tp r e s e r v e r s ，l i n e a ra n dm u l t i l i n e a ra l g ，4 ：2 6 5 2 7 2 ( 1 9 7 7 ) 2 6l i us h a o w ua n dw a n g l u q u n ，r - l i n e a re n d o m o r p h i s m so f ( r ) p r e s e r v i n gr a n ko n e ，n o r t h e a s tm a t h j ，1 1 ( 1 ) ：3 6 ( 1 9 9 5 ) 2 7w w o n g r a n ko n ep r e s e r v i n gm a p so nl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n so v e r n o n c o m m u t a t i v el o c a lr i n g s ，j a l g ，3 ：2 6 3 2 9 3 ( 1 9 8 8 ) 2 8x i a nz h a n g ，c h o n g g u a n gc a o ，a d d i t i v em o o r e p e n r o s ei n v e r s ep r e s e r e r so f ff u j im a t r i x m g e b r a s o v e rf i e i d so f c h a r a c t e r i s t i c3 i n t e nm a t h j ，4 ( 5 ) ：4 5 5 4 6 1 ( 2 0 0 3 ) 2 9g h c h a r t ，m h l i r aa n dk k t a n ，l i n e a rp r e s e r v e r so nm a t r i c e s ， l i n a l g a p p l ，9 3 ：6 7 8 0 ( 1 9 8 7 ) 3 0w a n g l u q u na n dy u a n g u i f a n g ，l i n e a rm a p sp r e s e r v i n gi d e m p o t e n c e o nf u l lm a t r i xm o d u l e so v e rc o m m u t a t i v er i n g s ，a c t am a t h s i n i c a ， 3 5 ( 1 ) ：8 5 8 9 ( 1 9 9 2 ) 3 1l b b e a s l e ya n dn j p u l l m a n l i n e a ro p e r a t e r sp r e s e r v i n gi d e m p o - t e n tm a t r i c e so v e rf i e l d s ，l i n a l g a p p l ，1 4 6 ：7 - 2 0 ( 1 9 9 1 ) 3 2 曹重光，张显，刘国桐，保特征2 的域上幂等矩阵的线性算 子，数学研究与评论，1 6 ( 1 ) ：1 4 7 - 1 4 9 ( 1 9 9 6 ) 3 3c a oc h o n g g u a n g ，l i n e a ro p e r a t o r st h a tp r e s e r v em - pi n v e r s e so fm a - t r i c e s ，n o r t h e a s t m a t h j ，9 ( 2 ) ：2 5 5 2 6 0 ( 1 9 9 3 ) 一2 3 黑龙江大学硕士学位论文 3 4l i us h a o w ua n dy u a ng u i f a n g l i n e a ro p e r a t o r sp r e s e r v i n gi d e m p o - t e n c eo nm a t r i c e ss p a c e so v e rs k e w - f i e l d s ，c h i n e s es c i e n c eb u l l i t i n ， 4 2 ( 1 5 ) ：1 2 4 4 - 1 2 4 7 ( 1 9 9 7 ) 3 5l b b e a s l e ya n dn j p u l l m a n ，l i n e a ro p e r a t e r ss t r o n g l yp r e s e r v i n gr c y c l i cm a t r i c e so v e rs e m i r i n g s ，l i n e a ra n dm u l t i a l g ，3 5 ：3 2 5 - 3 3 7 ( 1 9 9 3 ) 3 6c h c h a na n dm h l i r a ，l i n e a rp r e s e r v e r so np o w e r sfm a t r i c e s ，l i n a l g a p p l ，1 6 2 - 1 6 4 ：6 1 5 6 2 6 ( 1 9 9 2 ) t 3 7z h a n gx i a na n dl i u y u ，l i n e a rp r e s e r v e r so nt r i p o t e n tm a t r i c e so v e r c o m m u t a t i v ep r i n c i p a li d