（光学专业论文）原子相干效应与纠缠光产生的研究.pdf

博士学位论文 姗ra ld l s s e | u 埘o n 摘要 量子纠缠反映的是两个或多个量子系统之间存在的非定域、非经典的强关联， 它是量子力学最显著的特征之一。近年来量子纠缠的制备及其应用成为了量子信息 科学的前沿领域。这不仅因为它可以用来验证实在性、定域性、隐变量以及测量理 论等量子力学的基本问题，而且在量子信息处理中如量子隐形传态、量子密集编 码、量子密钥分配等方面有着重要的应用。另一方面，原子相干效应是量子光学和 激光物理学的重要课题，一直以来都是科学研究的热点之一。它导致了一系列有趣 的物理现象，如相干布居捕获、电磁诱导透明、非线性过程增强等，这些现象对基 础物理的发展和实际的应用都有着重要的价值。基于原子相干效应而制备稳定的、 抗干扰能力强的、高纯度的纠缠源是本文的研究主题。本文创新性工作包括以下三 个方面： 首先我们分析了三能级人型和y 型四波混频系统中的纠缠特性。在此混频系 统中，两外加驱动场分别被应用到两个偶极允许的跃迁上，且在该跃迁上产生两腔 模场。我们利用缀饰原子压缩变换模方法分析了纠缠产生的物理机制，在此表象中 存在着两个离散通道。缀饰原子通过两离散通道同时吸收来自于一对压缩变换模的 激发光子。正是因为双通道的存在，纠缠大大地增强。适当地选择激光场失谐与 强度的比值，最好获得的态接近原始的e p r 纠缠态。该方案考虑了原子的自发辐 射，因此可适用于光频范围。 接着我们提出e p r 光纠缠可在微波控制的四波混频系统中获得。在此系统中， 控制场和产生场有着五个量级的频率差。作为例子，我们考虑了一个三能级a 型原 子系综。其中，一个微波场共振地耦合两个亚稳态，一个激光场共振地耦合其中的 一个亚稳态和激发态。通过原子从激发态到另一个亚稳态的直接跃迁，作为腔模的 一对内边带被放大。该方案在缀饰原子压缩变换模表象中进行分析。适当地选择微 波场和激光场的强度比值，一对类e p r 算符的方差和接近于零，这对应着原始的 e p r 纠缠。 最后我们提出一个制备比特纠缠簇态的可供选择方案。我们应用一个频率 可调的激光场照亮囚禁在线性泡利阱的所有热离子。通过选择激光场的调制系数， 我们可得到离子内部态和外部态间的耦合和退耦合的可选择性机制。基于这一选择 性机制，高度纠缠的簇态可以获得。在此方案中，振动模式是虚激发的，因此方案 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r - l = 棚o n 对声子发热不敏感。这导致了高保真的量子信息过程。 关键词：原子相干效应，量子纠缠，e i n s t e i n p o d o l s k y r - r o s e n 纠缠态，纠缠簇态， 四波混频，缀饰态，压缩变换模，腔q e d ，囚禁离子 博士学位论文 啪ra i d l s s e r i 蜘0 n a b s t r a c t q u a n t u me n t a n g l e m e n ts h o w st h a tt h e r ee x i s tt h en o n l o c a la n dn o n c l a s s i c a lq u a n t u m c o r r e l a t i o n sb e t w e e nt w oo rm o r cq u a n t u ms y s t e m s ，w h i c hi so n eo fm o s ts t r i k i n gf e a t u r e s i nq u a n t u mm e c h a n i c s r e c e n t l y , t h ep r e p a r a t i o no fq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n di t sa p p l i c a - t i o n sh a v eb e e nt h ef r o n t i e r so fq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e q u a n t u me n t a n g l e m e n tn o t o n l yc a nb eu s e dt ot e s tt h ef u n d a m e n t a l so fq u a n t u mm e c h a n i c s ，s u c ha sr e a l i z a t i o n ，l o c a l - i z a t i o n , h i d d e nv a r i a b l e ，m e a s u r e m e n tt h e o r ya n ds oo n ，b u ta l s oh a sp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s i nq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，f o re x a m p l e ，q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ，q u a n t u md e n s e c o d i n ga n dq u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，a t o m i cc o h e r e n c ee f f e c ti sa l l i m p o r t a n tt o p i ci nq u a n t u mo p t i c sa n dl a s e rp h y s i c sa n di ta l w a y sh a sb e e no n eo fh o t s p o t s i ns c i e n t i f i cr e s e a r c h a t o m i cc o h e r e n c ee f f e c tl e a d st om a n yi n t e r e s t i n gp h y s i c a lp h e n o m - e n a , s u c ha sc o h e r e n tp o p u l a t i o nt r a p p i n g ，e l e c t r o m a g n e t i c a l l yi n d u c e dt r a n s p a r e n c ya n d e n h a n c e dn o i l l i n e a ro p f i c a lp r o c e s s e s ，w h i c hh a v et h ec e r t a i nv a l u e si nt h ep r o c e s so fb a s i c p h y s i c sa n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s o u rt o p i ci st op r e p a r et h es t e a d yn o i s e - f r e ee n t a n g l e - m e n ts o u r c e sw i t ha h i g hp u r i t yb a s e do na t o m i cc o h e r e n c ee f f e c t n ei n n o v a t i v ec o n t e n t s i n v o l v et h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s ： w cf i r s ta n a l y z eq u a n t u me n t a n g l e m e n ti nf o u r - w a v em i x i n gi nt h r e e - l e v e l 人a n dv a t o m i cs y s t e m s ，i nw h i c ht w oe x t e r n a ld r i v i n gf i e l d sa r ca p p l i e dt ot h ed i p o l e a l l o w e dt r a n s i t i o n sa n dt w oc a v i t yf i e l d sa r eg e n e r a t e d ，r e s p e c t i v e l y w ca n a l y z et h ep h y s i c sb yu s i n g d r e s s e da t o m i cs t a t e sa n ds q u e e z et r a n s f o r m e dc a v i t ym o d e s i ns u c ha r e p r e s e n t a t i o n ，t w o d i s s i p a t i o nc h a n n e l sa r ei d e n t i f i e d ，t h r o u g hw h i c hd r e s s e da t o m ss i m u l t a n e o u s l ya b s o r bi n t h ee x c i t a t i o n sf r o mt h ep a i ro fs q u e e z et r a n s f o r m e dm o d e s i ti si nt h ep r e s e n c eo ft w o c h a n n e l st h a tt h ee n t a n g l e m e n ti sg r e a t l ye n h a n c e d w i t ht h ep r o p e rc h o i c eo ft h en o r m a l i z e dd e t u n i n g ，t h eb e s ta c h i e v a b l es t a t ea p p r o a c h e st h eo r i g i n a le i n s t e i n p o d o l s k y - r o s e n ( e p r ) e n t a n g l e ds t a t e t h i ss c h e m ei sa p p l i c a b l ei nt h eo p t i c a lr e g i m ew h e r ea t o m i cs p o n t a n e o u se m i s s i o nh a st ob et a k e ni n t oa c c o u n t w ct h e ns h o wt h a te p r l i g h te n t a n g l e m e n ti so b t a i n a b l ei nt h em i c r o w a v ec o n t r o l l e d f o u rw a v em i x i n g ，w h e r et h ec o n t r o la n dg e n e r a t e df i e l d sd i f f e ri nf r e q u e n c yb yf i v eo r d e r s o fm a g n i t u d e i np a r t i c u l a r a ne n s e m b l eo ft h r e e l e v e laa t o m si se m p l o y e d ，i nw h i c h am i c r o w a v ef i e l dr e s o n a n t l yc o u p l e st w om e t a s t a b l es t a t e sa n dai a s e rf i e l dr e s o n a n t l y 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t a n c n c o u p l e so n eo ft h em e t a s t a b l es t a t e st ot h ee x c i t e ds t a t e ap a i ro fi n n e rs i d e b a n d sa s o p t i c a lc a v i t ym o d e sa r ea m p l i f i e dv i at h et r a n s i t i o nf r o mt h ee x c i t e ds t a t et ot h eo t h e r o ft h em c t a s t a b l es t a t e s t h ea n a l y s i si sp r e s e n t e db yu s i n gt h ed r e s s e d a t o ms q u c e z e d - t r a n s f o r m e d - m o d ea p p r o a c h f o rap r o p e rr a t i oo ft h ea m p l i t u d e so ft h em i c r o w a v ea n dt h e a p p l i e dl a s e rf i e l d , t h es u m o ft h ev a r i a n c e sf o rt w oe p r - l i k eo p e r a t o r sa p p r o a c h e sz e r o ， w h i c hc o r r e s p o n d st ot h ee p r e n t a n g l e m e n t f i n 玉 y , w ep r o p o s ea l la l t e r n a t i v es c h e m ef o rp r e p a r i n gn - - q u b i tc l u s t e rs t a t eb yu s - i n gaf r e q u e n c y - m o d u l a t e dl a s e rf i e l dt os i m u l t a n e o u s l yi l l u m i n a t et h eh o ti o n s ，w h i c ha r e t r a p p e di nal i n e a rp a u lt r a p s e l e c t i n gt h ei n d e xo fm o d u l a t i o ny i e 】d st h es e l e c t i v em e c h a - n i s m so f c o u p l i n ga n dd e c o u p l i n gb e t w e e nt h ei n t e r n a la n de x t e r n a ls t a t e so ft h ei o n s b a s e d o nt h es e l e c t i v em e c h a n i s m s ，t h eh i g h l ye n t a n g l e dc l u s t e rs t a t ei sa c h i e v e d i no u rs c h e m e ， t h ev i b r a t i o nm o d ei so n l yv i r t u a l l ye x c i t e d t h u st h eq u a n t u mo p e r a t i o n sa r ei n s e n s i t i v et o t h eh e a t i n ga n dl c a dt ot h eh i g h - f i d e l i t yq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g k e yw o r d s ： a t o m i cc o h e r e n c ee f f e c t , q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，e i n s t e i n - p o d o l s k y - r o s e n e n t a n g l e ds t a t e ，c l u s t e rs t a t e ，f o u r - w a v em i x i n g ，a t o m i cd r e s s e ds t a t e s ，s q u e e z e - t r a n s f o r m e d m o d e s ，c a v i t yq e d ，纽a p p e di o n s 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e 趸i 彻o n 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下i 独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：移乡珐 日期：7 刈肌日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：器畦 日期：刁私肛日 导师签名：拥咿向明导师签名：蚓小叫” 日期砷年占月咱 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。园童途塞理童卮澄盾! 旦圭生；旦= 生乙旦三生筮查l 导师签名：拥9 向明 日期：。净月川 乞 珐月 、7 6 奉仟， 名 加 戤 功 者期 作日 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r i ：a n o n 第一章绪论 原子相干效应是相干光场与原子发生相互作用的产物，它属于光与物质相互作 用的研究范畴。原子相干讨论的是用相干的光场将原子的两个能级耦合起来形成新 的叠加态，从而改变了原子的基本特性。原子相干效应在量子光学和激光物理领域 有着重要的研究价值，一直以来它都是科学研究的热点。这是因为原子相干效应导 致了许多重要的物理现象，如相干布居捕获【1 - 5 】，电磁诱导透明 6 - - 1 4 ，无反转 激光【1 5 1 9 ，自发辐射的控制和修正【2 0 - - 2 7 ，非线性过程增强【2 8 - - 3 3 1 ，快慢光传 播【3 8 】，量子拍激光【3 9 4 】及双光子关联辐射激光【4 5 - 5 0 】等等。这些现象引 起了物理学界的极大关注，并对它们进行了深入的研究。这些现象不论是对基础物 理学的发展还是在实际的应用中都有着重要的价值和潜在的前景。 近年来，量子信息学作为一门新兴的研究学科，显示出了十分广阔的科学和技 术应用前景。量子信息是利用量子力学基本原理来实现信息的处理，它包括的内容 主要有两个方面：量子通信和量子计算。量子通信己成为一门较为成熟的且具有实 用价值的通信技术，在量子信息领域中它是最先走向实用化的。量子通信要求长距 离、高纯度、高质量的纠缠源。在实际的操作中，由于光子具有较快的速度，且受 环境影响比较小，因此目前量子通讯主要以极化光子作为信息载体，采用纠缠光子 对作为传送的量子通道。实验上，量子通讯已取得了很大的进展。美国b e n n e t t 等 人首次成功演示了量子密码术【5 l 】。自此以后，世界各国的研究小组也相继获得了 实验成功【5 2 - 5 6 。量子信息的另一方面就是量子计算。对于目前的经典计算机， 它是基于经典物理原理，因此其处理能力受到了一定的限制，已达到了极限。而由 于量子态叠加原理和量子纠缠特性，量子计算机具有经典计算机无法比拟的、快速 的、高保密的计算功能。制造量子计算机的核心任务就是可以实现可控多位量子比 特的量子信息处理器，关键就是寻求能够免于退相干、易于操控和规模化的多位量 子比特。因此寻找合适的物理系统担任量子信息的载体就显得尤为重要【5 7 ，5 8 。实 验上，具有少量位比特的量子逻辑门操作已经获得了成功【5 9 6 3 1 。但是目前要想成 博士学位论文 d o c t o r a id i s s e r l n o n 功地制造出1 0 多位可操作的量子逻辑门还是有着巨大的困难。最新研究表明由于 固体材料具有可集成性和可扩展性，因此量子计算机在固体体系中实现的可能性比 较高。 量子纠缠作为量子信息处理中的基本资源，成为了量子理论中的一大热点。量 子纠缠是由e i n s t e i n ，p o d o l s k y 和r o s e n 在1 9 3 5 年为了证明量子力学态函数描述世 界的不完备性而提出的，即所谓的“e p r 佯谬 【6 4 】，其概念和术语是s c h r o d i n g e r 在1 9 3 5 年第一次引入量子力学中，并称其为群量子力学的精髓( 6 5 】。量子纠缠 反映了复合量子体系中各个子系统间所存在的非局域的、非经典的强关联，它是量 子力学最显著的特征之一。1 9 6 4 年爱尔兰物理学家b e l l 根据隐变量理论推导出著 名的b e l l 不等式【6 6 ，并且预言量子力学超出不等式的极限。实验上，这一预言最 早是由a s p e c t 等人利用光学手段证实的，从而有力地证明了量子力学的非局域性 k 7 ，6 8 。量子纠缠是验证量子力学中定域论、实在论、隐变量等量子力学基本问 题的有效手段。另一方面，量子纠缠在量子信息处理中有着重要的应用【6 9 - 7 7 】。 量子纠缠具有非局域性的这一特点，使得基于量子纠缠作为信息通道的量子信息 在增大信息容量、提高运算速度及确保信息安全等方面大大地突破现有经典信息 系统的极限。所以量子纠缠自从出世以来一直是人们感兴趣的研究领域。目前， 实验上已经能够在许多物理系统中制备出量子纠缠态，如腔- q e d 7 8 - 8 0 l 、离子阱 【8 1 ，8 2 、光子 8 3 ，8 4 、核磁共振【8 5 ，8 6 】及玻色爱因斯坦凝聚f 8 7 ，8 8 】等。 最近连续变量纠缠引起了研究学者的广泛关注【8 9 ，9 0 。连续变量的研究对象 主要是量子化光场，研究者利用光场的正交振幅来处理连续变量的量子信息。当处 理用连续变量描述的量子信息过程时，我们可以有效地执行操作中的重要步骤如 纠缠态的制备、操控、和量子测量。连续变量纠缠的最典型例子就是原始的e p r 纠缠，也就是e i n s t e i n 等人所提出的e p r 佯谬【6 4 】。它是一个完美的纠缠态，不可 能在实际系统中实现，原始的e p r 纠缠态在现实中的代表就是双模压缩真空态。 连续变量纠缠在量子信息处理中有着重要的应用，如量子隐形传态 9 1 - 9 3 、量子 密集编码【9 4 ，9 5 、量子密码术【9 6 ，9 7 】及量子克隆【9 8 1 0 0 等。因此，人们试图寻 2 博士学位论文 d o c r 0 r l d i s s e r n 们o n 找各种系统和方法来制备连续变量纠缠光。研究表明非简并光学参数下转换过程是 实现连续变量纠缠光的一种典型方式【1 0 1 ，1 0 2 1 。利用线性光学元件【1 0 3 1 0 5 】和非 线性耦合器【1 0 6 - 1 1 0 】都可得到连续变量纠缠光。最近量子反馈被揭示是制备高纯 度纠缠光的可供选择的方式【1 l1 1 1 3 】。另外，s i l b o r h o r n 等人利用k e r r 效应在光纤 中制备了连续变量的纠缠光【1 1 4 】。还有其它的物理系统被提出用来产生连续变量 纠缠光，如半导体量子点【1 1 5 ，冷原子【1 1 6 。1 1 7 ，光子晶体【1 1 8 】等。 随着人们对信息的存储、传输和处理需求的日益增长，量子信息作为一个更换 目前信息的技术正在迅速地崛起。量子纠缠作为量子信息处理过程中的关键源也得 到了更为广泛而深入的研究。然而，由于周围环境的影响使得体系遭到退相干，相 应地，所制备的纠缠源易遭到破坏就很难保存下来，这也会降低信息处理的效率。 因此如何制备稳定的、抗干扰能力强的、高纯度的纠缠源成了人们关注的焦点。 最近，利用原子相干效应来制各纠缠光的方案被提出。第一类方案就是利用双 光子关联辐射激光和量子拍激光制备纠缠光源【1 1 9 1 3 0 1 。其中方案【1 1 9 1 2 6 】是利 用强驱动场耦合原子的相干机制，基于二阶微扰的线性理论我们得到光场模式之间 的量子关联。研究表明不管是单原子还是多个原子情况，这类系统获得的纠缠强烈 地依赖于激光场的强度。随着激光光场的增强，纠缠逐渐消失，没有稳态的纠缠发 生。方案 1 2 7 1 2 9 】是基于原子初始处于相干叠加态的相干机制。这里仍然是采用 线性理论方法而获得光场的信息。此类方案可制备稳定的纠缠光。最近，利用非线 性理论处理量子拍激光模型的理论方案也被提出 1 3 0 。在非线性理论框架中，利 用朗之万理论可得到场的运动方程。研究表明工作在阈值以上的明亮的稳定的纠缠 光可以获得。第二类方案是基于原子束库来制备稳定的纠缠光【1 3 1 1 3 3 】。这类方案 考虑的对象是受驱动的原子与腔模光场的耦合。在一定条件下，原子与腔场的相互 作用导致了离散通道的建立。这使得在原子与腔场的相互作用过程中，原子充当量 子库角色。原子吸收来自腔模的激发光子，从而驱使光场处于稳定的纠缠态。第三 类方案是基于四波混频过程来实现连续变量的纠缠源【1 3 4 1 3 6 】。利用四波混频过程 可获得窄频带的纠缠光源，这对远程量子通信有着重要的应用。然而在二能级四波 3 博士学位论丈 d o c t ( ) r a id i s s e r t a 玎o n 混频过程中，所获得的压缩和纠缠仅限于标准量子极限的一半。利用辅助的原子跃 迁来转移原子缀饰能级上的布居，这使得二能级四波混频产生的纠缠信号增强。除 了以上三类典型的纠缠制备方案，还有一些基于原子相干的可选择性方案被提出产 生纠缠光【1 3 7 1 3 9 。 本文主要研究了基于原子相干效应来制备高纯度的稳定的纠缠源。具体内容 为： 第二章，介绍本文需要的相关基础理论。首先介绍了光与物质的相互作用半理 论和全量子理论，接着介绍了原子相干效应中的相干布居捕获及四波混频，光场的 压缩态及单模、双模压缩变换，最后介绍了量子纠缠的概念、分类及连续变量的纠 缠判据。 第三章，研究了三能级a 型四波混频系统中的纠缠光特性。我们采用缀饰原子 压缩变换模方法分析了其物理机制，结果表明在三能级系统中存在着缀饰原子与压 缩变换模间的双通道相互作用。这导致了对类e p r 算符的方差和接近于零，原 始的e p r 纠缠态可渐近地获得。另外，在本章的附录中我们给出了y 型及描述该 模型的方程，可获得类似的结果。 第四章研究了利用微波驱动来操控双模腔场的量子关联。这个模型基于原子与 激光场的共振相互作用，通过调制外加驱动场的强度，我们获得了稳定的高纯度的 e p r 纠缠态。 第五章提出了利用一个频率可调的激光场来照亮线性阱中的多个离子来获得多 离子纠缠簇态。通过选择激光场的调制系数，我们得到离子内外态间的耦合与退耦 合机制。基于这两种机制，高度纠缠的簇态在多体离子系统中产生。 第六章给出了本文的总结和展望。 4 + 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r l o n 第二章基本理论 2 1 光与物质相互作用的半经典描述 由原子物理学可知，实际的原子结构是比较复杂的，如自然界最简单的氢原 子，其大部分能级都是简并的，所以精确讨论原子和光场的相互作用是不可能的， 通常需要借助一定的假设。实验证明光场诱导原子在不同能级间跃迁时，只有光场 频率与原子本征跃迁频率相等或近似相等的跃迁发生的几率最大。所以最自然的做 法就是假设原子只有两个非简并的能级，这就是所谓的二能级原子系统【1 4 0 。当 涉及到原子的三个能级，甚至更多个能级那么就需要处理等效的三能级系统，四 能级系统等等。 2 1 1 电偶极相互作用及偶极近似 由电动力学知识我们得知，当一个电荷为e ，质量为m 的电子与一外电场发生 相互作用时，其哈密顿量为 日= 熹【p e a ( r ，) 】2 + e u ( r ，t ) + y ( r ) ( 2 1 ) 其中，p 是电子的正则动量，y ( ，) 是由原子束缚引起的电子静电势能，a ( r ，t ) 和 u ( r ，t ) 分别是外电场的矢势和标势。在库仑规范下它们满足 u ( r ，t ) = 0 v a ( r ，t ) = 0 该束缚电子的运动可由下述的薛定谔方程给出： i n dl 妒( ) ) = 日i 妒( t ) ) 5 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 博士学位论文 d o c l 0 r a ld i s s er r r a n o n 贝玎在t 时刻，空间r 处发现该束缚电子的几率密度为p ( r ，t ) = f ( r f 妒( 芒) ) i 2 。不难发 现，与i 妒( t ) ) 相差一个相位因子的态函数i 妒( z ) ) = le 印( i 口) 砂( t ) ) 也是方程( 2 3 ) 的 解。几率密度不会因为相位因子p 的介入而发生改变。因此，在库仑规范下束缚电 子态函数的相位可任意选择。也就是说，两个相差一个相位因子的态函数描述的是 同一个物理状态。 假定原子被束缚在势场y ( r ) 的中心位置r o 处。整个原子处于一个由矢势 a ( r o + r ，t ) 描述的平面电磁场中。由于原子的尺寸总是远小于光波场的波长，即 k r 1 ，这就是偶极近似，也叫长波近似。在偶极近似下，则有 a ( r 0 + r ，t ) = a ( t ) e x p 陋( r o + r ) 】鲁a ( t ) e x p ( i k r o ) ( 1 + i k r + ) 是a ( ) e x p ( i k r o )( 2 4 ) 在偶极近似和库仑规范下，薛定谔方程( 2 3 ) 为 i 危知) = 一嘉【vl 元a ( r o 】2 + e ) ) ( 2 5 ) 其中我们已用p = 一i 腮，且取静电势能为零。我们引入新的态函数l 妒( t ) ) = 唧卜簧a ( r o ，t ) 叫i 妒( ) ) ，将其代入上述方程，且利用e = 一筹，可得 i 咳d 忡) ) = ( 凰+ 如z ) 忡) ) ( 2 6 ) 其中风= 蒹+ v ( r ) 是电子自身的哈密顿量，冠c 秕= 一e r e ( r o ，t ) 是描述电子与外 加电场间的电偶极相互作用【“，1 4 l ，1 4 2 。 2 1 2 相互作用哈密顿及旋波近似 我们以二能级原子系统为例，如图2 i 所示，来讨论偶极近似下的原子与辐射 场相互作用的哈密顿量。我们假定辐射场是经典的，原子是量子化的，这就是原子 6 与场相互作用的半经典理论。基于半经典理论，许多激光物理和量子光学中的问题 都得到了很好的解决【1 4 1 。 i e 图2 1二能级原子与一个频率为u 、拉比频率为q 的经典场相互作用。 原子与光场耦合系统的哈密顿为 h = h o e r e ( r o ，t ) = h o d e ( r o ，t ) ( 2 7 ) 其中凰描述二能级原子的自由能量，d 是原子电偶极矩。这里我们假定光场是沿 着屯( 单位矢量) 方向线性极化的。在偶极近似下，光场可表示为 e ( r o ，t ) = 也e oc o s ( w t ) ( 2 8 ) 令二能级原子的本征矢为i e ) 和1 9 ) ，利用本征矢的完备性：i e ) ( e l + i 夕) ( 夕i = 1 ，则 自由项可表示为 h o = 讹i e ) ( e i + i g ) ( g l 7 ( 2 9 ) 博士学位论文 d d c h ) ra id i s s e r i ：棚o n 相互作用哈密顿可表示为 鼠眦= 一( 1 e ) ( e l + 1 9 ) ( 9 1 ) d - e ( r o ，t ) ( i e ) ( e l + 1 9 ) ( a 1 ) = 一( 如l e ) 臼i + 岛。l 夕) ( e i ) 岛c o s ( c o t ) = 一危( q ol e ) 夕i + 瞄 9 ) e 1 ) c o s ( c o t ) ( 2 1 0 ) 其中d 叼= d 盖= ( e l d 屯i 夕) 是沿也方向的电偶极矩阵元，q r = 丝磐是经典场的 r a b i 频率。为了更深入的了解相互作用哈密顿量，我们转入相互作用绘景中来讨 论。由量子力学中的绘景变换，我们可得相互作用绘景中的哈密顿量为 所= 一譬i e ) ( 夕l e 岫。( e m + e 一谢) 一警1 9 ) ( e i e 一汹。( e i a ，t + e - t ) = 一譬j e ) 台lk 汹+ ，) l + e i ( 蛳叫，t 】+ c c ( 2 1 1 ) 其中，c c 表示复共轭项。b 0 0 = 魄一岣是原子本征跃迁频率。在光频下，u + w o 非 常大，在哈密顿量中代表着快速振荡的项。由于u 笺c o o ，所以u c 0 0 项非常小， 它代表着慢速振荡的项。我们忽略快速振荡量，保留慢变量，这就是旋波近似。这 样处理也是原子与光场相互作用过程中能量守恒的要求。在旋波近似下，相互作用 哈密顿为 研= 一譬i e ) ( 帅儿壁2 j 9 ) ( e ie - i 帅弦 返回到薛定谔绘景中，则相互作用哈密顿表示为 = 一譬i e ( g le - 诎- 婴2 1 9 ) ( e ie 妣 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 我们可以用泡利算符来表示原子算符。定义原子偶极算符：= i e ) ( 夕l = 外为升 8 博士学位论文 啪r a l d l s s e 趸r 觚o n 阶算符，= i 夕) ( e i = 几为降阶算符。此时，相互作用哈密顿为 = 一耋e 面t 一宝蹒e 认 2 1 3 二能级原子与单模光场的相互作用 ( 2 1 4 ) 光与物质的相互作用在激光物理、量子光学、非线性光学等许多光学领域，甚 至物理学领域占有着重要的地位。这里我们以二能级原子与单模光场的相互作用来 理解半经典理论描述的作用过程。我们用两种描述来处理，具体介绍如下。 2 1 3 1 裸原子描述 当光场的强度比较弱时，通常可以采用量子力学中的微扰方法来处理。如原子 的自发辐射。但是，当光场的强度比较强时，微扰方法就不可行。就原子系统来 说，其性质发生了重大的变化。光场不仅引起了原子布居的分布，也引起了能级和 本征矢的变化。对于这类相互作用，研究学者采用两种方法来描述。一个就是裸原 子描述。在该描述中，把无相互作用的原子和场的本征态选作计算中的基。另一个 就是缀饰原子描述，我们在下节中具体阐述。 我们以单色场驱动的二能级原子为例，考虑一个频率为u 、拉比频率为 q o = 号乎的经典场作用的情况。在旋波近似和电偶极近似的条件下，系统的相互 作用哈密顿量由式( 2 1 2 ，2 1 3 ) 给出。为了计算方便，我们选择在相互作用绘景中 进行讨论。 首先采用几率振幅方法讨论。在t 时刻时，系统的状态为 妒( t ) ) = c e ( t ) i e ) + c g ( t ) l g ) ( 2 1 5 ) 其中( t ) 和勺( t ) 分别是原子处于态l e ) 和i g ) 上的几率幅。相应的薛定谔方程为 i 移( z ) ) = 一丢所i 矽( ) ) ，这里胁是如式( 2 1 2 ) 的相互作用哈密顿量。由此可得几率 9 d o c t o r a ld i s s 一 幅的运动方程为 厶= i 譬e 以。c 曩 岛= i 譬e 一缸c c ( 2 1 6 ) 其中原子与场的失谐量定义为a = t o o u 。由初始条件，我们很容易就可获得几率 幅的解，即 撩蹴0c 0 s o s 暑繁s i n 黜- i - 嚣0 ) 咖s i n 戮e - i 班, t 2 亿聊白( t ) = 勺( ) ( 譬) + 喾 ( 譬) 】等( 警) 其中q = 忍巧瓣。假定初始时原子处于激发态i e ) ，则在时刻亡时原子的布居 反转为 w ( t ) = f ( ) 1 2 一l 白( ) f 2 = ( 掣) 如2 ( 詈) + 叫：警) ( 2 1 8 ) 特别地，在共振a = 0 条件下，w ( t ) = c o s ( i q o i t ) ，布居以频率1 i 在一1 和1 之 间来回振荡，如图2 2 所示。 图2 2 布詹反转w ( t ) 随时间变化的r a b i 振荡曲线图。 1 0 博士学位论文 d o c t o ra ld i s s e r l 叼r i o n 下面我们从密度算符主方程出发。利用密度算符的运动方程声= 一素【研，0 1 ，我 们可得密度矩阵元的运动方程为 彪= 2 - 譬e i 2 如e 一孚e 一讼2 肠 如= 一譬e 讼岛。+ 譬e 一锄肠 如= 孚e 讼2 ( 乃9 一他) ，( 趾= 蝠) ( 2 1 9 ) 由密度矩阵元的方程我们可以直接看出融+ 如= 0 ，这意味着总的原子布居不随 时间发生变化，其总几率保持为1 。我们以上的讨论仅是理想的情况，然而对于实 际的原子系统，处于激发态的原子会发生自发辐射，还有原子之间的碰撞也会引起 原子的衰减。情况将会复杂许多。如果用半经典理论处理问题，只能唯象性的引入 衰减。自发辐射要用量子理论来处理，我们在下节中作介绍。 裸原子描述的优点在于它在数学推导时比较直接了当些，很容易就可以得到物 理结果。然而其物理图像不清晰，为了得到清晰的物理图像，我们引入缀饰原子描 述。 2 1 3 2 缀饰原子描述 缀饰原子描述是将原子和场看成统一的整体，精确的解出原子与场的全部或部 分相互作用，然后把得到的原子一场的本征矢选作计算中的基，从而给出缀饰原子 的能级结构的图像【1 4 2 1 。缀饰原子方法是处理强相互作用的一种有效的方法，它 不仅能够给出简洁的数学表达式，而且能够清楚地阐明强光作用下的物理现象。 下面我们以二能级原子与单模光场相互作用为例来讨论缀饰原子的本征能量及 本征态函数。在薛定谔绘景中，系统的哈密顿量可为 h = 凰+ y h o = h w oi e ) ( e i y = 一譬l e ) ( 夕| e - 讹一譬i 夕) ( e i e 讪2 ( 2 2 0 ) 其中我们已经选取基态能量为零，龇是原予本身的跃迁频率。由哈密顿量的表达式 可以看出，相互作用哈密顿显含时间因子，这在研究问题造成定的困难。如果转 入相互作用绘景中，当原子与场并不共振时，时间因子仍然存在。在这里，我们采 用一定的技巧，从而消除时间因子，使得哈密顿不显含时间。基本的做法就是选取 自由哈密顿量的一部分作为新的自由项，根据能量守恒，剩余的部分与相互作用 部分作为新的相互作用能，然后进行幺正变换，从而获得不显含时间的相互作用 哈密顿。这就是我们所定义的旋转框架。这里我们选择焉= 鼬i e ) ( e i 为自由哈密 顿，则相互作用部分为= 尬l e ) ( e f 一害( i e ) ( 夕l e 一触+ f 9 ) ( e i e 妣) 。进行幺正 变换：凰= e x p ( 学) 矿e x p ( 一警) ，可得旋转框架中系统的哈密顿量为 矗 = 危i e ) ( e i 一芸( l e ) ( 夕i + q ；i 夕) ( e i ) ( 2 2 1 ) 在基矢为l e ) 和i 夕) 的裸原子表象中，的本征值满足久期方程 二斗。 2 l 一ai 可解得本征能量值为： 虹= 罢( 士雁可衙) 两本征值的差值为a = 危 西曩瓣。相应地，我们可以求得本征态为 i + ) = c o s o l e ) + s i n 0 1 9 ) j - ) = 一s i n o j e ) + c o s 8j 彩 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 其中，c o s 9 = 、i 丽，s i n 口= 、f 焉和6 = 念。为简便起见，我们已 经假定r a b i 频率为实数。很明显，在共振时( 6 = 0 ) ，c o s o = s i n o = i 1 。在缀饰态 1 2 一 堡：一等 博士学位论文 d 0 r a ld i s s e r r 觚o n 表象中，系统哈密顿量可简化为 五k = a + i + ) ( + l + a i - ) ( - l ( 2 2 5 ) 基于此哈密顿量来求解系统的几率幅和密度矩阵元就会方便得多。同样地，我们可 以进行幺正变换，从而可将原子裸态用缀饰态表示为 i + l 呻 i + h 图2 3单色场激发的二能级原子s 胁i k 分裂及缀饰能级跃迁。 i e ) = c o s 8 i + ) 一s i n 0 i - ) 1 9 ) = s i n 口i + ) + c o s 8 卜) ( 2 2 6 ) 原子能级进行了s t o r k 分裂，每个能级分裂成两个子能级。由于态函数的叠 加，两对缀饰态之间的所有跃迁都